Proste równania kwadratowe. Co to jest pierwiastek kwadratowy? Rozwiązania różnych typów równań kwadratowych

Wzory na pierwiastki równania kwadratowego. Rozważane są przypadki prawdziwych, wielokrotnych i złożonych korzeni. Faktoryzacja trójmian kwadratowy. Interpretacja geometryczna. Przykłady wyznaczania pierwiastków i faktoryzacji.

Podstawowe formuły

Rozważ równanie kwadratowe:
(1) .
Pierwiastki równania kwadratowego(1) określają wzory:
; .
Te formuły można łączyć w następujący sposób:
.
Gdy znane są pierwiastki równania kwadratowego, wówczas wielomian drugiego stopnia można przedstawić jako iloczyn czynników (podzielony na czynniki):
.

Ponadto uważamy, że - liczby rzeczywiste.
Rozważać dyskryminator równania kwadratowego:
.
Jeżeli wyróżnik jest dodatni, to równanie kwadratowe (1) ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste:
; .
Wtedy faktoryzacja trójmianu kwadratowego ma postać:
.
Jeśli dyskryminator wynosi zero, to równanie kwadratowe (1) ma dwa wielokrotne (równe) pierwiastki rzeczywiste:
.
Faktoryzacja:
.
Jeżeli wyróżnik jest ujemny, to równanie kwadratowe (1) ma dwa złożone sprzężone pierwiastki:
;
.
Oto jednostka urojona, ;
i są rzeczywistymi i urojonymi częściami korzeni:
; .
Następnie

.

Interpretacja graficzna

Jeśli kompilacja wykres funkcji
,
która jest parabolą, to punkty przecięcia wykresu z osią będą pierwiastkami równania
.
Kiedy wykres przecina oś odciętych (oś) w dwóch punktach.
Gdy wykres dotyka osi X w jednym punkcie.
Gdy wykres nie przecina osi x.

Poniżej przykłady takich wykresów.

Przydatne wzory związane z równaniem kwadratowym

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

Wyprowadzenie wzoru na pierwiastki równania kwadratowego

Wykonujemy przekształcenia i stosujemy formuły (f.1) i (f.3):

,
gdzie
; .

Otrzymaliśmy więc wzór na wielomian drugiego stopnia w postaci:
.
Z tego widać, że równanie

wykonywane w
oraz .
To znaczy i są pierwiastkami równania kwadratowego
.

Przykłady wyznaczania pierwiastków równania kwadratowego

Przykład 1

(1.1) .

Rozwiązanie

.
Porównując z naszym równaniem (1.1) znajdujemy wartości współczynników:
.
Znalezienie dyskryminatora:
.
Ponieważ wyróżnik jest dodatni, równanie ma dwa rzeczywiste pierwiastki:
;
;
.

Stąd otrzymujemy rozkład trójmianu kwadratowego na czynniki:

.

Wykres funkcji y = 2 x 2 + 7 x + 3 przecina oś x w dwóch punktach.

Wykreślmy funkcję
.
Wykres tej funkcji to parabola. Przecina oś x (oś) w dwóch punktach:
oraz .
Punkty te są pierwiastkami pierwotnego równania (1.1).

Odpowiedź

;
;
.

Przykład 2

Znajdź pierwiastki równania kwadratowego:
(2.1) .

Rozwiązanie

Piszemy równanie kwadratowe w ogólna perspektywa:
.
W porównaniu z pierwotnym równaniem (2.1) znajdujemy wartości współczynników:
.
Znalezienie dyskryminatora:
.
Ponieważ dyskryminator wynosi zero, równanie ma dwa wielokrotne (równe) pierwiastki:
;
.

Wtedy faktoryzacja trójmianu ma postać:
.

Wykres funkcji y = x 2 - 4 x + 4 dotyka osi x w jednym punkcie.

Wykreślmy funkcję
.
Wykres tej funkcji to parabola. Dotyka osi x (osi) w jednym punkcie:
.
Ten punkt jest pierwiastkiem pierwotnego równania (2.1). Ponieważ ten pierwiastek jest rozkładany na czynniki dwukrotnie:
,
wtedy taki korzeń nazywa się wielokrotnością. Oznacza to, że uważają, że istnieją dwa równe pierwiastki:
.

Odpowiedź

;
.

Przykład 3

Znajdź pierwiastki równania kwadratowego:
(3.1) .

Rozwiązanie

Piszemy równanie kwadratowe w postaci ogólnej:
(1) .
Przepiszmy oryginalne równanie (3.1):
.
W porównaniu z (1) znajdujemy wartości współczynników:
.
Znalezienie dyskryminatora:
.
Wyróżnik jest ujemny, . Dlatego nie ma prawdziwych korzeni.

Możesz znaleźć złożone korzenie:
;
;
.

Następnie

.

Wykres funkcji nie przecina osi x. Nie ma prawdziwych korzeni.

Wykreślmy funkcję
.
Wykres tej funkcji to parabola. Nie przecina odciętej (osi). Dlatego nie ma prawdziwych korzeni.

Odpowiedź

Nie ma prawdziwych korzeni. Złożone korzenie:
;
;
.

Niech zostanie podane równanie kwadratowe ax 2 + bx + c = 0.
Do kwadratu trójmianowego ax 2 + bx + c stosujemy te same przekształcenia, które wykonaliśmy w § 13, kiedy udowodniliśmy twierdzenie, że wykres funkcji y \u003d ax 2 + bx + c jest parabolą.
Mamy

Zwykle wyrażenie b 2 - 4ac jest oznaczone literą D i nazywane jest wyróżnikiem równania kwadratowego ax 2 + bx + c \u003d 0 (lub wyróżnikiem kwadratu trójmianu ax + bx + c).

W ten sposób

Stąd równanie kwadratowe ax 2 + ich + c \u003d O można przepisać jako

Każde równanie kwadratowe można przekształcić do postaci (1), co jest wygodne, jak teraz zobaczymy, w celu określenia liczby pierwiastków równania kwadratowego i znalezienia tych pierwiastków.

Dowód. Jeśli D< 0, то правая часть уравнения (1) — отрицательное число; в то же время левая часть уравнения (1) при любых значениях х принимает неотрицательные значения. Значит, нет ни одного значения х, которое удовлетворяло бы уравнению (1), а потому уравнение (1) не имеет корней.

Przykład 1 Rozwiąż równanie 2x 2 + 4x + 7 = 0.
Rozwiązanie. Tutaj a = 2, b = 4, c = 7,
D \u003d b 2 -4ac \u003d 4 2 . 4. 2. 7 = 16-56 = -40.
Od D< 0, то по теореме 1 данное квадратное уравнение не имеет корней.

Dowód. Jeśli D = 0, to równanie (1) przyjmuje postać

jest jedynym pierwiastkiem równania.

Uwaga 1. Czy pamiętasz, że x \u003d - jest odciętą wierzchołka paraboli, która służy jako wykres funkcji y \u003d ax 2 + ux + c? Dlaczego to
wartość okazała się jedynym pierwiastkiem równania kwadratowego ax 2 + x + c - 0? „Szkatułka” otwiera się po prostu: jeśli D wynosi 0, to, jak ustaliliśmy wcześniej,

Wykres tej samej funkcji jest parabolą z wierzchołkiem w punkcie (patrz na przykład ryc. 98). Stąd odcięta wierzchołka paraboli i jedyny pierwiastek równania kwadratowego dla D = 0 są tą samą liczbą.

Przykład 2 Rozwiąż równanie 4x 2 - 20x + 25 = 0.
Rozwiązanie. Tutaj a \u003d 4, b \u003d -20, c \u003d 25, D \u003d b 2 - 4ac \u003d (-20) 2 - 4. 4 . 25 = 400 - 400 = 0.

Ponieważ D = 0, to według Twierdzenia 2 to równanie kwadratowe ma jeden pierwiastek. Ten korzeń można znaleźć według wzoru

Odpowiedź: 2.5.

Uwaga 2. Należy pamiętać, że 4x 2 - 20x +25 - pełny kwadrat: 4x 2 - 20x + 25 \u003d (2x - 5) 2.
Gdybyśmy zauważyli to od razu, rozwiązalibyśmy równanie w ten sposób: (2x - 5) 2 \u003d 0, co oznacza 2x - 5 \u003d 0, z czego otrzymujemy x \u003d 2,5. Ogólnie, jeśli D = 0, to

ax 2 + bx + c = - zauważyliśmy to wcześniej w Uwaga 1.
Jeśli D > 0, to równanie kwadratowe ax 2 + bx + c \u003d 0 ma dwa pierwiastki, które znajdują się we wzorach

Dowód. Przepisujemy równanie kwadratowe ax 2 + b x + c = 0 w postaci (1)

Włóżmy
Z założenia D > 0, co oznacza, że prawa strona równania jest liczbą dodatnią. Następnie z równania (2) otrzymujemy, że

Tak więc dane równanie kwadratowe ma dwa pierwiastki:

Uwaga 3. W matematyce rzadko zdarza się, aby wprowadzony termin nie miał, mówiąc w przenośni, tła codziennego. Weźmy nowy
koncepcja jest dyskryminująca. Zapamiętaj słowo „dyskryminacja”. Co to znaczy? Oznacza upokorzenie jednych i wywyższenie innych, czyli różne postawy
nie do różnych pudya. Oba słowa (zarówno dyskryminujący, jak i dyskryminujący) pochodzą od łacińskich dyskryminatorów – „wyróżniający”. Dyskryminator rozróżnia równania kwadratowe według liczby pierwiastków.

Przykład 3 Rozwiąż równanie 3x 2 + 8x - 11 = 0.
Rozwiązanie. Tutaj a = 3, b = 8, c = - 11,
D \u003d b 2 - 4ac \u003d 8 2 - 4. 3 . (-11) = 64 + 132 = 196.
Ponieważ D > 0, to według Twierdzenia 3 to równanie kwadratowe ma dwa pierwiastki. Te korzenie można znaleźć za pomocą wzorów (3)

W rzeczywistości opracowaliśmy następującą zasadę:

Reguła rozwiązywania równań
topór 2 + bx + c = 0

Ta zasada jest uniwersalna, dotyczy zarówno kompletnych, jak i niekompletnych równań kwadratowych. Jednak niepełne równania kwadratowe zwykle nie są rozwiązywane zgodnie z tą zasadą; wygodniej jest je rozwiązać, tak jak to zrobiliśmy w poprzednim akapicie.

Przykład 4 Rozwiąż równania:

a) x 2 + Zx - 5 \u003d 0; b) - 9x 2 + 6x - 1 = 0; c) 2x 2 -x + 3,5 = 0.

Rozwiązanie a) Tutaj a = 1, b = 3, c = -5,
D \u003d b 2 - 4ac \u003d Z 2 - 4. jeden . (- 5) = 9 + 20 = 29.

Ponieważ D > 0, to równanie kwadratowe ma dwa pierwiastki. Te korzenie można znaleźć za pomocą wzorów (3)

B) Jak pokazuje doświadczenie, wygodniej jest zajmować się równaniami kwadratowymi, w których wiodący współczynnik jest dodatni. Dlatego najpierw mnożymy obie strony równania przez -1, otrzymujemy

9x 2 - 6x + 1 = 0.
Tutaj a \u003d 9, b \u003d -6, c \u003d 1, D \u003d b 2 - 4ac \u003d 36 - 36 \u003d 0.
Ponieważ D = 0, to równanie kwadratowe ma jeden pierwiastek. Ten korzeń znajduje się według wzoru x \u003d -. Znaczy,

Równanie to można rozwiązać w inny sposób: ponieważ
9x 2 - 6x + 1 \u003d (Zx - IJ, następnie otrzymujemy równanie (3x - I) 2 \u003d 0, z którego znajdujemy Zx - 1 \u003d 0, tj. x \u003d.

c) Tutaj a \u003d 2, b \u003d - 1, c \u003d 3,5, D \u003d b 2 - 4ac \u003d 1 - 4. 2. 3,5= 1 - 28 = - 27. Ponieważ D< 0, то данное квадратное уравнение не имеет корней.

Matematycy to ludzie praktyczni, oszczędni. Dlaczego, jak mówią, używa się tak długiej reguły do rozwiązywania równania kwadratowego, lepiej od razu napisać ogólną formułę:

Jeśli okaże się, że dyskryminator D \u003d b 2 - 4ac jest liczbą ujemną, to napisana formuła nie ma sensu (liczba ujemna znajduje się pod znakiem pierwiastka kwadratowego), co oznacza, że nie ma pierwiastków. Jeśli okaże się, że dyskryminator jest równy zero, to otrzymujemy

To znaczy jeden pierwiastek (mówią również, że równanie kwadratowe w tym przypadku ma dwa identyczne pierwiastki:

Wreszcie, jeśli okaże się, że b 2 - 4ac > 0, to otrzymuje się dwa pierwiastki x 1 i x 2, które oblicza się przy użyciu tych samych wzorów (3), jak wskazano powyżej.

Sama liczba jest w tym przypadku dodatnia (jak każda Pierwiastek kwadratowy z liczby dodatniej), a podwójny znak przed nim oznacza, że w jednym przypadku (przy znajdowaniu x 1) ta liczba dodatnia jest dodawana do liczby - b, a w drugim przypadku (przy znajdowaniu x 2) ta liczba dodatnia jest
czytaj od numeru - b.

Masz wolność wyboru. Jeśli chcesz, rozwiąż szczegółowo równanie kwadratowe, korzystając z reguły sformułowanej powyżej; jeśli chcesz, od razu zapisz wzór (4) i użyj go do wyciągnięcia niezbędnych wniosków.

Przykład 5. Rozwiąż równania:

Rozwiązanie a) Oczywiście można zastosować wzory (4) lub (3), biorąc pod uwagę, że w tym przypadku Ale po co wykonywać operacje na ułamkach, kiedy łatwiej i co najważniejsze przyjemniej jest radzić sobie z liczbami całkowitymi? Pozbądźmy się mianowników. Aby to zrobić, musisz pomnożyć obie części równania przez 12, czyli przez najmniejszy wspólny mianownik ułamków, które służą jako współczynniki równania. Dostawać

skąd 8x 2 + 10x - 7 = 0.

A teraz używamy wzoru (4)

B) Ponownie mamy równanie ze współczynnikami ułamkowymi: a \u003d 3, b \u003d - 0,2, c \u003d 2,77. Pomnóż obie strony równania przez 100, to otrzymujemy równanie o współczynnikach całkowitych:
300x 2 - 20x + 277 = 0.
Następnie korzystamy ze wzoru (4):

Proste przypuszczenie pokazuje, że wyróżnik (wyrażenie radykalne) jest liczbą ujemną. Więc równanie nie ma pierwiastków.

Przykład 6 Rozwiązać równanie
Rozwiązanie. Tutaj, w przeciwieństwie do poprzedniego przykładu, lepiej działać zgodnie z regułą, a nie według zredukowanego wzoru (4).

Mamy a \u003d 5, b \u003d -, c \u003d 1, D \u003d b 2 - 4ac \u003d (-) 2 - 4. 5 . 1 = 60 - 20 = 40. Ponieważ D > 0, równanie kwadratowe ma dwa pierwiastki, których będziemy szukać za pomocą wzorów (3)

Przykład 7 Rozwiązać równanie
x 2 - (2p + 1)x + (p 2 + p-2) = 0

Rozwiązanie. To równanie kwadratowe różni się od wszystkich rozważanych do tej pory równania kwadratowe przez fakt, że nie konkretne liczby działają jako współczynniki, ale wyrażenia dosłowne. Takie równania nazywane są równaniami ze współczynnikami literowymi lub równaniami z parametrami. W tym przypadku parametr (litera) p jest zawarty w drugim współczynniku i członie swobodnym równania.
Znajdźmy wyróżnik:

Przykład 8. Rozwiąż równanie px 2 + (1 - p) x - 1 = 0.
Rozwiązanie. Jest to również równanie z parametrem p, ale w przeciwieństwie do poprzedniego przykładu, nie można go rozwiązać od razu za pomocą wzorów (4) lub (3). Faktem jest, że te wzory mają zastosowanie do równań kwadratowych, a około podane równanie nie możemy tego jeszcze powiedzieć. Rzeczywiście, co jeśli p = 0? Następnie
równanie przyjmie postać 0 . x 2 + (1-0)x- 1 \u003d 0, tj. x - 1 \u003d 0, z czego otrzymujemy x \u003d 1. Teraz, jeśli wiesz na pewno, możesz zastosować formuły pierwiastków równania kwadratowego:

Kontynuujemy badanie tematu rozwiązywanie równań”. Zapoznaliśmy się już z równaniami liniowymi, a teraz zapoznamy się z równania kwadratowe.

Najpierw omówimy, czym jest równanie kwadratowe, jak jest napisane w ogólnej formie i podamy powiązane definicje. Następnie, korzystając z przykładów, szczegółowo przeanalizujemy, jak rozwiązywane są niekompletne równania kwadratowe. Przejdźmy do rozwiązania. pełne równania otrzymujemy wzór pierwiastków, zapoznajemy się z wyróżnikiem równania kwadratowego i rozważamy rozwiązania typowych przykładów. Na koniec śledzimy powiązania między pierwiastkami a współczynnikami.

Nawigacja po stronach.

Co to jest równanie kwadratowe? Ich typy

Najpierw musisz jasno zrozumieć, czym jest równanie kwadratowe. Dlatego logiczne jest, aby zacząć mówić o równaniach kwadratowych od definicji równania kwadratowego, a także definicji z nim związanych. Następnie możesz rozważyć główne typy równań kwadratowych: zredukowane i niezredukowane, a także kompletne i niekompletne.

Definicja i przykłady równań kwadratowych

Definicja.

Równanie kwadratowe jest równaniem postaci a x 2 +b x+c=0, gdzie x jest zmienną, a , b i c to pewne liczby, a a jest różne od zera.

Powiedzmy od razu, że równania kwadratowe są często nazywane równaniami drugiego stopnia. Dzieje się tak, ponieważ równanie kwadratowe to równanie algebraiczne drugi stopień.

Wybrzmiewająca definicja pozwala nam podać przykłady równań kwadratowych. Czyli 2 x 2 +6 x+1=0, 0,2 x 2 +2,5 x+0,03=0 itd. są równaniami kwadratowymi.

Definicja.

Liczby a , b i c są nazywane współczynniki równania kwadratowego a x 2 + b x + c \u003d 0, a współczynnik a nazywany jest pierwszym lub starszym lub współczynnikiem przy x 2, b jest drugim współczynnikiem lub współczynnikiem przy x, a c jest wolnym członkiem.

Na przykład weźmy równanie kwadratowe postaci 5 x 2 -2 x−3=0, tutaj wiodący współczynnik wynosi 5, drugi współczynnik to -2, a wyraz wolny -3. Zauważ, że gdy współczynniki b i/lub c są ujemne, jak w podanym przykładzie, wtedy skrócona forma pisanie równania kwadratowego postaci 5 x 2 −2 x−3=0 , a nie 5 x 2 +(−2) x+(−3)=0 .

Warto zauważyć, że gdy współczynniki a i / lub b są równe 1 lub -1, to zwykle nie są one wyraźnie obecne w zapisie równania kwadratowego, co wynika ze specyfiki zapisu takiego . Na przykład, w równaniu kwadratowym y 2 −y+3=0, wiodący współczynnik wynosi jeden, a współczynnik przy y wynosi −1.

Zredukowane i niezredukowane równania kwadratowe

W zależności od wartości wiodącego współczynnika rozróżnia się zredukowane i niezredukowane równania kwadratowe. Podajmy odpowiednie definicje.

Definicja.

Wywoływane jest równanie kwadratowe, w którym wiodący współczynnik wynosi 1 zredukowane równanie kwadratowe. W przeciwnym razie równanie kwadratowe to niezredukowany.

Według ta definicja, równania kwadratowe x 2 −3 x+1=0 , x 2 −x−2/3=0, itd. - zredukowany, w każdym z nich pierwszy współczynnik jest równy jeden. Oraz 5 x 2 −x−1=0 itd. - niezredukowane równania kwadratowe, ich wiodące współczynniki są różne od 1 .

Z dowolnego niezredukowanego równania kwadratowego, dzieląc obie jego części przez wiodący współczynnik, można przejść do zredukowanego. To działanie jest przekształceniem równoważnym, to znaczy, że uzyskane w ten sposób zredukowane równanie kwadratowe ma te same pierwiastki, co pierwotne niezredukowane równanie kwadratowe lub, podobnie jak ono, nie ma pierwiastków.

Weźmy przykład, jak przebiega przejście z równania kwadratowego niezredukowanego do równania zredukowanego.

Przykład.

Z równania 3 x 2 +12 x−7=0 przejdź do odpowiedniego zredukowanego równania kwadratowego.

Rozwiązanie.

Wystarczy, że dokonamy podziału obu części pierwotnego równania przez wiodący współczynnik 3, jest on niezerowy, więc możemy wykonać tę czynność. Mamy (3 x 2 +12 x−7):3=0:3 , czyli to samo co (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0 , i tak dalej (3 :3) x 2 +(12:3) x−7:3=0 , skąd . Więc otrzymaliśmy zredukowane równanie kwadratowe, które jest równoważne pierwotnemu.

Odpowiedź:

Pełne i niepełne równania kwadratowe

W definicji równania kwadratowego występuje warunek a≠0. Warunek ten jest konieczny, aby równanie a x 2 +b x+c=0 było dokładnie kwadratowe, ponieważ przy a=0 w rzeczywistości staje się równaniem liniowym postaci b x+c=0 .

Jeśli chodzi o współczynniki b i c, mogą one być równe zero, zarówno osobno, jak i razem. W takich przypadkach równanie kwadratowe nazywa się niekompletnym.

Definicja.

Wywołujemy równanie kwadratowe a x 2 +b x+c=0 niekompletny, jeśli co najmniej jeden ze współczynników b , c jest równy zero.

Z kolei

Definicja.

Pełne równanie kwadratowe to równanie, w którym wszystkie współczynniki są różne od zera.

Nazwy te nie są przypadkowe. Stanie się to jasne z poniższej dyskusji.

Jeżeli współczynnik b jest równy zero, to równanie kwadratowe przyjmuje postać a x 2 +0 x+c=0 i jest równoważne równaniu a x 2 +c=0 . Jeśli c=0 , czyli równanie kwadratowe ma postać a x 2 +b x+0=0 , to można je przepisać jako x 2 +b x=0 . A przy b=0 i c=0 otrzymujemy równanie kwadratowe a·x 2 =0. Otrzymane równania różnią się od pełnego równania kwadratowego tym, że ich lewa strona nie zawiera ani wyrazu ze zmienną x, ani wyrazu wolnego, albo obu. Stąd ich nazwa - niepełne równania kwadratowe.

Zatem równania x 2 +x+1=0 i −2 x 2 −5 x+0,2=0 są przykładami pełnych równań kwadratowych, a x 2 =0, −2 x 2 =0,5 x 2 +3 =0 , -x 2 -5 x=0 są niekompletnymi równaniami kwadratowymi.

Rozwiązywanie niekompletnych równań kwadratowych

Z informacji zawartych w poprzednim akapicie wynika, że istnieje: trzy rodzaje niepełnych równań kwadratowych:

a x 2 = 0 , odpowiadają mu współczynniki b=0 i c=0;
a x 2 +c=0 gdy b=0 ;
oraz ax2+bx=0, gdy c=0 .

Przeanalizujmy, jak rozwiązywane są niekompletne równania kwadratowe każdego z tych typów.

x 2 \u003d 0

Zacznijmy od rozwiązania niepełnych równań kwadratowych, w których współczynniki b i c są równe zeru, czyli równań postaci a x 2 =0. Równanie a·x 2 =0 jest równoważne równaniu x 2 =0, które otrzymuje się z oryginału przez podzielenie jego obu części przez niezerową liczbę a. Oczywiście pierwiastek równania x 2 \u003d 0 wynosi zero, ponieważ 0 2 \u003d 0. Równanie to nie ma innych pierwiastków, co zostało wyjaśnione, w rzeczywistości dla każdej niezerowej liczby p zachodzi nierówność p 2 >0, co implikuje, że dla p≠0 równość p 2 =0 nigdy nie jest osiągana.

Tak więc niekompletne równanie kwadratowe a x 2 \u003d 0 ma pojedynczy pierwiastek x \u003d 0.

Jako przykład podajemy rozwiązanie niepełnego równania kwadratowego -4·x 2 =0. Jest to równoważne równaniu x 2 \u003d 0, jego jedynym pierwiastkiem jest x \u003d 0, dlatego oryginalne równanie ma jeden pierwiastek zero.

Krótkie rozwiązanie w tym przypadku może być wydane w następujący sposób:
-4 x 2 \u003d 0,
x 2 \u003d 0,
x=0 .

a x 2 +c=0

Rozważmy teraz, jak rozwiązywane są niepełne równania kwadratowe, w których współczynnik b jest równy zero, a c≠0, czyli równania postaci a x 2 +c=0. Wiemy, że przeniesienie wyrazu z jednej strony równania na drugą o przeciwnym znaku, a także podział obu stron równania przez liczbę niezerową daje równoważne równanie. W związku z tym można przeprowadzić następujące równoważne przekształcenia niepełnego równania kwadratowego a x 2 +c=0:

przesuń c na prawą stronę, co daje równanie a x 2 =−c,
i dzielimy obie jego części przez a , otrzymujemy .

Otrzymane równanie pozwala nam wyciągnąć wnioski na temat jego korzeni. W zależności od wartości a i c, wartość wyrażenia może być ujemna (na przykład, jeśli a=1 i c=2 , to ) lub dodatnia (na przykład, jeśli a=−2 i c=6 , to ) nie jest równe zero , ponieważ z warunku c≠0 . Osobno przeanalizujemy przypadki i .

Jeśli , to równanie nie ma pierwiastków. Stwierdzenie to wynika z faktu, że kwadrat dowolnej liczby jest liczbą nieujemną. Wynika z tego, że gdy , to dla dowolnej liczby p równość nie może być prawdziwa.

Jeśli , to sytuacja z pierwiastkami równania jest inna. W tym przypadku, jeśli sobie przypomnimy, pierwiastek równania natychmiast staje się oczywisty, jest to liczba, ponieważ. Łatwo się domyślić, że liczba jest również pierwiastkiem równania , rzeczywiście . Równanie to nie ma innych pierwiastków, co można wykazać np. przez sprzeczność. Zróbmy to.

Oznaczmy właśnie dźwięczne pierwiastki równania jako x 1 i −x 1 . Załóżmy, że równanie ma inny pierwiastek x 2 różny od wskazanych pierwiastków x 1 i −x 1 . Wiadomo, że podstawienie do równania zamiast x jego pierwiastków zamienia równanie w prawdziwą równość liczbową. Dla x 1 i −x 1 mamy , a dla x 2 mamy . Własności równości liczbowych pozwalają nam na odejmowanie wyraz po wyrazie prawdziwych równości liczbowych, więc odjęcie odpowiednich części równości daje x 1 2 − x 2 2 =0. Własności operacji na liczbach pozwalają nam przepisać wynikową równość jako (x 1 − x 2)·(x 1 + x 2)=0 . Wiemy, że iloczyn dwóch liczb jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy przynajmniej jedna z nich jest równa zeru. Zatem z otrzymanej równości wynika, że x 1 −x 2 =0 i/lub x 1 +x 2 =0 , czyli to samo, x 2 =x 1 i/lub x 2 = −x 1 . Doszliśmy więc do sprzeczności, ponieważ na początku powiedzieliśmy, że pierwiastek równania x 2 jest różny od x 1 i −x 1 . To dowodzi, że równanie nie ma innych pierwiastków niż i .

Podsumujmy informacje zawarte w tym akapicie. Niepełne równanie kwadratowe a x 2 +c=0 jest równoważne równaniu , które

nie ma korzeni, jeśli ,
ma dwa pierwiastki i jeśli .

Rozważ przykłady rozwiązywania niepełnych równań kwadratowych postaci a·x 2 +c=0 .

Zacznijmy od równania kwadratowego 9 x 2 +7=0 . Po przeniesieniu wyrazu wolnego na prawą stronę równania przyjmie on postać 9·x 2 =−7. Dzieląc obie strony otrzymanego równania przez 9 , otrzymujemy . Ponieważ po prawej stronie otrzymujemy liczbę ujemną, równanie to nie ma pierwiastków, dlatego oryginalne niepełne równanie kwadratowe 9 x 2 +7=0 nie ma pierwiastków.

Rozwiążmy jeszcze jedno niepełne równanie kwadratowe −x 2 +9=0. Przenosimy dziewięć na prawą stronę: -x 2 \u003d -9. Teraz dzielimy obie części przez −1, otrzymujemy x 2 =9. Prawa strona zawiera liczbę dodatnią, z której wnioskujemy, że lub . Po zapisaniu odpowiedzi końcowej: niepełne równanie kwadratowe −x 2 +9=0 ma dwa pierwiastki x=3 lub x=−3.

a x 2 +b x=0

Pozostaje zająć się rozwiązaniem ostatniego typu niepełnych równań kwadratowych dla c=0 . Niepełne równania kwadratowe postaci a x 2 +b x=0 pozwalają rozwiązać metoda faktoryzacji. Oczywiście możemy, znajdujący się po lewej stronie równania, dla którego wystarczy wziąć dzielnik wspólny x z nawiasów. To pozwala nam przejść od pierwotnego niepełnego równania kwadratowego do równoważnego równania postaci x·(a·x+b)=0 . A to równanie jest równoważne układowi dwóch równań x=0 i a x+b=0 , z których ostatnie jest liniowe i ma pierwiastek x=−b/a .

Zatem niepełne równanie kwadratowe a x 2 +b x=0 ma dwa pierwiastki x=0 i x=−b/a.

Aby skonsolidować materiał, przeanalizujemy rozwiązanie konkretnego przykładu.

Przykład.

Rozwiązać równanie.

Rozwiązanie.

Wyciągamy x z nawiasów, to daje równanie. Jest to równoważne dwóm równaniom x=0 i . Rozwiązujemy otrzymane równanie liniowe: i dzieląc liczbę mieszaną przez wspólny ułamek, znaleźliśmy . Dlatego pierwiastki pierwotnego równania to x=0 i .

Po zdobyciu niezbędnej praktyki rozwiązania takich równań można krótko pisać:

Odpowiedź:

x=0 , .

Wyróżnik, wzór pierwiastków równania kwadratowego

Aby rozwiązać równania kwadratowe, istnieje wzór na pierwiastek. Zapiszmy wzór pierwiastków równania kwadratowego: , gdzie D=b 2 −4 a c- tak zwane dyskryminator równania kwadratowego. Notacja zasadniczo oznacza, że .

Warto wiedzieć, w jaki sposób uzyskano wzór pierwiastka i jak go stosuje się do znajdowania pierwiastków równań kwadratowych. Zajmijmy się tym.

Wyprowadzenie wzoru pierwiastków równania kwadratowego

Rozwiążmy równanie kwadratowe a·x 2 +b·x+c=0 . Wykonajmy kilka równoważnych przekształceń:

Możemy podzielić obie części tego równania przez niezerową liczbę a, w wyniku czego otrzymujemy zredukowane równanie kwadratowe.
Ale już wybierz pełny kwadrat po lewej stronie: . Następnie równanie przyjmie postać .
Na tym etapie można przeprowadzić przeniesienie dwóch ostatnich terminów na prawą stronę z przeciwnym znakiem mamy .
Przekształćmy też wyrażenie po prawej stronie: .

W rezultacie otrzymujemy równanie , które jest równoważne pierwotnemu równaniu kwadratowemu a·x 2 +b·x+c=0 .

Rozwiązaliśmy już równania o podobnej formie w poprzednich akapitach, kiedy analizowaliśmy . Pozwala to na wyciągnięcie następujących wniosków dotyczących pierwiastków równania:

jeśli , to równanie nie ma rzeczywistych rozwiązań;
jeśli , to równanie ma postać , a więc , z którego widoczny jest jego jedyny pierwiastek;
if , then lub , czyli to samo co lub , czyli równanie ma dwa pierwiastki.

Tak więc obecność lub brak pierwiastków równania, a więc oryginalnego równania kwadratowego, zależy od znaku wyrażenia po prawej stronie. Z kolei znak tego wyrażenia jest określony przez znak licznika, ponieważ mianownik 4 a 2 jest zawsze dodatni, czyli znak wyrażenia b 2 -4 a c . To wyrażenie b 2 -4 a c nazywa się dyskryminator równania kwadratowego i oznaczone literą D. Stąd istota wyróżnika jest jasna - po jego wartości i znaku wnioskuje się, czy równanie kwadratowe ma pierwiastki rzeczywiste, a jeśli tak, to jaka jest ich liczba - jeden czy dwa.

Wracamy do równania , przepisujemy je używając notacji dyskryminatora: . I konkludujemy:

jeśli D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
jeśli D=0, to równanie to ma jeden pierwiastek;
w końcu, jeśli D>0, to równanie ma dwa pierwiastki lub , które można przepisać w postaci lub , a po rozwinięciu i skróceniu ułamków do wspólnego mianownika otrzymujemy .

Wyprowadziliśmy więc wzory na pierwiastki z równania kwadratowego, które wyglądają tak , gdzie dyskryminator D jest obliczany ze wzoru D=b 2 -4 a c .

Z ich pomocą, z dodatnim wyróżnikiem, możesz obliczyć oba rzeczywiste pierwiastki równania kwadratowego. Gdy dyskryminator jest równy zero, obie formuły dają tę samą wartość pierwiastka odpowiadającą jedynemu rozwiązaniu równania kwadratowego. A z ujemnym wyróżnikiem, gdy próbujemy użyć wzoru na pierwiastki równania kwadratowego, mamy do czynienia z wyciągnięciem pierwiastka kwadratowego z liczby ujemnej, co wyprowadza nas poza ramy szkolnego programu nauczania. W przypadku ujemnego wyróżnika równanie kwadratowe nie ma pierwiastków rzeczywistych, ale ma parę złożony koniugat korzenie, które można znaleźć za pomocą tych samych formuł, które otrzymaliśmy.

Algorytm rozwiązywania równań kwadratowych za pomocą wzorów pierwiastkowych

W praktyce, rozwiązując równanie kwadratowe, można od razu użyć wzoru pierwiastka, za pomocą którego oblicza się ich wartości. Ale chodzi bardziej o znalezienie złożonych korzeni.

Jednak w kurs szkolny w algebrze zwykle nie chodzi o złożoność, ale o rzeczywiste pierwiastki równania kwadratowego. W takim przypadku wskazane jest, aby najpierw znaleźć dyskryminator przed użyciem wzorów na pierwiastki równania kwadratowego, upewnić się, że jest nieujemny (w przeciwnym razie możemy wywnioskować, że równanie nie ma prawdziwych pierwiastków), a następnie obliczyć wartości korzeni.

Powyższe rozumowanie pozwala nam pisać algorytm rozwiązywania równania kwadratowego. Aby rozwiązać równanie kwadratowe a x 2 + b x + c \u003d 0, potrzebujesz:

korzystając ze wzoru dyskryminacyjnego D=b 2 -4 a c oblicz jego wartość;
wywnioskować, że równanie kwadratowe nie ma prawdziwych pierwiastków, jeśli dyskryminator jest ujemny;
obliczyć jedyny pierwiastek równania, korzystając ze wzoru, jeśli D=0 ;
znajdź dwa rzeczywiste pierwiastki równania kwadratowego, używając wzoru na pierwiastek, jeśli dyskryminator jest dodatni.

Tutaj tylko zauważamy, że jeśli dyskryminator jest równy zero, wzór może być również użyty, da taką samą wartość jak .

Możesz przejść do przykładów zastosowania algorytmu rozwiązywania równań kwadratowych.

Przykłady rozwiązywania równań kwadratowych

Rozważ rozwiązania trzech równań kwadratowych z dyskryminacją dodatnią, ujemną i zerową. Zajmując się ich rozwiązaniem, przez analogię będzie można rozwiązać dowolne inne równanie kwadratowe. Zaczynajmy.

Przykład.

Znajdź pierwiastki z równania x 2 +2 x−6=0 .

Rozwiązanie.

W tym przypadku mamy następujące współczynniki równania kwadratowego: a=1 , b=2 i c=−6 . Zgodnie z algorytmem najpierw musisz obliczyć dyskryminator, w tym celu podstawiamy wskazane a, b i c do wzoru na dyskryminację, mamy D=b 2 −4 a c=2 2 −4 1 (−6)=4+24=28. Ponieważ 28>0, czyli dyskryminator jest większy od zera, równanie kwadratowe ma dwa pierwiastki rzeczywiste. Znajdźmy je ze wzoru na pierwiastki , otrzymujemy , tutaj możemy uprościć wyrażenia otrzymane przez wykonanie wyodrębnianie znaku korzenia następnie redukcja frakcji:

Odpowiedź:

Przejdźmy do kolejnego typowego przykładu.

Przykład.

Rozwiąż równanie kwadratowe -4 x 2 +28 x−49=0 .

Rozwiązanie.

Zaczynamy od znalezienia wyróżnika: D=28 2 −4 (−4) (−49)=784−784=0. Dlatego to równanie kwadratowe ma jeden pierwiastek, który znajdujemy jako , czyli

Odpowiedź:

x=3,5.

Pozostaje do rozważenia rozwiązanie równań kwadratowych z ujemnym dyskryminatorem.

Przykład.

Rozwiąż równanie 5 y 2 +6 y+2=0 .

Rozwiązanie.

Oto współczynniki równania kwadratowego: a=5 , b=6 ic=2 . Podstawiając te wartości do formuły dyskryminacyjnej, mamy D=b 2 −4 a c=6 2 −4 5 2=36−40=−4. Dyskryminator jest ujemny, dlatego to równanie kwadratowe nie ma prawdziwych pierwiastków.

Jeśli musisz określić złożone pierwiastki, używamy dobrze znanego wzoru na pierwiastki równania kwadratowego i wykonujemy operacje na liczbach zespolonych:

Odpowiedź:

nie ma prawdziwych korzeni, złożone korzenie to: .

Po raz kolejny zauważamy, że jeśli wyróżnik równania kwadratowego jest ujemny, to szkoła zwykle od razu zapisuje odpowiedź, w której wskazują, że nie ma prawdziwych pierwiastków i nie znajdują złożonych pierwiastków.

Wzór pierwiastka dla parzystych drugich współczynników

Wzór na pierwiastki równania kwadratowego , gdzie D=b 2 -4 ac pozwala na uzyskanie bardziej zwartego wzoru, który pozwala rozwiązywać równania kwadratowe z parzystym współczynnikiem przy x (lub po prostu ze współczynnikiem wyglądającym jak 2 n na przykład, lub 14 ln5=2 7 ln5). Zabierzmy ją.

Powiedzmy, że musimy rozwiązać równanie kwadratowe postaci a x 2 +2 n x + c=0 . Znajdźmy jego korzenie, korzystając ze znanej nam formuły. Aby to zrobić, obliczamy wyróżnik D=(2 n) 2 −4 a c=4 n 2 −4 a c=4 (n 2 −a c), a następnie używamy formuły root:

Oznaczmy wyrażenie n 2 − a c jako D 1 (czasami oznacza się je jako D "). Wtedy wzór na pierwiastki rozważanego równania kwadratowego z drugim współczynnikiem 2 n przyjmuje postać , gdzie D 1 =n 2 −a c .

Łatwo zauważyć, że D=4·D 1 , lub D 1 =D/4 . Innymi słowy, D 1 jest czwartą częścią dyskryminatora. Jasne jest, że znak D 1 jest taki sam jak znak D . Oznacza to, że znak D 1 jest również wskaźnikiem obecności lub braku pierwiastków równania kwadratowego.

Tak więc, aby rozwiązać równanie kwadratowe z drugim współczynnikiem 2 n, potrzebujesz

Oblicz D 1 =n 2 −a·c ;
Jeśli D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
Jeśli D 1 = 0, oblicz jedyny pierwiastek równania, korzystając ze wzoru;
Jeśli D 1 > 0, to za pomocą wzoru znajdź dwa pierwiastki rzeczywiste.

Rozważ rozwiązanie przykładu za pomocą wzoru na pierwiastek otrzymanego w tym akapicie.

Przykład.

Rozwiąż równanie kwadratowe 5 x 2 -6 x−32=0 .

Rozwiązanie.

Drugi współczynnik tego równania można przedstawić jako 2·(−3) . To znaczy, możesz przepisać oryginalne równanie kwadratowe w postaci 5 x 2 +2 (−3) x−32=0 , tutaj a=5 , n=−3 i c=−32 , i obliczyć czwartą część wyróżnik: D 1 =n 2 −a c=(−3) 2 −5 (−32)=9+160=169. Ponieważ jego wartość jest dodatnia, równanie ma dwa pierwiastki rzeczywiste. Znajdujemy je za pomocą odpowiedniego wzoru na pierwiastek:

Zauważ, że można było użyć zwykłego wzoru dla pierwiastków równania kwadratowego, ale w tym przypadku trzeba by wykonać więcej pracy obliczeniowej.

Odpowiedź:

Uproszczenie postaci równań kwadratowych

Czasami przed przystąpieniem do obliczania pierwiastków równania kwadratowego za pomocą formuł nie zaszkodzi zadać pytanie: „Czy można uprościć formę tego równania”? Zgadzam się, że pod względem obliczeń łatwiej będzie rozwiązać równanie kwadratowe 11 x 2 -4 x -6=0 niż 1100 x 2 -400 x−600=0 .

Zwykle uproszczenie postaci równania kwadratowego uzyskuje się przez pomnożenie lub podzielenie obu jego stron przez pewną liczbę. Na przykład w poprzednim akapicie udało nam się uprościć równanie 1100 x 2 -400 x -600=0 dzieląc obie strony przez 100 .

Podobną transformację przeprowadza się za pomocą równań kwadratowych, których współczynniki nie są . W takim przypadku obie części równania są zwykle dzielone przez bezwzględne wartości jego współczynników. Na przykład weźmy równanie kwadratowe 12 x 2 −42 x+48=0. wartości bezwzględne jego współczynników: gcd(12, 42, 48)= gcd(gcd(12, 42), 48)= gcd(6, 48)=6 . Dzieląc obie części pierwotnego równania kwadratowego przez 6 , otrzymujemy równoważne równanie kwadratowe 2 x 2 -7 x+8=0 .

A mnożenie obu części równania kwadratowego jest zwykle wykonywane, aby pozbyć się współczynników ułamkowych. W tym przypadku mnożenie odbywa się na mianownikach jego współczynników. Na przykład, jeśli obie części równania kwadratowego są pomnożone przez LCM(6, 3, 1)=6 , to przyjmie prostszą postać x 2 +4 x−18=0 .

Podsumowując ten akapit, zauważamy, że prawie zawsze pozbywamy się minusa przy najwyższym współczynniku równania kwadratowego, zmieniając znaki wszystkich wyrazów, co odpowiada pomnożeniu (lub podzieleniu) obu części przez -1. Na przykład zwykle z równania kwadratowego −2·x 2 −3·x+7=0 przechodzimy do rozwiązania 2·x 2 +3·x−7=0 .

Związek między pierwiastkami a współczynnikami równania kwadratowego

Wzór na pierwiastki równania kwadratowego wyraża pierwiastki równania w postaci jego współczynników. Na podstawie wzoru pierwiastków można uzyskać inne relacje między pierwiastkami a współczynnikami.

Najbardziej znane i mające zastosowanie formuły z twierdzenia Vieta o postaci i . W szczególności dla danego równania kwadratowego suma pierwiastków jest równa drugiemu współczynnikowi o przeciwnym znaku, a iloczyn pierwiastków jest wyrazem swobodnym. Na przykład za pomocą postaci równania kwadratowego 3 x 2 -7 x+22=0 można od razu powiedzieć, że suma jego pierwiastków wynosi 7/3, a iloczyn pierwiastków to 22/3.

Korzystając z już napisanych formuł, można uzyskać szereg innych relacji między pierwiastkami i współczynnikami równania kwadratowego. Na przykład możesz wyrazić sumę kwadratów pierwiastków równania kwadratowego w postaci jego współczynników: .

Bibliografia.

Algebra: podręcznik na 8 ogniw. ogólne wykształcenie instytucje / [Ju. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; wyd. S. A. Teliakowski. - 16 wyd. - M. : Edukacja, 2008. - 271 s. : chory. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Mordkovich AG Algebra. 8 klasa. 14.00 Część 1. Podręcznik ucznia instytucje edukacyjne/ A.G. Mordkovich. - 11. ed., skasowane. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 s.: ch. ISBN 978-5-346-01155-2.

Równanie kwadratowe - łatwe do rozwiązania! *Dalej w tekście „KU”. Przyjaciele, wydawałoby się, że w matematyce może to być łatwiejsze niż rozwiązanie takiego równania. Ale coś mi mówiło, że wiele osób ma z nim problemy. Postanowiłem sprawdzić, ile wyświetleń Yandex daje na żądanie miesięcznie. Oto co się stało, spójrz:

Co to znaczy? Oznacza to, że około 70 000 osób miesięcznie szuka tych informacji, a to jest lato, a co będzie się działo w ciągu roku szkolnego - będzie dwa razy więcej próśb. Nie jest to zaskakujące, ponieważ ci chłopcy i dziewczęta, którzy dawno ukończyli szkołę i przygotowują się do egzaminu, szukają tych informacji, a dzieci w wieku szkolnym również starają się odświeżyć swoją pamięć.

Pomimo tego, że istnieje wiele stron, które podpowiadają, jak rozwiązać to równanie, postanowiłem również przyczynić się i opublikować materiał. Po pierwsze, chcę, aby odwiedzający przyszli do mojej witryny na tę prośbę; po drugie, w innych artykułach, gdy pojawi się przemówienie „KU”, podam link do tego artykułu; po trzecie, opowiem ci trochę więcej o jego rozwiązaniu, niż zwykle podaje się na innych stronach. Zacznijmy! Treść artykułu:

Równanie kwadratowe to równanie postaci:

gdzie współczynniki a,biz dowolnymi liczbami, z a≠0.

W kursie szkolnym materiał podawany jest w: następujący formularz– warunkowo równania podzielone są na trzy klasy:

1. Miej dwa korzenie.

2. * Mieć tylko jeden korzeń.

3. Nie mają korzeni. Warto tutaj zaznaczyć, że nie mają one prawdziwych korzeni

Jak obliczane są pierwiastki? Właśnie!

Obliczamy wyróżnik. Pod tym „strasznym” słowem kryje się bardzo prosta formuła:

Wzory pierwiastków są następujące:

*Te wzory muszą być znane na pamięć.

Możesz od razu spisać i zdecydować:

Przykład:

1. Jeśli D > 0, to równanie ma dwa pierwiastki.

2. Jeśli D = 0, to równanie ma jeden pierwiastek.

3. Jeśli D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Spójrzmy na równanie:

W tym przypadku, gdy dyskryminator wynosi zero, kurs szkolny mówi, że otrzymuje się jeden pierwiastek, tutaj jest równy dziewięciu. Zgadza się, jest, ale...

Ta reprezentacja jest nieco niepoprawna. W rzeczywistości istnieją dwa korzenie. Tak, tak, nie zdziw się, okazuje się, że dwa równe pierwiastki i aby być matematycznie dokładnym, to w odpowiedzi należy wpisać dwa pierwiastki:

x 1 = 3 x 2 = 3

Ale tak jest - mała dygresja. W szkole możesz zapisać i powiedzieć, że jest tylko jeden korzeń.

Teraz następujący przykład:

Jak wiemy, pierwiastek liczby ujemnej nie jest wyodrębniany, więc w tym przypadku nie ma rozwiązania.

To cały proces decyzyjny.

Funkcja kwadratowa.

Oto jak rozwiązanie wygląda geometrycznie. Jest to niezwykle ważne, aby zrozumieć (w przyszłości w jednym z artykułów szczegółowo przeanalizujemy rozwiązanie nierówności kwadratowej).

Jest to funkcja formularza:

gdzie x i y są zmiennymi

a, b, c to liczby, gdzie a ≠ 0

Wykres jest parabolą:

Oznacza to, że okazuje się, że rozwiązując równanie kwadratowe z „y” równym zero, znajdujemy punkty przecięcia paraboli z osią x. Punktami tymi mogą być dwa (dyskryminator jest dodatni), jeden (dyskryminator jest równy zero) lub żaden (dyskryminator jest ujemny). Szczegóły na temat funkcja kwadratowa Możesz zobaczyć artykuł Inny Feldman.

Rozważ przykłady:

Przykład 1: Zdecyduj 2x 2 +8 x–192=0

a=2 b=8 c= -192

D = b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(-192) = 64+1536 = 1600

Odpowiedź: x 1 = 8 x 2 = -12

* Możesz od razu podzielić lewą i prawą stronę równania przez 2, czyli uprościć je. Obliczenia będą łatwiejsze.

Przykład 2: Decydować się x2–22 x+121 = 0

a=1 b=-22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

Mamy to x 1 \u003d 11 i x 2 \u003d 11

W odpowiedzi można napisać x = 11.

Odpowiedź: x = 11

Przykład 3: Decydować się x 2 –8x+72 = 0

a=1 b= -8 c=72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

Dyskryminator jest ujemny, nie ma rozwiązania w liczbach rzeczywistych.

Odpowiedź: brak rozwiązania

Wyróżnik jest negatywny. Jest rozwiązanie!

Tutaj porozmawiamy o rozwiązaniu równania w przypadku uzyskania negatywnego dyskryminatora. Czy wiesz coś o liczbach zespolonych? Nie będę tu wchodzić w szczegóły, dlaczego i gdzie powstały oraz jaka jest ich konkretna rola i konieczność w matematyce, to temat na osobny, obszerny artykuł.

Pojęcie liczby zespolonej.

Trochę teorii.

Liczba zespolona z jest liczbą postaci

z = a + bi

gdzie a i b są liczbami rzeczywistymi, i jest tak zwaną jednostką urojoną.

a+bi to JEDEN NUMER, a nie dodatek.

Jednostka urojona jest równa pierwiastkowi minus jeden:

Rozważmy teraz równanie:

Zdobądź dwa sprzężone korzenie.

Niepełne równanie kwadratowe.

Rozważ specjalne przypadki, to znaczy, gdy współczynnik „b” lub „c” jest równy zero (lub oba są równe zeru). Są łatwo rozwiązywane bez żadnych rozróżnień.

Przypadek 1. Współczynnik b = 0.

Równanie przyjmuje postać:

Przekształćmy:

Przykład:

4x 2 -16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = -2

Przypadek 2. Współczynnik c = 0.

Równanie przyjmuje postać:

Przekształć, faktoryzuj:

*Iloczyn jest równy zero, gdy przynajmniej jeden z czynników jest równy zero.

Przykład:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 lub x–5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

Przypadek 3. Współczynniki b = 0 i c = 0.

Tutaj jest jasne, że rozwiązaniem równania będzie zawsze x = 0.

Przydatne właściwości i wzory współczynników.

Istnieją właściwości umożliwiające rozwiązywanie równań o dużych współczynnikach.

ax 2 + bx+ C=0 równość

a + b+ c = 0, następnie

— jeśli dla współczynników równania ax 2 + bx+ C=0 równość

a+ z =b, następnie

Te właściwości pomagają rozwiązać pewien rodzaj równania.

Przykład 1: 5001 x 2 –4995 x – 6=0

Suma współczynników wynosi 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, więc

Przykład 2: 2501 x 2 +2507 x+6=0

Równość a+ z =b, znaczy

Regularności współczynników.

1. Jeśli w równaniu ax 2 + bx + c \u003d 0 współczynnik „b” wynosi (a 2 + 1), a współczynnik „c” jest liczbowo równy współczynnikowi „a”, to jego pierwiastki są

topór 2 + (a 2 +1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d -a x 2 \u003d -1 / a.

Przykład. Rozważ równanie 6x 2 +37x+6 = 0.

x 1 \u003d -6 x 2 \u003d -1/6.

2. Jeśli w równaniu ax 2 - bx + c \u003d 0, współczynnik „b” wynosi (a 2 + 1), a współczynnik „c” jest liczbowo równy współczynnikowi „a”, to jego pierwiastki są

topór 2 - (a 2 + 1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d 1 / a.

Przykład. Rozważ równanie 15x 2 –226x +15 = 0.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. Jeśli w równaniu ax 2 + bx - c = 0 współczynnik "b" równa się (a 2 – 1) oraz współczynnik „c” liczbowo równy współczynnikowi „a”, wtedy jego korzenie są równe

topór 2 + (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d - a x 2 \u003d 1 / a.

Przykład. Rozważ równanie 17x 2 + 288x - 17 = 0.

x 1 \u003d - 17 x 2 \u003d 1/17.

4. Jeżeli w równaniu ax 2 - bx - c \u003d 0, współczynnik „b” jest równy (a 2 - 1), a współczynnik c jest liczbowo równy współczynnikowi „a”, to jego pierwiastki są

topór 2 - (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d - 1 / a.

Przykład. Rozważ równanie 10x2 - 99x -10 = 0.

x 1 \u003d 10 x 2 \u003d - 1/10

Twierdzenie Viety.

Twierdzenie Viety nosi imię słynnego francuskiego matematyka Francois Vieta. Korzystając z twierdzenia Vieta, można wyrazić sumę i iloczyn pierwiastków dowolnego KU w kategoriach jego współczynników.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

W sumie liczba 14 daje tylko 5 i 9. To są pierwiastki. Z pewną umiejętnością, korzystając z przedstawionego twierdzenia, można od razu ustnie rozwiązać wiele równań kwadratowych.

Co więcej, twierdzenie Viety. wygodne, ponieważ po rozwiązaniu równania kwadratowego w zwykły sposób(poprzez dyskryminację) uzyskane korzenie można sprawdzić. Polecam robić to cały czas.

METODA TRANSFERU

Dzięki tej metodzie współczynnik „a” jest mnożony przez człon swobodny, jakby „przeniesiony” do niego, dlatego nazywa się go metoda transferu. Ta metoda jest używana, gdy łatwo jest znaleźć pierwiastki równania za pomocą twierdzenia Viety i, co najważniejsze, gdy dyskryminator jest dokładnym kwadratem.

Jeśli a± b+c≠ 0, wtedy stosuje się technikę transferową, na przykład:

2x 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => x 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

Zgodnie z twierdzeniem Vieta w równaniu (2) łatwo jest ustalić, że x 1 \u003d 10 x 2 \u003d 1

Otrzymane pierwiastki równania należy podzielić przez 2 (ponieważ oba zostały „wyrzucone” z x 2), otrzymujemy

x 1 \u003d 5 x 2 \u003d 0,5.

Jakie jest uzasadnienie? Zobacz, co się dzieje.

Wyróżnikami równań (1) i (2) są:

Jeśli spojrzysz na pierwiastki równań, otrzymuje się tylko różne mianowniki, a wynik zależy dokładnie od współczynnika przy x 2:

Drugie (zmodyfikowane) korzenie są 2 razy większe.

Dlatego dzielimy wynik przez 2.

*Jeśli wyrzucimy trójkę, wynik dzielimy przez 3 i tak dalej.

Odpowiedź: x 1 = 5 x 2 = 0,5

mkw. ur-ie i egzamin.

Pokrótce powiem o jego znaczeniu - MUSISZ UMIEĆ DECYZOWAĆ szybko i bez zastanowienia, musisz znać formuły korzeni i rozróżniacza na pamięć. Wiele zadań wchodzących w skład zadań USE sprowadza się do rozwiązania równania kwadratowego (w tym geometrycznego).

Na co warto zwrócić uwagę!

1. Forma równania może być „ukryta”. Na przykład możliwy jest następujący wpis:

15+ 9x 2 - 45x = 0 lub 15x+42+9x 2 - 45x=0 lub 15 -5x+10x 2 = 0.

Musisz go doprowadzić do forma standardowa(aby nie pomylić się przy podejmowaniu decyzji).

2. Pamiętaj, że x jest wartością nieznaną i można ją oznaczać dowolną inną literą - t, q, p, h i innymi.

Wiejska szkoła średnia Kopyevskaya

10 sposobów rozwiązywania równań kwadratowych

Kierownik: Patrikeeva Galina Anatolyevna,

nauczyciel matematyki

s. Kopiewo, 2007

1. Historia rozwoju równań kwadratowych

1.1 Równania kwadratowe w starożytnym Babilonie

1.2 Jak Diophantus skompilował i rozwiązał równania kwadratowe

1.3 Równania kwadratowe w Indiach

1.4 Równania kwadratowe w al-Khwarizmi

1.5 Równania kwadratowe w Europie XIII - XVII wiek

1.6 O twierdzeniu Viety

2. Metody rozwiązywania równań kwadratowych

Wniosek

Literatura

1. Historia rozwoju równań kwadratowych

1.1 Równania kwadratowe w starożytnym Babilonie

Konieczność rozwiązywania równań nie tylko pierwszego, ale i drugiego stopnia była w starożytności spowodowana koniecznością rozwiązywania problemów związanych ze znajdowaniem obszarów działki oraz z robotami ziemnymi o charakterze wojskowym, a także z rozwojem samej astronomii i matematyki. Równania kwadratowe były w stanie rozwiązać około 2000 r. p.n.e. mi. Babilończycy.

Stosując nowoczesne notacja algebraiczna, możemy powiedzieć, że w ich tekstach klinowych występują, oprócz niepełnych, np. zupełne równania kwadratowe:

x 2 + x = ¾; x 2 - x = 14,5

Reguła rozwiązywania tych równań, podana w tekstach babilońskich, zasadniczo pokrywa się z regułą współczesną, ale nie wiadomo, w jaki sposób Babilończycy doszli do tej reguły. Niemal wszystkie dotychczas odnalezione teksty klinowe podają jedynie problemy z rozwiązaniami podanymi w formie przepisów, bez wskazania sposobu ich odnalezienia.

Pomimo wysoki poziom rozwój algebry w Babilonie, pojęcie liczby ujemnej i ogólne metody rozwiązywania równań kwadratowych są nieobecne w tekstach klinowych.

1.2 Jak Diophantus skompilował i rozwiązał równania kwadratowe.

Arytmetyka Diofanta nie zawiera systematycznego wykładu algebry, ale zawiera systematyczny szereg problemów, którym towarzyszą wyjaśnienia i rozwiązywane są przez formułowanie równań różnego stopnia.

Podczas kompilacji równań Diophantus umiejętnie wybiera niewiadome, aby uprościć rozwiązanie.

Oto na przykład jedno z jego zadań.

Zadanie 11.„Znajdź dwie liczby, wiedząc, że ich suma wynosi 20, a ich iloczyn 96”

Diophantus argumentuje następująco: z warunku problemu wynika, że pożądane liczby nie są równe, ponieważ gdyby były równe, to ich iloczyn byłby równy nie 96, ale 100. Zatem jedna z nich będzie większa niż połowę ich sumy, czyli . 10+x, drugi jest mniejszy, tj. 10's. Różnica między nimi 2x .

Stąd równanie:

(10 + x)(10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

Stąd x = 2. Jedna z pożądanych liczb to 12 , inny 8 . Rozwiązanie x = -2 bo Diofant nie istnieje, ponieważ matematyka grecka znała tylko liczby dodatnie.

Jeśli rozwiążemy ten problem, wybierając jedną z pożądanych liczb jako niewiadomą, dojdziemy do rozwiązania równania

r(20 - r) = 96,

r 2 - 20 lat + 96 = 0. (2)

Jasne jest, że Diophantus upraszcza rozwiązanie, wybierając połowę różnicy pożądanych liczb jako niewiadomą; udaje mu się zredukować problem do rozwiązania niepełnego równania kwadratowego (1).

1.3 Równania kwadratowe w Indiach

Problemy z równaniami kwadratowymi zostały już znalezione w traktacie astronomicznym „Aryabhattam”, opracowanym w 499 r. przez indyjskiego matematyka i astronoma Aryabhattę. Inny indyjski uczony, Brahmagupta (VII w.), wyjaśnił główna zasada rozwiązania równań kwadratowych sprowadzonych do jednej postaci kanonicznej:

ach 2+ b x = c, a > 0. (1)

W równaniu (1) współczynniki, z wyjątkiem a, może być również ujemna. Rządy Brahmagupty zasadniczo pokrywają się z naszymi.

W starożytnych Indiach powszechne były publiczne konkursy w rozwiązywaniu trudnych problemów. W jednej ze starych indyjskich książek o takich konkursach mówi się: „Jak słońce swoim blaskiem przyćmiewa gwiazdy, tak naukowiec przyćmić chwałę drugiego na publicznych spotkaniach, proponując i rozwiązując problemy algebraiczne. Zadania często ubierano w poetycką formę.

Oto jeden z problemów słynnego matematyka indyjskiego z XII wieku. Bhaskara.

Zadanie 13.

„Rozbrykane stado małp I dwanaście w winorośli…

Po zjedzeniu mocy, dobrze się bawiłem. Zaczęli skakać, wisząc ...

Część ósma z nich na kwadracie Ile tam było małp,

Zabawa na łące. Mówisz mi, w tym stadzie?

Rozwiązanie Bhaskary wskazuje, że wiedział on o dwuwartościowości pierwiastków równań kwadratowych (ryc. 3).

Równanie odpowiadające zadaniu 13 to:

( x /8) 2 + 12 = x

Bhaskara pisze pod przykrywką:

x 2 - 64x = -768

i aby uzupełnić lewą stronę tego równania do kwadratu, dodaje do obu stron 32 2 , otrzymując następnie:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48.

1.4 Równania kwadratowe w al-Khorezmi

Traktat algebraiczny Al-Khorezmiego podaje klasyfikację równań liniowych i kwadratowych. Autor wymienia 6 typów równań, wyrażając je następująco:

1) „Kwadraty są równe pierwiastkom”, tj. topór 2 + c = b X.

2) „Kwadraty są równe liczbie”, tj. topór 2 = s.

3) „Korzenie są równe liczbie”, tj. ah = s.

4) „Kwadraty i liczby są równe pierwiastkom”, tj. topór 2 + c = b X.

5) „Kwadraty i pierwiastki są równe liczbie”, tj. ach 2+ bx = s.

6) „Pierwiastki i liczby są równe kwadratom”, tj. bx + c \u003d topór 2.

Dla al-Khwarizmi, który unikał używania liczb ujemnych, warunki każdego z tych równań są dodatkami, a nie odejmowaniem. W tym przypadku równania, które nie mają pozytywnych rozwiązań, oczywiście nie są brane pod uwagę. Autor nakreśla metody rozwiązywania tych równań, wykorzystując metody al-dżabra i al-muqabala. Jego decyzje oczywiście nie pokrywają się całkowicie z naszymi. Nie mówiąc już o tym, że jest to czysto retoryczne, należy zauważyć np., że przy rozwiązywaniu niepełnego równania kwadratowego pierwszego typu

al-Khorezmi, jak wszyscy matematycy przed XVII wiekiem, nie bierze pod uwagę rozwiązania zerowego, prawdopodobnie dlatego, że nie ma to znaczenia w konkretnych problemach praktycznych. Rozwiązując kompletne równania kwadratowe, al-Khorezmi określa zasady rozwiązywania, a następnie dowodów geometrycznych, używając konkretnych przykładów liczbowych.

Zadanie 14.„Kwadrat i liczba 21 są równe 10 pierwiastkom. Znajdź korzeń" (zakładając pierwiastek z równania x 2 + 21 = 10x).

Autorskie rozwiązanie wygląda mniej więcej tak: podziel liczbę pierwiastków na pół, otrzymasz 5, pomnóż 5 przez siebie, odejmij 21 od iloczynu, pozostaje 4. Weź pierwiastek z 4, otrzymasz 2. Odejmij 2 od 5, ty zdobądź 3, będzie to pożądany korzeń. Lub dodaj 2 do 5, co da 7, to też jest korzeń.

Treatise al - Khorezmi jest pierwszą książką, która do nas dotarła, w której systematycznie przedstawia się klasyfikację równań kwadratowych i podaje wzory na ich rozwiązanie.

1.5 Równania kwadratowe w Europie XIII - XVII wieki

Wzory rozwiązywania równań kwadratowych na modelu al-Khorezmi w Europie zostały po raz pierwszy przedstawione w „Księdze Liczydła”, napisanej w 1202 r. przez włoskiego matematyka Leonardo Fibonacciego. To obszerne dzieło, które odzwierciedla wpływ matematyki, zarówno krajów islamu, jak i Starożytna Grecja, różni się zarówno kompletnością, jak i przejrzystością prezentacji. Autor samodzielnie opracował kilka nowych przykłady algebraiczne rozwiązywania problemów i jako pierwszy w Europie podszedł do wprowadzenia liczb ujemnych. Jego książka przyczyniła się do rozpowszechnienia wiedzy algebraicznej nie tylko we Włoszech, ale także w Niemczech, Francji i innych krajach europejskich. Wiele zadań z „Księgi liczydła” przeszło do prawie wszystkich europejskich podręczników XVI-XVII wieku. a częściowo XVIII.

Ogólna zasada rozwiązywania równań kwadratowych sprowadzonych do jednej postaci kanonicznej:

x 2+ bx = z,

dla wszystkich możliwych kombinacji znaków współczynników b , Z został sformułowany w Europie dopiero w 1544 r. przez M. Stiefela.

Vieta ma ogólne wyprowadzenie wzoru na rozwiązanie równania kwadratowego, ale Vieta rozpoznał tylko pierwiastki dodatnie. Włoscy matematycy Tartaglia, Cardano, Bombelli byli jednymi z pierwszych w XVI wieku. Weź pod uwagę, oprócz dodatnich i ujemnych korzeni. Dopiero w XVII wieku. Dzięki pracy Girarda, Kartezjusza, Newtona i innych sposób naukowców rozwiązywanie równań kwadratowych przybiera nowoczesną formę.

1.6 O twierdzeniu Viety

Twierdzenie wyrażające zależność między współczynnikami równania kwadratowego a jego pierwiastkami, noszące nazwę Vieta, zostało przez niego po raz pierwszy sformułowane w 1591 r. w następujący sposób: „Jeśli b + D pomnożone przez A - A 2 , równa się BD, następnie A równa się V i równe D ».

Aby zrozumieć Vieta, trzeba o tym pamiętać A, jak każda samogłoska, oznaczało dla niego nieznane (nasz x), samogłoski V, D- współczynniki dla nieznanego. W języku współczesnej algebry powyższe sformułowanie Viety oznacza: if

(+ b )x - x 2 = ab ,

x 2 - (+ b )x + a b = 0,

x 1 = a, x 2 = b .

Wyrażając związek między pierwiastkami a współczynnikami równań za pomocą ogólnych wzorów zapisanych za pomocą symboli, Viet ustalił jednolitość w metodach rozwiązywania równań. Jednak symbolika Viety jest wciąż daleka od nowoczesny wygląd. Nie rozpoznawał liczb ujemnych, dlatego przy rozwiązywaniu równań brał pod uwagę tylko przypadki, w których wszystkie pierwiastki są dodatnie.

2. Metody rozwiązywania równań kwadratowych

Równania kwadratowe są podstawą, na której opiera się majestatyczny gmach algebry. Znajdź równania kwadratowe szerokie zastosowanie przy rozwiązywaniu równań i nierówności trygonometrycznych, wykładniczych, logarytmicznych, irracjonalnych i transcendentalnych. Wszyscy wiemy, jak rozwiązywać równania kwadratowe od szkoły (klasa 8) do matury.