Trudne przypadki rozkładania wielomianów na czynniki. Jak rozłożyć równanie algebraiczne na czynniki?

Wiemy już, jak częściowo wykorzystać faktoryzację różnicy stopni - studiując temat "Różnica kwadratów" i "Różnica sześcianów" nauczyliśmy się przedstawiać różnicę wyrażeń jako iloczyn, który można przedstawić jako kwadraty lub jako kostki niektórych wyrażeń lub liczb.

Skrócone wzory mnożenia

Zgodnie ze skróconymi wzorami mnożenia:

różnicę kwadratów można przedstawić jako iloczyn różnicy dwóch liczb lub wyrażeń przez ich sumę

Różnicę między sześcianami można przedstawić jako iloczyn różnicy dwóch liczb przez niepełny kwadrat sumy

Przejście do różnicy wyrażeń do IV stopnia

Na podstawie wzoru na różnicę kwadratów spróbujmy rozłożyć na czynniki wyrażenie $ a ^ 4-b ^ 4 $

Pamiętajmy, jak potęga jest podnoszona do potęgi - do tego podstawa pozostaje taka sama, a wykładniki są mnożone, czyli $ ((a ^ n)) ^ m = a ^ (n * m) $

Wtedy możesz sobie wyobrazić:

$ a ^ 4 = (((a) ^ 2)) ^ 2 $

$ b ^ 4 = (((b) ^ 2)) ^ 2 $

Zatem nasze wyrażenie może być reprezentowane jako $ a ^ 4-b ^ 4 = (((a) ^ 2)) ^ 2 $ - $ (((b) ^ 2)) ^ 2 $

Teraz w pierwszym nawiasie ponownie otrzymaliśmy różnicę liczb, co oznacza, że możemy ponownie rozłożyć na czynniki jako iloczyn różnicy dwóch liczb lub wyrażeń przez ich sumę: $ a ^ 2-b ^ 2 = \ left (ab \ prawo) (a + b) $.

Teraz obliczamy iloczyn drugiego i trzeciego nawiasu, stosując zasadę iloczynu wielomianów - mnożymy każdy składnik pierwszego wielomianu przez każdy składnik drugiego wielomianu i dodajemy wynik. Aby to zrobić, najpierw mnoży się pierwszy wyraz pierwszego wielomianu - $ a $ - przez pierwszy i drugi wyraz drugiego (przez $ a ^ 2 $ i $ b ^ 2 $), tj. otrzymujemy $ a \ cdot a ^ 2 + a \ cdot b ^ 2 $, następnie drugi wyraz pierwszego wielomianu - $ b $ - mnożymy przez pierwszy i drugi wyraz drugiego wielomianu (przez $ a ^ 2 $ i $ b ^ 2 $), te. otrzymujemy $ b \ cdot a ^ 2 + b \ cdot b ^ 2 $ i składamy sumę wynikowych wyrażeń

$ \ left (a + b \ right) \ left (a ^ 2 + b ^ 2 \ right) = a \ cdot a ^ 2 + a \ cdot b ^ 2 + b \ cdot a ^ 2 + b \ cdot b ^ 2 = a ^ 3 + ab ^ 2 + a ^ 2b + b ^ 3 $

Zapiszmy różnicę jednomianów stopnia 4, biorąc pod uwagę wyliczony iloczyn:

$ a ^ 4-b ^ 4 = (((a) ^ 2)) ^ 2 $ - $ (((b) ^ 2)) ^ 2 = ((a) ^ 2-b ^ 2) (a ^ 2 + b ^ 2) $ = $ \ \ lewy (ab \ prawy) (a + b) (a ^ 2 + b ^ 2) \ $ =

Przejście do różnicy wyrażeń w 6. stopniu

Na podstawie wzoru na różnicę kwadratów spróbujemy rozłożyć na czynniki wyrażenie $ a ^ 6-b ^ 6 $

Przypomnij sobie, jak potęga jest podnoszona do potęgi - w tym celu podstawa pozostaje taka sama, a wykładniki są mnożone, czyli $ ((a ^ n)) ^ m = a ^ (n \ cdot m) $

Wtedy możesz sobie wyobrazić:

$ a ^ 6 = (((a) ^ 3)) ^ 2 $

b ^ 6 $ = (((b) ^ 3)) ^ 2 $

Zatem nasze wyrażenie można przedstawić jako $ a ^ 6-b ^ 6 = (((a) ^ 3)) ^ 2 - (((b) ^ 3)) ^ 2 $

W pierwszym nawiasie mamy różnicę sześcianów jednomianów, w drugim sumę sześcianów jednomianów, teraz możemy ponownie rozłożyć różnicę sześcianów jednomianów jako iloczyn różnicy dwóch liczb przez niepełny kwadrat sumy $ a ^ 3-b ^ 3 = \ lewy (ab \ prawy) ( a ^ 2 + ab + b ^ 2) $

Pierwotne wyrażenie przybiera formę

$ a ^ 6-b ^ 6 = ((a) ^ 3-b ^ 3) \ lewa (a ^ 3 + b ^ 3 \ prawa) = \ lewa (ab \ prawa) (a ^ 2 + ab + b ^ 2) (a ^ 3 + b ^ 3) $

Iloczyn drugiego i trzeciego nawiasu obliczamy stosując zasadę iloczynu wielomianów, - mnożymy każdy składnik pierwszego wielomianu przez każdy składnik drugiego wielomianu i dodajemy wynik.

$ (a ^ 2 + ab + b ^ 2) (a ^ 3 + b ^ 3) = a ^ 5 + a ^ 4b + a ^ 3b ^ 2 + a ^ 2b ^ 3 + ab ^ 4 + b ^ 5 $

Zapiszmy różnicę jednomianów 6 stopnia, biorąc pod uwagę wyliczony iloczyn:

$ a ^ 6-b ^ 6 = ((a) ^ 3-b ^ 3) \ lewa (a ^ 3 + b ^ 3 \ prawa) = \ lewa (ab \ prawa) (a ^ 2 + ab + b ^ 2) (a ^ 3 + b ^ 3) = (ab) (a ^ 5 + a ^ 4b + a ^ 3b ^ 2 + a ^ 2b ^ 3 + ab ^ 4 + b ^ 5) $

Faktoring różnic stopni

Przeanalizujmy wzory na różnicę sześcianów, różnicę 4 $ stopni, różnicę 6 $ stopni

Widzimy, że w każdym z tych rozszerzeń istnieje pewna analogia, uogólniająca, którą otrzymujemy:

Przykład 1

Współczynnik $ (32x) ^ (10) - (243y) ^ (15) $

Rozwiązanie: Najpierw reprezentujemy każdy jednomian jako jakiś jednomian piątego stopnia:

\ [(32x) ^ (10) = ((2x ^ 2)) ^ 5 \] \ [(243y) ^ (15) = ((3y ^ 3)) ^ 5 \]

Używamy wzoru na różnicę mocy

Obrazek 1.

Rozkład wielomianu na czynniki. Część 2

W tym artykule będziemy nadal rozmawiać o tym, jak wyliczyć wielomian. Już to powiedzieliśmy faktoryzacja to uniwersalna technika pomocna w rozwiązaniu złożone równania i nierówności. Pierwszą myślą, jaka powinna przyjść do głowy podczas rozwiązywania równań i nierówności, w których po prawej stronie jest zero, jest próba rozłożenia na czynniki lewej strony.

Wymieńmy główne metody rozkładania na czynniki wielomianu:

nawiasy wspólnego czynnika
za pomocą skróconych wzorów mnożenia
formuła faktoryzacji trójmian kwadratowy
metoda grupowania
dzielenie wielomianu przez dwumian
metoda niezdefiniowanych współczynników.

Omówiliśmy już szczegółowo. W tym artykule skupimy się na czwartej metodzie, metoda grupowania.

Jeśli liczba wyrazów w wielomianu przekracza trzy, staramy się zastosować metoda grupowania... Wygląda to następująco:

1.Terminy grupujemy w określony sposób, aby każda grupa mogła zostać w jakiś sposób rozłożona na czynniki. Kryterium prawidłowego pogrupowania terminów jest obecność tych samych czynników w każdej grupie.

2. Wyodrębnij te same czynniki.

Ponieważ ta metoda jest stosowana najczęściej, przeanalizujemy ją na przykładach.

Przykład 1.

Rozwiązanie. 1. Połączmy terminy w grupy:

2. Wyjmij wspólny czynnik z każdej grupy:

3. Wyjmijmy czynnik wspólny dla obu grup:

Przykład 2. Wyrażenie czynnika:

1. Pogrupujmy trzy ostatnie wyrazy i rozłóżmy je zgodnie ze wzorem kwadratu różnicy:

2. Rozłóżmy otrzymane wyrażenie na czynniki według wzoru na różnicę kwadratów:

Przykład 3. Rozwiązać równanie:

Po lewej stronie równania znajdują się cztery wyrazy. Spróbujmy rozłożyć lewą stronę na czynniki za pomocą grupowania.

1. Aby struktura lewej strony równania była bardziej przejrzysta, wprowadzamy zmianę zmiennej:,

Otrzymujemy równanie tej postaci:

2. Rozkładaj lewą stronę na czynniki, używając grupowania:

Uwaga! Aby nie pomylić się ze znakami, zalecam łączenie terminów w grupy „tak jak jest”, to znaczy bez zmiany znaków współczynników i następną czynność, jeśli to konieczne, umieszczenie „minusu” poza nawiasem .

3. Tak więc otrzymaliśmy równanie:

4. Wróćmy do pierwotnej zmiennej:

Podzielmy obie części na. Otrzymujemy:. Stąd

Odpowiedź: 0

Przykład 4. Rozwiązać równanie:

Aby struktura równania była bardziej „przejrzysta”, wprowadzamy zmianę zmiennej:

Otrzymujemy równanie:

Rozkład na czynniki lewą stronę równania. W tym celu grupujemy pierwszy i drugi wyraz i umieszczamy je poza nawiasem:

wysunąć z uchwytu:

Wróćmy do równania:

Stąd lub

Wróćmy do pierwotnej zmiennej:

Rozważ w konkretne przykłady jak rozłożyć wielomian na czynniki.

Rozkład wielomianów zostanie przeprowadzony zgodnie z.

Rozkład wielomianów na czynniki:

Sprawdź, czy istnieje wspólny czynnik. to jest równe 7 cd. Wyjmijmy to z nawiasów:

Wyrażenie w nawiasach składa się z dwóch terminów. Nie ma już wspólnego czynnika, wyrażenie nie jest wzorem na sumę sześcianów, co oznacza, że rozkład jest zakończony.

Sprawdź, czy istnieje wspólny czynnik. Nie. Wielomian składa się z trzech wyrazów, więc sprawdzamy, czy istnieje idealny wzór na kwadrat. Dwa wyrazy są kwadratami wyrażeń: 25x² = (5x) ², 9y² = (3y) ², trzeci wyraz jest równy dwukrotności iloczynu tych wyrażeń: 2 ∙ 5x ∙ 3y = 30xy. Stąd ten wielomian jest idealny kwadrat... Ponieważ podwojony produkt ma znak minus, to jest to -:

Sprawdzamy, czy możliwe jest usunięcie wspólnego czynnika z nawiasów. Jest wspólny czynnik, równy a. Wyjmijmy to z nawiasów:

W nawiasach znajdują się dwa terminy. Sprawdź, czy istnieje wzór na różnicę kwadratów lub różnicę między kostkami. a² - kwadrat a, 1 = 1². Oznacza to, że wyrażenie w nawiasach można zapisać za pomocą wzoru na różnicę kwadratów:

Jest wspólny czynnik, to 5. Wyciągamy z nawiasów:

w nawiasach trzy wyrazy. Sprawdź, czy wyrażenie nie jest idealnym kwadratem. Dwa wyrazy są kwadratami: 16 = 4² i a² jest kwadratem a, trzeci wyraz jest równy dwukrotności iloczynu 4 i a: 2 ∙ 4 ∙ a = 8a. Stąd jest to pełny kwadrat. Ponieważ wszystkie terminy są oznaczone znakiem „+”, wyrażenie w nawiasach jest pełnym kwadratem sumy:

Wyciągamy wspólny czynnik -2x poza nawiasy:

W nawiasie podano sumę dwóch terminów. Sprawdź, czy podane wyrażenie jest sumą sześcianów. 64 = 4³, x³- kostka x. Stąd dwumian można rozszerzyć za pomocą wzoru:

Jest wspólny czynnik. Ale ponieważ wielomian składa się z 4 wyrazów, najpierw, a dopiero potem, wyłączymy dzielnik wspólny. Pogrupujmy pierwszy termin z czwartym, w drugim - z trzecim:

Z pierwszego nawiasu wyjmujemy dzielnik wspólny 4a, z drugiego - 8b:

Nie ma jeszcze wspólnego czynnika. Aby to uzyskać, z drugiego nawiasu wyjmujemy „-” poza nawiasami, a każdy znak w nawiasie zmieni się na przeciwny:

Teraz wyjmujemy wspólny dzielnik (1-3a) poza nawiasami:

W drugim nawiasie znajduje się wspólny czynnik 4 (jest to ten sam czynnik, którego nie wyjęliśmy poza nawiasy na początku przykładu):

Ponieważ wielomian składa się z czterech członów, wykonujemy grupowanie. Pogrupujmy pierwszy termin z drugim, trzeci - z czwartym:

W pierwszych nawiasach nie ma wspólnego dzielnika, ale jest wzór na różnicę kwadratów, w drugich nawiasach jest wspólny czynnik -5:

Pojawił się wspólny czynnik (4m-3n). Wyciągamy to z nawiasów.

Rozkładanie wielomianów w celu uzyskania produktu czasami wydaje się mylące. Ale nie jest to takie trudne, jeśli zrozumiesz proces krok po kroku. Artykuł opisuje szczegółowo, jak rozkładać trójmian kwadratowy na czynniki.

Wiele osób nie rozumie, jak rozkładać trójmian kwadratowy na czynniki i dlaczego tak się dzieje. Na początku może się to wydawać bezużytecznym ćwiczeniem. Ale w matematyce nic się tak nie robi. Transformacja jest potrzebna, aby uprościć wyrażenie i ułatwić obliczenia.

Wielomian postaci - ax² + bx + c, zwany trójmianem kwadratowym. Termin „a” musi być ujemny lub dodatni. W praktyce wyrażenie to nazywa się równaniem kwadratowym. Dlatego czasami mówią inaczej: jak rozwinąć równanie kwadratowe.

Ciekawy! Wielomian kwadratowy nazywamy ze względu na swój największy stopień - kwadrat. Trójmian - ze względu na 3 wyrazy składowe.

Niektóre inne rodzaje wielomianów:

dwumian liniowy (6x + 8);
sześcienny czteroskładnikowy (x³ + 4x²-2x + 9).

Rozkładanie trójmianu kwadratowego na czynniki

Najpierw wyrażenie jest równe zero, następnie musisz znaleźć wartości pierwiastków x1 i x2. Może nie być korzeni, może być jeden lub dwa korzenie. O obecności korzeni decyduje wyróżnik. Musisz znać jego wzór na pamięć: D = b²-4ac.

Jeśli D jest ujemne, nie ma pierwiastków. Jeśli jest dodatni, istnieją dwa pierwiastki. Jeśli wynik to zero, pierwiastek to jeden. Korzenie są również obliczane za pomocą wzoru.

Jeśli dyskryminator wynosi zero, możesz użyć dowolnej formuły. W praktyce formuła jest po prostu skrócona: -b/2a.

Formuły dla różne znaczenia wyróżniki są różne.

Jeśli D jest dodatnie:

Jeśli D wynosi zero:

Kalkulatory online

Jest kalkulator online... Może być używany do wykonywania faktoryzacji. Niektóre zasoby dają możliwość przyjrzenia się rozwiązaniu krok po kroku. Takie usługi pomagają lepiej zrozumieć temat, ale trzeba spróbować dobrze go zrozumieć.

Pomocne wideo: Rozkładanie trójmianu kwadratowego na czynniki

Przykłady

Oferujemy do obejrzenia proste przykłady jak rozłożyć równanie kwadratowe na czynniki.

Przykład 1

Tutaj wyraźnie widać, że wynikiem będzie dwa x, ponieważ D jest dodatnie. Należy je również zastąpić w formule. Jeśli pierwiastki są ujemne, znak we wzorze jest odwrócony.

Znamy wzór na rozkład trójmianu kwadratowego: a (x-x1) (x-x2). Wartości umieszczamy w nawiasach: (x + 3) (x + 2/3). Przed terminem władzy nie ma liczby. Oznacza to, że jest jeden, jest odrzucany.

Przykład 2

Ten przykład ilustruje, jak rozwiązać równanie, które ma jeden pierwiastek.

Podstaw wynikową wartość:

Przykład 3

Biorąc pod uwagę: 5x² + 3x + 7

Najpierw obliczamy dyskryminator, tak jak w poprzednich przypadkach.

D = 9-4 * 5 * 7 = 9-140 = -131.

Wyróżnik jest ujemny, co oznacza, że nie ma korzeni.

Po otrzymaniu wyniku należy otworzyć nawiasy i sprawdzić wynik. Powinien pojawić się oryginalny trójmian.

Alternatywne rozwiązanie

Niektórzy ludzie nigdy nie byli w stanie zaprzyjaźnić się z dyskryminacją. Istnieje inny sposób na faktoryzację trójmianu kwadratowego. Dla wygody metodę przedstawiono na przykładzie.

Biorąc pod uwagę: x² + 3x-10

Wiemy, że powinny być 2 nawiasy: (_) (_). Gdy wyrażenie wygląda tak: x² + bx + c, na początku każdego nawiasu umieszczamy x: (x _) (x_). Pozostałe dwie liczby to iloczyn dający „c”, czyli w tym przypadku -10. Możesz dowiedzieć się, jakie są to liczby, tylko po metodzie selekcji. Wstawione liczby muszą być zgodne z pozostałym terminem.

Na przykład pomnożenie następujących liczb daje -10:

-1, 10;
-10, 1;
-5, 2;
-2, 5.

(x-1) (x + 10) = x2 + 10x-x-10 = x2 + 9x-10. Nie.
(x-10) (x + 1) = x2 + x-10x-10 = x2-9x-10. Nie.
(x-5) (x + 2) = x2 + 2x-5x-10 = x2-3x-10. Nie.
(x-2) (x + 5) = x2 + 5x-2x-10 = x2 + 3x-10. Pasuje.

Stąd przekształcenie wyrażenia x2 + 3x-10 wygląda tak: (x-2) (x + 5).

Ważny! Należy uważać, aby nie pomylić znaków.

Rozkład złożonego trójmianu

Jeśli „a” jest większe niż jeden, zaczynają się trudności. Ale nie wszystko jest takie trudne, jak się wydaje.

Aby przeprowadzić rozkład na czynniki, najpierw musisz sprawdzić, czy możliwe jest rozłożenie czegoś na czynniki.

Na przykład, biorąc pod uwagę wyrażenie: 3x² + 9x-30. Tutaj cyfra 3 jest umieszczona poza nawiasem:

3 (x² + 3x-10). Rezultatem jest znany już trójmian. Odpowiedź wygląda tak: 3 (x-2) (x + 5)

Jak rozłożyć, jeśli suma w kwadracie jest ujemna? W tym przypadku cyfra -1 jest umieszczona poza nawiasem. Na przykład: -x²-10x-8. Po tym wyrażenie będzie wyglądać tak:

Schemat niewiele różni się od poprzedniego. Jest tylko kilka nowych punktów. Powiedzmy, że dane wyrażenie: 2x² + 7x + 3. Odpowiedź jest również zapisana w 2 nawiasach, które należy wypełnić (_) (_). W drugim nawiasie jest napisane x, aw pierwszym to, co zostało. Wygląda to tak: (2x _) (x_). W przeciwnym razie poprzedni schemat jest powtarzany.

Liczbę 3 określają liczby:

-1, -3;
-3, -1;
3, 1;
1, 3.

Równania rozwiązujemy, podstawiając podane liczby. Ostatnia opcja jest odpowiednia. Stąd przekształcenie wyrażenia 2x² + 7x + 3 wygląda tak: (2x + 1) (x + 3).

Inne przypadki

Przekształcenie wyrażenia nie zawsze jest możliwe. W drugiej metodzie rozwiązanie równania nie jest wymagane. Ale możliwość zamiany terminów na produkt jest sprawdzana tylko przez dyskryminator.

Warto ćwiczyć, aby decydować równania kwadratowe aby podczas korzystania z formuł nie było żadnych trudności.

Przydatne wideo: rozkładanie trójmianu

Wniosek

Możesz go używać w dowolny sposób. Ale lepiej jest wypracować jedno i drugie z automatyzmem. Również nauka rozwiązywania równań kwadratowych i rozkładania na czynniki wielomianów jest niezbędna dla tych, którzy zamierzają połączyć swoje życie z matematyką. Wszystkie poniższe zagadnienia matematyczne są na tym zbudowane.

W tym artykule znajdziesz wszystkie niezbędne informacje, aby odpowiedzieć na pytanie, jak rozłożyć liczbę na czynniki pierwsze ... W pierwszej kolejności główny pomysł w sprawie rozkładu liczby na czynniki pierwsze podano przykłady rozkładów. Poniżej przedstawiono kanoniczną formę rozkładu liczby na czynniki pierwsze. Następnie podany jest algorytm rozłożenia dowolnych liczb na czynniki pierwsze oraz przykłady rozłożenia liczb za pomocą tego algorytmu. Rozważane również alternatywne sposoby które pozwalają szybko rozłożyć małe liczby całkowite na czynniki pierwsze przy użyciu kryteriów podzielności i tabliczki mnożenia.

Nawigacja po stronach.

Co to znaczy podzielić liczbę na czynniki pierwsze?

Najpierw zastanówmy się, jakie są czynniki pierwsze.

Jasne jest, że skoro słowo „czynniki” występuje w tym wyrażeniu, to istnieje iloczyn pewnych liczb, a słowo kwalifikujące „proste” oznacza, że każdy czynnik jest liczbą pierwszą. Na przykład w iloczynie postaci 2 · 7 · 7 · 23 występują cztery czynniki pierwsze: 2, 7, 7 i 23.

Co to znaczy podzielić liczbę na czynniki pierwsze?

To znaczy, że podany numer musi być reprezentowana jako iloczyn czynników pierwszych, a wartość tego iloczynu musi być równa oryginalnej liczbie. Jako przykład rozważmy iloczyn trzech liczb pierwszych 2, 3 i 5, jest on równy 30, więc faktoryzacja 30 na czynniki pierwsze wynosi 2 · 3 · 5. Zwykle rozkład liczby na czynniki pierwsze jest zapisany jako równość, w naszym przykładzie będzie to wyglądało tak: 30 = 2 · 3 · 5. Osobno podkreślamy, że czynniki pierwsze w ekspansji mogą się powtarzać. Obrazuje to wyraźnie następujący przykład: 144 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3. Ale reprezentacja postaci 45 = 3 · 15 nie jest rozkładem na czynniki pierwsze, ponieważ liczba 15 jest złożona.

Powstaje pytanie: „Jakie liczby w ogóle można rozłożyć na czynniki pierwsze”?

W poszukiwaniu odpowiedzi na to pytanie przedstawiamy następujące rozumowanie. Liczby pierwsze należą z definicji do tych większych od jedności. Biorąc pod uwagę ten fakt i można argumentować, że iloczyn kilku czynników pierwszych jest dodatnią liczbą całkowitą większą niż jeden. Dlatego rozkład na czynniki pierwsze ma miejsce tylko dla dodatnich liczb całkowitych większych niż 1.

Ale czy wszystkie liczby całkowite większe niż jeden czynnik dzielą się na czynniki pierwsze?

Jasne jest, że nie ma sposobu na rozłożenie liczb pierwszych na czynniki pierwsze. Dzieje się tak, ponieważ liczby pierwsze mają tylko dwa dodatnie dzielniki - jeden i same siebie, więc nie mogą być reprezentowane jako iloczyn dwóch lub jeszcze liczby pierwsze. Gdyby liczbę całkowitą z można było przedstawić jako iloczyn liczb pierwszych aib, to pojęcie podzielności pozwoliłoby nam stwierdzić, że z jest podzielne przez a i b, co jest niemożliwe ze względu na prostotę liczby z. Uważa się jednak, że każda liczba pierwsza sama w sobie jest jej rozwinięciem.

A co z liczbami złożonymi? Czy liczby złożone rozkładają się na czynniki pierwsze i czy wszystkie liczby złożone podlegają takiemu rozkładowi? Na wiele z tych pytań odpowiada twierdząco główne twierdzenie arytmetyki. Główne twierdzenie arytmetyki mówi, że każdą liczbę całkowitą a większą niż 1 można rozłożyć na iloczyn czynników pierwszych p 1, p 2, ..., pn, a rozkład ma postać a = p 1 p 2 .. rozkład jest niepowtarzalny, jeśli nie bierze się pod uwagę kolejności czynników

Kanoniczna faktoryzacja liczb pierwszych

W rozwinięciu liczby czynniki pierwsze mogą się powtarzać. Zduplikowane czynniki pierwsze można zapisać w bardziej zwięzły sposób. Załóżmy, że w rozwinięciu liczby czynnik pierwszy p 1 występuje s 1 razy, czynnik pierwszy p 2 - s 2 razy i tak dalej, p n - s n razy. Wtedy faktoryzację pierwszą liczby a można zapisać jako a = p 1 s 1 p 2 s 2… p n s n... Ta forma zapisu to tzw kanoniczna faktoryzacja liczby pierwszej.

Podajmy przykład kanonicznego rozkładania liczby na czynniki pierwsze. Daj nam znać rozkład 609 840 = 2 2 2 2 3 3 5 7 11 11, jego notacją kanoniczną jest 609 840 = 2 4 3 2 5 7 11 2.

Rozkład kanoniczny liczby na czynniki pierwsze pozwala znaleźć wszystkie dzielniki liczby i liczbę dzielników liczby.

Algorytm rozkładania liczby na czynniki pierwsze

Aby skutecznie poradzić sobie z problemem rozkładania liczby na czynniki pierwsze, trzeba bardzo dobrze zapoznać się z informacjami zawartymi w artykule o liczbach pierwszych i złożonych.

Istota procesu dekompozycji liczby całkowitej dodatniej i większej od jednej liczby a wynika z dowodu głównego twierdzenia arytmetyki. Pomysł polega na sekwencyjnym znalezieniu najmniejszych dzielników pierwszych p 1, p 2, ..., pn liczb a, a 1, a 2, ..., a n-1, co pozwala nam uzyskać szereg równości a = p 1 a 1, gdzie a 1 = a: p 1, a = p 1 a 1 = p 1 p 2 a 2, gdzie a 2 = a 1: p 2,…, a = p 1 p 2… = a n-1: pn. Kiedy otrzymamy a n = 1, to równość a = p 1 · p 2 ·… · p n da nam wymagany rozkład liczby a na czynniki pierwsze. Należy tutaj zauważyć, że p 1 ≤p 2 ≤p 3 ≤… ≤p n.

Pozostaje wymyślić, jak znaleźć najmniejsze czynniki pierwsze na każdym kroku, a my będziemy mieli algorytm rozkładania liczby na czynniki pierwsze. Tabela liczb pierwszych pomoże nam znaleźć czynniki pierwsze. Pokażmy, jak go użyć, aby otrzymać najmniejszy dzielnik pierwszy liczby z.

Kolejno bierzemy liczby pierwsze z tablicy liczb pierwszych (2, 3, 5, 7, 11 itd.) i dzielimy przez nie podaną liczbę z. Pierwsza liczba pierwsza z podzielona przez jedną liczbę całkowitą będzie jej najmniejszym dzielnikiem pierwszym. Jeśli liczba z jest liczbą pierwszą, to jej najmniejszym dzielnikiem pierwszym będzie sama liczba z. Należy w tym miejscu przypomnieć, że jeśli z nie jest Liczba pierwsza, to jego najmniejszy dzielnik pierwszy nie przekracza liczby, gdzie jest od z. Tak więc, jeśli wśród liczb pierwszych nieprzekraczających nie było ani jednego dzielnika liczby z, to możemy wywnioskować, że z jest liczbą pierwszą (więcej szczegółów znajduje się w sekcji teorii pod nagłówkiem ta liczba jest liczbą pierwszą lub złożoną) .

Jako przykład pokażemy, jak znaleźć najmniejszy dzielnik liczb pierwszych 87. Bierzemy numer 2. Podziel 87 przez 2, otrzymujemy 87: 2 = 43 (odpoczynek 1) (jeśli to konieczne, zobacz artykuł). Oznacza to, że dzielenie 87 przez 2 daje resztę 1, więc 2 nie jest dzielnikiem 87. Bierzemy następną liczbę pierwszą z tabeli liczb pierwszych, czyli 3. Dzielimy 87 przez 3, otrzymujemy 87: 3 = 29. Zatem 87 jest podzielne przez 3, więc 3 jest najmniejszym dzielnikiem pierwszym 87.

Zauważ, że w ogólnym przypadku, aby podzielić liczbę a na czynniki pierwsze, potrzebujemy tabeli liczb pierwszych do liczby nie mniejszej niż. Będziemy musieli odwoływać się do tej tabeli na każdym kroku, więc musisz mieć ją pod ręką. Na przykład, aby podzielić 95 na czynniki pierwsze, wystarczy tabela liczb pierwszych do 10 (ponieważ 10 jest większe niż). Aby rozłożyć liczbę 846 653, będziesz już potrzebować tabeli liczb pierwszych do 1000 (ponieważ 1000 to więcej).

Mamy teraz wystarczającą ilość informacji do napisania pierwszy algorytm faktoryzacji... Algorytm dekompozycji liczby a jest następujący:

Przechodząc kolejno przez liczby z tablicy liczb pierwszych, znajdujemy najmniejszy dzielnik pierwszy p 1 liczby a, po czym obliczamy a 1 = a: p 1. Jeśli a 1 = 1, to liczba a jest liczbą pierwszą i sama jest jej rozkładem na czynniki pierwsze. Jeśli a 1 nie jest równe 1, to mamy a = p 1 · a 1 i przechodzimy do następnego kroku.
Znajdź najmniejszy dzielnik liczby pierwszej p 2 z a 1, w tym celu kolejno iterujemy liczby z tabeli liczb pierwszych, zaczynając od p 1, a następnie obliczamy a 2 = a 1: p 2. Jeśli a 2 = 1, to wymagana faktoryzacja liczby a na czynniki pierwsze ma postać a = p 1 · p 2. Jeśli a 2 nie jest równe 1, to mamy a = p 1 · p 2 · a 2 i przechodzimy do następnego kroku.
Przechodząc przez liczby z tabeli liczb pierwszych, zaczynając od p 2, znajdujemy najmniejszy dzielnik liczby pierwszej p 3 liczby a 2, po czym obliczamy a 3 = a 2: p 3. Jeśli a 3 = 1, to wymagana faktoryzacja liczby a na czynniki pierwsze ma postać a = p 1 · p 2 · p 3. Jeśli a 3 nie jest równe 1, to mamy a = p 1 · p 2 · p 3 · a 3 i przechodzimy do następnego kroku.
Znajdź najmniejszy dzielnik pierwszy p n z n-1, przechodząc przez liczby pierwsze, zaczynając od p n-1, a także a n = a n-1: p n, a n jest równe 1. Ten krok jest ostatnim krokiem algorytmu, tutaj otrzymujemy wymagany rozkład liczby a na czynniki pierwsze: a = p 1 · p 2 ·… · p n.

Dla jasności wszystkie wyniki uzyskane na każdym etapie algorytmu rozkładu liczby na czynniki pierwsze przedstawiono w postaci poniższej tabeli, w której po lewej stronie pionowej linii znajdują się liczby a, a 1, a 2 , ..., an są zapisywane kolejno w kolumnie, a na prawo od wiersza - odpowiadające najmniej pierwsze dzielniki p 1, p 2,…, pn.

Pozostaje tylko rozważyć kilka przykładów zastosowania otrzymanego algorytmu do rozkładu liczb na czynniki pierwsze.

Przykłady Prime faktoringu

Teraz przeanalizujemy szczegółowo przykłady rozkładania liczb na czynniki pierwsze... W dekompozycji zastosujemy algorytm z poprzedniego akapitu. Zacznijmy od prostych przypadków i stopniowo je komplikuj, aby stawić czoła wszystkim możliwym niuansom, które pojawiają się podczas rozkładania liczb na czynniki pierwsze.

Przykład.

Podziel 78 na czynniki pierwsze.

Rozwiązanie.

Zaczynamy szukać pierwszego najmniejszego dzielnika pierwszego p 1 liczby a = 78. Aby to zrobić, zaczynamy kolejno iterować liczby pierwsze z tabeli liczb pierwszych. Bierzemy liczbę 2 i dzielimy przez nią 78, otrzymujemy 78: 2 = 39. Liczba 78 została podzielona przez 2 bez reszty, więc p 1 = 2 jest pierwszym znalezionym dzielnikiem pierwszym liczby 78. W tym przypadku a 1 = a: p 1 = 78: 2 = 39. Dochodzimy więc do równości a = p 1 · a 1 o postaci 78 = 2 · 39. Oczywiście 1 = 39 różni się od 1, więc przechodzimy do drugiego kroku algorytmu.

Teraz szukamy najmniejszego dzielnika pierwszego p 2 liczby a 1 = 39. Rozpoczynamy iterację po liczbach z tablicy liczb pierwszych, zaczynając od p 1 = 2. Podziel 39 przez 2, otrzymujemy 39: 2 = 19 (odpoczynek 1). Ponieważ 39 nie jest podzielne przez 2, 2 nie jest jego dzielnikiem. Następnie bierzemy kolejną liczbę z tabeli liczb pierwszych (liczba 3) i dzielimy 39 przez nią, otrzymujemy 39: 3 = 13. Dlatego p 2 = 3 jest najmniejszym pierwszym dzielnikiem liczby 39, podczas gdy a 2 = a 1: p 2 = 39: 3 = 13. Mamy równość a = p 1 · p 2 · a 2 w postaci 78 = 2 · 3 · 13. Ponieważ 2 = 13 jest różne od 1, przejdź do następnego kroku algorytmu.

Tutaj musimy znaleźć najmniejszy dzielnik pierwszy liczby a 2 = 13. W poszukiwaniu najmniejszego dzielnika liczby pierwszej p 3 z 13 będziemy kolejno iterować liczby z tabeli liczb pierwszych, zaczynając od p 2 = 3. Liczba 13 nie jest podzielna przez 3, ponieważ 13: 3 = 4 (poz. 1), również 13 nie jest podzielne przez 5, 7 i 11, ponieważ 13: 5 = 2 (poz. 3), 13: 7 = 1 (odp. 6) i 13:11 = 1 (odp. 2). Następna liczba pierwsza to 13, a 13 jest przez nią podzielna bez reszty, dlatego najmniejszym dzielnikiem pierwszym p 3 z 13 jest sama liczba 13, a a 3 = a 2: p 3 = 13: 13 = 1. Ponieważ a 3 = 1, ten krok algorytmu jest ostatnim, a wymagana faktoryzacja 78 na czynniki pierwsze ma postać 78 = 2 · 3 · 13 (a = p 1 · p 2 · p 3).

Odpowiedź:

78 = 2 3 13.

Przykład.

Przedstaw liczbę 83.006 jako iloczyn czynników pierwszych.

Rozwiązanie.

W pierwszym kroku algorytmu rozkładu liczby na czynniki pierwsze znajdujemy p 1 = 2 i a 1 = a: p 1 = 83 006: 2 = 41 503, skąd 83 006 = 2 · 41 503.

W drugim kroku dowiadujemy się, że 2, 3 i 5 nie są dzielnikami pierwszymi liczby a 1 = 41 503, a liczba 7 jest taka, ponieważ 41 503: 7 = 5 929. Mamy p 2 = 7, a 2 = a 1: p 2 = 41 503: 7 = 5 929. Zatem 83 006 = 2 7 5 929.

Najmniejszy czynnik pierwszy a 2 = 5929 to 7, ponieważ 5929: 7 = 847. Zatem p 3 = 7, a 3 = a 2: p 3 = 5 929: 7 = 847, skąd 83 006 = 2 7 7 847.

Następnie stwierdzamy, że najmniejszy dzielnik pierwszy p 4 liczby a 3 = 847 wynosi 7. Wtedy a 4 = a 3: p 4 = 847: 7 = 121, więc 83 006 = 2 7 7 7 7 121.

Teraz znajdujemy najmniejszy dzielnik pierwszy liczby a 4 = 121, jest to liczba p 5 = 11 (ponieważ 121 jest podzielne przez 11, a nie podzielne przez 7). Wtedy a 5 = a 4: p 5 = 121: 11 = 11 i 83 006 = 2 · 7 · 7 · 7 · 11 · 11.

Wreszcie najmniejszy czynnik pierwszy a 5 = 11 to p 6 = 11. Wtedy a 6 = a 5: p 6 = 11: 11 = 1. Ponieważ a 6 = 1, to ten krok algorytmu rozkładu liczby na czynniki pierwsze jest ostatnim, a wymagany rozkład ma postać 83 006 = 2 · 7 · 7 · 7 · 11 · 11.

Otrzymany wynik można zapisać jako kanoniczną faktoryzację liczby na czynniki pierwsze 83 006 = 2 · 7 3 · 11 2.

Odpowiedź:

83 006 = 2 7 7 7 11 11 = 2 7 3 11 2 991 to liczba pierwsza. Rzeczywiście, nie ma jednego pierwszego dzielnika nieprzekraczającego (można z grubsza oszacować jako, ponieważ jest oczywiste, że 991<40 2 ), то есть, наименьшим делителем числа 991 является оно само. Тогда p 3 =991 и a 3 =a 2:p 3 =991:991=1 . Следовательно, искомое разложение числа 897 924 289 на простые множители имеет вид 897 924 289=937·967·991 .

Odpowiedź:

897 924 289 = 937 967 991.

Stosowanie kryteriów podzielności do rozkładu na czynniki pierwsze

W prostych przypadkach możesz rozłożyć liczbę na czynniki pierwsze bez użycia algorytmu dekompozycji z pierwszego akapitu tego artykułu. Jeśli liczby nie są duże, to do ich rozkładu na czynniki pierwsze często wystarczy znajomość kryteriów podzielności. Oto kilka przykładów dla wyjaśnienia.

Na przykład musimy rozłożyć 10 na czynniki pierwsze. Z tabliczki mnożenia wiemy, że 2 · 5 = 10, a liczby 2 i 5 są oczywiście liczbami pierwszymi, więc faktoryzacja liczby pierwszych 10 wynosi 10 = 2 · 5.

Inny przykład. Korzystając z tabliczki mnożenia, podziel 48 na czynniki pierwsze. Wiemy, że sześć osiem to czterdzieści osiem, czyli 48 = 6 · 8. Jednak ani 6, ani 8 nie są liczbami pierwszymi. Ale wiemy, że dwa razy trzy to sześć, a dwa razy cztery to osiem, czyli 6 = 2 · 3 i 8 = 2 · 4. Wtedy 48 = 6 8 = 2 3 2 4. Należy pamiętać, że dwa razy dwa równa się cztery, a następnie otrzymujemy wymagany rozkład na czynniki pierwsze 48 = 2 · 3 · 2 · 2 · 2. Rozkład ten zapisujemy w postaci kanonicznej: 48 = 2 4 · 3.

Ale rozkładając liczbę 3400 na czynniki pierwsze, możesz użyć kryteriów podzielności. Podzielność przez 10, 100 pozwala stwierdzić, że 3400 jest podzielne przez 100, podczas gdy 3400 = 34100, a 100 jest podzielne przez 10, podczas gdy 100 = 1010, a więc 3400 = 341010. A na podstawie kryterium podzielności przez 2 można argumentować, że każdy z czynników 34, 10 i 10 jest podzielny przez 2, otrzymujemy 3 400 = 34 10 10 = 2 17 2 5 2 5... Wszystkie czynniki w powstałym rozkładzie są pierwsze, więc ten rozkład jest pożądany. Pozostaje tylko zmienić kolejność czynników tak, aby szły w porządku rosnącym: 3400 = 2 · 2 · 2 · 5 · 5 · 17. Zapisujemy również kanoniczną faktoryzację tej liczby na czynniki pierwsze: 3 400 = 2 3 · 5 2 · 17.

Rozkładając daną liczbę na czynniki pierwsze, możesz po kolei użyć zarówno kryteriów podzielności, jak i tabliczki mnożenia. Reprezentujmy liczbę 75 jako iloczyn czynników pierwszych. Podzielność przez 5 pozwala nam stwierdzić, że 75 jest podzielne przez 5 i otrzymujemy, że 75 = 5 15. A z tabliczki mnożenia wiemy, że 15 = 3 · 5, a więc 75 = 5 · 3 · 5. Jest to wymagana faktoryzacja liczby pierwszych 75.

Bibliografia.

Vilenkin N. Ja. i inna matematyka. Klasa 6: podręcznik dla instytucji edukacyjnych.
Winogradow I.M. Podstawy teorii liczb.
Michelowicz Sz.Kh. Teoria liczb.
Kulikov L.Ya. i inne Zbiór zadań z algebry i teorii liczb: podręcznik dla studentów fizyki i matematyki. specjalności instytutów pedagogicznych.