Rozwiązywanie układów równań w sposób geometryczny. Metody rozwiązywania układów równań liniowych

Materiał w tym artykule jest przeznaczony do pierwszego zapoznania się z układami równań. Tutaj wprowadzamy definicję układu równań i jego rozwiązania, a także rozważamy najczęstsze typy układów równań. Jak zwykle podamy przykładowe przykłady.

Nawigacja po stronach.

Czym jest układ równań?

Stopniowo będziemy zbliżać się do definicji układu równań. Po pierwsze powiedzmy tylko, że wygodnie jest to podać, wskazując dwa punkty: po pierwsze rodzaj nagrania, a po drugie znaczenie osadzone w tym nagraniu. Zajmijmy się nimi po kolei, a następnie uogólnijmy rozumowanie na definicję układów równań.

Miejmy ich kilka. Weźmy na przykład dwa równania 2 x + y = -3 i x = 5. Napiszmy je jeden pod drugim i połączmy po lewej stronie nawiasem klamrowym:

Zapisy tego rodzaju, reprezentujące kilka równań ułożonych w kolumnie i połączone nawiasem klamrowym po lewej stronie, są zapisami układów równań.

Co oznaczają te zapisy? Określają zbiór wszystkich takich rozwiązań równań układu, które są rozwiązaniem każdego równania.

Nie zaszkodzi opisać to innymi słowami. Załóżmy, że niektóre rozwiązania pierwszego równania są rozwiązaniami wszystkich innych równań w układzie. Tak więc zapis systemu po prostu je oznacza.

Teraz jesteśmy gotowi z godnością przyjąć definicję układu równań.

Definicja.

Układy równań rekordy połączeń, które są równaniami znajdującymi się jeden pod drugim, połączonymi nawiasem klamrowym po lewej stronie, które oznaczają zbiór wszystkich rozwiązań równań, które są jednocześnie rozwiązaniami każdego równania w systemie.

Podobna definicja jest podana w podręczniku, ale tam jest podana nie dla przypadku ogólnego, ale dla dwojga równania racjonalne z dwiema zmiennymi.

Główne rodzaje

Jasne jest, że istnieje nieskończenie wiele różnych równań. Oczywiście istnieje również nieskończenie wiele układów równań skomponowanych z ich użyciem. Dlatego dla wygody studiowania i pracy z układami równań sensowne jest podzielenie ich na grupy według podobnych cech, a następnie rozważenie układów równań niektórych typów.

Pierwszy podział nasuwa się liczbą równań zawartych w systemie. Jeśli są dwa równania, to możemy powiedzieć, że mamy układ dwóch równań, jeśli trzy - to układ trzech równań itd. Jasne jest, że nie ma sensu mówić o układzie jednego równania, ponieważ w tym przypadku tak naprawdę mamy do czynienia z samym równaniem, a nie z układem.

Kolejny podział opiera się na liczbie zmiennych biorących udział w pisaniu równań układu. Jeśli jest tylko jedna zmienna, to mamy do czynienia z układem równań z jedną zmienną (mówią też z jedną niewiadomą), jeśli z dwiema, to z układem równań z dwiema zmiennymi (z dwiema niewiadomymi) itd. Na przykład, jest układem równań z dwiema zmiennymi x i y.

Odnosi się to do liczby wszystkich różnych zmiennych biorących udział w rekordzie. Nie muszą być wszystkie na raz uwzględnione w zapisie każdego równania, wystarczy mieć je w co najmniej jednym równaniu. Na przykład, jest układem równań z trzema zmiennymi x, y i z. W pierwszym równaniu zmienna x występuje jawnie, a y i z są niejawnie (możemy założyć, że te zmienne mają zero), a w drugim równaniu występują x i z, a zmienna y nie jest jawnie reprezentowana. Innymi słowy, pierwsze równanie może być postrzegane jako a drugi jako x + 0 y − 3 z = 0.

Trzecim punktem, w którym różnią się układy równań, jest forma samych równań.

W szkole nauka układów równań zaczyna się od systemy dwóch równania liniowe z dwiema zmiennymi... Oznacza to, że takie układy tworzą dwa równania liniowe. Oto kilka przykładów: oraz ... Na nich uczy się podstaw pracy z układami równań.

Rozwiązując więcej trudne zadania można też spotkać układy trzech równań liniowych z trzema niewiadomymi.

Dalej w klasie 9 równania nieliniowe dodawane są do układów dwurównujących z dwiema zmiennymi, najczęściej całe równania drugiego stopnia, rzadziej wyższych stopni. Układy te nazywane są układami równań nieliniowych; w razie potrzeby określa się liczbę równań i niewiadomych. Pokażmy przykłady takich układów równań nieliniowych: oraz .

A potem w systemach są też na przykład. Są one zwykle określane po prostu jako układy równań, bez określania, które równania. Warto w tym miejscu zauważyć, że najczęściej o układzie równań mówią po prostu „układ równań”, a wyjaśnienia są dodawane tylko wtedy, gdy jest to konieczne.

W szkole średniej, ponieważ materiał jest badany, irracjonalny, trygonometryczny, logarytmiczny i równania wykładnicze : , , .

Jeśli spojrzymy jeszcze dalej w program pierwszych kierunków uczelni, główny nacisk kładzie się na badanie i rozwiązywanie układów liniowych równań algebraicznych (SLAE), czyli równań, których po lewej stronie są wielomiany pierwszy stopień, a po prawej stronie kilka cyfr. Ale tam, w przeciwieństwie do szkoły, nie bierze się dwóch równań liniowych z dwiema zmiennymi, ale dowolną liczbę równań z dowolną liczbą zmiennych, która często nie pokrywa się z liczbą równań.

Jak nazywa się rozwiązywanie układu równań?

Termin „rozwiązanie układu równań” bezpośrednio odnosi się do układów równań. Szkoła podaje definicję rozwiązania układu równań z dwiema zmiennymi :

Definicja.

Rozwiązując układ równań w dwóch zmiennych wywoływana jest para wartości tych zmiennych, która zamienia każde równanie układu w prawdziwe, innymi słowy, które jest rozwiązaniem każdego równania układu.

Na przykład para wartości zmiennych x = 5, y = 2 (można ją zapisać jako (5, 2)) jest z definicji rozwiązaniem układu równań, ponieważ równania układu, gdy podstawione w nich x = 5, y = 2, zamieniamy odpowiednio w poprawne równości liczbowe 5 + 2 = 7 i 5−2 = 3. Ale para wartości x = 3, y = 0 nie jest rozwiązaniem tego systemu, ponieważ gdy te wartości zostaną podstawione do równań, pierwsza z nich zmieni się w nieprawidłową równość 3 + 0 = 7.

Podobne definicje można sformułować dla systemów z jedną zmienną, jak również dla systemów z trzema, czterema itd. zmienne.

Definicja.

Rozwiązując układ równań w jednej zmiennej będzie wartością zmiennej, która jest pierwiastkiem wszystkich równań w systemie, to znaczy zamienia wszystkie równania w prawdziwe równości liczbowe.

Podajmy przykład. Rozważ układ równań z jedną zmienną t postaci ... Liczba -2 jest jej rozwiązaniem, ponieważ zarówno (-2) 2 = 4, jak i 5 · (-2 + 2) = 0 są prawdziwymi równościami liczbowymi. A t = 1 - nie jest rozwiązaniem układu, ponieważ podstawienie tej wartości da dwie niepoprawne równości 1 2 = 4 i 5 · (1 + 2) = 0.

Definicja.

Rozwiązanie dla systemu z trzema, czterema itd. zmienne nazwane trzy, cztery itd. odpowiednio wartości zmiennych, przekształcając wszystkie równania układu na prawdziwe równości.

Tak więc z definicji trójka wartości zmiennych x = 1, y = 2, z = 0 jest rozwiązaniem systemu , ponieważ 2 1 = 2, 5 2 = 10 i 1 + 2 + 0 = 3 są prawdziwymi równościami liczbowymi. A (1, 0, 5) nie jest rozwiązaniem tego układu, ponieważ gdy te wartości zmiennych zostaną podstawione do równań układu, druga z nich zamienia się w nieprawidłową równość 5 · 0 = 10, a trzeci to również 1 + 0 + 5 = 3.

Zauważ, że układy równań mogą nie mieć rozwiązań, mogą mieć skończoną liczbę rozwiązań, na przykład jeden, dwa, ... i mogą mieć nieskończenie wiele rozwiązań. Przekonasz się o tym, gdy zagłębisz się w temat.

Biorąc pod uwagę definicje układu równań i ich rozwiązania, możemy stwierdzić, że rozwiązaniem układu równań jest przecięcie zbiorów rozwiązań wszystkich jego równań.

Podsumowując, oto kilka powiązanych definicji:

Definicja.

niespójny jeśli nie ma rozwiązań, w przeciwnym razie system nazywa się wspólny.

Definicja.

Nazywa się układ równań nieokreślony jeśli ma nieskończenie wiele rozwiązań i pewien, jeśli ma skończoną liczbę rozwiązań lub nie ma ich wcale.

Terminy te są wprowadzane np. w podręczniku, ale rzadko są używane w szkole, częściej można je usłyszeć na uczelniach wyższych.

Bibliografia.

Algebra: badanie. za 7 cl. ogólne wykształcenie. instytucje / [Ju. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; wyd. S. A. Teliakowski. - 17. ed. - M.: Edukacja, 2008 .-- 240 s. : chory. - ISBN 978-5-09-019315-3.
Algebra: Klasa 9: podręcznik. do kształcenia ogólnego. instytucje / [Ju. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; wyd. S. A. Teliakowski. - 16 wyd. - M.: Edukacja, 2009 .-- 271 s. : chory. - ISBN 978-5-09-021134-5.
A. G. Mordkovich Algebra. 7 klasa. 14.00 część 1. Podręcznik dla uczniów instytucje edukacyjne/ A.G. Mordkovich. - 17. ed., Dodaj. - M .: Mnemozina, 2013 .-- 175 p .: ch. ISBN 978-5-346-02432-3.
A. G. Mordkovich Algebra. Stopień 9. 14.00 Część 1. Podręcznik dla uczniów instytucji edukacyjnych / A.G. Mordkovich, P.V. Semenov. - 13. wydanie, skasowane. - M .: Mnemozina, 2011 .-- 222 s.: Ill. ISBN 978-5-346-01752-3.
A. G. Mordkovich Algebra i początek analizy matematycznej. Klasa 11. 14.00 Część 1. Podręcznik dla uczniów placówek oświatowych ( poziom profilu) / A.G. Mordkovich, P.V. Semenov. - wyd. 2, skasowane. - M .: Mnemosina, 2008 .-- 287 s.: Ill. ISBN 978-5-346-01027-2.
Algebra i początek analizy: Podręcznik. dla 10-11 kl. ogólne wykształcenie. instytucje / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn i inni; Wyd. A. N. Kolmogorov - 14. wydanie - M .: Edukacja, 2004. - 384 s .: chory - ISBN 5-09-013651-3.
AG Kurosz... Wyższy kurs algebry.
Ilyin V.A., Poznyak EG Geometria analityczna: Podręcznik.: Dla uczelni. - wyd. - M.: Nauka. Fizmatlit, 1999 .-- 224 s. - (Kurs Matematyki Wyższej i Fizyki Mat.). - ISBN 5-02-015234 - X (wydanie 3)

Rozważmy najpierw przypadek, w którym liczba równań jest równa liczbie zmiennych, tj. m = n. Wówczas macierz układu jest kwadratowa, a jej wyznacznik nazywamy wyznacznikiem układu.

Metoda macierzy odwrotnej

Rozważmy w postaci ogólnej układ równań AX = B z niezdegenerowaną macierzą kwadratową A. W tym przypadku mamy do czynienia z macierzą odwrotną A -1. Pomnóżmy obie strony przez A -1 po lewej stronie. Otrzymujemy A -1 AX = A -1 V. Stąd EX = A -1 B i

Ostatnia równość to wzór macierzowy do znajdowania rozwiązań takich układów równań. Użycie tego wzoru nazywa się metodą macierzy odwrotnej

Na przykład rozwiążmy następujący system tą metodą:

;

Pod koniec rozwiązywania układu możesz sprawdzić, podstawiając znalezione wartości do równań układu. Czyniąc to, muszą zamienić się w prawdziwe równouprawnienie.

Dla rozważanego przykładu sprawdźmy:

Metoda rozwiązywania układów równań liniowych z macierzą kwadratową za pomocą wzorów Cramera

Niech n = 2:

Jeśli obie strony pierwszego równania pomnożymy przez 22, a obie strony drugiego przez (-a 12), a następnie zsumujemy otrzymane równania, to wykluczymy zmienną x 2 z układu. Podobnie możesz wyeliminować zmienną x 1 (mnożąc obie strony pierwszego równania przez (-a 21), a obie strony drugiego przez 11). W efekcie otrzymujemy system:

Wyrażenie w nawiasach jest wyznacznikiem systemu

Oznaczamy

Wtedy system przyjmie postać:

Z otrzymanego systemu wynika, że jeśli wyznacznikiem systemu jest 0, to system będzie zgodny i określony. Jego jedyne rozwiązanie można obliczyć za pomocą wzorów:

Jeśli  = 0 i 1 0 i / lub 2 0, to równania układu przyjmą postać 0 * x 1 =  2 i / lub 0 * x 1 =  2. W takim przypadku system będzie niespójny.

W przypadku, gdy  =  1 =  2 = 0, układ będzie spójny i nieokreślony (będzie miał nieskończony zbiór rozwiązań), gdyż przyjmie postać:

Twierdzenie Cramera(pomijamy dowód). Jeżeli wyznacznik macierzy układu równań nie jest równy zero, to układ ma jednoznaczne rozwiązanie określone wzorami:

gdzie  j jest wyznacznikiem macierzy otrzymanej z macierzy A przez zastąpienie kolumny j kolumną wyrazów swobodnych.

Powyższe formuły nazywają się Wzory Cramera.

Jako przykład używamy tej metody do rozwiązania systemu, który został wcześniej rozwiązany metodą macierzy odwrotnej:

Wady rozważanych metod:

1) znaczna pracochłonność (obliczanie wyznaczników i znalezienie macierzy odwrotnej);

2) ograniczony zakres (dla systemów z matrycą kwadratową).

Realne sytuacje ekonomiczne są częściej modelowane przez układy, w których liczba równań i zmiennych jest dość znaczna, a równań jest więcej niż zmiennych, dlatego w praktyce częściej stosowana jest następująca metoda.

Metoda Gaussa (metoda sukcesywnej eliminacji zmiennych)

Ta metoda służy do rozwiązywania układu m równań liniowych z n zmiennymi in ogólna perspektywa... Jego istota polega na zastosowaniu do rozszerzonej macierzy układu przekształceń równoważnych, za pomocą których układ równań jest przekształcany do postaci, w której jego rozwiązania stają się łatwe do znalezienia (jeśli istnieją).

Jest to widok, w którym lewa górna część macierzy systemowej będzie macierzą schodkową. Osiąga się to przy użyciu tych samych technik, które zostały użyte do uzyskania macierzy schodkowej w celu określenia rangi. Jednocześnie do rozszerzonej macierzy stosowane są przekształcenia elementarne, które pozwolą na uzyskanie równoważnego układu równań. Następnie rozszerzona macierz przyjmie postać:

Uzyskanie takiej matrycy nazywa się bezpośredni kurs Metoda Gaussa.

Nazywa się znajdowanie wartości zmiennych z odpowiedniego układu równań odwracać Metoda Gaussa. Rozważmy to.

Zauważ, że ostatnie równania (m - r) przyjmują postać:

Jeśli przynajmniej jedna z liczb
nie jest równy zero, to odpowiadająca jej równość będzie fałszywa, a cały system będzie niespójny.

Dlatego dla każdego wspólnego systemu
... W tym przypadku ostatnie (m - r) równania dla dowolnych wartości zmiennych będą tożsamościami 0 = 0 i można je pominąć przy rozwiązywaniu układu (po prostu odrzuć odpowiednie wiersze).

Następnie system przyjmie postać:

Rozważmy najpierw przypadek, gdy r = n. Wtedy system przyjmie postać:

Z ostatniego równania układu można jednoznacznie znaleźć x r.

Znając x r, można z niego jednoznacznie wyrazić x r -1. Następnie z poprzedniego równania, znając x r i x r -1, możesz wyrazić x r -2 itd. dox 1.

Zatem w tym przypadku system będzie wspólny i określony.

Rozważmy teraz przypadek, w którym r podstawowy(główny) i wszystkie inne - niepodstawowe(poza głównym nurtem, za darmo). Ostatnim równaniem układu będzie:

Z tego równania zmienna podstawowa x r może być wyrażona w postaci niepodstawowych:

Przedostatnim równaniem będzie:

Podstawiając otrzymane wyrażenie zamiast x r, będzie można wyrazić zmienną podstawową x r -1 w kategoriach niepodstawowych. Itp. do zmiennej x 1. Aby uzyskać rozwiązanie systemu, można zrównać zmienne niepodstawowe z dowolnymi wartościami, a następnie obliczyć zmienne podstawowe korzystając z otrzymanych wzorów. Zatem w tym przypadku system będzie spójny i nieokreślony (mieć nieskończony zbiór rozwiązań).

Na przykład rozwiążmy układ równań:

Zbiór podstawowych zmiennych zostanie nazwany podstawa systemy. Zbiór kolumn współczynników dla nich będzie również nazywany podstawa(kolumny podstawowe) lub podstawowa drobna macierze systemowe. Rozwiązanie układu, w którym wszystkie zmienne niepodstawowe są równe zeru, będziemy nazywać podstawowa decyzja.

W poprzednim przykładzie podstawowym rozwiązaniem będzie (4/5; -17/5; 0; 0) (zmienne x 3 i x 4 (z 1 i c 2) są równe zeru, a zmienne podstawowe x 1 i x 2 są przez nie obliczane) ... Aby podać przykład rozwiązania niepodstawowego, konieczne jest zrównanie x 3 i x 4 (z 1 i z 2) z dowolnymi liczbami, które nie są równe zeru w tym samym czasie i obliczenie za ich pomocą pozostałych zmiennych. Na przykład dla c 1 = 1 i c 2 = 0 otrzymujemy rozwiązanie niepodstawowe - (4/5; -12/5; 1; 0). Dzięki podstawieniu łatwo sprawdzić, czy oba rozwiązania są poprawne.

Oczywiście w nieokreślonym systemie może być nieskończenie wiele niepodstawowych rozwiązań. Ile może być podstawowych rozwiązań? Każdy wiersz przekształconej macierzy musi odpowiadać jednej zmiennej podstawowej. W zadaniu występuje n zmiennych, rw podstawowych łańcuchach. Dlatego liczba wszystkich możliwych zestawów zmiennych podstawowych nie może przekraczać liczby kombinacji od n do r 2. Może być mniej niż , ponieważ nie zawsze jest możliwe przekształcenie systemu do takiej postaci, aby ten konkretny zbiór zmiennych był podstawowym.

Jaki to rodzaj? Jest to taka forma, gdy macierz utworzona z kolumn współczynników dla tych zmiennych będzie schodkowa, a jednocześnie będzie składać się z r wierszy. Tych. ranga macierzy współczynników dla tych zmiennych musi być równa r. Nie może być większa niż r, ponieważ liczba kolumn jest równa r. Jeśli okaże się, że jest mniejsze niż r, oznacza to liniową zależność kolumn dla zmiennych. Takie kolumny nie mogą stanowić podstawy.

Zastanówmy się, jakie inne podstawowe rozwiązania można znaleźć w powyższym przykładzie. Aby to zrobić, rozważ wszystkie możliwe kombinacje czterech zmiennych, dwie podstawowe. Będą takie kombinacje
, a jeden z nich (x 1 i x 2) został już uwzględniony.

Weźmy zmienne x 1 i x 3. Znajdźmy dla nich rangę macierzy współczynników:

Ponieważ jest równy dwóm, mogą być podstawowe. Przyrównajmy zmienne niepodstawowe x 2 i x 4 do zera: x 2 = x 4 = 0. Wtedy ze wzoru x 1 = 4/5 - (1/5) * x 4 wynika, że x 1 = 4 /5, a ze wzoru x 2 = -17/5 + x 3 - - (7/5) * x 4 = -17/5 + x 3 wynika, że x 3 = x 2 +17/5 = 17/ 5. W ten sposób otrzymujemy rozwiązanie podstawowe (4/5; 0; 17/5; 0).

Podobnie można uzyskać podstawowe rozwiązania dla podstawowych zmiennych x 1 i x 4 - (9/7; 0; 0; -17/7); x2 i x4 - (0; -9; 0; 4); x 3 i x 4 - (0; 0; 9; 4).

Zmienne x 2 i x 3 w tym przykładzie nie mogą być traktowane jako podstawowe, ponieważ ranga odpowiedniej macierzy jest równa jeden, tj. mniej niż dwa:

Możliwe jest również inne podejście do określania, czy możliwe jest skomponowanie bazy niektórych zmiennych. Przy rozwiązywaniu przykładu, w wyniku przekształcenia macierzy systemu do postaci krokowej, przyjął postać:

Wybierając pary zmiennych, można było obliczyć odpowiednie minory tej macierzy. Łatwo jest zweryfikować, że dla wszystkich par, z wyjątkiem x 2 i x 3, nie są one równe zeru, tj. kolumny są liniowo niezależne. I tylko dla kolumn ze zmiennymi x 2 i x 3
, co wskazuje na ich liniową zależność.

Weźmy inny przykład. Rozwiążmy układ równań

Tak więc równanie odpowiadające trzeciemu wierszowi ostatniej macierzy jest sprzeczne - doprowadziło do niewłaściwej równości 0 = -1, dlatego ten system jest niezgodny.

Metoda Jordana-Gaussa 3 jest rozwinięciem metody Gaussa. Jego istotą jest to, że rozszerzona macierz systemu jest przekształcana do postaci, w której współczynniki zmiennych tworzą macierz jednostkową aż do permutacji wierszy lub kolumn 4 (gdzie r jest rządem macierzy systemu).

Rozwiążmy system tą metodą:

Rozważ rozszerzoną macierz systemu:

W tej macierzy wybierzemy element jednostkowy. Na przykład współczynnik przy x 2 w trzecim ograniczeniu wynosi 5. Upewnimy się, że pozostałe wiersze w tej kolumnie zawierają zera, tj. zróbmy kolumnę pojedynczą. W procesie przemian będziemy to nazywać kolumnadozwalający(wiodący, klucz). Trzecie ograniczenie (trzecie strunowy) będzie również nazywany dozwalający... Ja element, który stoi na przecięciu rozstrzygającego wiersza i kolumny (tutaj jest to jednostka), jest również nazywany dozwalający.

Pierwsza linia zawiera teraz współczynnik (-1). Aby zamiast tego otrzymać zero, pomnóż trzeci wiersz przez (-1) i odejmij wynik od pierwszego wiersza (tzn. po prostu dodaj pierwszy wiersz do trzeciego).

Drugi wiersz zawiera czynnik 2. Aby otrzymać zero, pomnóż trzeci wiersz przez 2 i odejmij wynik od pierwszego wiersza.

Rezultatem przekształceń będzie:

Z macierzy tej wyraźnie widać, że jedno z dwóch pierwszych ograniczeń można usunąć (odpowiednie wiersze są proporcjonalne, tj. równania te wynikają z siebie). Przekreślmy na przykład drugą:

Tak więc nowy system ma dwa równania. Otrzymana jest pojedyncza kolumna (druga), z jedną w drugim rzędzie. Pamiętajmy, że zmienna bazowa x 2 będzie odpowiadać drugiemu równaniu nowego układu.

Wybierzmy zmienną bazową dla pierwszego wiersza. Może to być dowolna zmienna inna niż x 3 (ponieważ dla x 3 pierwsze ograniczenie zawiera współczynnik zerowy, czyli zbiór zmiennych x 2 i x 3 nie może być tutaj podstawowy). Możesz wziąć pierwszą lub czwartą zmienną.

Wybierzmy x 1. Wtedy elementem rozstrzygającym będzie 5, a obie strony równania rozstrzygającego będą musiały zostać podzielone przez pięć, aby uzyskać jedynkę w pierwszej kolumnie pierwszego rzędu.

Upewnijmy się, że pozostałe wiersze (tj. drugi wiersz) mają zera w pierwszej kolumnie. Ponieważ teraz drugi wiersz zawiera nie zero, ale 3, należy od drugiego wiersza odjąć elementy przekształconego pierwszego wiersza pomnożone przez 3:

Z otrzymanej macierzy można bezpośrednio wyodrębnić jedno rozwiązanie podstawowe, przyrównując zmienne niepodstawowe do zera, a podstawowe do wyrazów wolnych w odpowiednich równaniach: (0,8; -3,4; 0; 0). Możesz również wyprowadzić ogólne formuły wyrażające podstawowe zmienne poprzez niepodstawowe: x 1 = 0,8 - 1,2 x 4; x 2 = -3,4 + x 3 + 1,6 x 4. Wzory te opisują cały nieskończony zbiór rozwiązań układu (przyrównując x 3 i x 4 do dowolnych liczb, można obliczyć x 1 i x 2).

Zauważmy, że istota przekształceń na każdym etapie metody Jordana-Gaussa była następująca:

1) linia rozstrzygająca została podzielona przez rozstrzygający element w celu umieszczenia go na swoim miejscu,

2) od wszystkich pozostałych wierszy odjęto przekształconą rozdzielczość, pomnożoną przez element, który stał w danym wierszu w kolumnie rozdzielczej, aby w miejsce tego elementu uzyskać zero.

Rozważmy ponownie przekształconą rozszerzoną macierz systemu:

Ten zapis pokazuje, że rząd macierzy systemu A jest równy r.

W toku powyższego rozumowania ustaliliśmy, że system będzie wspólny wtedy i tylko wtedy, gdy
... Oznacza to, że rozszerzona macierz systemu będzie wyglądać tak:

Odrzucając wiersze zerowe, otrzymujemy, że rząd rozszerzonej macierzy układu również wynosi r.

Twierdzenie Kroneckera-Capelliego... Układ równań liniowych jest zgodny wtedy i tylko wtedy, gdy rząd macierzy układu jest równy rządowi rozszerzonej macierzy tego układu.

Przypomnijmy, że ranga macierzy jest równa maksymalnej liczbie jej liniowo niezależnych wierszy. Wynika z tego, że jeżeli rząd macierzy rozszerzonej jest mniejszy niż liczba równań, to równania układu są zależne liniowo, a jedno lub więcej z nich można wykluczyć z układu (ponieważ są liniowe połączenie innych). Układ równań będzie liniowo niezależny tylko wtedy, gdy rząd rozszerzonej macierzy będzie równy liczbie równań.

Co więcej, dla kompatybilnych układów równań liniowych można argumentować, że jeśli rząd macierzy jest równy liczbie zmiennych, to układ ma unikalne rozwiązanie, a jeśli jest mniejszy niż liczba zmiennych, to system jest nieokreślony i ma nieskończenie wiele rozwiązań.

1Załóżmy na przykład, że w macierzy jest pięć wierszy (pierwotna kolejność wierszy to 12345). Konieczna jest zmiana drugiej linii i piątej. Aby druga linia znalazła się w miejscu piątej, „przesuń się” w dół, trzykrotnie kolejno zmieniamy sąsiednie linie: drugą i trzecią (13245), drugą i czwartą (13425) oraz drugą i piątą (13452). Następnie, aby piąty wiersz znalazł się na miejscu drugiego w pierwotnej macierzy, trzeba „przesunąć” wiersz piąty w górę tylko o dwie kolejne zmiany: wiersz piąty i czwarty (13542) oraz wiersz piąty i trzeci (15342).

2 Liczba kombinacji od n do r nazwij liczbę wszystkich różnych podzbiorów r-elementowych zbioru n-elementowego (różne zbiory to te, które mają różny skład elementów, kolejność wyboru nie jest istotna). Oblicza się go według wzoru:
... Przypomnijmy znaczenie znaku „!” (Factorial):
0!=1.)

3Ponieważ ta metoda jest bardziej powszechna niż poprzednio rozważana metoda Gaussa i w istocie jest kombinacją kroków do przodu i wstecz metody Gaussa, jest również czasami nazywana metodą Gaussa, z pominięciem pierwszej części nazwy.

4 Na przykład
.

5Gdyby w macierzy układu nie było jednostek, to można by np. podzielić obie strony pierwszego równania przez dwa i wtedy pierwszy współczynnik stałby się jednostką; lub tym podobne

1. Metoda substytucyjna: z dowolnego równania układu wyrażamy jedną niewiadomą przez drugą i podstawiamy ją do drugiego równania układu.

Zadanie. Rozwiąż układ równań:

Rozwiązanie. Z pierwszego równania układu wyrażamy w w poprzek x i wstaw go do drugiego równania układu. Otrzymujemy system odpowiednik oryginału.

Po sprowadzeniu podobnych członków system przyjmie postać:

Z drugiego równania znajdujemy:. Podstawiając tę wartość do równania w = 2 - 2x, dostajemy w= 3. Dlatego rozwiązaniem tego systemu jest para liczb.

2. Metoda dodawania algebraicznego: dodając dwa równania, aby otrzymać równanie z jedną zmienną.

Zadanie. Rozwiąż równanie systemowe:

Rozwiązanie. Mnożąc obie strony drugiego równania przez 2, otrzymujemy układ odpowiednik oryginału. Dodając dwa równania tego układu, dochodzimy do układu

Po sprowadzeniu podobnych członków system ten przyjmie postać: Z drugiego równania znajdujemy. Podstawiając tę wartość do równania 3 x + 4w= 5, otrzymujemy , gdzie . Dlatego rozwiązaniem tego systemu jest para liczb.

3. Sposób wprowadzania nowych zmiennych: szukamy w systemie kilku powtarzających się wyrażeń, które oznaczymy nowymi zmiennymi, upraszczając tym samym formę systemu.

Zadanie. Rozwiąż układ równań:

Rozwiązanie. Zapiszmy ten system inaczej:

Pozwalać x + y = ty, xy = v. Wtedy otrzymujemy system

Rozwiążmy to za pomocą metody podstawienia. Z pierwszego równania układu wyrażamy ty w poprzek v i wstaw go do drugiego równania układu. Otrzymujemy system tych.

Z drugiego równania układu znajdujemy v 1 = 2, v 2 = 3.

Podstawiając te wartości do równania ty = 5 - v, dostajemy ty 1 = 3,
ty 2 = 2. Wtedy mamy dwa systemy

Rozwiązując pierwszy system, otrzymujemy dwie pary liczb (1; 2), (2; 1). Drugi system nie ma rozwiązań.

Ćwiczenia do samodzielnej pracy

1. Rozwiązuj układy równań metodą substytucji.

Rozwiąż system z dwiema niewiadomymi - oznacza to znalezienie wszystkich par wartości zmiennych, które spełniają każde z podanych równań. Każda taka para nazywa się rozwiązanie systemowe.

Przykład:
Para wartości \ (x = 3 \); \ (y = -1 \) jest rozwiązaniem dla pierwszego układu, ponieważ po podstawieniu tych trójek i minus jeden do układu zamiast \ (x \) i \ (y \), oba równania stają się prawdziwymi równościami \ (\ begin (przypadki) 3-2 \ cdot (-1) = 5 \\ 3 \ cdot 3 + 2 \ cdot (-1) = 7 \ end (przypadki ) \)

A tutaj \ (x = 1 \); \ (y = -2 \) - nie jest rozwiązaniem dla pierwszego układu, ponieważ po podstawieniu drugie równanie "nie jest zbieżne" \ (\ begin (cases) 1-2 \ cdot (-2) = 5 \\ 3 \ cdot1 + 2 \ cdot (-2) ≠ 7 \ koniec (przypadki) \)

Zauważ, że takie pary są często pisane krócej: zamiast "\ (x = 3 \); \ (y = -1 \)" są pisane tak: \ ((3; -1) \).

Jak rozwiązać układ równań liniowych?

Istnieją trzy główne sposoby rozwiązywania układów równań liniowych:

Metoda substytucyjna.

\ (\ begin (przypadki) x-2y = 5 \\ 3x + 2y = 7 \ end (przypadki) \) \ (\ Leftrightarrow \) \ (\ begin (przypadki) x = 5 + 2y \\ 3x + 2y = 7 \ koniec (przypadki) \) \ (\ Leftrightarrow \)

Zastąp wynikowe wyrażenie zamiast tej zmiennej innym równaniem układu.

\ (\ Leftrightarrow \) \ (\ begin (przypadki) x = 5 + 2y \\ 3 (5 + 2y) + 2y = 7 \ end (przypadki) \) \ (\ Leftrightarrow \)

\ (\ początek (przypadki) 13x + 9y = 17 \\ 12x-2y = 26 \ koniec (przypadki) \)

W drugim równaniu każdy wyraz jest parzysty, więc upraszczamy równanie dzieląc je przez \ (2 \).

\ (\ początek (przypadki) 13x + 9y = 17 \\ 6x-y = 13 \ koniec (przypadki) \)

Ten system można rozwiązać na dowolny sposób, ale wydaje mi się, że metoda podmiany jest tutaj najwygodniejsza. Wyraźmy y z drugiego równania.

\ (\ początek (przypadki) 13x + 9y = 17 \\ y = 6x-13 \ koniec (przypadki) \)

Podstaw \ (6x-13 \) za \ (y \) w pierwszym równaniu.

\ (\ początek (przypadki) 13x + 9 (6x-13) = 17 \\ y = 6x-13 \ koniec (przypadki) \)

Pierwsze równanie stało się powszechne. Rozwiązujemy to.

Rozwińmy najpierw nawiasy.

\ (\ początek (przypadki) 13x + 54x-117 = 17 \\ y = 6x-13 \ koniec (przypadki) \)

Przesuń \ (117 \) w prawo i podaj podobne terminy.

\ (\ początek (przypadki) 67x = 134 \\ y = 6x-13 \ koniec (przypadki) \)

Podziel obie strony pierwszego równania przez \ (67 \).

\ (\ początek (przypadki) x = 2 \\ y = 6x-13 \ koniec (przypadki) \)

Hurra, znaleźliśmy \ (x \)! Podstaw jego wartość do drugiego równania i znajdź \ (y \).

\ (\ begin (cases) x = 2 \\ y = 12-13 \ end (cases) \) \ (\ Leftrightarrow \) \ (\ begin (cases) x = 2 \\ y = -1 \ end (cases) ) \)

Zapiszmy odpowiedź.

Lekcja i prezentacja na temat: „Układy równań. Metoda podstawienia, metoda dodawania, metoda wprowadzania nowej zmiennej”

Dodatkowe materiały
Drodzy użytkownicy, nie zapomnijcie zostawić swoich komentarzy, recenzji, życzeń! Wszystkie materiały zostały sprawdzone programem antywirusowym.

Pomoce dydaktyczne i symulatory w sklepie internetowym Integral dla klasy 9
Symulator do podręczników Atanasyan L.S. Symulator do podręczników Pogorelov A.V.

Sposoby rozwiązywania systemów nierówności

Chłopaki, studiowaliśmy układy równań i nauczyliśmy się je rozwiązywać za pomocą wykresów. Zobaczmy teraz, jakie istnieją inne sposoby rozwiązywania systemów?
Prawie wszystkie sposoby ich rozwiązania nie różnią się od tych, które studiowaliśmy w 7 klasie. Teraz musimy wprowadzić pewne poprawki zgodnie z równaniami, które nauczyliśmy się rozwiązywać.
Istotą wszystkich metod opisanych w tej lekcji jest zastąpienie systemu równoważnym systemem o prostszej formie i rozwiązaniu. Chłopaki, pamiętajcie, czym jest równoważny system.

Metoda substytucyjna

Pierwsza metoda rozwiązywania układów równań w dwóch zmiennych jest nam dobrze znana - jest to metoda podstawienia. Wykorzystaliśmy tę metodę do rozwiązywania równań liniowych. Zobaczmy teraz, jak ogólnie rozwiązywać równania?

Jak należy postępować przy podejmowaniu decyzji?
1. Wyraź jedną ze zmiennych przez drugą. Najczęstszymi zmiennymi używanymi w równaniach są x i y. W jednym z równań wyrażamy jedną zmienną przez drugą. Wskazówka: przyjrzyj się uważnie obu równaniom przed rozpoczęciem rozwiązywania i wybierz, gdzie łatwiej będzie wyrazić zmienną.
2. Zastąp otrzymane wyrażenie w drugim równaniu zamiast zmiennej, która została wyrażona.
3. Rozwiąż równanie, które otrzymaliśmy.
4. Podstaw otrzymane rozwiązanie do drugiego równania. Jeśli istnieje kilka rozwiązań, konieczne jest zastępowanie ich sekwencyjnie, aby nie stracić kilku rozwiązań.
5. W rezultacie otrzymasz parę liczb $ (x; y) $, które należy wpisać w odpowiedzi.

Przykład.
Rozwiąż system z dwiema zmiennymi za pomocą metody podstawienia: $ \ begin (cases) x + y = 5, \\ xy = 6 \ end (cases) $.

Rozwiązanie.
Przyjrzyjmy się bliżej naszym równaniom. Oczywiście wyrażenie y jako x w pierwszym równaniu jest znacznie łatwiejsze.
$ \ begin (przypadki) y = 5-x, \\ xy = 6 \ end (przypadki) $.
Podstaw pierwsze wyrażenie do drugiego równania $ \ begin (cases) y = 5-x, \\ x (5-2x) = 6 \ end (cases) $.
Rozwiążmy drugie równanie osobno:
$ x (5-x) = 6 $.
$ -x ^ 2 + 5x-6 = 0 $.
$ x ^ 2-5x + 6 = 0 $.
$ (x-2) (x-3) = 0 $.
Otrzymaliśmy dwa rozwiązania drugiego równania $ x_1 = 2 $ i $ x_2 = 3 $.
Podstaw kolejno do drugiego równania.
Jeśli $ x = 2 $, to $ y = 3 $. Jeśli $ x = 3 $, to $ y = 2 $.
Odpowiedź to dwie pary liczb.
Odpowiedź: $ (2; 3) $ i $ (3; 2) $.

Metoda dodawania algebraicznego

Tę metodę studiowaliśmy również w 7 klasie.
Wiadomo, że równanie wymierne możemy pomnożyć w dwóch zmiennych przez dowolną liczbę, nie zapominając o pomnożeniu obu stron równania. Jedno z równań pomnożyliśmy przez określoną liczbę tak, że dodając wynikowe równanie do drugiego równania układu, jedna ze zmiennych ulega zniszczeniu. Następnie równanie rozwiązano w odniesieniu do pozostałej zmiennej.
Ta metoda działa nawet teraz, chociaż nie zawsze można zniszczyć jedną ze zmiennych. Ale pozwala nam to znacznie uprościć formę jednego z równań.

Przykład.
Rozwiąż układ: $ \ begin (cases) 2x + xy-1 = 0, \\ 4y + 2xy + 6 = 0 \ end (cases) $.

Rozwiązanie.
Pomnóż pierwsze równanie przez 2.
$ \ początek (przypadki) 4x + 2xy-2 = 0, \\ 4y + 2xy + 6 = 0 \ koniec (przypadki) $.
Odejmijmy drugi od pierwszego równania.
4x + 2xy-2-4y-2xy-6 = 4x-4y-8 $.
Jak widać, forma wynikowego równania jest znacznie prostsza niż pierwotna. Teraz możemy użyć metody podstawienia.
$ \ begin (przypadki) 4x-4y-8 = 0, \\ 4y + 2xy + 6 = 0 \ end (przypadki) $.
Wyraźmy x jako y w otrzymanym równaniu.
$ \ początek (przypadki) 4x = 4y + 8, \\ 4y + 2xy + 6 = 0 \ koniec (przypadki) $.
$ \ początek (przypadki) x = y + 2, \\ 4y + 2 (y + 2) y + 6 = 0 \ koniec (przypadki) $.
$ \ begin (przypadki) x = y + 2, \\ 4y + 2y ^ 2 + 4y + 6 = 0 \ end (przypadki) $.
$ \ begin (przypadki) x = y + 2, \\ 2y ^ 2 + 8y + 6 = 0 \ end (przypadki) $.
$ \ begin (przypadki) x = y + 2, \\ y ^ 2 + 4y + 3 = 0 \ end (przypadki) $.
$ \ początek (przypadki) x = y + 2, \\ (y + 3) (y + 1) = 0 \ koniec (przypadki) $.
Otrzymane $ y = -1 $ i $ y = -3 $.
Zastąp te wartości sekwencyjnie pierwszym równaniem. Otrzymujemy dwie pary liczb: $ (1; -1) $ i $ (- 1; -3) $.
Odpowiedź: $ (1; -1) $ i $ (- 1; -3) $.

Sposób wprowadzenia nowej zmiennej

Przyjrzeliśmy się również tej metodzie, ale spójrzmy na nią ponownie.

Przykład.
Rozwiąż system: $ \ begin (cases) \ frac (x) (y) + \ frac (2y) (x) = 3, \\ 2x ^ 2-y ^ 2 = 1 \ end (cases) $.

Rozwiązanie.
Wprowadzamy zamiennik $ t = \ frac (x) (y) $.
Przepiszmy pierwsze równanie nową zmienną: $ t + \ frac (2) (t) = 3 $.
Rozwiążmy otrzymane równanie:
$ \ frac (t ^ 2-3t + 2) (t) = 0 $.
$ \ frac ((t-2) (t-1)) (t) = 0 $.
Otrzymany t $ = 2 $ lub t $ = 1 $. Wprowadźmy odwrotną zamianę $ t = \ frac (x) (y) $.
Otrzymano: $ x = 2y $ i $ x = y $.

Dla każdego z wyrażeń oryginalny system należy rozwiązać osobno:
$ \ begin (przypadki) x = 2y, \\ 2x ^ 2-y ^ 2 = 1 \ end (przypadki) $. $ \ begin (przypadki) x = y, \\ 2x ^ 2-y ^ 2 = 1 \ end (przypadki) $.
$ \ begin (przypadki) x = 2y, \\ 8y ^ 2-y ^ 2 = 1 \ end (przypadki) $. $ \ begin (przypadki) x = y, \\ 2y ^ 2-y ^ 2 = 1 \ end (przypadki) $.
$ \ początek (przypadki) x = 2y, \\ 7y ^ 2 = 1 \ koniec (przypadki) $. $ \ początek (przypadki) x = 2y, \\ y ^ 2 = 1 \ koniec (przypadki) $.
$ \ begin (cases) x = 2y, \\ y = ± \ frac (1) (\ sqrt (7)) \ end (cases) $. $ \ początek (przypadki) x = y, \\ y = ± 1 \ koniec (przypadki) $.
$ \ begin (przypadki) x = ± \ frac (2) (\ sqrt (7)), \\ y = ± \ frac (1) (\ sqrt (7)) \ end (cases) $. $ \ początek (przypadki) x = ± 1, \\ y = ± 1 \ koniec (przypadki) $.
Otrzymano cztery pary rozwiązań.
Odpowiedź: $ (\ frac (2) (\ sqrt (7)); \ frac (1) (\ sqrt (7))) $; $ (- \ frac (2) (\ sqrt (7)); - \ frac (1) (\ sqrt (7))) $; $ (1; 1) $; $ (- 1; -1) $.

Przykład.
Rozwiąż system: $ \ begin (przypadki) \ frac (2) (x-3y) + \ frac (3) (2x + y) = 2, \\\ frac (8) (x-3y) - \ frac ( 9 ) (2x + y) = 1 \ koniec (przypadki) $.

Rozwiązanie.
Wprowadzamy zamiennik: $ z = \ frac (2) (x-3y) $ oraz $ t = \ frac (3) (2x + y) $.
Przepiszmy oryginalne równania z nowymi zmiennymi:
$ \ początek (przypadki) z + t = 2, \\ 4z-3t = 1 \ koniec (przypadki) $.
Użyjmy metody dodawania algebraicznego:
$ \ początek (przypadki) 3z + 3t = 6, \\ 4z-3t = 1 \ koniec (przypadki) $.
$ \ początek (przypadki) 3z + 3t + 4z-3t = 6 + 1, \\ 4z-3t = 1 \ koniec (przypadki) $.
$ \ początek (przypadki) 7z = 7, \\ 4z-3t = 1 \ koniec (przypadki) $.
$ \ początek (przypadki) z = 1, \\ - 3t = 1-4 \ koniec (przypadki) $.
$ \ początek (przypadki) z = 1, \\ t = 1 \ koniec (przypadki) $.
Wprowadźmy odwrotną wymianę:
$ \ begin (cases) \ frac (2) (x-3y) = 1, \\\ frac (3) (2x + y) = 1 \ end (cases) $.
$ \ begin (przypadki) x-3y = 2, \\ 2x + y = 3 \ end (przypadki) $.
Użyjmy metody substytucji:
$ \ begin (przypadki) x = 2 + 3y, \\ 4 + 6y + y = 3 \ end (przypadki) $.
$ \ początek (przypadki) x = 2 + 3y, \\ 7y = -1 \ koniec (przypadki) $.
$ \ begin (przypadki) x = 2 + 3 (\ frac (-1) (7)), \\ y = \ frac (-1) (7) \ end (przypadki) $.
$ \ begin (przypadki) x = \ frac (11) (7), \\ x = - \ frac (11) (7) \ end (przypadki) $.
Odpowiedź: $ (\ frac (11) (7); - \ frac (1) (7)) $.

Problemy z układami równań dla niezależnego rozwiązania

Rozwiąż systemy:
1. $ \ początek (przypadki) 2x-2y = 6, \\ xy = -2 \ koniec (przypadki) $.
2. $ \ begin (cases) x + y ^ 2 = 3, \\ xy ^ 2 = 4 \ end (cases) $.
3. $ \ początek (przypadki) xy + y ^ 2 = 3, \\ y ^ 2-xy = 5 \ koniec (przypadki) $.
4. $ \ begin (przypadki) \ frac (2) (x) + \ frac (1) (y) = 4, \\\ frac (1) (x) + \ frac (3) (y) = 9 \ koniec (przypadki) $.
5. $ \ begin (przypadki) \ frac (5) (x ^ 2-xy) + \ frac (4) (y ^ 2-xy) = - \ frac (1) (6), \\\ frac (7 ) (x ^ 2-xy) - \ frac (3) (y ^ 2-xy) = \ frac (6) (5) \ end (cases) $.