Kalkulator online.
Wybór kwadratu dwumianu i faktoryzacja trójmianu kwadratowego.

Ten program do matematyki wyodrębnia kwadrat z dwumianu z trójmianu kwadratowego, tj. dokonuje przekształcenia formy:
\(ax^2+bx+c \rightarrow a(x+p)^2+q \) and faktoryzuje trójmian kwadratowy : \(ax^2+bx+c \rightarrow a(x+n)(x+m) \)

Tych. problemy sprowadzają się do znalezienia liczb \(p, q \) i \(n, m \)

Program nie tylko daje odpowiedź na problem, ale także wyświetla proces rozwiązania.

Ten program może być przydatny dla uczniów szkół średnich szkoły ogólnokształcące w przygotowaniach do praca kontrolna i egzaminów, sprawdzając wiedzę przed egzaminem, rodzice kontrolują rozwiązanie wielu problemów z matematyki i algebry. A może za drogo zatrudnisz korepetytora lub kupisz nowe podręczniki? A może po prostu chcesz to zrobić tak szybko, jak to możliwe? Praca domowa matematyka czy algebra? W tym przypadku możesz również skorzystać z naszych programów ze szczegółowym rozwiązaniem.

W ten sposób możesz przeprowadzić własny trening i/lub trenować swój młodsi bracia czy sióstr, a poziom wykształcenia w zakresie rozwiązywanych zadań wzrasta.

Jeśli nie znasz zasad wpisywania trójmianu kwadratowego, zalecamy zapoznanie się z nimi.

Zasady wprowadzania wielomianu kwadratowego

Każda litera łacińska może działać jako zmienna.
Na przykład: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) itp.

Liczby można wprowadzać jako liczby całkowite lub ułamki.
Co więcej, liczby ułamkowe można wprowadzać nie tylko w postaci ułamka dziesiętnego, ale także w postaci ułamka zwykłego.

Zasady wprowadzania ułamków dziesiętnych.
W ułamkach dziesiętnych część ułamkową od liczby całkowitej można oddzielić kropką lub przecinkiem.
Na przykład możesz wpisać ułamki dziesiętne więc: 2,5x - 3,5x^2

Zasady wprowadzania zwykłych ułamków.
Tylko liczba całkowita może pełnić funkcję licznika, mianownika i części całkowitej ułamka.

Mianownik nie może być ujemny.

Przy wprowadzaniu ułamka liczbowego licznik jest oddzielony od mianownika znakiem dzielenia: /
Część całkowita jest oddzielona od ułamka znakiem ampersandu: &
Wejście: 3&1/3 - 5&6/5x +1/7x^2
Wynik: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) x + \frac(1)(7)x^2 \)

Podczas wprowadzania wyrażenia możesz użyć nawiasów. W tym przypadku podczas rozwiązywania wprowadzone wyrażenie jest najpierw uproszczone.
Na przykład: 1/2(x-1)(x+1)-(5x-10&1/2)

Szczegółowy przykład rozwiązania

Wybór kwadratu dwumianu.$$ ax^2+bx+c \rightarrow a(x+p)^2+q $$ $$2x^2+2x-4 = $$ $$2x^2 +2 \cdot 2 \cdot\left( \frac(1)(2) \right)\cdot x+2 \cdot \left(\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) = $$ $$2\left (x^2 + 2 \cdot\left(\frac(1)(2) \right)\cdot x + \left(\frac(1)(2) \right)^2 \right)-\frac(9 )(2) = $$ $$2\left(x+\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) $$ Odpowiedź:$$2x^2+2x-4 = 2\left(x+\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) $$ Faktoryzacja.$$ ax^2+bx+c \rightarrow a(x+n)(x+m) $$ $$2x^2+2x-4 = $$
$$ 2\lewo(x^2+x-2 \prawo) = $$
$$ 2 \left(x^2+2x-1x-1 \cdot 2 \right) = $$ $$ 2 \left(x \left(x +2 \right) -1 \left(x +2 \right ) \right) = $$ $$ 2 \left(x -1 \right) \left(x +2 \right) $$ Odpowiedź:$$2x^2+2x-4 = 2 \left(x -1 \right) \left(x +2 \right) $$

Rozwiązywać

Stwierdzono, że niektóre skrypty potrzebne do rozwiązania tego zadania nie zostały załadowane, a program może nie działać.
Możesz mieć włączony AdBlock.
W takim przypadku wyłącz go i odśwież stronę.

Masz wyłączoną obsługę JavaScript w swojej przeglądarce.
Aby rozwiązanie się pojawiło, musi być włączony JavaScript.
Oto instrukcje, jak włączyć JavaScript w przeglądarce.

Dlatego Jest wiele osób, które chcą rozwiązać problem, Twoja prośba jest w kolejce.
Po kilku sekundach rozwiązanie pojawi się poniżej.
Proszę czekać sek...

Jeśli ty zauważyłem błąd w rozwiązaniu, możesz o tym napisać w Formularzu Informacji Zwrotnej .
Nie zapomnij wskaż, które zadanie Ty decydujesz co? wpisz w polach.

Nasze gry, puzzle, emulatory:

Trochę teorii.

Wyodrębnianie dwumianu kwadratowego z trójmianu kwadratowego

Jeśli kwadrat trójmianu ax 2 +bx+c jest reprezentowany jako a(x+p) 2 +q, gdzie p i q są liczby rzeczywiste, wtedy mówią, że trójmian kwadratowy, kwadrat dwumianu jest podświetlony.

Wydzielmy kwadrat dwumianu z trójmianu 2x 2 +12x+14.

\(2x^2+12x+14 = 2(x^2+6x+7) \)

Aby to zrobić, reprezentujemy 6x jako iloczyn 2 * 3 * x, a następnie dodajemy i odejmujemy 3 2 . Otrzymujemy:
$$ 2(x^2+2 \cdot 3 \cdot x + 3^2-3^2+7) = 2((x+3)^2-3^2+7) = $$ $$ = 2 ((x+3)^2-2) = 2(x+3)^2-4 $$

To. my wybrał kwadrat dwumianu z trójmianu kwadratowego i pokazał, że:
$ 2x^2+12x+14 = 2(x+3)^2-4 $$

Faktoryzacja trójmianu kwadratowego

Jeśli kwadrat trójmianu ax 2 +bx+c jest reprezentowany jako a(x+n)(x+m), gdzie n i m są liczbami rzeczywistymi, to operacja jest wykonywana faktoryzacja trójmianu kwadratowego.

Użyjmy przykładu, aby pokazać, jak odbywa się ta transformacja.

Rozliczmy trójmian kwadratowy 2x 2 + 4x-6.

Wyjmijmy współczynnik a z nawiasów, tj. 2:
\(2x^2+4x-6 = 2(x^2+2x-3) \)

Przekształćmy wyrażenie w nawiasach.
Aby to zrobić, reprezentujemy 2x jako różnicę 3x-1x, a -3 jako -1*3. Otrzymujemy:
$$ = 2(x^2+3 \cdot x -1 \cdot x -1 \cdot 3) = 2(x(x+3)-1 \cdot (x+3)) = $$
$$ = 2(x-1)(x+3) $$

To. my faktoryzować trójmian kwadratowy i pokazał, że:
$ 2x^2+4x-6 = 2(x-1)(x+3) $$

Zauważ, że faktoryzacja trójmianu kwadratowego jest możliwa tylko wtedy, gdy: równanie kwadratowe odpowiadający temu trójmianowi ma korzenie.
Tych. w naszym przypadku rozłożenie na czynniki trójmianu 2x 2 +4x-6 jest możliwe, jeśli równanie kwadratowe 2x 2 +4x-6 =0 ma pierwiastki. W procesie faktoryzacji odkryliśmy, że równanie 2x 2 +4x-6 =0 ma dwa pierwiastki 1 i -3, ponieważ przy tych wartościach równanie 2(x-1)(x+3)=0 zamienia się w prawdziwą równość.

Książki (podręczniki) Streszczenia z Jednolitego Egzaminu Państwowego i testów OGE online Gry, zagadki Wykresy funkcji Słownik ortografii języka rosyjskiego Słownik slangu młodzieżowego Katalog szkół rosyjskich Katalog szkół średnich w Rosji Katalog uniwersytetów rosyjskich Lista zadań

Wielomian to wyrażenie składające się z sumy jednomianów. Te ostatnie są iloczynem stałej (liczby) i pierwiastka (lub pierwiastków) wyrażenia do potęgi k. W tym przypadku mówimy o wielomianu stopnia k. Rozkład wielomianu obejmuje przekształcenie wyrażenia, w którym terminy są zastępowane czynnikami. Zastanówmy się nad głównymi sposobami przeprowadzenia tego rodzaju transformacji.

Metoda rozszerzania wielomianu przez wyodrębnienie wspólnego czynnika

Ta metoda opiera się na prawach prawa dystrybucji. Tak więc mn + mk = m * (n + k).

• Przykład: rozwiń 7y 2 + 2uy i 2m 3 – 12m 2 + 4lm.

7 lat 2 + 2 uy = y * (7 lat + 2 u),

2m 3 - 12m 2 + 4lm = 2m(m 2 - 6m + 2l).

Jednak nie zawsze można znaleźć czynnik, który jest koniecznie obecny w każdym wielomianu, więc ta metoda nie jest uniwersalna.

Wielomianowa metoda rozwinięcia oparta na skróconych wzorach mnożenia

Skrócone wzory mnożenia obowiązują dla wielomianu dowolnego stopnia. W ogólny widok wyrażenie konwersji wygląda tak:

uk - lk = (u - l)(u k-1 + u k-2 * l + u k-3 *l 2 + ... u * l k-2 + l k-1), gdzie k jest a przedstawiciel liczb naturalnych.

Najczęściej w praktyce stosuje się wzory na wielomiany drugiego i trzeciego rzędu:

u 2 - l 2 \u003d (u - l) (u + l),

u 3 - l 3 \u003d (u - l) (u 2 + ul + l 2),

u 3 + l 3 = (u + l) (u 2 - ul + l 2).

• Przykład: rozwiń 25p 2 - 144b 2 i 64m 3 - 8l 3 .

25p 2 - 144b 2 \u003d (5p - 12b) (5p + 12b),

64m 3 - 8l 3 = (4m) 3 - (2l) 3 = (4m - 2l)((4m) 2 + 4m * 2l + (2l) 2) = (4m - 2l)(16m 2 + 8ml + 4l 2 ).

Metoda dekompozycji wielomianowej - grupowanie wyrazów wyrażenia

Ta metoda w pewien sposób przypomina technikę wyprowadzania wspólnego czynnika, ale ma pewne różnice. W szczególności przed wyodrębnieniem czynnika wspólnego należy pogrupować jednomiany. Grupowanie opiera się na zasadach prawa skojarzeniowego i przemiennego.

Wszystkie jednomiany przedstawione w wyrażeniu są podzielone na grupy, w każdej z nich Ogólne znaczenie tak, że drugi czynnik będzie taki sam we wszystkich grupach. Ogólnie taką metodę dekompozycji można przedstawić jako wyrażenie:

pl + ks + kl + ps = (pl + ps) + (ks + kl) ⇒ pl + ks + kl + ps = p(l + s) + k(l + s),

pl + ks + kl + ps = (p + k)(l + s).

• Przykład: rozwiń 14mn + 16ln - 49m - 56l.

14mn + 16ln - 49m - 56l = (14mn - 49m) + (16ln - 56l) = 7m * (2n - 7) + 8l * (2n - 7) = (7m + 8l)(2n - 7).

Metoda rozkładu wielomianowego — tworzenie pełnego kwadratu

Metoda ta jest jedną z najbardziej wydajnych w procesie rozkładu wielomianowego. Na początkowym etapie konieczne jest określenie jednomianów, które można „złożyć” w kwadrat różnicy lub sumy. W tym celu używana jest jedna z następujących relacji:

(p - b) 2 \u003d p 2 - 2pb + b 2,

• Przykład: rozwiń wyrażenie u 4 + 4u 2 – 1.

Wśród jednomianów wyróżniamy terminy, które tworzą pełny kwadrat: 4 + 4u 2 - 1 = 4 + 2 * 2u 2 + 4 - 4 - 1 =

\u003d (u 4 + 2 * 2u 2 + 4) - 4 - 1 \u003d (u 4 + 2 * 2u 2 + 4) - 5.

Uzupełnij transformację stosując zasady skróconego mnożenia: (u 2 + 2) 2 - 5 = (u 2 + 2 - √5) (u 2 + 2 + √5).

To. u 4 + 4u 2 - 1 = (u 2 + 2 - √5)(u 2 + 2 + √5).

Bardzo często licznik i mianownik ułamka to wyrażenia algebraiczne, które najpierw musisz rozłożyć na czynniki, a następnie, znajdując to samo wśród nich, podziel na nie zarówno licznik, jak i mianownik, czyli zmniejsz ułamek. Cały rozdział podręcznika do algebry w 7 klasie poświęcony jest zadaniu rozkładania na czynniki wielomianu. Faktoring można zrobić 3 sposoby, a także połączenie tych metod.

1. Zastosowanie skróconych wzorów mnożenia

Jak wiadomo pomnóż wielomian przez wielomian, musisz pomnożyć każdy wyraz jednego wielomianu przez każdy wyraz drugiego wielomianu i dodać otrzymane iloczyny. Istnieje co najmniej 7 (siedem) powszechnych przypadków mnożenia wielomianów, które są zawarte w pojęciu. Na przykład,

Tabela 1. Faktoryzacja w pierwszy sposób

2. Wyjęcie wspólnego czynnika z nawiasu

Metoda ta opiera się na zastosowaniu rozdzielczego prawa mnożenia. Na przykład,

Każdy wyraz pierwotnego wyrażenia dzielimy przez czynnik, który wyjmujemy, a jednocześnie otrzymujemy wyrażenie w nawiasach (czyli wynik dzielenia tego, co było przez to, co wyjęliśmy, pozostaje w nawiasach). Przede wszystkim potrzebujesz poprawnie określić mnożnik, który musi być umieszczony w nawiasach.

Wielomian w nawiasach może być również wspólnym czynnikiem:

Podczas wykonywania zadania „faktoryzowania” należy szczególnie uważać na znaki, wyjmując wspólny czynnik z nawiasów. Aby zmienić znak każdego terminu w nawiasie (b-a), usuwamy czynnik wspólny -1 , a każdy termin w nawiasie dzieli się przez -1: (b - a) = - (a - b) .

W przypadku, gdy wyrażenie w nawiasach jest podniesione do kwadratu (lub do dowolnej parzystej potęgi), wtedy Liczby w nawiasach można zamieniać całkowicie za darmo, ponieważ minusy wyjęte z nawiasów nadal zamieniają się w plus po pomnożeniu: (b - a) 2 = (a - b) 2, (b - a) 4 = (a - b) 4 itp…

3. Metoda grupowania

Czasami nie wszystkie terminy w wyrażeniu mają wspólny czynnik, ale tylko niektóre. Wtedy możesz spróbować warunki grupowe w nawiasach, aby z każdego z nich można było wyliczyć jakiś czynnik. Metoda grupowania to podwójne wzięcie w nawias wspólnych czynników.

4. Używając kilku metod jednocześnie

Czasami trzeba zastosować nie jeden, ale kilka sposobów na faktoryzację wielomianu na czynniki naraz.

To jest streszczenie na ten temat. "Faktoryzacja". Wybierz kolejne kroki:

• Przejdź do następnego streszczenia:

Faktoryzacja wielomianów jest identyczną transformacją, w wyniku której wielomian przekształca się w iloczyn kilku czynników - wielomianów lub jednomianów.

Istnieje kilka sposobów rozkładania wielomianów na czynniki.

Metoda 1. Wzięcie w nawias wspólnego czynnika.

Ta transformacja opiera się na rozdzielczym prawie mnożenia: ac + bc = c(a + b). Istotą transformacji jest wyodrębnienie wspólnego czynnika w dwóch rozważanych składowych i „wyrzucenie” go z nawiasów.

Rozliczmy wielomian 28x 3 - 35x 4.

Rozwiązanie.

1. Znajdujemy wspólny dzielnik dla elementów 28x3 i 35x4. Dla 28 i 35 będzie to 7; dla x 3 i x 4 - x 3. Innymi słowy, nasz wspólny czynnik to 7x3.

2. Każdy z elementów reprezentujemy jako iloczyn czynników, z których jeden:
7x 3: 28x 3 - 35x 4 \u003d 7x 3 ∙ 4 - 7x 3 ∙ 5x.

3. Wzięcie w nawias wspólnego czynnika
7x 3: 28x 3 - 35x 4 \u003d 7x 3 ∙ 4 - 7x 3 ∙ 5x \u003d 7x 3 (4 - 5x).

Metoda 2. Korzystanie ze skróconych wzorów mnożenia. „Opanowaniem” opanowania tej metody jest dostrzeżenie w wyrażeniu jednej z formuł na skrócone mnożenie.

Rozłóżmy na czynniki wielomian x 6 - 1.

Rozwiązanie.

1. Do tego wyrażenia możemy zastosować wzór różnicy kwadratów. Aby to zrobić, reprezentujemy x 6 jako (x 3) 2, a 1 jako 1 2, tj. 1. Wyrażenie przybierze postać:
(x 3) 2 - 1 \u003d (x 3 + 1) ∙ (x 3 - 1).

2. Do otrzymanego wyrażenia możemy zastosować wzór na sumę i różnicę sześcianów:
(x 3 + 1) ∙ (x 3 - 1) \u003d (x + 1) ∙ (x 2 - x + 1) ∙ (x - 1) ∙ (x 2 + x + 1).

Więc,
x 6 - 1 = (x 3) 2 - 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 - 1) = (x + 1) ∙ (x 2 - x + 1) ∙ (x - 1) ∙ (x 2 + x + 1).

Metoda 3. Grupowanie. Metoda grupowania polega na łączeniu składowych wielomianu w taki sposób, aby można było na nich łatwo wykonać operacje (dodawanie, odejmowanie, odejmowanie wspólnego czynnika).

Faktoryzujemy wielomian x 3 - 3x 2 + 5x - 15.

Rozwiązanie.

1. Pogrupuj elementy w ten sposób: 1. z 2., a 3. z 4.
(x 3 - 3x 2) + (5x - 15).

2. W otrzymanym wyrażeniu bierzemy wspólne czynniki z nawiasów: x 2 w pierwszym przypadku i 5 w drugim.
(x 3 - 3x 2) + (5x - 15) \u003d x 2 (x - 3) + 5 (x - 3).

3. Wyciągamy wspólny dzielnik x - 3 i otrzymujemy:
x 2 (x - 3) + 5 (x - 3) \u003d (x - 3) (x 2 + 5).

Więc,
x 3 - 3x 2 + 5x - 15 \u003d (x 3 - 3x 2) + (5x - 15) \u003d x 2 (x - 3) + 5 (x - 3) \u003d (x - 3) ∙ (x 2 + 5 ).

Naprawmy materiał.

Rozkład wielomianu na czynniki a 2 - 7ab + 12b 2 .

Rozwiązanie.

1. Reprezentujemy jednomian 7ab jako sumę 3ab + 4ab. Wyrażenie przyjmie postać:
a 2 - (3ab + 4ab) + 12b 2 .

Otwórzmy nawiasy i zdobądźmy:
a 2 - 3ab - 4ab + 12b 2 .

2. Pogrupuj składniki wielomianu w ten sposób: 1. z 2. i 3. z 4.. Otrzymujemy:
(a 2 - 3ab) - (4ab - 12b 2).

3. Wyjmijmy wspólne czynniki:
(a 2 - 3ab) - (4ab - 12b 2) \u003d a (a - 3b) - 4b (a - 3b).

4. Wyjmijmy wspólny czynnik (a - 3b):
a(a – 3b) – 4b(a – 3b) = (a – 3b) (a – 4b).

Więc,
a 2 - 7ab + 12b 2 =
= a 2 - (3ab + 4ab) + 12b 2 =
= a 2 - 3ab - 4ab + 12b 2 =
= (a 2 - 3ab) - (4ab - 12b 2) =
= a(a - 3b) - 4b(a - 3b) =
= (a – 3 b) ∙ (a – 4b).

blog.site, z pełnym lub częściowym skopiowaniem materiału, wymagany jest link do źródła.

Pojęcia „wielomian” i „faktoryzacja wielomianu” w algebrze są bardzo powszechne, ponieważ trzeba je znać, aby łatwo wykonywać obliczenia z dużymi liczbami wielowartościowymi. W tym artykule opiszemy kilka metod dekompozycji. Wszystkie są dość proste w użyciu, wystarczy wybrać odpowiedni w każdym przypadku.

Pojęcie wielomianu

Wielomian to suma jednomianów, czyli wyrażeń zawierających tylko operację mnożenia.

Na przykład 2 * x * y jest jednomianem, ale 2 * x * y + 25 jest wielomianem, który składa się z 2 jednomianów: 2 * x * y i 25. Takie wielomiany nazywane są dwumianami.

Czasami, dla wygody rozwiązywania przykładów z wartościami wielowartościowymi, wyrażenie musi zostać przekształcone, na przykład, rozłożone na określoną liczbę czynników, czyli liczby lub wyrażenia, pomiędzy którymi wykonywana jest operacja mnożenia. Istnieje kilka sposobów rozkładania wielomianu na czynniki. Warto rozważyć je zaczynając od tych najbardziej prymitywnych, które stosuje się nawet w klasach podstawowych.

Grupowanie (wpis ogólny)

Wzór na rozkład wielomianu na czynniki metodą grupowania ogólnie wygląda następująco:

ac + bd + bc + ad = (ac + bc) + (ad + bd)

Jednomiany należy pogrupować tak, aby w każdej grupie pojawił się wspólny czynnik. W pierwszym nawiasie jest to czynnik c, aw drugim - d. Należy to zrobić, aby następnie wyjąć go z nawiasu, upraszczając w ten sposób obliczenia.

Algorytm dekompozycji na konkretnym przykładzie

Najprostszy przykład rozkładania wielomianu na czynniki przy użyciu metody grupowania podano poniżej:

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b)

W pierwszym nawiasie należy wziąć terminy ze współczynnikiem a, który będzie wspólny, aw drugim - ze współczynnikiem b. Zwróć uwagę na znaki + i - w gotowym wyrażeniu. Przed jednomianem stawiamy znak, który był w początkowym wyrażeniu. Oznacza to, że musisz pracować nie z wyrażeniem 25a, ale z wyrażeniem -25. Znak minus jest niejako „przyklejony” do wyrażenia za nim i zawsze uwzględnia go w obliczeniach.

W następnym kroku musisz wyjąć czynnik, który jest powszechny, z nawiasu. Po to jest grupowanie. Wyjąć go z nawiasu oznacza wypisać przed nawiasem (pomijając znak mnożenia) wszystkie te czynniki, które powtarzają się dokładnie we wszystkich terminach, które są w nawiasie. Jeśli w nawiasie nie ma 2, ale 3 lub więcej wyrazów, czynnik wspólny musi być zawarty w każdym z nich, w przeciwnym razie nie można go wyjąć z nawiasu.

W naszym przypadku tylko 2 terminy w nawiasach. Całkowity mnożnik jest natychmiast widoczny. Pierwszy nawias to a, drugi to b. Tutaj musisz zwrócić uwagę na współczynniki cyfrowe. W pierwszym nawiasie oba współczynniki (10 i 25) są wielokrotnościami 5. Oznacza to, że można umieścić w nawiasie nie tylko a, ale także 5a. Przed nawiasem wypisz 5a, a następnie podziel każdy z wyrazów w nawiasach przez wyjęty czynnik wspólny, a także zapisz iloraz w nawiasach, nie zapominając o znakach + i -. Zrób to samo z drugim nawiasem , usuń 7b, ponieważ 14 i 35 wielokrotność 7.

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b) = 5a (2c - 5) + 7b (2c - 5).

Okazało się, że 2 wyrazy: 5a (2c - 5) i 7b (2c - 5). Każdy z nich zawiera czynnik wspólny (całe wyrażenie w nawiasach jest tutaj takie samo, co oznacza, że ​​jest to czynnik wspólny): 2c - 5. Należy go również wyjąć z nawiasu, czyli wyrazy 5a i 7b pozostają w drugim nawiasie:

5a(2c - 5) + 7b(2c - 5) = (2c - 5)*(5a + 7b).

Tak więc pełne wyrażenie to:

10ac + 14bc - 25a - 35b \u003d (10ac - 25a) + (14bc - 35b) \u003d 5a (2c - 5) + 7b (2c - 5) \u003d (2c - 5) * (5a + 7b).

Zatem wielomian 10ac + 14bc - 25a - 35b rozkłada się na 2 czynniki: (2c - 5) i (5a + 7b). Znak mnożenia między nimi można pominąć podczas pisania

Czasami pojawiają się wyrażenia tego typu: 5a 2 + 50a 3, tutaj możesz umieścić w nawiasie nie tylko a lub 5a, ale nawet 5a 2. Zawsze powinieneś starać się wyjąć z nawiasu największy możliwy wspólny czynnik. W naszym przypadku, jeśli podzielimy każdy wyraz przez wspólny czynnik, otrzymamy:

5a 2 / 5a 2 = 1; 50a 3 / 5a 2 = 10a(przy obliczaniu ilorazu kilku potęg z równe podstawy podstawa jest zachowywana, a wykładnik jest odejmowany). Pozostaje więc jeden w nawiasie (w żadnym wypadku nie zapomnij go wpisać, jeśli z nawiasu usuniesz jeden z terminów w całości) i iloraz dzielenia: 10a. Okazuje się, że:

5a 2 + 50a 3 = 5a 2 (1 + 10a)

Formuły kwadratowe

Dla wygody obliczeń wyprowadzono kilka wzorów. Nazywa się je skróconymi formułami mnożenia i są używane dość często. Te formuły pomagają rozkładać na czynniki wielomiany zawierające potęgi. To kolejny efektywny sposób faktoryzacje. Oto one:

• a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 - formuła zwana „kwadratem sumy”, ponieważ w wyniku rozwinięcia do kwadratu pobierana jest suma liczb ujętych w nawiasy, to znaczy wartość tej sumy jest mnożona przez siebie 2 razy, co oznacza, że ​​jest mnożnikiem.
• a 2 + 2ab - b 2 = (a - b) 2 - wzór na kwadrat różnicy, jest podobny do poprzedniego. Wynikiem jest różnica ujęta w nawiasy, zawarta w potędze kwadratowej.
• a 2 - b 2 \u003d (a + b) (a - b)- jest to wzór na różnicę kwadratów, ponieważ początkowo wielomian składa się z 2 kwadratów liczb lub wyrażeń, między którymi wykonuje się odejmowanie. Jest to prawdopodobnie najczęściej używany z trzech.

Przykłady obliczania za pomocą wzorów na kwadraty

Obliczenia na nich są dość proste. Na przykład:

1. 25x2 + 20xy + 4 lata 2 - użyj formuły „kwadrat sumy”.
2. 25x 2 to kwadrat 5x. 20xy to dwukrotność iloczynu 2*(5x*2y), a 4y 2 to kwadrat 2y.
3. Zatem 25x 2 + 20xy + 4y 2 = (5x + 2y) 2 = (5x + 2y)(5x + 2y). Ten wielomian jest rozkładany na 2 czynniki (czynniki są takie same, dlatego jest zapisany jako wyrażenie z potęgą kwadratową).

Podobnie do nich wykonuje się operacje według wzoru kwadratu różnicy. Pozostaje różnica w formule kwadratów. Przykłady tej formuły są bardzo łatwe do zidentyfikowania i znalezienia wśród innych wyrażeń. Na przykład:

• 25a 2 - 400 \u003d (5a - 20) (5a + 20). Ponieważ 25a 2 \u003d (5a) 2 i 400 \u003d 20 2
• 36x 2 - 25 lat 2 \u003d (6x - 5 lat) (6x + 5 lat). Ponieważ 36x 2 \u003d (6x) 2 i 25y 2 \u003d (5y 2)
• c 2 - 169b 2 \u003d (c - 13b) (c + 13b). Ponieważ 169b 2 = (13b) 2

Ważne jest, aby każdy z terminów był kwadratem jakiegoś wyrażenia. Następnie ten wielomian należy rozłożyć na czynniki przez różnicę równania kwadratów. W tym celu nie jest konieczne, aby druga potęga znajdowała się powyżej liczby. Istnieją wielomiany zawierające duże potęgi, ale nadal odpowiednie dla tych wzorów.

a 8 +10a 4 +25 = (a 4) 2 + 2*a 4 *5 + 5 2 = (a 4 +5) 2

W tym przykładzie 8 można przedstawić jako (a 4) 2 , czyli kwadrat pewnego wyrażenia. 25 to 5 2 a 10a to 4 - jest to iloczyn podwójny wyrazów 2*a 4*5. Oznacza to, że to wyrażenie, pomimo obecności stopni z dużymi wykładnikami, można rozłożyć na 2 czynniki, aby później z nimi pracować.

Formuły kostki

Te same wzory istnieją przy rozkładaniu na czynniki wielomianów zawierających sześciany. Są trochę bardziej skomplikowane niż te z kwadratami:

• a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2)- ta formuła nazywa się sumą sześcianów, ponieważ w swojej początkowej postaci wielomian jest sumą dwóch wyrażeń lub liczb zawartych w sześcianie.
• a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2) - wzór identyczny jak poprzedni jest oznaczony jako różnica sześcianów.
• a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 = (a + b) 3 - kostka sum, w wyniku obliczeń otrzymuje się sumę liczb lub wyrażeń, ujętych w nawiasy i pomnożonych przez siebie 3 razy, czyli znajdujących się w kostce
• a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 = (a - b) 3 - wzór sporządzony analogicznie do poprzedniego ze zmianą tylko niektórych znaków operacje matematyczne(plus i minus), ma nazwę "kostka różnicy".

Ostatnie dwie formuły praktycznie nie są używane do rozkładania wielomianu na czynniki, ponieważ są one złożone i dość rzadko można znaleźć wielomiany, które całkowicie odpowiadają właśnie takiej strukturze, aby można je było rozłożyć zgodnie z tymi wzorami. Ale nadal musisz je znać, ponieważ będą one wymagane do działań w przeciwnym kierunku - podczas otwierania nawiasów.

Przykłady formuł sześciennych

Rozważ przykład: 64a 3 − 8b 3 = (4a) 3 − (2b) 3 = (4a − 2b)((4a) 2 + 4a*2b + (2b) 2) = (4a−2b)(16a 2 + 8ab + 4b 2 ).

Wzięliśmy tutaj dość liczby pierwsze, więc od razu widać, że 64a 3 to (4a) 3 , a 8b 3 to (2b) 3 . Zatem ten wielomian jest rozszerzany przez wzór różnicy sześcianów na 2 czynniki. Działania na wzorze sumy kostek wykonuje się przez analogię.

Ważne jest, aby zrozumieć, że nie wszystkie wielomiany można rozłożyć na co najmniej jeden ze sposobów. Ale są takie wyrażenia, które zawierają większe potęgi niż kwadrat lub sześcian, ale można je również rozszerzyć do skróconych form mnożenia. Na przykład: x 12 + 125y 3 =(x 4) 3 +(5y) 3 =(x 4 +5y)*((x 4) 2 − x 4 *5y+(5y) 2)=(x 4 + 5y) ( x 8 – 5x 4 r + 25 r 2).

Ten przykład zawiera aż 12 stopni. Ale nawet to można rozliczyć za pomocą wzoru sumy sześcianów. Aby to zrobić, musisz przedstawić x 12 jako (x 4) 3, czyli jako sześcian jakiegoś wyrażenia. Teraz zamiast a, musisz go zastąpić w formule. Cóż, wyrażenie 125y 3 to sześcian 5y. Następnym krokiem jest napisanie wzoru i wykonanie obliczeń.

Na początku lub w razie wątpliwości zawsze możesz sprawdzić przez odwrotne mnożenie. Wystarczy otworzyć nawiasy w wynikowym wyrażeniu i wykonać czynności z podobnymi terminami. Metoda ta ma zastosowanie do wszystkich wymienionych metod redukcji: zarówno do pracy ze wspólnym czynnikiem i grupowaniem, jak i do operacji na wzorach sześcianów i potęg kwadratowych.