Niektóre problemy matematyczne wymagają umiejętności obliczenia wartości pierwiastka kwadratowego. Problemy te obejmują rozwiązywanie równań drugiego rzędu. W tym artykule przedstawiamy skuteczna metoda obliczenia pierwiastki kwadratowe i używaj go podczas pracy z formułami pierwiastków równania kwadratowego.

Co to jest pierwiastek kwadratowy?

W matematyce pojęcie to odpowiada symbolowi √. Dane historyczne podają, że zaczęto go stosować po raz pierwszy w Niemczech około pierwszej połowy XVI wieku (pierwsza niemiecka praca o algebrze autorstwa Christopha Rudolfa). Naukowcy uważają, że ten symbol jest przekształconą łacińską literą r (podstawa oznacza „korzeń” po łacinie).

Pierwiastek dowolnej liczby jest równy takiej wartości, której kwadrat odpowiada wyrażeniu pierwiastka. W języku matematyki definicja ta będzie wyglądać tak: √x = y jeśli y 2 = x.

Pierwiastek liczby dodatniej (x > 0) jest również liczbą dodatnią (y > 0), ale jeśli weźmiesz pierwiastek liczby ujemnej (x< 0), то его результатом уже будет комплексное число, включающее мнимую единицу i.

Oto dwa proste przykłady:

√9 = 3, ponieważ 3 2 = 9; √(-9) = 3i, ponieważ i 2 = -1.

Iteracyjny wzór Herona do znajdowania wartości pierwiastków kwadratowych

Powyższe przykłady są bardzo proste, a obliczenie w nich korzeni nie jest trudne. Trudności zaczynają się pojawiać już przy wyszukiwaniu wartości pierwiastka dla dowolnej wartości, której nie można przedstawić w postaci kwadratu Liczba naturalna, na przykład √10, √11, 12, √13, nie mówiąc już o tym, że w praktyce konieczne jest znajdowanie pierwiastków dla liczb niecałkowitych: na przykład √(12.15), √(8,5) i tak dalej.

We wszystkich powyższych przypadkach zastosuj specjalna metoda obliczanie pierwiastka kwadratowego. Obecnie znanych jest kilka takich metod: na przykład rozwinięcie w szereg Taylora, dzielenie przez kolumnę i kilka innych. Ze wszystkich znanych metod, być może najprostszą i najskuteczniejszą jest zastosowanie wzoru iteracyjnego Herona, znanego również jako babilońska metoda wyznaczania pierwiastków kwadratowych (istnieją dowody na to, że starożytni Babilończycy używali go w swoich praktycznych obliczeniach).

Niech będzie konieczne wyznaczenie wartości √x. Wzór na znalezienie pierwiastka kwadratowego ma następny widok:

a n+1 = 1/2(a n +x/a n), gdzie lim n->∞ (a n) => x.

Rozszyfrujmy ten zapis matematyczny. Aby obliczyć √x, powinieneś wziąć pewną liczbę a 0 (może to być dowolna, jednak aby szybko uzyskać wynik, powinieneś wybrać ją tak, aby (a 0) 2 było jak najbliżej x. Następnie zamień ją na określony wzór na obliczenie pierwiastka kwadratowego i uzyskanie nowej liczby a 1, która będzie już bliższa żądanej wartości. Następnie należy w wyrażeniu zastąpić 1 i uzyskać 2. Tę procedurę należy powtarzać do uzyskano wymaganą dokładność.

Przykład zastosowania wzoru iteracyjnego Herona

Opisany powyżej algorytm obliczania pierwiastka kwadratowego z danej liczby może wydawać się dla wielu dość skomplikowany i mylący, ale w rzeczywistości wszystko okazuje się znacznie prostsze, ponieważ ta formuła bardzo szybko się zbiega (zwłaszcza jeśli wybrano dobrą liczbę a 0). .

Podajmy prosty przykład: trzeba obliczyć √11. Wybieramy 0 \u003d 3, ponieważ 3 2 \u003d 9, co jest bliższe 11 niż 4 2 \u003d 16. Zastępując wzór, otrzymujemy:

a 1 \u003d 1/2 (3 + 11/3) \u003d 3,333333;

a 2 \u003d 1/2 (3,33333 + 11 / 3,33333) \u003d 3,316668;

a 3 \u003d 1/2 (3,316668 + 11 / 3,316668) \u003d 3,31662.

Nie ma sensu kontynuować obliczeń, ponieważ stwierdziliśmy, że 2 i 3 zaczynają się różnić dopiero od piątego miejsca po przecinku. Zatem wystarczyło zastosować wzór tylko 2 razy, aby obliczyć √11 z dokładnością 0,0001.

Obecnie do obliczania pierwiastków powszechnie stosuje się kalkulatory i komputery, jednak warto zapamiętać zaznaczony wzór, aby móc ręcznie obliczyć ich dokładną wartość.

Równania drugiego rzędu

Zrozumienie, czym jest pierwiastek kwadratowy i umiejętność jego obliczania, jest wykorzystywane podczas rozwiązywania równań kwadratowych. Równania te są równościami z jedną niewiadomą, których ogólną postać pokazano na poniższym rysunku.

Tutaj c, b i a są pewnymi liczbami, a a nie może być równe zeru, a wartości c i b mogą być całkowicie dowolne, w tym równe zero.

Wszelkie wartości x, które spełniają równość wskazaną na rysunku, nazywane są jego pierwiastkami (tego pojęcia nie należy mylić z pierwiastkiem kwadratowym √). Ponieważ rozważane równanie jest drugiego rzędu (x 2), nie może być dla niego więcej pierwiastków niż dwie liczby. W dalszej części artykułu rozważymy, jak znaleźć te korzenie.

Znajdowanie pierwiastków równania kwadratowego (wzór)

Ta metoda rozwiązywania rozpatrywanego rodzaju równości jest również nazywana uniwersalną lub metodą dyskryminacyjną. Można go zastosować do dowolnych równań kwadratowych. Wzór na wyróżnik i pierwiastki równania kwadratowego jest następujący:

Widać z niego, że pierwiastki zależą od wartości każdego z trzech współczynników równania. Co więcej, obliczenie x 1 różni się od obliczenia x 2 tylko znakiem przed pierwiastkiem kwadratowym. Wyrażenie radykalne, równe b 2 - 4ac, jest niczym innym jak wyróżnikiem rozważanej równości. Wyróżnik we wzorze na pierwiastki równania kwadratowego odgrywa ważną rolę, ponieważ określa liczbę i rodzaj rozwiązań. Więc jeśli jest zero, to będzie tylko jedno rozwiązanie, jeśli jest dodatnie, to równanie ma dwa pierwiastki rzeczywiste, a ostatecznie dyskryminator ujemny prowadzi do dwóch złożonych pierwiastków x 1 i x 2.

Twierdzenie Viety lub niektóre własności pierwiastków równań drugiego rzędu

Pod koniec XVI wieku jeden z twórców współczesnej algebry, Francuz, studiujący równania drugiego rzędu, zdołał uzyskać właściwości jej pierwiastków. Matematycznie można je zapisać tak:

x 1 + x 2 = -b / a i x 1 * x 2 = c / a.

Obie równości mogą łatwo uzyskać wszyscy, do tego konieczne jest tylko spełnienie odpowiednich operacje matematyczne z korzeniami uzyskanymi dzięki formule z wyróżnikiem.

Połączenie tych dwóch wyrażeń można słusznie nazwać drugą formułą pierwiastków równania kwadratowego, która umożliwia odgadnięcie jego rozwiązań bez użycia dyskryminatora. W tym miejscu należy zauważyć, że chociaż oba wyrażenia są zawsze poprawne, wygodnie jest używać ich do rozwiązywania równania tylko wtedy, gdy można je rozłożyć na czynniki.

Zadanie utrwalania nabytej wiedzy

Rozwiążemy problem matematyczny, w którym zademonstrujemy wszystkie techniki omówione w artykule. Warunki problemu są następujące: musisz znaleźć dwie liczby, dla których iloczyn to -13, a suma to 4.

Warunek ten od razu przypomina twierdzenie Viety, korzystając ze wzorów na sumę pierwiastków kwadratowych i ich iloczyn piszemy:

x 1 + x 2 \u003d -b / a \u003d 4;

x 1 * x 2 \u003d c / a \u003d -13.

Zakładając a = 1, to b = -4 i c = -13. Te współczynniki pozwalają nam skomponować równanie drugiego rzędu:

x 2 - 4x - 13 = 0.

Używamy wzoru z wyróżnikiem, otrzymujemy następujące pierwiastki:

x 1,2 = (4 ± √D)/2, D = 16 - 4 * 1 * (-13) = 68.

Oznacza to, że zadanie zostało zredukowane do znalezienia liczby √68. Zauważ, że 68 = 4 * 17, a następnie używając pierwiastka kwadratowego, otrzymujemy: √68 = 2√17.

Teraz używamy rozważanej formuły pierwiastka kwadratowego: a 0 \u003d 4, a następnie:

a 1 \u003d 1/2 (4 + 17/4) \u003d 4,125;

a 2 \u003d 1/2 (4,125 + 17 / 4,125) \u003d 4,1231.

Nie ma potrzeby obliczania 3, ponieważ znalezione wartości różnią się tylko o 0,02. Zatem √68 = 8,246. Podstawiając go do wzoru na x 1,2, otrzymujemy:

x 1 \u003d (4 + 8,246) / 2 \u003d 6,123 i x 2 \u003d (4 - 8,246) / 2 \u003d -2,123.

Jak widać, suma znalezionych liczb jest naprawdę równa 4, ale jeśli znajdziesz ich iloczyn, to będzie ona równa -12,999, co spełnia warunek problemu z dokładnością 0,001.

Opis bibliograficzny: Gasanov A. R., Kuramshin A. A., Elkov A. A., Shilnenkov N. V., Ulanov D. D., Shmeleva O. V. Metody rozwiązywania równań kwadratowych // Młody naukowiec. - 2016r. - nr 6.1. - S. 17-20.03.2019).



Nasz projekt poświęcony jest sposobom rozwiązywania równań kwadratowych. Cel projektu: nauczenie rozwiązywania równań kwadratowych w sposób nieuwzględniony w szkolnym programie nauczania. Zadanie: znajdź wszystkie możliwe sposoby rozwiązywania równań kwadratowych i naucz się ich używać samodzielnie oraz zapoznaj kolegów z klasy z tymi metodami.

Czym są „równania kwadratowe”?

Równanie kwadratowe- równanie postaci topór2 + bx + c = 0, gdzie a, b, C- kilka liczb ( 0), x- nieznany.

Liczby a, b, c nazywane są współczynnikami równania kwadratowego.

• a nazywa się pierwszym współczynnikiem;
• b jest nazywany drugim współczynnikiem;
• c - wolny członek.

A kto pierwszy „wymyślił” równania kwadratowe?

Niektóre techniki algebraiczne do rozwiązywania równań liniowych i kwadratowych były znane już 4000 lat temu w starożytnym Babilonie. Znalezione starożytne babilońskie gliniane tabliczki, datowane gdzieś między 1800 a 1600 pne, są najwcześniejszymi dowodami badania równań kwadratowych. Te same tabliczki zawierają metody rozwiązywania niektórych typów równań kwadratowych.

Konieczność rozwiązywania równań nie tylko pierwszego, ale i drugiego stopnia była w starożytności spowodowana koniecznością rozwiązywania problemów związanych ze znajdowaniem obszarów działki oraz z robotami ziemnymi o charakterze wojskowym, a także z rozwojem samej astronomii i matematyki.

Reguła rozwiązywania tych równań, podana w tekstach babilońskich, zasadniczo pokrywa się z regułą współczesną, ale nie wiadomo, w jaki sposób Babilończycy doszli do tej reguły. Niemal wszystkie dotychczas odnalezione teksty klinowe podają jedynie problemy z rozwiązaniami podanymi w formie przepisów, bez wskazania sposobu ich znalezienia. Pomimo wysoki poziom rozwój algebry w Babilonie, w tekstach klinowych nie ma pojęcia liczby ujemnej i wspólne metody rozwiązania równań kwadratowych.

Matematycy babilońscy z około IV wieku p.n.e. zastosował metodę dopełnienia kwadratowego do rozwiązywania równań z pierwiastkami dodatnimi. Około 300 p.n.e. Euclid wymyślił bardziej ogólne metoda geometryczna rozwiązania. Pierwszym matematykiem, który znalazł rozwiązania równania z ujemnymi pierwiastkami w postaci wzoru algebraicznego, był indyjski naukowiec. Brahmagupta(Indie, VII wne).

Brahmagupta nakreślił ogólną zasadę rozwiązywania równań kwadratowych zredukowanych do jednej postaci kanonicznej:

ax2 + bx = c, a>0

W tym równaniu współczynniki mogą być ujemne. Rządy Brahmagupty zasadniczo pokrywają się z naszymi.

W Indiach powszechne były publiczne konkursy w rozwiązywaniu trudnych problemów. W jednej ze starych indyjskich książek o takich konkursach mówi się: „Jak słońce swoim blaskiem przyćmiewa gwiazdy, tak naukowiec chwała zaćmienia w popularnych zespołach, oferując i rozwiązując problemy algebraiczne. Zadania często ubierano w poetycką formę.

W traktacie algebraicznym Al-Chwarizmi podana jest klasyfikacja równań liniowych i kwadratowych. Autor wymienia 6 typów równań, wyrażając je następująco:

1) „Kwadraty są równe pierwiastkom”, tj. ax2 = bx.

2) „Kwadraty są równe liczbie”, tj. ax2 = c.

3) „Pierwiastki są równe liczbie”, tj. ax2 = c.

4) „Kwadraty i liczby są równe pierwiastkom”, czyli ax2 + c = bx.

5) „Kwadraty i pierwiastki są równe liczbie”, tj. ax2 + bx = c.

6) „Pierwiastki i liczby są równe kwadratom”, tj. bx + c == ax2.

Dla Al-Khwarizmi, który unikał używania liczb ujemnych, warunki każdego z tych równań są dodatkami, a nie odejmowaniem. W tym przypadku równania, które nie mają pozytywnych rozwiązań, oczywiście nie są brane pod uwagę. Autor nakreśla metody rozwiązywania tych równań, wykorzystując metody al-dżabra i al-muqabala. Jego decyzja oczywiście nie pokrywa się całkowicie z naszą. Nie mówiąc już o tym, że jest to czysto retoryczne, należy na przykład zauważyć, że rozwiązując niepełne równanie kwadratowe pierwszego typu, Al-Khwarizmi, jak wszyscy matematycy przed XVII wiekiem, nie bierze pod uwagę zera rozwiązanie, prawdopodobnie dlatego, że w konkretnych zadaniach praktycznych nie ma to znaczenia. Rozwiązując pełne równania kwadratowe, Al-Khwarizmi określa zasady ich rozwiązywania na podstawie konkretnych przykładów liczbowych, a następnie ich geometrycznych dowodów.

Formy rozwiązywania równań kwadratowych na modelu Al-Khwarizmi w Europie zostały po raz pierwszy opisane w „Księdze Liczydła”, napisanej w 1202 roku. włoski matematyk Leonard Fibonacci. Autor samodzielnie opracował kilka nowych przykłady algebraiczne rozwiązywania problemów i jako pierwszy w Europie podszedł do wprowadzenia liczb ujemnych.

Książka ta przyczyniła się do rozpowszechnienia wiedzy algebraicznej nie tylko we Włoszech, ale także w Niemczech, Francji i innych krajach europejskich. Wiele zadań z tej księgi zostało przeniesionych do prawie wszystkich europejskich podręczników XIV-XVII wieku. Ogólna zasada rozwiązywania równań kwadratowych zredukowanych do pojedynczej postaci kanonicznej x2 + bx = c ze wszystkimi możliwymi kombinacjami znaków i współczynników b, c została sformułowana w Europie w 1544 roku. M. Stiefela.

Wyprowadzenie wzoru na rozwiązanie równania kwadratowego w ogólna perspektywa Viet ma, ale Viet rozpoznał tylko pozytywne korzenie. włoscy matematycy Tartaglia, Cardano, Bombelli jeden z pierwszych w XVI wieku. weź pod uwagę oprócz dodatnich i ujemnych pierwiastków. Dopiero w XVII wieku. dzięki pracy Girard, Kartezjusz, Newton i inni sposób naukowców rozwiązywanie równań kwadratowych przybiera nowoczesną formę.

Rozważ kilka sposobów rozwiązywania równań kwadratowych.

Standardowe sposoby rozwiązywania równań kwadratowych z program nauczania:

1. Faktoryzacja lewej strony równania.
2. Pełnokwadratowa metoda selekcji.
3. Rozwiązywanie równań kwadratowych za pomocą wzoru.
4. Graficzne rozwiązanie równania kwadratowego.
5. Rozwiązywanie równań z wykorzystaniem twierdzenia Viety.

Przyjrzyjmy się bardziej szczegółowo rozwiązaniu zredukowanych i niezredukowanych równań kwadratowych za pomocą twierdzenia Vieta.

Przypomnijmy, że aby rozwiązać podane równania kwadratowe, wystarczy znaleźć dwie liczby takie, że iloczyn jest równy członowi wolnemu, a suma jest równa drugiemu współczynnikowi o przeciwnym znaku.

Przykład.x 2 -5x+6=0

Musisz znaleźć liczby, których iloczyn to 6, a suma to 5. Te liczby to 3 i 2.

Odpowiedź: x 1 =2, x 2 =3.

Ale możesz użyć tej metody do równań, w których pierwszy współczynnik nie jest równy jeden.

Przykład.3x 2 +2x-5=0

Bierzemy pierwszy współczynnik i mnożymy go przez wyraz wolny: x 2 +2x-15=0

Pierwiastkami tego równania będą liczby, których iloczyn to - 15, a suma to - 2. Liczby te to 5 i 3. Aby znaleźć pierwiastki pierwotnego równania, dzielimy uzyskane pierwiastki przez pierwszy współczynnik.

Odpowiedź: x 1 =-5/3, x 2 =1

6. Rozwiązywanie równań metodą „przeniesienia”.

Rozważ równanie kwadratowe ax 2 + bx + c = 0, gdzie a≠0.

Mnożąc obie jego części przez a, otrzymujemy równanie a 2 x 2 + abx + ac = 0.

Niech ax = y, skąd x = y/a; wtedy dochodzimy do równania y 2 + przez + ac = 0, które jest równoważne danemu. Znajdujemy jego pierwiastki w 1 i 2, używając twierdzenia Vieta.

W końcu otrzymujemy x 1 = y 1 /a i x 2 = y 2 /a.

Dzięki tej metodzie współczynnik a jest mnożony przez człon swobodny, jakby „przeniesiony” do niego, dlatego nazywa się to metodą „przeniesienia”. Ta metoda jest używana, gdy łatwo jest znaleźć pierwiastki równania za pomocą twierdzenia Viety i, co najważniejsze, gdy dyskryminator jest dokładnym kwadratem.

Przykład.2x 2 - 11x + 15 = 0.

„Przenieśmy” współczynnik 2 do wyrazu wolnego i dokonując zamiany otrzymujemy równanie y 2 – 11y + 30 = 0.

Zgodnie z odwrotnym twierdzeniem Viety

y 1 = 5, x 1 = 5/2, x 1 = 2,5, y 2 = 6, x 2 = 6/2, x 2 = 3.

Odpowiedź: x 1 =2,5; x 2 = 3.

7. Własności współczynników równania kwadratowego.

Niech zostanie podane równanie kwadratowe ax 2 + bx + c \u003d 0, a ≠ 0.

1. Jeśli a + b + c \u003d 0 (tj. suma współczynników równania wynosi zero), to x 1 \u003d 1.

2. Jeśli a - b + c \u003d 0 lub b \u003d a + c, to x 1 \u003d - 1.

Przykład.345x 2 - 137x - 208 = 0.

Ponieważ a + b + c \u003d 0 (345 - 137 - 208 \u003d 0), to x 1 \u003d 1, x 2 \u003d -208/345.

Odpowiedź: x 1 =1; x 2 = -208/345 .

Przykład.132x 2 + 247x + 115 = 0

Bo a-b + c \u003d 0 (132 - 247 + 115 \u003d 0), następnie x 1 \u003d - 1, x 2 \u003d - 115/132

Odpowiedź: x 1 = - 1; x 2 =- 115/132

Istnieją inne właściwości współczynników równania kwadratowego. ale ich użycie jest bardziej skomplikowane.

8. Rozwiązywanie równań kwadratowych za pomocą nomogramu.

Rys 1. Nomogram

To stara i obecnie zapomniana metoda rozwiązywania równań kwadratowych, umieszczona na s. 83 zbioru: Bradis V.M. Czterocyfrowy tabele matematyczne. - M., Edukacja, 1990.

Tabela XXII. Nomogram do rozwiązywania równań z2 + pz + q = 0. Ten nomogram pozwala, bez rozwiązywania równania kwadratowego, wyznaczyć pierwiastki równania na podstawie jego współczynników.

Skala krzywoliniowa nomogramu zbudowana jest według wzorów (ryc. 1):

Zarozumiały OS = p, ED = q, OE = a(wszystkie w cm), z rys. 1 podobieństwo trójkątów SAN oraz CDF otrzymujemy proporcję

stąd po podstawieniach i uproszczeniach następuje równanie z 2 + pz + q = 0, i list z oznacza etykietę dowolnego punktu na zakrzywionej skali.

Ryż. 2 Rozwiązywanie równania kwadratowego za pomocą nomogramu

Przykłady.

1) Dla równania z 2 - 9z + 8 = 0 nomogram daje pierwiastki z 1 = 8,0 i z 2 = 1,0

Odpowiedź: 8,0; 1.0.

2) Rozwiąż równanie za pomocą nomogramu

2z 2 - 9z + 2 = 0.

Podziel współczynniki tego równania przez 2, otrzymamy równanie z 2 - 4,5z + 1 = 0.

Nomogram daje pierwiastki z 1 = 4 i z 2 = 0,5.

Odpowiedź: 4; 0,5.

9. Geometryczna metoda rozwiązywania równań kwadratowych.

Przykład.x 2 + 10x = 39.

W oryginale problem ten jest sformułowany w następujący sposób: „Kwadrat i dziesięć pierwiastków równa się 39”.

Rozważ kwadrat o boku x, prostokąty są zbudowane na jego bokach tak, że drugi bok każdego z nich ma 2,5, zatem powierzchnia każdego z nich wynosi 2,5x. Wynikowa liczba jest następnie uzupełniana o nowy kwadrat ABCD, uzupełniając cztery rogi równy kwadrat, bok każdego z nich to 2,5, a powierzchnia to 6,25

Ryż. 3 Graficzny sposób rozwiązania równania x 2 + 10x = 39

Pole S kwadratu ABCD można przedstawić jako sumę pól: pierwotnego kwadratu x 2, czterech prostokątów (4 2,5x = 10x) i czterech dołączonych kwadratów (6,25 ∙ 4 = 25), tj. S \u003d x 2 + 10x \u003d 25. Zastępując x 2 + 10x liczbą 39, otrzymujemy, że S \u003d 39 + 25 \u003d 64, co oznacza, że ​​bok kwadratu ABCD, tj. odcinek AB \u003d 8. Dla żądanego boku x pierwotnego kwadratu otrzymujemy

10. Rozwiązywanie równań z wykorzystaniem twierdzenia Bezouta.

Twierdzenie Bezouta. Reszta po podzieleniu wielomianu P(x) przez dwumian x - α jest równa P(α) (czyli wartość P(x) przy x = α).

Jeżeli liczba α jest pierwiastkiem wielomianu P(x), to ten wielomian jest podzielny przez x -α bez reszty.

Przykład.x²-4x+3=0

Р(x)= x²-4x+3, α: ±1,±3, α=1, 1-4+3=0. Podziel P(x) przez (x-1): (x²-4x+3)/(x-1)=x-3

x²-4x+3=(x-1)(x-3), (x-1)(x-3)=0

x-1=0; x=1 lub x-3=0, x=3; Odpowiedź: x1 =2, x2 =3.

Wniosek: Umiejętność szybkiego i racjonalnego rozwiązywania równań kwadratowych jest po prostu niezbędna, aby rozwiązać więcej złożone równania, Na przykład, ułamkowe równania wymierne, równania wyższych stopni, równania dwukwadratowe, a w szkole średniej trygonometryczne, wykładnicze i równania logarytmiczne. Po przestudiowaniu wszystkich znalezionych metod rozwiązywania równań kwadratowych możemy doradzić kolegom z klasy, oprócz standardowych metod, aby rozwiązali metodę transferu (6) i rozwiązywali równania według właściwości współczynników (7), ponieważ są one bardziej dostępne do zrozumienia .

Literatura:

1. Bradis V.M. Czterocyfrowe tablice matematyczne. - M., Edukacja, 1990.
2. Algebra klasa 8: podręcznik do klasy 8. ogólne wykształcenie instytucje Makarychev Yu. N., Mindyuk N. G., Neshkov K. I., Suvorova S. B. wyd. S. A. Telyakovsky 15th ed., poprawione. - M.: Oświecenie, 2015
3. https://en.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0 %B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5
4. Glazer G.I. Historia matematyki w szkole. Przewodnik dla nauczycieli. / Wyd. V.N. Młodszy. - M.: Oświecenie, 1964.

Pierwszy poziom

Równania kwadratowe. Kompleksowy przewodnik (2019)

W pojęciu „równanie kwadratowe” słowem kluczowym jest „kwadratowe”. Oznacza to, że równanie musi koniecznie zawierać zmienną (ten sam X) w kwadracie, a jednocześnie nie powinno być X w trzecim (lub wyższym) stopniu.

Rozwiązanie wielu równań sprowadza się do rozwiązania równań kwadratowych.

Nauczmy się określać, że mamy równanie kwadratowe, a nie jakieś inne.

Przykład 1

Pozbądź się mianownika i pomnóż każdy wyraz równania przez

Przesuńmy wszystko na lewą stronę i uporządkujmy wyrazy w porządku malejącym potęg x

Teraz możemy śmiało powiedzieć, że to równanie jest kwadratowe!

Przykład 2

Pomnóż lewą i prawą stronę przez:

To równanie, chociaż pierwotnie w nim było, nie jest kwadratem!

Przykład 3

Pomnóżmy wszystko przez:

Ze strachem? Stopień czwarty i drugi... Jeśli jednak dokonamy zamiany, zobaczymy, że mamy proste równanie kwadratowe:

Przykład 4

Wydaje się, że tak, ale przyjrzyjmy się bliżej. Przenieśmy wszystko na lewą stronę:

Widzisz, skurczyło się - a teraz jest to proste równanie liniowe!

Teraz spróbuj sam ustalić, które z poniższych równań jest kwadratowe, a które nie:

Przykłady:

Odpowiedzi:

1. kwadrat;
2. kwadrat;
3. nie kwadratowy;
4. nie kwadratowy;
5. nie kwadratowy;
6. kwadrat;
7. nie kwadratowy;
8. kwadrat.

Matematycy warunkowo dzielą wszystkie równania kwadratowe na następujące typy:

• Pełne równania kwadratowe- równania, w których współczynniki oraz wyraz wolny c nie są równe zeru (jak w przykładzie). Ponadto wśród kompletnych równań kwadratowych znajdują się dany są równaniami, w których współczynnik (równanie z przykładu pierwszego jest nie tylko kompletne, ale i pomniejszone!)

• Niepełne równania kwadratowe- równania, w których współczynnik i/lub wyraz wolny c są równe zeru:

  Są niekompletne, ponieważ brakuje w nich jakiegoś elementu. Ale równanie musi zawsze zawierać x do kwadratu !!! W przeciwnym razie nie będzie to już równanie kwadratowe, ale jakieś inne równanie.

Dlaczego wymyślili taki podział? Wydawałoby się, że jest X do kwadratu i dobrze. Taki podział wynika z metod rozwiązania. Rozważmy każdy z nich bardziej szczegółowo.

Rozwiązywanie niekompletnych równań kwadratowych

Najpierw skupmy się na rozwiązywaniu niepełnych równań kwadratowych - są one znacznie prostsze!

Niepełne równania kwadratowe są typu:

1. , w tym równaniu współczynnik jest równy.
2. , w tym równaniu wyraz wolny jest równy.
3. , w tym równaniu współczynnik i wyraz wolny są sobie równe.

1. ja. Ponieważ wiemy, jak wyodrębnić Pierwiastek kwadratowy, to wyrażmy z tego równania

Wyrażenie może być negatywne lub pozytywne. Liczba do kwadratu nie może być ujemna, ponieważ mnożąc dwie liczby ujemne lub dwie liczby dodatnie, wynik zawsze będzie liczbą dodatnią, czyli: jeśli, to równanie nie ma rozwiązań.

A jeśli, to otrzymamy dwa pierwiastki. Te formuły nie muszą być zapamiętywane. Najważniejsze, że zawsze powinieneś wiedzieć i pamiętać, że nie może być mniej.

Spróbujmy rozwiązać kilka przykładów.

Przykład 5:

Rozwiązać równanie

Teraz pozostaje wydobyć korzeń z lewej i prawej części. W końcu pamiętasz, jak wydobyć korzenie?

Odpowiedź:

Nigdy nie zapominaj o korzeniach ze znakiem ujemnym!!!

Przykład 6:

Rozwiązać równanie

Odpowiedź:

Przykład 7:

Rozwiązać równanie

Auć! Kwadrat liczby nie może być ujemny, co oznacza, że ​​równanie

bez korzeni!

Dla takich równań, w których nie ma pierwiastków, matematycy wymyślili specjalną ikonę - (pusty zestaw). A odpowiedź można napisać tak:

Odpowiedź:

Zatem to równanie kwadratowe ma dwa pierwiastki. Nie ma tu żadnych ograniczeń, ponieważ nie wyodrębniliśmy korzenia.
Przykład 8:

Rozwiązać równanie

Wyjmijmy wspólny czynnik z nawiasów:

W ten sposób,

To równanie ma dwa pierwiastki.

Odpowiedź:

Najprostszy typ niekompletnych równań kwadratowych (chociaż wszystkie są proste, prawda?). Oczywiście to równanie ma zawsze tylko jeden pierwiastek:

Tutaj obejdziemy się bez przykładów.

Rozwiązywanie pełnych równań kwadratowych

Przypominamy, że pełne równanie kwadratowe jest równaniem postaci równania gdzie

Rozwiązywanie pełnych równań kwadratowych jest nieco bardziej skomplikowane (tylko trochę) niż te podane.

Pamiętać, dowolne równanie kwadratowe można rozwiązać za pomocą dyskryminatora! Nawet niekompletne.

Reszta metod pomoże ci zrobić to szybciej, ale jeśli masz problemy z równaniami kwadratowymi, najpierw opanuj rozwiązanie za pomocą dyskryminatora.

1. Rozwiązywanie równań kwadratowych za pomocą dyskryminatora.

Rozwiązywanie równań kwadratowych w ten sposób jest bardzo proste, najważniejsze jest zapamiętanie sekwencji działań i kilku formuł.

Jeśli, to równanie ma pierwiastek Specjalna uwaga narysuj krok. Wyróżnik () mówi nam liczbę pierwiastków równania.

• Jeśli, to formuła na etapie zostanie zredukowana do. Zatem równanie będzie miało tylko pierwiastek.
• Jeśli, to nie będziemy w stanie wydobyć korzenia dyskryminatora na tym etapie. Oznacza to, że równanie nie ma pierwiastków.

Wróćmy do naszych równań i spójrzmy na kilka przykładów.

Przykład 9:

Rozwiązać równanie

Krok 1 pomijać.

Krok 2

Znalezienie dyskryminatora:

Więc równanie ma dwa pierwiastki.

Krok 3

Odpowiedź:

Przykład 10:

Rozwiązać równanie

Równanie ma postać standardową, więc Krok 1 pomijać.

Krok 2

Znalezienie dyskryminatora:

Więc równanie ma jeden pierwiastek.

Odpowiedź:

Przykład 11:

Rozwiązać równanie

Równanie ma postać standardową, więc Krok 1 pomijać.

Krok 2

Znalezienie dyskryminatora:

Oznacza to, że nie będziemy w stanie wydobyć korzenia z dyskryminatora. Nie ma pierwiastków równania.

Teraz wiemy, jak poprawnie zapisywać takie odpowiedzi.

Odpowiedź: bez korzeni

2. Rozwiązywanie równań kwadratowych z wykorzystaniem twierdzenia Vieta.

Jeśli pamiętasz, istnieje taki rodzaj równań, które nazywa się zredukowanymi (gdy współczynnik a jest równy):

Takie równania są bardzo łatwe do rozwiązania za pomocą twierdzenia Viety:

Suma pierwiastków dany równanie kwadratowe jest równe, a iloczyn pierwiastków jest równy.

Przykład 12:

Rozwiązać równanie

To równanie jest odpowiednie do rozwiązania przy użyciu twierdzenia Viety, ponieważ .

Suma pierwiastków równania to tj. otrzymujemy pierwsze równanie:

A produkt to:

Stwórzmy i rozwiążmy system:

• oraz. Suma jest;
• oraz. Suma jest;
• oraz. Kwota jest równa.

i są rozwiązaniem systemu:

Odpowiedź: ; .

Przykład 13:

Rozwiązać równanie

Odpowiedź:

Przykład 14:

Rozwiązać równanie

Równanie jest zredukowane, co oznacza:

Odpowiedź:

RÓWNANIA KWADRATOWE. ŚREDNI POZIOM

Co to jest równanie kwadratowe?

Innymi słowy, równanie kwadratowe jest równaniem postaci, gdzie - nie wiadomo, - ponadto niektóre liczby.

Liczba nazywa się najwyższą lub pierwszy współczynnik równanie kwadratowe, - drugi współczynnik, a - Wolny Członek.

Czemu? Bo jeśli równanie natychmiast stanie się liniowe, ponieważ zniknie.

W tym przypadku i może być równe zero. W tym równaniu stolca nazywa się niekompletnym. Jeśli wszystkie warunki są na miejscu, to znaczy, że równanie jest kompletne.

Rozwiązania różnych typów równań kwadratowych

Metody rozwiązywania niepełnych równań kwadratowych:

Na początek przeanalizujemy metody rozwiązywania niepełnych równań kwadratowych - są prostsze.

Można wyróżnić następujące typy równań:

I. , w tym równaniu współczynnik i wyraz wolny są sobie równe.

II. , w tym równaniu współczynnik jest równy.

III. , w tym równaniu wyraz wolny jest równy.

Rozważ teraz rozwiązanie każdego z tych podtypów.

Oczywiście to równanie ma zawsze tylko jeden pierwiastek:

Liczba do kwadratu nie może być ujemna, ponieważ mnożąc dwie liczby ujemne lub dwie liczby dodatnie, wynik zawsze będzie liczbą dodatnią. Więc:

jeśli, to równanie nie ma rozwiązań;

jeśli mamy dwa korzenie

Te formuły nie muszą być zapamiętywane. Najważniejszą rzeczą do zapamiętania jest to, że nie może być mniej.

Przykłady:

Rozwiązania:

Odpowiedź:

Nigdy nie zapominaj o korzeniach z ujemnym znakiem!

Kwadrat liczby nie może być ujemny, co oznacza, że ​​równanie

bez korzeni.

Aby krótko napisać, że problem nie ma rozwiązania, używamy pustej ikony zestawu.

Odpowiedź:

Tak więc to równanie ma dwa pierwiastki: i.

Odpowiedź:

Wyjmijmy wspólny czynnik z nawiasów:

Iloczyn jest równy zero, jeśli przynajmniej jeden z czynników jest równy zeru. Oznacza to, że równanie ma rozwiązanie, gdy:

Tak więc to równanie kwadratowe ma dwa pierwiastki: i.

Przykład:

Rozwiązać równanie.

Rozwiązanie:

Rozkładamy lewą stronę równania na czynniki i znajdujemy pierwiastki:

Odpowiedź:

Metody rozwiązywania pełnych równań kwadratowych:

1. Dyskryminujący

Rozwiązywanie równań kwadratowych w ten sposób jest łatwe, najważniejsze jest zapamiętanie sekwencji działań i kilku formuł. Pamiętaj, że każde równanie kwadratowe można rozwiązać za pomocą dyskryminatora! Nawet niekompletne.

Czy zauważyłeś korzeń wyróżnika we wzorze pierwiastka? Ale wyróżnik może być negatywny. Co robić? Musimy zwrócić szczególną uwagę na krok 2. Wyróżnik mówi nam liczbę pierwiastków równania.

• Jeśli, to równanie ma pierwiastek:
• Jeśli, to równanie ma ten sam pierwiastek, ale w rzeczywistości jeden pierwiastek:

  Takie korzenie nazywane są podwójnymi korzeniami.

• Jeśli, to rdzeń dyskryminatora nie jest wyodrębniany. Oznacza to, że równanie nie ma pierwiastków.

Dlaczego liczba korzeni jest różna? Zwróćmy się do zmysł geometryczny równanie kwadratowe. Wykres funkcji to parabola:

W szczególnym przypadku, którym jest równanie kwadratowe, . A to oznacza, że ​​pierwiastkami równania kwadratowego są punkty przecięcia z osią x (osią). Parabola może w ogóle nie przecinać osi lub może przecinać ją w jednym (gdy wierzchołek paraboli leży na osi) lub w dwóch punktach.

Ponadto współczynnik odpowiada za kierunek gałęzi paraboli. Jeśli, to gałęzie paraboli skierowane są w górę, a jeśli - w dół.

Przykłady:

Rozwiązania:

Odpowiedź:

Odpowiedź: .

Odpowiedź:

Oznacza to, że nie ma rozwiązań.

Odpowiedź: .

2. Twierdzenie Viety

Korzystanie z twierdzenia Vieta jest bardzo proste: wystarczy wybrać parę liczb, których iloczyn jest równy członowi wolnemu równania, a suma jest równa drugiemu współczynnikowi, przyjętemu z przeciwnym znakiem.

Należy pamiętać, że twierdzenie Viety można zastosować tylko do podane równania kwadratowe ().

Spójrzmy na kilka przykładów:

Przykład 1:

Rozwiązać równanie.

Rozwiązanie:

To równanie jest odpowiednie do rozwiązania przy użyciu twierdzenia Viety, ponieważ . Inne współczynniki: ; .

Suma pierwiastków równania to:

A produkt to:

Wybierzmy takie pary liczb, których iloczyn jest równy i sprawdźmy, czy ich suma jest równa:

• oraz. Suma jest;
• oraz. Suma jest;
• oraz. Kwota jest równa.

i są rozwiązaniem systemu:

Tak więc i są korzeniami naszego równania.

Odpowiedź: ; .

Przykład #2:

Rozwiązanie:

Wybieramy takie pary liczb, które dają iloczyn, a następnie sprawdzamy, czy ich suma jest równa:

oraz: daj w sumie.

oraz: daj w sumie. Aby to uzyskać, wystarczy zmienić oznaki rzekomych korzeni: i w końcu pracę.

Odpowiedź:

Przykład #3:

Rozwiązanie:

Wyraz wolny równania jest ujemny, a zatem iloczyn pierwiastków jest liczbą ujemną. Jest to możliwe tylko wtedy, gdy jeden z pierwiastków jest ujemny, a drugi dodatni. Więc suma pierwiastków wynosi różnice w ich modułach.

Dobieramy takie pary liczb, które dają w produkcie, a których różnica jest równa:

oraz: ich różnica jest - nieodpowiednia;

oraz: - nieodpowiednie;

oraz: - nieodpowiednie;

oraz: - odpowiedni. Pozostaje tylko pamiętać, że jeden z korzeni jest ujemny. Ponieważ ich suma musi być równa, to pierwiastek, który jest mniejszy w wartości bezwzględnej, musi być ujemny: . Sprawdzamy:

Odpowiedź:

Przykład #4:

Rozwiązać równanie.

Rozwiązanie:

Równanie jest zredukowane, co oznacza:

Wyraz wolny jest ujemny, a zatem iloczyn pierwiastków jest ujemny. A jest to możliwe tylko wtedy, gdy jeden pierwiastek równania jest ujemny, a drugi dodatni.

Wybieramy takie pary liczb, których iloczyn jest równy, a następnie określamy, które pierwiastki powinny mieć znak ujemny:

Oczywiście tylko korzenie i nadają się do pierwszego warunku:

Odpowiedź:

Przykład #5:

Rozwiązać równanie.

Rozwiązanie:

Równanie jest zredukowane, co oznacza:

Suma pierwiastków jest ujemna, co oznacza, że ​​przynajmniej jeden z pierwiastków jest ujemny. Ale ponieważ ich produkt jest dodatni, oznacza to, że oba korzenie są ujemne.

Wybieramy takie pary liczb, których iloczyn jest równy:

Oczywiście korzeniami są liczby i.

Odpowiedź:

Zgadzam się, jest to bardzo wygodne - wymyślać korzenie ustnie, zamiast liczyć ten paskudny dyskryminator. Staraj się używać twierdzenia Viety tak często, jak to możliwe.

Ale twierdzenie Vieta jest potrzebne, aby ułatwić i przyspieszyć znajdowanie pierwiastków. Aby korzystanie z niego było opłacalne, musisz doprowadzić działania do automatyzmu. I w tym celu rozwiąż jeszcze pięć przykładów. Ale nie oszukuj: nie możesz używać wyróżnika! Tylko twierdzenie Viety:

Rozwiązania zadań do samodzielnej pracy:

Zadanie 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Zgodnie z twierdzeniem Viety:

Jak zwykle selekcję rozpoczynamy od produktu:

Nie nadaje się, ponieważ kwota;

: kwota jest taka, jakiej potrzebujesz.

Odpowiedź: ; .

Zadanie 2.

I znowu nasze ulubione twierdzenie Vieta: suma powinna zadziałać, ale iloczyn jest równy.

Ale skoro tak nie powinno być, ale zmieniamy znaki korzeni: i (w sumie).

Odpowiedź: ; .

Zadanie 3.

Hmm... Gdzie to jest?

Konieczne jest przeniesienie wszystkich terminów w jedną część:

Suma korzeni jest równa iloczynowi.

Tak, przestań! Równanie nie jest podane. Ale twierdzenie Viety ma zastosowanie tylko w podanych równaniach. Więc najpierw musisz przynieść równanie. Jeśli nie możesz go poruszyć, porzuć ten pomysł i rozwiąż go w inny sposób (na przykład poprzez wyróżnik). Przypomnę, że sprowadzenie równania kwadratowego oznacza uczynienie wiodącego współczynnika równym:

W porządku. Wtedy suma pierwiastków jest równa, a iloczyn.

Łatwiej tu wyłapać: w końcu liczba pierwsza (przepraszam za tautologię).

Odpowiedź: ; .

Zadanie 4.

Termin wolny jest ujemny. Co jest w nim takiego specjalnego? I fakt, że korzenie będą miały różne znaki. A teraz podczas selekcji sprawdzamy nie sumę pierwiastków, ale różnicę między ich modułami: ta różnica jest równa, ale iloczyn.

Czyli korzenie są równe i, ale jeden z nich ma minus. Twierdzenie Viety mówi nam, że suma pierwiastków jest równa drugiemu współczynnikowi o przeciwnym znaku. Oznacza to, że mniejszy korzeń będzie miał minus: i od.

Odpowiedź: ; .

Zadanie 5.

Co należy zrobić najpierw? Zgadza się, podaj równanie:

Ponownie: wybieramy czynniki liczby, a ich różnica powinna być równa:

Korzenie są równe i, ale jeden z nich to minus. Który? Ich suma musi być równa, co oznacza, że ​​z minusem będzie większy pierwiastek.

Odpowiedź: ; .

Pozwólcie, że podsumuję:

1. Twierdzenie Viety jest używane tylko w podanych równaniach kwadratowych.
2. Korzystając z twierdzenia Vieta, możesz znaleźć pierwiastki przez selekcję, ustnie.
3. Jeśli równanie nie jest podane lub nie znaleziono odpowiedniej pary czynników wyrazu wolnego, to nie ma pierwiastków całkowitych i trzeba je rozwiązać w inny sposób (na przykład przez dyskryminację).

3. Metoda wyboru pełnego kwadratu

Jeżeli wszystkie wyrazy zawierające niewiadomą są reprezentowane jako wyrazy ze wzorów skróconego mnożenia - kwadrat sumy lub różnicy - to po zmianie zmiennych równanie może być reprezentowane jako niepełne równanie kwadratowe typu.

Na przykład:

Przykład 1:

Rozwiązać równanie: .

Rozwiązanie:

Odpowiedź:

Przykład 2:

Rozwiązać równanie: .

Rozwiązanie:

Odpowiedź:

Ogólnie transformacja będzie wyglądać tak:

Oznacza to: .

Czy to ci nic nie przypomina? To wyróżnik! Tak właśnie uzyskano wzór na dyskryminację.

RÓWNANIA KWADRATOWE. KRÓTKO O GŁÓWNYM

Równanie kwadratowe jest równaniem postaci, gdzie jest niewiadomą, są współczynnikami równania kwadratowego, jest wyrazem swobodnym.

Pełne równanie kwadratowe- równanie, w którym współczynniki nie są równe zeru.

Zredukowane równanie kwadratowe- równanie, w którym współczynnik, czyli: .

Niepełne równanie kwadratowe- równanie, w którym współczynnik i/lub wyraz wolny c są równe zeru:

• jeśli współczynnik, równanie ma postać: ,
• jeśli wyraz wolny, równanie ma postać: ,
• jeśli i równanie ma postać: .

1. Algorytm rozwiązywania niepełnych równań kwadratowych

1.1. Niepełne równanie kwadratowe postaci, gdzie :

1) Wyraź nieznane: ,

2) Sprawdź znak wyrażenia:

• jeśli, to równanie nie ma rozwiązań,
• jeśli, to równanie ma dwa pierwiastki.

1.2. Niepełne równanie kwadratowe postaci, gdzie :

1) Wyjmijmy wspólny czynnik z nawiasów: ,

2) Iloczyn jest równy zero, jeśli przynajmniej jeden z czynników jest równy zero. Dlatego równanie ma dwa pierwiastki:

1.3. Niepełne równanie kwadratowe postaci, gdzie:

To równanie ma zawsze tylko jeden pierwiastek: .

2. Algorytm rozwiązywania pełnych równań kwadratowych postaci gdzie

2.1. Rozwiązanie wykorzystujące wyróżnik

1) Doprowadzamy równanie do standardowy widok: ,

2) Oblicz dyskryminator ze wzoru: , który wskazuje liczbę pierwiastków równania:

3) Znajdź pierwiastki równania:

• jeśli, to równanie ma pierwiastek, który można znaleźć ze wzoru:
• jeśli, to równanie ma pierwiastek, który znajduje się ze wzoru:
• jeśli, to równanie nie ma pierwiastków.

2.2. Rozwiązanie wykorzystujące twierdzenie Viety

Suma pierwiastków zredukowanego równania kwadratowego (równanie postaci, gdzie) jest równa, a iloczyn pierwiastków jest równy, tj. , a.

2.3. Pełne rozwiązanie kwadratowe

Jeśli równanie kwadratowe postaci ma pierwiastki, to można je zapisać w postaci: .

Cóż, temat się skończył. Jeśli czytasz te linijki, to jesteś bardzo fajny.

Ponieważ tylko 5% ludzi jest w stanie opanować coś samodzielnie. A jeśli doczytałeś do końca, to jesteś w 5%!

Teraz najważniejsza rzecz.

Rozgryzłeś teorię na ten temat. I powtarzam, to jest… po prostu super! Już jesteś lepszy niż większość twoich rówieśników.

Problem w tym, że to może nie wystarczyć...

Po co?

Za sukces zdanie egzaminu, o przyjęcie do instytutu z budżetu i, CO NAJWAŻNIEJ, na całe życie.

Do niczego Cię nie przekonam, powiem tylko jedno...

Osoby, które otrzymały Dobra edukacja zarabiają znacznie więcej niż ci, którzy jej nie otrzymali. To są statystyki.

Ale to nie jest najważniejsze.

Najważniejsze, że są BARDZIEJ SZCZĘŚLIWI (są takie badania). Być może dlatego, że wiele się przed nimi otwiera. więcej możliwości a życie staje się jaśniejsze? Nie wiem...

Ale pomyśl sam...

Co trzeba zrobić, aby być lepszym od innych na egzaminie i być ostatecznie… szczęśliwszym?

WYPEŁNIJ SWOJĄ RĘKĘ, ROZWIĄZUJĄC PROBLEMY W TYM TEMACIE.

Na egzaminie nie zostaniesz zapytany o teorię.

Będziesz potrzebować rozwiązywać problemy na czas.

A jeśli ich nie rozwiązałeś (DUŻO!), na pewno popełnisz gdzieś głupi błąd lub po prostu nie zdążysz na czas.

To jak w sporcie – trzeba wiele razy powtórzyć, żeby na pewno wygrać.

Znajdź kolekcję w dowolnym miejscu koniecznie z rozwiązaniami szczegółowa analiza i zdecyduj, zdecyduj, zdecyduj!

Możesz skorzystać z naszych zadań (niekoniecznie) i na pewno je polecamy.

Aby uzyskać pomoc w naszych zadaniach, musisz pomóc przedłużyć żywotność podręcznika YouClever, który właśnie czytasz.

W jaki sposób? Istnieją dwie opcje:

1. Odblokuj dostęp do wszystkich ukrytych zadań w tym artykule - 299 rubli
2. Odblokuj dostęp do wszystkich ukrytych zadań we wszystkich 99 artykułach samouczka — 499 rubli

Tak, mamy w podręczniku 99 takich artykułów i dostęp do wszystkich zadań i wszystkich ukryte teksty można je natychmiast otworzyć.

Dostęp do wszystkich ukrytych zadań jest zapewniony przez cały okres użytkowania witryny.

Podsumowując...

Jeśli nie lubisz naszych zadań, znajdź inne. Tylko nie poprzestawaj na teorii.

„Zrozumiałem” i „Wiem, jak rozwiązać” to zupełnie inne umiejętności. Potrzebujesz obu.

Znajdź problemy i rozwiąż!

Równania kwadratowe. Dyskryminujący. Rozwiązanie, przykłady.

Uwaga!
Są dodatkowe
materiał w sekcji specjalnej 555.
Dla tych, którzy zdecydowanie „nie bardzo…”
I dla tych, którzy "bardzo...")

Rodzaje równań kwadratowych

Co to jest równanie kwadratowe? Jak to wygląda? W terminie równanie kwadratowe słowo kluczowe to "kwadrat". Oznacza to, że w równaniu koniecznie musi być x do kwadratu. Oprócz tego w równaniu może być (lub nie być!) Tylko x (do pierwszego stopnia) i tylko liczba (Wolny Członek). I nie powinno być iksów w stopniu większym niż dwa.

W kategoriach matematycznych równanie kwadratowe jest równaniem postaci:

Tutaj a, b i c- kilka liczb. b i c- absolutnie każdy, ale a- wszystko oprócz zera. Na przykład:

Tutaj a =1; b = 3; C = -4

Tutaj a =2; b = -0,5; C = 2,2

Tutaj a =-3; b = 6; C = -18

Cóż, masz pomysł...

W tych równaniach kwadratowych po lewej stronie jest komplet członków. x do kwadratu ze współczynnikiem a, x do pierwszej potęgi o współczynniku b oraz wolny członek

Takie równania kwadratowe nazywają się kompletny.

I jeśli b= 0, co otrzymamy? Mamy X zniknie w pierwszym stopniu. Dzieje się tak poprzez pomnożenie przez zero.) Okazuje się na przykład:

5x 2 -25 = 0,

2x 2 -6x=0,

-x 2 +4x=0

Itp. A jeśli oba współczynniki b oraz C są równe zero, to jest jeszcze prostsze:

2x 2 \u003d 0,

-0,3x 2 \u003d 0

Takie równania, w których czegoś brakuje, nazywa się niepełne równania kwadratowe. Co jest całkiem logiczne.) Zauważ, że x do kwadratu występuje we wszystkich równaniach.

Przy okazji, dlaczego a nie może być zero? A ty zastępujesz zamiast tego a zero.) X w kwadracie zniknie! Równanie stanie się liniowe. A robi się to inaczej...

To wszystkie główne typy równań kwadratowych. Kompletny i niekompletny.

Rozwiązywanie równań kwadratowych.

Rozwiązywanie pełnych równań kwadratowych.

Równania kwadratowe są łatwe do rozwiązania. Zgodnie ze wzorami i jasnymi, prostymi zasadami. Na pierwszym etapie potrzebujesz podane równanie doprowadzić do standardowego formularza, tj. do widoku:

Jeśli równanie jest już podane w tej formie, nie musisz wykonywać pierwszego etapu.) Najważniejsze jest prawidłowe określenie wszystkich współczynników, a, b oraz C.

Wzór na znalezienie pierwiastków równania kwadratowego wygląda tak:

Wyrażenie pod znakiem korzenia nazywa się dyskryminujący. Ale więcej o nim poniżej. Jak widać, aby znaleźć x, używamy tylko a, b i c. Tych. współczynniki z równania kwadratowego. Wystarczy ostrożnie zastąpić wartości a, b i c do tej formuły i policzyć. Zastąpić z twoimi znakami! Na przykład w równaniu:

a =1; b = 3; C= -4. Tutaj piszemy:

Przykład prawie rozwiązany:

To jest odpowiedź.

Wszystko jest bardzo proste. A jak myślisz, nie możesz się pomylić? No tak, jak...

Najczęstsze błędy to pomylenie ze znakami wartości a, b i c. A raczej nie z ich znakami (gdzie można się pomylić?), Ale z podstawieniem wartości ujemnych do wzoru na obliczanie pierwiastków. Tutaj zapisuje szczegółowy zapis formuły z określonymi liczbami. Jeśli są problemy z obliczeniami, więc zrób to!

Załóżmy, że musimy rozwiązać następujący przykład:

Tutaj a = -6; b = -5; C = -1

Powiedzmy, że wiesz, że za pierwszym razem rzadko otrzymujesz odpowiedzi.

Cóż, nie bądź leniwy. Napisanie dodatkowej linii zajmie 30 sekund.I liczba błędów gwałtownie spadnie. Piszemy więc szczegółowo, z wszystkimi nawiasami i znakami:

Tak staranne malowanie wydaje się niezwykle trudne. Ale tylko się wydaje. Spróbuj. No lub wybierz. Co jest lepsze, szybkie czy właściwe? Poza tym sprawię, że będziesz szczęśliwy. Po pewnym czasie nie będzie trzeba wszystkiego tak dokładnie malować. Po prostu okaże się słuszne. Zwłaszcza jeśli zastosujesz praktyczne techniki, które opisano poniżej. Ten zły przykład z mnóstwem minusów zostanie rozwiązany łatwo i bez błędów!

Ale często równania kwadratowe wyglądają nieco inaczej. Na przykład tak:

Czy wiedziałeś?) Tak! Ten niekompletne równania kwadratowe.

Rozwiązywanie niepełnych równań kwadratowych.

Można je również rozwiązać za pomocą ogólnego wzoru. Musisz tylko poprawnie ustalić, co jest tutaj równe a, b i c.

Realizowany? W pierwszym przykładzie a = 1; b = -4; a C? W ogóle nie istnieje! No tak, zgadza się. W matematyce oznacza to, że c = 0 ! To wszystko. Zastąp zero we wzorze zamiast C, i wszystko się u nas ułoży. Podobnie z drugim przykładem. Tylko zero, którego tu nie mamy Z, a b !

Ale niekompletne równania kwadratowe można rozwiązać znacznie łatwiej. Bez żadnych formuł. Rozważ pierwszy niekompletne równanie. Co można zrobić po lewej stronie? Możesz wyjąć X z nawiasów! Wyrzućmy to.

A co z tego? I fakt, że iloczyn jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy którykolwiek z czynników jest równy zero! Nie wierzysz? Więc wymyśl dwie niezerowe liczby, które po pomnożeniu dadzą zero!
Nie działa? Coś...
Dlatego śmiało możemy napisać: x 1 = 0, x 2 = 4.

Wszystko. To będą korzenie naszego równania. Oba pasują. Podstawiając dowolne z nich do pierwotnego równania, otrzymujemy poprawną tożsamość 0 = 0. Jak widać, rozwiązanie jest znacznie prostsze niż wzór ogólny. Zaznaczam przy okazji, który X będzie pierwszy, a który drugi – jest to absolutnie obojętne. Łatwe pisanie w porządku x 1- w zależności od tego, co jest mniejsze x 2- to, co jest więcej.

Drugie równanie również można łatwo rozwiązać. Przechodzimy 9 na prawą stronę. Otrzymujemy:

Pozostaje wydobyć korzeń z 9 i to wszystko. Dostawać:

również dwa korzenie . x 1 = -3, x 2 = 3.

W ten sposób rozwiązywane są wszystkie niekompletne równania kwadratowe. Albo wyjmując X z nawiasów, albo po prostu przenosząc liczbę w prawo, a następnie wyodrębniając pierwiastek.
Niezwykle trudno jest pomylić te metody. Po prostu dlatego, że w pierwszym przypadku trzeba będzie wydobyć korzeń z X, co jest jakoś niezrozumiałe, a w drugim przypadku nie ma co wyciągać z nawiasów…

Dyskryminujący. Formuła dyskryminacyjna.

magiczne słowo dyskryminujący ! Rzadki licealista nie słyszał tego słowa! Wyrażenie „zdecydować poprzez dyskryminację” jest uspokajające i uspokajające. Bo nie trzeba czekać na sztuczki dyskryminatora! Jest prosty i bezproblemowy w użyciu.) Przypominam najbardziej ogólną formułę rozwiązywania każdy równania kwadratowe:

Wyrażenie pod znakiem korzenia nazywa się wyróżnikiem. Wyróżnik jest zwykle oznaczany literą D. Formuła dyskryminacyjna:

D = b 2 - 4ac

A co jest takiego szczególnego w tym wyrażeniu? Dlaczego zasługuje na specjalną nazwę? Co znaczenie dyskryminatora? W sumie -b, lub 2a w tej formule nie nazywają konkretnie… Liter i liter.

Chodzi o to. Rozwiązując równanie kwadratowe za pomocą tego wzoru, jest to możliwe tylko trzy przypadki.

1. Wyróżnik jest pozytywny. Oznacza to, że możesz wydobyć z niego korzeń. Inną kwestią jest to, czy korzeń jest dobrze czy źle wydobyty. Ważne jest, co jest w zasadzie wyodrębnione. Wtedy twoje równanie kwadratowe ma dwa pierwiastki. Dwa różne rozwiązania.

2. Dyskryminator to zero. Wtedy masz jedno rozwiązanie. Ponieważ dodanie lub odjęcie zera w liczniku niczego nie zmienia. Ściśle mówiąc, nie jest to pojedynczy korzeń, ale dwa identyczne. Ale w uproszczonej wersji zwyczajowo mówi się o jedno rozwiązanie.

3. Wyróżnik jest negatywny. Liczba ujemna nie bierze pierwiastka kwadratowego. No dobrze. Oznacza to, że nie ma rozwiązań.

Szczerze mówiąc, w proste rozwiązanie równania kwadratowe, pojęcie wyróżnika nie jest szczególnie wymagane. Podstawiamy wartości współczynników we wzorze i rozważamy. Tam wszystko okazuje się samo i dwa korzenie i jeden, a nie jeden. Jednak przy rozwiązywaniu bardziej złożonych zadań, bez wiedzy znaczenie i formuła dyskryminacyjna niewystarczająco. Szczególnie - w równaniach z parametrami. Takie równania to akrobacje dla GIA i Unified State Examination!)

Więc, jak rozwiązywać równania kwadratowe poprzez wyróżnik, który zapamiętałeś. Albo wyuczony, co też nie jest złe.) Wiesz, jak poprawnie zidentyfikować a, b i c. Czy wiesz jak ostrożnie zastąp je formułą korzeni i ostrożnie policz wynik. Czy rozumiesz to słowo kluczowe tutaj - ostrożnie?

Teraz zwróć uwagę na praktyczne techniki, które radykalnie zmniejszają liczbę błędów. Te same, które są spowodowane nieuwagą... Dla których jest to wtedy bolesne i obraźliwe...

Pierwsze przyjęcie . Nie bądź leniwy przed rozwiązaniem równania kwadratowego, aby doprowadzić je do standardowej postaci. Co to znaczy?
Załóżmy, że po dowolnych przekształceniach otrzymasz następujące równanie:

Nie spiesz się, aby napisać formułę korzeni! Prawie na pewno pomieszasz szanse a, b i c. Zbuduj poprawnie przykład. Najpierw x do kwadratu, potem bez kwadratu, potem wolny członek. Lubię to:

I znowu nie spiesz się! Minus przed x do kwadratu może cię bardzo zdenerwować. Zapomnienie o tym jest łatwe... Pozbądź się minusa. W jaki sposób? Tak, jak nauczano w poprzednim temacie! Całe równanie musimy pomnożyć przez -1. Otrzymujemy:

A teraz możesz bezpiecznie zapisać wzór na pierwiastki, obliczyć dyskryminator i uzupełnić przykład. Zdecyduj sam. Powinieneś otrzymać pierwiastki 2 i -1.

Drugie przyjęcie. Sprawdź swoje korzenie! Zgodnie z twierdzeniem Viety. Nie martw się, wszystko wyjaśnię! Kontrola Ostatnia rzecz równanie. Tych. ten, za pomocą którego zapisaliśmy formułę korzeni. Jeżeli (jak w tym przykładzie) współczynnik a = 1, łatwo sprawdź korzenie. Wystarczy je pomnożyć. Powinieneś dostać darmowy termin, tj. w naszym przypadku -2. Zwróć uwagę, nie 2, ale -2! Wolny Członek z twoim znakiem . Jeśli to nie wyszło, oznacza to, że już gdzieś nawalili. Poszukaj błędu.

Jeśli się udało, musisz złożyć korzenie. Ostatnia i ostateczna kontrola. Powinien być stosunek b Z odwrotny podpisać. W naszym przypadku -1+2 = +1. Współczynnik b, który jest przed x, jest równy -1. Więc wszystko jest w porządku!
Szkoda, że ​​jest to takie proste tylko dla przykładów, w których x do kwadratu jest czyste, ze współczynnikiem a = 1. Ale przynajmniej sprawdź takie równania! Będzie mniej błędów.

Odbiór trzeci . Jeśli twoje równanie ma współczynniki ułamkowe, pozbądź się ułamków! Pomnóż równanie przez wspólny mianownik, jak opisano w lekcji „Jak rozwiązywać równania? Transformacje tożsamości”. Podczas pracy z ułamkami, błędami z jakiegoś powodu wspinaj się ...

Przy okazji obiecałem zły przykład z kilkoma minusami dla uproszczenia. Zapraszamy! Oto jest.

Aby nie pomylić się z minusami, równanie mnożymy przez -1. Otrzymujemy:

To wszystko! Podejmowanie decyzji jest fajne!

Podsumujmy więc temat.

Praktyczne wskazówki:

1. Przed rozwiązaniem równanie kwadratowe doprowadzamy do postaci standardowej, budujemy je prawidłowy.

2. Jeśli przed x w kwadracie znajduje się ujemny współczynnik, eliminujemy go mnożąc całe równanie przez -1.

3. Jeśli współczynniki są ułamkowe, eliminujemy ułamki, mnożąc całe równanie przez odpowiedni współczynnik.

4. Jeśli x do kwadratu jest czyste, współczynnik dla niego jest równy jeden, rozwiązanie można łatwo sprawdzić za pomocą twierdzenia Viety. Zrób to!

Teraz możesz zdecydować.)

Rozwiąż równania:

8x 2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3x + 8 = 0

x 2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

Odpowiedzi (w nieładzie):

x 1 = 0
x 2 = 5

x 1,2 =2

x 1 = 2
x 2 \u003d -0,5

x - dowolna liczba

x 1 = -3
x 2 = 3

brak rozwiązań

x 1 = 0,25
x 2 \u003d 0,5

Czy wszystko pasuje? W porządku! Równania kwadratowe nie są twoje bół głowy. Pierwsze trzy okazały się, ale reszta nie? Wtedy problem nie leży w równaniach kwadratowych. Problem tkwi w identycznych przekształceniach równań. Spójrz na link, jest pomocny.

Nie całkiem działa? Czy to w ogóle nie działa? Wtedy pomoże ci sekcja 555. Tam wszystkie te przykłady są posortowane według kości. Seans Główny błędy w rozwiązaniu. Oczywiście mówimy też o zastosowaniu identycznych przekształceń w rozwiązaniu różne równania. Bardzo pomaga!

Jeśli podoba Ci się ta strona...

Nawiasem mówiąc, mam dla Ciebie kilka innych interesujących stron.)

Możesz ćwiczyć rozwiązywanie przykładów i sprawdzać swój poziom. Testowanie z natychmiastową weryfikacją. Nauka - z zainteresowaniem!)

możesz zapoznać się z funkcjami i pochodnymi.

Właśnie. Zgodnie ze wzorami i jasnymi, prostymi zasadami. Na pierwszym etapie

konieczne jest doprowadzenie danego równania do postaci standardowej, tj. do widoku:

Jeśli równanie jest już podane w tej formie, nie musisz robić pierwszego etapu. Najważniejsza rzecz ma rację

określić wszystkie współczynniki a, b oraz C.

Wzór na znalezienie pierwiastków równania kwadratowego.

Wyrażenie pod znakiem korzenia nazywa się dyskryminujący . Jak widać, aby znaleźć x, my

posługiwać się tylko a, b i c. Tych. kursy od równanie kwadratowe. Wystarczy ostrożnie włożyć

wartości a, b i c do tej formuły i policzyć. Zastąp przez ich oznaki!

na przykład, w równaniu:

a =1; b = 3; C = -4.

Zastąp wartości i napisz:

Przykład prawie rozwiązany:

To jest odpowiedź.

Najczęstsze błędy to pomylenie ze znakami wartości a, b oraz Z. Raczej z podstawieniem

wartości ujemne we wzorze do obliczania korzeni. Tutaj zapisuje szczegółowa formuła

z określonymi numerami. Jeśli są problemy z obliczeniami, zrób to!

Załóżmy, że musimy rozwiązać następujący przykład:

Tutaj a = -6; b = -5; C = -1

Malujemy wszystko szczegółowo, starannie, nie gubiąc niczego ze wszystkimi znakami i nawiasami:

Często równania kwadratowe wyglądają nieco inaczej. Na przykład tak:

Teraz zwróć uwagę na praktyczne techniki, które radykalnie zmniejszają liczbę błędów.

Pierwsze przyjęcie. Nie bądź leniwy wcześniej rozwiązywanie równania kwadratowego doprowadź go do standardowej formy.

Co to znaczy?

Załóżmy, że po dowolnych przekształceniach otrzymasz następujące równanie:

Nie spiesz się, aby napisać formułę korzeni! Prawie na pewno pomieszasz szanse a, b i c.

Zbuduj poprawnie przykład. Najpierw x do kwadratu, potem bez kwadratu, potem wolny członek. Lubię to:

Pozbądź się minusa. W jaki sposób? Całe równanie musimy pomnożyć przez -1. Otrzymujemy:

A teraz możesz bezpiecznie zapisać wzór na pierwiastki, obliczyć dyskryminator i uzupełnić przykład.

Zdecyduj sam. Powinieneś otrzymać pierwiastki 2 i -1.

Drugie przyjęcie. Sprawdź swoje korzenie! Za pomocą Twierdzenie Viety.

Aby rozwiązać podane równania kwadratowe, tj. jeśli współczynnik

x2+bx+c=0,

następniex 1 x 2 = c

x1 +x2 =−b

Dla pełnego równania kwadratowego, w którym a≠1:

x 2 +bx+C=0,

podziel całe równanie przez a:

→ →

gdzie x 1 oraz x 2 - pierwiastki równania.

Odbiór trzeci. Jeśli twoje równanie ma współczynniki ułamkowe, pozbądź się ułamków! Zwielokrotniać

równanie na wspólny mianownik.

Wniosek. Praktyczne wskazówki:

1. Przed rozwiązaniem równanie kwadratowe doprowadzamy do postaci standardowej, budujemy je prawidłowy.

2. Jeśli przed x w kwadracie znajduje się ujemny współczynnik, eliminujemy go mnożąc wszystko

równania dla -1.

3. Jeśli współczynniki są ułamkowe, eliminujemy ułamki, mnożąc całe równanie przez odpowiedni

czynnik.

4. Jeśli x do kwadratu jest czyste, współczynnik dla niego jest równy jeden, rozwiązanie można łatwo sprawdzić za pomocą