§ 1 Pojęcie uproszczenia wyrażenia dosłownego

W tej lekcji zapoznamy się z pojęciem „podobnych terminów” i na przykładach nauczymy się dokonywać redukcji takich terminów, upraszczając w ten sposób wyrażenia dosłowne.

Wyjaśnijmy znaczenie pojęcia „uproszczenie”. Uproszczenie wywodzi się z uproszczenia. Upraszczać to upraszczać, upraszczać. Dlatego uproszczenie wyrażenia dosłownego polega na skróceniu go, z stawka minimalna akcja.

Rozważmy wyrażenie 9x + 4x. Jest to dosłowne wyrażenie będące sumą. Terminy są tutaj przedstawione jako iloczyny liczby i litery. Współczynnik liczbowy takich terminów nazywa się współczynnikiem. W tym wyrażeniu współczynnikami będą liczby 9 i 4. Zauważ, że współczynnik reprezentowany przez literę jest taki sam w obu kategoriach tej sumy.

Pamiętajmy o prawie dystrybucji mnożenia:

Aby pomnożyć sumę przez liczbę, możesz pomnożyć każdy wyraz przez tę liczbę i dodać otrzymane iloczyny.

V ogólna perspektywa napisane następująco: (a + b) ∙ c = ac + bc.

Prawo to jest spełnione w obu kierunkach ac + bc = (a + b) ∙ с

Zastosujmy to do naszego dosłownego wyrażenia: suma iloczynów 9x i 4x jest równa iloczynowi, którego pierwszym czynnikiem jest jest równa sumie 9 i 4, drugim czynnikiem jest x.

9 + 4 = 13, okazuje się, że 13x.

9x + 4x = (9 + 4) x = 13x.

Zamiast trzech czynności w wyrażeniu pozostaje jedna czynność - mnożenie. Oznacza to, że uprościliśmy nasze dosłowne wyrażenie, tj. uprościł to.

§ 2 Redukcja podobnych warunków

Wyrażenia 9x i 4x różnią się tylko współczynnikami – takie terminy nazywa się podobnymi. Część literowa dla takich terminów jest taka sama. Terminy takie obejmują również liczby i terminy równe.

Na przykład w wyrażeniu 9a + 12 - 15 podobnymi określeniami będą liczby 12 i -15, a w sumie iloczynu 12 i 6a liczba 14 oraz iloczyn 12 i 6a (12 ∙ 6a + 14 + 12 ∙ 6a), równorzędne warunki przedstawiały iloczyn 12 i 6a.

Należy zauważyć, że terminy, które mają równe współczynniki, ale czynniki dosłowne są różne, nie są podobne, chociaż czasami przydatne jest zastosowanie do nich prawa mnożenia, na przykład sumy iloczynów 5x i 5y jest równy iloczynowi liczby 5 i sumy x i y

5x + 5y = 5 (x + y).

Uprośćmy wyrażenie -9a + 15a - 4 + 10.

Podobnymi terminami są w tym przypadku terminy -9a i 15a, ponieważ różnią się one tylko współczynnikami. Ich współczynnik literowy jest taki sam, terminy -4 i 10 są również podobne, ponieważ są liczbami. Dodajemy podobne terminy:

9a + 15a - 4 + 10

9a + 15a = 6a;

Otrzymujemy: 6a + 6.

Upraszczając wyrażenie, znaleźliśmy sumy podobnych terminów, w matematyce nazywa się to redukcją podobnych terminów.

Jeśli trudno jest połączyć takie terminy, możesz wymyślić dla nich słowa i dodać przedmioty.

Rozważmy na przykład wyrażenie:

Dla każdej litery bierzemy własny obiekt: b-jabłko, c-gruszka, następnie otrzymujemy: 2 jabłka minus 5 gruszek plus 8 gruszek.

Czy możemy odjąć gruszki od jabłek? Oczywiście nie. Ale możemy dodać 8 gruszek do minus 5 gruszek.

Oto podobne terminy -5 gruszek + 8 gruszek. Dla takich terminów część literowa jest taka sama, dlatego przynosząc takie terminy wystarczy dodać współczynniki i dodać część literową do wyniku:

(-5 + 8) gruszki - otrzymujesz 3 gruszki.

Wracając do naszego dosłownego wyrażenia, mamy -5 s + 8 s = 3 s. Zatem po przyniesieniu podobnych terminów otrzymujemy wyrażenie 2b + 3c.

Tak więc w tej lekcji zapoznałeś się z pojęciem „podobnych terminów” i nauczyłeś się, jak uprościć wyrażenia dosłowne, wprowadzając podobne terminy.

Lista wykorzystanej literatury:

1. Matematyka. 6 klasa: plany lekcji do podręcznika I.I. Zubareva, AG Mordkovich // opracowany przez L.A. Topilina. Mnemosyne 2009.
2. Matematyka. Klasa 6: podręcznik dla uczniów instytucje edukacyjne... I. I. Zubareva, A. G. Mordkovich - M .: Mnemosina, 2013.
3. Matematyka. Klasa 6: podręcznik dla instytucji edukacyjnych / G.V. Dorofiejew, I.F. Sharygin, S.B. Suworow i inni / pod redakcją G.V. Dorofeeva, I.F. Szarygin; Rosyjska Akademia Nauk, Rosyjska Akademia Edukacji. M .: „Edukacja”, 2010.
4. Matematyka. Klasa 6: podręcznik dla instytucji edukacji ogólnej / N. Ya. Vilenkin, V.I. Żochow, A.S. Czesnokow, S.I. Schwarzburda. - M.: Mnemosina, 2013.
5. Matematyka. 6 klasa: podręcznik / G.K. Muravin, O.V. Murawina. - M .: Drop, 2014.

Wykorzystane obrazy:

Wyrażenia, konwersja wyrażeń

Wyrażenia potęgowe (wyrażenia z potęgami) i ich konwersja

W tym artykule omówimy konwersję wyrażeń potęgowych. Najpierw zajmiemy się transformacjami, które są wykonywane za pomocą wszelkiego rodzaju wyrażeń, w tym tych z wyrażenia wykładnicze, takich jak nawiasy rozszerzające, rzutowanie podobnych terminów. A potem przeanalizujemy transformacje tkwiące właśnie w wyrażeniach z potęgami: praca z podstawą i wykładnikiem, używanie własności stopni itp.

Nawigacja po stronach.

Co to są wyrażenia wykładnicze?

Termin „wyrażenia wykładnicze” praktycznie nie występuje w szkolnych podręcznikach do matematyki, ale często pojawia się w zbiorach problemów, zwłaszcza tych przeznaczonych na przykład do przygotowania do egzaminu i egzaminu. Po przeanalizowaniu zadań, w których trzeba wykonać dowolne czynności z wyrażeniami wykładniczymi, staje się jasne, że wyrażenia są rozumiane jako wyrażenia zawierające w swoich zapisach stopnie. Dlatego dla siebie możesz przyjąć następującą definicję:

Definicja.

Wyrażenia wykładnicze Są wyrażeniami zawierającymi stopnie.

Dajmy przykłady wyrażeń wykładniczych... Ponadto przedstawimy je według tego, jak rozwój poglądów przebiega od stopnia ze wskaźnikiem naturalnym do stopnia ze wskaźnikiem rzeczywistym.

Jak wiadomo, najpierw jest znajomość potęgi liczby z wykładnikiem naturalnym, na tym etapie pierwsze najprostsze wyrażenia potęgowe typu 3 2, 7 5 +1, (2 + 1) 5, (−0, 1) 4, 3 a 2 −a + a 2, x 3−1, (a 2) 3 itd.

Nieco później badana jest potęga liczby z wykładnikiem całkowitym, co prowadzi do pojawienia się wyrażeń potęgowych z ujemnymi potęgami całkowitymi, takich jak: 3 −2, , a -2 + 2 b -3 + c 2.

W liceum znów wracają do stopni. Tam wprowadzany jest stopień z wykładnikiem wymiernym, co pociąga za sobą pojawienie się odpowiednich wyrażeń potęgowych: , , itp. Wreszcie, brane są pod uwagę stopnie z irracjonalnymi wskaźnikami i wyrażeniami je zawierającymi:,.

Sprawa nie ogranicza się do wymienionych wyrażeń potęgowych: zmienna wnika dalej w wykładnik i np. takie wyrażenia 2 x 2 +1 lub ... A po zapoznaniu się zaczynają pojawiać się wyrażenia potęgujące i logarytmiczne, np. x 2 · lgx −5 · x lgx.

Tak więc ustaliliśmy pytanie, czym są wyrażenia wykładnicze. Następnie dowiemy się, jak je przekształcić.

Podstawowe typy przekształceń wyrażeń potęgowych

Za pomocą wyrażeń wykładniczych można wykonać dowolne podstawowe identyczne przekształcenia wyrażeń. Na przykład możesz rozwinąć nawiasy, zastąpić wyrażenia numeryczne ich wartościami, podać podobne terminy itp. Oczywiście w tym przypadku konieczne jest przestrzeganie przyjętej procedury wykonywania czynności. Oto kilka przykładów.

Przykład.

Oceń wartość wyrażenia wykładniczego 2 3 · (4 2 −12).

Rozwiązanie.

Zgodnie z kolejnością wykonywania czynności najpierw wykonujemy czynności w nawiasach. Tam po pierwsze zastępujemy stopień 4 2 jego wartością 16 (patrz jeśli to konieczne), a po drugie obliczamy różnicę 16−12 = 4. Mamy 2 3 (4 2 −12) = 2 3 (16−12) = 2 3 4.

W otrzymanym wyrażeniu zamień potęgę 2 3 na jej wartość 8, po czym obliczamy iloczyn 8 4 = 32. To jest pożądana wartość.

Więc, 2 3 (4 2 - 12) = 2 3 (16 - 12) = 2 3 4 = 8 4 = 32.

Odpowiedź:

2 3 (4 2 −12) = 32.

Przykład.

Uprość wyrażenia mocy 3 za 4 b -7 -1 + 2 za 4 b -7.

Rozwiązanie.

Oczywiście to wyrażenie zawiera podobne terminy 3 · a 4 · b-7 i 2 · a 4 · b-7 i możemy je sprowadzić:.

Odpowiedź:

3 za 4 b -7 -1 + 2 za 4 b -7 = 5 za 4 b -7 -1.

Przykład.

Wyobraź sobie ekspresję z mocami jako produkt.

Rozwiązanie.

Aby poradzić sobie z zadaniem, reprezentacja liczby 9 w postaci potęgi 3 2, a następnie użycie wzoru na skrócone mnożenie to różnica kwadratów:

Odpowiedź:

Istnieje również szereg identycznych przekształceń związanych z wyrażeniami mocy. Następnie je przeanalizujemy.

Praca z podstawą i wykładnikiem

Istnieją stopnie, których podstawą i / lub wykładnikiem są nie tylko liczby lub zmienne, ale niektóre wyrażenia. Jako przykład przedstawiamy wpisy (2 + 0,37) 5-3,7 oraz (a (a + 1) -a 2) 2 (x + 1).

Podczas pracy z takimi wyrażeniami można zastąpić zarówno wyrażenie oparte na stopniu, jak i wyrażenie w wykładniku, identycznie równym wyrażeniem na ODZ jego zmiennych. Innymi słowy, zgodnie ze znanymi nam regułami, możemy osobno przekształcić podstawę stopnia, a osobno – wykładnik. Oczywiste jest, że w wyniku tego przekształcenia otrzymamy wyrażenie identyczne z pierwotnym.

Takie przekształcenia pozwalają nam uprościć wyrażenia z mocami lub osiągnąć inne cele, których potrzebujemy. Na przykład w powyższym wyrażeniu wykładniczym (2 + 0,3 · 7) 5-3,7 możesz wykonać akcje z liczbami w podstawie i wykładniku, co pozwoli ci przejść do potęgi 4,1 1,3. A po rozwinięciu nawiasów i zmniejszeniu podobnych wyrazów w podstawie stopnia (a (a + 1) −a 2) 2 (x + 1) otrzymujemy wyrażenie potęgowe więcej prosty rodzaj 2 (x + 1).

Korzystanie z właściwości stopnia

Jednym z głównych narzędzi zamiany wyrażeń z władzami jest równość, refleksja. Przypomnijmy główne. Dla dowolnych liczb dodatnich a i b oraz dowolnych liczby rzeczywiste r i s, obowiązują następujące właściwości stopni:

• a r za s = r + s;
• a r: a s = a r − s;
• (a b) r = a r b r;
• (a:b) r = a r: b r;
• (a r) s = r r s.

Zauważ, że w przypadku wykładników naturalnych, całkowitych, a także dodatnich, ograniczenia dotyczące liczb a i b mogą nie być tak surowe. Na przykład dla liczby naturalne m i n, równość a m a n = a m + n jest prawdziwa nie tylko dla dodatniego a, ale także dla ujemnego a i dla a = 0.

W szkole główna uwaga podczas przekształcania wyrażeń władzy skupia się właśnie na umiejętności wyboru odpowiedniej właściwości i jej prawidłowego zastosowania. W tym przypadku podstawy stopni są zwykle dodatnie, co pozwala bez ograniczeń korzystać z właściwości stopni. To samo dotyczy przekształceń wyrażeń zawierających zmienne w podstawach stopni – zakres dopuszczalnych wartości zmiennych jest zwykle taki, że na nim podstawy przyjmują tylko wartości dodatnie, co pozwala swobodnie korzystać z właściwości stopni. Ogólnie rzecz biorąc, musisz stale zadawać sobie pytanie, czy w tym przypadku możliwe jest zastosowanie dowolnej właściwości stopni, ponieważ niedokładne użycie właściwości może prowadzić do zwężenia ODV i innych problemów. Punkty te zostały szczegółowo omówione wraz z przykładami w artykule dotyczącym konwersji wyrażeń przy użyciu właściwości stopni. Tutaj ograniczymy się do rozważenia kilku prostych przykładów.

Przykład.

Wyobraź sobie wyrażenie a 2,5 · (a 2) -3: a -5,5 jako potęga o podstawie a.

Rozwiązanie.

Najpierw przekształcamy drugi czynnik (a 2) -3 o własność podniesienia potęgi do potęgi: (a 2) -3 = a 2 (-3) = a -6... Pierwotne wyrażenie wykładnicze przyjmie wtedy postać a 2,5 · a -6: a -5,5. Oczywiście pozostaje skorzystać z własności mnożenia i dzielenia potęg o tej samej podstawie, którą mamy
za 2,5 za -6: za -5,5 =
a 2,5-6: a -5,5 = a -3,5: a -5,5 =
a -3,5 - (-5,5) = a 2.

Odpowiedź:

a 2,5 (a 2) -3: a -5,5 = a 2.

Właściwości potęgowe są używane zarówno od lewej do prawej, jak i od prawej do lewej podczas przekształcania wyrażeń wykładniczych.

Przykład.

Znajdź wartość wyrażenia wykładniczego.

Rozwiązanie.

Równość (a b) r = a r b r, zastosowana od prawej do lewej, pozwala przejść od pierwotnego wyrażenia do iloczynu formy i dalej. A kiedy mnożymy stopnie przez z tych samych powodów wskaźniki sumują się: .

Można było dokonać przekształcenia pierwotnego wyrażenia w inny sposób:

Odpowiedź:

.

Przykład.

Mając wyrażenie wykładnicze a 1.5 −a 0.5 −6, wprowadź nową zmienną t = a 0.5.

Rozwiązanie.

Stopień a 1,5 można przedstawić jako 0,5 · 3, a następnie, na podstawie właściwości stopnia w stopniu (a r) s = a r · s, zastosowanego od prawej do lewej, przekształcić go do postaci (a 0,5) 3. W ten sposób, a 1,5 −a 0,5 −6 = (a 0,5) 3 −a 0,5 −6... Teraz łatwo jest wprowadzić nową zmienną t = a 0.5, otrzymujemy t 3 −t − 6.

Odpowiedź:

t 3 − t − 6.

Zamiana ułamków zawierających potęgi

Wyrażenia potęgowe mogą zawierać ułamki z potęgami lub być takimi ułamkami. Wszelkie podstawowe przekształcenia ułamków, które są nieodłącznie związane z ułamkami dowolnego rodzaju, mają pełne zastosowanie do takich ułamków. Oznacza to, że ułamki zawierające potęgi można anulować, sprowadzić do nowego mianownika, przepracować osobno z ich licznikiem i osobno z mianownikiem itp. Aby zilustrować wypowiadane słowa, rozważ rozwiązania kilku przykładów.

Przykład.

Uprość wyrażenie wykładnicze .

Rozwiązanie.

To wykładnicze wyrażenie jest ułamkiem. Popracujmy z jego licznikiem i mianownikiem. W liczniku otwieramy nawiasy i upraszczamy otrzymane po nim wyrażenie wykorzystując własności potęg, a w mianowniku podajemy podobne wyrażenia:

Zmieniamy również znak mianownika, umieszczając minus przed ułamkiem: .

Odpowiedź:

.

Zmniejszenie ułamków zawierających potęgi do nowego mianownika odbywa się w taki sam sposób, jak zmniejszenie do nowego mianownika ułamki wymierne... W tym przypadku znajduje się również dodatkowy czynnik i mnoży się przez niego licznik i mianownik ułamka. Wykonując tę ​​czynność warto pamiętać, że redukcja do nowego mianownika może prowadzić do zawężenia ODV. Aby temu zapobiec, konieczne jest, aby dodatkowy czynnik nie znikał dla żadnych wartości zmiennych ze zmiennych ODZ dla pierwotnego wyrażenia.

Przykład.

Zmniejsz ułamki do nowego mianownika: a) do mianownika a, b) do mianownika.

Rozwiązanie.

a) W takim przypadku dość łatwo jest ustalić, który dodatkowy czynnik pomaga osiągnąć pożądany rezultat. Jest to współczynnik a 0,3, ponieważ 0,7 · a 0,3 = a 0,7 + 0,3 = a. Zauważmy, że w zakresie dopuszczalnych wartości zmiennej a (jest to zbiór wszystkich dodatnich liczb rzeczywistych) stopień a 0,3 nie zanika, dlatego mamy prawo pomnożyć licznik i mianownik danego ułamka ten dodatkowy czynnik:

b) Przyglądając się bliżej mianownikowi, można zauważyć, że

a pomnożenie tego wyrażenia przez da sumę sześcianów, czyli. I to jest nowy mianownik, do którego musimy zredukować pierwotny ułamek.

W ten sposób znaleźliśmy dodatkowy czynnik. Na zakresie poprawnych wartości zmiennych x i y wyrażenie nie znika, dlatego możemy pomnożyć przez niego licznik i mianownik ułamka:

Odpowiedź:

a) , b) .

Skrót ułamków zawierających potęgi również nie jest niczym nowym: licznik i mianownik są reprezentowane jako wiele czynników, a te same czynniki licznika i mianownika są anulowane.

Przykład.

Zmniejsz ułamek: a) , b).

Rozwiązanie.

a) Najpierw licznik i mianownik można skasować przez liczby 30 i 45, czyli 15. Oczywiście można też dokonać redukcji o x 0,5 +1 io ... Oto, co mamy:

b) W tym przypadku te same czynniki w liczniku i mianowniku nie są od razu widoczne. Aby je zdobyć, będziesz musiał wykonać wstępne przekształcenia. W tym przypadku polegają one na rozłożeniu mianownika na czynniki według wzoru na różnicę kwadratów:

Odpowiedź:

a)

b) .

Redukcja ułamków do nowego mianownika i redukcja ułamków jest używana głównie do wykonywania działań z ułamkami. Akcje wykonywane są według znanych reguł. Podczas dodawania (odejmowania) ułamków są one redukowane do wspólnego mianownika, po czym liczniki są dodawane (odejmowane), a mianownik pozostaje taki sam. Wynik jest ułamkiem, którego licznik jest iloczynem liczników, a mianownik jest iloczynem mianowników. Dzielenie przez ułamek to mnożenie przez odwrotność ułamka.

Przykład.

Wykonaj kroki .

Rozwiązanie.

Najpierw odejmujemy ułamki w nawiasach. Aby to zrobić, łączymy je ze wspólnym mianownikiem, którym jest , po czym odejmujemy liczniki:

Teraz mnożymy ułamki:

Oczywiście możliwe jest anulowanie o potęgę x 1/2, po czym mamy .

Możesz również uprościć wyrażenie wykładnicze w mianowniku, używając wzoru różnicy kwadratów: .

Odpowiedź:

Przykład.

Uprość wyrażenie wykładnicze .

Rozwiązanie.

Oczywiście ten ułamek można skasować o (x 2,7 +1) 2, co daje ułamek ... Oczywiste jest, że ze stopniami x trzeba zrobić coś jeszcze. Aby to zrobić, przekształcamy powstałą frakcję w produkt. Daje nam to możliwość skorzystania z właściwości dzielenia stopni tymi samymi podstawami: ... A pod koniec procesu przechodzimy od ostatniego produktu do ułamka.

Odpowiedź:

.

Dodajemy też, że możliwe i w wielu przypadkach pożądane jest przeniesienie mnożników z ujemnymi wykładnikami z licznika na mianownik lub z mianownika na licznik, zmieniając znak wykładnika. Takie przekształcenia często ułatwiają dalsze działania. Na przykład wyrażenie wykładnicze można zastąpić.

Konwersja wyrażeń z pierwiastkami i potęgami

Często w wyrażeniach, w których wymagane są pewne przekształcenia, obok potęg z wykładnikami ułamkowymi występują również pierwiastki. Aby przekonwertować podobne wyrażenie na właściwy rodzaj, w większości przypadków wystarczy sięgnąć tylko do korzeni lub tylko do mocarstw. Ale ponieważ wygodniej jest pracować ze stopniami, zwykle przechodzą one od korzeni do stopni. Wskazane jest jednak przeprowadzenie takiego przejścia, gdy ODZ zmiennych dla pierwotnego wyrażenia pozwala na zastąpienie pierwiastków potęgami bez konieczności odwoływania się do modułu lub dzielenia ODV na kilka przedziałów (szczegółowo omówiliśmy to w w artykule przejście od pierwiastków do potęg i z powrotem, wprowadzono stopień ze wskaźnikiem irracjonalnym, co pozwala mówić o stopniu z dowolnym wskaźnikiem rzeczywistym. funkcja wykładnicza, który jest ustalany analitycznie przez stopień, u podstawy którego jest liczba, a we wskaźniku - zmienna. Mamy więc do czynienia z wyrażeniami wykładniczymi zawierającymi liczby w podstawie stopnia, aw wykładniku - wyrażenia ze zmiennymi i oczywiście konieczne staje się dokonywanie przekształceń takich wyrażeń.

Należy powiedzieć, że przekształcenie tego typu wyrażeń zwykle musi być wykonane przy rozwiązywaniu równania wykładnicze oraz wykładnicze nierówności a te konwersje są dość proste. W przeważającej większości przypadków opierają się na właściwościach stopnia i mają na celu wprowadzenie w przyszłości nowej zmiennej. Możemy je zademonstrować za pomocą równania 5 2 x + 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x − 1 = 0.

Po pierwsze, stopnie, w których znajduje się suma zmiennej (lub wyrażenia ze zmiennymi) i liczba, są zastępowane przez iloczyny. Dotyczy to pierwszego i ostatniego wyrazu wyrażenia po lewej stronie:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 = 0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x = 0.

Ponadto dokonuje się podziału obu stron równości przez wyrażenie 7 2 x, które na ODZ zmiennej x dla pierwotnego równania przyjmuje tylko wartości dodatnie (jest to standardowa technika rozwiązywania tego rodzaju równań, nie mówimy o tym teraz, więc skup się na kolejnych przekształceniach wyrażeń z potęgami ):

Ułamki z mocami są teraz anulowane, co daje .

Wreszcie stosunek stopni o tych samych wykładnikach zastępuje się stopniami relacji, co prowadzi do równania co jest równoważne ... Wykonane przekształcenia pozwalają na wprowadzenie nowej zmiennej, co zmniejsza rozwiązanie oryginalnej równanie wykładnicze do rozwiązania równania kwadratowego

I. V. Bojkow, L. D. Romanowa Zbiór zadań przygotowujących do egzaminu. Część 1. Penza 2003.

Uwaga 1

Funkcję boolowską można zapisać za pomocą wyrażenia boolowskiego, a następnie przejść do obwodu logicznego. Konieczne jest uproszczenie wyrażeń logicznych, aby uzyskać najprostszy (a więc tańszy) schemat logiczny. Zasadniczo funkcja logiczna, wyrażenie logiczne i schemat logiczny- to trzy różne języki, mówiące o tej samej istocie.

Upraszczać wyrażenia logiczne posługiwać się prawa algebry logicznej.

Niektóre przekształcenia są podobne do przekształceń formuł w klasycznej algebrze (wyjęcie wspólnego czynnika poza nawiasy, zastosowanie praw transpozycji i kombinacji itp.), podczas gdy inne przekształcenia opierają się na właściwościach, których operacje klasycznej algebry nie mają (za pomocą prawo dystrybucji dla koniunkcji, prawa absorpcji, sklejania, reguły de Morgana itp.).

Prawa algebry logiki są sformułowane dla podstawowych operacji logicznych - "NIE" - inwersja (negacja), "AND" - koniunkcja (mnożenie logiczne) i "OR" - alternatywa (dodawanie logiczne).

Prawo podwójnej negacji oznacza, że ​​operacja „NIE” jest odwracalna: jeśli zastosujesz ją dwukrotnie, to ostatecznie wartość logiczna się nie zmieni.

Prawo wykluczonej trzeciej osoby mówi, że każde logiczne wyrażenie jest albo prawdziwe, albo fałszywe („nie ma trzeciej”). Dlatego jeśli $ A = 1 $, to $ \ bar (A) = 0 $ (i odwrotnie), co oznacza, że ​​koniunkcja tych wartości jest zawsze równa zeru, a alternatywa jest równa jeden.

$ ((A + B) → C) \ cdot (B → C \ cdot D) \ cdot C. $

Uprośćmy tę formułę:

Rysunek 3.

Wynika z tego, że $ A = 0 $, $ B = 1 $, $ C = 1 $, $ D = 1 $.

Odpowiedź: w szachy grają studenci $ B $, $ C $ i $ D $, ale student $ A $ nie.

Upraszczając wyrażenia logiczne, możesz wykonać następującą sekwencję działań:

1. Zastąp wszystkie „niepodstawowe” operacje (równoważność, implikacja, wyłączne OR itp.) ich wyrażeniami za pomocą podstawowych operacji, takich jak inwersja, koniunkcja i alternatywa.
2. Rozwiń inwersje złożone wyrażenia zgodnie z regułami de Morgana w taki sposób, że operacje negacji pozostają tylko dla poszczególnych zmiennych.
3. Następnie uprość wyrażenie używając rozwinięcia nawiasów, nawiasów i innych praw algebry logiki.

Przykład 2

Tutaj konsekwentnie używane są reguła de Morgana, prawo dystrybucji, prawo wyłączonego środka, prawo transpozycji, prawo powtórzenia, znowu prawo translokacji i prawo wchłonięcia.

Na początku lekcji przyjrzymy się podstawowym właściwościom pierwiastków kwadratowych, a następnie przyjrzymy się kilku złożone przykłady aby uprościć wyrażenia zawierające pierwiastki kwadratowe.

Temat:Funkcjonować... Nieruchomości pierwiastek kwadratowy

Lekcja:Konwertowanie i upraszczanie bardziej złożonych wyrażeń zakorzenionych

1. Powtórzenie własności pierwiastków kwadratowych

Powtórzmy krótko teorię i przypomnijmy główne właściwości pierwiastków kwadratowych.

Właściwości pierwiastków kwadratowych:

1. zatem;

3. ;

4. .

2. Przykłady upraszczania wyrażeń z pierwiastkami

Przejdźmy do przykładów użycia tych właściwości.

Przykład 1. Uprość wyrażenie .

Rozwiązanie. Dla uproszczenia liczbę 120 należy rozszerzyć na czynniki pierwsze:

Otworzymy kwadrat sumy zgodnie z odpowiednią formułą:

Przykład 2. Uprość wyrażenie .

Rozwiązanie. Weźmy pod uwagę, że wyrażenie to nie ma sensu dla wszystkich możliwych wartości zmiennej, ponieważ wyrażenie to zawiera pierwiastki kwadratowe i ułamki, co prowadzi do „zawężenia” zakresu dopuszczalnych wartości. ODZ: ().

Doprowadźmy wyrażenie w nawiasie do wspólnego mianownika i wypiszmy licznik ostatniego ułamka jako różnicę kwadratów:

Odpowiedź. w.

Przykład 3. Uprość wyrażenie .

Rozwiązanie. Widać, że drugi nawias w liczniku ma niewygodną formę i wymaga uproszczenia, spróbujmy rozłożyć go na czynniki metodą grupowania.

Aby móc wyliczyć czynnik wspólny, uprościliśmy pierwiastki, rozkładając je na czynniki. Zastąp powstałe wyrażenie w oryginalnym ułamku:

Po zmniejszeniu ułamka stosujemy wzór na różnicę kwadratów.

3. Przykład pozbycia się irracjonalności

Przykład 4. Pozbądź się irracjonalności (korzeni) w mianowniku: a); b).

Rozwiązanie. a) Aby pozbyć się irracjonalności w mianowniku, stosuje się standardową metodę mnożenia zarówno licznika, jak i mianownika ułamka przez sprzężony mnożnik do mianownika (to samo wyrażenie, ale z przeciwnym znakiem). Odbywa się to w celu uzupełnienia mianownika ułamka na różnicę kwadratów, co pozwala pozbyć się pierwiastków w mianowniku. Wykonajmy tę technikę w naszym przypadku:

b) wykonać podobne czynności:

4. Przykład dla dowodu i wyboru pełnego kwadratu w zespolonym pierwiastku

Przykład 5. Udowodnij równość .

Dowód. Użyjmy definicji pierwiastka kwadratowego, z której wynika, że ​​kwadrat właściwego wyrażenia musi być równy wyrażeniu radykalnemu:

... Otwórzmy nawiasy zgodnie ze wzorem kwadratu sumy:

, uzyskano poprawną równość.

Udowodniony.

Przykład 6. Uprość wyrażenie.

Rozwiązanie. To wyrażenie jest zwykle nazywane rodnikiem złożonym (korzeń pod korzeniem). W tym przykładzie musisz zgadnąć, jak wybrać pełny kwadrat z radykalnego wyrażenia. Aby to zrobić, zauważ, że z tych dwóch terminów jest kandydatem do roli iloczynu podwojonego we wzorze na kwadrat różnicy (różnica, ponieważ jest minus). Napiszmy to w postaci takiego produktu:, to dla roli jednego z terminów pełny kwadrat roszczeń, a za rolę drugiego - 1.

Podstawmy to wyrażenie pod korzeń.

Każdy język może wyrazić te same informacje innymi słowami i obroty. Język matematyczny nie jest wyjątkiem. Ale to samo wyrażenie można napisać w równoważny sposób na różne sposoby. A w niektórych sytuacjach jeden z wpisów jest prostszy. W tej lekcji porozmawiamy o uproszczeniu wyrażeń.

Ludzie komunikują się dalej inne języki... Dla nas ważnym porównaniem jest para „Język rosyjski - język matematyczny”. Te same informacje mogą być przekazywane w różnych językach. Ale poza tym może być inaczej wymawiane w jednym języku.

Na przykład: „Petya przyjaźni się z Vasyą”, „Vasya przyjaźni się z Petyą”, „Petya przyjaźni się z Vasyą”. Mówi się inaczej, ale to samo. W przypadku każdego z tych zwrotów zrozumielibyśmy, o co toczy się gra.

Spójrzmy na to zdanie: „Chłopiec Petya i chłopiec Wasia są przyjaciółmi”. Zrozumieliśmy, o co chodzi. Jednak nie podoba nam się sposób, w jaki brzmi to wyrażenie. Czy nie możemy tego uprościć, powiedzieć to samo, ale prościej? „Chłopiec i chłopiec” - raz można powiedzieć: „Chłopcy Petya i Wasia są przyjaciółmi”.

„Chłopcy”… Czy z ich imion nie wynika jasno, że nie są dziewczynami. Usuwamy „chłopców”: „Petya i Vasya są przyjaciółmi”. A słowo „są przyjaciółmi” można zastąpić „przyjaciółmi”: „Petya i Vasya są przyjaciółmi”. W rezultacie pierwsza, długa, brzydka fraza została zastąpiona równoważnym stwierdzeniem, które jest łatwiejsze do powiedzenia i łatwiejsze do zrozumienia. Uprościliśmy to zdanie. Upraszczać znaczy mówić łatwiej, ale nie tracić, nie zniekształcać znaczenia.

W języku matematycznym dzieje się to samo. To samo można powiedzieć, zapisać na różne sposoby. Co to znaczy uprościć wyrażenie? Oznacza to, że istnieje wiele równoważnych wyrażeń oryginalnego wyrażenia, to znaczy takich, które oznaczają to samo. I z całego tego zestawu musimy wybrać najprostszy naszym zdaniem lub najbardziej odpowiedni dla naszych dalszych celów.

Rozważmy na przykład wyrażenie liczbowe. Jego odpowiednikiem będzie.

Będzie również odpowiednikiem dwóch pierwszych: .

Okazuje się, że uprościliśmy nasze wyrażenia i znaleźliśmy najkrótszy odpowiednik.

W przypadku wyrażeń liczbowych zawsze musisz zrobić wszystko i uzyskać równoważne wyrażenie jako pojedynczą liczbę.

Rozważ przykład wyrażenia dosłownego . Oczywiście będzie prostsze.

Upraszczając wyrażenia literowe konieczne jest wykonanie wszystkich możliwych czynności.

Czy zawsze konieczne jest uproszczenie wyrażenia? Nie, czasem wygodniej będzie nam mieć równoważną, ale dłuższą płytę.

Przykład: odejmij liczbę od liczby.

Można to obliczyć, ale gdyby pierwsza liczba była reprezentowana przez jej równoważny zapis:, to obliczenia byłyby natychmiastowe:.

Oznacza to, że uproszczone wyrażenie nie zawsze jest dla nas korzystne dla dalszych obliczeń.

Niemniej jednak bardzo często stajemy przed zadaniem, które brzmi jak „uprość wyrażenie”.

Uprość wyrażenie:.

Rozwiązanie

1) Wykonajmy czynności w pierwszym i drugim nawiasie :.

2) Obliczmy produkty: .

Oczywiście, ostatnie wyrażenie ma prostszą formę niż początkowa. Uprościliśmy to.

Aby uprościć wyrażenie, należy je zastąpić odpowiednikiem (równym).

Aby zdefiniować wyrażenie równoważne, musisz:

1) wykonać wszystkie możliwe czynności,

2) wykorzystywać właściwości dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia w celu uproszczenia obliczeń.

Właściwości dodawania i odejmowania:

1. Właściwość przesunięcia dodawania: suma nie zmienia się z permutacji terminów.

2. Kombinacyjna właściwość dodawania: aby dodać trzecią liczbę do sumy dwóch liczb, możesz dodać sumę drugiej i trzeciej liczby do pierwszej liczby.

3. Właściwość odejmowania sumy od liczby: aby odjąć sumę od liczby, możesz odjąć każdy wyraz osobno.

Właściwości mnożenia i dzielenia

1. Właściwość przemieszczenia mnożenia: iloczyn nie zmienia się z permutacji czynników.

2. Właściwość kombinacji: aby pomnożyć liczbę przez iloczyn dwóch liczb, możesz najpierw pomnożyć ją przez pierwszy czynnik, a następnie pomnożyć otrzymany iloczyn przez drugi czynnik.

3. Dystrybucyjna własność mnożenia: aby pomnożyć liczbę przez sumę, należy ją pomnożyć przez każdy wyraz z osobna.

Zobaczmy, jak faktycznie wykonujemy obliczenia w naszym umyśle.

Oblicz:

Rozwiązanie

1) Reprezentujmy jako

2) Reprezentujemy pierwszy czynnik jako sumę terminów bitowych i wykonujemy mnożenie:

3) możesz sobie wyobrazić, jak i wykonać mnożenie:

4) Zastąp pierwszy czynnik sumą równoważną:

Prawo dystrybucji może być stosowane w: Odwrotna strona: .

Wykonaj kroki:

1) 2)

Rozwiązanie

1) Dla wygody możesz użyć prawa dystrybucji, używaj go tylko w przeciwnym kierunku - usuń wspólny czynnik z nawiasów.

2) Wyeliminuj wspólny czynnik

W kuchni i przedpokoju należy kupić linoleum. Część kuchenna - przedpokój. Istnieją trzy rodzaje linoleum: za i ruble za. Ile będzie kosztował każdy z trzech rodzajów linoleum? (rys. 1)

Ryż. 1. Ilustracja do opisu problemu

Rozwiązanie

Metoda 1. Możesz osobno sprawdzić, ile pieniędzy potrzeba na zakup linoleum w kuchni, a następnie umieścić powstałe prace na korytarzu.