Wielomian i jego postać standardowa. Wielomiany

Wielomian to suma jednomianów. Jeżeli wszystkie wyrazy wielomianu zostaną zapisane w postaci standardowej (patrz punkt 51) i przeprowadzona zostanie redukcja wyrazów podobnych, to otrzymamy wielomian w postaci standardowej.

Dowolne wyrażenie całkowitoliczbowe można przekształcić w wielomian o postaci standardowej - taki jest cel przekształceń (uproszeń) wyrażeń całkowitoliczbowych.

Rozważ przykłady, w których całe wyrażenie należy sprowadzić do: forma standardowa wielomian.

Rozwiązanie. Najpierw sprowadzamy wyrazy wielomianu do postaci standardowej. Otrzymujemy Po redukcji podobnych wyrazów otrzymujemy wielomian postaci standardowej

Rozwiązanie. Jeśli przed nawiasami znajduje się znak plus, nawiasy można pominąć, zachowując znaki wszystkich terminów zawartych w nawiasach. Stosując tę zasadę do otwierania nawiasów, otrzymujemy:

Rozwiązanie. Jeśli przed nawiasami znajduje się ziak „minus”, to nawiasy można pominąć, zmieniając znaki wszystkich terminów zawartych w nawiasach. Stosując tę regułę ucieczki nawiasów, otrzymujemy:

Rozwiązanie. Iloczyn jednomianu i wielomianu, zgodnie z prawem dystrybucji, jest równy sumie iloczynów tego jednomianu i każdego elementu wielomianu. dostajemy

Rozwiązanie. Mamy

Pozostaje podać podobne terminy (są one podkreślone). Otrzymujemy:

53. Wzory na skrócone mnożenie.

W niektórych przypadkach sprowadzenie całego wyrażenia do postaci standardowej wielomianu przeprowadza się przy użyciu tożsamości:

Tożsamości te nazywane są skróconymi wzorami mnożenia,

Rozważmy przykłady, w których konieczne jest przekształcenie danego wyrażenia na standardową formę myogle.

Przykład 1. .

Rozwiązanie. Korzystając ze wzoru (1) otrzymujemy:

Przykład 2. .

Rozwiązanie.

Przykład 3. .

Rozwiązanie. Korzystając ze wzoru (3) otrzymujemy:

Przykład 4

Rozwiązanie. Korzystając ze wzoru (4) otrzymujemy:

54. Faktoryzacja wielomianów.

Czasami możesz przekształcić wielomian w iloczyn kilku czynników - wielomianów lub podczłów. Taka transformacja tożsamości nazywana jest faktoryzacją wielomianu. W tym przypadku mówi się, że wielomian jest podzielny przez każdy z tych czynników.

Rozważ kilka sposobów rozkładania wielomianów na czynniki,

1) Wyjęcie wspólnego czynnika z nawiasu. Ta transformacja jest bezpośrednią konsekwencją prawa rozdzielczego (dla jasności wystarczy przepisać to prawo „od prawej do lewej”):

Przykład 1. Rozkład wielomianu na czynniki

Rozwiązanie. .

Zwykle, przy usuwaniu wspólnego czynnika z nawiasów, każda zmienna zawarta we wszystkich elementach wielomianu jest usuwana z najmniejszym wykładnikiem, jaki ma w tym wielomianu. Jeżeli wszystkie współczynniki wielomianu są liczbami całkowitymi, to największy wspólny dzielnik modulo wszystkich współczynników wielomianu jest przyjmowany jako współczynnik wspólnego współczynnika.

2) Stosowanie skróconych wzorów mnożenia. Wzory (1) - (7) z paragrafu 53, czytane „od prawej do lewej, w wielu przypadkach okazują się przydatne do rozkładania na czynniki wielomianów.

Przykład 2. Faktoryzacja .

Rozwiązanie. Mamy . Stosując wzór (1) (różnica kwadratów) otrzymujemy . Aplikowanie

teraz wzory (4) i (5) (suma kostek, różnica kostek) otrzymujemy:

Przykład 3. .

Rozwiązanie. Wyjmijmy najpierw wspólny czynnik z nawiasu. Aby to zrobić, znajdujemy największy wspólny dzielnik współczynników 4, 16, 16 oraz najmniejsze wykładniki, z którymi zmienne a i b są zawarte w jednomianach składających się na ten wielomian. Otrzymujemy:

3) Metoda grupowania. Opiera się na fakcie, że przemienne i skojarzone prawa dodawania pozwalają na grupowanie wyrazów wielomianu różne sposoby. Czasami możliwe jest takie grupowanie, że po umieszczeniu w nawiasach czynników wspólnych w każdej grupie, w nawiasach pozostaje jeden i ten sam wielomian, który z kolei jako czynnik wspólny może być umieszczony w nawiasach. Rozważ przykłady rozkładania na czynniki wielomianu.

Przykład 4. .

Rozwiązanie. Pogrupujmy to tak:

W pierwszej grupie wyjmujemy dzielnik wspólny w drugiej grupie - dzielnik wspólny 5. Otrzymujemy teraz wielomian jako czynnik wspólny wyjmujemy z nawiasu: W ten sposób otrzymujemy:

Przykład 5

Rozwiązanie. .

Przykład 6

Rozwiązanie. Tutaj żadne grupowanie nie doprowadzi do pojawienia się tego samego wielomianu we wszystkich grupach. W takich przypadkach czasami przydatne okazuje się przedstawienie dowolnego wyrazu wielomianu jako sumy, a następnie ponowne zastosowanie metody grupowania. W naszym przykładzie wskazane jest, aby przedstawić jako sumę Otrzymujemy

Przykład 7

Rozwiązanie. Dodajemy i odejmujemy jednomian, otrzymujemy

55. Wielomiany w jednej zmiennej.

Wielomian, gdzie a, b są liczbami zmiennymi, nazywamy wielomianem pierwszego stopnia; wielomian, w którym a, b, c są liczbami zmiennymi, nazywamy wielomianem drugiego stopnia lub trójmianem kwadratowym; wielomian, w którym a, b, c, d są liczbami, zmienną nazywamy wielomianem trzeciego stopnia.

Ogólnie, jeśli o jest zmienną, to wielomian

nazywa się stopniem lsjednorodnym (w odniesieniu do x); , m-wyrazy wielomianu, współczynniki, wyraz wiodący wielomianu, oraz - współczynnik wyrazu wiodącego, wyraz wolny wielomianu. Zwykle wielomian jest zapisany w potęgach malejących zmiennej, tj. Stopnie zmiennej stopniowo maleją, w szczególności składnik starszy znajduje się na pierwszym miejscu, a wyraz wolny na ostatnim. Stopień wielomianu to stopień wyrazu wiodącego.

Na przykład wielomian piątego stopnia, w którym wyraz wiodący 1 jest wyrazem swobodnym wielomianu.

Pierwiastek wielomianu to wartość, przy której wielomian znika. Na przykład liczba 2 jest pierwiastkiem wielomianu, ponieważ

Powiedzieliśmy, że zachodzą zarówno wielomiany standardowe, jak i niestandardowe. W tym samym miejscu zauważyliśmy, że każdy wielomian do postaci standardowej. W tym artykule najpierw dowiemy się, jakie znaczenie ma to zdanie. Następnie podajemy kroki, które pozwalają przekonwertować dowolny wielomian do postaci standardowej. Na koniec rozważ rozwiązania typowych przykładów. Opiszemy rozwiązania bardzo szczegółowo, aby poradzić sobie ze wszystkimi niuansami, które pojawiają się podczas sprowadzania wielomianów do postaci standardowej.

Nawigacja po stronach.

Co to znaczy sprowadzić wielomian do postaci standardowej?

Najpierw musisz jasno zrozumieć, co oznacza sprowadzenie wielomianu do postaci standardowej. Zajmijmy się tym.

Wielomiany, jak wszystkie inne wyrażenia, można poddawać identycznym przekształceniom. W wyniku takich przekształceń uzyskuje się wyrażenia identyczne z oryginalnym wyrażeniem. Tak więc wykonanie pewnych przekształceń z wielomianami o niestandardowej formie pozwala nam przejść do wielomianów, które są im identyczne, ale już zapisane w standardowej formie. Takie przejście nazywamy redukcją wielomianu do postaci standardowej.

Więc, przenieś wielomian do postaci standardowej- oznacza to zastąpienie wielomianu pierwotnego wielomianem o identycznej postaci standardowej, otrzymanym z wielomianu pierwotnego poprzez wykonanie identycznych przekształceń.

Jak sprowadzić wielomian do postaci standardowej?

Zastanówmy się, jakie przekształcenia pomogą nam sprowadzić wielomian do postaci standardowej. Zaczniemy od definicji wielomianu postaci standardowej.

Z definicji każdy termin wielomianu postaci standardowej jest jednomianem postaci standardowej, a wielomian postaci standardowej nie zawiera takich terminów. Z kolei wielomiany zapisane w formie niestandardowej mogą składać się z jednomianów w formie niestandardowej i mogą zawierać podobne terminy. Prowadzi to logicznie do następującej zasady. jak przekonwertować wielomian do postaci standardowej:

najpierw musisz doprowadzić do standardowej postaci jednomiany, które składają się na pierwotny wielomian,
a następnie dokonaj redukcji podobnych terminów.

W rezultacie otrzymamy wielomian postaci standardowej, ponieważ wszystkie jego elementy zostaną zapisane w postaci standardowej i nie będzie zawierał takich elementów.

Przykłady, rozwiązania

Rozważ przykłady doprowadzenia wielomianów do postaci standardowej. Przy rozwiązywaniu będziemy postępować zgodnie z krokami podyktowanymi regułą z poprzedniego akapitu.

Tutaj zauważamy, że czasami wszystkie wyrazy wielomianu są zapisywane w formie standardowej na raz, w takim przypadku wystarczy podać podobne wyrazy. Czasami po zredukowaniu członów wielomianu do postaci standardowej nie ma podobnych prętów, dlatego etap redukcji takich prętów w tym przypadku jest pomijany. Ogólnie rzecz biorąc, musisz zrobić jedno i drugie.

Przykład.

Wyraź wielomiany w postaci standardowej: 5 x 2 y+2 y 3 −x y+1 , 0,8+2 a 3 0,6−b a b 4 b 5 I .

Rozwiązanie.

Wszystkie elementy wielomianu 5 x 2 y+2 y 3 −x y+1 są zapisane w postaci standardowej, nie ma takich wyrazów, dlatego wielomian ten jest już przedstawiony w postaci standardowej.

Przejdźmy do następnego wielomianu 0,8+2 a 3 0,6−b a b 4 b 5. Jego forma nie jest standardowa, o czym świadczą określenia 2·a 3 ·0.6 i −b·a·b 4 ·b 5 o niestandardowej formie. Przedstawmy to w standardowej formie.

Na pierwszym etapie przywracania oryginalnego wielomianu do postaci standardowej musimy przedstawić wszystkie jego elementy w postaci standardowej. Dlatego redukujemy jednomian 2 a 3 0,6 do postaci standardowej, mamy 2 a 3 0,6=1,2 a 3 , po czym jednomian −b a b 4 b 5 , mamy −b a b 4 b 5 = −a b 1+4+5 = −a b 10. W ten sposób, . W powstałym wielomianu wszystkie wyrazy są zapisane w formie standardowej, co więcej, jest oczywiste, że nie ma takich wyrazów. Dlatego kończy to redukcję oryginalnego wielomianu do postaci standardowej.

Pozostaje przedstawić w postaci standardowej ostatni z podanych wielomianów. Po doprowadzeniu wszystkich członków do standardowego formularza, zostanie on zapisany jako . Ma podobnych członków, więc musisz rzucać takich członków:

Tak więc pierwotny wielomian przyjął standardową postać −x y+1 .

Odpowiedź:

5 x 2 y+2 y 3 −x y+1 – już w postaci standardowej, 0,8+2 a 3 0,6−b a b 4 b 5 =0,8+1,2 a 3 −a b 10, .

Często sprowadzenie wielomianu do postaci standardowej jest tylko pośrednim krokiem w odpowiedzi na pytanie dotyczące problemu. Na przykład znalezienie stopnia wielomianu obejmuje jego wstępną reprezentację w postaci standardowej.

Przykład.

Przynieś wielomian do standardowego formularza, wskaż jego stopień i uporządkuj terminy w malejących potęgach zmiennej.

Rozwiązanie.

Najpierw sprowadzamy wszystkie wyrazy wielomianu do postaci standardowej: .

Teraz dajemy podobnych członków:

Tak więc sprowadziliśmy oryginalny wielomian do postaci standardowej, co pozwala nam określić stopień wielomianu, który jest równy największemu stopniowi zawartych w nim jednomianów. Oczywiście jest to 5.

Pozostaje jeszcze ułożyć wyrazy wielomianu w malejące potęgi zmiennych. Aby to zrobić, wystarczy zmienić kolejność terminów w wynikowym wielomianu standardowej postaci, biorąc pod uwagę wymóg. Wyraz z 5 ma najwyższy stopień, stopnie wyrazów , -0,5·z 2 i 11 są równe odpowiednio 3 , 2 i 0 . Dlatego wielomian z wyrazami ułożonymi w malejące potęgi zmiennej będzie miał postać .

Odpowiedź:

Stopień wielomianu wynosi 5, a po ułożeniu jego członów w potęgach malejących zmiennej przyjmuje postać .

Bibliografia.

Algebra: podręcznik na 7 komórek. ogólne wykształcenie instytucje / [Ju. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; wyd. S. A. Teliakowski. - 17. ed. - M. : Edukacja, 2008. - 240 s. : chory. - ISBN 978-5-09-019315-3.
Mordkovich AG Algebra. 7 klasa. 14.00 Część 1. Podręcznik ucznia instytucje edukacyjne/ A.G. Mordkovich. - 17. ed., dodaj. - M.: Mnemozina, 2013. - 175 p.: ch. ISBN 978-5-346-02432-3.
Algebra i początek analizy matematycznej. Klasa 10: podręcznik. dla kształcenia ogólnego instytucje: podstawowe i profilowe. poziomy / [Ju. M. Kolagin, M.V. Tkacheva, N.E. Fedorova, M.I. Shabunin]; wyd. A. B. Zhizhchenko. - 3. ed. - M.: Oświecenie, 2010.- 368 s. : chory. - ISBN 978-5-09-022771-1.
Gusiew V.A., Mordkovich A.G. Matematyka (podręcznik dla kandydatów do szkół technicznych): Proc. dodatek.- M.; Wyższy szkoła, 1984.-351 s., chor.

Po przestudiowaniu jednomianów zwracamy się do wielomianów. W tym artykule dowiesz się o wszystkich niezbędnych informacjach potrzebnych do wykonania na nich działań. Zdefiniujemy wielomian wraz z towarzyszącymi definicjami terminu wielomianowego, czyli dowolnego i podobnego, rozważymy wielomian postaci standardowej, wprowadzimy stopień i nauczymy się go znaleźć, pracować z jego współczynnikami.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Wielomian i jego elementy - definicje i przykłady

Definicja wielomianu była potrzebna w 7 zajęcia po nauce jednomianów. Spójrzmy na jego pełną definicję.

Definicja 1

wielomian rozważana jest suma jednomianów, a sam jednomian jest szczególnym przypadkiem wielomianu.

Z definicji wynika, że przykłady wielomianów mogą być różne: 5 , 0 , − 1 , x, 5 zab 3, x 2 0 , 6 x (− 2) y 12 , - 2 13 x y 2 3 2 3 x x 3 y z i tak dalej. Z definicji mamy to 1+x, a 2 + b 2 a wyrażenie x2 - 2 · x · y + 2 5 · x2 + y2 + 5, 2 · y · x są wielomianami.

Spójrzmy na więcej definicji.

Definicja 2

Członkowie wielomianu jego jednomiany składowe są nazywane.

Rozważmy ten przykład, gdzie mamy wielomian 3 x 4 − 2 x y + 3 − y 3 , składający się z 4 elementów: 3 x 4 , − 2 x y , 3 i − t 3. Taki jednomian można uznać za wielomian, który składa się z jednego wyrazu.

Definicja 3

Wielomiany, które mają w swoim składzie 2, 3 trójmiany, mają odpowiednią nazwę - dwumianowy I trójmian.

Wynika z tego, że wyraz formy x+y– jest dwumianem, a wyrażenie 2 x 3 q − q x x + 7 b jest trójmianem.

Przez program nauczania pracował z dwumianem liniowym postaci a x + b, gdzie a i b są liczbami, a x jest zmienną. Rozważ przykłady dwumiany liniowe postaci: x + 1 , x 7 , 2 − 4 z przykładami trójmiany kwadratowe x 2 + 3 x − 5 i 2 5 x 2 - 3 x + 11 .

Do transformacji i rozwiązania konieczne jest znalezienie i przyniesienie podobnych terminów. Na przykład wielomian postaci 1 + 5 x − 3 + y + 2 x ma takie same wyrazy 1 i - 3, 5 x i 2 x. Są one podzielone na grupa specjalna pod nazwą podobnych terminów wielomianu.

Definicja 4

Podobne elementy wielomianu są jak wyrażenia wielomianowe.

W powyższym przykładzie mamy, że 1 i - 3 , 5 x i 2 x są wyrazami podobnymi do wielomianu lub wyrazami podobnymi. Aby uprościć wyrażenie, znajdź i zredukuj podobne terminy.

Standardowa postać wielomianu

Wszystkie jednomiany i wielomiany mają swoje własne specyficzne nazwy.

Definicja 5

Postać standardowa wielomian Wielomian jest nazywany, w którym każdy jego członek ma jednomian w postaci standardowej i nie zawiera podobnych członków.

Z definicji widać, że można zredukować wielomiany o postaci standardowej, np. 3 x 2 − x y + 1 i __formula__, a zapis jest w standardowej formie. Wyrażenia 5 + 3 x 2 − x 2 + 2 x z oraz 5 + 3 x 2 − x 2 + 2 x z nie są wielomianami postaci standardowej, gdyż pierwsze z nich ma podobne wyrazy w postaci 3 x 2 i − x2, a drugi zawiera jednomian postaci x · y 3 · x · z 2 , który różni się od wielomianu standardowego.

Jeśli wymagają tego okoliczności, czasami wielomian jest redukowany do postaci standardowej. Pojęcie wolnego wyrazu wielomianu jest również uważane za wielomian o postaci standardowej.

Definicja 6

Wolny członek wielomianu jest wielomianem postaci standardowej bez części literowej.

Innymi słowy, gdy notacja wielomianu w postaci standardowej ma liczbę, nazywana jest członem swobodnym. Wtedy liczba 5 jest wolnym członkiem wielomianu x 2 · z + 5 , a wielomian 7 · a + 4 · a · b + b 3 nie ma wolnego elementu.

Stopień wielomianu – jak go znaleźć?

Definicja stopnia wielomianu opiera się na definicji wielomianu postaci standardowej oraz na stopniach jednomianów, które są jego składowymi.

Definicja 7

Stopień wielomianu postaci standardowej nazwij największą z potęg zawartych w jej zapisie.

Spójrzmy na przykład. Stopień wielomianu 5 x 3 − 4 jest równy 3, ponieważ jednomiany wchodzące w jego skład mają stopnie 3 i 0, a największy z nich ma odpowiednio 3. Definicja stopnia z wielomianu 4 x 2 y 3 − 5 x 4 y + 6 x równa się największej z liczb, czyli 2 + 3 = 5 , 4 + 1 = 5 i 1 , czyli 5 .

Konieczne jest ustalenie, w jaki sposób znajduje się sam stopień.

Definicja 8

Stopień wielomianu dowolnej liczby jest stopniem odpowiedniego wielomianu w postaci standardowej.

Kiedy wielomian nie jest zapisany w formie standardowej, ale musisz znaleźć jego stopień, musisz zredukować go do formy standardowej, a następnie znaleźć żądany stopień.

Przykład 1

Znajdź stopień wielomianu 3 a 12 − 2 a b c a c b + y 2 z 2 − 2 a 12 − a 12.

Rozwiązanie

Najpierw przedstawiamy wielomian w postaci standardowej. Otrzymujemy wyrażenie takie jak:

3 za 12 − 2 a b c a c b + y 2 z 2 − 2 za 12 − za 12 = = (3 za 12 − 2 za 12 − za 12) − 2 (aa) (bb) (cc) + y 2 z 2 = = − 2 a 2 b 2 c 2 + y 2 z 2

Otrzymując wielomian postaci standardowej, stwierdzamy, że dwa z nich są wyraźnie rozróżniane - 2 · a 2 · b 2 · c 2 i y 2 · z 2 . Aby znaleźć stopnie, obliczamy i otrzymujemy, że 2 + 2 + 2 = 6 i 2 + 2 = 4 . Widać, że największy z nich jest równy 6. Z definicji wynika, że dokładnie 6 to stopień wielomianu − 2 · a 2 · b 2 · c 2 + y 2 · z 2, stąd pierwotna wartość.

Odpowiedź: 6 .

Współczynniki wyrazów wielomianu

Definicja 9

Gdy wszystkie wyrazy wielomianu są jednomianami postaci standardowej, to w tym przypadku mają nazwę współczynniki wyrazów wielomianu. Innymi słowy, można je nazwać współczynnikami wielomianu.

Rozważając przykład, widać wyraźnie, że wielomian postaci 2 x − 0,5 x y + 3 x + 7 ma w swoim składzie 4 wielomiany: 2 x, − 0,5 x y, 3 x i 7 z ich odpowiednimi współczynnikami 2 , − 0 , 5 , 3 i 7. Stąd 2 , − 0 , 5 , 3 i 7 są uważane za współczynniki wyrazów danego wielomianu postaci 2 · x − 0 , 5 · x · y + 3 · x + 7 . Podczas przeliczania ważne jest, aby zwracać uwagę na współczynniki przed zmiennymi.

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter

W badaniu tematu wielomianów warto osobno wspomnieć, że wielomiany występują zarówno w formach standardowych, jak i niestandardowych. W takim przypadku wielomian postaci niestandardowej można zredukować do postaci standardowej. Właściwie to pytanie zostanie przeanalizowane w tym artykule. Poprawimy wyjaśnienia z przykładami ze szczegółowym opisem krok po kroku.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Znaczenie sprowadzenia wielomianu do postaci standardowej

Zagłębmy się trochę w samą koncepcję, działanie – „redukcja wielomianu do postaci standardowej”.

Wielomiany, podobnie jak inne wyrażenia, można przekształcać identycznie. W rezultacie w tym przypadku otrzymujemy wyrażenia identyczne z oryginalnym wyrażeniem.

Definicja 1

Przenieś wielomian do postaci standardowej– oznacza zastąpienie wielomianu pierwotnego równym wielomianem postaci standardowej, uzyskanym z wielomianu pierwotnego za pomocą identycznych przekształceń.

Metoda redukcji wielomianu do postaci standardowej

Porozmawiajmy o tym, jakie dokładnie identyczne przekształcenia przyniosą wielomian do postaci standardowej.

Definicja 2

Zgodnie z definicją każdy wielomian postaci standardowej składa się z jednomianów postaci standardowej i nie zawiera takich terminów. Wielomian postaci niestandardowej może zawierać jednomiany postaci niestandardowej i podobne terminy. Z powyższego w naturalny sposób wyprowadza się regułę, która mówi, jak sprowadzić wielomian do postaci standardowej:

po pierwsze jednomiany tworzące dany wielomian są doprowadzone do postaci standardowej;
wtedy podobne terminy są redukowane.

Przykłady i rozwiązania

Przyjrzyjmy się szczegółowo przykładom, w których doprowadzamy wielomian do postaci standardowej. Będziemy postępować zgodnie z powyższą zasadą.

Zwróć uwagę, że czasami wyrazy wielomianu w stanie początkowym mają już postać standardową i pozostaje tylko przynieść podobne wyrazy. Zdarza się, że po pierwszym kroku działań nie ma takich członków, wtedy pomijamy drugi krok. W ogólnych przypadkach konieczne jest wykonanie obu czynności z powyższej reguły.

Przykład 1

Podano wielomiany:

5 x 2 r + 2 r 3 − x r + 1 ,

0 , 8 + 2 a 3 0 , 6 − b a b 4 b 5 ,

2 3 7 x 2 + 1 2 y x (- 2) - 1 6 7 x x + 9 - 4 7 x 2 - 8 .

Konieczne jest doprowadzenie ich do standardowej formy.

Rozwiązanie

rozważmy najpierw wielomian 5 x 2 y + 2 y 3 − x y + 1 : jego elementy mają postać standardową, nie ma podobnych elementów, co oznacza, że wielomian jest podany w postaci standardowej i nie są wymagane żadne dodatkowe działania.

Przeanalizujmy teraz wielomian 0 , 8 + 2 · a 3 · 0 , 6 − b · a · b 4 · b 5 . Obejmuje ona niestandardowe jednomiany: 2 · a 3 · 0, 6 i − b · a · b 4 · b 5 , tj. mamy potrzebę doprowadzenia wielomianu do postaci standardowej, dla której pierwszą czynnością jest przekształcenie jednomianów w postać standardową:

2 za 3 0, 6 = 1, 2 za 3;

− b a b 4 b 5 = − a b 1 + 4 + 5 = − a b 10 , więc otrzymujemy następujący wielomian:

0 , 8 + 2 a 3 0 , 6 − b a b 4 b 5 = 0 8 + 1 2 a 3 − a b 10 .

W wynikowym wielomianu wszystkie elementy są standardowe, takich elementów nie ma, co oznacza, że nasze działania mające na celu doprowadzenie wielomianu do postaci standardowej są zakończone.

Rozważ trzeci wielomian: 2 3 7 x 2 + 1 2 y x (- 2) - 1 6 7 x x + 9 - 4 7 x 2 - 8

Sprowadzamy jego członków do standardowej formy i otrzymujemy:

2 3 7 x 2 - x y - 1 6 7 x 2 + 9 - 4 7 x 2 - 8 .

Widzimy, że wielomian zawiera podobne wyrazy, zmniejszymy podobne wyrazy:

2 3 7 x 2 - x y - 1 6 7 x 2 + 9 - 4 7 x 2 - 8 = = 2 3 7 x 2 - 1 6 7 x 2 - 4 7 x 2 - x y + (9 - 8) = = x 2 2 3 7 - 1 6 7 - 4 7 - xy + 1 = = x 2 17 7 - 13 7 - 4 7 - xy + 1 = = x 2 0 - x y + 1 = x y + 1

Zatem dany wielomian 2 3 7 x 2 + 1 2 y x (- 2) - 1 6 7 x x + 9 - 4 7 x 2 - 8 przybrał postać standardową − x y + 1 .

Odpowiedź:

5 x 2 r + 2 r 3 − x r + 1- wielomian jest podany jako standard;

0 8 + 2 a 3 0 6 − b a b 4 b 5 = 0 8 + 1 2 a 3 − a b 10;

2 3 7 x 2 + 1 2 y x (- 2) - 1 6 7 x x + 9 - 4 7 x 2 - 8 = - x y + 1 .

W wielu problemach czynność doprowadzenia wielomianu do postaci standardowej jest czynnością pośrednią przy poszukiwaniu odpowiedzi na: zadane pytanie. Rozważmy taki przykład.

Przykład 2

Mając wielomian 11 - 2 3 z 2 · z + 1 3 · z 5 · 3 - 0 . 5 z 2 + z 3 . Konieczne jest doprowadzenie go do postaci standardowej, wskazanie jego stopnia i ułożenie wyrazów danego wielomianu w malejących potęgach zmiennej.

Rozwiązanie

Terminy danego wielomianu sprowadzamy do postaci standardowej:

11 - 2 3 z 3 + z 5 - 0 . 5 z 2 + z 3 .

Następnym krokiem jest wymienienie podobnych członków:

11 - 2 3 z 3 + z 5 - 0 . 5 z 2 + z 3 \u003d 11 + - 2 3 z 3 + z 3 + z 5 - 0, 5 z 2 \u003d \u003d 11 + 1 3 z 3 + z 5 - 0,5 z 2

Otrzymaliśmy wielomian postaci standardowej, co umożliwia nam oznaczenie stopnia wielomianu (równego największemu stopniowi jego jednomianów składowych). Oczywiście pożądany stopień to 5 .

Pozostaje tylko ułożyć terminy w malejących potęgach zmiennych. W tym celu po prostu zamieniamy wyrazy w wynikowym wielomianu postaci standardowej, biorąc pod uwagę wymóg. W ten sposób otrzymujemy:

z 5 + 1 3 z 3 - 0,5 z 2 + 11.

Odpowiedź:

11 - 2 3 z 2 z + 1 3 z 5 3 - 0,5 z 2 + z 3 \u003d 11 + 1 3 z 3 + z 5 - 0,5 z 2, natomiast stopień wielomianu - pięć ; w wyniku ułożenia wyrazów wielomianu w malejące potęgi zmiennych, wielomian przyjmie postać: z 5 + 1 3 · z 3 - 0, 5 · z 2 + 11 .

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter