Ponieważ są nierozerwalnie związane, oba są aktywnie wykorzystywane od kilku stuleci w rozwiązywaniu prawie wszystkich problemów, które pojawiły się w procesie ludzkiej działalności naukowej i technicznej.

Pojawienie się pojęcia różniczka

Najpierw wyjaśnił, czym jest różnica, jeden z twórców (wraz z Isaakiem Newtonem) rachunek różniczkowy słynny niemiecki matematyk Gottfried Wilhelm Leibniz. Wcześniej matematycy 17 art. użył bardzo rozmytej i niejasnej idei jakiejś nieskończenie małej „niepodzielnej” części dowolnej znanej funkcji, reprezentującej bardzo małą stałą wartość, ale nie równą zero, mniejszą niż wartości funkcji po prostu nie mogą być. Stąd już tylko krok do wprowadzenia pojęcia nieskończenie małych przyrostów argumentów funkcji i odpowiadających im przyrostów samych funkcji, wyrażonych przez pochodne tych ostatnich. I ten krok został podjęty niemal jednocześnie przez dwóch wspomnianych wyżej wielkich naukowców.

W oparciu o potrzebę rozwiązania pilnych praktycznych problemów mechaniki, jakie szybko rozwijający się przemysł i technologia stawiał przed nauką, Newton i Leibniz stworzyli wspólne sposoby znalezienie tempa zmian funkcji (przede wszystkim w odniesieniu do prędkość mechaniczna ruchu ciała po znanej trajektorii), co doprowadziło do wprowadzenia takich pojęć, jak pochodna i różniczka funkcji, a także znalazł algorytm rozwiązywania problemu odwrotnego, jak znaleźć przebytą odległość od znanej (zmiennej) prędkość, która doprowadziła do pojawienia się pojęcia całki.

W pracach Leibniza i Newtona po raz pierwszy pojawiła się idea, że ​​różniczki są głównymi częściami przyrostów funkcji Δy, proporcjonalnych do przyrostów argumentów Δx, które można z powodzeniem zastosować do obliczenia wartości ten ostatni. Innymi słowy, odkryli, że przyrost funkcji może być wyrażony w dowolnym punkcie (w zakresie jej definicji) jako jej pochodnej jako 0, znacznie szybciej niż sama Δx.

Według twórców analizy matematycznej, różniczki są tylko pierwszymi wyrazami w wyrażeniach na przyrosty dowolnych funkcji. Nie mając jeszcze jasno sformułowanej koncepcji granicy ciągów, intuicyjnie rozumieli, że wartość różniczki zmierza do pochodnej funkcji jako Δх→0 - Δу/Δх→ y"(x).

W przeciwieństwie do Newtona, który był przede wszystkim fizykiem i uważał aparat matematyczny za pomocnicze narzędzie do badania problemów fizycznych, Leibniz poświęcił więcej uwagi samemu zestawowi narzędzi, w tym systemowi wizualnej i zrozumiałej notacji wielkości matematycznych. To on zaproponował ogólnie przyjętą notację dla różniczek funkcji dy \u003d y "(x) dx, argument dx i pochodną funkcji w postaci ich stosunku y" (x) \u003d dy / dx .

Nowoczesna definicja

Czym jest dyferencjał w zakresie współczesnej matematyki? Jest to ściśle związane z pojęciem zmiennego przyrostu. Jeśli zmienna y najpierw przyjmuje wartość y = y 1 a potem y = y 2 , to różnica y 2 ─ y 1 nazywana jest przyrostem y.

Przyrost może być dodatni. ujemny i równy zero. Słowo „przyrost” jest oznaczone przez Δ, notacja Δy (czytaj „delta y”) oznacza przyrost y. więc Δу = y 2 ─ y 1 .

Jeśli wartość Δу dowolnej funkcji y = f (x) można przedstawić jako Δу = A Δх + α, gdzie A nie jest zależne od Δх, tj. A = const dla danego x, a wyraz α dąży do tego nawet szybciej niż samo Δx, wtedy pierwszy („główny”) termin proporcjonalny do Δx jest różniczką dla y \u003d f (x), oznaczoną przez dy lub df (x) (czytaj „de y”, „de ef od x "). Zatem różniczki są „głównymi” liniowymi składowymi przyrostów funkcji względem Δx.

Interpretacja mechaniczna

Niech s = f(t) będzie odległością od pozycji wyjściowej (t to czas podróży). Przyrost Δs jest ścieżką punktu w przedziale czasu Δt, a różniczka ds = f "(t) Δt jest ścieżką, którą punkt przebyłby w tym samym czasie Δt, gdyby zachował prędkość f" (t ) osiągnięty do czasu t . Dla nieskończenie małego Δt urojona ścieżka ds różni się od prawdziwego Δs o nieskończenie małą wartość, która jest wyższego rzędu względem Δt. Jeżeli prędkość w czasie t nie jest równa zeru, to ds daje przybliżoną wartość małego przemieszczenia punktu.

Interpretacja geometryczna

Niech linia L będzie wykresem y = f(x). Następnie Δ x \u003d MQ, Δy \u003d QM ”(patrz rysunek poniżej). Styczna MN dzieli segment Δy na dwie części, QN i NM”. Pierwsza jest proporcjonalna do Δх i równa się QN = MQ∙tg (kąt QMN) = Δх f "(x), tj. QN jest różniczką dy.

Druga część NM" daje różnicę Δу ─ dy, przy Δх→0 długość NM" zmniejsza się nawet szybciej niż przyrost argumentu, tj. jego rząd małości jest wyższy niż Δх. W rozpatrywanym przypadku, dla f "(x) ≠ 0 (styczna nie jest równoległa do OX), odcinki QM" i QN są równoważne; innymi słowy, NM” maleje szybciej (jego rząd wielkości jest wyższy) niż całkowity przyrost Δу = QM”. Widać to na rysunku (gdy M „zbliża się do M, segment NM” stanowi coraz mniejszy procent segmentu QM”).

Tak więc, graficznie, różniczka dowolnej funkcji jest równa wielkości przyrostu rzędnej jej stycznej.

Pochodna i różniczka

Współczynnik A w pierwszym członie wyrażenia dla przyrostu funkcji jest równy wartości jej pochodnej f „(x). Zatem zachodzi następująca zależność - dy \u003d f” (x) Δx lub df (x) \u003d f „(x) Δx.

Wiadomo, że przyrost niezależnego argumentu jest równy jego różniczce Δх = dx. W związku z tym możesz napisać: f „(x) dx \u003d dy.

Znajdowanie (nazywane czasem „rozwiązywaniem”) różniczek odbywa się według tych samych zasad, co w przypadku pochodnych. Ich lista znajduje się poniżej.

Co jest bardziej uniwersalne: przyrost argumentu lub jego różniczka

Tutaj konieczne jest dokonanie pewnych wyjaśnień. Reprezentacja przez wartość f "(x) Δx różniczki jest możliwa, gdy traktujemy x jako argument. Ale funkcja może być złożona, w której x może być funkcją jakiegoś argumentu t. Następnie reprezentacja różniczki przez wyrażenie f „(x) Δx z reguły jest niemożliwe; z wyjątkiem przypadku zależność liniowa x = w + b.

Jeśli chodzi o formułę f „(x) dx \u003d dy, to w przypadku niezależnego argumentu x (wtedy dx \u003d Δx), a w przypadku parametrycznej zależności x od t reprezentuje ona różniczkę.

Na przykład wyrażenie 2 x Δx reprezentuje dla y = x 2 jego różniczkę, gdy x jest argumentem. Ustawmy teraz x= t 2 i weźmy t jako argument. Wtedy y = x 2 = t 4 .

Wyrażenie to nie jest proporcjonalne do Δt i dlatego 2xΔх nie jest różniczką. Można to znaleźć z równania y = x 2 = t 4 . Okazuje się, że jest równy dy=4t 3 Δt.

Jeśli weźmiemy wyrażenie 2xdx, to reprezentuje ono różniczkę y = x 2 dla dowolnego argumentu t. Rzeczywiście, przy x= t 2 otrzymujemy dx = 2tΔt.

Oznacza to, że 2xdx = 2t 2 2tΔt = 4t 3 Δt, czyli wyrażenia różniczkowe zapisane jako dwie różne zmienne pokrywały się.

Zastępowanie przyrostów różnicami

Jeśli f "(x) ≠ 0, to Δу i dy są równoważne (dla Δх→0); jeśli f "(x) = 0 (co oznacza dy = 0), nie są równoważne.

Na przykład, jeśli y \u003d x 2, to Δy \u003d (x + Δx) 2 ─ x 2 \u003d 2xΔx + Δx 2, a dy \u003d 2xΔx. Jeśli x=3, to mamy Δу = 6Δх + Δх 2 i dy = 6Δх, które są równoważne ze względu na Δх 2 →0, przy x=0 wartości Δу = Δх 2 i dy=0 nie są równoważne.

Fakt ten, wraz z prostą strukturą różniczki (tj. liniowością względem Δx), jest często wykorzystywany w obliczeniach przybliżonych, przy założeniu, że Δy ≈ dy dla małej Δx. Znalezienie różniczki funkcji jest zwykle łatwiejsze niż obliczenie dokładnej wartości przyrostu.

Na przykład mamy metalowy sześcian o krawędzi x = 10,00 cm Po podgrzaniu krawędź wydłuża się o Δx = 0,001 cm O ile wzrosła objętość V sześcianu? Mamy V \u003d x 2, więc dV \u003d 3x 2 Δx \u003d 3 10 2 0 / 01 \u003d 3 (cm 3). Wzrost objętości ΔV jest równoważny różnicy dV, więc ΔV = 3 cm 3 . Pełne obliczenie dałoby ΔV = 10,01 3 ─ 10 3 = 3,003001. Ale w tym wyniku wszystkie liczby z wyjątkiem pierwszej są niewiarygodne; więc w każdym razie musisz go zaokrąglić do 3 cm 3.

Oczywiście takie podejście jest przydatne tylko wtedy, gdy możliwe jest oszacowanie wielkości wprowadzonego w tym przypadku błędu.

Funkcja różnicowa: przykłady

Spróbujmy znaleźć różniczkę funkcji y = x 3 bez znajdowania pochodnej. Zwiększmy argument i zdefiniujmy Δу.

Δy \u003d (Δx + x) 3 ─ x 3 \u003d 3x 2 Δx + (3xΔx 2 + Δx 3).

Tutaj współczynnik A= 3x 2 nie zależy od Δх, więc pierwszy składnik jest proporcjonalny do Δх, podczas gdy drugi składnik 3xΔх 2 + Δх 3 maleje szybciej jako Δх→0 niż przyrost argumentu. Zatem wyraz 3x 2 Δx jest różniczką y = x 3:

dy \u003d 3x 2 Δx \u003d 3x 2 dx lub d (x 3) \u003d 3x 2 dx.

W takim przypadku d(x 3) / dx \u003d 3x 2.

Znajdźmy teraz dy funkcji y = 1/x ze względu na jej pochodną. Wtedy d(1/x) / dx = ─1/x 2 . Dlatego dy = ─ Δх/х 2 .

Różnice podstawowych funkcji algebraicznych podano poniżej.

Przybliżone obliczenia przy użyciu różniczki

Często nie jest trudno obliczyć funkcję f(x), a także jej pochodną f”(x) dla x=a, ale nie jest łatwo wykonać to samo w pobliżu punktu x=a. na ratunek przychodzi przybliżone wyrażenie

f (a + Δх) ≈ f "(a) Δх + f (a).

Daje przybliżoną wartość funkcji w małych przyrostach Δх poprzez jej różniczkę f "(a)Δх.

Dlatego wzór ten daje przybliżone wyrażenie funkcji w punkcie końcowym odcinka o długości Δx jako sumę jej wartości w punkcie początkowym tego odcinka (x=a) i różnicy w tym samym punkcie początkowym. Błąd tego sposobu wyznaczania wartości funkcji ilustruje poniższy rysunek.

Znane jest jednak również dokładne wyrażenie na wartość funkcji dla x=a+Δх, wyrażone wzorem na przyrosty skończone (lub innymi słowy wzorem Lagrange'a)

f (a + Δх) ≈ f "(ξ) Δх + f (a),

gdzie punkt x = a + ξ znajduje się na odcinku od x = a do x = a + Δx, chociaż jego dokładna pozycja jest nieznana. Dokładny wzór umożliwia oszacowanie błędu wzoru przybliżonego. Jeśli jednak umieścimy ξ = Δх /2 we wzorze Lagrange'a, to chociaż przestaje być dokładne, to zwykle daje znacznie lepsze przybliżenie niż oryginalne wyrażenie przez różniczkę.

Szacowanie błędu formuł przez zastosowanie różniczki

W zasadzie są one niedokładne i wprowadzają odpowiednie błędy do danych pomiarowych. Charakteryzuje je błąd krańcowy lub w skrócie błąd krańcowy - liczba dodatnia, oczywiście przewyższająca ten błąd w wartości bezwzględnej (lub przynajmniej równej). Limit nazywany jest ilorazem jego dzielenia przez wartość bezwzględną wartości mierzonej.

Niech do obliczenia funkcji y posłuży dokładna formuła y= f (x), ale wartość x jest wynikiem pomiaru, a zatem wprowadza błąd do y. Następnie, aby znaleźć graniczny błąd bezwzględny │‌‌Δу│funkcji y, użyj wzoru

│‌‌Δу│≈│‌‌dy│=│ f "(x)││Δх│,

gdzie │Δх│ jest błędem krańcowym argumentu. Wartość │‌‌Δу│ należy zaokrąglić w górę, ponieważ niedokładne jest samo zastąpienie obliczenia przyrostu obliczeniem różnicy.

>>Matematyka: Co oznacza w matematyce notacja y = f(x)

Co oznacza wpis y \u003d f (x) w matematyce

Badając jakikolwiek rzeczywisty proces, zwykle zwracają uwagę na dwie wielkości zaangażowane w proces (w bardziej złożonych procesach nie są to dwie wielkości, ale trzy, cztery itd., ale takich procesów jeszcze nie bierzemy pod uwagę): jedna z nich zmienia się jakby samoistnie, niezależnie od czegokolwiek (taką zmienną oznaczyliśmy literą x), a druga wartość przyjmuje wartości zależne od wybranych wartości zmiennej x (taką zmienną zależną oznaczyliśmy literą y). model matematyczny rzeczywistym procesem jest właśnie zapis w języku matematycznym zależności y od x, tj. relacje między x i y. Przypomnijmy raz jeszcze, że do tej pory zbadaliśmy następujące modele matematyczne: y = b, y = kx, y = kx + m, y = x 2 .

Czy te modele matematyczne mają coś wspólnego? Jest! Ich struktura jest taka sama: y = f(x).

Ten wpis należy rozumieć następująco: istnieje wyrażenie f(x) ze zmienną x, za pomocą którego znajdują się wartości zmiennej y.

Matematycy nie bez powodu preferują zapis y = f(x). Niech na przykład f (x) \u003d x 2, tj. mówimy o funkcje y = x 2. Załóżmy, że musimy wybrać kilka wartości argumentu i odpowiadające im wartości funkcji. Do tej pory pisaliśmy tak:

jeśli x \u003d 1, to y \u003d I 2 \u003d 1;
jeśli x \u003d - 3, to y \u003d (- Z) 2 \u003d 9 itd.

Jeśli użyjemy notacji f (x) \u003d x 2, notacja stanie się bardziej ekonomiczna:

f(1) = 1 2 =1;
f(-3) = (-3) 2 = 9.

Zapoznaliśmy się więc z jeszcze jednym fragmentem język matematyczny: wyrażenie „wartość funkcji y \u003d x 2 w punkcie x \u003d 2 wynosi 4” jest napisane krócej:

„jeśli y \u003d f (x), gdzie f (x) \u003d x 2, to f (2) \u003d 4.”

A oto przykład tłumaczenia zwrotnego:

Jeśli y \u003d f (x), gdzie f (x) \u003d x 2, to f (- 3) \u003d 9. W inny sposób wartość funkcji y \u003d x 2 w punkcie x \u003d - 3 to 9.

PRZYKŁAD 1. Biorąc pod uwagę funkcję y \u003d f (x), gdzie f (x) \u003d x 3. Oblicz:

a) f(1); b) f(-4); c) f(o); d) f(2a);
e) f(a-1); f) f(3x); g) f(-x).

Rozwiązanie. We wszystkich przypadkach plan działania jest taki sam: w wyrażeniu f (x) należy podstawić wartość argumentu, który jest wskazany w nawiasach zamiast x, oraz wykonać odpowiednie obliczenia i przekształcenia. Mamy:

Komentarz. Oczywiście zamiast litery f można użyć dowolnej innej litery (głównie z alfabetu łacińskiego): g (x), h (x), s (x) itp.

Przykład 2 Podane są dwie funkcje: y \u003d f (x), gdzie f (x) \u003d x 2 i y \u003d g (x), gdzie g (x) \u003d x 3. Udowodnij to:

a) f(-x) = f(x); b) g(-x)=-g(x).

Rozwiązanie a) Ponieważ f (x) \u003d x 2, to f (- x) \u003d (- x) 2 \u003d x 2. Tak więc f (x) \u003d x 2, f (- x) \u003d x 2, następnie f (- x) \u003d f (x)

b) Ponieważ g (x) \u003d x 3, to g (- x) \u003d -x 3, tj. g(-x) = -g(x).

Zastosowanie modelu matematycznego postaci y = f(x) okazuje się wygodne w wielu przypadkach, w szczególności, gdy rzeczywisty proces opisany jest różnymi wzorami w różnych przedziałach zmian zmiennej niezależnej.

Opiszmy niektóre własności funkcji y - f (x) za pomocą wykresu zbudowanego na rysunku 68 - taki opis własności nazywa się zwykle czytaniem wykresu.

Odczytywanie wykresu jest rodzajem przejścia od modelu geometrycznego (od modelu graficznego) do modelu werbalnego (do opisu właściwości funkcji). ALE
kreślenie jest przejściem z modelu analitycznego (przedstawionego w warunku przykładu 4) do modelu geometrycznego.

Zacznijmy więc czytać wykres funkcji y \u003d f (x) (patrz ryc. 68).

1. Zmienna niezależna x przechodzi przez wszystkie wartości od -4 do 4. Innymi słowy, dla każdej wartości x z odcinka [-4, 4] można obliczyć wartość funkcji f(x). Mówią tak: [-4, 4] - zakres funkcji.

Dlaczego, rozwiązując przykład 4, powiedzieliśmy, że nie można znaleźć f(5)? Tak, ponieważ wartość x = 5 nie należy do zakresu funkcji.

2. y naim = -2 (funkcja osiąga tę wartość przy x = -4); Na nanb. = 2 (funkcja osiąga tę wartość w dowolnym punkcie półprzedziału (0, 4).

3. y = 0 jeśli 1 = -2 i jeśli x = 0; w tych punktach wykres funkcji y = f(x) przecina oś x.

4. y > 0, jeśli x є (-2, 0) lub jeśli x є (0, 4]; w tych odstępach wykres funkcji y \u003d f (x) znajduje się nad osią x.

5. tak< 0, если же [- 4, - 2); на этом промежутке график функции у = f(x) расположен ниже оси х.

6. Funkcja rośnie na przedziale [-4, -1], maleje na przedziale [-1, 0] i jest stała (ani rosnąca, ani malejąca) na półprzedziale (0,4).

Gdy będziemy badać nowe właściwości funkcji, proces czytania wykresu stanie się bardziej intensywny, znaczący i interesujący.

Omówmy jedną z tych nowych właściwości. Wykres funkcji rozważanej w przykładzie 4 składa się z trzech gałęzi (z trzech „kawałków”). Pierwsza i druga gałąź (odcinek linii prostej y \u003d x + 2 i część paraboli) są pomyślnie „połączone”: odcinek kończy się w punkcie (-1; 1), a odcinek paraboli zaczyna się w tym samym punkcie . Ale druga i trzecia gałąź są mniej skutecznie „połączone”: trzecia gałąź („kawałek” linii poziomej) zaczyna się nie w punkcie (0; 0), ale w punkcie (0; 4). Matematycy mówią tak: „funkcja y = f(x) ulega załamaniu w x = 0 (lub w punkcie x = 0)”. Jeśli funkcja nie ma punktów nieciągłości, nazywa się ją ciągłą. Tak więc wszystkie funkcje, które spotkaliśmy w poprzednich akapitach (y = b, y = kx, y = kx + m, y = x2) są ciągłe.

Przykład 5. Dana funkcja. Wymagane jest skonstruowanie i odczytanie jego harmonogramu.

Rozwiązanie. Jak widać, tutaj funkcja jest wystarczająco ustawiona złożone wyrażenie. Ale matematyka jest jedną i integralną nauką, jej sekcje są ze sobą ściśle powiązane. Wykorzystajmy to, czego nauczyliśmy się w rozdziale 5, i zmniejszmy ułamek algebraiczny

obowiązuje tylko pod ograniczeniem Dlatego możemy przeformułować problem w następujący sposób: zamiast funkcji y = x 2
rozważymy funkcję y \u003d x 2, gdzie konstruujemy parabolę y \u003d x 2 na płaszczyźnie współrzędnych xOy.
Linia x = 2 przecina ją w punkcie (2; 4). Ale zgodnie z warunkiem oznacza to, że musimy wyłączyć z rozważania punkt (2; 4) paraboli, dla którego zaznaczamy ten punkt na rysunku jasnym kółkiem.

W ten sposób budowany jest wykres funkcji - jest to parabola y \u003d x 2 z punktem „wybitym” (2; 4) (ryc. 69).

Przejdźmy do opisu właściwości funkcji y \u003d f (x), tj. do odczytania jej wykresu:

1. Zmienna niezależna x przyjmuje dowolne wartości poza x = 2. Oznacza to, że dziedzina funkcji składa się z dwóch otwartych promieni (- 0 o, 2) oraz

2. y max = 0 (osiągane przy x = 0), y max _ nie istnieje.

3. Funkcja nie jest ciągła, podlega nieciągłości w x = 2 (w punkcie x = 2).

4. y = 0, jeśli x = 0.

5. y\u003e 0, jeśli x є (-oo, 0), jeśli x є (0, 2) i jeśli x є (B, + oo).
6. Funkcja maleje na promieniu (-ω, 0], rośnie na półprzedziale .

Planowanie kalendarzowo-tematyczne w matematyce, wideo w matematyce online, Matematyka w szkole pobierz

A. V. Pogorelov, Geometria dla klas 7-11, Podręcznik dla instytucje edukacyjne

Treść lekcji podsumowanie lekcji wsparcie ramka prezentacja lekcji metody akceleracyjne technologie interaktywne Ćwiczyć zadania i ćwiczenia samokontrola warsztaty, szkolenia, case'y, questy praca domowa pytania do dyskusji pytania retoryczne od studentów Ilustracje audio, wideoklipy i multimedia zdjęcia, obrazki grafiki, tabele, schematy humor, anegdoty, żarty, komiksy, przypowieści, powiedzenia, krzyżówki, cytaty Dodatki streszczenia artykuły chipy dla dociekliwych ściągawki podręczniki podstawowe i dodatkowe słowniczek pojęć inne Doskonalenie podręczników i lekcjipoprawianie błędów w podręczniku aktualizacja fragmentu w podręczniku elementów innowacji na lekcji zastępując przestarzałą wiedzę nową Tylko dla nauczycieli doskonałe lekcje plan kalendarzowy na rok wytyczne programy dyskusyjne Zintegrowane lekcje

Jeśli podano zestaw liczb x i sposób F, przez co dla każdej wartości xЄ x pasuje tylko do jednej liczby w. Następnie jest to rozważane podana funkcja tak = F(x), w którym domena x(zwykle mowa o D(F) = x). Wiele Y wszystkie wartości w, dla którego występuje co najmniej jedna wartość xЄ x, taki, że tak = F(x), taki zestaw nazywa się zestaw wartości Funkcje F(najczęściej określane mi(F)= Y).

Lub zależność od jednej zmiennej w od drugiego x, dla którego każda wartość zmiennej x z pewnego zestawu D pasuje do pojedynczej wartości zmiennej w, nazywa się funkcjonować.

Funkcjonalna zależność zmiennej y od x jest często podkreślana przez notację y(x), którą y odczytuje z x.

Domena Funkcje w(x), czyli zbiór wartości jego argumentu x, oznaczony symbolem D(tak), który jest odczytywany de z y.

Zakres wartości Funkcje w(x), czyli zbiór wartości, jakie przyjmuje funkcja y, jest oznaczony symbolem mi(w), które czytają e od Y.

Główne sposoby definiowania funkcji to:

ale) analityczny(za pomocą wzoru tak = F(x)). Ta metoda obejmuje również przypadki, w których funkcja jest podana przez układ równań. Jeżeli funkcję podaje formuła, to jej domeną definicji są wszystkie te wartości argumentu, dla których wyrażenie napisane po prawej stronie formuły ma wartości.

b) tabelaryczny(za pomocą tabeli odpowiednich wartości x I w). W ten sposób jest często podawany reżim temperaturowy lub kursów walut, ale ta metoda nie jest tak jasna jak następna;

w) graficzny(za pomocą wykresu). Jest to jeden z najbardziej wizualnych sposobów ustawiania funkcji, ponieważ zmiany są natychmiast „odczytywane” zgodnie z wykresem. Jeśli funkcja w(x) jest podana przez graf, to jego dziedzina definicji D(tak) to rzut wykresu na oś x, a zakres wartości mi(w) - rzut wykresu na oś y (patrz rysunek).

G) werbalny. Metoda ta jest często stosowana w problemach, a raczej w opisie ich stanu. Zwykle ta metoda jest zastępowana jedną z powyższych.

Funkcje tak = F(x), xЄ x, I tak = g(x), xЄ x, są nazywane identycznie równy na podzbiorze m OD x jeśli dla każdego x 0 Є m sprawiedliwa równość F(x 0) = g(x 0).

Wykres funkcji tak = F(x) można przedstawić jako zbiór takich punktów ( x; F(x)) na płaszczyźnie współrzędnych, gdzie x jest zmienną umowną, od D(F). Jeśli F(x 0) = 0, gdzie x 0 to punkt o współrzędnych ( x 0; 0) to punkt, w którym wykres funkcji tak = F(x) przecina się z osią O x. Jeśli 0Є D(F), następnie punkt (0; F(0)) to punkt, w którym wykres funkcji w = F(x) przecina się z osią O w.

Numer x 0 z D(F) Funkcje tak = F(x) jest zerem funkcji, gdy F(x 0) = 0.

Luka m OD D(F) ten przedział stałości Funkcje tak = F(x) jeśli albo za arbitralnie xЄ m prawidłowy F(x) > 0 lub arbitralnie xЄ m prawidłowy F(x) < 0.

Jest urządzenia, które rysują wykresy zależności między wielkościami. To są barografy - urządzenia do ustalania zależności ciśnienie atmosferyczne od czasu, termografy - urządzenia do ustalania zależności temperatury od czasu, kardiografy - urządzenia do graficznego rejestrowania czynności serca. Termograf posiada bęben, obraca się równomiernie. Papier nawinięty na bęben dotykany jest przez rejestrator, który w zależności od temperatury unosi się i opada, kreśląc na papierze określoną linię.

Od reprezentacji funkcji przez formułę można przejść do jej reprezentacji w formie tabeli i wykresu.

Podczas studiowania matematyki bardzo ważne jest zrozumienie, czym jest funkcja, jej dziedziny i znaczenia. Za pomocą badania funkcji do ekstremum można rozwiązać wiele problemów algebry. Nawet problemy z geometrią sprowadzają się czasem do rozważania równań figur geometrycznych na płaszczyźnie.

FUNKCJA - F(X) y=f(x).

Co to jest funkcja f(x)?
Jako były nauczyciel matematyki w szkole przypominam tym, którzy zapomnieli.
Y to funkcja, X to argument, f to prawo, według którego znajdujemy Y.
Przykład:
Pociąg jedzie ze średnią prędkością 30 km. o godzinie pierwszej. Dwie godziny w drodze - minęło 60 km. 4 godziny w trasie - 120 km. itp. Im dłużej pociąg jedzie, tym większą odległość pokonuje. X i Y są zmiennymi, a funkcja y \u003d f (x), gdzie Y to odległość, a X to czas podróży, jest niezbędnym prawem.
Zapamiętane? Ja też pamiętałem, ale inaczej.
Po ukończeniu Wydziału Fizyki i Matematyki Chabarowskiego Instytutu Pedagogicznego skierowano mnie do pracy w Birobidżanie, do szkoły nr 6, która znajdowała się we wsi Sopka, po drugiej stronie rzeki, gdzie znajdował się dość liczny garnizon wojskowy , z własnym szpitalem, Domem Oficerskim, warsztatami naprawy czołgów, drewnianymi piętrowymi domami, w których mieszkały rodziny wojskowe.
Szkoła posiadała dwa budynki: duży, murowany, piętrowy oraz mały, drewniany, parterowy, w którym mieściły się klasy. Szkoła Podstawowa- od 1 do 4 Wsadzili mnie w to. W małej narożnej klasie mieszkałam z babcią, która poszła ze mną, znając moją nieudolność doczesną. Gotowała dla mnie, myła, siedziała obok mnie, gdy sprawdzałem zeszyty, chroniła mnie przed pracownikami miejscowego KECH, którzy bardzo chcieli zabrać nasze dwa łóżka, które były u nich zarejestrowane.
Pensja była minimalna dla nauczyciela. 18 godzin pracy tygodniowo, trzy klasy V, najtrudniejszy wiek dla nauczyciela. Pieniędzy nie starczyło nawet na jedzenie, a babcia odmawiała mięsa, jadała ziemniaki, bo uważała, że ​​mięso jest za drogie. Dobrze, że nie trzeba było płacić za prąd, ogrzewanie pieca i kanalizację, których tam nie było. Również w klasie, w której byłem Wychowawca klasy studiowały dzieci wysokich rangą oficerów garnizonu: syn dowódcy jednostki, pułkownika Andronowa, syn kierownika szpitala, ppłk. dzieci lekarzy i funkcjonariuszy szpitalnych. Kontrola nad moimi działaniami jako pedagoga była stała. Muszę powiedzieć, że dzieci tych wysokich rang były wyjątkowo zdyscyplinowane, wszystkie uczyły się znakomicie, praca z nimi była przyjemnością. Miałem 21 lat, grałem z nimi w koszykówkę, piłkę nożną, ale niestety nie dodało to pieniędzy do mojego portfela. Ponadto w klasie uczyły się inne dzieci, które znacznie różniły się pod względem rozwoju od dzieci wojskowych.
Ale przypadkiem szczęście się do mnie uśmiechnęło. Kolega poinformował mnie, że tymczasowo potrzebny jest nauczyciel matematyki w istniejącej wówczas w Birobidżanie „Szkole Inżynierów Lokomotyw”.
To był dobry zysk. Zostałem przyjęty jako nauczyciel w niepełnym wymiarze godzin.
Wiadomo, że Daleki Wschód był ostatnim, który przestawił się na trakcję diesla na Transsyberyjsku.
Uczniami „Szkoły” byli mężczyźni, wszyscy starsi ode mnie: zdemobilizowani żołnierze, byli więźniowie, którzy byli Daleki Wschód zawsze było wielu byłych wieśniaków, często półpiśmiennych, chociaż do szkoły przyjmowano tylko tych, którzy ukończyli siedmioletni okres. Szkoła dała im szansę zarobienia dobrych pieniędzy, a oni bardzo sumiennie „gryzli granit nauki”, choć dla wielu było to trudne.

Pewnego dnia, gdy przeglądałem zeszyty, moja babcia przyprowadziła gościa, który zaglądał do budynku Liceum Władimir Dawidowicz. Okazało się - kadet "Szkoły" Wasia Doroszenko, były wieśniak z podmiejskiego PGR-u. Położył walizkę na stole i otworzył ją. Jest butelka wódki z poczęstunkiem: wiejska kiełbasa, wędliny, wiejski chleb. Spieszę się.
Od dawna zauważyłem Wasię, nic nie rozumiał z moich wyjaśnień, unikał ankiet, oszukiwał kontrolnych.
-Co cię do mnie sprowadza?
-Vladimir Davidovich, rozumiem, co wyjaśniasz, ale funkcja F(X)! Co to jest?
Moja babcia i ja ledwo kazałyśmy Wasi odłożyć wszystko, co przynieśliśmy z powrotem do walizki, odłożyłam zeszyty i zaczęłyśmy zajęcia. Ku mojemu przerażeniu odkryłem, że Wasia nie zna tabliczki mnożenia. Dla mnie to był szok. Teraz, z wysokości moich lat i doświadczenia, rozumiem całe ubóstwo moich ówczesnych pojęć. W późniejszym życiu spotkałem dyrektora szkoły muzycznej, który zawsze chodził z ołówkiem, na którym była tabliczka mnożenia, oraz żonę mojego przyjaciela, rosyjskiego pisarza Eduarda P......Natalię K... ......, - była nauczycielka w Moskiewskim Instytucie Lotniczym - profesor matematyki, która sama powiedziała mi, że nadal nie zna stołu.
Ale potem, w mojej odległej młodości, wydawało mi się to niewiarygodne, zniechęciło mnie do wyjaśnienia czegoś. Skupiłem się na funkcji
F(x). Długo tłumaczył, podawał przykłady, coś się stało. Wasia wstała usatysfakcjonowana. Ponownie otworzył walizkę, zaproponował picie i jedzenie. Dla mnie gorzałka ostry nóż w sercu. Dusza nie akceptuje, być może na poziomie genetycznym, chociaż mój ojciec wrócił z frontu z wielką pasją do wódki.
Ach, wódka! Ile razy musiałem to niepostrzeżenie wylewać, wymieniać, rozdawać, gdy brałem udział w ucztach, jako akordeonista, a potem akordeonista! W końcu w Rosji pierwszy kieliszek zawsze otrzymuje harmonijka!
W końcu przekonaliśmy Wasię, żeby spakowała wszystko z powrotem do walizki. Powiedział, że idzie do toalety i nigdy nie wrócił. Walizka została na stole.
Bałem się, że za jego przykładem pójdą inni kadeci, którzy mieli problemy z matematyką, ale nic się nie stało. Oczywiście plotka się sprawdziła, że ​​nie piję.
Wasia skończyła szkołę. Już wtedy tam nie pracowałam, wróciła była nauczycielka, która była na urlopie macierzyńskim. Wkrótce szkoła została zamknięta. Droga przeszła na trakcję z silnikiem Diesla, co oznacza, że ​​Wasia znów się uczy. W końcu dostałem dwa małe pokoje w "komunie" i moi rodzice, którzy mieszkali w miejscowości Pogranichny, niedaleko Ussurijska, zostawili wszystko i przyszli do mnie.
A Wasia? Myślę, że nawet bez funkcji Y = F(X) stałem się godnym kolejarzem.
I ta funkcja, jak mały złoty klucz, otwiera sekretne drzwi do tej dziedziny wiedzy, która uczy abstrakcyjnego myślenia i która we wszystkich wielkich językach nazywa się prawie tak samo - MATEMATYKA.
PS
|Te dzieci, dla których byłam wychowawcą w klasach 5,6,7,8, były moimi pierwszymi uczniami w mojej karierze pedagogicznej, pamiętam je na zawsze. Są o 10 lat młodsi ode mnie, dziś mają 68 lat. Niektórzy z nich stali się bardzo sławni ludzie w Rosji i Izraelu.

Opinie

Witaj Włodzimierzu! Czytam twoją historię z przyjemnością i zainteresowaniem. Muszę powiedzieć, że na starość znika chęć czytania fikcyjnych opowiadań, nawet jeśli jest napisana dobry język i artystycznie prawdziwe. Nie wiem, czy to dobrze, czy źle. ... I kocham matematykę. Jak ty. Pozdrawiam Jurij.

Instrukcja

Jeśli chcesz znaleźć wartość funkcji za pomocą formuły, zastąp w tej formule zamiast argumentu (x) jej prawidłowe wartości, czyli wartości zawarte w jej zakresie. Do tego ważne wartości tej funkcji.

Aby znaleźć zakres funkcji, określ jej formę. Jeżeli jest reprezentowany w postaci y = a/b, to jego domeną definicji będą wszystkie wartości, z wyjątkiem zera. Liczba a to dowolna . Aby znaleźć dziedzinę definicji funkcji radykalnego wyrażenia pod warunkiem parzystego wykładnika, wyrażenie to musi być równe mu lub równe zero. Gdy znajdujesz dziedzinę funkcji tego samego wyrażenia, ale z nieparzystym wykładnikiem, pamiętaj, że x może być dowolną liczbą, jeśli wyrażenie pierwotne nie jest ułamkowe. Znajdując dziedzinę funkcji logarytmicznej, postępuj zgodnie z zasadą, że wyrażenie znajdujące się pod znakiem logarytmu musi być wartością dodatnią.

Po znalezieniu dziedziny funkcji przejdź do jej rozwiązania. Na przykład, aby funkcjonować: y \u003d 2,5 x - 10 przy x \u003d 100, zastąp w tym wzorze liczbę 100 zamiast x. Ta operacja będzie wyglądać tak: y \u003d 2,5 × 100 - 10; y = 240. Ta liczba będzie żądaną wartością funkcji.

Aby znaleźć wartość funkcji za pomocą , wykreśl wartość argumentu we współrzędnych x (zaznacz punkt odpowiadający argumentowi). Następnie narysuj prostopadłą z tego punktu, aż przetnie się z wykresem funkcji. Od uzyskanego punktu przecięcia prostopadłej z wykresem funkcji obniż prostopadłą do osi y. Podstawa zbudowanego prostopadłego będzie odpowiadać żądanej wartości funkcji.

Powiązane wideo

Powiązany artykuł

Źródła:

• jak znaleźć funkcję z argumentu w tabeli

Także w szkolne lata funkcje są szczegółowo badane i konstruowane są ich wykresy. Ale niestety praktycznie nie uczą odczytywania wykresu funkcji i znajdowania jej typu zgodnie z przedstawionym rysunkiem. To całkiem proste, jeśli pamiętasz podstawowe typy funkcji.

Instrukcja

Jeżeli prezentowanym wykresem jest , czyli poprzez początek i oś OX kąt α (który jest kątem nachylenia prostej do dodatniej półosi), to funkcja opisująca taką prostą będzie reprezentowana jako y = kx. W tym przypadku współczynnik proporcjonalności k jest równy tangensowi kąta α.

Jeżeli dana linia przechodzi przez drugą i czwartą ćwiartkę współrzędnych, to k wynosi 0 i funkcja rośnie. Niech prezentowany wykres będzie linią prostą położoną w dowolny sposób względem osi współrzędnych. Wtedy funkcja takiego grafika będzie liniowa, co jest reprezentowane przez postać y = kx + b, gdzie zmienne y i x znajdują się w pierwszej , a b i k mogą przyjmować zarówno wartości ujemne, jak i dodatnie lub .

Jeśli linia jest równoległa do linii z wykresem y = kx i odcina b jednostek na osi y, to równanie ma postać x = const, jeśli wykres jest równoległy do ​​osi x, to k = 0 .

Linia zakrzywiona, która składa się z dwóch odgałęzień, symetrycznych względem początku i znajdujących się w różnych ćwiartkach, hiperboli. Taki wykres pokazuje odwrotną zależność zmiennej y od zmiennej x i jest opisany równaniem postaci y = k/x, gdzie k nie powinno być równe zeru, gdyż jest to współczynnik odwrotnej proporcjonalności. W takim przypadku, jeśli wartość k jest większa od zera, funkcja maleje; jeśli k jest mniejsze od zera, wzrasta.

Jeśli proponowany graf jest parabolą przechodzącą przez początek układu współrzędnych, jego funkcja, pod warunkiem, że b = c = 0, będzie miała postać y = ax2. To najprostszy przypadek funkcja kwadratowa. Wykres funkcji o postaci y = ax2 + bx + c będzie miał taką samą postać jak najprostszy przypadek, jednak wierzchołek (punkt przecięcia wykresu z osią y) nie będzie miał początku. W funkcji kwadratowej reprezentowanej przez postać y = ax2 + bx + c, wartości a, b i c są stałe, a a nie jest równe zeru.

Parabola może być również wykresem funkcji potęgowej wyrażonej równaniem postaci y = xⁿ, tylko jeśli n jest liczbą parzystą. Jeśli wartością n jest liczba nieparzysta, taki wykres funkcji potęgowej będzie reprezentowany przez parabolę sześcienną. Jeżeli zmienna n jest liczbą ujemną, równanie funkcji przyjmuje postać .

Powiązane wideo

Funkcja logarytmiczna to funkcja będąca odwrotnością funkcji wykładniczej. Taka funkcja ma postać: y = logax, w której wartość a jest liczbą dodatnią (nie równą zero). Wygląd wykres funkcji logarytmicznej zależy od wartości a.

Będziesz potrzebować

• - informator matematyczny;
• - linijka;
• - prosty ołówek;
• - zeszyt;
• - długopis.

Instrukcja

Zanim zaczniesz kreślić wykres funkcji logarytmicznej, zwróć uwagę, że dziedziną tej funkcji jest zbiór dodatnich: ta wartość to R +. Jednak funkcja logarytmiczna ma zakres, który jest reprezentowany przez real .

Prosimy o uważne zapoznanie się z regulaminem. Jeśli a>1, to wykres przedstawia rosnącą funkcję logarytmiczną. Nie jest trudno udowodnić taką cechę funkcji logarytmicznej. Na przykład weź dwie dowolne dodatnie wartości x1 i x2, gdzie x2>x1. Udowodnij, że loga x2>loga x1 (można to zrobić za pomocą metody z ).

Załóżmy, że loga x2≤loga x1. Biorąc pod uwagę fakt, że funkcja wykładnicza postaci y \u003d topór dla a\u003e 1 wzrasta, nierówność przyjmuje następny widok: aloga x2≤aloga x1. Zgodnie ze znaną definicją aloga x2=x2, natomiast aloga x1=x1. W związku z tym nierówność przyjmuje postać: x2≤x1, co wprost przeczy pierwotnym założeniom, zgodnie z x2>x1. W ten sposób doszedłeś do tego, co było wymagane do udowodnienia: dla a> 1, wzrasta.

Wykreśl funkcję logarytmiczną. Wykres funkcji y = logax przejdzie przez punkt (1; 0). Jeśli a>1, funkcja będzie wzrastać. Dlatego jeśli 0

Notatka

Jeśli w zadaniu logarytm oznaczono przez lg x, nie myśl, że autorzy podręcznika matematycznego popełnili błąd, pomijając literę „o”: przed tobą logarytm dziesiętny.

Przydatna rada

Aby uzyskać dokładność wykreślenia wykresu funkcji logarytmicznej, oblicz, co będzie równe y, gdy różne znaczenia x(0,5; 2; 4, 8). Na podstawie tych danych umieść punkty i zbuduj na ich podstawie wykres.

Źródła:

• Definicja i podstawowe własności funkcji logarytmicznej
• wykres funkcji logarytmicznej

Termin rozwiązanie funkcji jako taki nie jest używany w matematyce. To sformułowanie należy rozumieć jako wykonanie pewnych działań na danej funkcji w celu znalezienia określonej cechy, a także znalezienia danych niezbędnych do wykreślenia wykresu funkcji.

Instrukcja

Możesz rozważyć przybliżony schemat, według którego zachowanie funkcji jest celowe i zbudować jej wykres.
Znajdź zakres funkcji. Określ, czy funkcja jest parzysta, czy nieparzysta. Jeśli znajdziesz właściwą odpowiedź, kontynuuj tylko na żądanej półosi. Sprawdź, czy funkcja jest okresowa. W przypadku pozytywnej odpowiedzi kontynuuj badanie tylko na jednym okresie. Znajdź punkty i określ jego zachowanie w pobliżu tych punktów.

Znajdź punkty przecięcia wykresu funkcji z osiami współrzędnych. Sprawdź, czy są. Użyj pierwszej pochodnej, aby zbadać funkcję dla przedziałów ekstremów i monotoniczności. Przetestuj również drugą pochodną pod kątem wypukłości, wklęsłości i punktów przegięcia. Wybierz punkty, aby udoskonalić funkcję i obliczyć dla nich wartości funkcji. Zbuduj wykres funkcji, biorąc pod uwagę wyniki uzyskane dla wszystkich badań.

Na osi 0X należy wyróżnić punkty charakterystyczne: punkty nieciągłości, x=0, zera funkcji, punkty ekstremów, punkty przegięcia. W tych x oblicz wartości funkcji (jeśli istnieją) i na płaszczyźnie 0xy zaznacz odpowiednie punkty wykresu, a także punkty wybrane do doprecyzowania. Linia poprowadzona przez wszystkie wykreślone punkty z uwzględnieniem przedziałów monotoniczności, kierunków wypukłości oraz , da szkic wykresu funkcji.

Tak, wł. konkretny przykład funkcja y=((x^2)+1)/(x-1) badanie z wykorzystaniem pierwszej pochodnej. Przepisz funkcję jako y=x+1+2/(x-1). Pierwsza pochodna to y’=1-2/((x-1)^2).
Znajdować punkt krytyczny pierwszego rodzaju: y’=0, (x-1)^2=2, co daje dwa punkty: x1=1-sqrt2, x2=1+sqrt2. Uzyskane wartości zaznaczamy w obszarze definicji funkcji (rys. 1).
Wyznacz znak pochodnej na każdym z przedziałów. Bazując na „+” do „-” i od „-” do „+”, uzyskaj, że maksymalny punkt funkcji to x1=1-sqrt2, a minimalny punkt to x2=1+sqrt2. Ten sam wniosek można wyciągnąć ze znaku drugiej pochodnej.

Wskazówka 5: Jak rozwiązać równanie różniczkowe pierwszego rzędu

Równanie różniczkowe pierwszego rzędu jest jednym z najprostszych równań różniczkowych. Są najłatwiejsze do zbadania i rozwiązania, aw końcu zawsze można je zintegrować.

Instrukcja

Rozważ rozwiązanie różniczkowe pierwszego rzędu na przykładzie xy "=y. Widzisz, że zawiera: x - niezależną; y - zmienną zależną, funkcję; y" - pierwszą pochodną funkcji.

Nie przejmuj się, jeśli w niektórych przypadkach pierwsze zamówienie nie będzie „x” lub (i) „y”. Najważniejsze jest to, że w równaniu różniczkowym musi być y" (pierwsza pochodna), a nie powinno być y"", y""" (wyższych rzędów).

Teraz oddziel zmienne. Np. po lewej stronie zostaw tylko zmienne zawierające y, a po prawej - zmienne zawierające x. Powinieneś otrzymać: dyy=dxx.