W tej lekcji przypomnimy sobie wszystkie poprzednio badane metody rozkładania wielomianu na czynniki i rozważymy przykłady ich zastosowania, dodatkowo przestudiujemy nowa metoda- metoda wyboru pełnego kwadratu i nauczenie się jej zastosowania w rozwiązywaniu różnych problemów.

Temat:Rozkładanie wielomianów na czynniki

Lekcja:Faktoryzacja wielomianów. Pełnokwadratowa metoda selekcji. Połączenie metod

Przypomnij sobie główne metody rozkładania wielomianu na czynniki, które były badane wcześniej:

Metoda wyciągania z nawiasów czynnika wspólnego, czyli czynnika, który występuje we wszystkich elementach wielomianu. Rozważ przykład:

Przypomnij sobie, że jednomian jest iloczynem potęg i liczb. W naszym przykładzie oba elementy mają wspólne, identyczne elementy.

Wyjmijmy więc wspólny czynnik z nawiasów:

;

Przypomnijmy, że mnożąc wyrenderowany mnożnik przez nawias można sprawdzić poprawność renderowania.

metoda grupowania. Nie zawsze jest możliwe usunięcie wspólnego czynnika z wielomianu. W takim przypadku należy podzielić jej członków na grupy w taki sposób, aby w każdej grupie można było wyliczyć wspólny czynnik i spróbować go rozbić tak, aby po usunięciu czynników w grupach pojawił się wspólny czynnik dla cała ekspresja i ekspansja może być kontynuowana. Rozważ przykład:

Pogrupuj pierwszy termin z czwartym, drugi z piątym, a trzeci z szóstym:

Wyjmijmy wspólne czynniki w grupach:

Wyrażenie ma wspólny czynnik. Wyjmijmy to:

Zastosowanie skróconych wzorów mnożenia. Rozważ przykład:

;

Napiszmy szczegółowo wyrażenie:

Oczywiście mamy przed sobą wzór na kwadrat różnicy, ponieważ jest suma kwadratów dwóch wyrażeń i odejmuje się ich iloczyn podwójny. Rzućmy według wzoru:

Dziś poznamy inny sposób - metodę pełnego zaznaczania kwadratów. Opiera się na formułach kwadratu sumy i kwadratu różnicy. Przypomnij je:

Wzór na kwadrat sumy (różnicy);

Osobliwością tych formuł jest to, że zawierają kwadraty dwóch wyrażeń i ich podwójny iloczyn. Rozważ przykład:

Napiszmy wyrażenie:

Więc pierwsze wyrażenie to , a drugie .

Aby stworzyć wzór na kwadrat sumy lub różnicy, iloczyn podwójny wyrażeń nie wystarczy. Należy go dodać i odjąć:

Zwińmy cały kwadrat sumy:

Przekształćmy wynikowe wyrażenie:

Stosujemy wzór różnicy kwadratów, pamiętajmy, że różnica kwadratów dwóch wyrażeń to iloczyn, a sumy przez ich różnicę:

Tak więc metoda ta polega przede wszystkim na tym, że konieczne jest zidentyfikowanie wyrażeń a i b, które są podniesione do kwadratu, to znaczy określenie, które wyrażenia są podniesione do kwadratu w tym przykładzie. Następnie musisz sprawdzić obecność podwójnego produktu, a jeśli go tam nie ma, dodaj go i odejmij, nie zmieni to znaczenia przykładu, ale wielomian można rozłożyć na czynniki za pomocą wzorów na kwadrat sumy lub różnicy i różnicy kwadratów, jeśli to możliwe.

Przejdźmy do rozwiązywania przykładów.

Przykład 1 - faktoryzacja:

Znajdź wyrażenia do kwadratu:

Zapiszmy, jaki powinien być ich podwójny produkt:

Dodajmy i odejmijmy iloczyn podwójny:

Zwińmy cały kwadrat sumy i podajmy podobne:

Napiszemy według wzoru na różnicę kwadratów:

Przykład 2 - rozwiąż równanie:

;

Po lewej stronie równania znajduje się trójmian. Musisz to rozłożyć na czynniki. Używamy wzoru na kwadrat różnicy:

Mamy kwadrat pierwszego wyrażenia i iloczyn podwójny, brakuje kwadratu drugiego wyrażenia, dodajmy i odejmijmy:

Zwińmy cały kwadrat i podajmy podobne wyrażenia:

Zastosujmy wzór różnicy kwadratów:

Więc mamy równanie

Wiemy, że iloczyn jest równy zero tylko wtedy, gdy przynajmniej jeden z czynników jest równy zeru. Na tej podstawie napiszemy równania:

Rozwiążmy pierwsze równanie:

Rozwiążmy drugie równanie:

Odpowiedź: lub

;

Postępujemy podobnie jak w poprzednim przykładzie - wybieramy kwadrat różnicy.

Rozkład wielomianu na czynniki. Część 1

Faktoryzacja to uniwersalna technika, która pomaga rozwiązywać złożone równania i nierówności. Pierwsza myśl, jaka powinna przyjść do głowy przy rozwiązywaniu równań i nierówności, w których zero jest po prawej stronie, to próba faktoryzacji lewej strony.

Wymieniamy główne sposoby na faktoryzację wielomianu:

• wyjęcie wspólnego czynnika z nawiasu
• stosowanie skróconych wzorów mnożenia
• według wzoru na faktoryzację trójmian kwadratowy
• metoda grupowania
• dzielenie wielomianu przez dwumian
• metoda współczynników nieokreślonych

W tym artykule omówimy szczegółowo pierwsze trzy metody, reszta zostanie omówiona w kolejnych artykułach.

1. Wyjęcie wspólnego czynnika z nawiasu.

Aby wyjąć wspólny czynnik z nawiasu, musisz go najpierw znaleźć. Wspólny współczynnik mnożnika jest równy największemu wspólnemu dzielnikowi wszystkich współczynników.

Część listowa dzielnik wspólny jest równy iloczynowi wyrażeń składających się na każdy wyraz o najmniejszym wykładniku.

Schemat usuwania wspólnego czynnika wygląda tak:

Uwaga!
Liczba terminów w nawiasach jest równa liczbie terminów w oryginalnym wyrażeniu. Jeśli jeden z terminów pokrywa się ze wspólnym dzielnikiem, to po podzieleniu go przez czynnik wspólny otrzymujemy jeden.

Przykład 1

Rozkład wielomianu na czynniki:

Wyjmijmy wspólny czynnik z nawiasów. Aby to zrobić, najpierw go znajdujemy.

1. Znajdź największy wspólny dzielnik wszystkich współczynników wielomianu, tj. liczby 20, 35 i 15. Jest równy 5.

2. Ustalamy, że zmienna zawiera się we wszystkich wyrażeniach, a najmniejszym z jej wykładników jest 2. Zmienna jest zawarta we wszystkich wyrażeniach, a najmniejszym z jej wykładników jest 3.

Zmienna zawarta jest tylko w drugim członie, więc nie jest częścią czynnika wspólnego.

Więc wspólnym czynnikiem jest

3. Wyjmujemy czynnik za pomocą powyższego schematu:

Przykład 2 Rozwiązać równanie:

Rozwiązanie. Rozłóżmy na czynniki lewą stronę równania. Wyjmijmy czynnik z nawiasów:

Więc mamy równanie

Ustaw każdy współczynnik równy zero:

Otrzymujemy - pierwiastek pierwszego równania.

Korzenie:

Odpowiedź: -1, 2, 4

2. Faktoryzacja za pomocą skróconych wzorów mnożenia.

Jeśli liczba wyrazów w wielomianu, który zamierzamy rozłożyć na czynniki, jest mniejsza lub równa trzy, wówczas próbujemy zastosować skrócone wzory mnożenia.

1. Jeśli wielomianem jestróżnica dwóch terminów, wtedy staramy się aplikować wzór różnicy kwadratów:

lub wzór różnicy sześcianów:

Oto litery i oznaczają liczbę lub wyrażenie algebraiczne.

2. Jeśli wielomian jest sumą dwóch wyrazów, to być może można go rozłożyć na czynniki za pomocą wzory na sumę sześcianów:

3. Jeśli wielomian składa się z trzech wyrazów, to staramy się zastosować suma kwadratowa formuła:

lub wzór kwadratu różnicy:

Albo próbujemy rozkładać na czynniki przez wzór na faktoryzację trójmianu kwadratowego:

Oto i są pierwiastki równania kwadratowego

Przykład 3Faktoring wyrażenia:

Rozwiązanie. Mamy sumę dwóch terminów. Spróbujmy zastosować wzór na sumę sześcianów. Aby to zrobić, musisz najpierw przedstawić każdy termin jako sześcian jakiegoś wyrażenia, a następnie zastosować wzór na sumę sześcianów:

Przykład 4 Faktoring wyrażenia:

Rozwiązanie. Przed nami różnica kwadratów dwóch wyrażeń. Pierwsze wyrażenie: , drugie wyrażenie:

Zastosujmy wzór na różnicę kwadratów:

Otwórzmy nawiasy i podajmy podobne terminy, otrzymujemy:

Zastanów się konkretne przykłady jak rozłożyć na czynniki wielomian.

Rozwiniemy wielomiany zgodnie z .

Rozkładanie wielomianów na czynniki:

Sprawdź, czy istnieje wspólny czynnik. tak, to jest równe 7cd. Wyjmijmy to z nawiasów:

Wyrażenie w nawiasach składa się z dwóch terminów. Nie ma już wspólnego czynnika, wyrażenie nie jest wzorem na sumę sześcianów, co oznacza, że ​​rozkład jest zakończony.

Sprawdź, czy istnieje wspólny czynnik. Nie. Wielomian składa się z trzech wyrazów, więc sprawdzamy, czy istnieje wzór na pełny kwadrat. Dwa wyrazy są kwadratami wyrażeń: 25x²=(5x)², 9y²=(3y)², trzeci wyraz jest równy dwukrotności iloczynu tych wyrażeń: 2∙5x∙3y=30xy. Więc ten wielomian to pełny kwadrat. Ponieważ podwójny produkt ma znak minus, to jest to:

Sprawdzamy, czy można wyjąć wspólny czynnik z nawiasów. Jest wspólny czynnik, równy a. Wyjmijmy to z nawiasów:

W nawiasach znajdują się dwa terminy. Sprawdzamy, czy istnieje wzór na różnicę kwadratów czy na różnicę sześcianów. a² jest kwadratem a, 1=1². Zatem wyrażenie w nawiasach można zapisać według wzoru na różnicę kwadratów:

Jest wspólny czynnik, równy 5. Wyciągamy go z nawiasów:

w nawiasach są trzy wyrazy. Sprawdź, czy wyrażenie jest idealnym kwadratem. Dwa wyrazy są kwadratami: 16=4² i a² jest kwadratem a, trzeci wyraz jest równy dwukrotności iloczynu 4 oraz a: 2∙4∙a=8a. Dlatego jest to kwadrat idealny. Ponieważ wszystkie terminy są opatrzone znakiem „+”, wyrażenie w nawiasach jest pełnym kwadratem sumy:

Wspólny czynnik -2x jest wyjęty z nawiasów:

W nawiasach podano sumę dwóch terminów. Sprawdzamy, czy podane wyrażenie jest sumą kostek. 64=4³, x³-sześcian x. Zatem dwumian można rozszerzyć zgodnie ze wzorem:

Jest wspólny czynnik. Ale ponieważ wielomian składa się z 4 elementów, najpierw, a dopiero potem wyjmiemy z nawiasów czynnik wspólny. Pierwszy termin grupujemy z czwartym, w drugim - z trzecim:

Z pierwszych nawiasów wyjmujemy czynnik wspólny 4a, z drugiego - 8b:

Nie ma jeszcze wspólnego mnożnika. Aby to uzyskać, z drugich nawiasów wyjmiemy nawiasy „-”, a każdy znak w nawiasach zmieni się na przeciwny:

Teraz wyjmujemy wspólny dzielnik (1-3a) z nawiasów:

W drugim nawiasie znajduje się wspólny czynnik 4 (to ten sam czynnik, którego nie wyjęliśmy z nawiasów na początku przykładu):

Ponieważ wielomian składa się z czterech członów, wykonujemy grupowanie. Pierwszy termin grupujemy z drugim, trzeci z czwartym:

W pierwszych nawiasach nie ma współczynnika wspólnego, ale istnieje wzór na różnicę kwadratów, w nawiasach drugich współczynnik wspólny wynosi -5:

Pojawił się wspólny czynnik (4m-3n). Wyjmijmy to z nawiasów.

Rozkład równania na czynniki to proces znajdowania terminów lub wyrażeń, które po pomnożeniu prowadzą do równania początkowego. Rozkładanie na czynniki jest przydatną umiejętnością rozwiązywania podstawowych problemów algebraicznych i staje się praktyczną koniecznością podczas pracy z równaniami kwadratowymi i innymi wielomianami. Rozkład na czynniki służy do uproszczenia równań algebraicznych, aby ułatwić ich rozwiązywanie. Faktoring może pomóc w szybszym wykluczeniu pewnych możliwych odpowiedzi, rozwiązując równanie ręcznie.

Kroki

Faktoryzacja liczb i podstawowe wyrażenia algebraiczne

1. Faktoryzacja liczb. Pojęcie faktoringu jest proste, ale faktoring w praktyce może być trudny (biorąc pod uwagę złożone równanie). Dlatego na początek rozważymy koncepcję faktoryzacji na przykładzie liczb, kontynuuj proste równania a następnie przejdź do złożone równania. Mnożniki podany numer to liczby, które po pomnożeniu dają pierwotną liczbę. Na przykład dzielnikami liczby 12 są liczby: 1, 12, 2, 6, 3, 4, ponieważ 1*12=12, 2*6=12, 3*4=12.

   • Podobnie możesz myśleć o dzielnikach liczby jako o jej dzielnikach, czyli o liczbach, przez które dana liczba jest podzielna.
   • Znajdź wszystkie czynniki liczby 60. Często używamy liczby 60 (na przykład 60 minut na godzinę, 60 sekund na minutę itp.) i ta liczba ma dość duża liczba mnożniki.
     • 60 mnożników: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 i 60.

2. Pamiętać: terminy wyrażenia zawierającego współczynnik (liczbę) i zmienną również mogą być rozkładane na czynniki. Aby to zrobić, znajdź mnożniki współczynnika przy zmiennej. Wiedząc, jak podzielić na czynniki równania, możesz łatwo uprościć to równanie.

   • Na przykład termin 12x można zapisać jako iloczyn 12 i x. Możesz również zapisać 12x jako 3(4x), 2(6x) itd., rozkładając 12 na czynniki, które najlepiej Ci odpowiadają.
     • Możesz ułożyć 12x wiele razy z rzędu. Innymi słowy, nie powinieneś zatrzymywać się na 3(4x) lub 2(6x); kontynuuj rozwijanie: 3(2(2x)) lub 2(3(2x)) (oczywiście 3(4x)=3(2(2x)) itd.)

3. Zastosuj rozdzielczą własność mnożenia do faktoryzacji równań algebraicznych. Wiedząc, jak rozkładać na czynniki liczby i wyrazy wyrażenia (współczynniki ze zmiennymi), możesz uprościć proste równania algebraiczne, znajdując wspólny czynnik liczby i wyrazu wyrażenia. Zwykle, aby uprościć równanie, musisz znaleźć największy wspólny dzielnik (gcd). Takie uproszczenie jest możliwe dzięki rozdzielczej własności mnożenia: dla dowolnych liczb a, b, c równość a (b + c) = ab + ac jest prawdziwa.

   • Przykład. Rozłóż na czynniki równanie 12x + 6. Najpierw znajdź gcd 12x i 6. 6 to Największa liczba, który dzieli zarówno 12x, jak i 6, więc możesz rozwinąć to równanie do: 6(2x+1).
   • Proces ten dotyczy również równań zawierających wyrazy ujemne i ułamkowe. Na przykład x/2+4 można rozłożyć na 1/2(x+8); na przykład -7x+(-21) można rozłożyć na -7(x+3).

   Faktoryzacja równań kwadratowych

   1. Upewnij się, że równanie ma postać kwadratową (ax 2 + bx + c = 0). Równania kwadratowe to: ax 2 + bx + c = 0, gdzie a, b, c są współczynnikami liczbowymi innymi niż 0. Jeśli podano równanie z jedną zmienną (x) i to równanie ma jeden lub więcej wyrazów drugiego rzędu zmienna , możesz przenieść wszystkie wyrazy równania na jedną stronę równania i zrównać je z zero.

      • Na przykład, biorąc pod uwagę równanie: 5x 2 + 7x - 9 = 4x 2 + x - 18. Można je przekształcić w równanie x 2 + 6x + 9 = 0, które jest równaniem kwadratowym.
      • Równania ze zmienną x dużych zamówień, np. x 3 , x 4 , itd. nie są równaniami kwadratowymi. Są to równania sześcienne, równania czwartego rzędu itd. (tylko jeśli takich równań nie da się uprościć do równań kwadratowych ze zmienną x do potęgi 2).

   2. Równania kwadratowe, gdzie a \u003d 1, są rozkładane na (x + d) (x + e), gdzie d * e \u003d c i d + e \u003d b. Jeśli ci dano równanie kwadratowe ma postać: x 2 + bx + c \u003d 0 (to znaczy współczynnik przy x 2 jest równy 1), wówczas takie równanie można (ale nie gwarantowane) rozłożyć na powyższe czynniki. Aby to zrobić, musisz znaleźć dwie liczby, które po pomnożeniu dają "c", a po dodaniu - "b". Po znalezieniu tych dwóch liczb (d i e) zastąp je następującym wyrażeniem: (x+d)(x+e), które po otwarciu nawiasów prowadzi do pierwotnego równania.

      • Na przykład, biorąc pod uwagę równanie kwadratowe x 2 + 5x + 6 = 0,3*2=6 i 3+2=5, więc możesz rozwinąć równanie do (x+3)(x+2).
      • W przypadku terminów ujemnych wprowadź następujące drobne zmiany w procesie faktoryzacji:
        • Jeśli równanie kwadratowe ma postać x 2 -bx + c, to rozkłada się na: (x-_) (x-_).
        • Jeśli równanie kwadratowe ma postać x 2 -bx-c, to rozkłada się na: (x + _) (x-_).
      • Uwaga: spacje można zastąpić ułamkami zwykłymi lub dziesiętnymi. Na przykład równanie x 2 + (21/2)x + 5 \u003d 0 rozkłada się na (x + 10) (x + 1/2).

   3. Faktoryzacja metodą prób i błędów. Proste równania kwadratowe można rozłożyć na czynniki, po prostu podstawiając liczby do możliwych rozwiązań, aż znajdziesz Dobra decyzja. Jeżeli równanie ma postać ax 2 +bx+c, gdzie a>1, możliwe rozwiązania zapisuje się jako (dx +/- _)(ex +/- _), gdzie d i e są współczynnikami liczbowymi innymi niż zero, które po pomnożeniu dają a. Albo d, albo e (lub oba współczynniki) mogą być równe 1. Jeśli oba współczynniki są równe 1, użyj metody opisanej powyżej.

      • Na przykład, biorąc pod uwagę równanie 3x 2 - 8x + 4. Tutaj 3 ma tylko dwa czynniki (3 i 1), więc możliwe rozwiązania są zapisane jako (3x +/- _)(x +/- _). W tym przypadku zastępując spacje -2, otrzymasz poprawną odpowiedź: -2*3x=-6x i -2*x=-2x; - 6x+(-2x)=-8x i -2*-2=4, czyli takie rozwinięcie przy otwieraniu nawiasów prowadzi do wyrazów pierwotnego równania.

Kalkulator online.
Wybór kwadratu dwumianu i faktoryzacja trójmianu kwadratowego.

Ten program do matematyki wyodrębnia kwadrat z dwumianu z trójmianu kwadratowego, tj. dokonuje przekształcenia formy:
\(ax^2+bx+c \rightarrow a(x+p)^2+q \) and faktoryzuje trójmian kwadratowy: \(ax^2+bx+c \rightarrow a(x+n)(x+m) \)

Tych. problemy sprowadzają się do znalezienia liczb \(p, q \) i \(n, m \)

Program nie tylko daje odpowiedź na problem, ale także wyświetla proces rozwiązania.

Ten program może być przydatny dla uczniów szkół średnich szkoły ogólnokształcące w przygotowaniach do praca kontrolna i egzaminów, sprawdzając wiedzę przed egzaminem, rodzice kontrolują rozwiązanie wielu problemów z matematyki i algebry. A może za drogo zatrudnisz korepetytora lub kupisz nowe podręczniki? A może po prostu chcesz to zrobić tak szybko, jak to możliwe? Praca domowa matematyka czy algebra? W takim przypadku możesz również skorzystać z naszych programów ze szczegółowym rozwiązaniem.

W ten sposób możesz przeprowadzić własny trening i/lub trenować swój młodsi bracia czy sióstr, a poziom wykształcenia w zakresie rozwiązywanych zadań wzrasta.

Jeśli nie znasz zasad wpisywania trójmianu kwadratowego, zalecamy zapoznanie się z nimi.

Zasady wprowadzania wielomianu kwadratowego

Każda litera łacińska może działać jako zmienna.
Na przykład: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) itp.

Liczby można wprowadzać jako liczby całkowite lub ułamki.
Co więcej, liczby ułamkowe można wprowadzać nie tylko w postaci ułamka dziesiętnego, ale także w postaci ułamka zwykłego.

Zasady wprowadzania ułamków dziesiętnych.
W ułamkach dziesiętnych część ułamkową od liczby całkowitej można oddzielić kropką lub przecinkiem.
Na przykład możesz wpisać ułamki dziesiętne więc: 2,5x - 3,5x^2

Zasady wprowadzania zwykłych ułamków.
Tylko liczba całkowita może pełnić funkcję licznika, mianownika i części całkowitej ułamka.

Mianownik nie może być ujemny.

Przy wprowadzaniu ułamka liczbowego licznik jest oddzielony od mianownika znakiem dzielenia: /
Część całkowita jest oddzielona od ułamka znakiem ampersandu: &
Wejście: 3&1/3 - 5&6/5x +1/7x^2
Wynik: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) x + \frac(1)(7)x^2 \)

Podczas wprowadzania wyrażenia możesz użyć nawiasów. W tym przypadku podczas rozwiązywania wprowadzone wyrażenie jest najpierw uproszczone.
Na przykład: 1/2(x-1)(x+1)-(5x-10&1/2)

Szczegółowy przykład rozwiązania

Wybór kwadratu dwumianu.$$ ax^2+bx+c \rightarrow a(x+p)^2+q $$ $$2x^2+2x-4 = $$ $$2x^2 +2 \cdot 2 \cdot\left( \frac(1)(2) \right)\cdot x+2 \cdot \left(\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) = $$ $$2\left (x^2 + 2 \cdot\left(\frac(1)(2) \right)\cdot x + \left(\frac(1)(2) \right)^2 \right)-\frac(9 )(2) = $$ $$2\left(x+\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) $$ Odpowiedź:$$2x^2+2x-4 = 2\left(x+\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) $$ Faktoryzacja.$$ ax^2+bx+c \rightarrow a(x+n)(x+m) $$ $$2x^2+2x-4 = $$
$$ 2\lewo(x^2+x-2 \prawo) = $$
$$ 2 \left(x^2+2x-1x-1 \cdot 2 \right) = $$ $$ 2 \left(x \left(x +2 \right) -1 \left(x +2 \right ) \right) = $$ $$ 2 \left(x -1 \right) \left(x +2 \right) $$ Odpowiedź:$$2x^2+2x-4 = 2 \left(x -1 \right) \left(x +2 \right) $$

Rozwiązywać

Stwierdzono, że niektóre skrypty potrzebne do rozwiązania tego zadania nie zostały załadowane, a program może nie działać.
Możesz mieć włączony AdBlock.
W takim przypadku wyłącz go i odśwież stronę.

Masz wyłączoną obsługę JavaScript w swojej przeglądarce.
Aby rozwiązanie się pojawiło, musi być włączony JavaScript.
Oto instrukcje, jak włączyć JavaScript w przeglądarce.

Dlatego Jest wiele osób, które chcą rozwiązać problem, Twoja prośba jest w kolejce.
Po kilku sekundach rozwiązanie pojawi się poniżej.
Proszę czekać sek...

Jeśli ty zauważyłem błąd w rozwiązaniu, możesz o tym napisać w Formularzu Informacji Zwrotnej .
Nie zapomnij wskaż, które zadanie Ty decydujesz co? wpisz w polach.

Nasze gry, puzzle, emulatory:

Trochę teorii.

Wyodrębnianie dwumianu kwadratowego z trójmianu kwadratowego

Jeśli kwadrat trójmianu ax 2 +bx+c jest reprezentowany jako a(x+p) 2 +q, gdzie p i q są liczby rzeczywiste, wtedy mówią, że trójmian kwadratowy, kwadrat dwumianu jest podświetlony.

Wydzielmy kwadrat dwumianu z trójmianu 2x 2 +12x+14.

\(2x^2+12x+14 = 2(x^2+6x+7) \)

Aby to zrobić, reprezentujemy 6x jako iloczyn 2 * 3 * x, a następnie dodajemy i odejmujemy 3 2 . Otrzymujemy:
$$ 2(x^2+2 \cdot 3 \cdot x + 3^2-3^2+7) = 2((x+3)^2-3^2+7) = $$ $$ = 2 ((x+3)^2-2) = 2(x+3)^2-4 $$

To. my wybrał kwadrat dwumianu z trójmianu kwadratowego i pokazał, że:
$ 2x^2+12x+14 = 2(x+3)^2-4 $$

Faktoryzacja trójmianu kwadratowego

Jeśli kwadrat trójmianu ax 2 +bx+c jest reprezentowany jako a(x+n)(x+m), gdzie n i m są liczbami rzeczywistymi, to operacja jest wykonywana faktoryzacja trójmianu kwadratowego.

Użyjmy przykładu, aby pokazać, jak odbywa się ta transformacja.

Rozliczmy trójmian kwadratowy 2x 2 + 4x-6.

Wyjmijmy współczynnik a z nawiasów, tj. 2:
\(2x^2+4x-6 = 2(x^2+2x-3) \)

Przekształćmy wyrażenie w nawiasach.
Aby to zrobić, reprezentujemy 2x jako różnicę 3x-1x, a -3 jako -1*3. Otrzymujemy:
$$ = 2(x^2+3 \cdot x -1 \cdot x -1 \cdot 3) = 2(x(x+3)-1 \cdot (x+3)) = $$
$$ = 2(x-1)(x+3) $$

To. my faktoryzować trójmian kwadratowy i pokazał, że:
$ 2x^2+4x-6 = 2(x-1)(x+3) $$

Zauważ, że faktoryzacja trójmianu kwadratowego jest możliwa tylko wtedy, gdy równanie kwadratowe odpowiadające temu trójmianowi ma pierwiastki.
Tych. w naszym przypadku rozłożenie na czynniki trójmianu 2x 2 +4x-6 jest możliwe, jeśli równanie kwadratowe 2x 2 +4x-6 =0 ma pierwiastki. W procesie faktoryzacji odkryliśmy, że równanie 2x 2 +4x-6 =0 ma dwa pierwiastki 1 i -3, ponieważ przy tych wartościach równanie 2(x-1)(x+3)=0 zamienia się w prawdziwą równość.

Książki (podręczniki) Streszczenia z Jednolitego Egzaminu Państwowego i testów OGE online Gry, zagadki Wykresy funkcji Słownik ortografii języka rosyjskiego Słownik slangu młodzieżowego Katalog szkół rosyjskich Katalog szkół średnich w Rosji Katalog uniwersytetów rosyjskich Lista zadań