Oznaczony jest zbiór liczb wymiernych. Liczby całkowite i wymierne. Liczby rzeczywiste

mieszkanie

Porządek. a oraz b istnieje zasada, która pozwala jednoznacznie zidentyfikować między nimi jedną i tylko jedną z trzech relacji: „< », « >' lub ' = '. Ta zasada nazywa się reguła zamawiania i jest sformułowany w następujący sposób: dwie liczby nieujemne i są powiązane tą samą relacją co dwie liczby całkowite i ; dwie liczby niedodatnie a oraz b są powiązane taką samą relacją jak dwie liczby nieujemne i ; jeśli nagle a nieujemna i b- wtedy negatywny a > b. src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">
sumowanie ułamków
operacja dodawania. Dla dowolnych liczb wymiernych a oraz b istnieje tzw reguła sumowania C. Jednak sam numer C nazywa suma liczby a oraz b i jest oznaczony , a proces znajdowania takiej liczby nazywa się podsumowanie. Zasada sumowania ma następny widok: .
operacja mnożenia. Dla dowolnych liczb wymiernych a oraz b istnieje tzw reguła mnożenia, co stawia je w zgodności z pewną liczbą wymierną C. Jednak sam numer C nazywa Praca liczby a oraz b i jest oznaczony , a proces znajdowania takiej liczby jest również nazywany mnożenie. Zasada mnożenia jest następująca: .
Przechodniość relacji porządku. Dla dowolnej trójki liczb wymiernych a , b oraz C Jeśli a mniej b oraz b mniej C, następnie a mniej C, i jeśli a równa się b oraz b równa się C, następnie a równa się C. 6435">Przemienność dodawania. Suma nie zmienia się od zmiany miejsc wyrażeń racjonalnych.
Asocjatywność dodawania. Kolejność dodawania trzech liczb wymiernych nie wpływa na wynik.
Obecność zera. Istnieje liczba wymierna 0, która po zsumowaniu zachowuje każdą inną liczbę wymierną.
Obecność liczb przeciwnych. Każda liczba wymierna ma przeciwną liczbę wymierną, która po zsumowaniu daje 0.
Przemienność mnożenia. Zmieniając miejsca czynników racjonalnych, produkt się nie zmienia.
Łączność mnożenia. Kolejność mnożenia trzech liczb wymiernych nie wpływa na wynik.
Obecność jednostki. Istnieje liczba wymierna 1, która zachowuje każdą inną liczbę wymierną po pomnożeniu.
Obecność wzajemności. Każda liczba wymierna ma odwrotną liczbę wymierną, która po pomnożeniu daje 1.
Rozkład mnożenia względem dodawania. Operacja mnożenia jest zgodna z operacją dodawania poprzez prawo dystrybucji:
Połączenie relacji zlecenia z operacją dodawania. Na lewo i prawo racjonalna nierówność możesz dodać tę samą liczbę wymierną. /zdjęcia/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0">
Aksjomat Archimedesa. Niezależnie od liczby wymiernej a, możesz wziąć tyle jednostek, że ich suma przekroczy a. src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0">

Dodatkowe właściwości

Wszystkie inne własności tkwiące w liczbach wymiernych nie są wyróżniane jako podstawowe, ponieważ, ogólnie rzecz biorąc, nie są one już oparte bezpośrednio na własnościach liczb całkowitych, ale można je udowodnić na podstawie danych podstawowych własności lub bezpośrednio przez definicję jakiś obiekt matematyczny. Takich dodatkowych właściwości jest bardzo dużo. Warto tutaj przytoczyć tylko kilka z nich.

Src="/pictures/wiki/files/48/0caf9ffdbc8d6264bc14397db34e8d72.png" border="0">

Ustaw liczebność

Numeracja liczb wymiernych

Aby oszacować liczbę liczb wymiernych, musisz znaleźć moc ich zbioru. Łatwo udowodnić, że zbiór liczb wymiernych jest policzalny. Aby to zrobić, wystarczy podać algorytm wyliczający liczby wymierne, czyli ustalający bijekcję między zbiorami liczb wymiernych i naturalnych.

Najprostszy z tych algorytmów jest następujący. Na każdym kompilowana jest nieskończona tabela zwykłych ułamków i-ta linia w każdym J th kolumna jest ułamkiem. Dla jednoznaczności przyjmuje się, że wiersze i kolumny tej tabeli są numerowane od jednego. Komórki tabeli są oznaczone , gdzie i- numer wiersza tabeli, w której znajduje się komórka, oraz J- numer kolumny.

Wynikową tabelą zarządza „wąż” zgodnie z następującym algorytmem formalnym.

Reguły te są przeszukiwane od góry do dołu, a kolejna pozycja jest wybierana przez pierwsze dopasowanie.

W procesie takiego obejścia każda nowa liczba wymierna jest przypisywana kolejnej liczbie naturalnej. Oznacza to, że ułamki 1 / 1 mają przypisaną liczbę 1, ułamki 2 / 1 - liczbę 2 itd. Należy zauważyć, że numerowane są tylko ułamki nieredukowalne. Formalnym znakiem nieredukowalności jest równość do jedności największego wspólnego dzielnika licznika i mianownika ułamka.

Zgodnie z tym algorytmem można wyliczyć wszystkie dodatnie liczby wymierne. Oznacza to, że zbiór dodatnich liczb wymiernych jest policzalny. Łatwo jest ustalić bijekcję między zbiorami dodatnich i ujemnych liczb wymiernych, po prostu przypisując każdej liczbie wymiernej jej przeciwieństwo. To. zbiór ujemnych liczb wymiernych jest również policzalny. Ich połączenie jest również policzalne przez własność zbiorów policzalnych. Zbiór liczb wymiernych jest również policzalny jako suma zbioru policzalnego ze skończoną.

Stwierdzenie o przeliczalności zbioru liczb wymiernych może wywołać pewne zakłopotanie, gdyż na pierwszy rzut oka można odnieść wrażenie, że jest on znacznie większy od zbioru liczb naturalnych. W rzeczywistości tak nie jest i jest wystarczająco dużo liczb naturalnych, aby wyliczyć wszystkie wymierne.

Niewystarczalność liczb wymiernych

Przeciwprostokątna takiego trójkąta nie jest wyrażona żadną liczbą wymierną

Liczby wymierne postaci 1 / n na wolności n można zmierzyć dowolnie małe ilości. Fakt ten stwarza zwodnicze wrażenie, że liczby wymierne mogą ogólnie mierzyć dowolne odległości geometryczne. Łatwo pokazać, że to nieprawda.

Uwagi

Literatura

I. Kusznira. Podręcznik matematyki dla uczniów. - Kijów: ASTARTA, 1998. - 520 pkt.
PS Aleksandrow. Wprowadzenie do teorii mnogości i ogólnej topologii. - M.: głowa. wyd. Fizyka-Matematyka. oświetlony. wyd. "Nauka", 1977
I. L. Chmielnicki. Wprowadzenie do teorii systemów algebraicznych

Spinki do mankietów

Fundacja Wikimedia. 2010 .

Ten artykuł jest poświęcony badaniu tematu „Liczby wymierne”. Poniżej znajdują się definicje liczb wymiernych, podane są przykłady i jak określić, czy liczba jest wymierna, czy nie.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Liczby wymierne. Definicje

Zanim podamy definicję liczb wymiernych, przypomnijmy sobie, jakie są inne zbiory liczb i jak są ze sobą powiązane.

Liczby naturalne wraz z ich przeciwieństwami i liczbą zero tworzą zbiór liczb całkowitych. Z kolei zbiór liczb całkowitych ułamkowych tworzy zbiór liczb wymiernych.

Definicja 1. Liczby wymierne

Liczby wymierne to liczby, które można przedstawić jako dodatni wspólny ułamek a b , ujemny wspólny ułamek a b lub liczbę zero.

W ten sposób możemy pozostawić szereg własności liczb wymiernych:

Każda liczba naturalna jest liczbą wymierną. Oczywiście każdą liczbę naturalną n można przedstawić jako ułamek 1 n .
Każda liczba całkowita, w tym liczba 0 , jest liczbą wymierną. Rzeczywiście, każdą dodatnią i ujemną liczbę całkowitą można łatwo przedstawić jako odpowiednio dodatni lub ujemny zwykły ułamek. Na przykład 15 = 15 1 , - 352 = - 352 1 .
Dowolny dodatni lub ujemny wspólny ułamek a b jest liczbą wymierną. Wynika to bezpośrednio z powyższej definicji.
Każda liczba mieszana jest wymierna. W końcu liczba mieszana może być reprezentowana jako zwykły ułamek niewłaściwy.
Dowolny skończony lub okresowy ułamek dziesiętny może być reprezentowany jako wspólny ułamek. Dlatego każdy okresowy lub ostatni dziesiętny jest liczbą wymierną.
Nieskończone i niepowtarzalne ułamki dziesiętne nie są liczbami wymiernymi. Nie można ich przedstawić w postaci zwykłych ułamków.

Podajmy przykłady liczb wymiernych. Liczby 5 , 105 , 358 , 1100055 są naturalne, dodatnie i całkowite. W końcu są to liczby wymierne. Liczby - 2 , - 358 , - 936 są ujemnymi liczbami całkowitymi iz definicji są również wymierne. Wspólne ułamki 3 5 , 8 7 , - 35 8 są również przykładami liczb wymiernych.

Powyższą definicję liczb wymiernych można sformułować bardziej zwięźle. Odpowiedzmy jeszcze raz na pytanie, co to jest liczba wymierna.

Definicja 2. Liczby wymierne

Liczby wymierne to te liczby, które można przedstawić jako ułamek ± z n, gdzie z jest liczbą całkowitą, n jest liczbą naturalną.

Można wykazać, że ta definicja jest odpowiednikiem poprzedniej definicji liczb wymiernych. Aby to zrobić, pamiętaj, że kreska ułamka jest tym samym, co znak dzielenia. Biorąc pod uwagę zasady i własności dzielenia liczb całkowitych, możemy zapisać następujące nierówności sprawiedliwe:

0 n = 0 ÷ n = 0 ; - m n = (- m) ÷ n = - m n .

Można więc napisać:

z n = z n , p p i z > 0 0 , p p i z = 0 - z n , p p i z< 0

Właściwie ten zapis jest dowodem. Podajemy przykłady liczb wymiernych na podstawie drugiej definicji. Rozważmy liczby - 3 , 0 , 5 , - 7 55 , 0 , 0125 i - 1 3 5 . Wszystkie te liczby są wymierne, ponieważ można je zapisać jako ułamek z licznikiem całkowitym i mianownikiem naturalnym: - 3 1 , 0 1 , - 7 55 , 125 10000 , 8 5 .

Przedstawiamy jeszcze jedną równoważną formę definicji liczb wymiernych.

Definicja 3. Liczby wymierne

Liczba wymierna to liczba, którą można zapisać jako skończony lub nieskończony okres Ułamek dziesiętny.

Ta definicja wynika bezpośrednio z pierwszej definicji tego paragrafu.

Aby podsumować i sformułować podsumowanie dotyczące tego przedmiotu:

Liczby ułamkowe i całkowite dodatnie i ujemne tworzą zbiór liczb wymiernych.
Każdą liczbę wymierną można przedstawić jako ułamek, którego licznik jest liczbą całkowitą, a mianownik liczbą naturalną.
Każda liczba wymierna może być również reprezentowana jako ułamek dziesiętny: skończony lub nieskończony okresowy.

Która liczba jest racjonalna?

Jak już dowiedzieliśmy się, każda liczba naturalna, liczba całkowita, zwykły i niewłaściwy ułamek zwyczajny, okresowy i końcowy ułamek dziesiętny są liczbami wymiernymi. Uzbrojony w tę wiedzę, możesz łatwo określić, czy liczba jest racjonalna.

Jednak w praktyce często mamy do czynienia nie z liczbami, ale z wyrażeniami liczbowymi zawierającymi pierwiastki, potęgi i logarytmy. W niektórych przypadkach odpowiedź na pytanie „Czy liczba jest racjonalna?” nie jest oczywiste. Przyjrzyjmy się, jak odpowiedzieć na to pytanie.

Jeśli liczba jest podana jako wyrażenie zawierające tylko liczby wymierne i operacje arytmetyczne między nimi, to wynikiem wyrażenia jest liczba wymierna.

Na przykład wartość wyrażenia 2 · 3 1 8 - 0 , 25 0 , (3) jest liczbą wymierną i jest równa 18 .

Tak więc uproszczenie złożonego wyrażenia liczbowego pozwala określić, czy podana przez nie liczba jest wymierna.

Zajmijmy się teraz znakiem korzenia.

Okazuje się, że liczba m n podana jako pierwiastek stopnia n liczby m jest wymierna tylko wtedy, gdy m jest n-tą potęgą pewnej liczby naturalnej.

Spójrzmy na przykład. Liczba 2 nie jest racjonalna. Podczas gdy 9, 81 to liczby wymierne. 9 i 81 to idealne kwadraty odpowiednio liczb 3 i 9. Liczby 199 , 28 , 15 1 nie są liczbami wymiernymi, ponieważ liczby pod pierwiastkiem nie są idealnymi kwadratami żadnych liczb naturalnych.

Teraz weźmy więcej trudna sprawa. Czy liczba 243 5 jest racjonalna? Jeśli podniesiesz 3 do potęgi piątej, otrzymasz 243 , więc oryginalne wyrażenie można przepisać w ten sposób: 243 5 = 3 5 5 = 3 . W związku z tym, podany numer racjonalnie. Teraz weźmy liczbę 121 5 . Ta liczba nie jest wymierna, ponieważ nie ma liczby naturalnej, której podniesienie do potęgi piątej da 121.

Aby dowiedzieć się, czy logarytm pewnej liczby a o podstawie b jest liczbą wymierną, należy zastosować metodę sprzeczności. Na przykład zobaczmy, czy to rozsądne numer dziennika 2 5 . Załóżmy, że ta liczba jest wymierna. Jeśli tak, to można go zapisać jako zwykły ułamek log 2 5 = m n. Na podstawie własności logarytmu i własności stopnia prawdziwe są następujące równości:

5 = 2 log 2 5 = 2 m n 5 n = 2 m

Oczywiście ostatnia równość jest niemożliwa, ponieważ lewa i prawa strona zawierają odpowiednio nieparzysty i Liczba parzysta. Dlatego przyjęte założenie jest błędne, a liczba log 2 5 nie jest liczbą wymierną.

Warto zauważyć, że przy ustalaniu racjonalności i irracjonalności liczb nie należy podejmować nagłych decyzji. Na przykład wynik iloczynu liczb niewymiernych nie zawsze jest liczbą niewymierną. Ilustracyjny przykład: 2 · 2 = 2 .

Istnieją również liczby niewymierne, których podniesienie do potęgi niewymiernej daje liczbę wymierną. W potędze postaci 2 log 2 3 podstawa i wykładnik są liczbami niewymiernymi. Jednak sama liczba jest wymierna: 2 log 2 3 = 3 .

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter

Definicja liczb wymiernych

Liczby wymierne to:

Liczby naturalne, które można przedstawić jako wspólny ułamek. Na przykład $7=\frac(7)(1)$.
Liczby całkowite, w tym liczba zero, które mogą być reprezentowane jako ułamek dodatni, ujemny lub zero. Na przykład $19=\frac(19)(1)$, $-23=-\frac(23)(1)$.
Ułamki zwykłe (dodatnie lub ujemne).
Liczby mieszane, które można przedstawić jako niewłaściwy ułamek wspólny. Na przykład $3 \frac(11)(13)=\frac(33)(13)$ i $-2 \frac(4)(5)=-\frac(14)(5)$.
Koniec dziesiętny i nieskończony ułamek okresowy, który może być reprezentowany jako zwykły ułamek. Na przykład $-7,73=-\frac(773)(100)$, $7,(3)=-7 \frac(1)(3)=-\frac(22)(3)$.

Uwaga 1

Zauważ, że nieskończony nieokresowy ułamek dziesiętny nie ma zastosowania do liczb wymiernych, ponieważ nie może być reprezentowany jako zwykły ułamek.

Przykład 1

Liczby naturalne 7, 670, 21 \ 456$ są wymierne.

Liczby całkowite 76 $, -76, 0, -555 \ 666 $ są wymierne.

Ułamki zwykłe $\frac(7)(11)$, $\frac(555)(4)$, $-\frac(7)(11)$, $-\frac(100)(234)$ są liczbami wymiernymi .

W ten sposób liczby wymierne dzielą się na dodatnie i ujemne. Zero jest liczbą wymierną, ale nie jest liczbą wymierną dodatnią ani ujemną.

Sformułujmy więcej krótka definicja liczby wymierne.

Definicja 3

Racjonalny numery połączeń, które mogą być reprezentowane jako skończony lub nieskończony okresowy ułamek dziesiętny.

Można wyciągnąć następujące wnioski:

liczby całkowite dodatnie i ujemne oraz liczby ułamkowe należą do zbioru liczb wymiernych;
liczby wymierne mogą być reprezentowane jako ułamek, który ma licznik całkowity i naturalny mianownik i jest liczbą wymierną;
Liczby wymierne mogą być reprezentowane jako dowolny okresowy dziesiętny, który jest liczbą wymierną.

Jak ustalić, czy liczba jest wymierna?

Liczba jest podawana jako wyrażenie liczbowe, które składa się wyłącznie z liczb wymiernych i znaków operacji arytmetycznych. W takim przypadku wartością wyrażenia będzie liczba wymierna.
Pierwiastek kwadratowy z liczby naturalnej jest liczbą wymierną tylko wtedy, gdy pod pierwiastkiem znajduje się liczba pełny kwadrat jakaś liczba naturalna. Na przykład $\sqrt(9)$ i $\sqrt(121)$ są liczbami wymiernymi, ponieważ $9=3^2$ i $121=11^2$.
$n$ty pierwiastek liczby całkowitej jest liczbą wymierną tylko wtedy, gdy liczba pod znakiem pierwiastka jest $n$tą potęgą jakiejś liczby całkowitej. Na przykład $\sqrt(8)$ jest liczbą wymierną, ponieważ 8 $ = 2 ^ 3 $.

Na osi liczbowej liczby wymierne są wszędzie gęste: pomiędzy każdymi dwiema liczbami wymiernymi, które nie są sobie równe, można znaleźć co najmniej jedną liczbę wymierną (a zatem nieskończoną liczbę liczb wymiernych). Jednocześnie zbiór liczb wymiernych charakteryzuje się przeliczalną kardynalnością (tzn. wszystkie elementy zbioru mogą być ponumerowane). Starożytni Grecy udowodnili, że istnieją liczby, których nie można zapisać jako ułamek. Pokazali, że nie ma liczby wymiernej, której kwadrat jest równy 2$. Wtedy liczby wymierne nie wystarczały do wyrażenia wszystkich wielkości, co później doprowadziło do pojawienia się liczb rzeczywistych. Zbiór liczb wymiernych, w przeciwieństwie do liczb rzeczywistych, jest zerowymiarowy.

) to liczby z dodatnim lub znak ujemny(liczba całkowita i ułamkowa) i zero. Bardziej precyzyjna koncepcja liczb wymiernych brzmi tak:

Liczba wymierna jest reprezentowana liczba zwykła frakcja m/n, gdzie licznik m to liczby całkowite, a mianownik n — liczby całkowite, na przykład 2/3.

Nieskończone ułamki nieokresowe NIE są zawarte w zbiorze liczb wymiernych.

a/b, gdzie a∈ Z (a należy do liczb całkowitych) b∈ n (b należy do liczb naturalnych).

Korzystanie z liczb wymiernych w prawdziwym życiu.

V prawdziwe życie zbiór liczb wymiernych służy do liczenia części niektórych podzielnych obiektów całkowitych, Na przykład, ciasta lub inne produkty spożywcze, które są cięte na kawałki przed spożyciem, lub w celu przybliżonego oszacowania relacji przestrzennych rozłożonych obiektów.

Własności liczb wymiernych.

Podstawowe własności liczb wymiernych.

1. porządek a oraz b istnieje zasada, która pozwala jednoznacznie zidentyfikować między nimi 1-ale i tylko jedną z 3 relacji: „<», «>” lub „=”. Ta zasada brzmi: reguła zamawiania i sformułuj to tak:

2 liczby dodatnie a = ja / n a oraz b=m b /n b powiązane tą samą relacją co 2 liczby całkowite ja⋅ nb oraz m b⋅ n a;
2 liczby ujemne a oraz b powiązane tą samą relacją co 2 liczby dodatnie |b| oraz |a|;
Kiedy a pozytywne i b- wtedy negatywny a>b.

∀ a, b∈ Q(a) ∨ a>b∨ a=b)

2. Operacja dodawania. Dla wszystkich liczb wymiernych a oraz b jest reguła sumowania, co stawia je w korespondencji z pewną liczbą wymierną C. Jednak sam numer C- to suma liczby a oraz b i jest określany jako (a+b) podsumowanie.

Zasada sumowania na to wygląda:

ja/n za + m b/nb =(m a⋅ nb+mb⋅ nie za)/(n a⋅ nb).

∀ a, b∈ Q∃ !(a+b)∈ Q

3. operacja mnożenia. Dla wszystkich liczb wymiernych a oraz b jest reguła mnożenia, kojarzy je z pewną liczbą wymierną C. Numer c nazywa się Praca liczby a oraz b i oznacza (AB), a proces znajdowania tej liczby nazywa się mnożenie.

reguła mnożenia na to wygląda: m a n a⋅ m b n b = m a⋅ m b n a⋅ nb.

∀a,b∈Q ∃(a⋅b)∈Q

4. Przechodniość relacji porządku. Dla dowolnych trzech liczb wymiernych a, b oraz C Jeśli a mniej b oraz b mniej C, następnie a mniej C, i jeśli a równa się b oraz b równa się C, następnie a równa się C.

∀ ABC∈ Q(a) ∧ b ⇒ a ∧ (a=b∧ b=c⇒ a = c)

5. Przemienność dodawania. Od zmiany miejsc wyrażeń racjonalnych suma się nie zmienia.

∀ a, b∈ Qa+b=b+a

6. Łączność dodawania. Kolejność dodawania 3 liczb wymiernych nie wpływa na wynik.

∀ ABC∈ Q(a+b)+c=a+(b+c)

7. Obecność zera. Istnieje liczba wymierna 0, która po dodaniu zachowuje każdą inną liczbę wymierną.

∃ 0 ∈ Q∀ a∈ Qa+0=a

8. Obecność liczb przeciwnych. Każda liczba wymierna ma przeciwną liczbę wymierną, dodanie ich do siebie daje 0.

∀ a∈ Q∃ (-a)∈ Qa+(−a)=0

9. Przemienność mnożenia. Zmieniając miejsca czynników racjonalnych, produkt się nie zmienia.

∀ a, b∈ Qa⋅ b=b⋅ a

10. Łączność mnożenia. Kolejność mnożenia 3 liczb wymiernych nie wpływa na wynik.

∀ ABC∈ Q(a)⋅ b)⋅ c=a⋅ (b⋅ C)

11. Dostępność jednostki. Istnieje liczba wymierna 1, zachowuje ona każdą inną liczbę wymierną w procesie mnożenia.

∃ 1 ∈ Q∀ a∈ Qa⋅ 1=a

12. Obecność wzajemności. Każda liczba wymierna inna niż zero ma odwrotną liczbę wymierną, po pomnożeniu przez którą otrzymujemy 1 .

∀ a∈ Q∃ a-1∈ Qa⋅ a−1=1

13. Dystrybucja mnożenia względem dodawania. Operacja mnożenia związana jest z dodawaniem z wykorzystaniem prawa dystrybucji:

∀ ABC∈ P(a+b)⋅ c=a⋅ c+b⋅ C

14. Połączenie relacji zlecenia z operacją dodawania. Ta sama liczba wymierna jest dodawana do lewej i prawej strony nierówności wymiernej.

∀ ABC∈ Qa ⇒ a+c

15. Powiązanie relacji porządku z operacją mnożenia. Lewą i prawą stronę nierówności wymiernej można pomnożyć przez tę samą nieujemną liczbę wymierną.

∀ ABC∈ Qc>0∧ a ⇒ a⋅ C ⋅ C

16. Aksjomat Archimedesa. Niezależnie od liczby wymiernej a, łatwo jest wziąć tyle jednostek, że ich suma będzie większa a.

Jak widzieliśmy, zbiór liczb naturalnych

jest domknięta pod dodawaniem i mnożeniem oraz zbiorem liczb całkowitych

zamknięte na dodawanie, mnożenie i odejmowanie. Jednak żaden z tych zbiorów nie jest domknięty podczas dzielenia, ponieważ dzielenie liczb całkowitych może prowadzić do ułamków, jak w przypadku 4/3, 7/6, -2/5 i tak dalej. Zbiór wszystkich takich ułamków tworzy zbiór liczb wymiernych. Zatem liczba wymierna (ułamek wymierny) to liczba, którą można przedstawić jako , gdzie a i d są liczbami całkowitymi, a d nie jest równe zeru. Zróbmy kilka uwag na temat tej definicji.

1) Wymagaliśmy, aby d było różne od zera. Ten wymóg (zapisany matematycznie jako nierówność ) jest konieczny, ponieważ tutaj d jest dzielnikiem. Rozważ następujące przykłady:

Przypadek 1. .

Przypadek 2. .

W przypadku 1 d jest dzielnikiem w znaczeniu z poprzedniego rozdziału, tj. 7 jest dokładnym dzielnikiem 21. W przypadku 2 d jest nadal dzielnikiem, ale w innym sensie, ponieważ 7 nie jest dokładnym dzielnikiem 25.

Jeśli 25 nazywamy podzielną, a 7 dzielnikiem, to otrzymujemy iloraz 3 i resztę 4. Tak więc słowo dzielnik jest tutaj używane w bardziej ogólnym sensie i odnosi się do jeszcze przypadkach niż w rozdz. I. Jednak w przypadkach takich jak przypadek 1 pojęcie dzielnika wprowadzone w rozdz. I; dlatego jest to konieczne, jak w rozdz. Wykluczam możliwość d = 0.

2) Zauważ, że chociaż wyrażenia liczba wymierna i ułamek wymierny są synonimami, samo słowo ułamek jest używane w odniesieniu do dowolnego wyrażenie algebraiczne, składający się z licznika i mianownika, jak np.

3) Definicja liczby wymiernej zawiera wyrażenie „liczba, którą można przedstawić jako , gdzie a i d są liczbami całkowitymi oraz . Dlaczego nie można go zastąpić wyrażeniem „liczba postaci, w której a i d są liczbami całkowitymi i Powodem tego jest fakt, że istnieje nieskończenie wiele sposobów wyrażenia tego samego ułamka (na przykład 2/3 może również być zapisane jako 4/6, 6/9 lub 213/33, itp.) i jest dla nas pożądane, aby nasza definicja liczby wymiernej nie zależała od konkretnego sposobu jej wyrażenia.

Ułamek jest zdefiniowany w taki sposób, że jego wartość nie zmienia się, gdy licznik i mianownik są przemnożone przez tę samą liczbę. Jednak nie zawsze można stwierdzić po prostu patrząc na dany ułamek, czy jest racjonalny, czy nie. Weźmy na przykład liczby

Żaden z nich w wybranej przez nas notacji nie ma postaci , gdzie a i d są liczbami całkowitymi.

Możemy jednak wykonać serię przekształceń arytmetycznych na pierwszym ułamku i uzyskać

W ten sposób dochodzimy do ułamka równego oryginalnemu ułamkowi, dla którego . Liczba jest zatem wymierna, ale nie byłaby wymierna, gdyby definicja liczby wymiernej wymagała, aby liczba była postaci a/b, gdzie aib są liczbami całkowitymi. W przypadku ułamka konwersji

prowadzić do liczby. W kolejnych rozdziałach dowiemy się, że liczba nie może być reprezentowana jako stosunek dwóch liczb całkowitych, a zatem nie jest racjonalna lub mówi się, że jest irracjonalna.

4) Zauważ, że każda liczba całkowita jest wymierna. Jak właśnie widzieliśmy, dotyczy to liczby 2. W ogólnym przypadku dowolnych liczb całkowitych można w podobny sposób przypisać mianownik 1 każdej z nich i otrzymać ich reprezentację jako ułamki wymierne.