Własności wykresu funkcji y x do kwadratu. Funkcje kwadratowe i sześcienne

Wybieramy prostokątny układ współrzędnych na płaszczyźnie i wykreślamy wartości argumentu na osi odciętej x, a na osi y - wartości funkcji y = f(x).

Wykres funkcji y = f(x) wywoływany jest zbiór wszystkich punktów, dla których odcięte należą do dziedziny funkcji, a rzędne są równe odpowiednim wartościom funkcji.

Innymi słowy, wykres funkcji y \u003d f (x) to zbiór wszystkich punktów na płaszczyźnie, współrzędne X, w które spełniają relację y = f(x).

Na ryc. 45 i 46 to wykresy funkcji y = 2x + 1 I y \u003d x 2 - 2x.

Ściśle mówiąc, należy odróżnić wykres funkcji (której dokładną matematyczną definicję podano powyżej) od wykreślonej krzywej, która zawsze daje tylko mniej lub bardziej dokładny szkic wykresu (a nawet wtedy z reguły nie całego wykresu, a tylko jego części znajdującej się w końcowych częściach płaszczyzny). Jednak w dalszej części będziemy odnosić się raczej do „wykresu” niż „szkicu wykresu”.

Korzystając z wykresu, możesz znaleźć wartość funkcji w punkcie. Mianowicie, jeśli punkt x = a należy do zakresu funkcji y = f(x), a następnie znaleźć numer fa)(czyli wartości funkcji w punkcie x = a) powinien to zrobić. Trzeba przejść przez kropkę z odciętą x = a narysuj linię prostą równoległą do osi y; ta linia przetnie wykres funkcji y = f(x) w jednym punkcie; rzędna tego punktu będzie z definicji wykresu równa fa)(ryc. 47).

Na przykład dla funkcji f(x) = x 2 - 2x korzystając z wykresu (ryc. 46) znajdujemy f(-1) = 3, f(0) = 0, f(1) = -l, f(2) = 0 itd.

Wykres funkcji wizualnie ilustruje zachowanie i właściwości funkcji. Na przykład, biorąc pod uwagę ryc. 46 jasne jest, że funkcja y \u003d x 2 - 2x przyjmuje wartości dodatnie, kiedy x< 0 i w x > 2, ujemna - przy 0< x < 2; наименьшее значение функция y \u003d x 2 - 2x akceptuje w x = 1.

Aby wykreślić funkcję f(x) musisz znaleźć wszystkie punkty samolotu, współrzędne x,w które spełniają równanie y = f(x). W większości przypadków jest to niemożliwe, ponieważ takich punktów jest nieskończenie wiele. Dlatego wykres funkcji jest przedstawiony w przybliżeniu - z większą lub mniejszą dokładnością. Najprostsza jest metoda kreślenia wielopunktowego. Polega na tym, że argument x podaj skończoną liczbę wartości - powiedzmy x 1 , x 2 , x 3 ,..., x k i utwórz tabelę zawierającą wybrane wartości funkcji.

Tabela wygląda tak:

Po skompilowaniu takiej tabeli możemy nakreślić kilka punktów na wykresie funkcji y = f(x). Następnie łącząc te punkty płynną linią otrzymujemy przybliżony widok wykresu funkcji y = f(x).

Należy jednak zauważyć, że metoda kreślenia wielopunktowego jest bardzo zawodna. W rzeczywistości zachowanie wykresu między zaznaczonymi punktami i jego zachowanie poza segmentem między pobranymi punktami skrajnymi pozostaje nieznane.

Przykład 1. Aby wykreślić funkcję y = f(x) ktoś skompilował tabelę wartości argumentów i funkcji:

Odpowiednie pięć punktów pokazano na ryc. 48.

Na podstawie położenia tych punktów doszedł do wniosku, że wykres funkcji jest linią prostą (pokazana na Rys. 48 linią przerywaną). Czy ten wniosek można uznać za wiarygodny? O ile nie istnieją dodatkowe względy na poparcie tego wniosku, trudno uznać go za wiarygodny. niezawodny.

Aby uzasadnić nasze twierdzenie, rozważ funkcję

.

Z obliczeń wynika, że ​​wartości tej funkcji w punktach -2, -1, 0, 1, 2 opisuje powyższa tabela. Jednak wykres tej funkcji wcale nie jest linią prostą (pokazano to na rys. 49). Innym przykładem jest funkcja y = x + l + sinx; jego znaczenie jest również opisane w powyższej tabeli.

Te przykłady pokazują, że w swojej „czystej” postaci metoda kreślenia wielopunktowego jest zawodna. Dlatego, aby wykreślić daną funkcję, z reguły postępuj w następujący sposób. Najpierw badane są właściwości tej funkcji, za pomocą których można skonstruować szkic wykresu. Następnie, obliczając wartości funkcji w kilku punktach (których wybór zależy od ustawionych właściwości funkcji), znajdują się odpowiednie punkty wykresu. I na koniec krzywa jest rysowana przez skonstruowane punkty przy użyciu właściwości tej funkcji.

Niektóre (najprostsze i najczęściej używane) właściwości funkcji używanych do znajdowania szkicu wykresu rozważymy później, ale teraz przeanalizujemy niektóre powszechnie stosowane metody wykreślania wykresów.

Wykres funkcji y = |f(x)|.

Często konieczne jest wykreślenie funkcji y = |f(x)|, gdzie f(x) - podana funkcja. Przypomnij sobie, jak to się robi. Z definicji bezwzględnej wartości liczby można napisać

Oznacza to, że wykres funkcji y=|f(x)| można uzyskać z wykresu, funkcje y = f(x) w następujący sposób: wszystkie punkty wykresu funkcji y = f(x), którego rzędne nie są ujemne, należy pozostawić bez zmian; dalej, zamiast punktów wykresu funkcji y = f(x), mając ujemne współrzędne należy skonstruować odpowiadające im punkty wykresu funkcji y = -f(x)(tj. część wykresu funkcji
y = f(x), który leży poniżej osi X, powinien być odbity symetrycznie wokół osi x).

Przykład 2 Wykreśl funkcję y = |x|.

Bierzemy wykres funkcji y = x(ryc. 50, a) i część tego wykresu z x< 0 (leży pod osią) x) jest symetrycznie odbita wokół osi x. W rezultacie otrzymujemy wykres funkcji y = |x|(ryc. 50, b).

Przykład 3. Wykreśl funkcję y = |x 2 - 2x|.

Najpierw wykreślamy funkcję y = x 2 - 2x. Wykres tej funkcji to parabola, której gałęzie są skierowane do góry, wierzchołek paraboli ma współrzędne (1; -1), jej wykres przecina oś odciętych w punktach 0 i 2. Na przedziale (0; 2 ) funkcja przyjmuje wartości ujemne, dlatego ta część wykresu odbija się symetrycznie względem osi x. Rysunek 51 przedstawia wykres funkcji y \u003d |x 2 -2x |, na podstawie wykresu funkcji y = x 2 - 2x

Wykres funkcji y = f(x) + g(x)

Rozważ problem wykreślenia funkcji y = f(x) + g(x). jeśli podane są wykresy funkcji y = f(x) I y = g(x).

Zauważ, że dziedzina funkcji y = |f(x) + g(x)| jest zbiorem wszystkich tych wartości x, dla których zdefiniowane są obie funkcje y = f(x) i y = g(x), tzn. ta dziedzina definicji jest przecięciem dziedzin definicji, funkcji f(x ) i g(x).

Niech punkty (x 0, r 1) I (x 0, r 2) odpowiednio należą do wykresów funkcji y = f(x) I y = g(x), czyli tak 1 \u003d f (x 0), y 2 \u003d g (x 0). Wtedy punkt (x0;. y1 + y2) należy do wykresu funkcji y = f(x) + g(x)(dla f(x 0) + g(x 0) = y 1+rok2). i dowolny punkt wykresu funkcji y = f(x) + g(x) można uzyskać w ten sposób. Dlatego wykres funkcji y = f(x) + g(x) można uzyskać z wykresów funkcji y = f(x). I y = g(x) zastępując każdy punkt ( x n, y 1) grafika funkcji y = f(x) kropka (xn, y 1 + y 2), gdzie y 2 = g(x n), czyli przesuwając każdy punkt ( x n, y 1) wykres funkcji y = f(x) wzdłuż osi w według kwoty y 1 \u003d g (x n). W takim przypadku brane są pod uwagę tylko takie punkty. x n, dla których zdefiniowane są obie funkcje y = f(x) I y = g(x).

Ta metoda wykreślania wykresu funkcji y = f(x) + g(x) nazywa się dodawaniem wykresów funkcji y = f(x) I y = g(x)

Przykład 4. Na rysunku metodą dodawania wykresów konstruowany jest wykres funkcji
y = x + sinx.

Podczas kreślenia funkcji y = x + sinx założyliśmy, że f(x) = x, ale g(x) = sinx. Aby zbudować wykres funkcji, wybieramy punkty z odciętymi -1.5π, -, -0.5, 0, 0.5,, 1.5, 2. Wartości f(x) = x, g(x) = sinx, y = x + sinx obliczymy w wybranych punktach i umieścimy wyniki w tabeli.

Zadania dotyczące właściwości i wykresów funkcji kwadratowej, jak pokazuje praktyka, powodują poważne trudności. Jest to dość dziwne, ponieważ funkcja kwadratowa jest przekazywana w 8 klasie, a następnie cała pierwsza ćwiartka 9 klasy jest „wymuszona” przez właściwości paraboli i jej wykresy są budowane dla różnych parametrów.

Wynika to z faktu, że zmuszając uczniów do budowania parabol, praktycznie nie poświęcają czasu na „czytanie” wykresów, czyli nie ćwiczą rozumienia informacji otrzymanych z obrazu. Najwyraźniej zakłada się, że po zbudowaniu kilkunastu lub dwóch wykresów mądry uczeń sam odkryje i sformułuje zależność między współczynnikami we wzorze i wygląd grafika. W praktyce to nie działa. Do takiego uogólnienia wymagane jest poważne doświadczenie w matematycznych mini-badaniach, których oczywiście większość dziewiątych klas nie ma. Tymczasem w GIA proponują określenie znaków współczynników dokładnie według harmonogramu.

Nie będziemy wymagać od uczniów rzeczy niemożliwych i po prostu zaproponujemy jeden z algorytmów rozwiązywania takich problemów.

Tak więc funkcja formy y=ax2+bx+c nazywa się kwadratową, a jej wykres to parabola. Jak sama nazwa wskazuje, głównym składnikiem jest topór 2. Tj ale nie powinna być równa zeru, pozostałe współczynniki ( b I od) może być równe zero.

Zobaczmy, jak znaki jej współczynników wpływają na wygląd paraboli.

Najprostsza zależność na współczynnik ale. Większość uczniów pewnie odpowiada: „jeśli ale> 0, to gałęzie paraboli skierowane są do góry, a jeśli ale < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой ale > 0.

y = 0,5x2 - 3x + 1

W tym przypadku ale = 0,5

A teraz za ale < 0:

y = - 0,5x2 - 3x + 1

W tym przypadku ale = - 0,5

Wpływ współczynnika od również dość łatwe do naśladowania. Wyobraź sobie, że chcemy znaleźć wartość funkcji w punkcie x= 0. Zastąp zero we wzorze:

tak = a 0 2 + b 0 + C = C. Okazuje się, że y = c. Tj od jest rzędną punktu przecięcia paraboli z osią y. Z reguły ten punkt jest łatwy do odnalezienia na wykresie. I określ, czy leży powyżej zera, czy poniżej. Tj od> 0 lub od < 0.

od > 0:

y=x2+4x+3

od < 0

y = x 2 + 4x - 3

W związku z tym, jeśli od= 0, wtedy parabola koniecznie przejdzie przez początek:

y=x2+4x

Trudniej z parametrem b. Punkt, w którym go znajdziemy, zależy nie tylko od b ale także od ale. To jest szczyt paraboli. Jego odcięta (współrzędna osi x) znajduje się we wzorze x w \u003d - b / (2a). W ten sposób, b = - 2ax in. Oznacza to, że postępujemy w następujący sposób: na wykresie znajdujemy wierzchołek paraboli, określamy znak jej odciętej, czyli patrzymy w prawo od zera ( x w> 0) lub w lewo ( x w < 0) она лежит.

To jednak nie wszystko. Musimy również zwrócić uwagę na znak współczynnika ale. To znaczy, aby zobaczyć, gdzie skierowane są gałęzie paraboli. I dopiero potem, zgodnie ze wzorem b = - 2ax in określić znak b.

Rozważ przykład:

Gałęzie skierowane w górę ale> 0, parabola przecina oś w poniżej zera oznacza od < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, x w> 0. Więc b = - 2ax in = -++ = -. b < 0. Окончательно имеем: ale > 0, b < 0, od < 0.

Forma y = kx + m z dwiema zmiennymi x, y. Co prawda zmienne x, y występujące w tym równaniu (w tym modelu matematycznym) uznano za nierówne: x jest zmienną niezależną (argumentem), do której możemy przypisywać dowolne wartości, niezależnie od czegokolwiek; y jest zmienną zależną, ponieważ jej wartość zależała od wybranej wartości x. Ale wtedy pojawia się naturalne pytanie: czy są jakieś? modele matematyczne tego samego planu, ale te, w których y jest wyrażone przez x nie według wzoru y \u003d kx + m, ale w inny sposób? Odpowiedź jest jasna: oczywiście, że tak. Jeśli na przykład x jest bokiem kwadratu, a y jest jego
obszar, a następnie y - x 2 . Jeśli x jest bokiem sześcianu, a y jest jego objętością, to y wynosi x 3 . Jeśli x jest jednym bokiem prostokąta o powierzchni 100 cm 2 , a y jest jego drugim bokiem. Dlatego naturalne jest, że w matematyce nie ograniczają się one do badania modelu y-kx + m, należy zbadać zarówno model y \u003d x 2, jak i model y \u003d x 3 oraz model i wiele inne modele, które mają taką samą strukturę: po lewej stronie równości znajduje się zmienna y, a po prawej jakieś wyrażenie ze zmienną x. W przypadku takich modeli zachowany jest termin „funkcja” z pominięciem przymiotnika „liniowa”.

W tej sekcji rozważamy funkcję y = x 2 i konstruujemy ją harmonogram.

Dajmy zmiennej niezależnej x kilka konkretnych wartości​​i obliczmy odpowiadające im wartości zmiennej zależnej y (używając wzoru y \u003d x 2):

jeśli x \u003d 0, to y \u003d O 2 \u003d 0;
jeśli x \u003d 1, to y \u003d I 2 \u003d 1;
jeśli x = 2, to y = 2 2 = 4;
jeśli x \u003d 3, to y \u003d Z 2 \u003d 9;
jeśli x \u003d - 1, to y \u003d (- I 2) - 1;
jeśli x \u003d - 2, to y \u003d (- 2) 2 \u003d 4;
jeśli x \u003d - 3, to y \u003d (- Z) 2 \u003d 9;
W skrócie zestawiliśmy poniższą tabelę:

x	0	1	2	3	-1	-2	-3
Na	0	1	4	9	1	4	9

Skonstruujmy znalezione punkty (0; 0), (1; 1), (2; 4), 93; 9), (-1; 1), (- 2; 4), (- 3; 9), na płaszczyźnie współrzędnych xOy (ryc. 54, a).

Punkty te znajdują się na pewnej linii, narysujmy to (ryc. 54, b). Ta linia nazywa się parabolą.

Oczywiście idealnie należałoby podać argumentowi x wszystkie możliwe wartości, obliczyć odpowiadające wartości zmiennej y i wykreślić wynikowe punkty (x; y). Wtedy harmonogram byłby absolutnie dokładny, bezbłędny. Jest to jednak nierealne, bo takich punktów jest nieskończenie wiele. Dlatego matematycy robią to: biorą skończony zestaw punktów, budują je na płaszczyzna współrzędnych i zobacz, która linia jest narysowana przez te punkty. Jeśli kontury tej linii pojawiają się dość wyraźnie (jak zrobiliśmy, powiedzmy w przykładzie 1 z § 28), to linia ta jest rysowana. Czy możliwe są błędy? Nie bez tego. Dlatego konieczne jest coraz głębsze studiowanie matematyki, aby były sposoby na uniknięcie błędów.

Spróbujmy, patrząc na rysunek 54, opisać geometryczne właściwości paraboli.

Po pierwsze zauważamy, że parabola wygląda całkiem ładnie, ponieważ ma symetrię. Rzeczywiście, jeśli narysujemy dowolną linię nad osią x równoległą do osi x, to ta linia przetnie parabolę w dwóch punktach znajdujących się w równych odległościach od osi y, ale wzdłuż różne strony z niego (ryc. 55). Nawiasem mówiąc, to samo można powiedzieć o punktach zaznaczonych na rysunku 54, ale:

(1; 1) i (-1; 1); (2; 4) i (-2; 4); C; 9) i (-3; 9).

Mówi się, że oś y jest osią symetrii paraboli y=x2, lub że parabola jest symetryczna względem osi y.

Po drugie, zauważamy, że oś symetrii niejako przecina parabolę na dwie części, które zwykle nazywane są gałęziami paraboli.

Po trzecie, zauważamy, że parabola ma osobliwy punkt, w którym spotykają się obie gałęzie i który leży na osi symetrii paraboli - punkt (0; 0). Ze względu na swoją specyfikę nadano mu specjalną nazwę - wierzchołek paraboli.

Czwarty, gdy jedna gałąź paraboli łączy się u góry z drugą gałęzią, dzieje się to płynnie, bez przerwy; parabola niejako „naciska” na oś odciętych. Zwykle mówią: parabola dotyka osi x.

Spróbujmy teraz, patrząc na rysunek 54, opisać niektóre właściwości funkcji y \u003d x 2.

Po pierwsze, zauważamy, że y - 0 dla x = 0, y > 0 dla x > 0 i dla x< 0.

Po drugie, zauważ, że y imię. = 0, podczas gdy naib nie istnieje.

Po trzecie, zauważamy, że funkcja y \u003d x 2 zmniejsza się na belce (- ° °, 0] - dla tych wartości x, poruszając się wzdłuż paraboli od lewej do prawej, „schodzimy ze wzgórza” (patrz ryc. 55) Funkcja y \u003d x 2 zwiększa się na belce ;
b) na segmencie [- 3, - 1,5];
c) na przedziale [- 3, 2].

Rozwiązanie,

a) Zbudujmy parabolę y \u003d x 2 i wybierzmy jej część, która odpowiada wartościom zmiennej x z segmentu (ryc. 56). Dla wybranej części wykresu znajdujemy się w naim. = 1 (dla x = 1), y maks. = 9 (dla x = 3).

b) Zbudujmy parabolę y \u003d x 2 i wybierzmy jej część, która odpowiada wartościom zmiennej x z segmentu [-3, -1,5] (ryc. 57). Dla wybranej części wykresu znajdujemy y name. \u003d 2,25 (przy x \u003d - 1,5), y maks. = 9 (przy x = - 3).

c) Zbudujmy parabolę y \u003d x 2 i wybierzmy jej część, która odpowiada wartościom zmiennej x z segmentu [-3, 2] (ryc. 58). Dla wybranej części wykresu znajdujemy y max = 0 (przy x = 0), y max. = 9 (przy x = - 3).

Rada. Aby nie wykreślać za każdym razem funkcji y - x 2 punkt po punkcie, wytnij szablon paraboli z grubego papieru. Dzięki niemu będziesz mógł bardzo szybko narysować parabolę.

Komentarz. Oferując Ci przygotowanie szablonu paraboli, niejako wyrównujemy prawa funkcji y \u003d x 2 i funkcja liniowa y = kx + m. W końcu harmonogram funkcja liniowa jest linią prostą, a dla obrazu używana jest linia prosta zwykły władca- jest to szablon wykresu funkcji y \u003d kx + m. Więc pozwól, że masz również szablon wykresu dla funkcji y \u003d x 2.

Przykład 2 Znajdź punkty przecięcia paraboli y \u003d x 2 i linię y - x + 2.

Rozwiązanie. Skonstruujmy parabolę y \u003d x 2 w jednym układzie współrzędnych, linię prostą y \u003d x + 2 (ryc. 59). Przecinają się w punktach A i B, a zgodnie z rysunkiem nie jest trudno znaleźć współrzędne tych punktów A i B: dla punktu A mamy: x \u003d - 1, y \u003d 1, a dla punktu B mamy mieć: x - 2, y \u003d 4.

Odpowiedź: parabola y \u003d x 2 i linia prosta y \u003d x + 2 przecinają się w dwóch punktach: A (-1; 1) i B (2; 4).

Ważna uwaga. Do tej pory wnioski wyciągaliśmy dość śmiało za pomocą rysunku. Jednak matematycy nie ufają zbytnio rysunkom. Po znalezieniu na rysunku 59 dwóch punktów przecięcia paraboli i prostej i ustaleniu współrzędnych tych punktów za pomocą rysunku, matematyk zwykle sprawdza sam: czy punkt (-1; 1) faktycznie leży zarówno na prostej, jak i na parabola; czy punkt (2; 4) naprawdę leży zarówno na prostej, jak i na paraboli?

W tym celu należy podstawić współrzędne punktów A i B w równaniu prostej oraz w równaniu paraboli, a następnie upewnić się, że w obu przypadkach uzyskana zostanie prawidłowa równość. W przykładzie 2 w obu przypadkach zostaną uzyskane prawidłowe równości. Taka kontrola jest szczególnie często wykonywana, gdy dokładność rysunku jest wątpliwa.

Podsumowując, zauważamy jedną ciekawą właściwość paraboli, odkrytą i udowodnioną wspólnie przez fizyków i matematyków.

Jeśli rozważymy parabolę y \u003d x 2 jako ekran, jako powierzchnię odbijającą i umieścimy źródło światła w punkcie, wówczas promienie odbite od paraboli ekranu tworzą równoległą wiązkę światła (ryc. 60 ). Punkt nazywa się ogniskiem paraboli. Pomysł ten jest stosowany w samochodach: powierzchnia odbijająca reflektora jest paraboliczna, a żarówka jest skupiona - wtedy światło reflektora dociera dostatecznie daleko.

Planowanie kalendarzowo-tematyczne w matematyce, wideo w matematyce online, Matematyka w szkole pobierz

A. V. Pogorelov, Geometria dla klas 7-11, Podręcznik dla instytucje edukacyjne

Treść lekcji podsumowanie lekcji wsparcie ramka prezentacja lekcji metody akceleracyjne technologie interaktywne Ćwiczyć zadania i ćwiczenia samokontrola warsztaty, szkolenia, case'y, questy praca domowa pytania do dyskusji pytania retoryczne od studentów Ilustracje audio, wideoklipy i multimedia fotografie, obrazki grafika, tabele, schematy humor, anegdoty, dowcipy, komiksy przypowieści, powiedzenia, krzyżówki, cytaty Dodatki streszczenia artykuły chipy dla dociekliwych ściągawki podręczniki podstawowe i dodatkowe słowniczek pojęć inne Doskonalenie podręczników i lekcjipoprawianie błędów w podręczniku aktualizacja fragmentu w podręczniku elementów innowacji na lekcji zastępując przestarzałą wiedzę nową Tylko dla nauczycieli doskonałe lekcje plan kalendarzowy na rok wytyczne programy dyskusyjne Zintegrowane lekcje

Lekcja na temat: "Wykres i własności funkcji $y=x^2$. Przykłady kreślenia"

Dodatkowe materiały
Drodzy użytkownicy, nie zapomnijcie zostawić swoich komentarzy, opinii, sugestii. Wszystkie materiały są sprawdzane przez program antywirusowy.

Pomoce dydaktyczne i symulatory w sklepie internetowym „Integral” dla klasy 7
Interaktywny symulator „Zasady i ćwiczenia z algebry”
Elektroniczny skoroszyt do algebry dla klasy 7, wersja online

Funkcjonować to zależność jednej zmiennej od drugiej.

Wykres funkcji – obraz graficzny Funkcje.

Właściwości funkcji

• Zakres funkcji- wszystkie wartości jakie może przyjąć zmienna niezależna.
• Zakres funkcji- wszystkie wartości jakie może przyjąć zmienna zależna.
• Zera funkcji - wartość zmienna niezależna, gdzie zmienna zależna wynosi 0.
• Minimalna wartość funkcji jest minimalną wartością zmiennej zależnej.
• Maksymalna wartość funkcji to maksymalna wartość zmiennej zależnej.

Własności funkcji $y=x^2$

Opiszmy właściwości tej funkcji:

1. x jest zmienną niezależną, y jest zmienną zależną.

2. Dziedzina definicji: jest oczywiste, że dla dowolnej wartości argumentu (x) istnieje wartość funkcji (y). W związku z tym dziedziną definicji tej funkcji jest cała oś liczbowa.

3. Zakres wartości: y nie może być mniejsze od 0, ponieważ kwadrat dowolnej liczby jest liczbą dodatnią.

4. Jeśli x=0, to y=0.

5. Zwróć uwagę, że dla przeciwnych wartości argumentu funkcja przyjmuje tę samą wartość. Dla pary liczb x = 1 i x = -1 wartość funkcji będzie wynosić 1, tj. y = 1. Dla pary liczb x = 2 i x = – 2; y = 4 itd.
$y = x^2 =(-x)^2$.

Wykres funkcji $y=x^2$

Przyjrzyjmy się bliżej wzorowi y = x 2 i spróbujmy opisać słowami przybliżoną postać przyszłego wykresu.

1. Ponieważ y ≥ 0, cały wykres nie może znajdować się poniżej osi OX.

2. Wykres jest symetryczny względem osi OY. Musimy tylko wykreślić dodatnie wartości x, a następnie odwrócić je dla ujemnych wartości x.

Znajdźmy kilka wartości y:

Skonstruujmy te punkty (patrz rys. 1).

Jeśli spróbujemy połączyć je linią przerywaną, jak pokazano na ryc. 1 , to niektóre wartości funkcji nie będą przypadać na te linie, na przykład punkty A (x=0,5; y=0,25) i B (x=2,5; y=6,25). Nawet jeśli zbudujemy wiele punktów i połączymy je małymi odcinkami linii prostej, zawsze będą wartości y, które nie przypadają na te odcinki. Dlatego punkty muszą być połączone gładką zakrzywioną linią (patrz rys. 2).

Teraz pozostaje odbicie wykresu dla ujemnych wartości x (patrz ryc. 3). Taka krzywa nazywa się parabolą. Punkt O (0; 0) nazywany jest wierzchołkiem paraboli. Krzywe symetryczne nazywane są gałęziami paraboli.

Przykłady

I. Projektant musi pomalować część ściany domu w kształcie kwadratu o bokach 2,7 metra. Specjalna farba ścienna sprzedawana jest w opakowaniu po 1 puszce za 1 m2. Bez wykonywania obliczeń dowiedz się, ile puszek z farbą musisz kupić, aby po barwieniu nie pozostały dodatkowe nieotwarte puszki.

Rozwiązanie:
1. Zbudujmy parabolę.
2. Znajdź punkt A na paraboli, w którym współrzędna x=2,7 (patrz rys. 4).
3. Widzimy, że w tym momencie wartość funkcji jest większa niż 7, ale mniejsza niż 8. Oznacza to, że projektant będzie potrzebował co najmniej 8 puszek farby.

II. Skonstruuj wykres funkcji y \u003d (x + 1) 2.

Znajdźmy kilka wartości y.

Skonstruujmy te punkty i prostą x= -1 równoległą do osi OY. Jest oczywiste, że konstruowane punkty są symetryczne względem tej linii. W rezultacie otrzymamy tę samą parabolę, tylko przesuniętą w lewo wzdłuż osi OX (patrz rys. 5).

Funkcja y=x^2 nazywana jest funkcją kwadratową. Wykres funkcji kwadratowej to parabola. Forma ogólna parabolę pokazano na poniższym rysunku.

funkcja kwadratowa

Rys 1. Ogólny widok paraboli

Jak widać z wykresu, jest symetryczna względem osi Oy. Oś Oy nazywana jest osią symetrii paraboli. Oznacza to, że jeśli narysujesz linię prostą równoległą do osi Wół powyżej tej osi na wykresie. Następnie przecina parabolę w dwóch punktach. Odległość od tych punktów do osi y będzie taka sama.

Oś symetrii dzieli wykres paraboli na dwie części. Te części nazywane są gałęziami paraboli. A punkt paraboli leżący na osi symetrii nazywany jest wierzchołkiem paraboli. Oznacza to, że oś symetrii przechodzi przez szczyt paraboli. Współrzędne tego punktu to (0;0).

Podstawowe własności funkcji kwadratowej

1. Dla x=0, y=0 i y>0 dla x0

2. Funkcja kwadratowa osiąga swoją minimalną wartość w swoim wierzchołku. Ymin przy x=0; Należy również zauważyć, że maksymalna wartość funkcji nie istnieje.

3. Funkcja maleje na przedziale (-∞; 0] i rośnie na przedziale )