Pełne równanie kwadratowe. Rozwiązywanie niekompletnych równań kwadratowych

Wiadomo, że jest to szczególna wersja równości ax 2 + bx + c = o, gdzie a, b i c są współczynnikami rzeczywistymi dla nieznanego x, a gdzie a ≠ o i b i c będą zerami - jednocześnie lub osobno. Na przykład c = o, w ≠ o lub odwrotnie. Prawie przypomnieliśmy sobie definicję równania kwadratowego.

Trójka drugiego stopnia jest równa zeru. Jego pierwszy współczynnik a o, b i c może przyjmować dowolne wartości. Wartość zmiennej x będzie wtedy taka, gdy po podstawieniu zmieni ją w prawdziwą równość liczbową. Zastanówmy się nad rzeczywistymi pierwiastkami, chociaż rozwiązania równania mogą być, a Zupełne zwykle nazywa się równaniem, w którym żaden ze współczynników nie jest równy o, ale ≠ o, w ≠ o, z ≠ o.
Rozwiążmy przykład. 2x 2 -9x-5 = och, znajdujemy
D = 81 + 40 = 121,
D jest dodatnie, więc są pierwiastki, x 1 = (9 + √121): 4 = 5, a drugi x 2 = (9-√121): 4 = -o, 5. Sprawdzenie pomoże upewnić się, że są one poprawne.

Oto krok po kroku rozwiązanie równania kwadratowego

Poprzez dyskryminację możesz rozwiązać dowolne równanie, po lewej stronie którego znajduje się dobrze znany trójmian kwadratowy dla ≠ o. W naszym przykładzie. 2x 2 -9x-5 = 0 (ax 2 + bx + c = o)

Zastanów się, jakie są niekompletne równania drugiego stopnia

topór 2 + w = o. Wyraz wolny, współczynnik c przy x 0, jest tutaj równy zero, w ≠ o.
Jak rozwiązać niepełne równanie kwadratowe tego rodzaju? Przesuń x z nawiasów. Pamiętaj, kiedy iloczyn dwóch czynników wynosi zero.
x (ax + b) = o, może to być, gdy x = o lub gdy ax + b = o.
Po rozwiązaniu drugiego mamy x = -v / a.
W rezultacie mamy pierwiastki x 1 = 0, zgodnie z obliczeniami x 2 = -b / a.
Teraz współczynnik przy x jest równy o, a c nie jest równe (≠) o.
x 2 + c = o. Przenosząc с na prawą stronę równości, otrzymujemy x 2 = -с. To równanie ma pierwiastki rzeczywiste tylko wtedy, gdy -c jest liczbą dodatnią (c x 1 jest wtedy równe √ (-s), odpowiednio x 2 - -√ (-s). W przeciwnym razie równanie nie ma żadnych pierwiastków.
Ostatnia opcja: b = c = o, czyli ax 2 = o. Oczywiście takie proste równanie ma jeden pierwiastek, x = o.

Przypadki specjalne

Zastanawialiśmy się, jak rozwiązać niepełne równanie kwadratowe, a teraz weźmiemy dowolne typy.

W pełnym równaniu kwadratowym drugi współczynnik przy x wynosi Liczba parzysta.
Niech k = o, 5b. Mamy wzory do obliczania wyróżnika i pierwiastków.
D / 4 = k 2 - ac, pierwiastki są obliczane jako x 1,2 = (-k ± √ (D / 4)) / a dla D ›o.
x = -k / a gdy D = o.
Brak korzeni w D‹o.
Podano równania kwadratowe, gdy współczynnik przy x do kwadratu wynosi 1, zwyczajowo zapisuje się je x 2 + px + q = o. Wszystkie powyższe wzory mają do nich zastosowanie, obliczenia są nieco prostsze.
Przykład, x 2 -4x-9 = 0. Oblicz D: 2 2 +9, D = 13.
x 1 = 2 + √13, x 2 = 2-√13.
Ponadto łatwo jest zastosować do danych, mówi, że suma pierwiastków równania jest równa -p, drugi współczynnik z minusem (oznaczającym przeciwny znak), a iloczyn tych pierwiastków będzie być równe q, członowi wolnemu. Sprawdź, jak łatwo byłoby ustnie określić pierwiastki tego równania. Dla niezredukowanych (dla wszystkich współczynników nierównych zero) twierdzenie to ma zastosowanie w następujący sposób: suma x 1 + x 2 jest równa -v / a, iloczyn x 1 x 2 jest równy c / a.

Suma przecięcia c i pierwszego współczynnika a jest równa współczynnikowi b. W tej sytuacji równanie ma co najmniej jeden pierwiastek (łatwy do udowodnienia), pierwszy jest koniecznie równy -1, a drugi -c / a, jeśli istnieje. Jak rozwiązać niepełne równanie kwadratowe, możesz to sprawdzić sam. Bułka z masłem. Współczynniki mogą być w pewnych proporcjach między sobą

x 2 + x = o, 7x 2 -7 = o.
Suma wszystkich współczynników wynosi 0.
Pierwiastki takiego równania to 1 i s / a. Przykład, 2x 2 -15x + 13 = o.
x 1 = 1, x 2 = 13/2.

Istnieje wiele innych sposobów rozwiązywania różnych równań drugiego stopnia. Na przykład, oto metoda wyodrębniania z danego wielomianu pełny kwadrat... Istnieje kilka graficznych sposobów. Kiedy często będziesz miał do czynienia z takimi przykładami, nauczysz się „klikać” je jak nasiona, ponieważ wszystkie metody przychodzą na myśl automatycznie.

W tym artykule przyjrzymy się rozwiązywaniu niekompletnych równania kwadratowe.

Ale najpierw powtórzmy, które równania nazywamy kwadratowymi. Równanie postaci ax 2 + bx + c = 0, gdzie x jest zmienną, a współczynniki a, b i c są liczbami, a a 0, nazywa się kwadrat... Jak widać, współczynnik przy x 2 nie jest zerem, a zatem współczynniki przy x lub członie swobodnym mogą wynosić zero, w tym przypadku otrzymujemy niepełne równanie kwadratowe.

Niekompletne równania kwadratowe są trzech typów:

1) Jeśli b = 0, c ≠ 0, to ax 2 + c = 0;

2) Jeśli b 0, c = 0, to ax 2 + bx = 0;

3) Jeśli b = 0, c = 0, to topór 2 = 0.

Zastanówmy się, jak decydują równania postaci ax 2 + c = 0.

Aby rozwiązać równanie, przenosimy wyraz wolny z na prawą stronę równania, otrzymujemy

topór 2 = ‒c. Ponieważ a ≠ 0, to dzielimy obie strony równania przez a, wtedy x 2 = ‒c / a.

Jeśli ‒c / a> 0, to równanie ma dwa pierwiastki

x = ± √ (–c / a).

Jeśli c / a< 0, то это уравнение решений не имеет. Более наглядно решение данных уравнений представлено на схеме.

Spróbujmy to rozgryźć na przykładach rozwiązywania takich równań.

Przykład 1... Rozwiąż równanie 2x 2 - 32 = 0.

Odpowiedź: x 1 = - 4, x 2 = 4.

Przykład 2... Rozwiąż równanie 2x 2 + 8 = 0.

Odpowiedź: równanie nie ma rozwiązań.

Zastanówmy się, jak decydują równania postaci ax 2 + bx = 0.

Aby rozwiązać równanie ax 2 + bx = 0, rozkładamy je na czynniki, to znaczy wyjmujemy x poza nawiasy, otrzymujemy x (ax + b) = 0. Iloczyn jest równy zero, jeśli przynajmniej jeden z czynników jest równy zero. Wtedy albo x = 0, albo ax + b = 0. Rozwiązując równanie ax + b = 0, otrzymujemy ax = - b, skąd x = - b / a. Równanie postaci ax 2 + bx = 0 ma zawsze dwa pierwiastki x 1 = 0 i x 2 = - b / a. Zobacz jak wygląda rozwiązanie równań tego typu na diagramie.

Skonsolidujmy naszą wiedzę na konkretnym przykładzie.

Przykład 3... Rozwiąż równanie 3x 2 - 12x = 0.

x (3x - 12) = 0

x = 0 lub 3x - 12 = 0

Odpowiedź: x 1 = 0, x 2 = 4.

Równania trzeciego rodzaju ax 2 = 0 są rozwiązywane w bardzo prosty sposób.

Jeśli ax 2 = 0, to x 2 = 0. Równanie ma dwa równe pierwiastki x 1 = 0, x 2 = 0.

Dla jasności rozważ diagram.

Upewnijmy się, rozwiązując przykład 4, że równania tego typu można rozwiązać bardzo prosto.

Przykład 4. Rozwiąż równanie 7x 2 = 0.

Odpowiedź: x 1, 2 = 0.

Nie zawsze jest od razu jasne, jakie niepełne równanie kwadratowe musimy rozwiązać. Rozważmy następujący przykład.

Przykład 5. Rozwiązać równanie

Pomnóż obie strony równania przez wspólny mianownik, czyli przez 30

Redukować

5 (5x 2 + 9) - 6 (4x 2 - 9) = 90.

Rozwińmy nawiasy

25x 2 + 45 - 24x 2 + 54 = 90.

Oto podobne

Przesuń 99 z lewej strony równania na prawo, odwróć znak

Odpowiedź: nie ma korzeni.

Przeanalizowaliśmy, jak rozwiązywane są niepełne równania kwadratowe. Mam nadzieję, że teraz nie będziesz miał żadnych trudności z takimi zadaniami. Bądź ostrożny przy określaniu typu niepełnego równania kwadratowego, wtedy odniesiesz sukces.

Jeśli masz jakieś pytania na ten temat, zapisz się na moje lekcje, wspólnie rozwiążemy powstałe problemy.

strony, z pełnym lub częściowym skopiowaniem materiału, wymagany jest link do źródła.

Kontynuując temat „Rozwiązywanie równań”, materiał w tym artykule wprowadzi Cię w równania kwadratowe.

Rozważmy wszystko szczegółowo: istotę i zapis równania kwadratowego, ustalimy powiązane warunki, przeanalizujemy schemat rozwiązywania niekompletnych i kompletnych równań, zapoznamy się ze wzorem na pierwiastki i wyróżnikiem, ustalimy powiązania między pierwiastkami a współczynnikami i oczywiście podamy wizualne rozwiązanie praktycznych przykładów.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Równanie kwadratowe, jego rodzaje

Definicja 1

Równanie kwadratowe Czy równanie jest zapisane jako a x 2 + b x + c = 0, gdzie x- zmienna, a, b i C- niektóre liczby, podczas gdy a nie jest zerem.

Często równania kwadratowe są również nazywane równaniami drugiego stopnia, ponieważ w rzeczywistości równanie kwadratowe to równanie algebraiczne drugi stopień.

Podajmy przykład ilustrujący podana definicja: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0; 7,5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0 itd. Czy równania kwadratowe.

Definicja 2

Liczby a, b i C Czy współczynniki równania kwadratowego a x 2 + b x + c = 0, natomiast współczynnik a nazywa się pierwszym lub starszym lub współczynnikiem przy x 2, b - drugim współczynnikiem lub współczynnikiem przy x, a C nazwany wolnym członkiem.

Na przykład w równaniu kwadratowym 6 x 2 - 2 x - 11 = 0 starszy współczynnik wynosi 6, drugi współczynnik to − 2 a wolny termin to − 11 ... Zwróćmy uwagę na fakt, że gdy współczynniki b i / lub c są ujemne, a następnie użyj skrócona forma zapisy formularza 6 x 2 - 2 x - 11 = 0, ale nie 6 x 2 + (- 2) x + (- 11) = 0.

Wyjaśnijmy również ten aspekt: jeśli współczynniki a i / lub b są równe 1 lub − 1 , to mogą nie brać wyraźnego udziału w zapisie równania kwadratowego, co tłumaczy się osobliwością zapisu wskazanych współczynników liczbowych. Na przykład w równaniu kwadratowym r 2 - r + 7 = 0 najwyższy współczynnik to 1, a drugi współczynnik to − 1 .

Zredukowane i nieredukowane równania kwadratowe

Zgodnie z wartością pierwszego współczynnika równania kwadratowe dzielą się na zredukowane i niezredukowane.

Definicja 3

Zredukowane równanie kwadratowe Jest równaniem kwadratowym, w którym wiodący współczynnik wynosi 1. Dla innych wartości wiodącego współczynnika równanie kwadratowe nie jest redukowane.

Podajmy przykłady: równania kwadratowe x 2 - 4 x + 3 = 0, x 2 - x - 4 5 = 0 są zredukowane, w każdym z których wiodący współczynnik wynosi 1.

9 x 2 - x - 2 = 0- nieredukowane równanie kwadratowe, w którym pierwszy współczynnik jest różny od 1 .

Każde niezredukowane równanie kwadratowe można przekształcić w równanie zredukowane, dzieląc obie części przez pierwszy współczynnik (przekształcenie równoważne). Przekształcone równanie będzie miało te same pierwiastki, co dane niezredukowane równanie, lub też w ogóle nie będzie miało pierwiastków.

Namysł konkretny przykład pozwoli nam wyraźnie zademonstrować wykonanie przejścia z równania kwadratowego niezredukowanego do równania zredukowanego.

Przykład 1

Równanie to 6 x 2 + 18 x - 7 = 0 . Konieczne jest przekształcenie pierwotnego równania do postaci zredukowanej.

Rozwiązanie

Zgodnie z powyższym schematem dzielimy obie strony pierwotnego równania przez wiodący współczynnik 6. Następnie otrzymujemy: (6 x 2 + 18 x - 7): 3 = 0: 3 a to to samo co: (6 x 2): 3 + (18 x): 3 - 7: 3 = 0 i dalej: (6:6) x 2 + (18:6) x - 7:6 = 0. W związku z tym: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0. W ten sposób otrzymuje się równanie równoważne danemu.

Odpowiedź: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0.

Pełne i niepełne równania kwadratowe

Przejdźmy do definicji równania kwadratowego. W nim wyjaśniliśmy, że 0... Podobny warunek jest konieczny dla równania a x 2 + b x + c = 0 był dokładnie kwadratowy, ponieważ dla a = 0 zasadniczo przekształca się w równanie liniowe b x + c = 0.

W przypadku, gdy współczynniki b oraz C równe zero (co jest możliwe, zarówno osobno, jak i łącznie), równanie kwadratowe nazywa się niekompletnym.

Definicja 4

Niepełne równanie kwadratowe Czy takie równanie kwadratowe? a x 2 + b x + c = 0, gdzie co najmniej jeden ze współczynników b oraz C(lub oba) wynosi zero.

Pełne równanie kwadratowe- równanie kwadratowe, w którym wszystkie współczynniki liczbowe nie są równe zeru.

Omówmy, dlaczego typom równań kwadratowych nadaje się dokładnie takie nazwy.

Dla b = 0 równanie kwadratowe przyjmuje postać a x 2 + 0 x + c = 0 czyli to samo co a x 2 + c = 0... Na c = 0 równanie kwadratowe jest zapisane jako a x 2 + b x + 0 = 0 co jest równoważne a x 2 + b x = 0... Na b = 0 oraz c = 0 równanie staje się a x 2 = 0... Otrzymane przez nas równania różnią się od pełnego równania kwadratowego tym, że ich lewa strona nie zawiera ani wyrazu ze zmienną x, ani wyrazu wolnego, albo obu naraz. Fakt ten nadał nazwę tego typu równaniom - niekompletne.

Na przykład x 2 + 3 x + 4 = 0 i - 7 x 2 - 2 x + 1, 3 = 0 są pełnymi równaniami kwadratowymi; x 2 = 0, - 5 x 2 = 0; 11 x 2 + 2 = 0, - x 2 - 6 x = 0 - niekompletne równania kwadratowe.

Rozwiązywanie niekompletnych równań kwadratowych

Powyższa definicja umożliwia wyróżnienie następujące typy niekompletne równania kwadratowe:

a x 2 = 0, takiemu równaniu odpowiadają współczynniki b = 0 i c = 0;
a x 2 + c = 0 dla b = 0;
a x 2 + b x = 0 przy c = 0.

Rozważmy kolejno rozwiązanie każdego typu niepełnego równania kwadratowego.

Rozwiązanie równania a x 2 = 0

Jak już wskazano powyżej, takiemu równaniu odpowiadają współczynniki b oraz C równy zero. Równanie a x 2 = 0 można przekształcić w równoważne równanie x 2 = 0, które otrzymujemy dzieląc obie strony pierwotnego równania przez liczbę a nie równa zeru. Jest oczywistym faktem, że pierwiastek równania x 2 = 0 to jest zero, ponieważ 0 2 = 0 ... To równanie nie ma innych pierwiastków, co można wytłumaczyć właściwościami stopnia: dla dowolnej liczby P, nie równa zeru, nierówność jest prawdziwa p 2> 0, z czego wynika, że dla p ≠ 0 równość p 2 = 0 nigdy nie zostanie osiągnięty.

Definicja 5

Zatem dla niepełnego równania kwadratowego a x 2 = 0 istnieje pierwiastek jednoznaczny x = 0.

Przykład 2

Na przykład rozwiążmy niepełne równanie kwadratowe - 3 x 2 = 0... Równanie jest z nim równoważne x 2 = 0, jego jedynym korzeniem jest x = 0, to oryginalne równanie ma również jeden pierwiastek - zero.

Krótko mówiąc, rozwiązanie jest sformalizowane w następujący sposób:

- 3 x 2 = 0, x 2 = 0, x = 0.

Rozwiązanie równania a x 2 + c = 0

Kolejnym krokiem jest rozwiązanie niepełnych równań kwadratowych, gdzie b = 0, c ≠ 0, czyli równania postaci a x 2 + c = 0... Przekształcamy to równanie, przenosząc wyraz z jednej strony równania na drugą, zmieniając znak na przeciwny i dzieląc obie strony równania przez liczbę, która nie jest równa zeru:

przenieść dokądś C po prawej, co daje równanie a x 2 = - c;
dzielimy obie strony równania przez a, otrzymujemy w wyniku x = - c a.

Nasze przekształcenia są odpowiednio równoważne, wynikowe równanie jest również równoważne z pierwotnym, co umożliwia wyciągnięcie wniosków na temat pierwiastków równania. Od tego, jakie są znaczenia a oraz C wartość wyrażenia - c a zależy: może mieć znak minus (np. if a = 1 oraz c = 2, to - c a = - 2 1 = - 2) lub znak plus (na przykład, jeśli a = - 2 oraz c = 6, a następnie - c a = - 6 - 2 = 3); to nie jest zero, ponieważ c ≠ 0... Rozważmy bardziej szczegółowo sytuacje, w których - c a< 0 и - c a > 0 .

W przypadku, gdy - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа P równość p 2 = - c a nie może być prawdziwa.

Wszystko jest inne, gdy - c a> 0: pamiętaj pierwiastek kwadratowy, a staje się oczywiste, że pierwiastek równania x 2 = - c a będzie liczbą - c a, ponieważ - c a 2 = - c a. Łatwo zrozumieć, że liczba - - c a jest również pierwiastkiem równania x 2 = - c a: rzeczywiście - - c a 2 = - c a.

Równanie nie będzie miało innych pierwiastków. Możemy to zademonstrować za pomocą sprzecznej metody. Na początek zdefiniujmy notację dla pierwiastków znalezionych powyżej jako x 1 oraz -x 1... Załóżmy, że równanie x 2 = - c a również ma pierwiastek x 2 co różni się od korzeni x 1 oraz -x 1... Wiemy, że podstawiając w równaniu zamiast x jego korzenie, przekształcają równanie w sprawiedliwą równość liczbową.

Do x 1 oraz -x 1 piszemy: x 1 2 = - c a, a dla x 2- x 2 2 = - ok. W oparciu o własności równości liczbowych odejmujemy jedną prawdziwą równość od drugiego wyrazu, co da nam: x 1 2 - x 2 2 = 0... Używamy właściwości działań na liczbach, aby przepisać ostatnią równość jako (x 1 - x 2) (x 1 + x 2) = 0... Wiadomo, że iloczyn dwóch liczb jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy przynajmniej jedna z liczb jest równa zeru. Z tego, co zostało powiedziane, wynika, że x 1 - x 2 = 0 i / lub x 1 + x 2 = 0 czyli to samo x 2 = x 1 i / lub x 2 = - x 1... Powstała oczywista sprzeczność, ponieważ początkowo ustalono, że pierwiastek równania x 2 różni się od x 1 oraz -x 1... Udowodniliśmy więc, że równanie nie ma innych pierwiastków, z wyjątkiem x = - c a i x = - - c a.

Podsumowujemy wszystkie powyższe rozumowanie.

Definicja 6

Niepełne równanie kwadratowe a x 2 + c = 0 jest równoważne równaniu x 2 = - c a, które:

nie będzie miał korzeni dla - c a< 0 ;
będzie miał dwa pierwiastki x = - c a i x = - - c a dla - c a> 0.

Podajmy przykłady rozwiązywania równań a x 2 + c = 0.

Przykład 3

Podano równanie kwadratowe 9 x 2 + 7 = 0. Trzeba znaleźć na to rozwiązanie.

Rozwiązanie

Przenosimy wyraz wolny na prawą stronę równania, wtedy równanie przyjmie postać 9 x 2 = - 7.
Dzielimy obie strony otrzymanego równania przez 9 , dochodzimy do x 2 = - 7 9. Po prawej stronie widzimy liczbę ze znakiem minus, co oznacza: y podane równanie bez korzeni. Następnie oryginalne niepełne równanie kwadratowe 9 x 2 + 7 = 0 nie będzie miał korzeni.

Odpowiedź: równanie 9 x 2 + 7 = 0 nie ma korzeni.

Przykład 4

Konieczne jest rozwiązanie równania - x 2 + 36 = 0.

Rozwiązanie

Przesuń 36 na prawą stronę: - x 2 = - 36.
Podzielmy obie części na − 1 , dostajemy x 2 = 36... Po prawej stronie znajduje się liczba dodatnia, z której możemy wywnioskować, że x = 36 lub x = - 36.
Wyodrębnijmy pierwiastek i zapiszmy wynik końcowy: niepełne równanie kwadratowe - x 2 + 36 = 0 ma dwa korzenie x = 6 lub x = - 6.

Odpowiedź: x = 6 lub x = - 6.

Rozwiązanie równania a x 2 + b x = 0

Przeanalizujmy trzeci rodzaj niepełnych równań kwadratowych, gdy c = 0... Aby znaleźć rozwiązanie niepełnego równania kwadratowego a x 2 + b x = 0, użyj metody faktoryzacji. Wyciągamy wielomian po lewej stronie równania, usuwając wspólny czynnik poza nawiasami x... Ten krok umożliwi konwersję oryginalnego niepełnego równania kwadratowego na jego odpowiednik x (a x + b) = 0... A to równanie jest z kolei równoważne zbiorowi równań x = 0 oraz a x + b = 0... Równanie a x + b = 0 liniowy, a jego korzeniem jest: x = - b a.

Definicja 7

Zatem niepełne równanie kwadratowe a x 2 + b x = 0 będzie miał dwa korzenie x = 0 oraz x = - b a.

Naprawmy materiał na przykładzie.

Przykład 5

Konieczne jest znalezienie rozwiązania równania 2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0.

Rozwiązanie

Na wynos x nawiasy i uzyskaj równanie x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0. To równanie jest równoważne równaniom x = 0 i 2 3 x - 2 2 7 = 0. Teraz musisz rozwiązać otrzymane równanie liniowe: 2 3 · x = 2 2 7, x = 2 2 7 2 3.

Krótko piszemy rozwiązanie równania w następujący sposób:

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 lub 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 lub x = 3 3 7

Odpowiedź: x = 0, x = 3 3 7.

Dyskryminant, wzór na pierwiastki równania kwadratowego

Aby znaleźć rozwiązanie równań kwadratowych, istnieje wzór pierwiastka:

Definicja 8

x = - b ± D 2 a, gdzie D = b 2 - 4 a c- tak zwany dyskryminator równania kwadratowego.

Zapis x = -b ± D2 ·a zasadniczo oznacza, że x1 = -b + D2 ·a, x2 = -b - D2 ·a.

Nie będzie zbyteczne zrozumienie, w jaki sposób została wyprowadzona wskazana formuła i jak ją zastosować.

Wyprowadzenie wzoru na pierwiastki równania kwadratowego

Zmierzmy się z zadaniem rozwiązania równania kwadratowego a x 2 + b x + c = 0... Przeprowadźmy szereg równoważnych przekształceń:

podziel obie strony równania przez liczbę a niezerowe, otrzymujemy zredukowane równanie kwadratowe: x 2 + b a · x + c a = 0;
wybierz pełny kwadrat po lewej stronie wynikowego równania:
x 2 + ba x + ca = x 2 + 2 b 2 a x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + ca = = x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + ca
Następnie równanie przyjmie postać: x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = 0;
teraz można przenieść dwa ostatnie wyrazy na prawą stronę zmieniając znak na przeciwny, po czym otrzymujemy: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a;
na koniec przekształcamy wyrażenie zapisane po prawej stronie ostatniej równości:
b 2 a 2 - c a = b 2 4 a 2 - c a = b 2 4 a 2 - 4 a c 4 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2.

W ten sposób doszliśmy do równania x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2, które jest równoważne pierwotnemu równaniu a x 2 + b x + c = 0.

Przeanalizowaliśmy rozwiązanie takich równań w poprzednich akapitach (rozwiązanie niepełnych równań kwadratowych). Zdobyte doświadczenie pozwala na wyciągnięcie wniosków dotyczących pierwiastków równania x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2:

o b 2 - 4 a c 4 a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
dla b 2 - 4 a c 4 a 2 = 0 równanie ma postać x + b 2 a 2 = 0, a następnie x + b 2 a = 0.

Stąd jedyny pierwiastek x = - b 2 · a jest oczywisty;

dla b 2 - 4 a c 4 a 2> 0 będzie prawdą: x + b 2 a = b 2 - 4 a c 4 a 2 lub x = b 2 a - b 2 - 4 ac 4 a 2, czyli to samo jako x + - b 2 a = b 2 - 4 ac 4 a 2 lub x = - b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2, tj. równanie ma dwa pierwiastki.

Można wywnioskować, że obecność lub brak pierwiastków równania x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 (a więc oryginalne równanie) zależy od znaku wyrażenia b 2 - 4 a c 4 · 2 napisane po prawej stronie. A znak tego wyrażenia jest ustalany przez znak licznika (mianownik 4 a 2 zawsze będzie dodatni), czyli przez znak wyrażenia b 2 - 4 a c... To wyrażenie b 2 - 4 a c podana jest nazwa - wyróżnik równania kwadratowego, a litera D jest zdefiniowana jako jego oznaczenie. Tutaj można zapisać istotę wyróżnika - po jego wartości i znaku stwierdza się, czy równanie kwadratowe będzie miało pierwiastki rzeczywiste, a jeśli tak, to jaka jest liczba pierwiastków - jeden czy dwa.

Wróćmy do równania x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2. Przepiszmy to używając notacji dla wyróżnika: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2.

Sformułujmy wnioski jeszcze raz:

Definicja 9

w D< 0 równanie nie ma prawdziwych pierwiastków;
w D = 0 równanie ma jeden pierwiastek x = - b 2 · a;
w D> 0 równanie ma dwa pierwiastki: x = - b 2 a + D 4 a 2 lub x = - b 2 a - D 4 a 2. Na podstawie właściwości rodników pierwiastki te można zapisać jako: x = - b 2 a + D 2 a lub - b 2 a - D 2 a. A kiedy otworzymy moduły i sprowadzimy ułamki do wspólnego mianownika, otrzymamy: x = - b + D 2 · a, x = - b - D 2 · a.

Tak więc wynikiem naszego rozumowania było wyprowadzenie wzoru na pierwiastki równania kwadratowego:

x = - b + D 2 a, x = - b - D 2 a, wyróżnik D obliczone według wzoru D = b 2 - 4 a c.

Wzory te umożliwiają, przy dyskryminatorze większym od zera, wyznaczenie obu pierwiastków rzeczywistych. Gdy dyskryminator wynosi zero, zastosowanie obu formuł da ten sam pierwiastek jako jedyne rozwiązanie równania kwadratowego. W przypadku, gdy dyskryminator jest ujemny, próbując użyć wzoru na pierwiastek równania kwadratowego, staniemy przed koniecznością wyodrębnienia Pierwiastek kwadratowy od liczby ujemnej, która wyprowadzi nas poza granice liczby rzeczywiste... W przypadku ujemnego wyróżnika równanie kwadratowe nie będzie miało pierwiastków rzeczywistych, ale możliwa jest para złożonych pierwiastków sprzężonych, określona przez te same formuły pierwiastkowe, które otrzymaliśmy.

Algorytm rozwiązywania równań kwadratowych za pomocą wzorów pierwiastkowych

Równanie kwadratowe można rozwiązać natychmiast za pomocą wzoru pierwiastka, ale w zasadzie robi się to, gdy konieczne jest znalezienie złożonych pierwiastków.

W większości przypadków jest to zwykle poszukiwanie nie złożonych, ale rzeczywistych pierwiastków równania kwadratowego. Wtedy optymalnie, przed zastosowaniem wzorów na pierwiastki równania kwadratowego, najpierw wyznaczyć dyskryminator i upewnić się, że nie jest ujemny (w przeciwnym razie dojdziemy do wniosku, że równanie nie ma pierwiastków rzeczywistych), a następnie przystąpić do obliczania wartości korzeni.

Powyższe rozumowanie umożliwia sformułowanie algorytmu rozwiązywania równania kwadratowego.

Definicja 10

Aby rozwiązać równanie kwadratowe a x 2 + b x + c = 0, niezbędny:

według wzoru D = b 2 - 4 a c znaleźć wartość dyskryminatora;
w D< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
dla D = 0 znajdź jedyny pierwiastek równania ze wzoru x = - b 2 · a;
dla D> 0 wyznacz dwa pierwiastki rzeczywiste równania kwadratowego ze wzoru x = - b ± D 2 · a.

Zauważ, że gdy dyskryminator wynosi zero, możesz użyć wzoru x = - b ± D 2 · a, da to ten sam wynik, co wzór x = - b 2 · a.

Spójrzmy na kilka przykładów.

Przykłady rozwiązywania równań kwadratowych

Podajmy rozwiązanie przykładów dla różne znaczenia dyskryminujący.

Przykład 6

Konieczne jest znalezienie pierwiastków równania x 2 + 2 x - 6 = 0.

Rozwiązanie

Zapisujemy współczynniki liczbowe równania kwadratowego: a = 1, b = 2 i c = - 6... Następnie działamy zgodnie z algorytmem, tj. zacznijmy obliczać dyskryminator, dla którego podstawiamy współczynniki a, b oraz C we wzorze dyskryminacyjnym: D = b 2 - 4 a c = 2 2 - 4 1 (- 6) = 4 + 24 = 28.

Tak więc otrzymaliśmy D> 0, co oznacza, że pierwotne równanie będzie miało dwa pierwiastki rzeczywiste.
Aby je znaleźć, używamy wzoru na pierwiastek x = - b ± D 2 · a i podstawiając odpowiednie wartości, otrzymujemy: x = - 2 ± 28 2 · 1. Uprośćmy wynikowe wyrażenie, wyjmując czynnik poza znak pierwiastka, a następnie zmniejszając ułamek:

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 lub x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 lub x = - 1 - 7

Odpowiedź: x = - 1 + 7, x = - 1 - 7.

Przykład 7

Konieczne jest rozwiązanie równania kwadratowego - 4 x 2 + 28 x - 49 = 0.

Rozwiązanie

Zdefiniujmy wyróżnik: D = 28 2 - 4 (- 4) (- 49) = 784 - 784 = 0... Przy tej wartości dyskryminatora oryginalne równanie będzie miało tylko jeden pierwiastek, określony wzorem x = - b 2 · a.

x = - 28 2 (- 4) x = 3, 5

Odpowiedź: x = 3, 5.

Przykład 8

Konieczne jest rozwiązanie równania 5 lat 2 + 6 lat + 2 = 0

Rozwiązanie

Współczynniki liczbowe tego równania będą wynosić: a = 5, b = 6 i c = 2. Używamy tych wartości do znalezienia dyskryminatora: D = b 2 - 4 · a · c = 6 2 - 4 · 5 · 2 = 36 - 40 = - 4. Obliczony wyróżnik jest ujemny, więc oryginalne równanie kwadratowe nie ma pierwiastków rzeczywistych.

W przypadku, gdy zadaniem jest wskazanie pierwiastków zespolonych, stosujemy wzór na pierwiastki, wykonując akcje na liczbach zespolonych:

x = - 6 ± - 4 2 5,

x = - 6 + 2 i 10 lub x = - 6 - 2 i 10,

x = - 3 5 + 1 5 · i lub x = - 3 5 - 15 · i.

Odpowiedź: brak ważnych korzeni; złożone pierwiastki są następujące: - 3 5 + 1 5 · i, - 3 5 - 1 5 · i.

V program nauczania Standardowo nie ma wymogu szukania pierwiastków złożonych, dlatego jeśli w trakcie rozwiązania wyróżnik zostanie określony jako ujemny, od razu wypisana jest odpowiedź, że nie ma pierwiastków rzeczywistych.

Wzór pierwiastka dla parzystych drugich współczynników

Wzór pierwiastka x = - b ± D 2 a (D = b 2 - 4 a n, na przykład 2 3 lub 14 ln 5 = 2 7 ln 5). Pokażmy, jak wywodzi się ten wzór.

Załóżmy, że mamy do czynienia z zadaniem znalezienia rozwiązania równania kwadratowego a x 2 + 2 n x + c = 0. Postępujemy zgodnie z algorytmem: wyznaczamy dyskryminator D = (2 n) 2 - 4 a c = 4 n 2 - 4 a c = 4 (n 2 - a c), a następnie używamy wzoru na pierwiastki:

x = - 2 n ± D 2 a, x = - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x = - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a ca.

Niech wyrażenie n 2 - a · c będzie oznaczone jako D 1 (czasami jest oznaczane przez D "). Wtedy wzór na pierwiastki rozważanego równania kwadratowego z drugim współczynnikiem 2 n przyjmie postać:

x = - n ± D 1 a, gdzie D 1 = n 2 - a · c.

Łatwo zauważyć, że D = 4 · D 1 lub D 1 = D 4. Innymi słowy, D 1 to jedna czwarta dyskryminatora. Oczywiście znak D 1 jest taki sam jak znak D, co oznacza, że znak D 1 może również służyć jako wskaźnik obecności lub braku pierwiastków równania kwadratowego.

Definicja 11

Tak więc, aby znaleźć rozwiązanie równania kwadratowego z drugim współczynnikiem 2 n, konieczne jest:

znajdź D 1 = n 2 - a · c;
w D 1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
gdy D 1 = 0, określ jedyny pierwiastek równania za pomocą wzoru x = - n a;
dla D 1> 0 określ dwa rzeczywiste pierwiastki według wzoru x = - n ± D 1 a.

Przykład 9

Konieczne jest rozwiązanie równania kwadratowego 5 x 2 - 6 x - 32 = 0.

Rozwiązanie

Drugi współczynnik danego równania można przedstawić jako 2 · (- 3). Następnie przepisujemy dane równanie kwadratowe jako 5 x 2 + 2 (- 3) x - 32 = 0, gdzie a = 5, n = - 3 i c = - 32.

Obliczamy czwartą część wyróżnika: D 1 = n 2 - a c = (- 3) 2 - 5 (- 32) = 9 + 160 = 169. Otrzymana wartość jest dodatnia, co oznacza, że równanie ma dwa pierwiastki rzeczywiste. Zdefiniujmy je zgodnie z odpowiednią formułą pierwiastka:

x = - n ± D 1 a, x = - - 3 ± 169 5, x = 3 ± 13 5,

x = 3 + 13 5 lub x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 lub x = - 2

Możliwe byłoby przeprowadzenie obliczeń przy użyciu zwykłego wzoru na pierwiastki równania kwadratowego, ale w tym przypadku rozwiązanie byłoby bardziej kłopotliwe.

Odpowiedź: x = 3 1 5 lub x = - 2.

Upraszczanie widoku równań kwadratowych

Czasami można zoptymalizować formę pierwotnego równania, co uprości proces obliczania pierwiastków.

Na przykład równanie kwadratowe 12 x 2 - 4 x - 7 = 0 jest wyraźnie wygodniejsze do rozwiązania niż 1200 x 2 - 400 x - 700 = 0.

Częściej uproszczenie formy równania kwadratowego odbywa się poprzez pomnożenie lub podzielenie obu jego części przez określoną liczbę. Na przykład powyżej pokazaliśmy uproszczoną reprezentację równania 1200 x 2 - 400 x - 700 = 0, uzyskaną przez podzielenie obu jego części przez 100.

Taka transformacja jest możliwa, gdy współczynniki równania kwadratowego nie są wzajemnie liczby pierwsze... Wtedy zwykle obie strony równania są dzielone przez największy wspólny dzielnik bezwzględnych wartości jego współczynników.

Jako przykład użyj równania kwadratowego 12 x 2 - 42 x + 48 = 0. Określ gcd bezwzględnych wartości jego współczynników: gcd (12, 42, 48) = gcd (gcd (12, 42), 48) = gcd (6, 48) = 6. Dzielimy obie strony pierwotnego równania kwadratowego przez 6 i otrzymujemy równoważne równanie kwadratowe 2 x 2 - 7 x + 8 = 0.

Mnożąc obie strony równania kwadratowego, zwykle pozbywasz się współczynników ułamkowych. W tym przypadku pomnóż przez najmniejszą wspólną wielokrotność mianowników jej współczynników. Na przykład, jeśli każda część równania kwadratowego 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 = 0 zostanie pomnożona przez LCM (6, 3, 1) = 6, to zostanie zapisana w więcej prosta forma x 2 + 4 x - 18 = 0.

Na koniec zauważamy, że prawie zawsze pozbywamy się minusa przy pierwszym współczynniku równania kwadratowego, zmieniając znaki każdego członu równania, co osiąga się przez pomnożenie (lub podzielenie) obu części przez - 1. Na przykład z równania kwadratowego - 2 x 2 - 3 x + 7 = 0, możesz przejść do jego uproszczonej wersji 2 x 2 + 3 x - 7 = 0.

Związek między pierwiastkami a współczynnikami

Znany już wzór na pierwiastki równań kwadratowych x = - b ± D 2 · a wyraża pierwiastki równania w postaci jego współczynników liczbowych. Na podstawie tego wzoru jesteśmy w stanie określić inne zależności między pierwiastkami a współczynnikami.

Najbardziej znane i mające zastosowanie są formuły twierdzenia Vieta:

x 1 + x 2 = - b a i x 2 = c a.

W szczególności dla danego równania kwadratowego suma pierwiastków jest drugim współczynnikiem o przeciwnym znaku, a iloczyn pierwiastków jest równy członowi wolnemu. Na przykład w postaci równania kwadratowego 3 x 2 - 7 x + 22 = 0 można od razu określić, że suma jego pierwiastków wynosi 7 3, a iloczyn pierwiastków wynosi 22 3.

Możesz także znaleźć szereg innych relacji między pierwiastkami a współczynnikami równania kwadratowego. Na przykład sumę kwadratów pierwiastków równania kwadratowego można wyrazić za pomocą współczynników:

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - ba 2 - 2 ca = b 2 a 2 - 2 ca = b 2 - 2 a ca 2.

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl + Enter

Kopyevskaya średnia wiejska Szkoła ogólnokształcąca

10 sposobów rozwiązywania równań kwadratowych

Kierownik: Galina Anatolyevna Patrikeyeva,

nauczyciel matematyki

wieś Kopiewo, 2007

1. Historia rozwoju równań kwadratowych

1.1 Równania kwadratowe w starożytnym Babilonie

1.2 Jak Diophantus skompilował i rozwiązał równania kwadratowe

1.3 Równania kwadratowe w Indiach

1.4 Równania kwadratowe z al-Khorezmi

1.5 Równania kwadratowe w Europie XIII - XVII wiek

1.6 O twierdzeniu Viety

2. Metody rozwiązywania równań kwadratowych

Wniosek

Literatura

1. Historia rozwoju równań kwadratowych

1.1 Równania kwadratowe w starożytnym Babilonie

Konieczność rozwiązywania równań nie tylko pierwszego, ale i drugiego stopnia nawet w starożytności była spowodowana koniecznością rozwiązywania problemów związanych ze znajdowaniem obszarów działki oraz z robotami ziemnymi o charakterze wojskowym, a także z rozwojem samej astronomii i matematyki. Byli w stanie rozwiązać równania kwadratowe około 2000 roku p.n.e. mi. Babilończycy.

Stosując nowoczesne notacja algebraiczna, możemy powiedzieć, że w ich tekstach klinowych występują, oprócz niepełnych, np. zupełne równania kwadratowe:

x 2 + x = ¾; x 2 - x = 14,5

Reguła rozwiązywania tych równań, przedstawiona w tekstach babilońskich, zasadniczo pokrywa się z regułą współczesną, ale nie wiadomo, w jaki sposób Babilończycy doszli do tej reguły. Prawie wszystkie odnalezione dotąd teksty klinowe dają jedynie problemy z rozwiązaniami określonymi w formie przepisów, bez instrukcji, jak je znaleźć.

Pomimo wysoki poziom rozwój algebry w Babilonie, w tekstach klinowych brakuje koncepcji liczby ujemnej i ogólnych metod rozwiązywania równań kwadratowych.

1.2 Jak Diophantus skompilował i rozwiązał równania kwadratowe.

W „Arytmetyce” Diofantusa nie ma systematycznej prezentacji algebry, ale zawiera ona usystematyzowany ciąg problemów, któremu towarzyszą wyjaśnienia i rozwiązywane są przez sporządzenie równań o różnym stopniu.

Podczas sporządzania równań Diophantus umiejętnie wybiera niewiadome, aby uprościć rozwiązanie.

Oto na przykład jedno z jego zadań.

Problem 11.„Znajdź dwie liczby, wiedząc, że ich suma wynosi 20, a iloczyn 96”

Diophantus argumentuje następująco: ze stwierdzenia problemu wynika, że poszukiwane liczby nie są równe, bo gdyby były równe, to ich iloczyn byłby równy nie 96, lecz 100. Zatem jedna z nich będzie większa niż połowa ich sumy, czyli ... 10 + x, drugi jest mniejszy, tj. 10 - x... Różnica między nimi 2x .

Stąd równanie:

(10 + x) (10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

Stąd x = 2... Jedna z wymaganych liczb to 12 , inny 8 ... Rozwiązanie x = -2 bo Diofant nie istnieje, ponieważ matematyka grecka znała tylko liczby dodatnie.

Jeśli rozwiążemy ten problem, wybierając jedną z wymaganych liczb jako niewiadomą, dochodzimy do rozwiązania równania

r (20 - r) = 96,

r 2 - 20 lat + 96 = 0. (2)

Jasne jest, że wybierając połowę różnicy poszukiwanych liczb jako niewiadomą, Diophantus upraszcza rozwiązanie; udaje mu się zredukować problem do rozwiązania niepełnego równania kwadratowego (1).

1.3 Równania kwadratowe w Indiach

ach 2 + b x = c, a> 0. (1)

W równaniu (1) współczynniki, z wyjątkiem a, może być ujemna. Zasada Brahmagupty jest zasadniczo taka sama jak nasza.

W starożytnych Indiach powszechne było publiczne współzawodnictwo w rozwiązywaniu trudnych problemów. Jedna ze starożytnych indyjskich ksiąg mówi o takich konkursach: „Jak słońce swoim blaskiem zaćmie gwiazdy, tak naukowiec przyćmi chwałę innych w zgromadzeniach publicznych, proponując i rozwiązując problemy algebraiczne.” Zadania często ubierano w poetycką formę.

Oto jedno z zadań słynnego indyjskiego matematyka z XII wieku. Bhaskarowie.

Problem 13.

„Rozbrykane stado małp I dwanaście nad winoroślą…

Po zjedzeniu mocy, dobra zabawa. Zaczęli skakać, wisząc ...

Jest ich ósma część na kwadracie Ile tam było małp,

Bawiłem się na polanie. Mówisz mi, w tej paczce?

Rozwiązanie Bhaskary wskazuje, że wiedział o dwuwartościowych pierwiastkach równań kwadratowych (ryc. 3).

Równanie odpowiadające zadaniu 13:

( x /8) 2 + 12 = x

Bhaskara pisze pod pozorem:

x 2 - 64x = -768

i aby uzupełnić lewą stronę tego równania do kwadratu, dodaje do obu stron 32 2 , a następnie uzyskanie:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48.

1.4 Równania kwadratowe dla al - Khorezmi

W traktacie algebraicznym al - Khorezmi podana jest klasyfikacja równań liniowych i kwadratowych. Autor liczy 6 rodzajów równań, wyrażając je następująco:

1) „Kwadraty są równe pierwiastkom”, tj. topór 2 + c = b X.

2) „Kwadraty są równe liczbie”, tj. topór 2 = c.

3) „Korzenie są równe liczbie”, tj. ah = c.

4) „Kwadraty i liczby są równe pierwiastkom”, tj. topór 2 + c = b X.

5) „Kwadraty i pierwiastki są równe liczbie”, tj. ach 2 + bx = s.

6) „Pierwiastki i liczby są równe kwadratom”, tj. bx + c = topór 2.

Dla al-Khorezmi, który unikał używania liczb ujemnych, warunki każdego z tych równań są dodatkami, a nie odejmowanymi. W tym przypadku równania, które nie mają pozytywnych rozwiązań, z pewnością nie są brane pod uwagę. Autor nakreśla sposoby rozwiązania tych równań, wykorzystując techniki al-jabr i al-muqabal. Jego decyzja oczywiście nie pokrywa się całkowicie z naszą. Pomijając fakt, że jest to czysto retoryczne, należy zauważyć na przykład, że przy rozwiązywaniu niepełnego równania kwadratowego pierwszego typu

al - Khorezmi, jak wszyscy matematycy do XVII wieku, nie uwzględnia rozwiązania zerowego, prawdopodobnie dlatego, że nie ma to znaczenia w konkretnych problemach praktycznych. Rozwiązując pełne równania kwadratowe, al-Khorezmi, używając konkretnych przykładów liczbowych, określa zasady rozwiązywania, a następnie dowodów geometrycznych.

Problem 14.„Kwadrat i liczba 21 są równe 10 pierwiastkom. Znajdź korzeń ” (implikuje pierwiastek równania x 2 + 21 = 10x).

Autorskie rozwiązanie brzmi mniej więcej tak: podziel liczbę pierwiastków na pół, otrzymasz 5, pomnóż 5 przez siebie, odejmij 21 od iloczynu, będzie 4. Wyodrębnij pierwiastek z 4, otrzymasz 2. Odejmij 2 od 5 , otrzymasz 3, to będzie pożądany korzeń. Lub dodaj 2 do 5, co daje 7, to też jest pierwiastek.

Traktat al - Khorezmi jest pierwszą książką, która do nas dotarła, w której systematycznie przedstawiana jest klasyfikacja równań kwadratowych i podane są wzory na ich rozwiązanie.

1.5 Równania kwadratowe w Europie XIII - Xvii cc

Wzory rozwiązywania równań kwadratowych na modelu al-Khorezmi w Europie zostały po raz pierwszy przedstawione w „Księdze Liczydła”, napisanej w 1202 r. przez włoskiego matematyka Leonardo Fibonacciego. To obszerne dzieło, które odzwierciedla wpływ matematyki, zarówno krajów islamu, jak i Starożytna Grecja, różni się zarówno kompletnością, jak i przejrzystością prezentacji. Autor sam opracował kilka nowych. przykłady algebraiczne rozwiązywania problemów i jako pierwszy w Europie podszedł do wprowadzenia liczb ujemnych. Jego książka przyczyniła się do upowszechnienia wiedzy algebraicznej nie tylko we Włoszech, ale także w Niemczech, Francji i innych krajach europejskich. Wiele problemów z „Księgi liczydła” zostało przeniesionych do prawie wszystkich europejskich podręczników XVI-XVII wieku. a częściowo XVIII.

Ogólna zasada rozwiązywania równań kwadratowych sprowadzonych do jednej postaci kanonicznej:

x 2 + bx = s,

ze wszystkimi możliwymi kombinacjami znaków kursów b , Z został sformułowany w Europie dopiero w 1544 r. przez M. Stiefela.

Wyprowadzenie wzoru na rozwiązanie równania kwadratowego w ogólna perspektywa jest w Viet, jednak Viet rozpoznał tylko pozytywne korzenie. Włoscy matematycy Tartaglia, Cardano, Bombelli byli jednymi z pierwszych w XVI wieku. Zastanów się, oprócz pozytywnych i negatywnych korzeni. Dopiero w XVII wieku. Dzięki pracy Girarda, Kartezjusza, Newtona i innych sposób naukowców rozwiązanie równań kwadratowych przybiera nowoczesną formę.

1.6 O twierdzeniu Viety

Twierdzenie wyrażające zależność między współczynnikami równania kwadratowego a jego pierwiastkami, nazwane Vieta, zostało przez niego po raz pierwszy sformułowane w 1591 r. w następujący sposób: „Jeśli b + D pomnożone przez A - A 2 , równa się BD, następnie A równa się V i równe D ».

Aby zrozumieć Vieta, należy o tym pamiętać A, jak każda samogłoska, oznaczało dla niego nieznane (nasz x), samogłoski V, D- współczynniki dla nieznanego. W języku współczesnej algebry powyższe sformułowanie Viety oznacza: if

(+ b ) x - x 2 = ab ,

x 2 - (+ b ) x + a b = 0,

x 1 = a, x 2 = b .

Wyrażając związek między pierwiastkami a współczynnikami równań za pomocą ogólnych wzorów zapisanych za pomocą symboli, Viet ustalił jednolitość w metodach rozwiązywania równań. Jednak symbolika Viety jest wciąż daleka od nowoczesny wygląd... Nie rozpoznawał liczb ujemnych i dlatego przy rozwiązywaniu równań brał pod uwagę tylko przypadki, w których wszystkie pierwiastki są dodatnie.

2. Metody rozwiązywania równań kwadratowych

Równania kwadratowe są podstawą, na której opiera się wspaniały gmach algebry. Znajdź równania kwadratowe szerokie zastosowanie przy rozwiązywaniu równań i nierówności trygonometrycznych, wykładniczych, logarytmicznych, irracjonalnych i transcendentalnych. Wszyscy wiemy, jak rozwiązywać równania kwadratowe od szkoły (8. klasa), aż do matury.

Yakupova MI 1

Smirnova Yu.V. jeden

1 Budżet gminy instytucja edukacyjna gimnazjum nr 11

Tekst pracy jest umieszczony bez obrazów i wzorów.
Pełna wersja praca dostępna jest w zakładce "Pliki prac" w formacie PDF

Historia równań kwadratowych

Babilon

Konieczność rozwiązywania równań nie tylko pierwszego stopnia, ale i drugiego już w starożytności była spowodowana potrzebą rozwiązywania problemów związanych ze znajdowaniem obszarów lądu, z rozwojem samej astronomii i matematyki. Byli w stanie rozwiązać równania kwadratowe około 2000 roku p.n.e. mi. Babilończycy. Zasady rozwiązywania tych równań, przedstawione w tekstach babilońskich, zasadniczo pokrywają się z zasadami współczesnymi, ale w tych tekstach brakuje koncepcji liczby ujemnej i ogólnych metod rozwiązywania równań kwadratowych.

Starożytna Grecja

Naukowcy, tacy jak Diophantus, Euclid i Heron, byli również zaangażowani w rozwiązywanie równań kwadratowych w starożytnej Grecji. Diophantus Diophantus z Aleksandrii jest starożytnym greckim matematykiem, który prawdopodobnie żył w III wieku naszej ery. Głównym dziełem Diofantusa jest „Arytmetyka” w 13 książkach. Euklidesa. Euklides jest starożytnym greckim matematykiem, autorem pierwszego traktatu teoretycznego o matematyce, który dotarł do nas, Heron. Heron jest greckim matematykiem i inżynierem po raz pierwszy w Grecji w I wieku naszej ery. daje czysto algebraiczny sposób rozwiązania równania kwadratowego

Indie

Problemy z równaniami kwadratowymi napotkano już w traktacie astronomicznym „Aryabhattiam”, opracowanym w 499 r. przez indyjskiego matematyka i astronoma Aryabhattę. Inny indyjski naukowiec, Brahmagupta (VII w.), nakreślił ogólną zasadę rozwiązywania równań kwadratowych sprowadzonych do pojedynczej postaci kanonicznej: ax2 + bx = c, a> 0. (1) W równaniu (1) współczynniki mogą być ujemne. Zasada Brahmagupty jest zasadniczo taka sama jak nasza. W Indiach powszechna była publiczna rywalizacja o trudne problemy. Jedna ze starych indyjskich książek mówi o takich konkursach: „Jak słońce swym blaskiem zaćmie gwiazdy, tak uczony człowiek przyćmi chwałę w popularnych zgromadzeniach, proponując i rozwiązując problemy algebraiczne”. Zadania często ubierano w poetycką formę.

Oto jedno z zadań słynnego indyjskiego matematyka z XII wieku. Bhaskarowie.

„Rozbrykane stado małp

A dwanaście lian zjadłem z całej siły, dobrze się bawiłem

Zaczęli skakać, wisząc

Część ósma do kwadratu

Ile tam było małp

Bawiłem się na polanie

Mówisz mi, w tej paczce?

Rozwiązanie Bhaskary wskazuje, że autor wiedział o dwuwartościowych pierwiastkach równań kwadratowych. Równanie Bhaskara odpowiadające zagadnieniu jest zapisane pod postacią x2 - 64x = - 768 i aby uzupełnić lewą stronę tego równania do kwadratu, dodaje 322 do obu stron, otrzymując w ten sposób: x2 - b4x + 322 = -768 + 1024, (x - 32) 2 = 256, x - 32 = ± 16, x1 = 16, x2 = 48.

Równania kwadratowe w XVII-wiecznej Europie

Wzory rozwiązywania równań kwadratowych na modelu Al-Khorezmi w Europie zostały po raz pierwszy przedstawione w „Księdze Abacus”, napisanej w 1202 r. przez włoskiego matematyka Leonardo Fibonacciego. To obszerne dzieło, odzwierciedlające wpływ matematyki zarówno w krajach islamu, jak iw starożytnej Grecji, wyróżnia się zarówno kompletnością, jak i przejrzystością prezentacji. Autor samodzielnie opracował kilka nowych algebraicznych przykładów rozwiązywania problemów i jako pierwszy w Europie podszedł do wprowadzania liczb ujemnych. Jego książka przyczyniła się do upowszechnienia wiedzy algebraicznej nie tylko we Włoszech, ale także w Niemczech, Francji i innych krajach europejskich. Wiele problemów z „Księgi liczydła” zostało przeniesionych do prawie wszystkich europejskich podręczników XVI-XVII wieku. a częściowo XVIII. Wyprowadzenie wzoru na rozwiązanie równania kwadratowego w postaci ogólnej jest dostępne w Viet, jednak Viet rozpoznał tylko pierwiastki dodatnie. Włoscy matematycy Tartaglia, Cardano, Bombelli byli jednymi z pierwszych w XVI wieku. Zastanów się, oprócz pozytywnych i negatywnych korzeni. Dopiero w XVII wieku. Dzięki pracy Girarda, Kartezjusza, Newtona i innych naukowców metoda rozwiązywania równań kwadratowych nabiera nowoczesnej postaci.

Definicja równania kwadratowego

Równanie postaci ax 2 + bx + c = 0, gdzie a, b, c są liczbami, nazywamy kwadratem.

Współczynniki równania kwadratowego

Liczby a, b, c to współczynniki równania kwadratowego. A to pierwszy współczynnik (przed x²), a ≠ 0; b to drugi współczynnik (przed x); c to człon swobodny (bez x).

Które z podanych równań nie są kwadratowe??

1. 4x² + 4x + 1 = 0; 2. 5x - 7 = 0; 3. - x² - 5x - 1 = 0; 4. 2 / x² + 3x + 4 = 0; 5. ¼ x² - 6x + 1 = 0; 6. 2x² = 0;

7,4x² + 1 = 0; 8. x² - 1 / x = 0; 9. 2x² - x = 0; 10. x² -16 = 0; 11. 7x² + 5x = 0; 12. -8x² = 0; 13. 5x³ + 6x -8 = 0.

Rodzaje równań kwadratowych

Nazwa	Ogólny widok równania	Cecha (jakie są współczynniki)	Przykłady równań
	topór 2 + bx + c = 0	a, b, c - liczby inne niż 0	1 / 3x 2 + 5x - 1 = 0
Niekompletny

			x 2 - 1 / 5x = 0
Dany	x 2 + bx + c = 0		x 2 - 3x + 5 = 0

Zmniejszony nazywa się równaniem kwadratowym, w którym wiodący współczynnik jest równy jeden. Takie równanie można otrzymać dzieląc całe wyrażenie przez wiodący współczynnik a:

x 2 + px + q = 0, p = b / a, q = c / a

Takie równanie kwadratowe nazywa się zupełnym, którego wszystkie współczynniki są niezerowe.

Niekompletne to równanie kwadratowe, w którym co najmniej jeden ze współczynników, z wyjątkiem wiodącego (albo drugiego współczynnika, albo wyrazu wolnego) jest równy zero.

Metody rozwiązywania równań kwadratowych

Metoda I. Ogólny wzór na obliczanie pierwiastków

Aby znaleźć pierwiastki równania kwadratowego topór 2 + b + c = 0 generalnie należy zastosować następujący algorytm:

Oblicz wartość wyróżnika równania kwadratowego: nazywa się to wyrażeniem D = b 2 - 4ac

Wyprowadzenie wzoru:

Notatka: jest oczywiste, że wzór na pierwiastek krotności 2 jest szczególnym przypadkiem wzoru ogólnego, otrzymanego przez podstawienie do niego równości D = 0 i wniosku, że w D0 nie ma pierwiastków rzeczywistych oraz (displaystyle (sqrt ( -1)) = ja) = ja.

Opisana metoda jest uniwersalna, ale daleka od jedynej. Do rozwiązania jednego równania można podejść na różne sposoby, preferencje zwykle zależą od tego najbardziej decydującego. Ponadto często do tego niektóre metody okazują się znacznie bardziej eleganckie, proste, mniej czasochłonne niż standardowa.

Metoda II. Pierwiastki kwadratowe o równym współczynniku b Metoda III. Rozwiązywanie niekompletnych równań kwadratowych

Metoda IV. Stosując częściowe stosunki współczynników

Istnieją szczególne przypadki równań kwadratowych, w których współczynniki są ze sobą powiązane, co znacznie ułatwia ich rozwiązywanie.

Pierwiastki równania kwadratowego, w którym suma wiodącego współczynnika i wyrazu wolnego jest równa drugiemu współczynnikowi

Jeśli w równaniu kwadratowym topór 2 + bx + c = 0 suma pierwszego współczynnika i członu wolnego jest równa drugiemu współczynnikowi: a + b = c, to jego pierwiastki to -1 i liczba przeciwna do stosunku wyrazu wolnego do wiodącego współczynnika ( -c / a).

Dlatego przed rozwiązaniem dowolnego równania kwadratowego należy sprawdzić możliwość zastosowania do niego tego twierdzenia: porównać sumę wiodącego współczynnika i członu wolnego z drugim współczynnikiem.

Pierwiastki równania kwadratowego, którego suma wszystkich współczynników jest równa zero

Jeżeli w równaniu kwadratowym suma wszystkich jego współczynników wynosi zero, to pierwiastki takiego równania wynoszą 1, a stosunek wyrazu wolnego do wiodącego współczynnika ( c / a).

Dlatego przed rozwiązaniem równania standardowymi metodami należy sprawdzić przydatność tego twierdzenia do niego: dodać wszystkie współczynniki tego równania i sprawdzić, czy suma ta jest równa zeru.

Metoda V. Rozkład trójmianu kwadratowego na czynniki liniowe

Jeśli trójka formy (displaystyle ax ^ (2) + bx + c (anot = 0)) ax 2 + bx + c (a 0) można w jakiś sposób przedstawić jako iloczyn czynników liniowych (displaystyle (kx + m) (lx + n) = 0) (kx + m) (lx + n), wtedy można znaleźć pierwiastki równania topór 2 + bx + c = 0- będą to rzeczywiście -m / k i n / l, ponieważ (styl wyświetlania (kx + m) (lx + n) = 0Longleftrightarrow kx + m = 0kubek lx + n = 0) (kx + m) (lx + n) = 0 kx + mUlx + n, a po rozwiązaniu wskazanego równania liniowe, otrzymujemy powyższe. Zauważ, że trójmian kwadratowy nie zawsze rozkłada się na czynniki liniowe o rzeczywistych współczynnikach: jest to możliwe, jeśli odpowiednie równanie ma rzeczywiste pierwiastki.

Rozważmy kilka szczególnych przypadków

Używając wzoru na sumę kwadratów (różnicę)

Jeśli trójmian kwadratowy ma postać (displaystyle (ax) ^ (2) + 2abx + b ^ (2)) ax 2 + 2abx + b 2, to stosując do niego powyższy wzór, możemy rozłożyć go na czynniki liniowe i, dlatego znajdź korzenie:

(ax) 2 + 2abx + b 2 = (ax + b) 2

Ekstrakcja pełnego kwadratu sumy (różnica)

Ponadto nazwana formuła jest używana przy użyciu metody zwanej „podświetlaniem pełnego kwadratu sumy (różnicy)”. W odniesieniu do danego równania kwadratowego z wprowadzonymi wcześniej oznaczeniami oznacza to:

Notatka: jeśli zauważyłeś, ta formuła pokrywa się z tą zaproponowaną w sekcji „Pierwiastki zredukowanego równania kwadratowego”, które z kolei można uzyskać ze wzoru ogólnego (1), zastępując równość a = 1. Fakt ten nie jest tylko zbiegiem okoliczności: za pomocą opisanej metody, po dokonaniu jednak dodatkowego rozumowania, można wyprowadzić ogólną formułę, a także udowodnić właściwości wyróżnika.

VI metoda. Korzystanie z bezpośredniego i odwrotnego twierdzenia Viety

Bezpośrednie twierdzenie Viety (patrz niżej w sekcji o tej samej nazwie) i jego twierdzenie odwrotne pozwalają ustnie rozwiązać zredukowane równania kwadratowe, bez uciekania się do dość nieporęcznych obliczeń za pomocą wzoru (1).

Zgodnie z twierdzeniem odwrotnym dowolna para liczb (liczba) (displaystyle x_ (1), x_ (2)) x 1, x 2, będąca rozwiązaniem poniższego układu równań, jest pierwiastkiem równania

W ogólnym przypadku, to znaczy dla bezprecedensowego równania kwadratowego ax 2 + bx + c = 0

x 1 + x 2 = -b / a, x 1 * x 2 = c / a

Twierdzenie bezpośrednie pomoże znaleźć liczby ustne spełniające te równania. Z jego pomocą możesz określić oznaki korzeni bez znajomości samych korzeni. Aby to zrobić, powinieneś kierować się zasadą:

1) jeżeli wyraz wolny jest ujemny, to pierwiastki mają różne znaki, a największą wartością bezwzględną pierwiastków jest znak przeciwny do znaku drugiego współczynnika równania;

2) jeśli wyraz wolny jest dodatni, to oba pierwiastki mają ten sam znak i jest to znak przeciwny drugiego współczynnika.

VII metoda. Metoda transferu

Tak zwana metoda „przeniesienia” pozwala sprowadzić rozwiązanie nieredukowane i nieprzekształcalne do postaci zredukowanej współczynnikami całkowitymi poprzez podzielenie ich przez współczynnik wiodący równań do rozwiązania zredukowanego współczynnikami całkowitymi. Wygląda to następująco:

Następnie rozwiąż równanie ustnie, jak opisano powyżej, a następnie wróć do pierwotnej zmiennej i znajdź pierwiastki równań (displaystyle y_ (1) = ax_ (1)) tak 1 = topór 1 oraz tak 2 = topór 2 (styl wyświetlania y_ (2) = ax_ (2))

Znaczenie geometryczne

Wykres funkcji kwadratowej to parabola. Rozwiązania (pierwsze) równania kwadratowego nazywane są odciętymi punktów przecięcia paraboli z osią odciętych. Jeśli parabola została opisana funkcja kwadratowa, nie przecina się z osią odciętych, równanie nie ma prawdziwych pierwiastków. Jeśli parabola przecina odciętą w jednym punkcie (na wierzchołku paraboli), równanie ma jeden pierwiastek rzeczywisty (mówi się również, że równanie ma dwa pokrywające się pierwiastki). Jeśli parabola przecina oś odciętych w dwóch punktach, równanie ma dwa rzeczywiste pierwiastki (patrz obrazek po prawej).

Jeśli współczynnik (displaystyle a) a pozytywne, gałęzie paraboli są skierowane w górę i odwrotnie. Jeżeli współczynnik (styl wyświetlania b) b dodatni (z pozytywem (styl wyświetlania a) a, dla negatywu, na odwrót), to wierzchołek paraboli leży w lewej półpłaszczyźnie i na odwrót.

Zastosowanie równań kwadratowych w życiu

Równanie kwadratowe jest szeroko rozpowszechnione. Znajduje zastosowanie w wielu obliczeniach, konstrukcjach, sporcie, a także wokół nas.

Rozważmy i podajmy kilka przykładów zastosowania równania kwadratowego.

Sport. Skoki wzwyż: kiedy skoczek startuje, obliczenia związane z parabolą są wykorzystywane do najdokładniejszego trafienia w poprzeczkę startową i wysokiego lotu.

Również przy rzucaniu potrzebne są podobne obliczenia. Zasięg lotu obiektu zależy od równania kwadratowego.

Astronomia. Trajektorię planet można znaleźć za pomocą równania kwadratowego.

Lot samolotem. Start samolotu jest głównym elementem lotu. Tutaj obliczenia są wykonywane dla małego oporu i przyspieszenia startowego.

Równania kwadratowe są również wykorzystywane w różnych dyscyplinach ekonomicznych, w programach do przetwarzania dźwięku, wideo, grafiki wektorowej i rastrowej.

Wniosek

W wyniku przeprowadzonych prac okazało się, że równania kwadratowe przyciągały naukowców już w starożytności, spotykali się już z nimi przy rozwiązywaniu niektórych problemów i próbowali je rozwiązać. Rozważając różne sposoby rozwiązując równania kwadratowe doszedłem do wniosku, że nie wszystkie z nich są proste. Moim zdaniem najbardziej Najlepszym sposobem rozwiązywanie równań kwadratowych to rozwiązanie za pomocą wzorów. Formuły są łatwe do zapamiętania, ta metoda jest uniwersalna. Potwierdziła się hipoteza, że równania są szeroko stosowane w życiu i matematyce. Po przestudiowaniu tematu wiele się nauczyłem interesujące fakty o równaniach kwadratowych, ich zastosowaniu, zastosowaniu, rodzajach, rozwiązaniach. I z przyjemnością będę je dalej studiował. Mam nadzieję, że to pomoże mi dobrze sobie radzić na egzaminach.

Lista wykorzystanej literatury

Materiały strony:

Wikipedia

Otwórz lekcję.rf

Podręcznik matematyki elementarnej Vygodsky M. Ya.