Wyrażenia dosłowne. Jak uprościć wyrażenie matematyczne

Wiadomo, że w matematyce nie można obejść się bez upraszczania wyrażeń. Jest to niezbędne do poprawnego i szybkiego rozwiązywania różnorodnych problemów, a także różnego rodzaju równań. Omawiane uproszczenie implikuje zmniejszenie liczby działań niezbędnych do osiągnięcia celu. Dzięki temu obliczenia są zauważalnie uproszczone, a czas znacznie zaoszczędzony. Ale jak uprościć wyrażenie? W tym celu wykorzystywane są ustalone zależności matematyczne, często nazywane wzorami lub prawami, które pozwalają na znacznie krótsze wyrażenia, co upraszcza obliczenia.

Nie jest tajemnicą, że dziś nie jest trudno uprościć wyrażenie online. Oto linki do niektórych z bardziej popularnych:

Nie jest to jednak możliwe z każdym wyrażeniem. Dlatego bardziej szczegółowo rozważymy bardziej tradycyjne metody.

Wyjęcie wspólnego dzielnika

W przypadku, gdy w jednym wyrażeniu występują jednomiany, które mają te same współczynniki, można z nimi znaleźć sumę współczynników, a następnie pomnożyć je przez wspólny dla nich czynnik. Ta operacja jest również nazywana „odejmowaniem wspólnego dzielnika”. Konsekwentnie stosując tę metodę, czasami można znacznie uprościć wyrażenie. W końcu, ogólnie rzecz biorąc, algebra opiera się na grupowaniu i przegrupowywaniu czynników i dzielników.

Najprostsze wzory na skrócone mnożenie

Jedną z konsekwencji opisanej wcześniej metody są zredukowane formuły mnożenia. Jak uprościć wyrażenia za ich pomocą, jest o wiele jaśniejsze dla tych, którzy nawet nie nauczyli się tych formuł na pamięć, ale wiedzą, skąd się biorą, czyli skąd pochodzą, a zatem ich matematyczną naturę. W zasadzie poprzednie stwierdzenie pozostaje aktualne w całej matematyce współczesnej, od pierwszej klasy po wyższe kierunki na wydziałach Mechaniki i Matematyki. Różnica kwadratów, kwadrat różnicy i sumy, suma i różnica sześcianów - wszystkie te wzory są szeroko stosowane w matematyce elementarnej, jak i wyższej, w przypadkach, gdy konieczne jest uproszczenie wyrażenia w celu rozwiązania problemów . Przykłady takich przekształceń można łatwo znaleźć w każdym podręczniku szkolnym do algebry lub, jeszcze prościej, w przestrzeniach ogólnoświatowej sieci.

Korzenie stopnia

Matematyka elementarna, jeśli spojrzeć na nią jako na całość, jest uzbrojona w nie tak wiele sposobów na uproszczenie wyrażenia. Stopnie i działania z nimi z reguły są stosunkowo łatwe dla większości studentów. Dopiero teraz wielu współczesnych uczniów i studentów ma znaczne trudności, gdy konieczne jest uproszczenie wyrażenia z korzeniami. I jest to całkowicie bezpodstawne. Bo matematyczna natura pierwiastków nie różni się od natury samych stopni, z którymi z reguły jest znacznie mniej trudności. Wiadomo, że Pierwiastek kwadratowy liczby, zmiennej lub wyrażenia jest niczym innym jak tą samą liczbą, zmienną lub wyrażeniem do potęgi połowy, pierwiastek sześcienny jest taki sam do potęgi jednej trzeciej i tak dalej.

Upraszczanie wyrażeń z ułamkami

Rozważ także typowy przykład uproszczenia wyrażenia za pomocą ułamków. W przypadkach, gdy wyrażenia są ułamkami naturalnymi, należy odróżnić dzielnik wspólny od mianownika i licznika, a następnie ułamek należy o niego pomniejszyć. Gdy jednomiany mają te same czynniki podniesione do potęgi, konieczne jest monitorowanie równości potęg podczas ich sumowania.

Uproszczenie najprostszych wyrażeń trygonometrycznych

Niektóre z nich to rozmowa o tym, jak uprościć wyrażenie trygonometryczne. Najszersza sekcja trygonometrii jest być może pierwszym etapem, na którym studenci matematyki zetkną się z nieco abstrakcyjnymi pojęciami, problemami i metodami ich rozwiązywania. Oto odpowiadające im formuły, z których pierwszym jest podstawowa tożsamość trygonometryczna. Mając wystarczające nastawienie matematyczne, można prześledzić systematyczne wyprowadzenie z tej tożsamości wszystkich głównych tożsamości trygonometryczne i formuły, w tym formuły na różnicę i sumę argumentów, argumenty podwójne, potrójne, formuły redukcyjne i wiele innych. Oczywiście nie należy tutaj zapominać o pierwszych metodach, takich jak wyjęcie wspólnego czynnika, które są w pełni wykorzystywane wraz z nowymi metodami i formułami.

Podsumowując, oto kilka ogólnych wskazówek dla czytelnika:

Wielomiany powinny być rozkładane na czynniki, to znaczy powinny być reprezentowane w postaci iloczynu pewnej liczby czynników - jednomianów i wielomianów. Jeśli jest taka możliwość, należy wyjąć z nawiasów czynnik wspólny.
Lepiej zapamiętać wszystkie skrócone wzory mnożenia bez wyjątku. Nie ma ich zbyt wiele, ale są podstawą upraszczania wyrażeń matematycznych. Nie zapomnij też o sposobie selekcji. pełne kwadraty w trójmianach, co jest działaniem odwrotnym do jednego ze skróconych wzorów mnożenia.
Wszystkie istniejące ułamki w wyrażeniu powinny być zmniejszane tak często, jak to możliwe. Czyniąc to, nie zapominaj, że zmniejszane są tylko mnożniki. W przypadku, gdy mianownik i licznik ułamków algebraicznych są pomnożone przez tę samą liczbę, która różni się od zera, wartości ułamków nie ulegają zmianie.
Ogólnie rzecz biorąc, wszystkie wyrażenia można przekształcić za pomocą działań lub łańcucha. Pierwsza metoda jest bardziej preferowana, ponieważ. łatwiej jest zweryfikować wyniki działań pośrednich.
Dość często w wyrażeniach matematycznych trzeba wydobyć pierwiastki. Należy pamiętać, że pierwiastki parzystych stopni można wydobyć tylko z nieujemnej liczby lub wyrażenia, a pierwiastki nieparzystych stopni można wydobyć całkowicie z dowolnych wyrażeń lub liczb.

Mamy nadzieję, że nasz artykuł pomoże Ci w przyszłości zrozumieć formuły matematyczne i nauczy ich stosowania w praktyce.

Każdy język może wyrazić te same informacje różne słowa i obroty. Język matematyczny nie jest wyjątkiem. Ale to samo wyrażenie można równoważnie napisać na różne sposoby. A w niektórych sytuacjach jeden z wpisów jest prostszy. W tej lekcji porozmawiamy o uproszczeniu wyrażeń.

Ludzie komunikują się dalej inne języki. Dla nas ważnym porównaniem jest para „Język rosyjski - język matematyczny”. Te same informacje mogą być przekazywane w różnych językach. Ale poza tym może być inaczej wymawiane w jednym języku.

Na przykład: „Piotr jest przyjacielem Wasyi”, „Wasja przyjaźni się z Petyą”, „Piotr i Wasia są przyjaciółmi”. Mówiąc inaczej, ale jedno i to samo. Dzięki którymkolwiek z tych zwrotów zrozumielibyśmy, o co toczy się gra.

Spójrzmy na to zdanie: „Chłopiec Petya i chłopiec Wasia są przyjaciółmi”. Rozumiemy, o co toczy się gra. Jednak nie podoba nam się, jak brzmi to zdanie. Czy nie możemy tego uprościć, powiedzieć to samo, ale prościej? „Chłopiec i chłopiec” - możesz raz powiedzieć: „Chłopcy Petya i Vasya są przyjaciółmi”.

„Chłopcy”… Czy z ich imion nie wynika jasno, że nie są dziewczynami. Usuwamy „chłopców”: „Petya i Vasya są przyjaciółmi”. A słowo „przyjaciele” można zastąpić słowem „przyjaciele”: „Petya i Wasia są przyjaciółmi”. W rezultacie pierwsza, długa, brzydka fraza została zastąpiona równoważnym stwierdzeniem, które jest łatwiejsze do powiedzenia i łatwiejsze do zrozumienia. Uprościliśmy to zdanie. Upraszczać znaczy mówić łatwiej, ale nie tracić, nie zniekształcać sensu.

To samo dzieje się w języku matematycznym. To samo można powiedzieć inaczej. Co to znaczy uprościć wyrażenie? Oznacza to, że dla pierwotnego wyrażenia istnieje wiele równoważnych wyrażeń, to znaczy takich, które oznaczają to samo. I z całej tej mnogości musimy wybrać najprostszy naszym zdaniem lub najbardziej odpowiedni dla naszych dalszych celów.

Rozważmy na przykład wyrażenie liczbowe. Będzie to odpowiednik .

Będzie również odpowiednikiem dwóch pierwszych: .

Okazuje się, że uprościliśmy nasze wyrażenia i znaleźliśmy najkrótszy odpowiednik.

W przypadku wyrażeń liczbowych zawsze musisz wykonać całą pracę i uzyskać równoważne wyrażenie jako pojedynczą liczbę.

Rozważ przykład wyrażenia dosłownego . Oczywiście będzie prostsze.

Upraszczając wyrażenia dosłowne, musisz wykonać wszystkie możliwe czynności.

Czy zawsze konieczne jest uproszczenie wyrażenia? Nie, czasami odpowiednik, ale dłuższy zapis będzie dla nas wygodniejszy.

Przykład: Odejmij liczbę od liczby.

Można to obliczyć, ale gdyby pierwsza liczba była reprezentowana przez jej odpowiednik: , to obliczenia byłyby natychmiastowe: .

Oznacza to, że uproszczone wyrażenie nie zawsze jest dla nas korzystne dla dalszych obliczeń.

Niemniej jednak bardzo często stajemy przed zadaniem, które brzmi jak „uprość wyrażenie”.

Uprość wyrażenie: .

Rozwiązanie

1) Wykonaj czynności w pierwszym i drugim nawiasie: .

2) Oblicz produkty: .

Oczywiście, ostatnie wyrażenie ma prostszą formę niż początkowa. Uprościliśmy to.

Aby uprościć wyrażenie, należy je zastąpić odpowiednikiem (równym).

Aby określić równoważne wyrażenie, musisz:

1) wykonać wszystkie możliwe czynności,

2) wykorzystywać właściwości dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia w celu uproszczenia obliczeń.

Własności dodawania i odejmowania:

1. Przemienność dodawania: suma nie zmienia się po przekształceniu wyrazów.

2. Asocjacyjna własność dodawania: aby dodać trzecią liczbę do sumy dwóch liczb, możesz dodać sumę drugiej i trzeciej liczby do pierwszej liczby.

3. Właściwość odejmowania sumy od liczby: aby odjąć sumę od liczby, możesz odjąć każdy wyraz z osobna.

Własności mnożenia i dzielenia

1. Przemienność mnożenia: iloczyn nie zmienia się z permutacji czynników.

2. Własność asocjacyjna: aby pomnożyć liczbę przez iloczyn dwóch liczb, możesz najpierw pomnożyć ją przez pierwszy czynnik, a następnie pomnożyć otrzymany iloczyn przez drugi czynnik.

3. Dystrybucyjna własność mnożenia: aby pomnożyć liczbę przez sumę, należy ją pomnożyć przez każdy wyraz z osobna.

Zobaczmy, jak faktycznie wykonujemy obliczenia umysłowe.

Oblicz:

Rozwiązanie

1) Wyobraź sobie jak

2) Przedstawmy pierwszy mnożnik jako sumę wyrazów bitowych i wykonajmy mnożenie:

3) możesz sobie wyobrazić, jak i wykonać mnożenie:

4) Zastąp pierwszy czynnik sumą równoważną:

Prawo rozdzielcze może być również stosowane w: Odwrotna strona: .

Wykonaj następujące kroki:

1) 2)

Rozwiązanie

1) Dla wygody możesz użyć prawa dystrybucji, po prostu użyj go w przeciwnym kierunku - usuń wspólny czynnik z nawiasów.

2) Wyjmijmy wspólny czynnik z nawiasów

W kuchni i przedpokoju należy kupić linoleum. Część kuchenna - przedpokój. Istnieją trzy rodzaje linoleum: za i ruble za. Ile będzie kosztował każdy z trzech rodzajów linoleum? (rys. 1)

Ryż. 1. Ilustracja przedstawiająca stan problemu

Rozwiązanie

Metoda 1. Możesz osobno sprawdzić, ile pieniędzy potrzeba na zakup linoleum w kuchni, a następnie dodać je do przedpokoju i zsumować powstałe prace.

Sekcja 5 WYRAŻENIA I RÓWNANIA

W dziale dowiesz się:

ü o wyrażenia i ich uproszczenia;

ü jakie są właściwości równości;

ü jak rozwiązywać równania na podstawie własności równości;

ü jakie rodzaje problemów są rozwiązywane za pomocą równań; czym są linie prostopadłe i jak je budować;

ü jakie linie nazywa się równoległymi i jak je budować;

ü czym jest płaszczyzna współrzędnych;

ü jak określić współrzędne punktu na płaszczyźnie;

ü czym jest wykres zależności między wielkościami i jak go zbudować;

ü jak zastosować zdobyty materiał w praktyce

§ 30. WYRAŻENIA I ICH UPROSZCZENIA

Wiesz już, co to jest wyrażenia dosłowne i umie je uprościć, korzystając z praw dodawania i mnożenia. Na przykład 2a ∙ (-4 b) = -8 ab . W wynikowym wyrażeniu liczba -8 nazywana jest współczynnikiem wyrażenia.

Czy wyrażenie Płyta CD współczynnik? Więc. Jest równy 1, ponieważ cd-1 cd.

Przypomnij sobie, że konwertowanie wyrażenia z nawiasami na wyrażenie bez nawiasów nazywa się rozwinięciem nawiasów. Na przykład: 5(2x + 4) = 10x + 20.

Działanie odwrotne w tym przykładzie polega na usunięciu wspólnego czynnika z nawiasów.

Terminy zawierające te same czynniki dosłowne nazywane są terminami podobnymi. Wyjmując wspólny czynnik z nawiasów, tworzy się podobne terminy:

5x + y + 4 - 2x + 6 y - 9 =

= (5x - 2x) + (y + 6y )+ (4 - 9) = = (5-2)* + (1 + 6)* y-5=

B x + 7 lat - 5.

Zasady rozszerzania wspornika

1. Jeśli przed nawiasami znajduje się znak „+”, to podczas otwierania nawiasów zachowane są znaki terminów w nawiasach;

2. Jeśli przed nawiasami znajduje się znak „-”, to po otwarciu nawiasów znaki terminów w nawiasach są odwrócone.

Zadanie 1 . Uprość wyrażenie:

1) 4x+(-7x + 5);

2) 15 lat -(-8 + 7 lat).

Rozwiązania. 1. Przed nawiasami znajduje się znak „+”, dlatego podczas otwierania nawiasów zachowane są znaki wszystkich terminów:

4x + (-7x + 5) \u003d 4x - 7x + 5 \u003d -3x + 5.

2. Przed nawiasami znajduje się znak „-”, dlatego podczas otwierania nawiasów: znaki wszystkich terminów są odwrócone:

15 - (- 8 + 7 lat) \u003d 15 lat + 8 - 7 lat \u003d 8 lat +8.

Aby otworzyć nawiasy, użyj rozdzielczej własności mnożenia: a( b + c) = ab + ac. Jeśli a > 0, to znaki wyrazów b i nie zmieniaj. Jeśli< 0, то знаки слагаемых b i od są odwrócone.

Zadanie 2. Uprość wyrażenie:

1) 2(6 lat -8) + 7 lat;

2) -5 (2-5x) + 12.

Rozwiązania. 1. Współczynnik 2 przed nawiasami e jest dodatni, dlatego przy otwieraniu nawiasów zachowujemy znaki wszystkich wyrazów: 2(6 r - 8) + 7 r = 12 r - 16 + 7 r =19 r -16.

2. Współczynnik -5 przed nawiasami e jest ujemny, dlatego otwierając nawiasy zmieniamy znaki wszystkich wyrazów na przeciwne:

5(2 - 5x) + 12 = -10 + 25x +12 = 2 + 25x.

Dowiedz się więcej

1. Słowo „suma” pochodzi z łaciny summa , co oznacza „ogółem”, „ogółem”.

2. Słowo „plus” pochodzi z łaciny plus , co oznacza "więcej", a słowo "minus" - z łaciny minus , co oznacza „mniej”. Znaki „+” i „-” służą do wskazania operacji dodawania i odejmowania. Znaki te zostały wprowadzone przez czeskiego naukowca J. Vidmana w 1489 roku w książce „Szybkie i przyjemne konto dla wszystkich kupców”(ryc. 138).

Ryż. 138

PAMIĘTAJ O NAJWAŻNIEJSZYCH RZECZACH

1. Jakie terminy są nazywane podobnymi? Jak zbudowane są podobne terminy?

2. Jak otwierasz nawiasy poprzedzone znakiem „+”?

3. Jak otwierać nawiasy poprzedzone znakiem „-”?

4. Jak otwierasz nawiasy poprzedzone pozytywnym czynnikiem?

5. Jak otwierasz nawiasy, które są poprzedzone czynnikiem negatywnym?

1374”. Nazwij współczynnik wyrażenia:

1) 12a; 3) -5,6xy;

2)4 6; 4)-s.

1375". Nazwij terminy, które różnią się tylko współczynnikiem:

1) 10a + 76-26 + a; 3) 5n + 5m -4n + 4;

2) bc-4d - bc + 4d; 4) 5x + 4y-x + y.

Jak nazywają się te terminy?

1376". Czy w wyrażeniu występują podobne terminy:

1) 11a + 10a; 3)6n + 15n; 5) 25r - 10r + 15r;

2) 14s-12; 4)12 m + m; 6) 8k +10k - n?

1377". Czy trzeba zmienić znaki terminów w nawiasach, otwierając nawiasy w wyrażeniu:

1)4 + (a + 3b); 2)-c +(5-d); 3) 16-(5m-8n)?

1378°. Uprość wyrażenie i podkreśl współczynnik:

1379°. Uprość wyrażenie i podkreśl współczynnik:

1380°. Zmniejsz podobne terminy:

1) 4a - Po + 6a - 2a; 4) 10 - 4 d - 12 + 4d;

2) 4b - 5b + 4 + 5b; 5) 5a - 12b - 7a + 5b;

3)-7ang="PL-US">c+ 5-3 c+2; 6) 14 n - 12 m -4 n -3 m.

1381°. Zmniejsz podobne terminy:

1) 6a-5a + 8a-7a; 3) 5s + 4-2s-3s;

2)9b +12-8-46; 4) -7n + 8m - 13n - 3m.

1382°. Wyjmij wspólny czynnik z nawiasów:

1) 1,2a +1,2b; 3) -3 n - 1,8 m; 5) -5p + 2,5k -0,5t;

2) 0,5s + 5d; 4) 1,2 n - 1,8 m; 6) -8p - 10k - 6t.

1383 °. Wyjmij wspólny czynnik z nawiasów:

1) 6a-12b; 3) -1,8n -3,6 m;

2) -0,2 s + 1 4 d; A) 3 pensy - 0,9 tys. + 2,7 t.

1384°. Otwórz nawiasy i zmniejsz podobne terminy;

1) 5+ (4a-4); 4) -(5c - d) + (4d + 5c);

2) 17x-(4x-5); 5) (n - m) - (-2 m - 3 n);

3) (76 - 4) - (46 + 2); 6) 7 (-5x + y) - (-2y + 4x) + (x - 3y).

1385°. Otwórz nawiasy i skróć podobne terminy:

1) 10a + (4 - 4a); 3) (s - 5 d) - (- d + 5s);

2) -(46-10) + (4-56); 4) - (5 n + m) + (-4 n + 8 m) - (2 m -5 n).

1386°. Rozwiń nawiasy i znajdź znaczenie wyrażenia:

1)15+(-12+ 4,5); 3) (14,2-5)-(12,2-5);

2) 23-(5,3-4,7); 4) (-2,8 + 13)-(-5,6 + 2,8) + (2,8-13).

1387°. Rozwiń nawiasy i znajdź znaczenie wyrażenia:

1) (14- 15,8)- (5,8 + 4);

2)-(18+22,2)+ (-12+ 22,2)-(5- 12).

1388°. Otwórz nawias:

1) 0,5 ∙ (a + 4); 4) (n - m) (-2,4 p);

2)-s ∙ (2,7-1,2 d ); 5) 3 (-1,5 p + k - 0,2 T);

3) 1,6 ∙ (2n + m); 6) (4,2 p - 3,5 k -6 t) ∙ (-2a).

1389°. Otwórz nawias:

1) 2,2 ∙ (x-4); 3)(4c-d)∙(-0,5 y);

2) -2 ∙ (1,2 n - m); 4) 6- (-p + 0,3 k - 1,2 t).

1390. Uprość wyrażenie:

1391. Uprość wyrażenie:

1392. Zmniejsz podobne terminy:

1393. Zmniejsz podobne terminy:

1394. Uprość wyrażenie:

1) 2,8 - (0,5 a + 4) - 2,5 ∙ (2a - 6);

2) -12 (8 - 2, przez) + 4,5 ∙ (-6 lat - 3,2);

4) (-12,8 m + 24,8 n) ∙ (-0,5)-(3,5 m -4,05 m) ∙ 2.

1395. Uprość wyrażenie:

1396. Znajdź znaczenie wyrażenia;

1) 4-(0,2 a-3) - (5,8 a-16), jeśli a \u003d -5;

2) 2-(7-56)+ 156-3∙(26+ 5), jeśli = -0,8;

m = 0,25, n = 5,7.

1397. Znajdź wartość wyrażenia:

1) -4∙ (i-2) + 2∙(6x - 1), jeśli x = -0,25;

1398*. Znajdź błąd w rozwiązaniu:

1) 5- (a-2,4) -7 ∙ (-a + 1,2) \u003d 5a - 12-7a + 8,4 \u003d -2a-3,6;

2) -4 (2,3 a - 6) + 4,2 ∙ (-6 - 3,5 a) \u003d -9,2 a + 46 + 4,26 - 14,7 a \u003d -5,5 a + 8,26.

1399*. Rozwiń nawiasy i uprość wyrażenie:

1) 2ab - 3(6(4a - 1) - 6(6 - 10a)) + 76;

1400*. Ułóż nawiasy, aby uzyskać prawidłową równość:

1) a-6-a + 6 \u003d 2a; 2) a -2 b -2 a + b \u003d 3 a -3 b.

1401*. Udowodnij, że dla dowolnych liczb a i b jeśli a > b , to obowiązuje następująca równość:

1) (a + b) + (a-b) \u003d 2a; 2) (a + b) - (a - b) \u003d 2 b.

Czy ta równość będzie poprawna, jeśli: a) a< b; b) a = 6?

1402*. Udowodnij to dla każdego Liczba naturalna a średnia arytmetyczna poprzednich i następnych liczb jest równa liczbie a.

ZASTOSUJ W PRAKTYCE

1403. Do przygotowania owocowego deseru dla trzech osób potrzebne są: 2 jabłka, 1 pomarańcza, 2 banany i 1 kiwi. Jak za pomocą dosłownego wyrażenia określić ilość owoców potrzebną do przygotowania deseru dla gości? Pomóż Marin obliczyć, ile owoców musi kupić, jeśli przyjedzie z wizytą: 1) 5 przyjaciół; 2) 8 przyjaciół.

1404. Zrób dosłowne wyrażenie w celu określenia czasu potrzebnego na odrobienie pracy domowej z matematyki, jeśli:

1) min poświęcono na rozwiązywanie problemów; 2) uproszczenie wyrażeń jest 2 razy większe niż w przypadku rozwiązywania problemów. Jak długo to zajęło Praca domowa Wasilko, gdyby poświęcił 15 minut na rozwiązywanie problemów?

1405. Obiad w szkolnej stołówce składa się z sałatki, barszczu, gołąbków i kompotu. Koszt sałatki to 20%, barszcz - 30%, gołąbki - 45%, kompot - 5% całkowitego kosztu całego posiłku. Napisz wyrażenie, aby znaleźć koszt obiadu w szkolnej stołówce. Ile kosztuje obiad, jeśli cena sałatki wynosi 2 UAH?

ZADANIA POWTARZALNE

1406. Rozwiąż równanie:

1407. Tanya wydana na lodywszystkie dostępne pieniądze, a na słodycze -reszta. Ile pieniędzy ma Tanya?

czy słodycze kosztują 12 UAH?

Wyrażenie dosłowne (lub wyrażenie ze zmiennymi) to wyrażenie matematyczne, który składa się z cyfr, liter i znaków operacje matematyczne. Na przykład następujące wyrażenie jest dosłowne:

a+b+4

Używając wyrażeń dosłownych, możesz zapisywać prawa, formuły, równania i funkcje. Umiejętność manipulowania wyrażeniami dosłownymi jest kluczem do dobrej znajomości algebry i matematyki wyższej.

Każdy poważny problem w matematyce sprowadza się do rozwiązywania równań. Aby móc rozwiązywać równania, musisz umieć pracować z wyrażeniami dosłownymi.

Aby pracować z wyrażeniami dosłownymi, musisz dobrze przestudiować podstawową arytmetykę: dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, podstawowe prawa matematyki, ułamki, operacje na ułamkach, proporcje. I nie tylko studiować, ale dogłębnie rozumieć.

Treść lekcji

Zmienne

Litery zawarte w wyrażeniach dosłownych są nazywane zmienne. Na przykład w wyrażeniu a+b+4 litery są zmiennymi a I b. Jeśli zamiast tych zmiennych podstawimy dowolne liczby, to wyrażenie dosłowne a+b+4 zamieni się w wyrażenie liczbowe, którego wartość można znaleźć.

Liczby zastępujące zmienne nazywają się wartości zmiennych. Na przykład zmieńmy wartości zmiennych a I b. Użyj znaku równości, aby zmienić wartości

a = 2, b = 3

Zmieniliśmy wartości zmiennych a I b. zmienny a przypisano wartość 2 , zmienny b przypisano wartość 3 . W rezultacie dosłowne wyrażenie a+b+4 konwertuje na normalne wyrażenie liczbowe 2+3+4 których wartość można znaleźć:

2 + 3 + 4 = 9

Kiedy zmienne są mnożone, są zapisywane razem. Na przykład wpis ab oznacza to samo co wpis a×b. Jeśli podstawimy zamiast zmiennych a I b liczby 2 I 3 , wtedy otrzymujemy 6

2x3 = 6

Wspólnie możesz też wpisać mnożenie liczby przez wyrażenie w nawiasach. Na przykład zamiast a×(b + c) można napisać a(b + c). Stosując rozdzielcze prawo mnożenia, otrzymujemy a(b + c)=ab+ac.

Szanse

W wyrażeniach dosłownych często można znaleźć notację, w której liczba i zmienna są zapisywane razem, na przykład 3a. W rzeczywistości jest to skrót do pomnożenia liczby 3 przez zmienną. a a ten wpis wygląda jak 3×a .

Innymi słowy, wyrażenie 3a jest iloczynem liczby 3 i zmiennej a. Numer 3 w tej pracy nazywa się współczynnik. Ten współczynnik pokazuje, ile razy zmienna zostanie zwiększona a. To wyrażenie można odczytać jako „ a trzy razy lub trzy razy ale" lub "zwiększ wartość zmiennej a trzy razy”, ale najczęściej czytane jako „trzy a«

Na przykład, jeśli zmienna a jest równe 5 , to wartość wyrażenia 3a będzie równa 15.

3x5 = 15

rozmawiając zwykły język, współczynnik jest liczbą poprzedzającą literę (przed zmienną).

Na przykład może być kilka liter 5abc. Tutaj współczynnik jest liczbą 5 . Współczynnik ten pokazuje, że iloczyn zmiennych ABC wzrasta pięciokrotnie. To wyrażenie można odczytać jako „ ABC pięć razy” lub „zwiększ wartość wyrażenia ABC pięć razy” lub „pięć ABC«.

Jeśli zamiast zmiennych ABC podstaw liczby 2, 3 i 4, a następnie wartość wyrażenia 5abc będzie równy 120

5 x 2 x 3 x 4 = 120

Możesz sobie wyobrazić, jak najpierw pomnożono liczby 2, 3 i 4, a wynikowa wartość wzrosła pięciokrotnie:

Znak współczynnika odnosi się tylko do współczynnika i nie dotyczy zmiennych.

Rozważ wyrażenie -6b. Minus przed współczynnikiem 6 , dotyczy tylko współczynnika 6 , i nie dotyczy zmiennej b. Zrozumienie tego faktu pozwoli ci nie popełniać błędów w przyszłości ze znakami.

Znajdź wartość wyrażenia -6b w b = 3.

-6b -6×b. Dla jasności piszemy wyrażenie -6b w rozwiniętej formie i podstaw wartość zmiennej b

-6b = -6 × b = -6 × 3 = -18

Przykład 2 Znajdź wartość wyrażenia -6b w b = -5

Napiszmy wyrażenie -6b w rozszerzonej formie

-6b = -6 × b = -6 × (-5) = 30

Przykład 3 Znajdź wartość wyrażenia -5a+b w a = 3 I b = 2

-5a+b to skrót od -5 × a + b, dlatego dla jasności piszemy wyrażenie -5×a+b w rozwiniętej formie i podstaw wartości zmiennych a I b

-5a + b = -5 × a + b = -5 × 3 + 2 = -15 + 2 = -13

Czasami litery są pisane bez współczynnika, na przykład a lub ab. W tym przypadku współczynnik wynosi jeden:

ale jednostka tradycyjnie nie jest zapisywana, więc po prostu piszą a lub ab

Jeśli przed literą jest minus, współczynnik jest liczbą −1 . Na przykład wyrażenie -a faktycznie wygląda -1a. Jest to iloczyn minus jeden i zmiennej a. Wyszło tak:

-1 × a = -1a

Oto mała sztuczka. W wyrażeniu -a minus przed zmienną a faktycznie odnosi się do „niewidzialnej jednostki”, a nie do zmiennej a. Dlatego przy rozwiązywaniu problemów należy zachować ostrożność.

Na przykład, biorąc pod uwagę wyrażenie -a i jesteśmy proszeni o znalezienie jego wartości na a = 2, to w szkole podstawiliśmy dwójkę zamiast zmiennej a i uzyskaj odpowiedź −2 , nie skupiając się tak naprawdę na tym, jak się okazało. W rzeczywistości było pomnożenie minus jeden przez liczbę dodatnią 2

-a = -1 × a

-1 × a = -1 × 2 = -2

Jeśli podano wyrażenie -a i wymagane jest, aby znaleźć jego wartość na a = -2, wtedy podstawiamy −2 zamiast zmiennej a

-a = -1 × a

-1 × a = -1 × (−2) = 2

Aby uniknąć pomyłek, początkowo niewidoczne jednostki można zapisać wprost.

Przykład 4 Znajdź wartość wyrażenia ABC w a=2 , b=3 I c=4

Wyrażenie ABC 1×a×b×c. Dla jasności piszemy wyrażenie ABC a , b I C

1 x a x b x c = 1 x 2 x 3 x 4 = 24

Przykład 5 Znajdź wartość wyrażenia ABC w a=−2 , b=−3 I c=−4

Napiszmy wyrażenie ABC w rozwiniętej formie i podstaw wartości zmiennych a , b I C

1 × a × b × c = 1 × (−2) × (−3) × (−4) = −24

Przykład 6 Znajdź wartość wyrażenia − ABC w a=3 , b=5 i c=7

Wyrażenie − ABC to skrót od -1×a×b×c. Dla jasności piszemy wyrażenie − ABC w rozwiniętej formie i podstaw wartości zmiennych a , b I C

-abc = -1 × a × b × c = -1 × 3 × 5 × 7 = -105

Przykład 7 Znajdź wartość wyrażenia − ABC w a=−2 , b=−4 i c=−3

Napiszmy wyrażenie − ABC rozszerzony:

-abc = -1 × a × b × c

Podstaw wartość zmiennych a , b I C

−abc = −1 × a × b × c = −1 × (−2) × (−4) × (−3) = 24

Jak określić współczynnik

Czasami konieczne jest rozwiązanie problemu, w którym wymagane jest określenie współczynnika wyrażenia. Zasadniczo, dane zadanie bardzo prosta. Wystarczy umieć poprawnie pomnożyć liczby.

Aby określić współczynnik w wyrażeniu, należy osobno pomnożyć liczby zawarte w tym wyrażeniu i osobno pomnożyć litery. Otrzymany współczynnik liczbowy będzie współczynnikiem.

Przykład 1 7m×5a×(−3)×n

Wyrażenie składa się z kilku czynników. Widać to wyraźnie, jeśli wyrażenie jest napisane w rozwiniętej formie. To znaczy działa 7m I 5a napisz w formularzu 7×m I 5×a

7 × m × 5 × a × (−3) × n

Stosujemy skojarzone prawo mnożenia, które pozwala nam mnożyć czynniki w dowolnej kolejności. Mianowicie osobno pomnóż liczby i osobno pomnóż litery (zmienne):

-3 × 7 × 5 × m × a × n = -105 man

Współczynnik wynosi −105 . Po zakończeniu część listowa jest najlepiej ułożona w kolejności alfabetycznej:

−105 rano

Przykład 2 Określ współczynnik w wyrażeniu: −a×(−3)×2

−a × (−3) × 2 = −3 × 2 × (−a) = −6 × (−a) = 6a

Współczynnik wynosi 6.

Przykład 3 Określ współczynnik w wyrażeniu:

Pomnóżmy cyfry i litery osobno:

Współczynnik wynosi -1. Należy pamiętać, że jednostka nie jest rejestrowana, ponieważ współczynnik 1 zwykle nie jest rejestrowany.

Te pozornie proste zadania mogą z nami zagrać bardzo okrutny żart. Często okazuje się, że znak współczynnika jest ustawiony niepoprawnie: albo pomija się minus, albo przeciwnie, jest ustawiany na próżno. Aby uniknąć tych irytujących błędów, należy ją przestudiować na dobrym poziomie.

Terminy w wyrażeniach dosłownych

Kiedy dodasz kilka liczb, otrzymasz sumę tych liczb. Liczby, które się sumują, nazywane są terminami. Może być kilka terminów, na przykład:

1 + 2 + 3 + 4 + 5

Gdy wyrażenie składa się z terminów, znacznie łatwiej jest je obliczyć, ponieważ łatwiej jest dodawać niż odejmować. Ale wyrażenie może zawierać nie tylko dodawanie, ale także odejmowanie, na przykład:

1 + 2 − 3 + 4 − 5

W tym wyrażeniu liczby 3 i 5 są odejmowane, a nie dodawane. Ale nic nie stoi na przeszkodzie, aby zastąpić odejmowanie dodawaniem. Wtedy znowu otrzymujemy wyrażenie składające się z terminów:

1 + 2 + (−3) + 4 + (−5)

Nie ma znaczenia, że liczby -3 i -5 są teraz ze znakiem minus. Najważniejsze jest to, że wszystkie liczby w tym wyrażeniu są połączone znakiem dodawania, to znaczy wyrażenie jest sumą.

Oba wyrażenia 1 + 2 − 3 + 4 − 5 I 1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) są równe tej samej wartości - minus jeden

1 + 2 − 3 + 4 − 5 = −1

1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) = −1

Tak więc wartość wyrażenia nie ucierpi z powodu tego, że gdzieś zastąpimy odejmowanie dodawaniem.

W wyrażeniach dosłownych można również zastąpić odejmowanie dodawaniem. Rozważmy na przykład następujące wyrażenie:

7a + 6b - 3c + 2d - 4s

7a + 6b + (-3c) + 2d + (-4s)

Dla dowolnych wartości zmiennych a, b, c, d I s wyrażenia 7a + 6b - 3c + 2d - 4s I 7a + 6b + (-3c) + 2d + (-4s) będzie równa tej samej wartości.

Musisz być przygotowany na to, że nauczyciel w szkole lub nauczyciel w instytucie może nazywać terminy nawet tymi liczbami (lub zmiennymi), które nie są nimi.

Na przykład, jeśli różnica jest napisana na tablicy a-b, to nauczyciel tego nie powie a jest minutą i b- podlegający potrąceniu. Obie zmienne nazwie jednym wspólnym słowem - warunki. A wszystko dlatego, że wyraz formy a-b matematyk widzi, jak suma a + (−b). W tym przypadku wyrażenie staje się sumą, a zmienne a I (-b) stają się komponentami.

Podobne terminy

Podobne terminy to terminy, które mają tę samą część literową. Rozważmy na przykład wyrażenie 7a + 6b + 2a. Warunki 7a I 2a mają tę samą część literową - zmienna a. Więc warunki 7a I 2a są podobne.

Zwykle podobne terminy są dodawane w celu uproszczenia wyrażenia lub rozwiązania równania. Ta operacja nazywa się redukcja podobnych terminów.

Aby uzyskać podobne terminy, musisz dodać współczynniki tych terminów i pomnożyć wynik przez wspólną część literową.

Na przykład w wyrażeniu podajemy podobne terminy 3a + 4a + 5a. W tym przypadku wszystkie terminy są podobne. Dodajemy ich współczynniki i mnożymy wynik przez wspólną część literową - przez zmienną a

3a + 4a + 5a = (3 + 4 + 5)×a = 12a

Takie terminy są zwykle podawane w umyśle, a wynik jest natychmiast rejestrowany:

3a + 4a + 5a = 12a

Możesz też argumentować w ten sposób:

Dodano do nich 3 zmienne a , 4 kolejne zmienne a i 5 więcej zmiennych a. W rezultacie otrzymaliśmy 12 zmiennych a

Rozważmy kilka przykładów redukowania podobnych terminów. Jeśli się uwzględni ten temat bardzo ważne, najpierw szczegółowo opiszemy każdą drobiazg. Pomimo tego, że tutaj wszystko jest bardzo proste, większość ludzi popełnia wiele błędów. Głównie z powodu nieuwagi, a nie ignorancji.

Przykład 1 3a + 2a + 6a + 8 a

Dodajemy współczynniki w tym wyrażeniu i mnożymy wynik przez wspólną część literową:

3a + 2a + 6a + 8a = (3 + 2 + 6 + 8) × a = 19a

projekt (3 + 2 + 6 + 8)×a nie możesz zapisać, więc od razu napiszemy odpowiedź

3a + 2a + 6a + 8a = 19a

Przykład 2 Wprowadź podobne terminy w wyrażeniu 2a+a

Drugi termin a napisany bez współczynnika, ale w rzeczywistości jest poprzedzony współczynnikiem 1 , którego nie widzimy ze względu na to, że nie jest rejestrowane. Wyrażenie wygląda więc tak:

2a + 1a

Teraz przedstawiamy podobne terminy. Oznacza to, że dodajemy współczynniki i mnożymy wynik przez wspólną część literową:

2a + 1a = (2 + 1) × a = 3a

Napiszmy krótko rozwiązanie:

2a + a = 3a

2a+a, możesz spierać się w inny sposób:

Przykład 3 Wprowadź podobne terminy w wyrażeniu 2a - a

Zamieńmy odejmowanie na dodawanie:

2a + (−a)

Drugi termin (-a) napisane bez współczynnika, ale w rzeczywistości wygląda tak (-1a). Współczynnik −1 ponownie niewidoczne, ponieważ nie jest rejestrowane. Wyrażenie wygląda więc tak:

2a + (-1a)

Teraz przedstawiamy podobne terminy. Dodajemy współczynniki i mnożymy wynik przez wspólną część literową:

2a + (−1a) = (2 + (−1)) × a = 1a = a

Zwykle pisane krócej:

2a − a = a

Wprowadzanie podobnych terminów w wyrażeniu 2a−a Możesz też spierać się w inny sposób:

Wystąpiły 2 zmienne a , odjęto jedną zmienną a , w wyniku czego była tylko jedna zmienna a

Przykład 4 Wprowadź podobne terminy w wyrażeniu 6a - 3a + 4a - 8a

6a − 3a + 4a − 8a = 6a + (−3a) + 4a + (−8a)

Teraz przedstawiamy podobne terminy. Dodajemy współczynniki i mnożymy wynik przez wspólną część literową

(6 + (−3) + 4 + (−8)) × a = −1a = −a

Napiszmy krótko rozwiązanie:

6a - 3a + 4a - 8a = -a

Istnieją wyrażenia zawierające kilka różnych grup podobnych terminów. Na przykład, 3a + 3b + 7a + 2b. W przypadku takich wyrażeń obowiązują te same zasady, co w przypadku pozostałych, a mianowicie dodawanie współczynników i mnożenie wyniku przez wspólną część literową. Ale aby uniknąć błędów, jest to wygodne różne grupy podkreśl terminy różnymi liniami.

Na przykład w wyrażeniu 3a + 3b + 7a + 2b te terminy, które zawierają zmienną a, mogą być podkreślone jedną linią, a te terminy, które zawierają zmienną b, można podkreślić dwoma liniami:

Teraz możemy wprowadzić podobne warunki. Oznacza to, że dodaj współczynniki i pomnóż wynik przez wspólną część literową. Należy to zrobić dla obu grup terminów: dla terminów zawierających zmienną a a dla terminów zawierających zmienną b.

3a + 3b + 7a + 2b = (3+7)×a + (3 + 2)×b = 10a + 5b

Powtarzamy, wyrażenie jest proste i podobne terminy można podać w umyśle:

3a + 3b + 7a + 2b = 10a + 5b

Przykład 5 Wprowadź podobne terminy w wyrażeniu 5a - 6a - 7b + b

W miarę możliwości zastępujemy odejmowanie dodawaniem:

5a − 6a −7b + b = 5a + (−6a) + (−7b) + b

Podkreśl podobne terminy różnymi liniami. Terminy zawierające zmienne a podkreśl jedną linią, a treść terminów to zmienne b, podkreślone dwoma liniami:

Teraz możemy wprowadzić podobne warunki. Oznacza to, że dodaj współczynniki i pomnóż wynik przez wspólną część literową:

5a + (−6a) + (−7b) + b = (5 + (−6))×a + ((−7) + 1)×b = −a + (−6b)

Jeśli wyrażenie zawiera zwykłe liczby bez współczynników alfabetycznych, są one dodawane osobno.

Przykład 6 Wprowadź podobne terminy w wyrażeniu 4a + 3a − 5 + 2b + 7

Jeśli to możliwe, zamieńmy odejmowanie na dodawanie:

4a + 3a − 5 + 2b + 7 = 4a + 3a + (−5) + 2b + 7

Przedstawmy podobne terminy. Liczby −5 I 7 nie mają współczynników dosłownych, ale są to podobne terminy - wystarczy je zsumować. A termin 2b pozostanie bez zmian, ponieważ jako jedyny w tym wyrażeniu ma współczynnik literowy b, i nie ma nic do dodania:

4a + 3a + (−5) + 2b + 7 = (4 + 3)×a + 2b + (−5) + 7 = 7a + 2b + 2

Napiszmy krótko rozwiązanie:

4a + 3a − 5 + 2b + 7 = 7a + 2b + 2

Terminy można uporządkować tak, aby te terminy, które mają tę samą część literową, znajdowały się w tej samej części wyrażenia.

Przykład 7 Wprowadź podobne terminy w wyrażeniu 5t+2x+3x+5t+x

Ponieważ wyrażenie jest sumą kilku terminów, pozwala nam to ocenić je w dowolnej kolejności. Dlatego terminy zawierające zmienną T, można zapisać na początku wyrażenia, a terminy zawierające zmienną x na końcu wyrażenia:

5t+5t+2x+3x+x

Teraz możemy dodać podobne terminy:

5t + 5t + 2x + 3x + x = (5+5)×t + (2+3+1)×x = 10t + 6x

Napiszmy krótko rozwiązanie:

5t + 2x + 3x + 5t + x = 10t + 6x

Suma liczb przeciwnych wynosi zero. Ta reguła działa również w przypadku wyrażeń dosłownych. Jeśli wyrażenie zawiera identyczne terminy, ale o przeciwnych znakach, możesz się ich pozbyć na etapie redukcji podobnych terminów. Innymi słowy, po prostu usuń je z wyrażenia, ponieważ ich suma wynosi zero.

Przykład 8 Wprowadź podobne terminy w wyrażeniu 3t − 4t − 3t + 2t

Jeśli to możliwe, zamieńmy odejmowanie na dodawanie:

3t − 4t − 3t + 2t = 3t + (−4t) + (−3t) + 2t

Warunki 3t I (-3t) są przeciwne. Suma przeciwnych warunków jest równa zeru. Jeśli usuniemy to zero z wyrażenia, to wartość wyrażenia się nie zmieni, więc usuniemy je. A my usuniemy to przez zwykłe usunięcie warunków 3t I (-3t)

W rezultacie otrzymamy wyrażenie (-4t) + 2t. W tym wyrażeniu możesz dodać podobne terminy i uzyskać ostateczną odpowiedź:

(−4t) + 2t = ((−4) + 2)×t = −2t

Napiszmy krótko rozwiązanie:

Uproszczenie wyrażenia

„uprość wyrażenie” a poniżej znajduje się wyrażenie do uproszczenia. Uprość wyrażenie oznacza uproszczenie i skrócenie.

W rzeczywistości mieliśmy już do czynienia z uproszczeniem wyrażeń przy redukcji ułamków. Po redukcji ułamek stał się krótszy i łatwiejszy do odczytania.

Rozważmy następujący przykład. Uprość wyrażenie.

To zadanie można dosłownie rozumieć w następujący sposób: „Zrób, co możesz, z tym wyrażeniem, ale ułatw to” .

W takim przypadku możesz zmniejszyć ułamek, a mianowicie podzielić licznik i mianownik ułamka przez 2:

Co jeszcze można zrobić? Możesz obliczyć wynikowy ułamek. Następnie otrzymujemy ułamek dziesiętny 0,5

W rezultacie frakcja została uproszczona do 0,5.

Pierwszym pytaniem, jakie należy sobie zadać przy rozwiązywaniu takich problemów, powinno być: "co można zrobić?" . Ponieważ są rzeczy, które możesz zrobić i są rzeczy, których nie możesz zrobić.

Jeszcze jeden ważny punkt Należy pamiętać, że wartość wyrażenia nie może ulec zmianie po uproszczeniu wyrażenia. Wróćmy do wyrażenia. To wyrażenie jest podziałem, który można wykonać. Po wykonaniu tego dzielenia otrzymujemy wartość tego wyrażenia równą 0,5

Ale uprościliśmy wyrażenie i otrzymaliśmy nowe uproszczone wyrażenie . Wartość nowego uproszczonego wyrażenia nadal wynosi 0,5

Ale próbowaliśmy również uprościć wyrażenie, obliczając je. W rezultacie ostateczna odpowiedź wynosiła 0,5.

Tak więc bez względu na to, jak uprościmy wyrażenie, wartość wynikowych wyrażeń nadal wynosi 0,5. Oznacza to, że uproszczenie zostało przeprowadzone poprawnie na każdym etapie. Do tego właśnie musimy dążyć przy upraszczaniu wyrażeń - znaczenie wyrażenia nie powinno ucierpieć z powodu naszych działań.

Często konieczne jest uproszczenie wyrażeń dosłownych. W ich przypadku obowiązują te same zasady uproszczenia, co w przypadku wyrażeń liczbowych. Możesz wykonać dowolną poprawną akcję, o ile wartość wyrażenia się nie zmieni.

Spójrzmy na kilka przykładów.

Przykład 1 Uprość wyrażenie 5,21s × t × 2,5

Aby uprościć to wyrażenie, możesz osobno pomnożyć liczby i osobno pomnożyć litery. To zadanie jest bardzo podobne do tego, które rozważaliśmy, gdy nauczyliśmy się wyznaczać współczynnik:

5,21s × t × 2,5 = 5,21 × 2,5 × s × t = 13,025 × st = 13,025st

Więc wyrażenie 5,21s × t × 2,5 uproszczone do 13.025.

Przykład 2 Uprość wyrażenie -0,4×(-6,3b)×2

Druga praca (-6.3b) można przetłumaczyć na zrozumiałą dla nas formę, a mianowicie napisaną w formie ( -6.3)×b , następnie osobno pomnóż liczby i osobno pomnóż litery:

− 0,4 × (-6,3b) × 2 = − 0,4 × (-6,3) × b × 2 = 5,04b

Więc wyrażenie -0,4×(-6,3b)×2 uproszczone do 5.04b

Przykład 3 Uprość wyrażenie

Napiszmy to wyrażenie bardziej szczegółowo, aby wyraźnie zobaczyć, gdzie są liczby i gdzie są litery:

Teraz mnożymy liczby osobno i mnożymy litery osobno:

Więc wyrażenie uproszczone do −abc. To rozwiązanie można napisać krócej:

Upraszczając wyrażenia, ułamki można redukować w trakcie rozwiązywania, a nie na samym końcu, jak to zrobiliśmy w przypadku wspólne ułamki. Na przykład, jeśli w trakcie rozwiązywania natkniemy się na wyrażenie postaci , to wcale nie jest konieczne obliczanie licznika i mianownika i robienie czegoś takiego:

Ułamek można zmniejszyć, wybierając zarówno czynnik w liczniku, jak i mianowniku i zmniejszając te czynniki o ich największy wspólny dzielnik. Innymi słowy użyj , w którym nie opisujemy szczegółowo, na co podzielono licznik i mianownik.

Na przykład w liczniku czynnik 12, a w mianowniku czynnik 4 można zmniejszyć o 4. Pamiętamy o czwórce, a dzieląc 12 i 4 przez tę czwórkę, piszemy odpowiedzi obok tych liczb, wcześniej je skreśliwszy

Teraz możesz pomnożyć powstałe małe współczynniki. W tym przypadku jest ich niewiele i możesz je pomnożyć w swoim umyśle:

Z biegiem czasu może się okazać, że przy rozwiązywaniu konkretnego problemu wyrażenia zaczynają „tuczyć”, dlatego warto przyzwyczaić się do szybkich obliczeń. To, co można obliczyć w umyśle, musi zostać obliczone w umyśle. To, co można szybko ciąć, należy szybko ciąć.

Przykład 4 Uprość wyrażenie

Więc wyrażenie uproszczone do

Przykład 5 Uprość wyrażenie

Liczby mnożymy osobno, a litery osobno:

Więc wyrażenie uproszczone do min.

Przykład 6 Uprość wyrażenie

Napiszmy to wyrażenie bardziej szczegółowo, aby wyraźnie zobaczyć, gdzie są liczby i gdzie są litery:

Teraz mnożymy osobno liczby i osobno litery. Dla wygody obliczeń ułamek dziesiętny -6,4 i liczbę mieszaną można przekonwertować na zwykłe ułamki:

Więc wyrażenie uproszczone do

Rozwiązanie dla tego przykładu można napisać znacznie krócej. Będzie to wyglądać tak:

Przykład 7 Uprość wyrażenie

Liczby mnożymy osobno, a litery osobno. Dla ułatwienia obliczeń liczba mieszana i ułamki dziesiętne 0,1 i 0,6 można przekonwertować na zwykłe ułamki:

Więc wyrażenie uproszczone do abcd. Jeśli pominiesz szczegóły, to to rozwiązanie można napisać znacznie krócej:

Zwróć uwagę, jak ułamek został zmniejszony. Nowe mnożniki, które uzyskuje się poprzez zmniejszenie poprzednich mnożników, również mogą zostać zmniejszone.

Porozmawiajmy teraz o tym, czego nie robić. Podczas upraszczania wyrażeń surowo zabrania się mnożenia cyfr i liter, jeśli wyrażenie jest sumą, a nie iloczynem.

Na przykład, jeśli chcesz uprościć wyrażenie 5a + 4b, to nie może być zapisane w następujący sposób:

Jest to równoznaczne z tym, że gdybyśmy zostali poproszeni o dodanie dwóch liczb, pomnożylibyśmy je zamiast je dodawać.

Podstawiając dowolne wartości zmiennych a I b wyrażenie 5a+4b zamienia się w proste wyrażenie liczbowe. Załóżmy zmienne a I b mają następujące znaczenie:

a = 2 , b = 3

Wtedy wartość wyrażenia wyniesie 22

5a + 4b = 5 × 2 + 4 × 3 = 10 + 12 = 22

Najpierw wykonywane jest mnożenie, a następnie dodawane są wyniki. A gdybyśmy spróbowali uprościć to wyrażenie, mnożąc liczby i litery, otrzymalibyśmy:

5a + 4b = 5 × 4 × a × b = 20ab

20ab = 20 x 2 x 3 = 120

Okazuje się zupełnie inne znaczenie wyrażenia. W pierwszym przypadku się okazało 22 , w drugim przypadku 120 . Oznacza to, że uproszczenie wyrażenia 5a + 4b została wykonana nieprawidłowo.

Po uproszczeniu wyrażenia jego wartość nie powinna zmieniać się przy tych samych wartościach zmiennych. Jeżeli przy podstawieniu dowolnych wartości zmiennych do pierwotnego wyrażenia uzyskamy jedną wartość, to po uproszczeniu wyrażenia należy uzyskać taką samą wartość jak przed uproszczeniem.

Z ekspresją 5a + 4b właściwie nic nie można zrobić. Łatwiej się nie da.

Jeśli wyrażenie zawiera podobne terminy, to można je dodać, jeśli naszym celem jest uproszczenie wyrażenia.

Przykład 8 Uprość wyrażenie 0,3a−0,4a+a

0,3a − 0,4a + a = 0,3a + (−0,4a) + a = (0,3 + (−0,4) + 1)×a = 0,9a

lub krótsze: 0,3a - 0,4a + a = 0.9a

Więc wyrażenie 0,3a−0,4a+a uproszczone do 0.9a

Przykład 9 Uprość wyrażenie −7,5a − 2,5b + 4a

Aby uprościć to wyrażenie, możesz dodać podobne terminy:

−7.5a − 2.5b + 4a = −7.5a + (−2.5b) + 4a = ((−7.5) + 4)×a + (−2.5b) = −3.5a + (−2.5b)

lub krótszy −7,5a − 2,5b + 4a = −3,5a + (−2,5b)

termin (−2,5b) pozostał niezmieniony, ponieważ nie było z czym go złożyć.

Przykład 10 Uprość wyrażenie

Aby uprościć to wyrażenie, możesz dodać podobne terminy:

Współczynnik był dla wygody obliczeń.

Więc wyrażenie uproszczone do

Przykład 11. Uprość wyrażenie

Aby uprościć to wyrażenie, możesz dodać podobne terminy:

Więc wyrażenie uproszczona do .

W tym przykładzie bardziej sensowne byłoby dodanie najpierw pierwszego i ostatniego współczynnika. W takim przypadku otrzymalibyśmy krótkie rozwiązanie. Wyglądałoby to tak:

Przykład 12. Uprość wyrażenie

Aby uprościć to wyrażenie, możesz dodać podobne terminy:

Więc wyrażenie uproszczone do .

Termin pozostał niezmieniony, ponieważ nie było nic, do czego można by go dodać.

To rozwiązanie można napisać znacznie krócej. Będzie to wyglądać tak:

Krótkie rozwiązanie pomija etapy zastępowania odejmowania dodawaniem i szczegółowy zapis, w jaki sposób ułamki zostały zredukowane do wspólnego mianownika.

Kolejna różnica polega na tym, że w rozwiązaniu szczegółowym odpowiedź wygląda tak: , ale w skrócie . Właściwie to to samo wyrażenie. Różnica polega na tym, że w pierwszym przypadku odejmowanie zastępuje się dodawaniem, ponieważ na początku, kiedy szczegółowo opisaliśmy rozwiązanie, zamienialiśmy odejmowanie na dodawanie tam, gdzie było to możliwe, i to zastąpienie zostało zachowane do odpowiedzi.

Tożsamości. Identyczne wyrażenia równości

Po uproszczeniu dowolnego wyrażenia staje się ono prostsze i krótsze. Aby sprawdzić, czy wyrażenie jest poprawnie uproszczone, wystarczy podstawić dowolne wartości zmiennych najpierw do poprzedniego wyrażenia, które wymagało uproszczenia, a następnie do nowego, które zostało uproszczone. Jeśli wartość w obu wyrażeniach jest taka sama, wyrażenie jest uproszczone poprawnie.

Rozważać najprostszy przykład. Niech będzie wymagane uproszczenie wyrażenia 2a × 7b. Aby uprościć to wyrażenie, możesz osobno pomnożyć liczby i litery:

2a × 7b = 2 × 7 × a × b = 14ab

Sprawdźmy, czy poprawnie uprościliśmy wyrażenie. Aby to zrobić, podmień dowolne wartości zmiennych a I b najpierw do pierwszego wyrażenia, które wymagało uproszczenia, a następnie do drugiego, które zostało uproszczone.

Niech wartości zmiennych a , b będzie wyglądać następująco:

a = 4 , b = 5

Zastąp je w pierwszym wyrażeniu 2a × 7b

Wstawmy teraz te same wartości zmiennych do wyrażenia wynikającego z uproszczenia 2a×7b, czyli w wyrażeniu 14ab

14ab = 14 x 4 x 5 = 280

Widzimy to w a=4 I b=5 wartość pierwszego wyrażenia 2a×7b i wartość drugiego wyrażenia 14ab równy

2a × 7b = 2 × 4 × 7 × 5 = 280

14ab = 14 x 4 x 5 = 280

To samo stanie się z innymi wartościami. Na przykład niech a=1 I b=2

2a × 7b = 2 × 1 × 7 × 2 = 28

14ab = 14 x 1 x 2 = 28

Zatem dla dowolnych wartości zmiennych wyrażenia 2a×7b I 14ab są równe tej samej wartości. Takie wyrażenia nazywają się identycznie równy.

Dochodzimy do wniosku, że między wyrażeniami 2a×7b I 14ab możesz umieścić znak równości, ponieważ są one równe tej samej wartości.

2a × 7b = 14ab

Równość to dowolne wyrażenie połączone znakiem równości (=).

I równość formy 2a×7b = 14ab nazywa się tożsamość.

Tożsamość to równość, która jest prawdziwa dla dowolnych wartości zmiennych.

Inne przykłady tożsamości:

a + b = b + a

a(b+c) = ab + ac

a(bc) = (ab)c

Tak, prawa matematyki, które studiowaliśmy, to tożsamości.

Prawdziwe równości liczbowe to także tożsamości. Na przykład:

2 + 2 = 4

3 + 3 = 5 + 1

10 = 7 + 2 + 1

Rozwiązywanie złożonego problemu, aby ułatwić sobie obliczenia, wyrażenie złożone zastąpione prostszym wyrażeniem, identycznie jak poprzednie. Taki zamiennik nazywa się identyczna transformacja wyrażenia lub po prostu konwersja wyrażenia.

Na przykład uprościliśmy wyrażenie 2a × 7b i uzyskaj prostsze wyrażenie 14ab. To uproszczenie można nazwać transformacją tożsamości.

Często można znaleźć zadanie, które mówi „udowodnij, że równość jest tożsamością” a następnie dana jest równość, którą należy udowodnić. Zwykle ta równość składa się z dwóch części: lewej i prawej części równości. Naszym zadaniem jest wykonanie identycznych przekształceń z jedną z części równości i uzyskanie drugiej części. Lub wykonaj identyczne przekształcenia z obiema częściami równości i upewnij się, że obie części równości zawierają te same wyrażenia.

Na przykład udowodnijmy, że równość 0,5a × 5b = 2,5ab jest tożsamością.

Uprość lewą stronę tej równości. Aby to zrobić, pomnóż cyfry i litery osobno:

0,5 × 5 × a × b = 2,5ab

2,5ab = 2,5ab

W wyniku małej transformacji tożsamości lewa strona równości zrównała się z prawą stroną równości. Udowodniliśmy więc, że równość 0,5a × 5b = 2,5ab jest tożsamością.

Z identycznych przekształceń nauczyliśmy się dodawać, odejmować, mnożyć i dzielić liczby, zmniejszać ułamki, wprowadzać podobne terminy, a także upraszczać niektóre wyrażenia.

Ale są to dalekie od wszystkich identycznych przekształceń, jakie istnieją w matematyce. Identycznych przekształceń jest znacznie więcej. Zobaczymy to wielokrotnie w przyszłości.

Zadania do samodzielnego rozwiązania:

Podobała Ci się lekcja?
Dołączć do naszego Nowa grupa Vkontakte i zacznij otrzymywać powiadomienia o nowych lekcjach

Wyrażenie algebraiczne, w zapisie którego oprócz operacji dodawania, odejmowania i mnożenia wykorzystuje również podział na wyrażenia dosłowne, nazywamy ułamkowym wyrażeniem algebraicznym. Takie są na przykład wyrażenia

Ułamek algebraiczny nazywamy wyrażeniem algebraicznym, które ma postać ilorazu z dzielenia dwóch liczb całkowitych wyrażenia algebraiczne(na przykład jednomiany lub wielomiany). Takie są na przykład wyrażenia

trzecie z wyrażeń).

Transformacje tożsamościowe ułamkowych wyrażeń algebraicznych są w większości przeznaczone do reprezentowania ich w postaci ułamek algebraiczny. Aby znaleźć wspólny mianownik, stosuje się faktoryzację mianowników ułamków - terminów w celu znalezienia ich najmniejszej wspólnej wielokrotności. Podczas redukcji ułamków algebraicznych można naruszyć ścisłą tożsamość wyrażeń: konieczne jest wykluczenie wartości wielkości, przy których znika czynnik, o który dokonano redukcji.

Podajmy przykłady identycznych przekształceń ułamkowych wyrażeń algebraicznych.

Przykład 1: Uprość wyrażenie