Pierwiastki równania kwadratowego dla q 0. Pierwiastek kwadratowy: wzory obliczeniowe. Wzór na znalezienie pierwiastków równania kwadratowego

Więcej w prosty sposób. Aby to zrobić, wyjmij z z nawiasów. Otrzymujesz: z(az + b) = 0. Czynniki można zapisać: z=0 i az + b = 0, ponieważ oba mogą dać zero. W zapisie az + b = 0 drugi znak przesuwamy w prawo z innym znakiem. Stąd otrzymujemy z1 = 0 i z2 = -b/a. To są korzenie oryginału.

Jeśli istnieje niekompletne równanie postaci az² + c \u003d 0, w tym przypadku można je znaleźć, po prostu przenosząc wyraz wolny na prawą stronę równania. Zmień także jego znak. Otrzymujesz rekord az² \u003d -s. Ekspresowe z² = -c/a. Weź pierwiastek i zapisz dwa rozwiązania - dodatnią i ujemną wartość pierwiastka kwadratowego.

Notatka

Jeśli w równaniu występują współczynniki ułamkowe, pomnóż całe równanie przez odpowiedni współczynnik, aby pozbyć się ułamków.

Wiedza o tym, jak rozwiązywać równania kwadratowe, jest niezbędna zarówno uczniom, jak i studentom, czasami może pomóc dorosłemu w życiu codziennym. Istnieje kilka konkretnych metod decyzyjnych.

Rozwiązywanie równań kwadratowych

Równanie kwadratowe postaci a*x^2+b*x+c=0. Współczynnik x to pożądana zmienna, a, b, c - współczynniki liczbowe. Pamiętaj, że znak „+” może zmienić się w znak „-”.

Aby rozwiązać to równanie, musisz użyć twierdzenia Vieta lub znaleźć dyskryminator. Najpopularniejszym sposobem jest znalezienie dyskryminatora, ponieważ dla niektórych wartości a, b, c nie można użyć twierdzenia Vieta.

Aby znaleźć dyskryminator (D), musisz napisać wzór D=b^2 - 4*a*c. Wartość D może być większa, mniejsza lub równa zero. Jeśli D jest większe lub mniejsze od zera, to będą dwa pierwiastki, jeśli D = 0, to pozostanie tylko jeden pierwiastek, a dokładniej możemy powiedzieć, że D w tym przypadku ma dwa równoważne pierwiastki. Podstaw znane współczynniki a, b, c do wzoru i oblicz wartość.

Po znalezieniu dyskryminatora, aby znaleźć x, użyj formuł: x(1) = (- b+sqrt(D))/2*a; x(2) = (- b-sqrt(D))/2*a gdzie sqrt jest funkcją do wyciągnięcia pierwiastka kwadratowego z podany numer. Po obliczeniu tych wyrażeń znajdziesz dwa pierwiastki swojego równania, po których równanie jest uważane za rozwiązane.

Jeśli D jest mniejsze od zera, to nadal ma pierwiastki. W szkole ta sekcja praktycznie nie jest badana. Studenci powinni mieć świadomość, że pod pierwiastkiem pojawia się liczba ujemna. Pozbywamy się go, oddzielając część urojoną, czyli -1 pod pierwiastkiem jest zawsze równe elementowi urojonemu „i”, który jest pomnożony przez pierwiastek o tej samej liczbie dodatniej. Na przykład, jeśli D=sqrt(-20), po przekształceniu otrzymuje się D=sqrt(20)*i. Po tej transformacji rozwiązanie równania sprowadza się do tego samego znalezienia pierwiastków, jak opisano powyżej.

Twierdzenie Viety polega na wyborze wartości x(1) ix(2). Stosowane są dwa identyczne równania: x(1) + x(2)= -b; x(1)*x(2)=s. I bardzo ważny punkt jest znakiem przed współczynnikiem b, pamiętaj, że ten znak jest przeciwny do znaku w równaniu. Na pierwszy rzut oka wydaje się, że obliczenie x(1) i x(2) jest bardzo proste, ale przy rozwiązywaniu napotkasz fakt, że liczby będą musiały być dokładnie dobrane.

Elementy do rozwiązywania równań kwadratowych

Zgodnie z zasadami matematyki, niektóre można rozłożyć na czynniki: (a + x (1)) * (b-x (2)) = 0, jeśli udało ci się przeliczyć za pomocą wzorów matematycznych W podobny sposób to równanie kwadratowe, a następnie zapisz odpowiedź. x(1) i x(2) będą równe sąsiednim współczynnikom w nawiasach, ale z przeciwnym znakiem.

Nie zapomnij też o niepełnych równaniach kwadratowych. Być może brakuje niektórych terminów, jeśli tak, to wszystkie jego współczynniki są po prostu równe zeru. Jeśli x^2 lub x jest poprzedzone niczym, to współczynniki a i b są równe 1.

Problemy z równania kwadratowego są również badane w program nauczania i na uniwersytetach. Są rozumiane jako równania postaci a * x ^ 2 + b * x + c \u003d 0, gdzie x- zmienna, a,b,c – stałe; a<>0 . Problem polega na znalezieniu pierwiastków równania.

Geometryczne znaczenie równania kwadratowego

Wykres funkcji reprezentowanej przez równanie kwadratowe to parabola. Rozwiązania (pierwiastki) równania kwadratowego to punkty przecięcia paraboli z osią x. Wynika z tego, że możliwe są trzy przypadki:
1) parabola nie ma punktów przecięcia z osią x. Oznacza to, że znajduje się w górnej płaszczyźnie z rozgałęzieniami do góry lub dolnej z rozgałęzieniami w dół. W takich przypadkach równanie kwadratowe nie ma pierwiastków rzeczywistych (ma dwa pierwiastki złożone).

2) parabola ma jeden punkt przecięcia z osią Wół. Taki punkt nazywa się wierzchołkiem paraboli, a zawarte w nim równanie kwadratowe uzyskuje swoją minimalną lub maksymalną wartość. W tym przypadku równanie kwadratowe ma jeden pierwiastek rzeczywisty (lub dwa identyczne pierwiastki).

3) Ostatni przypadek jest ciekawszy w praktyce - istnieją dwa punkty przecięcia paraboli z osią odciętych. Oznacza to, że równanie ma dwa pierwiastki rzeczywiste.

Na podstawie analizy współczynników przy potęgach zmiennych można wyciągnąć ciekawe wnioski dotyczące rozmieszczenia paraboli.

1) Jeśli współczynnik a jest większy od zera, to parabola jest skierowana w górę, jeśli jest ujemna, gałęzie paraboli skierowane są w dół.

2) Jeśli współczynnik b jest większy od zera, to wierzchołek paraboli leży w lewej półpłaszczyźnie, jeśli przyjmuje wartość ujemną, to w prawej.

Wyprowadzenie wzoru na rozwiązanie równania kwadratowego

Przenieśmy stałą z równania kwadratowego

dla znaku równości otrzymujemy wyrażenie

Pomnóż obie strony przez 4a

Aby wyjść pełny kwadrat dodaj w obu częściach b^2 i wykonaj przekształcenie

Stąd znajdujemy

Wzór na wyróżnik i pierwiastki równania kwadratowego

Dyskryminator jest wartością wyrażenia pierwiastkowego. Jeśli jest dodatni, to równanie ma dwa pierwiastki rzeczywiste, obliczone ze wzoru Gdy dyskryminator wynosi zero, równanie kwadratowe ma jedno rozwiązanie (dwa pokrywające się pierwiastki), które łatwo wyprowadzić z powyższego wzoru dla D = 0. Gdy dyskryminator jest ujemny, nie ma pierwiastków rzeczywistych. Jednak, aby zbadać rozwiązania równania kwadratowego na płaszczyźnie zespolonej, a ich wartość oblicza się według wzoru

Twierdzenie Viety

Rozważ dwa pierwiastki równania kwadratowego i skonstruuj na ich podstawie równanie kwadratowe.Z notacji wynika samo twierdzenie Vieta: jeśli mamy równanie kwadratowe o postaci wtedy suma jego pierwiastków jest równa współczynnikowi p, wziętemu z przeciwnym znakiem, a iloczyn pierwiastków równania jest równy członowi wolnemu q. Wzór na powyższe będzie wyglądał tak: Jeśli stała a w równaniu klasycznym jest niezerowa, to musisz przez nią podzielić całe równanie, a następnie zastosować twierdzenie Vieta.

Harmonogram równania kwadratowego na czynniki

Niech postawimy sobie zadanie: rozłożyć równanie kwadratowe na czynniki. Aby to wykonać, najpierw rozwiązujemy równanie (znajdujemy pierwiastki). Następnie podstawiamy znalezione pierwiastki do wzoru na rozwinięcie równania kwadratowego.Ten problem zostanie rozwiązany.

Zadania dla równania kwadratowego

Zadanie 1. Znajdź pierwiastki równania kwadratowego

x^2-26x+120=0 .

Rozwiązanie: Zapisz współczynniki i zastąp je we wzorze na dyskryminację

korzeń podana wartość równy 14, łatwo go znaleźć za pomocą kalkulatora, lub zapamiętać przy częstym używaniu, jednak dla wygody na końcu artykułu podam listę kwadratów liczb, które często można znaleźć w takich zadaniach .
Znaleziona wartość jest podstawiona do wzoru na pierwiastek

i dostajemy

Zadanie 2. Rozwiązać równanie

2x2+x-3=0.

Rozwiązanie: Mamy pełne równanie kwadratowe, wypisz współczynniki i znajdź wyróżnik

Korzystając ze znanych wzorów, znajdujemy pierwiastki równania kwadratowego

Zadanie 3. Rozwiązać równanie

9x2 -12x+4=0.

Rozwiązanie: Mamy pełne równanie kwadratowe. Określ dyskryminator

Mamy przypadek, gdy korzenie się pokrywają. Obliczamy wartości pierwiastków według wzoru

Zadanie 4. Rozwiązać równanie

x^2+x-6=0 .

Rozwiązanie: W przypadkach, w których występują małe współczynniki dla x, zaleca się zastosowanie twierdzenia Vieta. Z jego warunku otrzymujemy dwa równania

Z drugiego warunku otrzymujemy, że iloczyn musi być równy -6. Oznacza to, że jeden z korzeni jest ujemny. Mamy następującą możliwą parę rozwiązań(-3;2), (3;-2) . Biorąc pod uwagę pierwszy warunek, odrzucamy drugą parę rozwiązań.
Pierwiastki równania to

Zadanie 5. Znajdź długości boków prostokąta, jeśli jego obwód wynosi 18 cm, a powierzchnia 77 cm2.

Rozwiązanie: połowa obwodu prostokąta jest równa sumie sąsiednich boków. Oznaczmy x - duża strona, wtedy 18-x jest jego mniejszą stroną. Powierzchnia prostokąta jest równa iloczynowi tych długości:
x(18x)=77;
lub
x 2 -18x + 77 \u003d 0.
Znajdź wyróżnik równania

Obliczamy pierwiastki równania

Jeśli x=11, następnie 18x=7 , odwrotnie jest również prawdziwe (jeśli x=7, to 21-x=9).

Zadanie 6. Rozkład na czynniki kwadratowe równanie 10x 2 -11x+3=0.

Rozwiązanie: Oblicz pierwiastki równania, w tym celu znajdujemy wyróżnik

Podstawiamy znalezioną wartość do wzoru pierwiastków i obliczamy

Stosujemy wzór na rozwinięcie równania kwadratowego o pierwiastki

Rozwijając nawiasy otrzymujemy tożsamość.

Równanie kwadratowe z parametrem

Przykład 1. Dla jakich wartości parametru ale , czy równanie (a-3) x 2 + (3-a) x-1 / 4 \u003d 0 ma jeden pierwiastek?

Rozwiązanie: Poprzez bezpośrednie podstawienie wartości a=3 widzimy, że nie ma rozwiązania. Ponadto wykorzystamy fakt, że przy zerowym dyskryminatorze równanie ma jeden pierwiastek z krotności 2. Wypiszmy wyróżnik

uprościć i przyrównać do zera

Otrzymaliśmy równanie kwadratowe ze względu na parametr a, którego rozwiązanie jest łatwe do uzyskania przy pomocy twierdzenia Vieta. Suma pierwiastków to 7, a ich iloczyn to 12. Poprzez proste wyliczenie ustalamy, że liczby 3.4 będą pierwiastkami równania. Ponieważ już na początku obliczeń odrzuciliśmy rozwiązanie a=3, jedynym poprawnym będzie - a=4. Zatem dla a = 4 równanie ma jeden pierwiastek.

Przykład 2. Dla jakich wartości parametru ale , równanie a(a+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0 ma więcej niż jeden korzeń?

Rozwiązanie: Rozważmy najpierw punkty osobliwe, będą to wartości a=0 i a=-3. Gdy a=0, równanie zostanie uproszczone do postaci 6x-9=0; x=3/2 i będzie jeden pierwiastek. Dla a= -3 otrzymujemy tożsamość 0=0 .
Oblicz dyskryminator

i znajdź wartości, dla których jest to pozytywne

Z pierwszego warunku otrzymujemy a>3. Po drugie, znajdujemy wyróżnik i pierwiastki równania

Zdefiniujmy przedziały, w których funkcja przyjmuje wartości dodatnie. Podstawiając punkt a=0 otrzymujemy 3>0 . Tak więc poza przedziałem (-3; 1/3) funkcja jest ujemna. Nie zapomnij o kropce a=0 co należy wykluczyć, ponieważ pierwotne równanie ma w sobie jeden pierwiastek.
W efekcie otrzymujemy dwa przedziały spełniające warunek problemu

W praktyce będzie wiele podobnych zadań, postaraj się samemu poradzić sobie z zadaniami i nie zapomnij wziąć pod uwagę warunków, które wzajemnie się wykluczają. Przestudiuj dobrze wzory do rozwiązywania równań kwadratowych, są one dość często potrzebne w obliczeniach w różnych problemach i naukach.

Wiejska szkoła średnia Kopyevskaya

10 sposobów rozwiązywania równań kwadratowych

Kierownik: Patrikeeva Galina Anatolyevna,

nauczyciel matematyki

s. Kopiewo, 2007

1. Historia rozwoju równań kwadratowych

1.1 Równania kwadratowe w starożytnym Babilonie

1.2 Jak Diophantus skompilował i rozwiązał równania kwadratowe

1.3 Równania kwadratowe w Indiach

1.4 Równania kwadratowe w al-Khwarizmi

1.5 Równania kwadratowe w Europie XIII - XVII wiek

1.6 O twierdzeniu Viety

2. Metody rozwiązywania równań kwadratowych

Wniosek

Literatura

1. Historia rozwoju równań kwadratowych

1.1 Równania kwadratowe w starożytnym Babilonie

Konieczność rozwiązywania równań nie tylko pierwszego, ale i drugiego stopnia była w starożytności spowodowana koniecznością rozwiązywania problemów związanych ze znajdowaniem obszarów działki oraz z robotami ziemnymi o charakterze wojskowym, a także z rozwojem samej astronomii i matematyki. Równania kwadratowe były w stanie rozwiązać około 2000 r. p.n.e. mi. Babilończycy.

Stosując nowoczesne notacja algebraiczna, możemy powiedzieć, że w ich tekstach klinowych występują, oprócz niepełnych, np. zupełne równania kwadratowe:

x 2 + x = ¾; x 2 - x = 14,5

Pomimo wysoki poziom rozwój algebry w Babilonie, w tekstach klinowych nie ma pojęcia liczby ujemnej i wspólne metody rozwiązania równań kwadratowych.

1.2 Jak Diophantus skompilował i rozwiązał równania kwadratowe.

Arytmetyka Diofanta nie zawiera systematycznego wykładu algebry, ale zawiera systematyczny szereg problemów, którym towarzyszą wyjaśnienia i rozwiązywane są przez formułowanie równań różnego stopnia.

Podczas kompilacji równań Diophantus umiejętnie wybiera niewiadome, aby uprościć rozwiązanie.

Oto na przykład jedno z jego zadań.

Zadanie 11.„Znajdź dwie liczby, wiedząc, że ich suma wynosi 20, a ich iloczyn 96”

Diophantus argumentuje następująco: z warunku problemu wynika, że pożądane liczby nie są równe, ponieważ gdyby były równe, to ich iloczyn byłby równy nie 96, ale 100. Zatem jedna z nich będzie większa niż połowę ich sumy, czyli . 10+x, drugi jest mniejszy, tj. 10's. Różnica między nimi 2x .

Stąd równanie:

(10 + x)(10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

Stąd x = 2. Jedną z pożądanych liczb jest 12 , inny 8 . Rozwiązanie x = -2 bo Diofant nie istnieje, ponieważ matematyka grecka znała tylko liczby dodatnie.

Jeśli rozwiążemy ten problem, wybierając jedną z pożądanych liczb jako niewiadomą, dojdziemy do rozwiązania równania

r(20 - r) = 96,

r 2 - 20 lat + 96 = 0. (2)

Jasne jest, że Diophantus upraszcza rozwiązanie, wybierając połowę różnicy pożądanych liczb jako niewiadomą; udaje mu się zredukować problem do rozwiązania niepełnego równania kwadratowego (1).

1.3 Równania kwadratowe w Indiach

Problemy z równaniami kwadratowymi zostały już znalezione w traktacie astronomicznym „Aryabhattam”, opracowanym w 499 r. przez indyjskiego matematyka i astronoma Aryabhattę. Inny indyjski naukowiec, Brahmagupta (VII w.), przedstawił ogólną zasadę rozwiązywania równań kwadratowych zredukowanych do jednej postaci kanonicznej:

ach 2+ b x = c, a > 0. (1)

W równaniu (1) współczynniki, z wyjątkiem ale, może być również ujemna. Rządy Brahmagupty zasadniczo pokrywają się z naszymi.

W starożytnych Indiach powszechne były publiczne konkursy w rozwiązywaniu trudnych problemów. W jednej ze starych indyjskich książek o takich konkursach mówi się: „Jak słońce swoim blaskiem przyćmiewa gwiazdy, tak naukowiec przyćmić chwałę drugiego na publicznych spotkaniach, proponując i rozwiązując problemy algebraiczne. Zadania często ubierano w poetycką formę.

Oto jeden z problemów słynnego matematyka indyjskiego z XII wieku. Bhaskara.

Zadanie 13.

„Rozbrykane stado małp I dwanaście w winorośli…

Po zjedzeniu mocy, dobrze się bawiłem. Zaczęli skakać, wisząc ...

Część ósma z nich na kwadracie Ile tam było małp,

Zabawa na łące. Mówisz mi, w tym stadzie?

Rozwiązanie Bhaskary wskazuje, że wiedział on o dwuwartościowości pierwiastków równań kwadratowych (ryc. 3).

Równanie odpowiadające zadaniu 13 to:

( x /8) 2 + 12 = x

Bhaskara pisze pod przykrywką:

x 2 - 64x = -768

i aby uzupełnić lewą stronę tego równania do kwadratu, dodaje do obu stron 32 2 , otrzymując następnie:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48.

1.4 Równania kwadratowe w al-Khorezmi

Traktat algebraiczny Al-Khorezmiego podaje klasyfikację równań liniowych i kwadratowych. Autor wymienia 6 typów równań, wyrażając je następująco:

1) „Kwadraty są równe pierwiastkom”, tj. topór 2 + c = b X.

2) „Kwadraty są równe liczbie”, tj. topór 2 = s.

3) „Korzenie są równe liczbie”, tj. ah = s.

4) „Kwadraty i liczby są równe pierwiastkom”, tj. topór 2 + c = b X.

5) „Kwadraty i pierwiastki są równe liczbie”, tj. ach 2+ bx = s.

6) „Pierwiastki i liczby są równe kwadratom”, tj. bx + c \u003d topór 2.

Dla al-Khwarizmi, który unikał używania liczb ujemnych, warunki każdego z tych równań są dodatkami, a nie odejmowaniem. W tym przypadku równania, które nie mają pozytywnych rozwiązań, oczywiście nie są brane pod uwagę. Autor nakreśla metody rozwiązywania tych równań, wykorzystując metody al-dżabra i al-muqabala. Jego decyzje oczywiście nie pokrywają się całkowicie z naszymi. Nie mówiąc już o tym, że jest to czysto retoryczne, należy zauważyć np., że przy rozwiązywaniu niepełnego równania kwadratowego pierwszego typu

al-Khorezmi, jak wszyscy matematycy przed XVII wiekiem, nie bierze pod uwagę rozwiązania zerowego, prawdopodobnie dlatego, że nie ma to znaczenia w konkretnych problemach praktycznych. Rozwiązując kompletne równania kwadratowe, al-Khorezmi określa zasady rozwiązywania, a następnie dowodów geometrycznych, używając konkretnych przykładów liczbowych.

Zadanie 14.„Kwadrat i liczba 21 są równe 10 pierwiastkom. Znajdź korzeń" (zakładając pierwiastek z równania x 2 + 21 = 10x).

Autorskie rozwiązanie wygląda mniej więcej tak: podziel liczbę pierwiastków na pół, otrzymasz 5, pomnóż 5 przez siebie, odejmij 21 od iloczynu, pozostaje 4. Weź pierwiastek z 4, otrzymasz 2. Odejmij 2 od 5, ty zdobądź 3, będzie to pożądany korzeń. Lub dodaj 2 do 5, co da 7, to też jest korzeń.

Treatise al - Khorezmi to pierwsza książka, która do nas dotarła, w której systematycznie przedstawia się klasyfikację równań kwadratowych i podaje wzory na ich rozwiązanie.

1.5 Równania kwadratowe w Europie XIII - XVII wieki

Wzory rozwiązywania równań kwadratowych na modelu al-Khorezmi w Europie zostały po raz pierwszy przedstawione w „Księdze Liczydła”, napisanej w 1202 r. przez włoskiego matematyka Leonardo Fibonacciego. To obszerne dzieło, które odzwierciedla wpływ matematyki, zarówno krajów islamu, jak i Starożytna Grecja, różni się zarówno kompletnością, jak i przejrzystością prezentacji. Autor samodzielnie opracował kilka nowych przykłady algebraiczne rozwiązywania problemów i jako pierwszy w Europie podszedł do wprowadzenia liczb ujemnych. Jego książka przyczyniła się do rozpowszechnienia wiedzy algebraicznej nie tylko we Włoszech, ale także w Niemczech, Francji i innych krajach europejskich. Wiele zadań z „Księgi liczydła” przeszło do prawie wszystkich europejskich podręczników XVI-XVII wieku. a częściowo XVIII.

Ogólna zasada rozwiązywania równań kwadratowych sprowadzonych do jednej postaci kanonicznej:

x 2+ bx = z,

dla wszystkich możliwych kombinacji znaków współczynników b , od został sformułowany w Europie dopiero w 1544 r. przez M. Stiefela.

Wyprowadzenie wzoru na rozwiązanie równania kwadratowego w ogólny widok Viet ma, ale Viet rozpoznał tylko pozytywne korzenie. Włoscy matematycy Tartaglia, Cardano, Bombelli byli jednymi z pierwszych w XVI wieku. Weź pod uwagę, oprócz dodatnich i ujemnych korzeni. Dopiero w XVII wieku. Dzięki pracy Girarda, Kartezjusza, Newtona i innych sposób naukowców rozwiązywanie równań kwadratowych przybiera nowoczesną formę.

1.6 O twierdzeniu Viety

Twierdzenie wyrażające zależność między współczynnikami równania kwadratowego a jego pierwiastkami, noszące nazwę Vieta, zostało przez niego po raz pierwszy sformułowane w 1591 r. w następujący sposób: „Jeśli b + D pomnożone przez A - A 2 , równa się BD, następnie A równa się W i równe D ».

Aby zrozumieć Vieta, trzeba o tym pamiętać ALE, jak każda samogłoska, oznaczało dla niego nieznane (nasz x), samogłoski W, D- współczynniki dla nieznanego. W języku współczesnej algebry powyższe sformułowanie Viety oznacza: if

(+ b )x - x 2 = ab ,

x 2 - (+ b )x + a b = 0,

x 1 = a, x 2 = b .

Wyrażając związek między pierwiastkami a współczynnikami równań za pomocą ogólnych wzorów zapisanych za pomocą symboli, Viet ustalił jednolitość w metodach rozwiązywania równań. Jednak symbolika Viety jest wciąż daleka od nowoczesny wygląd. Nie rozpoznawał liczb ujemnych, dlatego przy rozwiązywaniu równań brał pod uwagę tylko przypadki, w których wszystkie pierwiastki są dodatnie.

2. Metody rozwiązywania równań kwadratowych

Równania kwadratowe są podstawą, na której opiera się majestatyczny gmach algebry. Znajdź równania kwadratowe szerokie zastosowanie przy rozwiązywaniu równań i nierówności trygonometrycznych, wykładniczych, logarytmicznych, irracjonalnych i transcendentalnych. Wszyscy wiemy, jak rozwiązywać równania kwadratowe od szkoły (klasa 8) do matury.

Opis bibliograficzny: Gasanov A. R., Kuramshin A. A., Elkov A. A., Shilnenkov N. V., Ulanov D. D., Shmeleva O. V. Metody rozwiązywania równań kwadratowych // Młody naukowiec. - 2016r. - nr 6.1. - S. 17-20.03.2019).

Nasz projekt poświęcony jest sposobom rozwiązywania równań kwadratowych. Cel projektu: nauczenie rozwiązywania równań kwadratowych w sposób nieuwzględniony w szkolnym programie nauczania. Zadanie: znajdź wszystkie możliwe sposoby rozwiązywania równań kwadratowych i naucz się ich używać samodzielnie oraz zapoznaj kolegów z klasy z tymi metodami.

Czym są „równania kwadratowe”?

Równanie kwadratowe- równanie postaci topór2 + bx + c = 0, gdzie a, b, C- kilka liczb ( 0), x- nieznany.

Liczby a, b, c nazywane są współczynnikami równania kwadratowego.

a nazywa się pierwszym współczynnikiem;
b jest nazywany drugim współczynnikiem;
c - wolny członek.

A kto pierwszy „wymyślił” równania kwadratowe?

Niektóre techniki algebraiczne do rozwiązywania równań liniowych i kwadratowych były znane już 4000 lat temu w starożytnym Babilonie. Znalezione starożytne babilońskie tabliczki gliniane, datowane gdzieś między 1800 a 1600 rokiem pne, są najwcześniejszymi dowodami badania równań kwadratowych. Te same tabliczki zawierają metody rozwiązywania niektórych typów równań kwadratowych.

Konieczność rozwiązywania równań nie tylko pierwszego, ale i drugiego stopnia w starożytności była spowodowana potrzebą rozwiązywania problemów związanych ze znalezieniem obszarów gruntów i robót ziemnych o charakterze militarnym, a także rozwojem astronomii i sama matematyka.

Reguła rozwiązywania tych równań, podana w tekstach babilońskich, zasadniczo pokrywa się z regułą współczesną, ale nie wiadomo, w jaki sposób Babilończycy doszli do tej reguły. Niemal wszystkie dotychczas odnalezione teksty klinowe podają jedynie problemy z rozwiązaniami podanymi w formie przepisów, bez wskazania sposobu ich znalezienia. Pomimo wysokiego poziomu rozwoju algebry w Babilonie, w tekstach klinowych brakuje koncepcji liczby ujemnej i ogólnych metod rozwiązywania równań kwadratowych.

Matematycy babilońscy z około IV wieku p.n.e. zastosował metodę dopełnienia kwadratowego do rozwiązywania równań z pierwiastkami dodatnimi. Około 300 p.n.e. Euclid wymyślił bardziej ogólną metodę rozwiązania geometrycznego. Pierwszym matematykiem, który znalazł rozwiązania równania z ujemnymi pierwiastkami w postaci wzoru algebraicznego, był indyjski naukowiec. Brahmagupta(Indie, VII wne).

Brahmagupta nakreślił ogólną zasadę rozwiązywania równań kwadratowych zredukowanych do jednej postaci kanonicznej:

ax2 + bx = c, a>0

W tym równaniu współczynniki mogą być ujemne. Rządy Brahmagupty zasadniczo pokrywają się z naszymi.

W Indiach powszechne były publiczne konkursy w rozwiązywaniu trudnych problemów. W jednej ze starych indyjskich książek o takich konkursach mówi się: „Jak słońce swoim blaskiem przyćmiewa gwiazdy, tak uczona osoba przyćmie chwałę na publicznych zebraniach, proponując i rozwiązując problemy algebraiczne”. Zadania często ubierano w poetycką formę.

W traktacie algebraicznym Al-Chwarizmi podana jest klasyfikacja równań liniowych i kwadratowych. Autor wymienia 6 typów równań, wyrażając je następująco:

1) „Kwadraty są równe pierwiastkom”, tj. ax2 = bx.

2) „Kwadraty są równe liczbie”, tj. ax2 = c.

3) „Pierwiastki są równe liczbie”, tj. ax2 = c.

4) „Kwadraty i liczby są równe pierwiastkom”, czyli ax2 + c = bx.

5) „Kwadraty i pierwiastki są równe liczbie”, tj. ax2 + bx = c.

6) „Pierwiastki i liczby są równe kwadratom”, tj. bx + c == ax2.

Dla Al-Khwarizmi, który unikał używania liczb ujemnych, warunki każdego z tych równań są dodatkami, a nie odejmowaniem. W tym przypadku równania, które nie mają pozytywnych rozwiązań, oczywiście nie są brane pod uwagę. Autor nakreśla metody rozwiązywania tych równań, wykorzystując metody al-dżabra i al-muqabala. Jego decyzja oczywiście nie pokrywa się całkowicie z naszą. Nie mówiąc już o tym, że jest to czysto retoryczne, należy na przykład zauważyć, że rozwiązując niepełne równanie kwadratowe pierwszego typu, Al-Khwarizmi, jak wszyscy matematycy przed XVII wiekiem, nie bierze pod uwagę zera rozwiązanie, prawdopodobnie dlatego, że w konkretnych zadaniach praktycznych nie ma to znaczenia. Rozwiązując pełne równania kwadratowe, Al-Khwarizmi określa zasady ich rozwiązywania na podstawie konkretnych przykładów liczbowych, a następnie ich geometrycznych dowodów.

Formy rozwiązywania równań kwadratowych na modelu Al-Khwarizmi w Europie zostały po raz pierwszy opisane w „Księdze Liczydła”, napisanej w 1202 roku. włoski matematyk Leonard Fibonacci. Autor samodzielnie opracował kilka nowych algebraicznych przykładów rozwiązywania problemów i jako pierwszy w Europie podszedł do wprowadzenia liczb ujemnych.

Książka ta przyczyniła się do rozpowszechnienia wiedzy algebraicznej nie tylko we Włoszech, ale także w Niemczech, Francji i innych krajach europejskich. Wiele zadań z tej księgi zostało przeniesionych do prawie wszystkich europejskich podręczników XIV-XVII wieku. Ogólna zasada rozwiązywania równań kwadratowych zredukowanych do pojedynczej postaci kanonicznej x2 + bx = c ze wszystkimi możliwymi kombinacjami znaków i współczynników b, c została sformułowana w Europie w 1544 roku. M. Stiefela.

Vieta ma ogólne wyprowadzenie wzoru na rozwiązanie równania kwadratowego, ale Vieta rozpoznał tylko pierwiastki dodatnie. włoscy matematycy Tartaglia, Cardano, Bombelli jeden z pierwszych w XVI wieku. weź pod uwagę oprócz dodatnich i ujemnych pierwiastków. Dopiero w XVII wieku. dzięki pracy Girard, Kartezjusz, Newton i innych naukowców sposób rozwiązywania równań kwadratowych przybiera nowoczesną formę.

Rozważ kilka sposobów rozwiązywania równań kwadratowych.

Standardowe sposoby rozwiązywania równań kwadratowych z programu szkolnego:

Faktoryzacja lewej strony równania.
Pełnokwadratowa metoda selekcji.
Rozwiązywanie równań kwadratowych za pomocą wzoru.
Graficzne rozwiązanie równania kwadratowego.
Rozwiązywanie równań z wykorzystaniem twierdzenia Viety.

Przyjrzyjmy się bardziej szczegółowo rozwiązaniu zredukowanych i niezredukowanych równań kwadratowych za pomocą twierdzenia Vieta.

Przypomnijmy, że aby rozwiązać podane równania kwadratowe, wystarczy znaleźć dwie liczby takie, że iloczyn jest równy członowi wolnemu, a suma jest równa drugiemu współczynnikowi o przeciwnym znaku.

Przykład.x 2 -5x+6=0

Musisz znaleźć liczby, których iloczyn to 6, a suma to 5. Te liczby to 3 i 2.

Odpowiedź: x 1 =2, x 2 =3.

Ale możesz użyć tej metody do równań, w których pierwszy współczynnik nie jest równy jeden.

Przykład.3x 2 +2x-5=0

Bierzemy pierwszy współczynnik i mnożymy go przez wyraz wolny: x 2 +2x-15=0

Pierwiastkami tego równania będą liczby, których iloczyn to - 15, a suma to - 2. Liczby te to 5 i 3. Aby znaleźć pierwiastki pierwotnego równania, dzielimy uzyskane pierwiastki przez pierwszy współczynnik.

Odpowiedź: x 1 =-5/3, x 2 =1

6. Rozwiązywanie równań metodą „przeniesienia”.

Rozważ równanie kwadratowe ax 2 + bx + c = 0, gdzie a≠0.

Mnożąc obie jego części przez a, otrzymujemy równanie a 2 x 2 + abx + ac = 0.

Niech ax = y, skąd x = y/a; wtedy dochodzimy do równania y 2 + przez + ac = 0, które jest równoważne danemu. Znajdujemy jego pierwiastki w 1 i 2, używając twierdzenia Vieta.

W końcu otrzymujemy x 1 = y 1 /a i x 2 = y 2 /a.

Dzięki tej metodzie współczynnik a jest mnożony przez człon swobodny, jakby „przeniesiony” do niego, dlatego nazywa się to metodą „przeniesienia”. Ta metoda jest używana, gdy łatwo jest znaleźć pierwiastki równania za pomocą twierdzenia Viety i, co najważniejsze, gdy dyskryminator jest dokładnym kwadratem.

Przykład.2x 2 - 11x + 15 = 0.

„Przenieśmy” współczynnik 2 do wyrazu wolnego i dokonując zamiany otrzymujemy równanie y 2 – 11y + 30 = 0.

Zgodnie z odwrotnym twierdzeniem Viety

y 1 = 5, x 1 = 5/2, x 1 = 2,5, y 2 = 6, x 2 = 6/2, x 2 = 3.

Odpowiedź: x 1 =2,5; x 2 = 3.

7. Własności współczynników równania kwadratowego.

Niech zostanie podane równanie kwadratowe ax 2 + bx + c \u003d 0, a ≠ 0.

1. Jeśli a + b + c \u003d 0 (tj. suma współczynników równania wynosi zero), to x 1 \u003d 1.

2. Jeśli a - b + c \u003d 0 lub b \u003d a + c, to x 1 \u003d - 1.

Przykład.345x 2 - 137x - 208 = 0.

Ponieważ a + b + c \u003d 0 (345 - 137 - 208 \u003d 0), to x 1 \u003d 1, x 2 \u003d -208/345.

Odpowiedź: x 1 =1; x 2 = -208/345 .

Przykład.132x 2 + 247x + 115 = 0

Dlatego a-b + c \u003d 0 (132 - 247 + 115 \u003d 0), następnie x 1 \u003d - 1, x 2 \u003d - 115/132

Odpowiedź: x 1 = - 1; x 2 =- 115/132

Istnieją inne właściwości współczynników równania kwadratowego. ale ich użycie jest bardziej skomplikowane.

8. Rozwiązywanie równań kwadratowych za pomocą nomogramu.

Rys 1. Nomogram

To stara i obecnie zapomniana metoda rozwiązywania równań kwadratowych, umieszczona na s. 83 zbioru: Bradis V.M. Czterocyfrowy tabele matematyczne. - M., Edukacja, 1990.

Tabela XXII. Nomogram do rozwiązywania równań z2 + pz + q = 0. Ten nomogram pozwala, bez rozwiązywania równania kwadratowego, wyznaczyć pierwiastki równania na podstawie jego współczynników.

Skala krzywoliniowa nomogramu zbudowana jest według wzorów (ryc. 1):

Zarozumiały OS = p, ED = q, OE = a(wszystkie w cm), z rys. 1 podobieństwo trójkątów SAN I CDF otrzymujemy proporcję

stąd po podstawieniach i uproszczeniach następuje równanie z 2 + pz + q = 0, i list z oznacza etykietę dowolnego punktu na zakrzywionej skali.

Ryż. 2 Rozwiązywanie równania kwadratowego za pomocą nomogramu

Przykłady.

1) Dla równania z 2 - 9z + 8 = 0 nomogram daje pierwiastki z 1 = 8,0 i z 2 = 1,0

Odpowiedź: 8,0; 1.0.

2) Rozwiąż równanie za pomocą nomogramu

2z 2 - 9z + 2 = 0.

Podziel współczynniki tego równania przez 2, otrzymamy równanie z 2 - 4,5z + 1 = 0.

Nomogram daje pierwiastki z 1 = 4 i z 2 = 0,5.

Odpowiedź: 4; 0,5.

9. Geometryczna metoda rozwiązywania równań kwadratowych.

Przykład.x 2 + 10x = 39.

W oryginale problem ten jest sformułowany w następujący sposób: „Kwadrat i dziesięć pierwiastków równa się 39”.

Rozważ kwadrat o boku x, prostokąty są zbudowane na jego bokach tak, że drugi bok każdego z nich ma 2,5, zatem powierzchnia każdego z nich wynosi 2,5x. Wynikowa liczba jest następnie uzupełniana o nowy kwadrat ABCD, uzupełniając cztery rogi równy kwadrat, bok każdego z nich to 2,5, a powierzchnia to 6,25

Ryż. 3 Graficzny sposób rozwiązania równania x 2 + 10x = 39

Pole S kwadratu ABCD można przedstawić jako sumę pól: pierwotnego kwadratu x 2, czterech prostokątów (4∙2,5x = 10x) i czterech dołączonych kwadratów (6,25∙4 = 25), tj. S \u003d x 2 + 10x \u003d 25. Zastępując x 2 + 10x liczbą 39, otrzymujemy, że S \u003d 39 + 25 \u003d 64, co oznacza, że bok kwadratu ABCD, tj. odcinek AB \u003d 8. Dla żądanego boku x pierwotnego kwadratu otrzymujemy

10. Rozwiązywanie równań z wykorzystaniem twierdzenia Bezouta.

Twierdzenie Bezouta. Reszta po podzieleniu wielomianu P(x) przez dwumian x - α jest równa P(α) (czyli wartość P(x) przy x = α).

Jeśli liczba α jest pierwiastkiem wielomianu P(x), to ten wielomian jest podzielny przez x -α bez reszty.

Przykład.x²-4x+3=0

Р(x)= x²-4x+3, α: ±1,±3, α=1, 1-4+3=0. Podziel P(x) przez (x-1): (x²-4x+3)/(x-1)=x-3

x²-4x+3=(x-1)(x-3), (x-1)(x-3)=0

x-1=0; x=1 lub x-3=0, x=3; Odpowiedź: x1 =2, x2 =3.

Wyjście: Umiejętność szybkiego i racjonalnego rozwiązywania równań kwadratowych jest po prostu niezbędna, aby rozwiązać więcej złożone równania, na przykład, ułamkowe równania wymierne, równania wyższych stopni, równania dwukwadratowe, a w szkole średniej trygonometryczne, wykładnicze i równania logarytmiczne. Po przestudiowaniu wszystkich znalezionych metod rozwiązywania równań kwadratowych, możemy doradzić kolegom z klasy, oprócz standardowych metod, rozwiązywanie metodą transferu (6) i rozwiązywanie równań według właściwości współczynników (7), ponieważ są one bardziej dostępne do zrozumienia .

Literatura:

Bradis V.M. Czterocyfrowe tablice matematyczne. - M., Edukacja, 1990.
Algebra klasa 8: podręcznik do klasy 8. ogólne wykształcenie instytucje Makarychev Yu. N., Mindyuk N. G., Neshkov K. I., Suvorova S. B. wyd. S. A. Telyakovsky 15th ed., poprawione. - M.: Oświecenie, 2015
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0 %B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5
Glazer G.I. Historia matematyki w szkole. Przewodnik dla nauczycieli. / Wyd. V.N. Młodszy. - M.: Oświecenie, 1964.

Kontynuując temat „Rozwiązywanie równań”, materiał w tym artykule wprowadzi Cię w równania kwadratowe.

Rozważmy wszystko szczegółowo: istotę i zapis równania kwadratowego, ustaw towarzyszące warunki, przeanalizuj schemat rozwiązywania niekompletnych i pełne równania zapoznamy się z formułą pierwiastków i wyróżnika, ustalimy związki między pierwiastkami a współczynnikami i oczywiście podamy wizualne rozwiązanie praktycznych przykładów.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Równanie kwadratowe, jego rodzaje

Definicja 1

Równanie kwadratowe czy równanie jest zapisane jako a x 2 + b x + c = 0, gdzie x– zmienna, a , b i C są jakieś liczby, podczas gdy a nie jest zerem.

Często równania kwadratowe są również nazywane równaniami drugiego stopnia, ponieważ w rzeczywistości równanie kwadratowe to równanie algebraiczne drugi stopień.

Oto przykład ilustrujący podana definicja: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0 itd. są równaniami kwadratowymi.

Definicja 2

Liczby a , b i C są współczynnikami równania kwadratowego a x 2 + b x + c = 0, natomiast współczynnik a nazywa się pierwszym lub starszym lub współczynnikiem przy x 2, b - drugim współczynnikiem lub współczynnikiem przy x, ale C nazwany wolnym członkiem.

Na przykład w równaniu kwadratowym 6 x 2 - 2 x - 11 = 0 najwyższy współczynnik to 6 , drugi współczynnik to − 2 , a wyraz wolny jest równy − 11 . Zwróćmy uwagę na fakt, że gdy współczynniki b i/lub c są ujemne, wtedy skrócona forma zapisy formularza 6 x 2 - 2 x - 11 = 0, ale nie 6 x 2 + (− 2) x + (− 11) = 0.

Wyjaśnijmy również ten aspekt: jeśli współczynniki a i/lub b równy 1 lub − 1 , to mogą nie brać wyraźnego udziału w pisaniu równania kwadratowego, co tłumaczy się osobliwością pisania wskazanych współczynników liczbowych. Na przykład w równaniu kwadratowym r 2 − r + 7 = 0 starszy współczynnik wynosi 1, a drugi współczynnik to − 1 .

Zredukowane i niezredukowane równania kwadratowe

Zgodnie z wartością pierwszego współczynnika równania kwadratowe dzielą się na zredukowane i niezredukowane.

Definicja 3

Zredukowane równanie kwadratowe jest równaniem kwadratowym, w którym wiodący współczynnik wynosi 1 . Dla innych wartości współczynnika wiodącego równanie kwadratowe jest niezredukowane.

Oto kilka przykładów: równania kwadratowe x 2 − 4 · x + 3 = 0 , x 2 − x − 4 5 = 0 są zredukowane, w każdym z których wiodący współczynnik wynosi 1 .

9 x 2 - x - 2 = 0- nieredukowane równanie kwadratowe, w którym pierwszy współczynnik jest różny od 1 .

Każde niezredukowane równanie kwadratowe można przekształcić w równanie zredukowane, dzieląc obie jego części przez pierwszy współczynnik (przekształcenie równoważne). Przekształcone równanie będzie miało te same pierwiastki, co dane niezredukowane równanie lub też nie będzie miało żadnych pierwiastków.

Namysł studium przypadku pozwoli nam wizualnie zademonstrować przejście od nieredukowanego równania kwadratowego do zredukowanego.

Przykład 1

Biorąc pod uwagę równanie 6 x 2 + 18 x − 7 = 0 . Konieczne jest przekształcenie pierwotnego równania w formę zredukowaną.

Rozwiązanie

Zgodnie z powyższym schematem dzielimy obie części pierwotnego równania przez wiodący współczynnik 6 . Następnie otrzymujemy: (6 x 2 + 18 x - 7) : 3 = 0: 3, a to to samo, co: (6 x 2) : 3 + (18 x) : 3 − 7: 3 = 0 i dalej: (6:6) x 2 + (18:6) x − 7:6 = 0 . Stąd: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 . W ten sposób otrzymujemy równanie równoważne danemu.

Odpowiedź: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 .

Pełne i niepełne równania kwadratowe

Przejdźmy do definicji równania kwadratowego. W nim określiliśmy, że 0. Podobny warunek jest konieczny dla równania a x 2 + b x + c = 0 był dokładnie kwadratowy, ponieważ a = 0 zasadniczo przekształca się w równanie liniowe b x + c = 0.

W przypadku, gdy współczynniki b I C są równe zeru (co jest możliwe, zarówno pojedynczo, jak i łącznie), równanie kwadratowe nazywamy niepełnym.

Definicja 4

Niepełne równanie kwadratowe jest równaniem kwadratowym a x 2 + b x + c \u003d 0, gdzie co najmniej jeden ze współczynników b I C(lub oba) wynosi zero.

Pełne równanie kwadratowe jest równaniem kwadratowym, w którym wszystkie współczynniki liczbowe nie są równe zeru.

Porozmawiajmy, dlaczego typom równań kwadratowych nadaje się dokładnie takie nazwy.

Dla b = 0 równanie kwadratowe przyjmuje postać a x 2 + 0 x + c = 0, czyli to samo co a x 2 + c = 0. Na c = 0 równanie kwadratowe jest zapisane jako a x 2 + b x + 0 = 0, co jest równoważne a x 2 + b x = 0. Na b = 0 I c = 0 równanie przyjmie postać a x 2 = 0. Otrzymane przez nas równania różnią się od pełnego równania kwadratowego tym, że ich lewa strona nie zawiera ani wyrazu ze zmienną x, ani wyrazu wolnego, albo obu naraz. Fakt ten nadał nazwę tego typu równaniom - niekompletne.

Na przykład x 2 + 3 x + 4 = 0 i − 7 x 2 − 2 x + 1, 3 = 0 są pełnymi równaniami kwadratowymi; x 2 \u003d 0, − 5 x 2 \u003d 0; 11 x 2 + 2 = 0 , − x 2 − 6 x = 0 to niekompletne równania kwadratowe.

Rozwiązywanie niekompletnych równań kwadratowych

Powyższa definicja pozwala rozróżnić: następujące typy niekompletne równania kwadratowe:

a x 2 = 0, takiemu równaniu odpowiadają współczynniki b = 0 i c = 0 ;
a x 2 + c \u003d 0 dla b \u003d 0;
a x 2 + b x = 0 dla c = 0 .

Rozważ kolejno rozwiązanie każdego typu niepełnego równania kwadratowego.

Rozwiązanie równania a x 2 \u003d 0

Jak już wspomniano powyżej, takiemu równaniu odpowiadają współczynniki b I C równy zero. Równanie a x 2 = 0 można przekształcić w równoważne równanie x2 = 0, które otrzymujemy dzieląc obie strony pierwotnego równania przez liczbę a, nie równe zeru. Oczywistym faktem jest to, że pierwiastek równania x2 = 0 jest zero, ponieważ 0 2 = 0 . To równanie nie ma innych pierwiastków, co wyjaśniają właściwości stopnia: dla dowolnej liczby P , nie równa zeru, nierówność jest prawdziwa p2 > 0, z czego wynika, że kiedy p ≠ 0 równość p2 = 0 nigdy nie zostanie osiągnięty.

Definicja 5

Tak więc dla niepełnego równania kwadratowego a x 2 = 0 istnieje pojedynczy pierwiastek x=0.

Przykład 2

Na przykład rozwiążmy niepełne równanie kwadratowe − 3 x 2 = 0. Jest to odpowiednik równania x2 = 0, jego jedynym korzeniem jest x=0, to oryginalne równanie ma jeden pierwiastek - zero.

Rozwiązanie można podsumować w następujący sposób:

− 3 x 2 \u003d 0, x 2 \u003d 0, x \u003d 0.

Rozwiązanie równania a x 2 + c \u003d 0

Następne w kolejności jest rozwiązanie niekompletnych równań kwadratowych, gdzie b \u003d 0, c ≠ 0, czyli równania postaci a x 2 + c = 0. Przekształćmy to równanie, przenosząc wyraz z jednej strony równania na drugą, zmieniając znak na przeciwny i dzieląc obie strony równania przez liczbę, która nie jest równa zeru:

wytrzymać C po prawej stronie, co daje równanie a x 2 = − c;
podziel obie strony równania przez a, otrzymujemy w wyniku x = - c a .

Nasze przekształcenia są odpowiednio równoważne, wynikowe równanie jest również równoważne z pierwotnym, co pozwala na wyciągnięcie wniosków na temat pierwiastków równania. Z jakich wartości? a I C zależy od wartości wyrażenia - c a: może mieć znak minus (np. if a = 1 I c = 2, to - c a = - 2 1 = - 2) lub znak plus (na przykład, jeśli a = -2 I c=6, a następnie - c a = - 6 - 2 = 3); nie jest równe zero, ponieważ c ≠ 0. Rozważmy bardziej szczegółowo sytuacje, w których - c a< 0 и - c a > 0 .

W przypadku, gdy - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа P równość p 2 = - c a nie może być prawdziwa.

Wszystko jest inne, gdy - c a > 0: zapamiętaj pierwiastek kwadratowy, a stanie się oczywiste, że pierwiastek równania x 2 \u003d - c a będzie liczbą - c a, ponieważ - c a 2 \u003d - c a. Łatwo zrozumieć, że liczba - - c a - jest także pierwiastkiem równania x 2 = - c a: rzeczywiście - - c a 2 = - c a .

Równanie nie będzie miało innych pierwiastków. Możemy to zademonstrować za pomocą odwrotnej metody. Najpierw ustawmy zapis pierwiastków znalezionych powyżej jako x 1 I − x 1. Załóżmy, że równanie x 2 = - c a również ma pierwiastek x2, który różni się od korzeni x 1 I − x 1. Wiemy, że podstawiając do równania zamiast x jego korzenie, przekształcamy równanie w sprawiedliwą równość liczbową.

Do x 1 I − x 1 napisz: x 1 2 = - c a , oraz dla x2- x 2 2 \u003d - ok. Na podstawie własności równości liczbowych odejmujemy jedną prawdziwą równość od innego wyrazu, co da nam: x 1 2 − x 2 2 = 0. Użyj właściwości operacji na liczbach, aby przepisać ostatnią równość jako (x 1 - x 2) (x 1 + x 2) = 0. Wiadomo, że iloczyn dwóch liczb jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy przynajmniej jedna z liczb jest równa zeru. Z tego, co zostało powiedziane, wynika, że x1 − x2 = 0 i/lub x1 + x2 = 0, czyli to samo x2 = x1 i/lub x 2 = − x 1. Powstała oczywista sprzeczność, ponieważ początkowo ustalono, że pierwiastek równania x2 różni się od x 1 I − x 1. Udowodniliśmy więc, że równanie nie ma innych pierwiastków niż x = - c a i x = - - c a .

Podsumowujemy wszystkie powyższe argumenty.

Definicja 6

Niepełne równanie kwadratowe a x 2 + c = 0 jest równoważne równaniu x 2 = - c a , które:

nie będzie miał korzeni w - c a< 0 ;
będzie miał dwa pierwiastki x = - c a i x = - - c a gdy - c a > 0 .

Podajmy przykłady rozwiązywania równań a x 2 + c = 0.

Przykład 3

Biorąc pod uwagę równanie kwadratowe 9 x 2 + 7 = 0 . Konieczne jest znalezienie rozwiązania.

Rozwiązanie

Przenosimy wyraz wolny na prawą stronę równania, wtedy równanie przyjmie postać 9 x 2 \u003d - 7.
Dzielimy obie strony otrzymanego równania przez 9 , dochodzimy do x 2 = -7 9 . Po prawej stronie widzimy liczbę ze znakiem minus, co oznacza: podane równanie bez korzeni. Następnie oryginalne niepełne równanie kwadratowe 9 x 2 + 7 = 0 nie będzie miał korzeni.

Odpowiedź: równanie 9 x 2 + 7 = 0 nie ma korzeni.

Przykład 4

Konieczne jest rozwiązanie równania − x2 + 36 = 0.

Rozwiązanie

Przejdźmy 36 na prawą stronę: − x 2 = − 36.
Podzielmy obie części na − 1 , dostajemy x2 = 36. Po prawej stronie znajduje się liczba dodatnia, z której możemy wywnioskować, że x = 36 lub x = - 36 .
Wyciągamy pierwiastek i zapisujemy wynik końcowy: niepełne równanie kwadratowe − x2 + 36 = 0 ma dwa korzenie x=6 lub x = -6.

Odpowiedź: x=6 lub x = -6.

Rozwiązanie równania a x 2 +b x=0

Przeanalizujmy trzeci rodzaj niepełnych równań kwadratowych, gdy c = 0. Aby znaleźć rozwiązanie niepełnego równania kwadratowego a x 2 + b x = 0, używamy metody faktoryzacji. Rozłóżmy na czynniki wielomian znajdujący się po lewej stronie równania, wyjmując z nawiasów czynnik wspólny x. Ten krok umożliwi przekształcenie oryginalnego niepełnego równania kwadratowego na jego odpowiednik x (a x + b) = 0. A to równanie z kolei jest równoważne ze zbiorem równań x=0 I a x + b = 0. Równanie a x + b = 0 liniowy i jego pierwiastek: x = − b a.

Definicja 7

Zatem niepełne równanie kwadratowe a x 2 + b x = 0 będzie miał dwa korzenie x=0 I x = − b a.

Skonsolidujmy materiał na przykładzie.

Przykład 5

Konieczne jest znalezienie rozwiązania równania 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0 .

Rozwiązanie

Wyjmijmy x poza nawiasami i uzyskać równanie x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 . To równanie jest równoważne równaniom x=0 i 2 3 x - 2 2 7 = 0 . Teraz powinieneś rozwiązać otrzymane równanie liniowe: 2 3 · x = 2 2 7 , x = 2 2 7 2 3 .

W skrócie piszemy rozwiązanie równania w następujący sposób:

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 lub 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 lub x = 3 3 7

Odpowiedź: x = 0 , x = 3 3 7 .

Wyróżnik, wzór pierwiastków równania kwadratowego

Aby znaleźć rozwiązanie równań kwadratowych, istnieje wzór pierwiastka:

Definicja 8

x = - b ± D 2 a, gdzie D = b 2 − 4 a c jest tak zwanym wyróżnikiem równania kwadratowego.

Zapisanie x \u003d - b ± D 2 a zasadniczo oznacza, że x 1 \u003d - b + D 2 a, x 2 \u003d - b - D 2 a.

Przydatne będzie zrozumienie, w jaki sposób została wyprowadzona wskazana formuła i jak ją zastosować.

Wyprowadzenie wzoru pierwiastków równania kwadratowego

Załóżmy, że mamy do czynienia z zadaniem rozwiązania równania kwadratowego a x 2 + b x + c = 0. Przeprowadźmy szereg równoważnych przekształceń:

podziel obie strony równania przez liczbę a, różne od zera, otrzymujemy zredukowane równanie kwadratowe: x 2 + b a x + c a \u003d 0;
wybierz pełny kwadrat po lewej stronie wynikowego równania:
x 2 + ba x + ca = x 2 + 2 b 2 a x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + ca = = x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + ca
Następnie równanie przyjmie postać: x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a \u003d 0;
teraz można przenieść dwa ostatnie wyrazy na prawą stronę, zmieniając znak na przeciwny, po czym otrzymujemy: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
na koniec przekształcamy wyrażenie zapisane po prawej stronie ostatniej równości:
b 2 a 2 - c a \u003d b 2 4 a 2 - c a \u003d b 2 4 a 2 - 4 a c 4 a 2 \u003d b 2 - 4 a c 4 a 2.

W ten sposób doszliśmy do równania x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 , które jest równoważne pierwotnemu równaniu a x 2 + b x + c = 0.

Omówiliśmy rozwiązanie takich równań w poprzednich akapitach (rozwiązanie niepełnych równań kwadratowych). Zdobyte doświadczenie pozwala na wyciągnięcie wniosków dotyczących pierwiastków równania x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2:

dla b 2 - 4 a c 4 a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
dla b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0 równanie ma postać x + b 2 · a 2 = 0, a następnie x + b 2 · a = 0.

Stąd jedyny pierwiastek x = - b 2 · a jest oczywisty;

dla b 2 - 4 a c 4 a 2 > 0, poprawna wartość to: x + b 2 a = b 2 - 4 a c 4 a 2 lub x = b 2 a - b 2 - 4 ac 4 a 2 , czyli to samo co x + - b 2 a = b 2 - 4 ac 4 a 2 lub x = - b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2 , tj. równanie ma dwa pierwiastki.

Można wywnioskować, że obecność lub brak pierwiastków równania x + b 2 a 2 = b 2 - 4 ac 4 a 2 (a więc oryginalne równanie) zależy od znaku wyrażenia b 2 - 4 ac 4 · 2 napisane po prawej stronie. A znak tego wyrażenia jest podany przez znak licznika (mianownik) 4 a 2 zawsze będzie dodatni), czyli znak wyrażenia b 2 − 4 a c. To wyrażenie b 2 − 4 a c podaje się nazwę - wyróżnik równania kwadratowego, a literę D określa się jako jego oznaczenie. Tutaj możesz zapisać istotę wyróżnika - po jego wartości i znaku stwierdzają, czy równanie kwadratowe będzie miało pierwiastki rzeczywiste, a jeśli tak, to ile pierwiastków - jeden czy dwa.

Wróćmy do równania x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 . Przepiszmy to używając notacji dyskryminacyjnej: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .

Podsumujmy wnioski:

Definicja 9

w D< 0 równanie nie ma prawdziwych pierwiastków;
w D=0 równanie ma jeden pierwiastek x = - b 2 · a ;
w D > 0 równanie ma dwa pierwiastki: x \u003d - b 2 a + D 4 a 2 lub x \u003d - b 2 a - D 4 a 2. W oparciu o właściwości rodników korzenie te można zapisać jako: x \u003d - b 2 a + D 2 a lub - b 2 a - D 2 a. A kiedy otworzymy moduły i zredukujemy ułamki do wspólnego mianownika, otrzymamy: x \u003d - b + D 2 a, x \u003d - b - D 2 a.

Tak więc wynikiem naszego rozumowania było wyprowadzenie wzoru na pierwiastki równania kwadratowego:

x = - b + D 2 a , x = - b - D 2 a , dyskryminator D obliczone według wzoru D = b 2 − 4 a c.

Wzory te umożliwiają, gdy dyskryminator jest większy od zera, wyznaczenie obu pierwiastków rzeczywistych. Gdy dyskryminator wynosi zero, zastosowanie obu formuł da ten sam pierwiastek jako jedyne rozwiązanie równania kwadratowego. W przypadku, gdy wyróżnik jest ujemny, próbując użyć wzoru na pierwiastek kwadratowy, staniemy przed koniecznością wydobycia pierwiastka kwadratowego z liczby ujemnej, co wyniesie nas poza liczby rzeczywiste. W przypadku ujemnego wyróżnika równanie kwadratowe nie będzie miało prawdziwych pierwiastków, ale możliwa jest para złożonych sprzężonych pierwiastków, określona przez te same formuły pierwiastkowe, które otrzymaliśmy.

Algorytm rozwiązywania równań kwadratowych za pomocą wzorów pierwiastkowych

Równanie kwadratowe można rozwiązać natychmiast za pomocą wzoru pierwiastka, ale w zasadzie robi się to, gdy konieczne jest znalezienie złożonych pierwiastków.

W większości przypadków wyszukiwanie jest zwykle przeznaczone nie dla złożonych, ale dla rzeczywistych pierwiastków równania kwadratowego. Wtedy optymalne jest, przed zastosowaniem wzorów na pierwiastki równania kwadratowego, najpierw wyznaczenie wyróżnika i upewnienie się, że nie jest on ujemny (w przeciwnym razie dojdziemy do wniosku, że równanie nie ma pierwiastków rzeczywistych), a następnie przystąpimy do obliczenia wartość korzeni.

Powyższe rozumowanie umożliwia sformułowanie algorytmu rozwiązywania równania kwadratowego.

Definicja 10

Aby rozwiązać równanie kwadratowe a x 2 + b x + c = 0, niezbędny:

według wzoru D = b 2 − 4 a c znajdź wartość dyskryminatora;
w D< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
dla D = 0 znajdź jedyny pierwiastek równania ze wzoru x = - b 2 · a ;
dla D > 0 wyznacz dwa pierwiastki rzeczywiste równania kwadratowego ze wzoru x = - b ± D 2 · a.

Zauważ, że gdy dyskryminator wynosi zero, możesz użyć wzoru x = - b ± D 2 · a , da on taki sam wynik jak wzór x = - b 2 · a .

Rozważ przykłady.

Przykłady rozwiązywania równań kwadratowych

Podajmy przykładowe rozwiązanie dla różne wartości dyskryminujący.

Przykład 6

Konieczne jest znalezienie pierwiastków równania x 2 + 2 x - 6 = 0.

Rozwiązanie

Piszemy współczynniki liczbowe równania kwadratowego: a \u003d 1, b \u003d 2 i c = − 6. Następnie działamy zgodnie z algorytmem, tj. Zacznijmy obliczanie dyskryminatora, dla którego podstawiamy współczynniki a , b I C we wzorze dyskryminacyjnym: D = b 2 − 4 a c = 2 2 − 4 1 (− 6) = 4 + 24 = 28 .

Mamy więc D > 0, co oznacza, że pierwotne równanie będzie miało dwa pierwiastki rzeczywiste.
Aby je znaleźć, używamy wzoru na pierwiastek x \u003d - b ± D 2 · a i zastępując odpowiednie wartości, otrzymujemy: x \u003d - 2 ± 28 2 · 1. Upraszczamy otrzymane wyrażenie, usuwając czynnik ze znaku pierwiastka, a następnie zmniejszając ułamek:

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 lub x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 lub x = - 1 - 7

Odpowiedź: x = -1 + 7 , x = -1-7 .

Przykład 7

Konieczne jest rozwiązanie równania kwadratowego − 4 x 2 + 28 x − 49 = 0.

Rozwiązanie

Zdefiniujmy wyróżnik: D = 28 2 − 4 (− 4) (− 49) = 784 − 784 = 0. Przy tej wartości dyskryminatora oryginalne równanie będzie miało tylko jeden pierwiastek, określony wzorem x = - b 2 · a.

x = - 28 2 (- 4) x = 3, 5

Odpowiedź: x = 3, 5.

Przykład 8

Konieczne jest rozwiązanie równania 5 lat 2 + 6 lat + 2 = 0

Rozwiązanie

Współczynniki liczbowe tego równania będą wynosić: a = 5 , b = 6 ic = 2 . Używamy tych wartości do znalezienia dyskryminatora: D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4 . Obliczony wyróżnik jest ujemny, więc oryginalne równanie kwadratowe nie ma prawdziwych pierwiastków.

W przypadku, gdy zadaniem jest wskazanie pierwiastków zespolonych, stosujemy wzór pierwiastka wykonując operacje na liczbach zespolonych:

x \u003d - 6 ± - 4 2 5,

x \u003d - 6 + 2 i 10 lub x \u003d - 6 - 2 i 10,

x = - 3 5 + 15 i lub x = - 3 5 - 15 i .

Odpowiedź: nie ma prawdziwych korzeni; złożone korzenie to: - 3 5 + 1 5 i , - 3 5 - 1 5 i .

W szkolnym programie nauczania standardowo nie ma wymogu szukania złożonych pierwiastków, dlatego jeśli dyskryminator zostanie zdefiniowany jako negatywny podczas rozwiązania, od razu zapisywana jest odpowiedź, że nie ma prawdziwych pierwiastków.

Wzór pierwiastka dla parzystych drugich współczynników

Wzór pierwiastka x = - b ± D 2 a (D = b 2 - 4 ac) umożliwia uzyskanie innej formuły, bardziej zwartej, co pozwala znaleźć rozwiązania równań kwadratowych z parzystym współczynnikiem przy x (lub ze współczynnikiem postaci 2 a n, na przykład 2 3 lub 14 ln 5 = 2 7 ln 5). Pokażmy, jak wywodzi się ten wzór.

Załóżmy, że mamy do czynienia z zadaniem znalezienia rozwiązania równania kwadratowego a · x 2 + 2 · n · x + c = 0. Postępujemy zgodnie z algorytmem: wyznaczamy dyskryminator D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 − a c) , a następnie korzystamy ze wzoru:

x \u003d - 2 n ± D 2 a, x \u003d - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x \u003d - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x \u003d - n ± n 2 - a · ca.

Niech wyrażenie n 2 − a c będzie oznaczane jako D 1 (czasami jest to oznaczane jako D "). Wtedy wzór na pierwiastki rozważanego równania kwadratowego o drugim współczynniku 2 n przyjmie postać:

x \u003d - n ± D 1 a, gdzie D 1 \u003d n 2 - a c.

Łatwo zauważyć, że D = 4 · D 1 lub D 1 = D 4 . Innymi słowy, D 1 to jedna czwarta dyskryminatora. Oczywiście znak D 1 jest taki sam jak znak D, co oznacza, że znak D 1 może również służyć jako wskaźnik obecności lub braku pierwiastków równania kwadratowego.

Definicja 11

Tak więc, aby znaleźć rozwiązanie równania kwadratowego o drugim współczynniku 2 n, konieczne jest:

znajdź D 1 = n 2 − a c ;
w D 1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
dla D 1 = 0 wyznacz jedyny pierwiastek równania ze wzoru x = - n a ;
dla D 1 > 0 wyznacz dwa pierwiastki rzeczywiste ze wzoru x = - n ± D 1 a.

Przykład 9

Należy rozwiązać równanie kwadratowe 5 · x 2 − 6 · x − 32 = 0.

Rozwiązanie

Drugi współczynnik danego równania można przedstawić jako 2 · (− 3). Następnie przepisujemy dane równanie kwadratowe jako 5 · x 2 + 2 · (− 3) · x − 32 = 0 , gdzie a = 5 , n = − 3 i c = − 32 .

Obliczmy czwartą część wyróżnika: D 1 = n 2 − a c = (− 3) 2 − 5 (− 32) = 9 + 160 = 169 . Otrzymana wartość jest dodatnia, co oznacza, że równanie ma dwa pierwiastki rzeczywiste. Definiujemy je za pomocą odpowiedniej formuły korzeni:

x = - n ± D 1 a , x = - - 3 ± 1695 , x = 3 ± 13 5 ,

x = 3 + 13 5 lub x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 lub x = - 2

Możliwe byłoby wykonanie obliczeń przy użyciu zwykłego wzoru na pierwiastki równania kwadratowego, ale w tym przypadku rozwiązanie byłoby bardziej kłopotliwe.

Odpowiedź: x = 3 1 5 lub x = - 2 .

Uproszczenie postaci równań kwadratowych

Czasami można zoptymalizować formę pierwotnego równania, co uprości proces obliczania pierwiastków.

Na przykład równanie kwadratowe 12 x 2 - 4 x - 7 \u003d 0 jest wyraźnie wygodniejsze do rozwiązania niż 1200 x 2 - 400 x - 700 \u003d 0.

Częściej uproszczenie postaci równania kwadratowego odbywa się poprzez pomnożenie lub podzielenie jego obu części przez określoną liczbę. Na przykład powyżej pokazaliśmy uproszczoną reprezentację równania 1200 x 2 - 400 x - 700 = 0, uzyskaną przez podzielenie obu jego części przez 100.

Taka transformacja jest możliwa, gdy współczynniki równania kwadratowego nie są wzajemnie liczby pierwsze. Wtedy zwykle obie części równania są dzielone przez największy wspólny dzielnik bezwzględnych wartości jego współczynników.

Jako przykład używamy równania kwadratowego 12 x 2 − 42 x + 48 = 0. Zdefiniujmy gcd bezwzględnych wartości jego współczynników: gcd (12 , 42 , 48) = gcd(gcd (12 , 42) , 48) = gcd (6 , 48) = 6 . Podzielmy obie części pierwotnego równania kwadratowego przez 6 i uzyskajmy równoważne równanie kwadratowe 2 · x 2 − 7 · x + 8 = 0 .

Mnożąc obie strony równania kwadratowego, zwykle eliminuje się współczynniki ułamkowe. W tym przypadku pomnóż przez najmniejszą wspólną wielokrotność mianowników jej współczynników. Na przykład, jeśli każda część równania kwadratowego 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 \u003d 0 jest pomnożona przez LCM (6, 3, 1) \u003d 6, to zostanie zapisana w więcej prosta forma x 2 + 4 x - 18 = 0 .

Na koniec zauważamy, że prawie zawsze pozbywamy się minusa przy pierwszym współczynniku równania kwadratowego, zmieniając znaki każdego członu równania, co uzyskuje się przez pomnożenie (lub podzielenie) obu części przez − 1. Na przykład z równania kwadratowego - 2 x 2 - 3 x + 7 \u003d 0, możesz przejść do jego uproszczonej wersji 2 x 2 + 3 x - 7 \u003d 0.

Związek między pierwiastkami a współczynnikami

Znany już wzór na pierwiastki równań kwadratowych x = - b ± D 2 · a wyraża pierwiastki równania w postaci jego współczynników liczbowych. Na podstawie tego wzoru mamy możliwość ustalenia innych zależności między pierwiastkami a współczynnikami.

Najbardziej znane i mające zastosowanie są formuły twierdzenia Vieta:

x 1 + x 2 \u003d - b a i x 2 \u003d c a.

W szczególności dla danego równania kwadratowego suma pierwiastków jest drugim współczynnikiem o przeciwnym znaku, a iloczyn pierwiastków jest równy członowi wolnemu. Na przykład z postaci równania kwadratowego 3 · x 2 − 7 · x + 22 = 0 można od razu określić, że suma jego pierwiastków wynosi 7 3 , a iloczyn pierwiastków wynosi 22 3 .

Możesz także znaleźć szereg innych relacji między pierwiastkami a współczynnikami równania kwadratowego. Na przykład sumę kwadratów pierwiastków równania kwadratowego można wyrazić za pomocą współczynników:

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - ba 2 - 2 ca = b 2 a 2 - 2 ca = b 2 - 2 a ca 2.

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter