Faktoryzacja wielomianów. Pełnokwadratowa metoda selekcji. Połączenie metod

Podano 8 przykładów faktoryzacji wielomianów. Są wśród nich przykłady rozwiązywania równań kwadratowych i dwukwadratowych, przykłady z wielomianami rekurencyjnymi oraz przykłady ze znajdowaniem pierwiastków całkowitych wielomianów trzeciego i czwartego stopnia.

1. Przykłady z rozwiązaniem równania kwadratowego

Przykład 1.1

x 4 + x 3 - 6 x 2.

Rozwiązanie

Wyjmij x 2 dla wsporników:
.
2 + x - 6 = 0:
.
Pierwiastki równania:
, .

Odpowiedź

Przykład 1.2

Rozkładanie wielomianu trzeciego stopnia na czynniki:
x 3 + 6 x 2 + 9 x.

Rozwiązanie

Wyciągamy x z nawiasów:
.
Rozwiązujemy równanie kwadratowe x 2 + 6 x + 9 = 0:
Jego wyróżnikiem jest .
Ponieważ dyskryminator jest równy zero, pierwiastki równania są wielokrotnościami: ;
.

Stąd otrzymujemy rozkład wielomianu na czynniki:
.

Odpowiedź

Przykład 1.3

Rozkładanie wielomianu piątego stopnia na czynniki:
x 5 - 2 x 4 + 10 x 3.

Rozwiązanie

Wyjmij x 3 dla wsporników:
.
Rozwiązujemy równanie kwadratowe x 2 - 2 x + 10 = 0.
Jego wyróżnikiem jest .
Ponieważ dyskryminator jest mniejszy od zera, pierwiastki równania są złożone: ;
, .

Faktoryzacja wielomianu ma postać:
.

Jeżeli interesuje nas faktoring z rzeczywistymi współczynnikami, to:
.

Odpowiedź

Przykłady rozkładania wielomianów na czynniki za pomocą wzorów

Przykłady z wielomianami dwukwadratowymi

Przykład 2.1

Faktoryzuj wielomian dwukwadratowy:
x 4 + x 2 - 20.

Rozwiązanie

Zastosuj formuły:
a 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2;
a 2 - b 2 = (a - b)(a + b).

;
.

Odpowiedź

Przykład 2.2

Rozkładanie na czynniki wielomianu, który redukuje się do dwukwadratowej:
x 8 + x 4 + 1.

Rozwiązanie

Zastosuj formuły:
a 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2;
a 2 - b 2 = (a - b)(a + b):

;

;
.

Odpowiedź

Przykład 2.3 z wielomianem rekurencyjnym

Rozkładanie wielomianu rekurencyjnego na czynniki:
.

Rozwiązanie

Wielomian rekurencyjny ma nieparzysty stopień. Dlatego ma pierwiastek x = - 1 . Dzielimy wielomian przez x - (-1) = x + 1. W rezultacie otrzymujemy:
.
Dokonujemy zamiany:
, ;
;

;
.

Odpowiedź

Przykłady rozkładania wielomianów na czynniki z pierwiastkami całkowitymi

Przykład 3.1

Rozkład wielomianu na czynniki:
.

Rozwiązanie

Załóżmy, że równanie

6
-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6 .
(-6) 3 - 6 (-6) 2 + 11 (-6) - 6 = -504;
(-3) 3 - 6 (-3) 2 + 11 (-3) - 6 = -120;
(-2) 3 - 6 (-2) 2 + 11 (-2) - 6 = -60;
(-1) 3 - 6 (-1) 2 + 11 (-1) - 6 = -24;
1 3 - 6 1 2 + 11 1 - 6 = 0;
2 3 - 6 2 2 + 11 2 - 6 = 0;
3 3 - 6 3 2 + 11 3 - 6 = 0;
6 3 - 6 6 2 + 11 6 - 6 = 60.

Tak więc znaleźliśmy trzy korzenie:
x 1 = 1 , x 2 = 2 , x 3 = 3 .
Ponieważ pierwotny wielomian jest trzeciego stopnia, ma nie więcej niż trzy pierwiastki. Ponieważ znaleźliśmy trzy pierwiastki, są one proste. Następnie
.

Odpowiedź

Przykład 3.2

Rozkład wielomianu na czynniki:
.

Rozwiązanie

Załóżmy, że równanie

ma co najmniej jeden pierwiastek całkowity. Wtedy jest dzielnikiem liczby 2 (członek bez x ). Oznacza to, że cały korzeń może być jedną z liczb:
-2, -1, 1, 2 .
Zastąp te wartości jedna po drugiej:
(-2) 4 + 2 (-2) 3 + 3 (-2) 3 + 4 (-2) + 2 = 6 ;
(-1) 4 + 2 (-1) 3 + 3 (-1) 3 + 4 (-1) + 2 = 0 ;
1 4 + 2 1 3 + 3 1 3 + 4 1 + 2 = 12;
2 4 + 2 2 3 + 3 2 3 + 4 2 + 2 = 54 .
Jeśli założymy, że to równanie ma pierwiastek całkowity, to jest dzielnikiem liczby 2 (członek bez x ). Oznacza to, że cały korzeń może być jedną z liczb:
1, 2, -1, -2 .
Zastąp x = -1 :
.

Więc znaleźliśmy inny pierwiastek x 2 = -1 . Można by, podobnie jak w poprzednim przypadku, podzielić wielomian przez , ale wyrazy zgrupujemy:
.

Ponieważ równanie x 2 + 2 = 0 nie ma prawdziwych pierwiastków, to faktoryzacja wielomianu ma postać.

Dowolny wielomian algebraiczny stopnia n można przedstawić jako iloczyn n-liniowych czynników postaci i stałej liczby, będącej współczynnikami wielomianu w najwyższym stopniu x, czyli

gdzie - są pierwiastkami wielomianu.

Pierwiastek wielomianu to liczba (rzeczywista lub złożona), która zmienia wielomian na zero. Pierwiastki wielomianu mogą być zarówno pierwiastkami rzeczywistymi, jak i pierwiastkami sprzężonymi złożonymi, wówczas wielomian można przedstawić w postaci:

Rozważ metody rozszerzania wielomianów stopnia „n” na iloczyn czynników pierwszego i drugiego stopnia.

Metoda numer 1.Metoda współczynników nieokreślonych.

Współczynniki tak przekształconego wyrażenia określa się metodą współczynników nieokreślonych. Istota metody polega na tym, że z góry znany jest rodzaj czynników, na które rozkładany jest dany wielomian. Przy stosowaniu metody współczynników nieokreślonych prawdziwe są następujące stwierdzenia:

P.1. Dwa wielomiany są identycznie równe, jeśli ich współczynniki są równe przy równe stopnie X.

P.2. Dowolny wielomian trzeciego stopnia rozkłada się na iloczyn czynników liniowych i kwadratowych.

P.3. Dowolny wielomian czwartego stopnia rozkłada się na iloczyn dwóch wielomianów drugiego stopnia.

Przykład 1.1. Konieczne jest rozłożenie wyrażenia sześciennego na czynniki:

P.1. Zgodnie z przyjętymi stwierdzeniami identyczna równość jest prawdziwa dla wyrażenia sześciennego:

P.2. Prawa strona wyrażenia może być reprezentowana jako terminy w następujący sposób:

P.3. Układamy układ równań z warunku równości współczynników dla odpowiednich potęg wyrażenia sześciennego.

Ten układ równań można rozwiązać metodą doboru współczynników (jeśli jest to prosty problem akademicki) lub zastosować metody rozwiązywania nieliniowych układów równań. Rozwiązując ten układ równań, otrzymujemy, że niepewne współczynniki są zdefiniowane w następujący sposób:

W ten sposób oryginalne wyrażenie jest rozkładane na czynniki w następującej postaci:

Metoda ta może być stosowana zarówno w obliczeniach analitycznych, jak i programowaniu komputerowym do automatyzacji procesu znajdowania pierwiastka równania.

Metoda numer 2.Formuły Vieta

Wzory Vieta to wzory odnoszące się do współczynników równania algebraiczne stopień n i jego pierwiastki. Formuły te zostały w sposób dorozumiany przedstawione w pracach francuskiego matematyka Francois Vieta (1540-1603). Ze względu na to, że Viet rozważał tylko pozytywne rzeczywiste pierwiastki, nie miał więc możliwości napisania tych formuł w ogólnej, wyraźnej formie.

Dla kazdego wielomian algebraiczny stopień n, który ma n pierwiastków rzeczywistych,

obowiązują następujące relacje, które łączą pierwiastki wielomianu z jego współczynnikami:

Wzory Vieta są wygodne w użyciu do sprawdzania poprawności znalezienia pierwiastków wielomianu, a także do komponowania wielomianu z podanych pierwiastków.

Przykład 2.1. Zastanów się, jak pierwiastki wielomianu są powiązane z jego współczynnikami na przykładzie równania sześciennego

Zgodnie ze wzorami Vieta związek między pierwiastkami wielomianu a jego współczynnikami jest następujący:

Podobne relacje można stworzyć dla dowolnego wielomianu stopnia n.

Metoda numer 3. Rozkład równanie kwadratowe na czynniki o racjonalnych korzeniach

Z ostatniego wzoru Viety wynika, że pierwiastki wielomianu są dzielnikami jego wyrazu wolnego i współczynnika wiodącego. W związku z tym, jeśli warunek problemu zawiera wielomian stopnia n o współczynnikach całkowitych

wtedy ten wielomian ma pierwiastek wymierny (ułamek nieredukowalny), gdzie p jest dzielnikiem wyrazu wolnego, a q jest dzielnikiem wiodącego współczynnika. W tym przypadku wielomian stopnia n można przedstawić jako (twierdzenie Bezouta):

Wielomian, którego stopień jest o 1 mniejszy niż stopień wielomianu początkowego, określa się dzieląc wielomian stopnia n przez dwumian, na przykład za pomocą schematu Hornera lub większości w prosty sposób- „kolumna”.

Przykład 3.1. Konieczne jest rozłożenie na czynniki wielomianu

P.1. Ze względu na to, że współczynnik w najwyższym członie jest równy jeden, to pierwiastki wymierne tego wielomianu są dzielnikami członu wolnego wyrażenia, tj. mogą być liczbami całkowitymi . Podstawiając każdą z przedstawionych liczb do pierwotnego wyrażenia, stwierdzamy, że pierwiastkiem prezentowanego wielomianu jest .

Podzielmy oryginalny wielomian przez dwumian:

Skorzystajmy ze schematu Hornera

Współczynniki oryginalnego wielomianu są ustawione w górnym wierszu, podczas gdy pierwsza komórka w górnym wierszu pozostaje pusta.

Znaleziony pierwiastek jest zapisany w pierwszej komórce drugiego wiersza (w tym przykładzie zapisana jest liczba „2”), a następujące wartości w komórkach są obliczane w określony sposób i są to współczynniki wielomian, który wynika z podzielenia wielomianu przez dwumian. Nieznane współczynniki definiuje się w następujący sposób:

Wartość z odpowiedniej komórki pierwszego wiersza jest przenoszona do drugiej komórki drugiego wiersza (w tym przykładzie zapisywana jest liczba „1”).

Trzecia komórka drugiego wiersza zawiera wartość iloczynu pierwszej komórki i drugiej komórki drugiego wiersza plus wartość z trzeciej komórki pierwszego wiersza (w tym przykładzie 2 ∙ 1 -5 = -3) .

Czwarta komórka drugiego wiersza zawiera wartość iloczynu pierwszej komórki przez trzecią komórkę drugiego wiersza plus wartość z czwartej komórki pierwszego wiersza (w tym przykładzie 2 ∙ (-3) +7 = 1 ).

W ten sposób oryginalny wielomian jest rozkładany na czynniki:

Metoda numer 4.Korzystanie ze skróconych wzorów mnożenia

Skrócone wzory mnożenia służą do uproszczenia obliczeń, a także do rozkładania na czynniki wielomianów. Skrócone wzory mnożenia pozwalają na uproszczenie rozwiązywania poszczególnych problemów.

Formuły stosowane do faktoringu

Faktoryzacja wielomianów jest identyczną transformacją, w wyniku której wielomian przekształca się w iloczyn kilku czynników - wielomianów lub jednomianów.

Istnieje kilka sposobów rozkładania wielomianów na czynniki.

Metoda 1. Wzięcie w nawias wspólnego czynnika.

Ta transformacja opiera się na rozdzielczym prawie mnożenia: ac + bc = c(a + b). Istotą transformacji jest wyodrębnienie wspólnego czynnika w dwóch rozważanych składowych i „wyrzucenie” go z nawiasów.

Rozliczmy wielomian 28x 3 - 35x 4.

Rozwiązanie.

1. Znajdujemy wspólny dzielnik dla elementów 28x3 i 35x4. Dla 28 i 35 będzie to 7; dla x 3 i x 4 - x 3. Innymi słowy, nasz wspólny czynnik to 7x3.

2. Każdy z elementów reprezentujemy jako iloczyn czynników, z których jeden:
7x 3: 28x 3 - 35x 4 \u003d 7x 3 ∙ 4 - 7x 3 ∙ 5x.

3. Wzięcie w nawias wspólnego czynnika
7x 3: 28x 3 - 35x 4 \u003d 7x 3 ∙ 4 - 7x 3 ∙ 5x \u003d 7x 3 (4 - 5x).

Metoda 2. Korzystanie ze skróconych wzorów mnożenia. „Opanowaniem” opanowania tej metody jest dostrzeżenie w wyrażeniu jednej z formuł na skrócone mnożenie.

Rozłóżmy na czynniki wielomian x 6 - 1.

Rozwiązanie.

1. Do tego wyrażenia możemy zastosować wzór różnicy kwadratów. Aby to zrobić, reprezentujemy x 6 jako (x 3) 2, a 1 jako 1 2, tj. 1. Wyrażenie przybierze postać:
(x 3) 2 - 1 \u003d (x 3 + 1) ∙ (x 3 - 1).

2. Do otrzymanego wyrażenia możemy zastosować wzór na sumę i różnicę sześcianów:
(x 3 + 1) ∙ (x 3 - 1) \u003d (x + 1) ∙ (x 2 - x + 1) ∙ (x - 1) ∙ (x 2 + x + 1).

Więc,
x 6 - 1 = (x 3) 2 - 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 - 1) = (x + 1) ∙ (x 2 - x + 1) ∙ (x - 1) ∙ (x 2 + x + 1).

Metoda 3. Grupowanie. Metoda grupowania polega na łączeniu składowych wielomianu w taki sposób, aby można było na nich łatwo wykonać operacje (dodawanie, odejmowanie, odejmowanie wspólnego czynnika).

Faktoryzujemy wielomian x 3 - 3x 2 + 5x - 15.

Rozwiązanie.

1. Pogrupuj elementy w ten sposób: 1. z 2., a 3. z 4.
(x 3 - 3x 2) + (5x - 15).

2. W otrzymanym wyrażeniu bierzemy wspólne czynniki z nawiasów: x 2 w pierwszym przypadku i 5 w drugim.
(x 3 - 3x 2) + (5x - 15) \u003d x 2 (x - 3) + 5 (x - 3).

3. Wyciągamy wspólny dzielnik x - 3 i otrzymujemy:
x 2 (x - 3) + 5 (x - 3) \u003d (x - 3) (x 2 + 5).

Więc,
x 3 - 3x 2 + 5x - 15 \u003d (x 3 - 3x 2) + (5x - 15) \u003d x 2 (x - 3) + 5 (x - 3) \u003d (x - 3) ∙ (x 2 + 5 ).

Naprawmy materiał.

Rozkład wielomianu na czynniki a 2 - 7ab + 12b 2 .

Rozwiązanie.

1. Reprezentujemy jednomian 7ab jako sumę 3ab + 4ab. Wyrażenie przyjmie postać:
a 2 - (3ab + 4ab) + 12b 2 .

Otwórzmy nawiasy i zdobądźmy:
a 2 - 3ab - 4ab + 12b 2 .

2. Pogrupuj składniki wielomianu w ten sposób: 1. z 2. i 3. z 4.. Otrzymujemy:
(a 2 - 3ab) - (4ab - 12b 2).

3. Wyjmijmy wspólne czynniki:
(a 2 - 3ab) - (4ab - 12b 2) \u003d a (a - 3b) - 4b (a - 3b).

4. Wyjmijmy wspólny czynnik (a - 3b):
a(a – 3b) – 4b(a – 3b) = (a – 3b) (a – 4b).

Więc,
a 2 - 7ab + 12b 2 =
= a 2 - (3ab + 4ab) + 12b 2 =
= a 2 - 3ab - 4ab + 12b 2 =
= (a 2 - 3ab) - (4ab - 12b 2) =
= a(a - 3b) - 4b(a - 3b) =
= (a – 3 b) ∙ (a – 4b).

blog.site, z pełnym lub częściowym skopiowaniem materiału, wymagany jest link do źródła.

Zastanów się konkretne przykłady jak rozłożyć na czynniki wielomian.

Rozwiniemy wielomiany zgodnie z .

Rozkładanie wielomianów na czynniki:

Sprawdź, czy istnieje wspólny czynnik. tak, to jest równe 7cd. Wyjmijmy to z nawiasów:

Wyrażenie w nawiasach składa się z dwóch terminów. Nie ma już wspólnego czynnika, wyrażenie nie jest wzorem na sumę sześcianów, co oznacza, że rozkład jest zakończony.

Sprawdź, czy istnieje wspólny czynnik. Nie. Wielomian składa się z trzech wyrazów, więc sprawdzamy, czy istnieje wzór na pełny kwadrat. Dwa wyrazy są kwadratami wyrażeń: 25x²=(5x)², 9y²=(3y)², trzeci wyraz jest równy dwukrotności iloczynu tych wyrażeń: 2∙5x∙3y=30xy. Więc ten wielomian jest idealnym kwadratem. Ponieważ podwójny produkt ma znak minus, to jest to:

Sprawdzamy, czy można wyjąć wspólny czynnik z nawiasów. Jest wspólny czynnik, równy a. Wyjmijmy to z nawiasów:

W nawiasach znajdują się dwa terminy. Sprawdzamy, czy istnieje wzór na różnicę kwadratów czy na różnicę sześcianów. a² jest kwadratem a, 1=1². Zatem wyrażenie w nawiasach można zapisać według wzoru na różnicę kwadratów:

Jest wspólny czynnik, równy 5. Wyciągamy go z nawiasów:

w nawiasach są trzy terminy. Sprawdź, czy wyrażenie jest idealnym kwadratem. Dwa wyrazy są kwadratami: 16=4² i a² jest kwadratem a, trzeci wyraz jest równy dwukrotności iloczynu 4 oraz a: 2∙4∙a=8a. Dlatego jest to kwadrat idealny. Ponieważ wszystkie terminy są opatrzone znakiem „+”, wyrażenie w nawiasach jest pełnym kwadratem sumy:

Wspólny czynnik -2x jest wyjęty z nawiasów:

W nawiasach podano sumę dwóch terminów. Sprawdzamy, czy podane wyrażenie jest sumą kostek. 64=4³, x³-sześcian x. Zatem dwumian można rozszerzyć zgodnie ze wzorem:

Jest wspólny czynnik. Ale ponieważ wielomian składa się z 4 elementów, najpierw, a dopiero potem wyjmiemy z nawiasów czynnik wspólny. Pierwszy termin grupujemy z czwartym, w drugim - z trzecim:

Z pierwszych nawiasów wyjmujemy czynnik wspólny 4a, z drugiego - 8b:

Nie ma jeszcze wspólnego mnożnika. Aby to uzyskać, z drugich nawiasów wyjmiemy nawiasy „-”, a każdy znak w nawiasach zmieni się na przeciwny:

Teraz wyjmujemy wspólny dzielnik (1-3a) z nawiasów:

W drugim nawiasie znajduje się wspólny czynnik 4 (to ten sam czynnik, którego nie wyjęliśmy z nawiasów na początku przykładu):

Ponieważ wielomian składa się z czterech członów, wykonujemy grupowanie. Pierwszy termin grupujemy z drugim, trzeci z czwartym:

W pierwszych nawiasach nie ma wspólnego dzielnika, ale istnieje wzór na różnicę kwadratów, w drugich nawiasach dzielnik wspólny wynosi -5:

Pojawił się wspólny czynnik (4m-3n). Wyjmijmy to z nawiasów.

Bardzo często licznik i mianownik ułamka to wyrażenia algebraiczne, które najpierw musisz rozłożyć na czynniki, a następnie, znajdując to samo wśród nich, podziel na nie zarówno licznik, jak i mianownik, czyli zmniejsz ułamek. Cały rozdział podręcznika do algebry w 7 klasie poświęcony jest zadaniu rozkładania na czynniki wielomianu. Faktoring można zrobić 3 sposoby, a także połączenie tych metod.

1. Zastosowanie skróconych wzorów mnożenia

Jak wiadomo pomnóż wielomian przez wielomian, musisz pomnożyć każdy wyraz jednego wielomianu przez każdy wyraz drugiego wielomianu i dodać otrzymane iloczyny. Istnieje co najmniej 7 (siedem) powszechnych przypadków mnożenia wielomianów, które są zawarte w pojęciu. Na przykład,

Tabela 1. Faktoryzacja w pierwszy sposób

2. Wyjęcie wspólnego czynnika z nawiasu

Metoda ta opiera się na zastosowaniu rozdzielczego prawa mnożenia. Na przykład,

Każdy wyraz pierwotnego wyrażenia dzielimy przez czynnik, który wyjmujemy, a jednocześnie otrzymujemy wyrażenie w nawiasach (czyli wynik dzielenia tego, co było przez to, co wyjęliśmy, pozostaje w nawiasach). Przede wszystkim potrzebujesz poprawnie określić mnożnik, który musi być umieszczony w nawiasach.

Wielomian w nawiasach może być również wspólnym czynnikiem:

Podczas wykonywania zadania „faktoryzowania” należy szczególnie uważać na znaki, wyjmując wspólny czynnik z nawiasów. Aby zmienić znak każdego terminu w nawiasie (b-a), usuwamy czynnik wspólny -1 , a każdy termin w nawiasie dzieli się przez -1: (b - a) = - (a - b) .

W przypadku, gdy wyrażenie w nawiasach jest podniesione do kwadratu (lub do dowolnej parzystej potęgi), wtedy Liczby w nawiasach można zamieniać całkowicie za darmo, ponieważ minusy wyjęte z nawiasów nadal zamieniają się w plus po pomnożeniu: (b - a) 2 = (a - b) 2, (b - a) 4 = (a - b) 4 itp…

3. Metoda grupowania

Czasami nie wszystkie terminy w wyrażeniu mają wspólny czynnik, ale tylko niektóre. Wtedy możesz spróbować warunki grupowe w nawiasach, aby z każdego z nich można było wyliczyć jakiś czynnik. Metoda grupowania to podwójne wzięcie w nawias wspólnych czynników.