Aby pojedyncza płaszczyzna mogła być poprowadzona przez dowolne trzy punkty w przestrzeni, konieczne jest, aby te punkty nie leżały na jednej linii prostej.

Rozważ punkty M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) we wspólnym kartezjańskim układzie współrzędnych.

Aby dowolny punkt M (x, y, z) leżał na tej samej płaszczyźnie co punkty M 1, M 2, M 3, wektory muszą być współpłaszczyznowe.

Definicja 2.1.

Dwie linie w przestrzeni nazywane są równoległymi, jeśli leżą na tej samej płaszczyźnie i nie mają wspólnych punktów.

Jeśli dwie proste a i b są równoległe, to, tak jak w planimetrii, napisz a || b. W przestrzeni linie można umieścić tak, aby się nie przecinały ani nie były równoległe. Ten przypadek jest szczególny dla stereometrii.

Definicja 2.2.

Linie, które nie mają wspólnych punktów i nie są równoległe, nazywane są liniami przecinającymi się.

Twierdzenie 2.1.

Przez punkt znajdujący się poza tą linią prostą można narysować linię prostą równoległą do podanej, a ponadto tylko jedną.

Równoległość linii prostych

Dwie linie proste w przestrzeni nazywane są równoległymi, jeśli leżą w tej samej płaszczyźnie i nie przecinają się. Przez punkt znajdujący się poza tą linią prostą możesz poprowadzić linię prostą równoległą do tej linii prostej, a ponadto tylko jedną. To stwierdzenie sprowadza się do równoległego aksjomatu na płaszczyźnie. Twierdzenie. Dwie linie równoległe do trzeciej linii są równoległe. Niech proste b i c będą równoległe do prostej a. Pado udowodnić, że b || Z. Przypadek, w którym linie proste a, b idą tą samą płaszczyzną, są rozpatrywane w planimetrii, pomijamy to. Załóżmy, że a, b i c nie leżą na tej samej płaszczyźnie. Ale ponieważ dwie równoległe linie proste znajdują się na tej samej płaszczyźnie, możemy założyć, że a i b znajdują się w płaszczyźnie, a b i c - w płaszczyźnie (ryc. 61). Na prostej c zaznaczamy punkt (dowolny) M i narysujemy płaszczyznę przez prostą b i punkt M. Ona przecina w linii prostej l. Prosta l nie przecina płaszczyzny, bo gdyby l przecinała się, to punkt ich przecięcia powinien leżeć na a (a i l - w tej samej płaszczyźnie) i na b (b i l - w tej samej płaszczyźnie). Zatem jeden punkt przecięcia l i musi leżeć na prostej a i na prostej b, co jest niemożliwe: a || b. Dlatego || , l || a, l || b. Ponieważ a i l leżą na tej samej płaszczyźnie, to l pokrywa się z prostą c (według aksjomatu równoległości), a więc z || b. Twierdzenie jest udowodnione.

25.Równoległość linii prostej i płaszczyzny

Twierdzenie

Jeśli linia prosta, która nie należy do płaszczyzny, jest równoległa do jakiejś linii prostej na tej płaszczyźnie, to jest równoległa do samej płaszczyzny.

Dowód

Niech α będzie płaszczyzną, prostą w niej nie leżącą, a a1 prostą w płaszczyźnie α równoległą do a. Narysujmy płaszczyznę α1 przez proste ai a1. Płaszczyzny α i α1 przecinają się wzdłuż prostej a1. Gdyby prosta a przecinała płaszczyznę α, to punkt przecięcia należałby do prostej a1. Ale jest to niemożliwe, ponieważ proste ai a1 są równoległe. W konsekwencji prosta a nie przecina płaszczyzny α, a zatem jest równoległa do płaszczyzny α. Twierdzenie jest udowodnione.

27.Istnienie płaszczyzny równoległej do danej płaszczyzny

Twierdzenie

Przez punkt poza daną płaszczyzną można narysować płaszczyznę równoległą do danej, a ponadto tylko jedną.

Dowód

Narysujmy na danej płaszczyźnie α dowolne dwie przecinające się proste a i b. Przez ten punkt A rysujemy linie a1 i b1 równoległe do nich. Płaszczyzna β przechodząca przez proste a1 i b1 jest równoległa do płaszczyzny α według twierdzenia o kryterium równoległości płaszczyzn.

Załóżmy, że inna płaszczyzna β1 przechodzi przez punkt A, który jest również równoległy do ​​płaszczyzny α. Zaznaczmy na płaszczyźnie β1 jakiś punkt C, który nie leży na płaszczyźnie β. Narysujmy płaszczyznę γ przez punkty A, C i jakiś punkt B płaszczyzny α. Płaszczyzna ta przetnie płaszczyzny α, β i β1 wzdłuż linii b, a i c. Proste a i c nie przecinają linii b, ponieważ nie przecinają płaszczyzny α. Dlatego są równoległe do linii b. Ale w płaszczyźnie γ tylko jedna prosta równoległa do prostej b może przechodzić przez punkt A. co jest sprzeczne z założeniem. Twierdzenie jest udowodnione.

28.Właściwości płasko-równoległe ten

29.

Linie prostopadłe w przestrzeni. Dwie linie proste w przestrzeni nazywane są prostopadłymi, jeśli kąt między nimi wynosi 90 stopni. C. m. k. k. m. C. k. Krzyżujący. Krzyżowanie.

Twierdzenie 1 ŁADUNEK PROSTOPADŁOŚCI LINII I PŁASZCZYZNY. Jeżeli prosta przecinająca płaszczyznę jest prostopadła do dwóch prostych w tej płaszczyźnie przechodzących przez punkt przecięcia tej linii z płaszczyzną, to jest prostopadła do płaszczyzny.

Dowód: Niech a będzie prostą prostopadłą do prostych b i c na płaszczyźnie. Następnie prosta przechodzi przez punkt przecięcia A linii b i c. Udowodnijmy, że prosta a jest prostopadła do płaszczyzny. Narysujmy dowolną prostą x przez punkt A na płaszczyźnie i pokażmy, że jest prostopadła do prostej a. Narysujmy dowolną prostą w płaszczyźnie, która nie przechodzi przez punkt A i przecina linie b, c i x. Niech punktami przecięcia będą B, C i X. Narysujmy prostą a od punktu A do różne strony równe segmenty AA 1 i AA 2. Trójkąt А 1 CA 2 jest równoramienny, ponieważ odcinek АС jest wysokością zgodnie z warunkami twierdzenia i medianą zgodnie z budową (АА 1 = АА 2) Z tego samego powodu trójkąt А 1 BA 2 jest również równoramienny . Dlatego trójkąty A 1 BC i A 2 BC są równe z trzech stron. Z równości trójkątów А 1 ВС i А 2 ВС wynika równość kątów А 1 ВХ i А 2 ВХ, a zatem równość trójkątów А 1 ВХ i А 2 ВХ po dwóch stronach oraz kąt między nimi. Z równości boków A 1 X i A 2 X tych trójkątów wnioskujemy, że trójkąt A 1 XA 2 jest równoramienny. Dlatego jego mediana XA jest również wysokością. A to oznacza, że ​​prosta x jest prostopadła do a. Z definicji linia prosta jest prostopadła do płaszczyzny. Twierdzenie jest udowodnione.

Twierdzenie 2 1. WŁASNOŚĆ PROSTOPADŁEJ LINII I PŁASZCZYZNY. Jeżeli płaszczyzna jest prostopadła do jednej z dwóch równoległych linii prostych, to jest prostopadła do drugiej.
Dowód: Niech a 1 i a 2 będą 2 równoległymi liniami i płaszczyzną prostopadłą do prostej a 1. Udowodnijmy, że ta płaszczyzna jest prostopadła do prostej a 2. Narysujmy dowolną linię x 2 w płaszczyźnie przechodzącej przez punkt A 2 przecięcia prostej a 2 z płaszczyzną. Narysujmy płaszczyznę przez punkt A 1 przecięcia prostej a 1 z prostą x 1, równoległą do prostej x 2. Ponieważ prosta a 1 jest prostopadła do płaszczyzny, proste a 1 i x 1 są prostopadłe. I według Twierdzenia 1, równoległe przecinające się proste a 2 i x 2 są również prostopadłe. Zatem linia a 2 jest prostopadła do dowolnej linii x 2 w płaszczyźnie. A to (z definicji) oznacza, że ​​prosta a 2 jest prostopadła do płaszczyzny. Twierdzenie jest udowodnione. Zobacz także kluczowe zadanie nr 2.
Twierdzenie 3 2. WŁASNOŚĆ PROSTOPADŁEJ LINII I PŁASZCZYZNY. Dwie proste prostopadłe do tej samej płaszczyzny są równoległe.
Dowód: Niech a i b będą 2 wierszami, płaszczyzny prostopadłe... Załóżmy, że linie a i b nie są równoległe. Wybierzmy punkt C na prostej b, który nie leży na płaszczyźnie. Narysujmy prostą b 1 przez punkt C, równoległą do prostej a. Prosta b 1 jest prostopadła do płaszczyzny według Twierdzenia 2. Niech B i B 1 będą punktami przecięcia prostych b i b 1 z płaszczyzną. Wtedy prosta BB 1 jest prostopadła do przecinających się linii b i b 1. To jest niemożliwe. Doszliśmy do sprzeczności. Twierdzenie jest udowodnione.

33.Prostopadły zrzucony z danego punktu do danej płaszczyzny to odcinek, który łączy dany punkt z punktem na płaszczyźnie i leży na linii prostej prostopadłej do płaszczyzny. Koniec tego segmentu leżący w płaszczyźnie nazywa się podstawa prostopadła.
Skośny ciągnięty z danego punktu do danej płaszczyzny to dowolny odcinek, który łączy ten punkt z punktem na płaszczyźnie, który nie jest prostopadły do ​​płaszczyzny. Koniec odcinka leżącego w płaszczyźnie nazywa się podstawa ukośna... Nazywa się segment łączący podstawy prostopadłej do pochyłej, narysowany z tego samego punktu ukośna projekcja.

AB - prostopadła do płaszczyzny α.
AC - ukośny, CB - rzut.

Stwierdzenie twierdzenia

Jeżeli linia prosta poprowadzona na płaszczyźnie przez podstawę pochyłej jest prostopadła do jej rzutu, to jest prostopadła do pochyłej.

Dowód

Pozwalać AB- prostopadła do płaszczyzny α, AC- ukośne i C jest linią prostą w płaszczyźnie α przechodzącą przez punkt C i rzut prostopadły pne... Narysujmy linię prostą CK równoległa prosta AB... Prosty CK prostopadła do płaszczyzny α (ponieważ jest równoległa AB), a zatem dowolna linia prosta tej płaszczyzny, zatem CK prostopadle do linii prostej C... Narysujmy równoległe linie AB oraz CK płaszczyzna β (linie równoległe definiują płaszczyznę i tylko jedną). Prosty C prostopadłe do dwóch przecinających się linii prostych leżących w płaszczyźnie β, to jest pne według stanu i CK przez konstrukcję oznacza to, że jest prostopadła i każda linia prosta należąca do tej płaszczyzny, co oznacza, że ​​jest prostopadła do linii prostej AC.

Ten artykuł daje wyobrażenie, jak napisać równanie płaszczyzny przechodzącej przez dany punkt w przestrzeni trójwymiarowej prostopadłej do danej linii prostej. Przeanalizujmy podany algorytm na przykładzie rozwiązywania typowych problemów.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Znalezienie równania płaszczyzny przechodzącej przez dany punkt w przestrzeni prostopadłej do danej prostej

Niech będzie w niej dana przestrzeń trójwymiarowa i prostokątny układ współrzędnych O x y z. Podano również punkt М 1 (x 1, y 1, z 1), prostą a oraz płaszczyznę α przechodzącą przez punkt М 1 prostopadłą do prostej a. Konieczne jest spisanie równania płaszczyzny α.

Zanim przystąpimy do rozwiązywania tego problemu, przypomnijmy sobie twierdzenie o geometrii z programu klas 10-11, które brzmi:

Definicja 1

Pojedyncza płaszczyzna prostopadła do określonej linii prostej przechodzi przez dany punkt w przestrzeni trójwymiarowej.

Zastanówmy się teraz, jak znaleźć równanie tej pojedynczej płaszczyzny przechodzącej przez pierwotny punkt i prostopadłej do danej prostej.

Można zapisać ogólne równanie płaszczyzny, jeśli znane są współrzędne punktu należącego do tej płaszczyzny oraz współrzędne wektora normalnego płaszczyzny.

Warunek zadania daje nam współrzędne x 1, y 1, z 1 punktu M 1, przez który przechodzi płaszczyzna α. Jeśli określimy współrzędne wektora normalnego płaszczyzny α, będziemy mogli zapisać pożądane równanie.

Wektor normalny płaszczyzny α, ponieważ jest niezerowy i leży na prostej prostopadłej do płaszczyzny α, będzie dowolnym wektorem kierunkowym prostej a. Tak więc problem znalezienia współrzędnych wektora normalnego płaszczyzny α zostaje przekształcony w problem wyznaczenia współrzędnych wektora kierunkowego prostej a.

Wyznaczenie współrzędnych wektora kierunkowego prostej a można przeprowadzić różnymi metodami: zależy to od wariantu określenia prostej a w warunkach początkowych. Na przykład, jeśli linię prostą a w stwierdzeniu problemu podają równania kanoniczne postaci

x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z

lub równania parametryczne postaci:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ z = z 1 + a z λ

wtedy wektor kierunkowy prostej będzie miał współrzędne ax, ay i az. W przypadku, gdy prostą a reprezentują dwa punkty М 2 (x 2, y 2, z 2) i М 3 (x 3, y 3, z 3), to współrzędne wektora kierunkowego zostaną określone jako (x3 - x2, y3 - y2 , z3 - z2).

Definicja 2

Algorytm znajdowania równania płaszczyzny przechodzącej przez dany punkt prostopadle do danej prostej:

Wyznacz współrzędne wektora kierunkowego prostej a: a → = (a x, a y, a z) ;

Współrzędne wektora normalnego płaszczyzny α wyznaczamy jako współrzędne wektora kierunkowego prostej a:

n → = (A, B, C), gdzie A = a x, B = a y, C = a z;

Zapisujemy równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt М 1 (x 1, y 1, z 1) i posiadającej wektor normalny n → = (A, B, C) w postaci A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0. Będzie to wymagane równanie płaszczyzny, która przechodzi przez dany punkt w przestrzeni i jest prostopadła do danej linii prostej.

Wynikowe ogólne równanie samolotu: A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0 umożliwia otrzymanie równania płaszczyzny w odcinkach lub równania normalnego płaszczyzny.

Rozwiążmy kilka przykładów za pomocą algorytmu otrzymanego powyżej.

Przykład 1

Podano punkt M 1 (3, - 4, 5), przez który przechodzi płaszczyzna, a płaszczyzna ta jest prostopadła do linii współrzędnych O z.

Rozwiązanie

wektor kierunkowy linii współrzędnych O z będzie wektorem współrzędnych k = (0, 0, 1). Dlatego wektor normalny płaszczyzny ma współrzędne (0, 0, 1). Napiszmy równanie płaszczyzny przechodzącej przez dany punkt M 1 (3, - 4, 5), którego wektor normalny ma współrzędne (0, 0, 1):

A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0 ⇔ ⇔ 0 (x - 3) + 0 (y - (- 4)) + 1 (z - 5) = 0 ⇔ z - 5 = 0

Odpowiedź: z-5 = 0.

Rozważmy inny sposób rozwiązania tego problemu:

Przykład 2

Płaszczyzna prostopadła do prostej O z będzie dana przez niepełne ogólne równanie płaszczyzny postaci C z + D = 0, C ≠ 0. Zdefiniujmy wartości C i D: te, przy których samolot przelatuje przez dany punkt. Podstaw współrzędne tego punktu do równania C z + D = 0, otrzymamy: C · 5 + D = 0. Tych. liczby, C i D są powiązane stosunkiem - D C = 5. Biorąc C = 1, otrzymujemy D = - 5.

Zastąp te wartości równaniem C z + D = 0 i uzyskaj wymagane równanie płaszczyzny prostopadłej do linii prostej O z i przechodzącej przez punkt M 1 (3, - 4, 5).

Będzie to wyglądać tak: z - 5 = 0.

Odpowiedź: z-5 = 0.

Przykład 3

Zrównaj płaszczyznę przechodzącą przez początek i prostopadłą do prostej x - 3 = y + 1 - 7 = z + 5 2

Rozwiązanie

Na podstawie warunków problemu można argumentować, że wektor kierunkowy danej prostej można przyjąć jako wektor normalny n → danej płaszczyzny. Zatem: n → = (- 3, - 7, 2). Napiszmy równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt O (0, 0, 0) i posiadającej wektor normalny n → = (- 3, - 7, 2):

3 (x - 0) - 7 (y - 0) + 2 (z - 0) = 0 ⇔ - 3 x - 7 y + 2 z = 0

Otrzymaliśmy wymagane równanie płaszczyzny przechodzącej przez początek prostopadle do danej linii prostej.

Odpowiedź:- 3 x - 7 r + 2 z = 0

Przykład 4

Podano prostokątny układ współrzędnych O x y z w przestrzeni trójwymiarowej, w którym znajdują się dwa punkty A (2, - 1, - 2) i B (3, - 2, 4). Płaszczyzna α przechodzi przez punkt A prostopadły do ​​prostej A B. Konieczne jest sformułowanie równania płaszczyzny α w odcinkach.

Rozwiązanie

Płaszczyzna α jest prostopadła do prostej А В, wtedy wektor А В → będzie wektorem normalnym płaszczyzny α. Współrzędne tego wektora określa się jako różnicę między odpowiednimi współrzędnymi punktów B (3, - 2, 4) i A (2, - 1, - 2):

A B → = (3 - 2, - 2 - (- 1), 4 - (- 2)) ⇔ A B → = (1, - 1, 6)

Ogólne równanie samolotu zostanie zapisane w następujący sposób:

1 x - 2 - 1 y - (- 1 + 6 (z - (- 2)) = 0 ⇔ x - y + 6 z + 9 = 0

Teraz skomponujmy wymagane równanie płaszczyzny w segmentach:

x - y + 6 z + 9 = 0 ⇔ x - y + 6 z = - 9 ⇔ x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1

Odpowiedź:x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1

Należy również zauważyć, że istnieją problemy, których wymaganiem jest napisanie równania płaszczyzny przechodzącej przez dany punkt i prostopadłej do dwóch danych płaszczyzn. Ogólnie rozwiązanie tego problemu polega na utworzeniu równania dla płaszczyzny przechodzącej przez dany punkt prostopadły do ​​danej linii prostej, ponieważ dwie przecinające się płaszczyzny definiują linię prostą.

Przykład 5

Dany jest prostokątny układ współrzędnych O x y z, w nim punkt M 1 (2, 0, - 5). Podano również równania dwóch płaszczyzn 3 x + 2 y + 1 = 0 i x + 2 z - 1 = 0, które przecinają się wzdłuż prostej a. Konieczne jest sporządzenie równania dla płaszczyzny przechodzącej przez punkt M 1 prostopadle do prostej a.

Rozwiązanie

Wyznaczmy współrzędne wektora kierunkowego prostej a. Jest prostopadła zarówno do wektora normalnego n 1 → (3, 2, 0) płaszczyzny n → (1, 0, 2), jak i wektora normalnego 3 x + 2 y + 1 = 0 płaszczyzny x + 2 z-1 = 0.

Następnie bierzemy iloczyn wektorowy wektorów n 1 → i n 2 → jako wektor kierunkowy α → prosta a:

a → = n 1 → × n 2 → = i → j → k → 3 2 0 1 0 2 = 4 i → - 6 j → - 2 k → ⇒ a → = (4, - 6, - 2)

Zatem wektor n → = (4, - 6, - 2) będzie wektorem normalnym płaszczyzny prostopadłej do linii a. Zapiszmy wymagane równanie samolotu:

4 (x - 2) - 6 (y - 0) - 2 (z - (- 5)) = 0 ⇔ 4 x - 6 y - 2 z - 18 = 0 ⇔ ⇔ 2 x - 3 y - z - 9 = 0

Odpowiedź: 2 x - 3 y - z - 9 = 0

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl + Enter

W ramach tego materiału przeanalizujemy, jak znaleźć równanie płaszczyzny, jeśli znamy współrzędne jej trzech różnych punktów, które nie leżą na jednej prostej. Aby to zrobić, musimy pamiętać, czym jest prostokątny układ współrzędnych w przestrzeni trójwymiarowej. Na początek przedstawiamy podstawową zasadę tego równania i pokazujemy, jak dokładnie ją wykorzystać w rozwiązywaniu konkretnych problemów.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Najpierw musimy zapamiętać jeden aksjomat, który brzmi tak:

Definicja 1

Jeśli trzy punkty nie pokrywają się ze sobą i nie leżą na jednej linii prostej, to w przestrzeni trójwymiarowej przechodzi przez nie tylko jedna płaszczyzna.

Innymi słowy, jeśli mamy trzy różne punkty, których współrzędne się nie pokrywają i których nie można połączyć linią prostą, to możemy zdefiniować przechodzącą przez nią płaszczyznę.

Powiedzmy, że mamy prostokątny układ współrzędnych. Oznaczamy to przez O x y z. Zawiera trzy punkty M o współrzędnych M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3), których nie można połączyć Linia prosta. Na podstawie tych warunków możemy zapisać równanie potrzebnej nam płaszczyzny. Istnieją dwa podejścia do rozwiązania tego problemu.

1. Pierwsze podejście wykorzystuje ogólne równanie płaszczyzny. W postaci dosłownej jest napisane jako A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0. Można go użyć do ustawienia pewnej płaszczyzny alfa w prostokątnym układzie współrzędnych, która przechodzi przez pierwszy określony punkt M 1 (x 1, y 1, z 1). Okazuje się, że wektor normalny płaszczyzny α będzie miał współrzędne A, B, C.

Definicja N

Znając współrzędne wektora normalnego i współrzędne punktu, przez który przechodzi płaszczyzna, możemy zapisać ogólne równanie tej płaszczyzny.

Wyjdziemy z tego w przyszłości.

Tak więc, zgodnie z warunkami problemu, mamy współrzędne pożądanego punktu (nawet trzy), przez który przechodzi samolot. Aby znaleźć równanie, musisz obliczyć współrzędne jego wektora normalnego. Oznaczamy to przez n →.

Zapamiętajmy zasadę: każdy niezerowy wektor danej płaszczyzny jest prostopadły do ​​wektora normalnego tej samej płaszczyzny. Wtedy mamy, że n → będzie prostopadłe do wektorów złożonych z pierwotnych punktów M 1 M 2 → i M 1 M 3 →. Wtedy możemy oznaczyć n → jako iloczyn krzyżowy postaci M 1 M 2 → · M 1 M 3 →.

Ponieważ M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1) i M 1 M 3 → = x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1 (dowody na te równości podane są w artykule poświęconym obliczaniu współrzędnych wektora ze współrzędnych punktów), wtedy okazuje się, że:

n → = M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z jeden

Jeśli obliczymy wyznacznik, otrzymamy współrzędne wektora normalnego n → potrzebujemy. Teraz możemy zapisać pożądane równanie płaszczyzny przechodzącej przez trzy ustalone punkty.

2. Drugie podejście do znalezienia równania przechodzącego przez M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) to w oparciu o takie pojęcie jak współpłaszczyznowość wektorów.

Jeśli mamy zbiór punktów M (x, y, z), to w prostokątnym układzie współrzędnych definiują one płaszczyznę dla danych punktów M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2 , z 2 ), M 3 (x 3, y 3, z 3) tylko wtedy, gdy wektory M 1 M → = (x - x 1, y - y 1, z - z 1), M 1 M 2 → = ( x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1) i M 1 M 3 → = (x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1) będą współpłaszczyznowe.

Na schemacie będzie to wyglądać tak:

Oznacza to, że iloczyn mieszany wektorów M 1 M →, M 1 M 2 →, M 1 M 3 → będzie równy zero: M 1 M → M 1 M 2 → M 1 M 3 → = 0, ponieważ jest głównym warunkiem współpłaszczyznowości: M 1 M → = (x - x 1, y - y 1, z - z 1), M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1) i M 1 M 3 → = (x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1).

Zapiszmy otrzymane równanie w postaci współrzędnych:

Po obliczeniu wyznacznika będziemy mogli otrzymać pożądane równanie płaszczyzny dla trzech punktów M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3 , y 3, z 3).

Z otrzymanego równania można przejść do równania płaszczyzny w segmentach lub do równania normalnego płaszczyzny, jeśli wymagają tego warunki problemu.

W następnym akapicie podamy przykłady, jak te podejścia są wdrażane w praktyce.

Przykłady zadań do sporządzenia równania płaszczyzny przechodzącej przez 3 punkty

Wcześniej zidentyfikowaliśmy dwa podejścia, które można wykorzystać do znalezienia pożądanego równania. Zobaczmy, jak są stosowane do rozwiązywania problemów i kiedy wybrać każdy z nich.

Przykład 1

Istnieją trzy punkty, które nie leżą na jednej prostej, o współrzędnych M 1 (- 3, 2, - 1), M 2 (- 1, 2, 4), M 3 (3, 3, - 1). Zrównaj samolot przez nie.

Rozwiązanie

Obie metody stosujemy naprzemiennie.

1. Znajdźmy współrzędne dwóch wektorów, których potrzebujemy M 1 M 2 →, M 1 M 3 →:

M 1 M 2 → = - 1 - - 3, 2 - 2, 4 - - 1 ⇔ M 1 M 2 → = (2, 0, 5) M 1 M 3 → = 3 - - 3, 3 - 2, - 1 - - 1 ⇔ M 1 M 3 → = 6, 1, 0

Teraz obliczmy ich iloczyn krzyżowy. W tym przypadku nie będziemy opisywać obliczeń wyznacznika:

n → = M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → 2 0 5 6 1 0 = - 5 i → + 30 j → + 2 k →

Otrzymaliśmy wektor normalny płaszczyzny, która przechodzi przez trzy wymagane punkty: n → = (-5, 30, 2). Następnie musimy wziąć jeden z punktów, na przykład M 1 (- 3, 2, - 1) i zapisać równanie dla płaszczyzny o wektorze n → = (- 5, 30, 2). Otrzymujemy, że: - 5 (x - (- 3)) + 30 (y - 2) + 2 (z - (- 1)) = 0 ⇔ - 5 x + 30 y + 2 z - 73 = 0

To jest równanie płaszczyzny, której potrzebujemy, która przechodzi przez trzy punkty.

2. Stosujemy inne podejście. Piszemy równanie dla płaszczyzny z trzema punktami M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) w następujący formularz:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = 0

Tutaj możesz podstawić dane z opisu problemu. Ponieważ x 1 = - 3, y 1 = 2, z 1 = - 1, x 2 = - 1, y 2 = 2, z 2 = 4, x 3 = 3, y 3 = 3, z 3 = - 1, w końcu otrzymujemy:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = x - (- 3) y - 2 z - (- 1) - 1 - (- 3) 2 - 2 4 - (- 1) 3 - (- 3) 3 - 2 - 1 - (- 1) = = x + 3 y - 2 z + 1 2 0 5 6 1 0 = - 5 x + 30 r + 2 z - 73

Mamy równanie, którego potrzebujemy.

Odpowiedź:- 5 x + 30 lat + 2 z - 73.

A co, jeśli podane punkty nadal leżą na jednej prostej i musimy narysować dla nich równanie płaszczyzny? Tutaj muszę od razu powiedzieć, że ten warunek nie będzie do końca słuszny. Przez takie punkty może przechodzić nieskończona liczba płaszczyzn, więc nie da się obliczyć jednej odpowiedzi. Rozważmy taki problem, aby udowodnić błędność takiego sformułowania pytania.

Przykład 2

Mamy prostokątny układ współrzędnych w przestrzeni trójwymiarowej, w którym umieszczone są trzy punkty o współrzędnych M 1 (5, - 8, - 2), M 2 (1, - 2, 0), M 3 (- 1, 1, 1) ... Konieczne jest sformułowanie równania dla przechodzącej przez nią płaszczyzny.

Rozwiązanie

Użyjmy pierwszej metody i zacznijmy od obliczenia współrzędnych dwóch wektorów M 1 M 2 → i M 1 M 3 →. Obliczmy ich współrzędne: M 1 M 2 → = (- 4, 6, 2), M 1 M 3 → = - 6, 9, 3.

Iloczyn krzyżowy będzie równy:

M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → - 4 6 2 - 6 9 3 = 0 i ⇀ + 0 j → + 0 k → = 0 →

Ponieważ M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = 0 →, to nasze wektory będą współliniowe (przeczytaj ponownie artykuł o nich, jeśli zapomniałeś definicji tego pojęcia). Zatem początkowe punkty M 1 (5, - 8, - 2), M 2 (1, - 2, 0), M 3 (- 1, 1, 1) leżą na tej samej prostej, a nasz problem ma nieskończenie wiele opcji odpowiada.

Jeśli zastosujemy drugą metodę, otrzymamy:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = 0 ⇔ x - 5 y - (- 8) z - (- 2) 1 - 5 - 2 - (- 8) 0 - (- 2) - 1 - 5 1 - (- 8) 1 - (- 2) = 0 ⇔ ⇔ x - 5 y + 8 z + 2 - 4 6 2 - 6 9 3 = 0 ⇔ 0 ≡ 0

Z otrzymanej równości wynika również, że dane punkty M 1 (5, - 8, - 2), M 2 (1, - 2, 0), M 3 (- 1, 1, 1) leżą na tej samej linii prostej .

Jeśli chcesz znaleźć przynajmniej jedną odpowiedź na ten problem z nieskończonej różnorodności jego opcji, musisz wykonać następujące kroki:

1. Zapisz równanie linii prostej M 1 M 2, M 1 M 3 lub M 2 M 3 (jeśli to konieczne, zobacz materiał dotyczący tego działania).

2. Weź punkt M 4 (x 4, y 4, z 4), który nie leży na prostej M 1 M 2.

3. Napisz równanie płaszczyzny, która przechodzi przez trzy różne punkty M 1, M 2 i M 4, nie leżące na jednej prostej.

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl + Enter

Pierwszy poziom

Współrzędne i wektory. Kompleksowy przewodnik (2019)

W tym artykule rozpoczniemy dyskusję na temat jednej „magicznej różdżki”, która pozwoli zredukować wiele problemów geometrycznych do prostej arytmetyki. Ten „kij” może znacznie ułatwić Ci życie, szczególnie w przypadku, gdy czujesz się niepewnie w konstruowaniu przestrzennych figur, przekrojów itp. Wszystko to wymaga pewnej wyobraźni i praktycznych umiejętności. Metoda, którą zaczniemy tutaj rozważać, pozwoli Ci niemal całkowicie wyabstrahować się z wszelkiego rodzaju konstrukcji geometrycznych i rozumowania. Metoda nazywa się „Metoda współrzędnych”... W tym artykule rozważymy następujące pytania:

1. Płaszczyzna współrzędnych
2. Punkty i wektory w płaszczyźnie
3. Konstruowanie wektora z dwóch punktów
4. Długość wektora (odległość między dwoma punktami)
5. Współrzędne punktu środkowego
6. Iloczyn skalarny wektorów
7. Kąt między dwoma wektorami

Myślę, że już zgadłeś, dlaczego metoda współrzędnych jest tak nazywana? To prawda, że ​​otrzymał takie imię, ponieważ operuje nie obiektami geometrycznymi, ale ich cechami liczbowymi (współrzędnymi). A sama transformacja, która pozwala przejść od geometrii do algebry, polega na wprowadzeniu układu współrzędnych. Jeśli oryginalna figura była płaska, współrzędne są dwuwymiarowe, a jeśli figura jest trójwymiarowa, współrzędne są trójwymiarowe. W tym artykule rozważymy tylko przypadek dwuwymiarowy. A głównym celem artykułu jest nauczenie Cię posługiwania się podstawowymi technikami metody współrzędnych (czasami okazują się przydatne w rozwiązywaniu problemów planimetrycznych w części B egzaminu). Kolejne dwa rozdziały na ten temat poświęcone są omówieniu metod rozwiązywania problemów C2 (problem stereometrii).

Gdzie logiczne byłoby rozpoczęcie omawiania metody współrzędnych? Prawdopodobnie z koncepcji układu współrzędnych. Pamiętaj, kiedy pierwszy raz ją spotkałeś. Wydaje mi się, że w 7 klasie, kiedy dowiedziałeś się o istnieniu funkcja liniowa, Na przykład. Przypomnę, że zbudowałeś go punkt po punkcie. Pamiętasz? Wybrałeś dowolną liczbę, wstawiłeś ją do wzoru i obliczyłeś w ten sposób. Na przykład, jeśli, to, jeśli, to itd. Co w końcu dostałeś? I otrzymałeś punkty ze współrzędnymi: i. Następnie narysowałeś "krzyżyk" (układ współrzędnych), wybrałeś na nim skalę (ile komórek będziesz miał jako segment jednostkowy) i zaznaczyłeś na nim otrzymane punkty, które następnie połączyłeś linią prostą, powstałą linią jest wykresem funkcji.

Jest tu kilka punktów, które należy wyjaśnić bardziej szczegółowo:

1. Ze względu na wygodę wybierasz jeden segment, aby wszystko ładnie i kompaktowo mieściło się na zdjęciu.

2. Zakłada się, że oś biegnie od lewej do prawej, a oś od dołu do góry.

3. Przecinają się pod kątem prostym, a punkt ich przecięcia nazywa się początkiem. Wskazuje na to list.

4. Pisząc współrzędne punktu, na przykład po lewej stronie w nawiasie znajduje się współrzędna punktu wzdłuż osi, a po prawej wzdłuż osi. W szczególności oznacza to po prostu, że w punkcie

5. Aby ustawić dowolny punkt na osi współrzędnych należy podać jego współrzędne (2 cyfry)

6. Dla dowolnego punktu na osi,

7. Dla dowolnego punktu na osi,

8. Oś nazywana jest osią odciętą.

9. Oś nazywa się osią y.

Teraz zróbmy z tobą kolejny krok: zaznacz dwa punkty. Połączmy te dwa punkty segmentem. I umieścimy strzałkę tak, jakbyśmy rysowali odcinek od punktu do punktu: to znaczy sprawimy, że nasz odcinek będzie skierowany!

Pamiętaj, jak jeszcze nazywa się linia kierunkowa? Zgadza się, nazywa się to wektorem!

Tak więc, jeśli połączymy punkt z punktem, ponadto początkiem będzie punkt A, a końcem punkt B, wtedy otrzymujemy wektor. Ty też zrobiłeś tę formację w 8 klasie, pamiętasz?

Okazuje się, że wektory, podobnie jak punkty, mogą być oznaczone dwiema liczbami: liczby te nazywane są współrzędnymi wektora. Pytanie brzmi: czy uważasz, że wystarczy znać współrzędne początku i końca wektora, aby znaleźć jego współrzędne? Okazuje się, że tak! Robi się to bardzo prosto:

Tak więc, ponieważ punkt w wektorze jest początkiem, a a jest końcem, wektor ma następujące współrzędne:

Na przykład, jeśli, to współrzędne wektora

Teraz zróbmy odwrotnie, znajdź współrzędne wektora. Co musimy w tym celu zmienić? Tak, musisz zamienić początek i koniec: teraz początek wektora będzie w punkcie, a koniec w punkcie. Następnie:

Przyjrzyj się uważnie, jak są wektory i? Ich jedyną różnicą są znaki we współrzędnych. Są przeciwne. Zwyczajowo pisze się ten fakt w ten sposób:

Czasami, jeśli nie jest wyraźnie określone, który punkt jest początkiem wektora, a który końcem, wektory są oznaczane nie dwiema wielkimi literami, ale jedną małą literą, na przykład: itp.

Teraz trochę ćwiczyć siebie i znajdź współrzędne następujących wektorów:

Badanie:

Teraz rozwiąż problem nieco trudniej:

Vektor z na-cha-lom w punkcie ma co-or-di-na-ty. Nay-di-te punkty abs-cis-su.

To wszystko jest dość prozaiczne: niech będą współrzędne punktu. Następnie

Układ stworzyłem na podstawie definicji współrzędnych wektora. Wtedy punkt ma współrzędne. Interesuje nas odcięta. Następnie

Odpowiedź:

Co jeszcze można zrobić z wektorami? Tak, prawie wszystko jest takie samo jak w przypadku zwykłych liczb (z wyjątkiem tego, że nie można dzielić, ale można mnożyć na dwa sposoby, z których jeden omówimy tutaj nieco później)

1. Wektory można dodawać do siebie
2. Wektory można od siebie odejmować
3. Wektory można mnożyć (lub dzielić) przez dowolną liczbę niezerową
4. Wektory można mnożyć przez siebie

Wszystkie te operacje mają bardzo wyraźną reprezentację geometryczną. Na przykład trójkąt (lub równoległobok) rządzi dodawaniem i odejmowaniem:

Wektor rozszerza się, kurczy lub zmienia kierunek po pomnożeniu lub podzieleniu przez liczbę:

Tutaj jednak interesuje nas pytanie, co dzieje się ze współrzędnymi.

1. Przy dodawaniu (odejmowaniu) dwóch wektorów dodajemy (odejmujemy) ich współrzędne element po elemencie. To jest:

2. Podczas mnożenia (dzielenia) wektora przez liczbę wszystkie jego współrzędne są mnożone (dzielone) przez tę liczbę:

Na przykład:

· Nay-di-te suma co-or-di-nat vek-to-ra.

Najpierw znajdźmy współrzędne każdego z wektorów. Oba mają to samo pochodzenie - punkt początkowy. Ich końce są inne. Następnie, . Teraz obliczmy współrzędne wektora Następnie suma współrzędnych wektora wynikowego jest.

Odpowiedź:

Teraz samodzielnie rozwiąż następujący problem:

Znajdź sumę współrzędnych wektora

Sprawdzamy:

Rozważmy teraz następujący problem: mamy dwa punkty na płaszczyźnie współrzędnych. Jak znaleźć odległość między nimi? Niech będzie pierwszy punkt, a drugi. Oznaczmy odległość między nimi. Zróbmy następujący rysunek dla jasności:

Co ja zrobiłem? Najpierw podłączyłem punkty i, i również z punktu narysowałem linię równoległą do osi, az punktu narysowałem linię równoległą do osi. Czy przecinały się w pewnym punkcie, tworząc w ten sposób wspaniałą figurę? Do czego jest godna uwagi? Tak, ty i ja wiemy prawie wszystko trójkąt prostokątny... Cóż, twierdzenie Pitagorasa - na pewno. Poszukiwany segment to przeciwprostokątna tego trójkąta, a segmenty to nogi. Jakie są współrzędne punktu? Tak, można je łatwo znaleźć na zdjęciu: ponieważ segmenty są równoległe do osi, a zatem ich długości są łatwe do znalezienia: jeśli odpowiednio oznaczysz długości segmentów przez, to

Użyjmy teraz twierdzenia Pitagorasa. Znamy długości nóg, znajdziemy przeciwprostokątną:

Zatem odległość między dwoma punktami jest pierwiastkiem sumy kwadratów różnic względem współrzędnych. Lub - odległość między dwoma punktami to długość łączącej je linii. Łatwo zauważyć, że odległość między punktami jest niezależna od kierunku. Następnie:

Z tego wyciągamy trzy wnioski:

Poćwiczmy obliczanie odległości między dwoma punktami:

Na przykład, jeśli, to odległość między i jest równa

Albo chodźmy inaczej: znajdź współrzędne wektora

I znajdź długość wektora:

Jak widać, to samo!

Teraz sam poćwicz:

Zadanie: znajdź odległość między określonymi punktami:

Sprawdzamy:

Oto kilka innych problemów dla tej samej formuły, choć brzmią nieco inaczej:

1. Szczur kwadratowy Nay-di-te o długości od stulecia do ra.

2. Nay-di-te-szczur kwadratowy o długości od stulecia do ra

Myślę, że zrobiłeś to z nimi łatwo? Sprawdzamy:

1. A to dla uwagi) Znaleźliśmy już współrzędne wektorów, a wcześniej:. Wtedy wektor ma współrzędne. Kwadrat jego długości będzie wynosił:

2. Znajdź współrzędne wektora

Wtedy kwadrat jego długości wynosi

Nic skomplikowanego, prawda? Prosta arytmetyka, nic więcej.

Poniższe zadania nie dają się jednoznacznie skategoryzować, są bardziej podatne na ogólną erudycję i umiejętność rysowania prostych obrazków.

1. Nay-di-te sinus kąta on-off-cut, co-uni-nya-yu-shch-th point, z osią odciętych.

oraz

Co będziemy tutaj robić? Musisz znaleźć sinus kąta między osią a osią. A skąd wiemy, jak szukać sinusa? Po prawej, w trójkącie prostokątnym. Więc co musimy zrobić? Zbuduj ten trójkąt!

Ponieważ współrzędne punktu to i, segment jest równy, a segment. Musimy znaleźć sinus kąta. Przypomnę więc, że zatoka jest stosunkiem nogi przeciwnej do przeciwprostokątnej

Co nam zostało do zrobienia? Znajdź przeciwprostokątną. Możesz to zrobić na dwa sposoby: za pomocą twierdzenia Pitagorasa (nogi są znane!) Lub za pomocą wzoru na odległość między dwoma punktami (w rzeczywistości to samo, co pierwszy sposób!). Pójdę w drugą stronę:

Odpowiedź:

Następne zadanie wyda ci się jeszcze łatwiejsze. Ona - na współrzędnych punktu.

Cel 2. Per-pen-di-ku-lar obniża się od punktu do osi odciętych. Nay-di-te abs-cis-su os-no-va-nia per-pen-di-ku-la-ra.

Zróbmy rysunek:

Podstawą pionu jest punkt, w którym przecina oś odciętych (oś), dla mnie jest to punkt. Rysunek pokazuje, że ma współrzędne:. Interesuje nas odcięta - czyli składnik "x". Jest równy.

Odpowiedź: .

Cel 3. W warunkach poprzedniego zadania znajdź sumę odległości od punktu do osi współrzędnych.

Zadanie jest generalnie elementarne, jeśli wiesz, jaka jest odległość od punktu do osi. Wiesz, że? Mam nadzieję, ale nadal przypominam:

Czyli na moim obrazku, położonym nieco wyżej, narysowałem już jedną taką prostopadłą? Do której to osi? Do osi. A jaka jest jego długość? Jest równy. Teraz sam narysuj prostopadłą do osi i znajdź jej długość. Będzie równy, prawda? Wtedy ich suma jest równa.

Odpowiedź: .

Zadanie 4. W warunkach zadania 2 znajdź rzędną punktu symetrycznego do punktu względem osi odciętej.

Myślę, że intuicyjnie rozumiesz, czym jest symetria? Ma ją wiele obiektów: wiele budynków, stołów, samolotów, wiele kształtów geometrycznych: kula, walec, kwadrat, romb itp. Z grubsza mówiąc symetrię można rozumieć następująco: figura składa się z dwóch (lub więcej) identycznych połówek. Ta symetria nazywa się osiową. Czym więc jest oś? Jest to dokładnie ta linia, wzdłuż której figurę można relatywnie mówiąc „pociąć” na identyczne połówki (na tym rysunku oś symetrii jest linią prostą):

Wróćmy teraz do naszego problemu. Wiemy, że szukamy punktu symetrycznego względem osi. Wtedy ta oś jest osią symetrii. Oznacza to, że musimy zaznaczyć punkt, aby oś przecięła segment na dwie równe części. Spróbuj sam oznaczyć taki punkt. Teraz porównaj z moim rozwiązaniem:

Czy zrobiłeś to samo? Dobry! W znalezionym punkcie interesuje nas rzędna. Ona jest równa

Odpowiedź:

Teraz powiedz mi, po zastanowieniu się nad sekundami, jaka będzie odcięta punktu symetrycznego do punktu A względem rzędnej? Jaka jest twoja odpowiedź? Poprawna odpowiedź: .

Ogólnie regułę można napisać tak:

Punkt symetryczny do punktu względem osi odciętej ma współrzędne:

Punkt symetryczny do punktu wokół osi rzędnych ma współrzędne:

Cóż, teraz jest to całkowicie przerażające zadanie: znajdź współrzędne punktu, który jest symetryczny względem punktu względem początku. Najpierw myślisz sam, a potem patrzysz na mój rysunek!

Odpowiedź:

Ale już problem równoległoboku:

Zadanie 5: Punkty to ver-shi-na-mi paral-le-lo-gram-ma. Nay-di-te lub-di-na-tu punkty.

Możesz rozwiązać ten problem na dwa sposoby: logicznie i metodą współrzędnych. Najpierw zastosuję metodę współrzędnych, a następnie powiem, jak możesz zdecydować inaczej.

Jest całkiem jasne, że odcięta punktu jest równa. (leży na prostopadłej poprowadzonej od punktu do osi odciętej). Musimy znaleźć rzędnego. Wykorzystajmy fakt, że nasza figura jest równoległobokiem, co oznacza, że. Znajdź długość odcinka, korzystając ze wzoru na odległość między dwoma punktami:

Obniżamy prostopadłość łączącą punkt z osią. Punkt przecięcia zostanie oznaczony literą.

Długość segmentu to. (znajdź sam problem, w którym omawialiśmy ten punkt), wtedy znajdziemy długość odcinka według twierdzenia Pitagorasa:

Długość linii jest dokładnie taka sama jak jej rzędna.

Odpowiedź: .

Inne rozwiązanie (podam tylko zdjęcie, które to ilustruje)

Postęp rozwiązania:

1. Postępowanie

2. Znajdź współrzędne punktu i długość

3. Udowodnij to.

Jeszcze jeden problem z długością segmentu:

Pojawiają się punkty-la-are-sya ver-shi-na-mi tre-coal-ni-ka. Nay-di-te to długość jego środkowej linii, paral-lel-noy.

Czy pamiętasz, jaka jest środkowa linia trójkąta? Wtedy to zadanie jest dla ciebie elementarne. Jeśli nie pamiętasz, to ci przypomnę: linia środkowa trójkąta to linia łącząca punkty środkowe przeciwległych boków. Jest równoległy do ​​podstawy i równy jej połowie.

Podstawą jest segment liniowy. Musieliśmy wcześniej poszukać jego długości, jest równa. Wtedy długość linii środkowej jest równa połowie i równa.

Odpowiedź: .

Komentarz: ten problem można rozwiązać w inny sposób, do którego powrócimy nieco później.

Tymczasem oto kilka zadań dla Ciebie, przećwicz je, są dość proste, ale pomagają „dostać rękę” metodą współrzędnych!

1. Punkty to ver-shi-na-mi tra-petsii. Nay-di-te to długość jego środkowej linii.

2. Kropki i are-la-is-sya ver-shi-na-mi pa-ra-le-lo-gram-ma. Nay-di-te lub-di-na-tu punkty.

3. Nay-di-te długość od cięcia, punkt co-single-nya-yu-shch-go i

4. Obszar Nay-di-te pięknej fi-gu-ry na samolocie co-or-di-nat-noy.

5. Okrąg ze środkiem w na-cha-le ko-or-di-nat przechodzi przez punkt. Nay-di-te jej promienie-nas.

6. Nai-di-te ra-di-us koła, opisane-san-noy wokół rect-coal-ni-ka, wierzchołki ko-to-ro-go mają kooperację -di-na -pożądasz-ale

Rozwiązania:

1. Wiadomo, że środkowa linia trapezu jest równa połowie sumy jego podstaw. Podstawa jest równa, a podstawa jest. Następnie

Odpowiedź:

2. Najłatwiejszym sposobem rozwiązania tego problemu jest zauważenie tego (zasada równoległoboku). Oblicz współrzędne wektorów i nie jest trudne:. Po dodaniu wektorów dodawane są współrzędne. Następnie ma współrzędne. Punkt ma również te same współrzędne, ponieważ początkiem wektora jest punkt ze współrzędnymi. Interesuje nas rz. Jest równy.

Odpowiedź:

3. Działamy natychmiast według wzoru na odległość między dwoma punktami:

Odpowiedź:

4. Spójrz na obrazek i powiedz mi, pomiędzy którymi dwoma kształtami znajduje się zacieniony obszar „przełożony”? Jest umieszczony pomiędzy dwoma kwadratami. Wtedy powierzchnia wymaganej figury jest równa powierzchni dużego kwadratu minus powierzchnia małego. Bok małego kwadratu to odcinek łączący punkty, a jego długość wynosi

Wtedy powierzchnia małego kwadratu to

To samo robimy z dużym kwadratem: jego bok to odcinek łączący punkty, a jego długość to

Wtedy powierzchnia dużego placu to

Obszar wymaganej figury znajdujemy według wzoru:

Odpowiedź:

5. Jeśli okrąg ma początek współrzędnych jako środek i przechodzi przez punkt, to jego promień będzie dokładnie równy długości odcinka (narysuj obrazek, a zrozumiesz, dlaczego jest to oczywiste). Znajdźmy długość tego segmentu:

Odpowiedź:

6. Wiadomo, że promień okręgu opisanego na prostokącie jest równy połowie jego przekątnej. Znajdźmy długość dowolnej z dwóch przekątnych (w końcu w prostokącie są one równe!)

Odpowiedź:

Cóż, poradziłeś sobie ze wszystkim? Nie było trudno to rozgryźć, prawda? Zasada jest tutaj jedna – móc zrobić obraz wizualny i po prostu „odczytać” z niego wszystkie dane.

Zostało nam bardzo niewiele. Są jeszcze dwa punkty, które chciałbym omówić.

Spróbujmy rozwiązać ten prosty problem. Niech dwa punkty i zostaną podane. Znajdź współrzędne punktu środkowego segmentu. Rozwiązanie tego problemu jest następujące: niech punkt będzie pożądanym punktem środkowym, wtedy ma współrzędne:

To jest: współrzędne punktu środkowego odcinka = średnia arytmetyczna odpowiednich współrzędnych końców odcinka.

Ta zasada jest bardzo prosta i zazwyczaj nie sprawia uczniom trudności. Zobaczmy, jakie zadania i jak są używane:

1. Nay-di-te or-di-na-tu-re-di-us from-cut, co-uni-nya-yu-shch-go point i

2. Pojawiają się punkty-la-are-sya ver-shi-na-mi-you-rekh-coal-no-ka. Nay-di-te or-di-na-tu wskazuje pe-re-se-ch-niya jego dia-go-na-lei.

3. Nay-di-te abs-cis-su center-tra koła, opisane-san-noy w pobliżu węgla-no-ka, wierzchołki ko-to-ro-go mają ko-op-di- na-ty co-vet-ale.

Rozwiązania:

1. Pierwszy problem to po prostu klasyka. Działamy natychmiast, aby określić środek segmentu. Ma współrzędne. Jest rzędna.

Odpowiedź:

2. Łatwo zauważyć, że dany czworokąt jest równoległobokiem (nawet rombem!). Sam możesz to udowodnić, obliczając długości boków i porównując je ze sobą. Co wiem o równoległoboku? Jego przekątne są pomniejszone o połowę przez punkt przecięcia! Aha! Więc jaki jest punkt przecięcia przekątnych? To jest środek dowolnej przekątnej! Wybiorę w szczególności przekątną. Wtedy punkt ma współrzędne. Rzędna punktu jest równa.

Odpowiedź:

3. Czym jest środek okręgu opisanego w prostokącie? Zbiega się z punktem przecięcia jego przekątnych. Co wiesz o przekątnych prostokąta? Są równe, a przecięcie jest o połowę mniejsze. Zadanie zostało zredukowane do poprzedniego. Weźmy na przykład przekątną. Wtedy jeśli jest środkiem opisanego koła, to jest środkiem. Szukam współrzędnych: Odcięta jest równa.

Odpowiedź:

Teraz poćwicz trochę sam, po prostu udzielę odpowiedzi na każdy problem, abyś mógł się sprawdzić.

1. Nai-di-te ra-di-us koła, opisane-san-noy wokół trójkąta, wierzchołki ko-to-ro-go mają ko-lub-di-żadnych panów

2. Nay-di-te or-di-na-tu center-tra okręgu, opisz-san-noy wokół trójkąta-nik, wierzchołki ko-to-ro-go mają współrzędne

3. How-to-ra-di-u-sa, czy powinien istnieć okrąg ze środkiem w punkcie tak, aby dotykał osi odciętych?

4. Punkty nay-di-te or-di-na-tu ponownego obsadzenia osi i odcięcia, punkt co-uni-nya-yu-shch-go i

Odpowiedzi:

Udało Ci się? Naprawdę mam na to nadzieję! Teraz - ostatnie pchnięcie. Bądź teraz szczególnie ostrożny. Materiał, który teraz wyjaśnię, jest bezpośrednio związany nie tylko z prostymi problemami dotyczącymi metody współrzędnych z części B, ale również występuje wszędzie w zadaniu C2.

Której z moich obietnic jeszcze nie dotrzymałem? Pamiętasz, jakie operacje na wektorach obiecałem wprowadzić, a jakie ostatecznie wprowadziłem? Czy na pewno niczego nie zapomniałem? Zapomniałem! Zapomniałem wyjaśnić, co oznacza mnożenie wektorów.

Istnieją dwa sposoby pomnożenia wektora przez wektor. W zależności od wybranej metody otrzymamy przedmioty o różnym charakterze:

Produkt wektorowy jest dość skomplikowany. Jak to zrobić i do czego to służy, omówimy z Tobą w następnym artykule. A w tym skupimy się na iloczynie skalarnym.

Istnieją już dwa sposoby, na które możemy to obliczyć:

Jak się domyślasz, wynik powinien być taki sam! Spójrzmy więc najpierw na pierwszy sposób:

Iloczyn skalarny pod względem współrzędnych

Znajdź: - wspólny zapis iloczynu skalarnego

Wzór na obliczenie jest następujący:

To znaczy iloczyn skalarny = suma iloczynów współrzędnych wektorów!

Przykład:

Nai di te

Rozwiązanie:

Znajdźmy współrzędne każdego z wektorów:

Iloczyn skalarny obliczamy według wzoru:

Odpowiedź:

Widzisz, absolutnie nic skomplikowanego!

Cóż, teraz spróbuj sam:

Nay-di-te skalar-noe pro-iz-ve-de-de-vek-to-fosa i

Czy udało Ci się? Może zauważyłeś mały haczyk? Sprawdźmy:

Współrzędne wektorów są takie same jak w poprzednim zadaniu! Odpowiedź: .

Oprócz współrzędnej istnieje inny sposób obliczenia iloczynu skalarnego, a mianowicie poprzez długości wektorów i cosinus kąta między nimi:

Wskazuje kąt między wektorami i.

Oznacza to, że iloczyn skalarny jest równy iloczynowi długości wektorów i cosinusa kąta między nimi.

Po co nam ta druga formuła, skoro mamy pierwszą, która jest o wiele prostsza, przynajmniej nie ma w niej cosinusów. I jest to potrzebne, abyśmy mogli wywnioskować z pierwszego i drugiego wzoru, jak znaleźć kąt między wektorami!

Zapamiętajmy więc wzór na długość wektora!

Następnie, jeśli zastąpię te dane formułą iloczynu skalarnego, otrzymam:

Ale w inny sposób:

Więc co ty i ja dostaliśmy? Mamy teraz wzór do obliczenia kąta między dwoma wektorami! Czasami dla zwięzłości jest to również napisane tak:

Oznacza to, że algorytm obliczania kąta między wektorami jest następujący:

1. Oblicz iloczyn skalarny pod względem współrzędnych
2. Znajdź długości wektorów i pomnóż je
3. Wynik z punktu 1 podzielić przez wynik z punktu 2

Poćwiczmy na przykładach:

1. Nay-di-te to kąt między stuleciem do ra-mi a. Podaj odpowiedź w gra-du-sakh.

2. W warunkach poprzedniego zadania znajdź cosinus między wektorami

Zróbmy tak: pomogę ci rozwiązać pierwszy problem, a drugi spróbuję zrobić sam! Zgadzam się? W takim razie zacznijmy!

1. Te wektory są naszymi starymi znajomymi. Policzyliśmy już ich iloczyn skalarny i był równy. Ich współrzędne to:,. Następnie znajdujemy ich długości:

Następnie szukamy cosinusa między wektorami:

Jaki jest cosinus kąta? To jest róg.

Odpowiedź:

Teraz sam rozwiąż drugi problem, a potem porównamy! Podam tylko bardzo krótkie rozwiązanie:

2. ma współrzędne, ma współrzędne.

Niech będzie kątem między wektorami i wtedy

Odpowiedź:

Należy zauważyć, że problemy bezpośrednio na wektorach i metodzie współrzędnych w części B pracy badawczej są dość rzadkie. Jednak zdecydowaną większość problemów C2 można łatwo rozwiązać, wprowadzając układ współrzędnych. Możesz więc potraktować ten artykuł jako podstawę, na podstawie której zrobimy dość podchwytliwe konstrukcje, które musimy rozwiązać trudne zadania.

WSPÓŁRZĘDNE I WEKTORY. ŚREDNI RÓW

Ty i ja nadal studiujemy metodę współrzędnych. W ostatniej części wyprowadziliśmy szereg ważnych formuł, które pozwalają:

1. Znajdź współrzędne wektora
2. Znajdź długość wektora (alternatywnie: odległość między dwoma punktami)
3. Dodaj, odejmij wektory. Pomnóż je przez liczbę rzeczywistą
4. Znajdź środek odcinka linii
5. Oblicz iloczyn skalarny wektorów
6. Znajdź kąt między wektorami

Oczywiście cała metoda współrzędnych nie mieści się w tych 6 punktach. Leży u podstaw takiej nauki, jak geometria analityczna, z którą trzeba zapoznać się na uniwersytecie. Chcę tylko zbudować fundament, który pozwoli rozwiązywać problemy w jednym stanie. egzamin. Ustaliliśmy zadania części B w Teraz czas przejść na jakościowo nowy poziom! Ten artykuł będzie poświęcony metodzie rozwiązywania tych problemów C2, w których zasadne byłoby przejście na metodę współrzędnych. Ta racjonalność jest zdeterminowana tym, co jest wymagane do znalezienia w problemie i jaka jest podana liczba. Więc użyłbym metody współrzędnych, jeśli pytania brzmią:

1. Znajdź kąt między dwiema płaszczyznami
2. Znajdź kąt między linią a płaszczyzną
3. Znajdź kąt między dwiema prostymi liniami
4. Znajdź odległość od punktu do samolotu
5. Znajdź odległość od punktu do linii prostej
6. Znajdź odległość od linii prostej do płaszczyzny
7. Znajdź odległość między dwiema prostymi liniami

Jeśli liczba podana w opisie problemu jest ciałem obrotowym (kula, walec, stożek ...)

Odpowiednie kształty dla metody współrzędnych to:

1. Prostokątny równoległościan
2. Piramida (trójkątna, czworokątna, sześciokątna)

Również z mojego doświadczenia niewłaściwe jest stosowanie metody współrzędnych dla:

1. Znalezienie obszarów przekrojowych
2. Obliczanie objętości ciał

Należy jednak od razu zauważyć, że trzy sytuacje „niekorzystne” dla metody współrzędnych są w praktyce dość rzadkie. W większości zadań może stać się twoim wybawcą, zwłaszcza jeśli nie jesteś zbyt silny w konstrukcjach trójwymiarowych (które czasami są dość skomplikowane).

Jakie są wszystkie liczby, które wymieniłem powyżej? Nie są już płaskie, jak np. kwadrat, trójkąt, koło, ale trójwymiarowe! W związku z tym musimy wziąć pod uwagę nie dwuwymiarowy, ale trójwymiarowy układ współrzędnych. Jest zbudowany dość łatwo: oprócz osi odciętych i rzędnych wprowadzimy jeszcze jedną oś, oś aplikacji. Rysunek schematycznie pokazuje ich względne położenie:

Wszystkie są wzajemnie prostopadłe, przecinają się w jednym punkcie, który nazwiemy początkiem. Oś odciętych, jak poprzednio, będzie oznaczona, oś rzędnych -, a wprowadzoną oś aplikacji -.

Jeśli wcześniej każdy punkt na płaszczyźnie charakteryzowały się dwiema liczbami - odciętą i rzędną, to każdy punkt w przestrzeni jest już opisany trzema liczbami - odcięta, rzędna, aplikacja. Na przykład:

W związku z tym odcięta punktu jest równa, rzędna jest, a aplikacja jest.

Czasami odcięta punktu nazywana jest również rzutem punktu na oś odciętych, rzędna to rzut punktu na oś rzędnych, a aplikacja to rzut punktu na oś aplikacji. W związku z tym, jeśli określono punkt, to punkt o współrzędnych:

nazywa się rzutem punktu na płaszczyznę

nazywa się rzutem punktu na płaszczyznę

Powstaje naturalne pytanie: czy wszystkie formuły wyprowadzone dla przypadku dwuwymiarowego są ważne w przestrzeni? Odpowiedź brzmi tak, są uczciwe i wyglądają tak samo. Dla małego szczegółu. Myślę, że już zgadłeś, dla którego. Będziemy musieli dodać do wszystkich formuł jeszcze jeden termin, który odpowiada za oś aplikacji. Mianowicie.

1. Jeżeli podano dwa punkty:, to:

• Współrzędne wektora:
• Odległość między dwoma punktami (lub długość wektora)
• Środek segmentu ma współrzędne

2. Jeśli dane są dwa wektory: a, to:

• Ich iloczyn skalarny to:
• Cosinus kąta między wektorami to:

Jednak przestrzeń nie jest taka prosta. Jak można sobie wyobrazić, dodanie jeszcze jednej współrzędnej wprowadza znaczne urozmaicenie spektrum postaci „żyjących” w tej przestrzeni. A dla dalszej narracji muszę wprowadzić pewne, z grubsza mówiąc, „uogólnienie” linii prostej. Ta „uogólnienie” jest płaszczyzną. Co wiesz o samolocie? Spróbuj odpowiedzieć na pytanie, czym jest samolot? Bardzo trudno powiedzieć. Jednak wszyscy mamy intuicyjne wyobrażenie o tym, jak to wygląda:

Z grubsza mówiąc, jest to rodzaj niekończącego się „listka” schowanego w przestrzeni. Przez „nieskończoność” należy rozumieć, że płaszczyzna rozciąga się we wszystkich kierunkach, czyli jej powierzchnia jest równa nieskończoności. Jednak to wyjaśnienie „na palcach” nie daje najmniejszego pojęcia o budowie samolotu. I będziemy tym zainteresowani.

Zapamiętajmy jeden z podstawowych aksjomatów geometrii:

• linia prosta przechodzi przez dwa różne punkty na płaszczyźnie, ponadto tylko jeden:

Lub jego odpowiednik w kosmosie:

Oczywiście pamiętasz, jak wyprowadzić równanie prostej z dwóch podanych punktów, to wcale nie jest trudne: jeśli pierwszy punkt ma współrzędne: a drugi, to równanie prostej będzie wyglądało następująco:

Przeszedłeś przez to w 7 klasie. W przestrzeni równanie prostej wygląda tak: załóżmy, że mamy dwa punkty o współrzędnych:, wtedy równanie przechodzącej przez nie prostej ma postać:

Na przykład linia prosta przechodzi przez punkty:

Jak należy to rozumieć? Należy przez to rozumieć: punkt leży na linii prostej, jeśli jego współrzędne spełniają układ:

Nie będziemy zbytnio zainteresowani równaniem prostej, ale musimy zwrócić uwagę na bardzo ważna koncepcja wektor kierunkowy linii prostej. - dowolny niezerowy wektor leżący na danej linii lub równolegle do niej.

Na przykład oba wektory są wektorami kierunku linii prostej. Niech będzie punktem leżącym na linii prostej i będzie jego wektorem kierunku. Wtedy równanie prostej można zapisać w postaci:

Po raz kolejny nie będę się zbytnio interesował równaniem linii prostej, ale naprawdę muszę pamiętać, czym jest wektor kierunku! Jeszcze raz: jest to DOWOLNY niezerowy wektor leżący na linii prostej lub równolegle do niej.

Wycofać równanie płaszczyzny w trzech podanych punktach nie jest już tak błaha i zazwyczaj nie jest to temat poruszany w kursie Liceum... Ale na próżno! Ta technika jest niezbędna, gdy używamy metody współrzędnych do rozwiązywania złożonych problemów. Zakładam jednak, że chcesz się czegoś nowego nauczyć? Co więcej, będziesz mógł zaimponować swojemu nauczycielowi na uczelni, gdy okaże się, że wiesz już, jak z metodologią, którą zwykle poznaje się w toku geometrii analitycznej. Więc zacznijmy.

Równanie płaszczyzny nie różni się zbytnio od równania prostej na płaszczyźnie, a mianowicie ma postać:

niektóre liczby (nie wszystkie równe zeru), ale zmienne, na przykład: itp. Jak widać, równanie płaszczyzny nie różni się zbytnio od równania prostej (funkcja liniowa). Jednak pamiętasz, co ty i ja powiedzieliśmy? Powiedzieliśmy, że jeśli mamy trzy punkty, które nie leżą na jednej prostej, to równanie płaszczyzny można z nich jednoznacznie zrekonstruować. Ale jak? Spróbuję ci to wyjaśnić.

Ponieważ równanie płaszczyzny ma postać:

A punkty należą do tej płaszczyzny, to podstawiając współrzędne każdego punktu do równania płaszczyzny, powinniśmy uzyskać poprawną tożsamość:

W ten sposób konieczne staje się rozwiązanie trzech równań nawet z niewiadomymi! Dylemat! Jednak zawsze możesz tak założyć (w tym celu musisz podzielić przez). W ten sposób otrzymujemy trzy równania z trzema niewiadomymi:

Nie rozwiążemy jednak takiego systemu, tylko wypiszemy tajemnicze wyrażenie, które z niego wynika:

Równanie płaszczyzny przechodzącej przez trzy podane punkty

\ [\ lewo | (\ begin (tablica) (* (20) (c)) (x - (x_0)) & ((x_1) - (x_0)) & ((x_2) - (x_0)) \\ (y - (y_0) ) & ((y_1) - (y_0)) & ((y_2) - (y_0)) \\ (z - (z_0)) & ((z_1) - (z_0)) & ((z_2) - (z_0)) \ koniec (tablica)) \ prawo | = 0 \]

Zatrzymać! Co to jest? Jakiś bardzo nietypowy moduł! Jednak obiekt, który widzisz przed sobą, nie ma nic wspólnego z modułem. Obiekt ten nazywany jest wyznacznikiem trzeciego rzędu. Odtąd, kiedy będziesz miał do czynienia z metodą współrzędnych na samolocie, bardzo często natkniesz się na te same wyznaczniki. Co to jest wyznacznik trzeciego rzędu? Co dziwne, to tylko liczba. Pozostaje zrozumieć, jaką konkretną liczbę porównamy z wyznacznikiem.

Napiszmy najpierw wyznacznik trzeciego rzędu w bardziej ogólnej formie:

Gdzie są jakieś liczby. Ponadto przez pierwszy indeks rozumiemy numer wiersza, a przez indeks numer kolumny. Na przykład oznacza, że podany numer stoi na przecięciu drugiego rzędu i trzeciej kolumny. Zadajmy kolejne pytanie: jak dokładnie obliczymy taki wyznacznik? To znaczy, jaki konkretnie numer do niego dopasujemy? Dla wyznacznika trzeciego rzędu istnieje heurystyczna (wizualna) reguła trójkąta, wygląda ona tak:

1. Iloczyn elementów głównej przekątnej (od lewego górnego rogu do prawego dolnego rogu) iloczyn elementów tworzących pierwszy trójkąt „prostopadle” do głównej przekątnej iloczyn elementów tworzących drugi trójkąt „prostopadle” do głównej przekątna
2. Iloczyn elementów przekątnej drugorzędnej (od prawego górnego rogu do lewego dolnego rogu) iloczyn elementów tworzących pierwszy trójkąt „prostopadły” do drugorzędnego iloczynu elementów tworzących drugi trójkąt „prostopadle” do drugorzędnego przekątna
3. Wtedy wyznacznik jest równy różnicy między wartościami uzyskanymi w kroku i

Jeśli zapiszemy to wszystko liczbami, otrzymamy następujące wyrażenie:

Niemniej jednak nie trzeba zapamiętywać metody obliczania w tej formie, wystarczy po prostu zachować trójkąty i samą ideę tego, co się do czego dodaje, a co następnie od czego odejmuje).

Zilustrujmy metodę trójkątów na przykładzie:

1. Oblicz wyznacznik:

Zastanówmy się, co dodajemy, a co odejmujemy:

Warunki, które są oznaczone „plusem”:

To jest główna przekątna: iloczyn elementów wynosi

Pierwszy trójkąt „prostopadle do głównej przekątnej: iloczyn elementów wynosi

Drugi trójkąt „prostopadle do głównej przekątnej: iloczyn elementów wynosi

Dodaj trzy liczby:

Terminy z „minusem”

To jest przekątna boczna: iloczyn elementów wynosi

Pierwszy trójkąt „prostopadle do przekątnej boku: iloczyn elementów wynosi

Drugi trójkąt „prostopadle do przekątnej boku: iloczyn elementów wynosi

Dodaj trzy liczby:

Pozostaje tylko odjąć od sumy składników plus sumę składników minus:

W ten sposób,

Jak widać, w obliczaniu wyznaczników trzeciego rzędu nie ma nic skomplikowanego i nadprzyrodzonego. Ważne jest tylko, aby pamiętać o trójkątach i nie popełniać błędów arytmetycznych. Teraz spróbuj sam to policzyć:

Sprawdzamy:

1. Pierwszy trójkąt prostopadły do ​​głównej przekątnej:
2. Drugi trójkąt prostopadły do ​​głównej przekątnej:
3. Suma terminów z plusem:
4. Pierwszy trójkąt prostopadły do ​​bocznej przekątnej:
5. Drugi trójkąt prostopadły do ​​drugiej przekątnej:
6. Suma terminów z minusem:
7. Suma wyrazów z plusem minus suma wyrazów z minusem:

Oto jeszcze kilka wyznaczników dla Ciebie, sam oblicz ich wartości i porównaj je z odpowiedziami:

Odpowiedzi:

Cóż, czy to wszystko się zbiegło? Świetnie, możesz iść dalej! Jeśli są trudności, to moja rada jest taka: w Internecie jest kilka programów do obliczania wyznacznika on-line. Wystarczy wymyślić własny wyznacznik, samemu go obliczyć, a następnie porównać z tym, co wylicza program. I tak dalej, aż wyniki zaczną się pokrywać. Jestem pewien, że ta chwila nie potrwa długo!

Wróćmy teraz do wyznacznika, który napisałem, gdy mówiłem o równaniu płaszczyzny przechodzącej przez trzy dane punkty:

Wystarczy bezpośrednio obliczyć jego wartość (metodą trójkątów) i ustawić wynik na zero. Oczywiście, ponieważ są to zmienne, otrzymasz wyrażenie zależne od nich. To właśnie to wyrażenie będzie równaniem płaszczyzny przechodzącej przez trzy dane punkty, które nie leżą na jednej linii prostej!

Zilustrujmy to prostym przykładem:

1. Skonstruuj równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty

Skomponujmy wyznacznik dla tych trzech punktów:

Uprośćmy:

Teraz obliczamy to bezpośrednio według zasady trójkątów:

\ [(\ lewo | (\ początek (tablica) (* (20) (c)) (x + 3) & 2 & 6 \\ (y - 2) & 0 & 1 \\ (z + 1) & 5 & 0 \ end (array)) \ right | = \ left ((x + 3) \ right) \ cdot 0 \ cdot 0 + 2 \ cdot 1 \ cdot \ left ((z + 1) \ right) + \ left ((y - 2) \ prawy) \ cdot 5 \ cdot 6 -) \]

Zatem równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty ma postać:

Teraz spróbuj samodzielnie rozwiązać jeden problem, a następnie omówimy go:

2. Znajdź równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty

Omówmy teraz rozwiązanie:

Komponujemy wyznacznik:

I obliczamy jego wartość:

Wtedy równanie płaszczyzny ma postać:

Lub po zmniejszeniu o otrzymujemy:

Teraz dwa zadania do samokontroli:

1. Skonstruuj równanie płaszczyzny przechodzącej przez trzy punkty:

Odpowiedzi:

Czy to wszystko się zbiegło? Ponownie, jeśli są pewne trudności, moja rada jest taka: bierzesz z głowy trzy punkty (z dużym prawdopodobieństwem nie będą leżeć na tej samej prostej), budujesz wzdłuż nich samolot. A potem sprawdzasz się online. Na przykład na stronie:

Jednak za pomocą wyznaczników zbudujemy nie tylko równanie płaszczyzny. Pamiętaj, powiedziałem ci, że nie tylko iloczyn skalarny jest definiowany dla wektorów. Istnieje również produkt wektorowy, a także produkt mieszany. A jeśli iloczyn skalarny dwóch wektorów jest liczbą, to iloczyn wektorowy dwóch wektorów będzie wektorem, a ten wektor będzie prostopadły do ​​podanych:

Ponadto jego moduł będzie równa powierzchni równoległobok zbudowany na wektorach i. Będziemy potrzebować tego wektora do obliczenia odległości od punktu do linii prostej. Jak obliczyć iloczyn poprzeczny wektorów i jeśli podano ich współrzędne? Znowu z pomocą przychodzi nam wyznacznik trzeciego porządku. Zanim jednak przejdę do algorytmu obliczania iloczynu wektorowego, muszę zrobić małą dygresję liryczną.

Ta dygresja dotyczy wektorów bazowych.

Pokazano je schematycznie na rysunku:

Jak myślisz, dlaczego nazywa się je podstawowymi? Fakt jest taki :

Lub na zdjęciu:

Trafność tej formuły jest oczywista, ponieważ:

Produkt wektorowy

Teraz mogę zacząć wprowadzać produkt krzyżowy:

Iloczyn wektorowy dwóch wektorów to wektor obliczany zgodnie z następującą zasadą:

Podajmy teraz kilka przykładów obliczania iloczynu krzyżowego:

Przykład 1: Znajdź iloczyn krzyżowy wektorów:

Rozwiązanie: komponuję wyznacznik:

I obliczam to:

Teraz, od notacji w kategoriach wektorów bazowych, powrócę do zwykłej notacji wektora:

W ten sposób:

Teraz spróbuj.

Gotowe? Sprawdzamy:

I tradycyjnie dwa zadania do kontroli:

1. Znajdź iloczyn krzyżowy następujących wektorów:
2. Znajdź iloczyn krzyżowy następujących wektorów:

Odpowiedzi:

Produkt mieszany trzech wektorów

Ostatnia konstrukcja, której potrzebuję, to mieszany iloczyn trzech wektorów. To, podobnie jak skalar, jest liczbą. Można to obliczyć na dwa sposoby. - przez wyznacznik, - przez produkt mieszany.

Mianowicie miejmy trzy wektory:

Następnie mieszany iloczyn trzech wektorów, oznaczonych, można obliczyć jako:

1. - czyli iloczyn mieszany jest iloczynem skalarnym wektora przez iloczyn krzyżowy dwóch innych wektorów

Na przykład mieszany produkt trzech wektorów to:

Spróbuj sam to obliczyć za pomocą produktu krzyżowego i upewnij się, że wyniki się zgadzają!

I znowu - dwa przykłady samodzielnego rozwiązania:

Odpowiedzi:

Wybór układu współrzędnych

Cóż, teraz mamy wszystkie niezbędne podstawy wiedzy do rozwiązywania złożonych problemów stereometrycznych w geometrii. Zanim jednak przejdę bezpośrednio do przykładów i algorytmów ich rozwiązania, uważam, że warto zastanowić się nad innym pytaniem: jak dokładnie wybierz układ współrzędnych dla konkretnej figury. W końcu to wybór względnego położenia układu współrzędnych i figury w przestrzeni ostatecznie określi, jak uciążliwe będą obliczenia.

Przypomnę, że w tym dziale przyglądamy się następującym kształtom:

1. Prostokątny równoległościan
2. Pryzmat prosty (trójkątny, sześciokątny...)
3. Piramida (trójkątna, czworokątna)
4. Czworościan (taki sam jak trójkątna piramida)

Do prostokątnego pudełka lub kostki polecam następującą konstrukcję:

Oznacza to, że umieszczę figurę „w rogu”. Sześcian i równoległościan mają bardzo ładne kształty. Dla nich zawsze możesz łatwo znaleźć współrzędne jego wierzchołków. Na przykład, jeśli (jak pokazano na rysunku)

wtedy współrzędne wierzchołków są następujące:

Oczywiście nie musisz o tym pamiętać, ale pamiętaj, jak najlepiej umieścić kostkę lub prostokątny równoległościan- pożądane.

Pryzmat prosty

Pryzmat jest postacią bardziej szkodliwą. Można go umieścić w przestrzeni na różne sposoby. Jednak najbardziej akceptowalna wydaje mi się następująca opcja:

Trójkątny pryzmat:

Oznacza to, że umieszczamy jeden z boków trójkąta całkowicie na osi, a jeden z wierzchołków pokrywa się z początkiem.

Pryzmat sześciokątny:

Oznacza to, że jeden z wierzchołków pokrywa się z początkiem, a jeden z boków leży na osi.

Piramida czworokątna i sześciokątna:

Sytuacja podobna do sześcianu: wyrównaj dwa boki podstawy z osiami współrzędnych, wyrównaj jeden z wierzchołków do początku. Jedyną małą trudnością będzie obliczenie współrzędnych punktu.

Dla heksagonalnej piramidy - tak samo jak dla heksagonalnego graniastosłupa. Ponownie głównym zadaniem będzie znalezienie współrzędnych wierzchołka.

Czworościan (trójkątna piramida)

Sytuacja jest bardzo podobna do tej, którą podałem dla trójkątnego graniastosłupa: jeden wierzchołek pokrywa się z początkiem, jeden bok leży na osi współrzędnych.

Cóż, teraz ty i ja jesteśmy wreszcie blisko rozwiązania problemów. Z tego, co powiedziałem na samym początku artykułu, można wyciągnąć następujący wniosek: większość zadań C2 dzieli się na 2 kategorie: problemy na zakrętach i problemy z odległością. Najpierw rozważymy problem znalezienia kąta. Te z kolei dzielą się na następujące kategorie (w miarę wzrostu trudności):

Znajdowanie zakrętów

1. Znajdowanie kąta między dwiema liniami prostymi
2. Znajdowanie kąta między dwiema płaszczyznami

Rozważmy te zadania po kolei: zacznij od znalezienia kąta między dwiema liniami prostymi. No cóż, pamiętaj, czy nie rozwiązywaliśmy już wcześniej podobnych przykładów? Pamiętajcie, mieliśmy już coś podobnego... Szukaliśmy kąta między dwoma wektorami. Przypomnę, jeśli podane są dwa wektory: a następnie kąt między nimi znajduje się ze stosunku:

Teraz mamy cel - znaleźć kąt między dwiema liniami prostymi. Przejdźmy do „płaskiego obrazu”:

Ile kątów otrzymaliśmy, gdy przecinają się dwie proste linie? Tyle rzeczy. To prawda, że ​​tylko dwa z nich nie są równe, podczas gdy inne są względem nich pionowe (a zatem pokrywają się z nimi). Więc jaki kąt powinniśmy wziąć pod uwagę jako kąt między dwiema liniami prostymi: lub? Tutaj zasada brzmi: kąt między dwiema liniami prostymi zawsze nie przekracza stopni... Oznacza to, że z dwóch kątów zawsze wybierzemy kąt o najmniejszym stopniu. Oznacza to, że na tym zdjęciu kąt między dwiema liniami prostymi jest równy. Aby nie zawracać sobie głowy znajdowaniem za każdym razem najmniejszego z dwóch kątów, sprytni matematycy zaproponowali skorzystanie z modułu. Zatem kąt między dwiema liniami prostymi jest określony wzorem:

Jako uważny czytelnik powinieneś zadać sobie pytanie: skąd właściwie otrzymujemy te liczby, których potrzebujemy do obliczenia cosinusa kąta? Odpowiedź: weźmiemy je z wektorów kierunkowych linii prostych! Tak więc algorytm znajdowania kąta między dwiema liniami prostymi jest następujący:

1. Stosujemy formułę 1.

Lub bardziej szczegółowo:

1. Szukamy współrzędnych wektora kierunkowego pierwszej prostej
2. Szukamy współrzędnych wektora kierunkowego drugiej prostej
3. Oblicz moduł ich iloczynu skalarnego
4. Szukamy długości pierwszego wektora
5. Szukamy długości drugiego wektora
6. Mnożenie wyników z punktu 4 przez wyniki z punktu 5
7. Podziel wynik z punktu 3 przez wynik z punktu 6. Otrzymujemy cosinus kąta między prostymi
8. Jeśli ten wynik pozwala dokładnie obliczyć kąt, poszukaj go
9. W przeciwnym razie zapisujemy odwrotny cosinus

Cóż, teraz pora przejść do problemów: zademonstruję szczegółowo rozwiązanie dwóch pierwszych, zaprezentuję rozwiązanie kolejnego w skrócona forma, a na ostatnie dwa problemy podam tylko odpowiedzi, musisz sam wykonać dla nich wszystkie obliczenia.

Zadania:

1. We właściwym tet-ra-ed-re, nay-di-te kąty między tobą-tak-te-ra-ed-ra i med-di-a-noy bo-kovy.

2. W praworęcznym sześciowęglowym pi-ra-mi-de boki os-no-va-nia są równe, a żebra są równe, znajdź kąt między liniami prostymi i.

3. Długości wszystkich krawędzi prawidłowego czteroty-rech-węgla pi-ra-mi-dy są sobie równe. Nay-di-te kąty między liniami prostymi i jeśli z-cut to ty-co-ta podana pi-ra-mi-dy, punkt to se-re-di-na jej bo-ko- drugie żebro

4. Na krawędzi sześcianu punkt od-me-che-na tak, aby Nay-di-te był kątem między liniami prostymi i

5. Punkt - se-re-di-na krawędziach sześcianu Nay-di-te kąt między liniami prostymi i.

To nie przypadek, że ułożyłem zadania w tej kolejności. O ile nie miałeś jeszcze czasu na nawigację w metodzie współrzędnych, to ja sam przeanalizuję najbardziej „problematyczne” figury, a zajmę się najprostszą kostką! Stopniowo będziesz musiał nauczyć się pracować ze wszystkimi figurami, będę zwiększał złożoność zadań z tematu na temat.

Zacznijmy rozwiązywać problemy:

1. Narysuj czworościan, umieść go w układzie współrzędnych, jak sugerowałem wcześniej. Ponieważ czworościan jest regularny, wszystkie jego ściany (w tym podstawa) są regularnymi trójkątami. Ponieważ nie podano nam długości boku, mogę przyjąć ją równą. Myślę, że rozumiesz, że kąt tak naprawdę nie będzie zależał od tego, jak bardzo nasz czworościan jest „rozciągnięty”?. Narysuję również wysokość i medianę w czworościanie. Po drodze narysuję jego podstawę (nam też się przyda).

Muszę znaleźć kąt między a. Co wiemy? Znamy tylko współrzędne punktu. Oznacza to, że musimy również znaleźć współrzędne punktów. Teraz myślimy: punkt jest punktem przecięcia wysokości (lub dwusiecznych lub środkowych) trójkąta. Punkt jest punktem podniesionym. Punkt jest środkiem segmentu. Następnie w końcu musimy znaleźć: współrzędne punktów:.

Zacznijmy od najprostszego: współrzędnych punktu. Spójrz na obrazek: Widać, że przyłożenie punktu jest równe zeru (punkt leży na płaszczyźnie). Jego rzędną jest (od - mediana). Trudniej jest znaleźć jego odciętą. Można to jednak łatwo zrobić w oparciu o twierdzenie Pitagorasa: Rozważ trójkąt. Jej przeciwprostokątna jest równa, a jedna z nóg jest równa Wtedy:

Wreszcie mamy:.

Teraz znajdźmy współrzędne punktu. Jest jasne, że jego zastosowanie jest znowu równe zeru, a jego rzędna jest taka sama jak punktu. Znajdźmy jego odciętą. Robi się to dość trywialnie, jeśli o tym pamiętasz wysokości trójkąta równobocznego są dzielone proporcjonalnie przez punkt przecięcia licząc od góry. Ponieważ:, to wymagana odcięta punktu, równa długości odcinka, jest równa:. Zatem współrzędne punktu są równe:

Znajdźmy współrzędne punktu. Oczywiste jest, że jego odcięta i rzędna pokrywają się z odciętą i rzędną punktu. A aplikacja jest równa długości segmentu. - to jedna z nóg trójkąta. Przeciwprostokątna trójkąta to segment - noga. Wyszukuje się go z rozważań, które wyróżniłem pogrubioną czcionką:

Punkt jest środkiem odcinka linii. Następnie musimy zapamiętać wzór na współrzędne punktu środkowego odcinka:

To wszystko, teraz możemy wyszukać współrzędne wektorów kierunku:

Cóż, wszystko gotowe: podstawiamy wszystkie dane do formuły:

W ten sposób,

Odpowiedź:

Nie powinieneś być onieśmielony takimi „przerażającymi” odpowiedziami: w przypadku problemów C2 jest to powszechna praktyka. Byłbym raczej zaskoczony „ładną” odpowiedzią w tej części. Ponadto, jak zauważyłeś, praktycznie nie uciekałem się do niczego innego niż twierdzenie Pitagorasa i własność wysokości trójkąta równobocznego. To znaczy, aby rozwiązać problem stereometryczny, użyłem minimum stereometrii. Zysk w tym jest częściowo „wygaszony” przez dość kłopotliwe obliczenia. Ale są dość algorytmiczne!

2. Narysujmy ostrosłup sześciokątny foremny wraz z układem współrzędnych oraz jego podstawą:

Musimy znaleźć kąt między liniami i. W ten sposób nasze zadanie sprowadza się do znalezienia współrzędnych punktów:. Znajdziemy współrzędne ostatnich trzech z małego obrazka, a współrzędną wierzchołka znajdziemy poprzez współrzędną punktu. Pracuj luzem, ale musisz zacząć!

a) Współrzędna: jasne jest, że jej aplikacja i rzędna są równe zeru. Znajdźmy odciętą. Aby to zrobić, rozważ trójkąt prostokątny. Niestety, znamy w nim tylko przeciwprostokątną, która jest równa. Spróbujemy znaleźć nogę (jasne jest, że podwojona długość nogi da nam odciętą punktu). Jak możemy ją znaleźć? Pamiętajmy, jaką figurę mamy u podstawy piramidy? To jest foremny sześciokąt. Co to znaczy? Oznacza to, że wszystkie boki i wszystkie kąty są równe. Powinienem znaleźć jeden taki zakątek. Jakieś pomysły? Pomysłów jest dużo, ale jest formuła:

Suma kątów regularnego n-kąta wynosi .

Zatem suma kątów sześciokąta foremnego jest równa stopniom. Wtedy każdy z kątów jest równy:

Ponownie patrzymy na zdjęcie. Oczywiste jest, że segment jest dwusieczną kąta. Następnie kąt równy stopniom... Następnie:

Więc gdzie.

Ma więc współrzędne

b) Teraz możemy łatwo znaleźć współrzędne punktu :.

c) Znajdź współrzędne punktu. Ponieważ jego odcięta pokrywa się z długością segmentu, jest równa. Znalezienie rzędnej również nie jest bardzo trudne: jeśli połączymy punkty i oznaczymy punkt przecięcia prostej, powiedzmy, wg. (Łatwa konstrukcja dla majsterkowiczów). Zatem rzędna punktu B jest równa sumie długości odcinków. Spójrzmy ponownie na trójkąt. Następnie

Wtedy od Wtedy punkt ma współrzędne

d) Teraz znajdujemy współrzędne punktu. Rozważ prostokąt i udowodnij, że Tak więc współrzędne punktu to:

e) Pozostaje znaleźć współrzędne wierzchołka. Oczywiste jest, że jego odcięta i rzędna pokrywają się z odciętą i rzędną punktu. Znajdźmy aplikator. Od tego czasu. Rozważ trójkąt prostokątny. Przez stwierdzenie problemu, boczna krawędź. To jest przeciwprostokątna mojego trójkąta. Wtedy wysokość piramidy to noga.

Wtedy punkt ma współrzędne:

W porządku, mam współrzędne wszystkich interesujących mnie miejsc. Poszukiwanie współrzędnych wektorów kierunkowych linii prostych:

Szukamy kąta między tymi wektorami:

Odpowiedź:

Ponownie, w rozwiązaniu tego problemu nie zastosowałem żadnych wymyślnych sztuczek, poza formułą na sumę kątów n-kąta foremnego oraz wyznaczeniem cosinusa i sinusa trójkąta prostokątnego.

3. Ponieważ znowu nie podano nam długości żeber w piramidzie, uznam je za równe jeden. Tak więc, ponieważ WSZYSTKIE krawędzie, a nie tylko boczne, są sobie równe, to u podstawy piramidy i ja leży kwadrat, a krawędzie boczne są regularnymi trójkątami. Narysujmy taką piramidę, a także jej podstawę na płaszczyźnie, zaznaczając wszystkie dane podane w tekście zadania:

Szukamy kąta między a. Będę robił bardzo krótkie obliczenia, gdy będę szukał współrzędnych punktów. Będziesz musiał je „odszyfrować”:

b) - środek segmentu. Jego współrzędne:

c) Znajdę długość odcinka według twierdzenia Pitagorasa w trójkącie. Znajdę to w trójkącie według twierdzenia Pitagorasa.

Współrzędne:

d) jest środkiem odcinka. Jego współrzędne są równe

e) Współrzędne wektorowe

f) Współrzędne wektorowe

g) Szukam kąta:

Kostka to najprostsza figura. Jestem pewien, że sam sobie z tym poradzisz. Odpowiedzi na problemy 4 i 5 są następujące:

Znajdowanie kąta między linią prostą a płaszczyzną

Cóż, czas na proste zadania się skończył! Teraz przykłady będą jeszcze bardziej skomplikowane. Aby znaleźć kąt między linią prostą a płaszczyzną, postępujemy następująco:

1. Z trzech punktów konstruujemy równanie płaszczyzny
   ,
   przy użyciu wyznacznika trzeciego rzędu.
2. Szukamy współrzędnych wektora kierunkowego prostej przez dwa punkty:
3. Stosujemy wzór do obliczenia kąta między linią prostą a płaszczyzną:

Jak widać, ten wzór jest bardzo podobny do tego, którego użyliśmy do znalezienia kątów między dwiema liniami prostymi. Struktura prawej strony jest taka sama, a po lewej szukamy teraz sinusa, a nie cosinusa, jak poprzednio. Cóż, dodano jedną paskudną akcję - poszukiwanie równania samolotu.

Nie odkładajmy rozwiązanie przykładów:

1. Os-no-va-no-em bezpośrednia nagroda-jesteśmy-la-jest-równy-ale-biedny-ric-ny trójkątny-nick Ty-tak-ta nagroda-jesteśmy równi. Nai di te kąt między prostym a płaskim

2. W prostokątnym pa-ra-le-le-pi-pe-de z Zachodniego Nay-di-te kąt między linią prostą a płaszczyzną

3. We właściwym pryzmacie sześciowęglowym wszystkie krawędzie są równe. Nay-di-te kąty między linią prostą a płaszczyzną.

4. W prawostronnym trójkątnym pi-ra-mi-de z os-no-va-ni-znane są żebra kąt Nay-di-te, ob-ra-zo-van -płaskość gwintu os-no -va-nia i proste, pro-ho-dya-shi przez se-re-di-us żeber i

5. Długości wszystkich żeber prawidłowej czteronarożnej piramidy z wierzchołkiem są sobie równe. Nay-di-te to kąt między linią prostą a płaszczyzną, jeśli punktem jest se-re-di-na bo-ko-th żebra pi-ra-mi-dy.

Znowu rozwiążę szczegółowo dwa pierwsze problemy, trzeci krótko, a dwa ostatnie pozostawiam do samodzielnego rozwiązania. Poza tym miałeś już do czynienia z piramidami trójkątnymi i czworokątnymi, ale jeszcze nie z pryzmatami.

Rozwiązania:

1. Przedstawmy pryzmat, a także jego podstawę. Połączmy to z układem współrzędnych i zaznaczmy wszystkie dane podane w opisie problemu:

Przepraszam za pewne nieprzestrzeganie proporcji, ale dla rozwiązania problemu to w rzeczywistości nie jest tak ważne. Samolot to tylko „tylna ściana” mojego pryzmatu. Łatwo się domyślić, że równanie takiej płaszczyzny ma postać:

Można to jednak pokazać bezpośrednio:

Wybierzmy dowolne trzy punkty na tej płaszczyźnie: na przykład.

Skomponujmy równanie samolotu:

Ćwiczenie dla Ciebie: sam oblicz ten wyznacznik. Czy ty to zrobiłeś? Wtedy równanie płaszczyzny ma postać:

Lub po prostu

W ten sposób,

Aby rozwiązać ten przykład, muszę znaleźć współrzędne wektora kierunkowego linii prostej. Ponieważ punkt pokrywa się z początkiem, współrzędne wektora po prostu pokrywają się ze współrzędnymi punktu.Aby to zrobić, najpierw znajdujemy współrzędne punktu.

Aby to zrobić, rozważ trójkąt. Narysujmy wysokość (jest to mediana i dwusieczna) z wierzchołka. Ponieważ wtedy rzędna punktu jest równa. Aby znaleźć odciętą tego punktu, musimy obliczyć długość odcinka. Z twierdzenia Pitagorasa mamy:

Wtedy punkt ma współrzędne:

Punkt jest „podnoszony” przez punkt:

Następnie współrzędne wektora:

Odpowiedź:

Jak widać, w rozwiązaniu takich problemów nie ma nic fundamentalnie trudnego. W rzeczywistości proces ten dodatkowo upraszcza „prostość” kształtu, takiego jak pryzmat. Przejdźmy teraz do następnego przykładu:

2. Narysuj równoległościan, narysuj w nim płaszczyznę i linię prostą, a także osobno narysuj jego dolną podstawę:

Najpierw znajdujemy równanie płaszczyzny: Współrzędne trzech leżących w niej punktów:

(pierwsze dwie współrzędne zostały uzyskane w sposób oczywisty, a ostatnią współrzędną z obrazka można łatwo znaleźć z punktu). Następnie układamy równanie płaszczyzny:

Obliczamy:

Szukamy współrzędnych wektora kierunku: jasne jest, że jego współrzędne pokrywają się ze współrzędnymi punktu, prawda? Jak znaleźć współrzędne? Są to współrzędne punktu podniesione w osi aplikacji o jeden! ... Następnie szukamy wymaganego kąta:

Odpowiedź:

3. Narysuj regularną sześciokątną piramidę, a następnie narysuj w niej płaszczyznę i linię prostą.

Tutaj nawet rysowanie samolotu jest problematyczne, nie wspominając o rozwiązaniu tego problemu, ale metoda współrzędnych nie obchodzi! To w jego wszechstronności leży jego główna zaleta!

Samolot przechodzi przez trzy punkty :. Szukamy ich współrzędnych:

jeden) . Sam narysuj współrzędne dwóch ostatnich punktów. Przyda się do tego rozwiązanie problemu z sześciokątną piramidą!

2) Budujemy równanie samolotu:

Szukamy współrzędnych wektora:. (zobacz ponownie problem trójkątnej piramidy!)

3) Szukam kąta:

Odpowiedź:

Jak widać, w tych zadaniach nie ma nic nadnaturalnie trudnego. Musisz tylko bardzo uważać na korzenie. Na dwa ostatnie problemy podam tylko odpowiedzi:

Jak widać, technika rozwiązywania problemów jest wszędzie taka sama: głównym zadaniem jest znalezienie współrzędnych wierzchołków i zastąpienie ich w niektórych formułach. Pozostaje nam rozważyć jeszcze jedną klasę problemów do obliczania kątów, a mianowicie:

Obliczanie kątów między dwiema płaszczyznami

Algorytm rozwiązania będzie następujący:

1. Przez trzy punkty szukamy równania pierwszej płaszczyzny:
2. Dla pozostałych trzech punktów szukamy równania drugiej płaszczyzny:
3. Stosujemy formułę:

Jak widać, wzór jest bardzo podobny do dwóch poprzednich, za pomocą których szukaliśmy kątów między liniami prostymi oraz między linią prostą a płaszczyzną. Więc zapamiętanie tego nie będzie dla ciebie trudne. Przejdźmy od razu do analizy zadań:

1. Sto ron os-no-va-nia prawoskrętnego trójkątnego pryzmatu jest równe, a przekątna dużej twarzy jest równa. Nay-di-te kąty między płaszczyzną a płaszczyzną pryzmatu.

2. W poprawnym four-you-rekh-coal-noy pi-ra-mi-de, którego wszystkie krawędzie są równe, znajdź sinus kąta między płaszczyzną a płaszczyzną do-stu, pro-ho- dya-shchey przez punkt per-pen-di-ku-lar-ale prosto.

3. W prawidłowym pryzmacie węgla cztery-rech, boki os-no-va-nia są równe, a boki są równe. Na krawędzi jest taki punkt. Znajdź kąt między samolotem a stimi i

4. W prawym czteronarożnym pryzmacie boki os-no-va-nia są równe, a krawędzie boczne są równe. Na krawędzi od-me-che-do punktu, tak że Nay-di-te jest kątem między płaszczyzną-st-mi i.

5. W kostce nay-di-te ko-si-nus kąta między płaszczyzną-ko-sti-mi a

Rozwiązania problemów:

1. Rysuję regularny (u podstawy - trójkąt równoboczny) trójkątny graniastosłup i zaznaczam na nim płaszczyzny, które pojawiają się w opisie problemu:

Musimy znaleźć równania dwóch płaszczyzn: Równanie podstawy jest trywialne: możesz skomponować odpowiedni wyznacznik przez trzy punkty, ale skomponuję równanie od razu:

Teraz znajdziemy równanie Punkt ma współrzędne Punkt - Ponieważ jest to mediana i wysokość trójkąta, łatwo jest znaleźć w trójkącie za pomocą twierdzenia Pitagorasa. Wtedy punkt ma współrzędne: Znajdź aplikację punktu Aby to zrobić, rozważ trójkąt prostokątny

Następnie otrzymujemy następujące współrzędne: Sporządź równanie płaszczyzny.

Obliczamy kąt między płaszczyznami:

Odpowiedź:

2. Wykonanie rysunku:

Najtrudniej jest zrozumieć, czym jest ta tajemnicza płaszczyzna, przechodząca przez punkt prostopadle. Cóż, najważniejsze jest to, co to jest? Najważniejsze jest uważność! Rzeczywiście, linia jest prostopadła. Linia prosta jest również prostopadła. Wtedy płaszczyzna przechodząca przez te dwie proste będzie prostopadła do prostej, a przy okazji będzie przechodzić przez punkt. Ta płaszczyzna przechodzi również przez szczyt piramidy. Potem upragniony samolot - A samolot już nam podarowano. Szukamy współrzędnych punktów.

Znajdź współrzędne punktu przechodzącego przez punkt. Z małej liczby łatwo wywnioskować, że współrzędne punktu będą wyglądały następująco: Co pozostało do znalezienia, aby znaleźć współrzędne wierzchołka piramidy? Musisz także obliczyć jego wysokość. Odbywa się to za pomocą tego samego twierdzenia Pitagorasa: najpierw udowodnij to (trywialnie z małych trójkątów tworzących kwadrat u podstawy). Ponieważ pod warunkiem mamy:

Teraz wszystko jest gotowe: współrzędne wierzchołka:

Układamy równanie samolotu:

Jesteś już wyjątkowy w obliczaniu wyznaczników. Możesz łatwo uzyskać:

Albo inaczej (jeśli pomnożymy obie części przez pierwiastek z dwójki)

Teraz znajdujemy równanie samolotu:

(Nie zapomniałeś, jak otrzymujemy równanie samolotu, prawda? Jeśli nie rozumiesz, skąd się wzięło to minus jeden, wróć do definicji równania samolotu! się, że początek współrzędnych należał do mojego samolotu!)

Obliczamy wyznacznik:

(Widać, że równanie płaszczyzny pokrywa się z równaniem prostej przechodzącej przez punkty i! Pomyśl dlaczego!)

Teraz obliczamy kąt:

Musimy znaleźć sinus:

Odpowiedź:

3. Podchwytliwe pytanie: jak myślisz, czym jest prostokątny pryzmat? To tylko równoległościan, który dobrze znasz! Zrób rysunek od razu! Można nawet nie przedstawiać podstawy osobno, tutaj niewiele z tego korzyści:

Płaszczyzna, jak zauważyliśmy wcześniej, jest zapisana w postaci równania:

Teraz tworzymy samolot

Natychmiast układamy równanie samolotu:

Szukam kąta:

Teraz odpowiedzi na dwa ostatnie problemy:

Cóż, teraz jest czas na przerwę, ponieważ ty i ja jesteśmy wspaniali i wykonaliśmy świetną robotę!

Współrzędne i wektory. Poziom zaawansowany

W tym artykule omówimy z Tobą inną klasę problemów, które można rozwiązać za pomocą metody współrzędnych: problemy odległościowe. Mianowicie, ty i ja rozważymy następujące przypadki:

1. Obliczanie odległości między skrzyżowanymi liniami.

Zamówiłem te zadania w miarę wzrostu ich złożoności. Okazuje się, że jest najłatwiejszy do znalezienia odległość od punktu do płaszczyzny, a najtrudniej jest znaleźć odległość między krzyżującymi się liniami... Chociaż oczywiście nie ma rzeczy niemożliwych! Nie zwlekajmy i od razu przystąpmy do rozważenia pierwszej klasy problemów:

Obliczanie odległości od punktu do płaszczyzny

Czego potrzebujemy, aby rozwiązać ten problem?

1. Współrzędne punktu

Tak więc, gdy tylko zdobędziemy wszystkie niezbędne dane, stosujemy wzór:

Powinieneś już wiedzieć, jak konstruujemy równanie płaszczyzny z poprzednich problemów, które omówiłem w ostatniej części. Przejdźmy od razu do zadań. Schemat jest następujący: 1, 2, pomagam ci rozwiązać, a w pewnym stopniu 3, 4 - tylko odpowiedź, sam podejmujesz decyzję i porównujesz. Zaczynajmy!

Zadania:

1. Dana kostka. Długość krawędzi sześcianu wynosi. Nay-di-te odległość-i-ni od se-re-di-us od cięcia do płaskiego do sti

2. Biorąc pod uwagę, że prawa-vil-naya four-you-rekh-coal-naya pi-ra-mi-da Bo-kovoe side-ro-na os-no-va-nia jest równa. Nay-di-te odległość-i-nie od punktu do płaszczyzny-do-sti, gdzie - żebra se-re-di-na.

3. W praworęcznym trójkątnym pi-ra-mi-de z os-but-va-ni, krawędź bo-kov jest równa, a bok-ro-na is-no-va- jest równy. Nay-di-te odległość-i-nye od góry do samolotu.

4. W zwykłym pryzmacie sześciowęglowym wszystkie krawędzie są równe. Nay-di-te odległość-i-nye od punktu do płaszczyzny.

Rozwiązania:

1. Narysuj sześcian z krawędziami jednostek, zbuduj odcinek i płaszczyznę, oznacz literą środek odcinka

.

Najpierw zacznijmy od prostego: znajdź współrzędne punktu. Od tego czasu (pamiętaj o współrzędnych środka odcinka!)

Teraz składamy równanie płaszczyzny przez trzy punkty

\ [\ lewo | (\ begin (tablica) (* (20) (c)) x & 0 & 1 \\ y & 1 & 0 \\ z & 1 & 1 \ end (array)) \ right | = 0 \]

Teraz mogę zacząć szukać dystansu:

2. Zacznij ponownie od rysunku, na którym zaznaczamy wszystkie dane!

W przypadku piramidy pomocne byłoby narysowanie jej podstawy osobno.

Nawet fakt, że rysuję jak kurczak łapą nie przeszkadza nam w łatwym rozwiązaniu tego problemu!

Teraz łatwo jest znaleźć współrzędne punktu

Skoro współrzędne punktu, to

2. Skoro współrzędne punktu a są środkiem odcinka, to

Bez problemu możemy też znaleźć współrzędne dwóch kolejnych punktów na płaszczyźnie. Układamy równanie płaszczyzny i upraszczamy je:

\ [\ lewo | (\ left | (\ begin (tablica) (* (20) (c)) x & 1 & (\ frac (3) (2)) \\ y & 0 & (\ frac (3) (2)) \ \ z & 0 & (\ frac ( (\ sqrt 3)) (2)) \ end (tablica)) \ right |) \ right | = 0 \]

Ponieważ punkt ma współrzędne:, to obliczamy odległość:

Odpowiedź (bardzo rzadko!):

Cóż, zorientowałeś się? Wydaje mi się, że wszystko tutaj jest tak techniczne, jak w przykładach, które rozważaliśmy z Państwem w poprzedniej części. Jestem więc pewien, że jeśli opanowałeś ten materiał, to nie będzie Ci trudno rozwiązać pozostałe dwa problemy. Po prostu udzielę odpowiedzi:

Obliczanie odległości od linii prostej do płaszczyzny

W rzeczywistości nie ma tu nic nowego. Jak można ustawić linię i płaszczyznę względem siebie? Mają wszystkie możliwości: przecinają się, czyli linia prosta jest równoległa do płaszczyzny. Jak myślisz, jaka jest odległość od linii prostej do płaszczyzny, z którą ta linia przecina się? Wydaje mi się, że tutaj jest jasne, że taka odległość jest równa zeru. Nieciekawy przypadek.

Drugi przypadek jest trudniejszy: tutaj odległość jest już niezerowa. Ponieważ jednak linia jest równoległa do płaszczyzny, każdy punkt linii znajduje się w równej odległości od tej płaszczyzny:

W ten sposób:

A to oznacza, że ​​moje zadanie zostało zredukowane do poprzedniego: szukamy współrzędnych dowolnego punktu na prostej, szukamy równania płaszczyzny, obliczamy odległość od punktu do płaszczyzny. W rzeczywistości takie zadania są na egzaminie niezwykle rzadkie. Udało mi się znaleźć tylko jeden problem, a dane w nim zawarte były takie, że metoda współrzędnych nie miała do niego zastosowania!

Przejdźmy teraz do innej, znacznie ważniejszej klasy problemów:

Obliczanie odległości punktu od linii prostej

Czego potrzebujemy?

1. Współrzędne punktu, z którego szukamy odległości:

2. Współrzędne dowolnego punktu leżącego na linii prostej

3. Współrzędne wektora kierunkowego prostej

Jakiej formuły używamy?

Co oznacza dla Ciebie mianownik danego ułamka i dlatego powinno być jasne: jest to długość wektora kierunkowego prostej. Jest tu bardzo skomplikowany licznik! Wyrażenie oznacza moduł (długość) iloczynu wektorowego wektorów i Jak obliczyć iloczyn krzyżowy, omówiliśmy w poprzedniej części pracy. Odśwież swoją wiedzę, teraz będą nam bardzo przydatne!

Zatem algorytm rozwiązywania problemów będzie następujący:

1. Szukamy współrzędnych punktu, z którego szukamy odległości:

2. Szukamy współrzędnych dowolnego punktu na linii prostej, do którego szukamy odległości:

3. Zbuduj wektor

4. Zbuduj wektor kierunkowy linii prostej

5. Oblicz iloczyn krzyżowy

6. Szukamy długości otrzymanego wektora:

7. Oblicz odległość:

Mamy dużo pracy, a przykłady będą dość złożone! Więc teraz skup całą swoją uwagę!

1. Dana to trójkątna pi-ra-mi-da w prawo-vil-naya z topem. Sto-ro-na os-no-va-nia pi-ra-mi-dy jest równe, ty-tak-to jest równe. Nay-di-te odległość-i-nye od se-re-di-ny bo-ko-tego żebra do linii prostej, gdzie punkty i są se-re-di-ny żeber i tak -od- weterynarza-ale.

2. Długości żeber i prostokątnego pa-ral-le-le-pi-pe-da są odpowiednio równe i Nay-di-te odległości od góry do prostej

3. W prawoskrętnym sześciowęglowym pryzmacie wszystkie krawędzie roju są równe odległości znajdź-d-tych od punktu do linii prostej

Rozwiązania:

1. Wykonujemy zgrabny rysunek, na którym zaznaczamy wszystkie dane:

Mamy z Tobą dużo pracy! Najpierw chciałbym opisać słowami, czego będziemy szukać i w jakiej kolejności:

1. Współrzędne punktów i

2. Współrzędne punktu

3. Współrzędne punktów i

4. Współrzędne wektorów i

5. Ich produkt krzyżowy

6. Długość wektora

7. Długość produktu wektorowego

8. Odległość od do

Cóż, mamy dużo pracy! Zabieramy się do tego, podwijając rękawy!

1. Aby znaleźć współrzędne wysokości piramidy, musimy znać współrzędne punktu.Jego zastosowanie jest równe zero, a rzędna równa się odciętej, jest równa długości odcinka.Ponieważ jest wysokością trójkąta równobocznego, dzieli się w stosunku, licząc od góry, odtąd. Wreszcie otrzymaliśmy współrzędne:

Współrzędne punktu

2. - środek segmentu

3. - środek segmentu

Środek segmentu

4. Współrzędne

Współrzędne wektorowe

5. Obliczamy iloczyn krzyżowy:

6. Długość wektora: najprościej zamienić, że odcinek jest linią środkową trójkąta, co oznacza, że ​​jest równy połowie podstawy. Aby.

7. Rozważamy długość produktu wektorowego:

8. Na koniec znajdujemy odległość:

Uff, to wszystko! Szczerze mówiąc, rozwiązanie tego problemu metodami tradycyjnymi (poprzez konstrukcje) byłoby znacznie szybsze. Ale tutaj sprowadziłem wszystko do gotowego algorytmu! Myślę, że algorytm rozwiązania jest dla Ciebie jasny? Dlatego poproszę o samodzielne rozwiązanie pozostałych dwóch problemów. Porównajmy odpowiedzi?

Powtarzam: łatwiej (szybciej) rozwiązać te problemy za pomocą konstrukcji, a nie odwoływania się do metody współrzędnych. Zademonstrowałem to rozwiązanie tylko po to, aby pokazać uniwersalną metodę, która pozwala „nic nie dopełnić”.

Na koniec rozważ ostatnią klasę problemów:

Obliczanie odległości między skrzyżowanymi liniami

Tutaj algorytm rozwiązywania problemów będzie podobny do poprzedniego. Co mamy:

3. Dowolne wektory łączące punkty pierwszej i drugiej linii prostej:

Jak znaleźć odległość między liniami prostymi?

Wzór wygląda następująco:

Licznikiem jest moduł iloczynu mieszanego (wprowadziliśmy go w poprzedniej części), a mianownik jest taki sam jak w poprzednim wzorze (moduł iloczynu wektorowego wektorów kierunkowych linii prostych, których odległość szukamy).

Przypomnę ci, że

następnie wzór na odległość można przepisać jako:

Rodzaj wyznacznika podzielonego przez wyznacznik! Chociaż, szczerze mówiąc, nie mam tu czasu na żarty! Ta formuła jest w rzeczywistości bardzo kłopotliwa i prowadzi do dość skomplikowanych obliczeń. Na twoim miejscu używałbym tego tylko w ostateczności!

Spróbujmy rozwiązać kilka problemów za pomocą powyższej metody:

1. We właściwym trójkątnym pryzmacie wszystkie krawędzie są równe, znajdź odległość między liniami prostymi i.

2. Biorąc pod uwagę prawoskrętny trójkątny pryzmat, wszystkie krawędzie os-no-va-cji wspólnego roju są równe żebro i se-re-di-well żebra yav-la-et-sya square-ra- Tomek. Nay-di-te odległość-i-nie między prostym-we-mi a

Ja decyduję o pierwszym, a na jego podstawie Ty decydujesz o drugim!

1. Narysuj pryzmat i zaznacz proste linie i

Współrzędne punktu C: wtedy

Współrzędne punktu

Współrzędne wektorowe

Współrzędne punktu

Współrzędne wektorowe

Współrzędne wektorowe

\ [\ left ((B, \ overrightarrow (A (A_1)) \ overrightarrow (B (C_1))) \ right) = \ left | (\ begin (tablica) (* (20) (l)) (\ begin (tablica) (* (20) (c)) 0 & 1 & 0 \ end (tablica)) \\ (\ begin (tablica) ( * (20) (c)) 0 & 0 i 1 \ end (array)) \\ (\ begin (array) (* (20) (c)) (\ frac ((\ sqrt 3)) (2)) & (- \ frac (1) (2)) & 1 \ end (tablica)) \ end (tablica)) \ right | = \ frac ((\ sqrt 3)) (2) \]

Rozważamy iloczyn krzyżowy między wektorami i

\ [\ overrightarrow (A (A_1)) \ cdot \ overrightarrow (B (C_1)) = \ left | \ begin (tablica) (l) \ begin (tablica) (* (20) (c)) (\ overrightarrow i) & (\ overrightarrow j) & (\ overrightarrow k) \ end (tablica) \\\ begin (tablica ) (* (20) (c)) 0 & 0 & 1 \ end (array) \\\ begin (array) (* (20) (c)) (\ frac ((\ sqrt 3)) (2)) & (- \ frac (1) (2)) & 1 \ end (tablica) \ end (tablica) \ right | - \ frac ((\ sqrt 3)) (2) \ overrightarrow k + \ frac (1) (2) \ overrightarrow i \]

Teraz obliczamy jego długość:

Odpowiedź:

Teraz spróbuj ostrożnie wykonać drugie zadanie. Odpowiedzią na to będzie:.

Współrzędne i wektory. Krótki opis i podstawowe formuły

Wektor jest skierowanym odcinkiem linii. - początek wektora, - koniec wektora.
Wektor jest oznaczony przez lub.

Całkowita wartość wektor - długość odcinka reprezentującego wektor. Jest oznaczony jako.

Współrzędne wektora:

,
gdzie są końce wektora \ displaystyle a.

Suma wektorów:.

Iloczyn wektorów:

Iloczyn skalarny wektorów:

13. Kąt między płaszczyznami, odległość od punktu do płaszczyzny.

Niech płaszczyzny α i β przecinają się w linii prostej z.
Kąt między płaszczyznami to kąt między prostopadłymi do linii ich przecięcia, narysowany w tych płaszczyznach.

Innymi słowy, w płaszczyźnie α narysowaliśmy linię prostą a, prostopadłą do c. W płaszczyźnie β - linia b, również prostopadła do c. Kąt między płaszczyznami α i β równy kątowi między liniami prostymi a i b.

Zwróć uwagę, że gdy przecinają się dwie płaszczyzny, w rzeczywistości tworzą się cztery rogi. Czy widzisz je na zdjęciu? Przyjmujemy kąt między płaszczyznami Pikantny zastrzyk.

Jeśli kąt między płaszczyznami wynosi 90 stopni, to płaszczyzny prostopadły,

To jest definicja prostopadłości płaszczyzn. Rozwiązując problemy w stereometrii stosujemy również prostopadłość płaszczyzn:

Jeżeli płaszczyzna α przechodzi przez prostopadłą do płaszczyzny β, to płaszczyzny α i β są prostopadłe.

odległość od punktu do płaszczyzny

Rozważ punkt T podany przez jego współrzędne:

T = (x 0, y 0, z 0)

Rozważ także płaszczyznę α podaną równaniem:

Topór + By + Cz + D = 0

Wtedy odległość L od punktu T do płaszczyzny α można obliczyć ze wzoru:

Innymi słowy, podstawiamy współrzędne punktu do równania płaszczyzny, a następnie dzielimy to równanie przez długość wektora normalnego n do płaszczyzny:

Wynikowa liczba to odległość. Zobaczmy, jak to twierdzenie działa w praktyce.

Wydedukowaliśmy już równania parametryczne prostej na płaszczyźnie, zdobądźmy równania parametryczne prostej, która jest podana w prostokątnym układzie współrzędnych w przestrzeni trójwymiarowej.

Niech prostokątny układ współrzędnych zostanie ustalony w przestrzeni trójwymiarowej Oxyz... Ustawmy w nim linię prostą a(patrz rozdział dotyczący sposobów definiowania linii prostej w przestrzeni) poprzez określenie wektora kierunkowego linii prostej i współrzędne jakiegoś punktu prostej ... Od tych danych zaczniemy sporządzając równania parametryczne prostej w przestrzeni.

Niech będzie dowolnym punktem w przestrzeni trójwymiarowej. Jeśli odejmiesz od współrzędnych punktu m odpowiadające współrzędne punktu M 1, otrzymujemy współrzędne wektora (patrz artykuł o znajdowaniu współrzędnych wektora przez współrzędne punktów jego końca i początku), czyli .

Oczywiście zbiór punktów definiuje linię a wtedy i tylko wtedy, gdy wektory i są współliniowe.

Zapiszmy warunek konieczny i wystarczający dla kolinearności wektorów oraz : , gdzie jest trochę prawdziwy numer... Otrzymane równanie nazywa się wektorowo-parametryczne równanie prostej w prostokątnym układzie współrzędnych Oxyz w przestrzeni trójwymiarowej. Równanie wektorowo-parametryczne prostej w postaci współrzędnych ma postać i reprezentuje równania parametryczne prostej a... Nazwa „parametryczna” nie jest przypadkowa, ponieważ współrzędne wszystkich punktów linii określa się za pomocą parametru.

Podajmy przykład równań parametrycznych prostej w prostokątnym układzie współrzędnych Oxyz w kosmosie: . Tutaj

15. Kąt między linią prostą a płaszczyzną. Punkt przecięcia prostej z płaszczyzną.

Dowolne równanie pierwszego stopnia ze względu na współrzędne x, y, z

Topór + By + Cz + D = 0 (3.1)

definiuje płaszczyznę i na odwrót: dowolną płaszczyznę można przedstawić równaniem (3.1), które nazywa się równanie samolotu.

Wektor n(A, B, C) prostopadłe do płaszczyzny nazywamy wektor normalny samolot. W równaniu (3.1) współczynniki A, B, C nie są jednocześnie równe 0.

Przypadki specjalne równania (3.1):

1. D = 0, Ax + By + Cz = 0 - samolot przechodzi przez początek.

2. C = 0, Ax + By + D = 0 - płaszczyzna jest równoległa do osi Oz.

3. C = D = 0, Ax + By = 0 - samolot przechodzi przez oś Oz.

4. B = C = 0, Ax + D = 0 - płaszczyzna jest równoległa do płaszczyzny Oyz.

Równania płaszczyzn współrzędnych: x = 0, y = 0, z = 0.

Można określić linię prostą w przestrzeni:

1) jako linię przecięcia dwóch płaszczyzn, tj. układ równań:

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0, A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0; (3.2)

2) przez jego dwa punkty M 1 (x 1, y 1, z 1) i M 2 (x 2, y 2, z 2), to przechodząca przez nie linia prosta jest dana równaniami:

3) należący do niego punkt M 1 (x 1, y 1, z 1) oraz wektor a(m, n, p), współliniowo do niego. Następnie linię prostą wyznaczają równania:

. (3.4)

Równania (3.4) nazywają się równania kanoniczne linii prostej.

Wektor a nazywa wektor kierunkowy prostej.

Równania parametryczne prostej otrzymujemy, przyrównując każdy ze stosunków (3.4) do parametru t:

x = x 1 + mt, y = y 1 + nt, z = z 1 + rt. (3.5)

Rozwiązywanie systemu (3.2) jako system równania liniowe stosunkowo nieznany x oraz tak, dochodzimy do równań prostej in projekcje lub zredukowane równania linii prostej:

x = mz + a, y = nz + b. (3.6)

Z równań (3.6) można przejść do równań kanonicznych, znajdując z z każdego równania i zrównanie otrzymanych wartości:

.

Z ogólnych równań (3.2) można przejść do kanonicznego i w inny sposób, jeśli znajdziemy jakiś punkt tej prostej i jej wektor kierunkowy n= [n 1 , n 2], gdzie n 1 (A 1, B 1, C 1) i n 2 (A 2, B 2, C 2) - wektory normalne danych płaszczyzn. Jeśli jeden z mianowników m, n lub r w równaniach (3.4) okazuje się być równy zero, wówczas licznik odpowiedniego ułamka musi być równy zero, tj. system

jest odpowiednikiem systemu ; taka linia prosta jest prostopadła do osi Wół.

System jest równoważne systemowi x = x 1, y = y 1; linia prosta jest równoległa do osi Oz.

Przykład 1.15... Zrównaj płaszczyznę, wiedząc, że punkt A (1, -1.3) jest podstawą prostopadłej narysowanej od początku do tej płaszczyzny.

Rozwiązanie. Zgodnie ze stanem problemu wektor OA(1, -1,3) jest wektorem normalnym płaszczyzny, to jego równanie można zapisać jako
x-y + 3z + D = 0. Podstawiając współrzędne punktu A (1, -1,3) należącego do płaszczyzny, otrzymujemy D: 1 - (- 1) + 3 × 3 + D = 0 Þ D = -11. Więc x-y + 3z-11 = 0.

Przykład 1.16... Wykonaj równanie dla płaszczyzny przechodzącej przez oś Oz i tworzącej kąt 60 ° z płaszczyzną 2x + y- z-7 = 0.

Rozwiązanie. Płaszczyzna przechodząca przez oś Oz jest określona równaniem Ax + By = 0, gdzie A i B nie znikają jednocześnie. Niech B nie
równa się 0, A / Bx + y = 0. Zgodnie ze wzorem na cosinus kąta między dwiema płaszczyznami

.

Rozwiązywanie równanie kwadratowe 3m 2 + 8m - 3 = 0, znajdź jego korzenie
m 1 = 1/3, m 2 = -3, skąd otrzymujemy dwie płaszczyzny 1 / 3x + y = 0 i -3x + y = 0.

Przykład 1.17. Wykonaj równania kanoniczne linii prostej:
5x + y + z = 0, 2x + 3y - 2z + 5 = 0.

Rozwiązanie. Równania kanoniczne prostej to:

gdzie m, n, p- współrzędne wektora kierunkowego prostej, x 1, y 1, z 1- współrzędne dowolnego punktu należącego do linii prostej. Linia prosta jest określana jako linia przecięcia dwóch płaszczyzn. Aby znaleźć punkt należący do linii prostej, ustala się jedną ze współrzędnych (najłatwiej jest wstawić np. x = 0), a wynikowy układ rozwiązuje się jako układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi. Niech więc x = 0, wtedy y + z = 0, 3y - 2z + 5 = 0, skąd y = -1, z = 1. Współrzędne punktu M (x 1, y 1, z 1) należącego do tej prostej znaleźliśmy: M (0, -1,1). Wektor kierunkowy linii prostej jest łatwy do znalezienia, znając wektory normalne oryginalnych płaszczyzn n 1 (5,1,1) i n 2 (2,3, -2). Następnie

Równania kanoniczne prostej to: x / (- 5) = (y + 1) / 12 =
= (z - 1) / 13.

Przykład 1.18... W belce zdefiniowanej przez płaszczyzny 2x-y + 5z-3 = 0 i x + y + 2z + 1 = 0 znajdź dwie prostopadłe płaszczyzny, z których jedna przechodzi przez punkt M (1,0,1).

Rozwiązanie. Równanie na wiązkę zdefiniowaną przez te płaszczyzny ma postać u (2x-y + 5z-3) + v (x + y + 2z + 1) = 0, gdzie u i v nie znikają jednocześnie. Przepiszmy równanie wiązki w następujący sposób:

(2u + v) x + (- u + v) y + (5u + 2v) z - 3u + v = 0.

Aby wybrać płaszczyznę z wiązki przechodzącej przez punkt M, podstawiamy współrzędne punktu M do równania belki. Otrzymujemy:

(2u + v) × 1 + (-u + v) × 0 + (5u + 2v) × 1 -3u + v = 0 lub v = - u.

Następnie równanie płaszczyzny zawierającej M można znaleźć, podstawiając v = - u do równania belki:

u (2x-y + 5z - 3) - u (x + y + 2z +1) = 0.

Bo u¹0 (inaczej v = 0, co jest sprzeczne z definicją belki), to mamy równanie płaszczyzny x-2y + 3z-4 = 0. Druga płaszczyzna należąca do belki powinna być do niej prostopadła. Zapiszmy warunek na ortogonalność płaszczyzn:

(2u + v) × 1 + (v - u) × (-2) + (5u + 2v) × 3 = 0 lub v = - 19 / 5u.

Stąd równanie drugiej płaszczyzny ma postać:

u (2x -y + 5z - 3) - 19/5 u (x + y + 2z +1) = 0 lub 9x + 24y + 13z + 34 = 0