Nierówności logarytmiczne ułamkowo racjonalne. Rozwiązywanie układów nierówności logarytmicznych i wykładniczych z nauczycielem

Twoja prywatność jest dla nas ważna. Z tego powodu opracowaliśmy Politykę prywatności, która opisuje, w jaki sposób wykorzystujemy i przechowujemy Twoje dane. Przeczytaj naszą politykę prywatności i daj nam znać, jeśli masz jakiekolwiek pytania.

Gromadzenie i wykorzystywanie danych osobowych

Dane osobowe to dane, które można wykorzystać do zidentyfikowania konkretnej osoby lub skontaktowania się z nią.

Możesz zostać poproszony o podanie swoich danych osobowych w dowolnym momencie, gdy się z nami skontaktujesz.

Poniżej znajduje się kilka przykładów rodzajów danych osobowych, które możemy gromadzić oraz sposobu, w jaki możemy je wykorzystywać.

Jakie dane osobowe zbieramy:

• Kiedy przesyłasz wniosek na stronie, możemy zbierać różne informacje, w tym imię i nazwisko, numer telefonu, adres E-mail itp.

Jak wykorzystujemy Twoje dane osobowe:

• Zbierane przez nas dane osobowe umożliwiają nam kontakt z Tobą i informowanie o tym wyjątkowe oferty, promocje i inne wydarzenia oraz nadchodzące wydarzenia.
• Od czasu do czasu możemy wykorzystywać Twoje dane osobowe, aby wysyłać Ci ważne powiadomienia i komunikaty.
• Możemy również wykorzystywać dane osobowe do celów wewnętrznych, takich jak przeprowadzanie audytów, analiza danych i różne badania w celu ulepszenia świadczonych przez nas usług i udzielania rekomendacji dotyczących naszych usług.
• Jeśli weźmiesz udział w losowaniu nagród, konkursie lub podobnym programie motywacyjnym, możemy wykorzystać podane przez Ciebie informacje do administrowania takimi programami.

Ujawnianie osobom trzecim

Nie ujawniamy informacji otrzymanych od Ciebie stronom trzecim.

Wyjątki:

• W razie potrzeby - zgodnie z prawem, nakazem sądowym, w postępowaniu sądowym i/lub na podstawie próśb publicznych lub próśb ze strony agencje rządowe na terytorium Federacji Rosyjskiej - ujawniać swoje dane osobowe. Możemy również ujawnić informacje o Tobie, jeśli ustalimy, że takie ujawnienie jest konieczne lub odpowiednie ze względów bezpieczeństwa, egzekwowania prawa lub z innych względów interesu publicznego.
• W przypadku reorganizacji, fuzji lub sprzedaży możemy przekazać zebrane przez nas dane osobowe odpowiedniej stronie trzeciej będącej następcą.

Ochrona danych osobowych

Podejmujemy środki ostrożności – w tym administracyjne, techniczne i fizyczne – w celu ochrony Twoich danych osobowych przed utratą, kradzieżą i niewłaściwym wykorzystaniem, a także przed nieautoryzowanym dostępem, ujawnieniem, zmianą i zniszczeniem.

Zachowanie prywatności na poziomie firmy

Aby zapewnić bezpieczeństwo Twoich danych osobowych, informujemy naszych pracowników o praktykach dotyczących prywatności i bezpieczeństwa oraz surowo egzekwujemy praktyki dotyczące prywatności.

Cele Lekcji:

Dydaktyczny:

• Poziom 1 - naucz rozwiązywać najprostsze nierówności logarytmiczne, wykorzystując definicję logarytmu, własności logarytmów;
• Poziom 2 - rozwiąż nierówności logarytmiczne, dobierając własną metodę rozwiązywania;
• Poziom 3 - potrafić zastosować wiedzę i umiejętności w niestandardowych sytuacjach.

Rozwijanie: rozwijać pamięć, uwagę, logiczne myślenie, umiejętności porównywania, uogólniania i wyciągania wniosków

Edukacyjny: kultywować dokładność, odpowiedzialność za wykonane zadanie, wzajemną pomoc.

Metody nauczania: werbalny , wizualny , praktyczny , wyszukiwanie częściowe , samorząd , kontrola.

Formy organizacji aktywność poznawcza studenci: czołowy , indywidualny , pracować w parach.

Ekwipunek: zestaw przedmioty testowe, notatki referencyjne, puste arkusze rozwiązań.

Rodzaj lekcji: nauka nowego materiału.

Podczas zajęć

1. Moment organizacyjny. Ogłaszany jest temat i cele lekcji, schemat lekcji: każdy uczeń otrzymuje arkusz oceny, który uczeń wypełnia podczas lekcji; dla każdej pary uczniów - materiały drukowane z zadaniami, zadania należy wykonać w parach; puste kartki na decyzje; arkusze referencyjne: definicja logarytmu; wykres funkcji logarytmicznej, jego własności; własności logarytmów; algorytm rozwiązywania nierówności logarytmicznych.

Wszystkie decyzje po dokonaniu samooceny przekazywane są nauczycielowi.

Arkusz wyników ucznia

2. Aktualizacja wiedzy.

Instrukcje nauczyciela. Zapamiętaj definicję logarytmu, wykres funkcji logarytmicznej i jej własności. W tym celu przeczytaj tekst na s. 88–90, 98–101 podręcznika „Algebra i początek analizy 10–11” pod redakcją Sh.A Alimova, Yu.M Kolagina i innych.

Uczniowie otrzymują arkusze, na których zapisane są: definicja logarytmu; przedstawia wykres funkcji logarytmicznej, jej właściwości; własności logarytmów; algorytm rozwiązywania nierówności logarytmicznych, przykład rozwiązywania nierówności logarytmicznych sprowadzających się do kwadratu.

3. Nauka nowego materiału.

Rozwiązanie nierówności logarytmicznych opiera się na monotoniczności funkcji logarytmicznej.

Algorytm rozwiązywania nierówności logarytmicznych:

A) Znajdź dziedzinę definicji nierówności (wyrażenie sublogarytmiczne jest większe od zera).
B) Przedstaw (jeśli to możliwe) lewą i prawą część nierówności jako logarytmy w tej samej podstawie.
C) Określ, czy funkcja logarytmiczna rośnie czy maleje: jeśli t>1, to rośnie; jeśli 0 1, a następnie maleje.
D) Przejdź do więcej prosta nierówność(wyrażenia sublogarytmiczne), biorąc pod uwagę, że znak nierówności zostanie zachowany, jeśli funkcja rośnie, i zmieni się, jeśli będzie maleć.

Element nauki #1.

Cel: ustalenie rozwiązania najprostszych nierówności logarytmicznych

Forma organizacji aktywności poznawczej studentów: praca indywidualna.

Zadania dla niezależna praca za 10 minut. Na każdą nierówność jest kilka odpowiedzi, musisz wybrać właściwą i sprawdzić kluczem.

KLUCZ: 13321, maksymalna ilość punktów - 6 pkt.

Element nauki nr 2.

Cel: ustalenie rozwiązania nierówności logarytmicznych przez zastosowanie własności logarytmów.

Instrukcje nauczyciela. Przypomnij sobie podstawowe własności logarytmów. W tym celu przeczytaj tekst podręcznika na s. 92, 103–104.

Zadania do samodzielnej pracy przez 10 minut.

KLUCZ: 2113, maksymalna liczba punktów to 8b.

Element uczenia się nr 3.

Cel: zbadanie rozwiązania nierówności logarytmicznych metodą redukcji do kwadratu.

Zalecenie nauczyciela: metoda sprowadzania nierówności do kwadratu polega na tym, że trzeba przekształcić nierówność do takiej postaci, że jakąś funkcję logarytmiczną oznacza nową zmienną, a jednocześnie otrzymuje się nierówność kwadratową względem tej zmiennej.

Użyjmy metody interwałowej.

Przeszedłeś pierwszy poziom przyswajania materiału. Teraz będziesz musiał samodzielnie wybrać metodę rozwiązywania równań logarytmicznych, wykorzystując całą swoją wiedzę i możliwości.

Element nauki numer 4.

Cel: utrwalenie rozwiązania nierówności logarytmicznych poprzez samodzielny wybór racjonalnego sposobu jego rozwiązania.

Zadania do samodzielnej pracy przez 10 minut

Element nauki numer 5.

Instrukcje nauczyciela. Bardzo dobrze! Opanowałeś rozwiązywanie równań drugiego poziomu złożoności. Celem Twojej dalszej pracy jest zastosowanie Twojej wiedzy i umiejętności w bardziej złożonych i niestandardowych sytuacjach.

Zadania do samodzielnego rozwiązania:

Instrukcje nauczyciela. Świetnie, jeśli wykonałeś całą pracę. Bardzo dobrze!

Ocena z całej lekcji uzależniona jest od liczby punktów uzyskanych za wszystkie elementy edukacyjne:

• jeśli N ≥ 20, to otrzymujesz „5”,
• dla 16 ≤ N ≤ 19 – ocena „4”,
• dla 8 ≤ N ≤ 15 – ocena „3”,
• w N< 8 выполнить работу над ошибками к следующему уроку (решения можно взять у учителя).

Szacunkowe lisy do przekazania nauczycielowi.

5. Zadanie domowe: jeśli uzyskałeś nie więcej niż 15 b - popracuj nad błędami (rozwiązania można wziąć od nauczyciela), jeśli uzyskałeś więcej niż 15 b - wykonaj zadanie twórcze na dany temat” Nierówności logarytmiczne”.

Spośród całej gamy nierówności logarytmicznych oddzielnie badane są nierówności o zmiennej podstawie. Są one rozwiązywane według specjalnej formuły, której z jakiegoś powodu rzadko uczy się w szkole:

log k (x ) f (x ) ∨ log k (x ) g (x ) ⇒ (f (x ) − g (x )) (k (x ) − 1) ∨ 0

Zamiast kawki „∨” możesz umieścić dowolny znak nierówności: mniej więcej. Najważniejsze, że w obu nierównościach znaki są takie same.

Pozbywamy się więc logarytmów i redukujemy problem do racjonalnej nierówności. Ten ostatni jest znacznie łatwiejszy do rozwiązania, ale przy odrzucaniu logarytmów mogą pojawić się dodatkowe pierwiastki. Aby je odciąć, wystarczy znaleźć zakres dopuszczalnych wartości. Jeśli zapomniałeś ODZ logarytmu, zdecydowanie polecam to powtórzyć - patrz "Co to jest logarytm".

Wszystko, co dotyczy zakresu dopuszczalnych wartości, należy rozpisać i rozwiązać osobno:

f(x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) 1.

Te cztery nierówności tworzą system i muszą być spełnione jednocześnie. Gdy zostanie znaleziony zakres dopuszczalnych wartości, pozostaje przekroczyć go rozwiązaniem racjonalnej nierówności - i odpowiedź jest gotowa.

Zadanie. Rozwiąż nierówność:

Najpierw napiszmy ODZ logarytmu:

Dwie pierwsze nierówności są wykonywane automatycznie, a ostatnią trzeba będzie wpisać. Ponieważ kwadrat liczby wynosi zero wtedy i tylko wtedy, gdy sama liczba wynosi zero, mamy:

x 2 + 1 ≠ 1;
x2 ≠ 0;
x 0.

Okazuje się, że ODZ logarytmu to wszystkie liczby oprócz zera: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞). Teraz rozwiązujemy główną nierówność:

Dokonujemy przejścia od nierówności logarytmicznej do racjonalnej. W oryginalnej nierówności występuje znak „mniej niż”, więc nierówność wynikowa również powinna być ze znakiem „mniej niż”. Mamy:

(10 − (x 2 + 1)) (x 2 + 1 − 1)< 0;
(9 − x2) x2< 0;
(3 − x) (3 + x) x 2< 0.

Zera tego wyrażenia: x = 3; x = -3; x = 0. Co więcej, x = 0 jest pierwiastkiem drugiej krotności, co oznacza, że ​​przy przejściu przez nią znak funkcji się nie zmienia. Mamy:

Otrzymujemy x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞). Ten zestaw jest całkowicie zawarty w ODZ logarytmu, więc to jest odpowiedź.

Transformacja nierówności logarytmicznych

Często pierwotna nierówność różni się od powyższej. Można to łatwo naprawić zgodnie ze standardowymi zasadami pracy z logarytmami - patrz "Podstawowe właściwości logarytmów". Mianowicie:

1. Dowolna liczba może być reprezentowana jako logarytm o danej podstawie;
2. Sumę i różnicę logarytmów o tej samej podstawie można zastąpić pojedynczym logarytmem.

Osobno pragnę przypomnieć o zakresie dopuszczalnych wartości. Ponieważ pierwotna nierówność może mieć kilka logarytmów, wymagane jest znalezienie DPV każdego z nich. Zatem, ogólny schemat rozwiązanie nierówności logarytmicznych jest następujące:

1. Znajdź ODZ każdego logarytmu zawartego w nierówności;
2. Zmniejsz nierówność do standardowej za pomocą wzorów na dodawanie i odejmowanie logarytmów;
3. Rozwiąż powstałą nierówność zgodnie z powyższym schematem.

Zadanie. Rozwiąż nierówność:

Znajdź dziedzinę definicji (ODZ) pierwszego logarytmu:

Rozwiązujemy metodą interwałową. Znajdowanie zer licznika:

3x − 2 = 0;
x = 2/3.

Wtedy - zera mianownika:

x − 1 = 0;
x = 1.

Na strzałce współrzędnych zaznaczamy zera i znaki:

Otrzymujemy x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞). Drugi logarytm ODZ będzie taki sam. Jeśli mi nie wierzysz, możesz sprawdzić. Teraz przekształcamy drugi logarytm tak, aby podstawą były dwa:

Jak widać, trójki u podstawy i przed logarytmem skurczyły się. Mamy dwa logarytmy z ta sama baza. Połączmy je razem:

log 2 (x − 1) 2< 2;
log 2 (x − 1) 2< log 2 2 2 .

Otrzymaliśmy standardową nierówność logarytmiczną. Pozbywamy się logarytmów za pomocą wzoru. Ponieważ w oryginalnej nierówności występuje znak „mniej niż”, wynikowe wyrażenie wymierne również musi być mniejsze od zera. Mamy:

(f (x) - g (x)) (k (x) - 1)< 0;
((x − 1) 2 − 2 2)(2 − 1)< 0;
x 2 − 2x + 1 − 4< 0;
x 2 - 2x - 3< 0;
(x − 3)(x + 1)< 0;
x (-1; 3).

Otrzymaliśmy dwa zestawy:

1. ODZ: x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞);
2. Kandydat na odpowiedź: x ∈ (−1; 3).

Pozostaje przekroczyć te zestawy – otrzymujemy prawdziwą odpowiedź:

Interesuje nas przecinanie się zbiorów, więc interwały wybieramy zacieniowane na obie strzałki. Otrzymujemy x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3) – wszystkie punkty są przebite.

Myślisz, że do egzaminu jest jeszcze czas i będziesz miał czas na przygotowania? Być może tak jest. W każdym razie im wcześniej uczeń rozpocznie szkolenie, tym skuteczniej zda egzaminy. Dzisiaj postanowiliśmy poświęcić artykuł nierównościom logarytmicznym. To jedno z zadań, które oznacza możliwość zdobycia dodatkowego punktu.

Czy wiesz już, co to jest logarytm (log)? Naprawdę mamy taką nadzieję. Ale nawet jeśli nie masz odpowiedzi na to pytanie, to nie jest problem. Bardzo łatwo jest zrozumieć, czym jest logarytm.

Dlaczego dokładnie 4? Musisz podnieść liczbę 3 do takiej potęgi, aby uzyskać 81. Kiedy zrozumiesz zasadę, możesz przejść do bardziej złożonych obliczeń.

Kilka lat temu przeszedłeś przez nierówności. I od tego czasu ciągle spotykasz ich w matematyce. Jeśli masz problemy z rozwiązywaniem nierówności, zapoznaj się z odpowiednią sekcją.
Teraz, gdy osobno zapoznamy się z pojęciami, przejdziemy do ich rozpatrzenia w ogólności.

Najprostsza nierówność logarytmiczna.

Najprostsze nierówności logarytmiczne nie ograniczają się do tego przykładu, są jeszcze trzy, tylko z różnymi znakami. Dlaczego jest to potrzebne? Aby lepiej zrozumieć, jak rozwiązywać nierówności za pomocą logarytmów. Teraz podajemy bardziej odpowiedni przykład, wciąż dość prosty, złożone nierówności logarytmiczne zostawiamy na później.

Jak to rozwiązać? Wszystko zaczyna się od ODZ. Powinieneś wiedzieć o tym więcej, jeśli chcesz zawsze łatwo rozwiązywać wszelkie nierówności.

Co to jest ODZ? DPV dla nierówności logarytmicznych

Skrót oznacza zakres obowiązujących wartości. W zadaniach do egzaminu takie sformułowanie często się pojawia. DPV przydaje się nie tylko w przypadku nierówności logarytmicznych.

Spójrz ponownie na powyższy przykład. Rozważymy ODZ na jej podstawie, abyście Państwo zrozumieli zasadę, a rozwiązanie nierówności logarytmicznych nie budzi wątpliwości. Z definicji logarytmu wynika, że ​​2x+4 musi być większe od zera. W naszym przypadku oznacza to, co następuje.

Liczba ta z definicji musi być dodatnia. Rozwiąż przedstawioną powyżej nierówność. Można to zrobić nawet ustnie, tu widać wyraźnie, że X nie może być mniejsze niż 2. Rozwiązaniem nierówności będzie określenie zakresu dopuszczalnych wartości.
Przejdźmy teraz do rozwiązania najprostszej nierówności logarytmicznej.

Odrzucamy same logarytmy z obu części nierówności. Co nam w rezultacie pozostaje? prosta nierówność.

To łatwe do rozwiązania. X musi być większe niż -0,5. Teraz łączymy dwie uzyskane wartości w system. Zatem,

Będzie to obszar dopuszczalnych wartości dla rozpatrywanej nierówności logarytmicznej.

Po co w ogóle ODZ? To okazja do wyeliminowania błędnych i niemożliwych odpowiedzi. Jeśli odpowiedź nie mieści się w dopuszczalnych wartościach, to odpowiedź po prostu nie ma sensu. Warto o tym długo pamiętać, gdyż na egzaminie często pojawia się potrzeba szukania ODZ i nie dotyczy to tylko nierówności logarytmicznych.

Algorytm rozwiązywania nierówności logarytmicznych

Rozwiązanie składa się z kilku kroków. Najpierw należy znaleźć zakres dopuszczalnych wartości. W ODZ będą dwie wartości, rozważaliśmy to powyżej. Następnym krokiem jest rozwiązanie samej nierówności. Metody rozwiązania są następujące:

• metoda zastępowania mnożnika;
• rozkład;
• metoda racjonalizacji.

W zależności od sytuacji należy zastosować jedną z powyższych metod. Przejdźmy od razu do rozwiązania. Przedstawimy najpopularniejszą metodę, która jest odpowiednia do rozwiązywania zadań USE w prawie wszystkich przypadkach. Następnie rozważymy metodę dekompozycji. Może pomóc, jeśli natkniesz się na szczególnie „trudną” nierówność. A więc algorytm rozwiązywania nierówności logarytmicznych.

Przykłady rozwiązań :

Nie na próżno przyjęliśmy właśnie taką nierówność! Zwróć uwagę na bazę. Pamiętaj: jeśli jest większy niż jeden, znak pozostaje taki sam przy wyszukiwaniu zakresu prawidłowych wartości; w przeciwnym razie znak nierówności musi zostać zmieniony.

W rezultacie otrzymujemy nierówność:

Teraz sprowadzamy lewą stronę do postaci równania równego zero. Zamiast znaku „mniej niż” wpisujemy „równe”, rozwiązujemy równanie. W ten sposób znajdziemy ODZ. Mamy nadzieję, że dzięki rozwiązaniu takiego proste równanie nie będziesz miał problemu. Odpowiedzi to -4 i -2. To nie wszystko. Musisz wyświetlić te punkty na wykresie, umieścić "+" i "-". Co należy w tym celu zrobić? Zastąp liczby z przedziałów w wyrażeniu. Tam, gdzie wartości są dodatnie, wstawiamy tam „+”.

Odpowiedź: x nie może być większe niż -4 i mniejsze niż -2.

Znaleźliśmy zakres poprawnych wartości tylko dla lewej strony, teraz musimy znaleźć zakres poprawnych wartości dla prawej strony. To wcale nie jest łatwiejsze. Odpowiedź: -2. Przecinamy oba otrzymane obszary.

I dopiero teraz zaczynamy rozwiązywać samą nierówność.

Upraszczajmy to tak bardzo, jak to możliwe, aby ułatwić podjęcie decyzji.

W rozwiązaniu ponownie stosujemy metodę interwałową. Pomińmy obliczenia, u niego wszystko jest już jasne z poprzedniego przykładu. Odpowiedź.

Ale ta metoda jest odpowiednia, jeśli nierówność logarytmiczna ma te same podstawy.

Rozwiązywanie równań logarytmicznych i nierówności o różnych podstawach wymaga wstępnej redukcji do jednej podstawy. Następnie użyj powyższej metody. Ale jest więcej trudna sprawa. Rozważ jeden z najbardziej złożone typy nierówności logarytmiczne.

Nierówności logarytmiczne o podstawie zmiennej

Jak rozwiązywać nierówności o takich cechach? Tak, i takie można znaleźć na egzaminie. Rozwiązanie nierówności w następujący sposób również będzie miało korzystny wpływ na Twoje proces edukacyjny. Przyjrzyjmy się temu zagadnieniu szczegółowo. Odłóżmy teorię na bok i przejdźmy od razu do praktyki. Aby rozwiązać nierówności logarytmiczne wystarczy raz zapoznać się z przykładem.

Aby rozwiązać nierówność logarytmiczną przedstawionej postaci, należy sprowadzić prawą stronę do logarytmu o tej samej podstawie. Zasada przypomina przejścia równoważne. W rezultacie nierówność będzie wyglądać tak.

Właściwie pozostaje stworzenie systemu nierówności bez logarytmów. Metodą racjonalizacji przechodzimy do równorzędnego systemu nierówności. Samą regułę zrozumiesz, gdy podstawisz odpowiednie wartości i będziesz śledzić ich zmiany. System będzie charakteryzował się następującymi nierównościami.

Stosując metodę racjonalizacji przy rozwiązywaniu nierówności należy pamiętać, że od podstawy należy odjąć jeden, x z definicji logarytmu odejmuje się od obu części nierówności (prawej od lewej), dwa wyrażenia są mnożone i ustawiane pod oryginalnym znakiem w stosunku do zera.

Dalsze rozwiązanie odbywa się metodą interwałową, tutaj wszystko jest proste. Ważne jest, abyś zrozumiał różnice w metodach rozwiązania, wtedy wszystko zacznie się układać.

Istnieje wiele niuansów nierówności logarytmicznych. Najprostsze z nich są dość łatwe do rozwiązania. Jak sprawić, by każdy z nich rozwiązał się bez problemów? Otrzymałeś już wszystkie odpowiedzi w tym artykule. Teraz masz przed sobą długą praktykę. Nieustannie ćwicz rozwiązywanie różnych problemów w ramach egzaminu, a uzyskasz najwyższy wynik. Powodzenia w Twojej trudnej pracy!

Nierówności logarytmiczne

Na poprzednich lekcjach poznaliśmy równania logarytmiczne, a teraz wiemy, czym one są i jak je rozwiązać. A dzisiejsza lekcja będzie poświęcona badaniu nierówności logarytmicznych. Czym są te nierówności i jaka jest różnica między rozwiązaniem równania logarytmicznego a nierównościami?

Nierówności logarytmiczne to nierówności, które mają zmienną pod znakiem logarytmu lub u jego podstawy.

Albo można też powiedzieć, że nierówność logarytmiczna to taka nierówność, w której jej nieznana wartość, jak w równaniu logarytmicznym, będzie pod znakiem logarytmu.

Najprostsze nierówności logarytmiczne wyglądają tak:

gdzie f(x) i g(x) to niektóre wyrażenia zależne od x.

Spójrzmy na to w następującym przykładzie: f(x)=1+2x+x2, g(x)=3x−1.

Rozwiązywanie nierówności logarytmicznych

Przed rozwiązaniem nierówności logarytmicznych warto zauważyć, że gdy są rozwiązywane, są podobne do nierówności wykładniczych, a mianowicie:

Po pierwsze, przechodząc od logarytmów do wyrażeń pod logarytmem, musimy również porównać podstawę logarytmu z jednym;

Po drugie, rozwiązując nierówność logarytmiczną za pomocą zmiany zmiennych, musimy rozwiązywać nierówności względem zmiany, aż otrzymamy najprostszą nierówność.

Ale to my rozważaliśmy podobne momenty rozwiązywania nierówności logarytmicznych. Przyjrzyjmy się teraz dość znaczącej różnicy. Ty i ja wiemy, że funkcja logarytmiczna ma ograniczoną domenę definicji, więc przechodząc od logarytmów do wyrażeń pod logarytmem należy wziąć pod uwagę zakres dopuszczalnych wartości (ODV).

Oznacza to, że należy wziąć pod uwagę, że równanie logarytmiczne możemy najpierw znaleźć pierwiastki równania, a następnie sprawdzić to rozwiązanie. Ale rozwiązanie nierówności logarytmicznej nie zadziała w ten sposób, ponieważ przechodząc od logarytmów do wyrażeń pod logarytmem, konieczne będzie zapisanie ODZ nierówności.

Dodatkowo warto pamiętać, że teoria nierówności składa się z: liczby rzeczywiste, które są liczbami dodatnimi i ujemnymi, a także liczbą 0.

Na przykład, gdy liczba „a” jest dodatnia, to konieczne jest zastosowanie następującego zapisu: a > 0. W takim przypadku zarówno suma, jak i iloczyn tych liczb również będą dodatnie.

Podstawową zasadą rozwiązywania nierówności jest zastąpienie jej prostszą nierównością, ale najważniejsze jest to, aby była równoważna z daną. Ponadto uzyskaliśmy również nierówność i ponownie zastąpiliśmy ją taką, która ma prostszą formę itp.

Rozwiązując nierówności ze zmienną, musisz znaleźć wszystkie jej rozwiązania. Jeżeli dwie nierówności mają tę samą zmienną x, to są one równoważne, o ile ich rozwiązania są takie same.

Wykonując zadania rozwiązywania nierówności logarytmicznych należy pamiętać, że gdy a > 1, to funkcja logarytmiczna wzrasta, a gdy 0< a < 1, то такая функция имеет свойство убывать. Эти свойства вам будут необходимы при решении логарифмических неравенств, поэтому вы их должны хорошо знать и помнить.

Sposoby rozwiązywania nierówności logarytmicznych

Przyjrzyjmy się teraz niektórym metodom, które mają miejsce podczas rozwiązywania nierówności logarytmicznych. Dla lepszego zrozumienia i przyswojenia postaramy się je zrozumieć na konkretnych przykładach.

Wiemy, że najprostsza nierówność logarytmiczna ma postać:

W tej nierówności V - jest jednym z takich znaków nierówności jak:<,>, ≤ lub ≥.

Kiedy fundacja podany logarytm większe niż jeden (a>1), dokonując przejścia z logarytmów do wyrażeń pod znakiem logarytmu, to w tej wersji znak nierówności jest zachowany, a nierówność będzie wyglądać tak:

co jest równoważne z następującym systemem:

W przypadku, gdy podstawa logarytmu jest większa od zera i mniejsza od jedności (0

Jest to odpowiednik tego systemu:

Spójrzmy na więcej przykładów rozwiązywania najprostszych nierówności logarytmicznych pokazanych na poniższym obrazku:

Rozwiązanie przykładów

Ćwiczenie. Spróbujmy rozwiązać tę nierówność:

Decyzja o obszarze dopuszczalnych wartości.

Spróbujmy teraz pomnożyć jego prawą stronę przez:

Zobaczmy, co możemy zrobić:

Przejdźmy teraz do transformacji wyrażeń sublogarytmicznych. Ponieważ podstawą logarytmu jest 0< 1/4 <1, то от сюда следует, что знак неравенства изменится на противоположный:

3x - 8 > 16;
3x > 24;
x > 8.

A z tego wynika, że ​​uzyskany przez nas przedział należy w całości do ODZ i jest rozwiązaniem takiej nierówności.

Oto odpowiedź, którą otrzymaliśmy:

Co jest potrzebne do rozwiązania nierówności logarytmicznych?

Spróbujmy teraz przeanalizować, czego potrzebujemy, aby skutecznie rozwiązać nierówności logarytmiczne?

Po pierwsze, skup całą swoją uwagę i staraj się nie popełniać błędów podczas dokonywania przekształceń wynikających z tej nierówności. Należy również pamiętać, że przy rozwiązywaniu takich nierówności należy zapobiegać rozszerzaniu się i zwężaniu nierówności ODZ, co może prowadzić do utraty lub przejęcia rozwiązań obcych.

Po drugie, rozwiązując nierówności logarytmiczne, musisz nauczyć się myśleć logicznie i rozumieć różnicę między takimi pojęciami jak system nierówności i zbiór nierówności, aby móc łatwo wybierać rozwiązania nierówności, kierując się jej DHS.

Po trzecie, aby skutecznie rozwiązać takie nierówności, każdy z Was musi doskonale znać wszystkie właściwości funkcji elementarnych i jasno rozumieć ich znaczenie. Takie funkcje obejmują nie tylko logarytmiczne, ale także wymierne, potęgowe, trygonometryczne itp., jednym słowem wszystkie te, które studiowałeś przez cały czas szkolenie algebra.

Jak widać, po przestudiowaniu tematu nierówności logarytmicznych nie ma nic trudnego w rozwiązaniu tych nierówności, pod warunkiem, że jesteś uważny i wytrwały w osiąganiu swoich celów. Aby uniknąć jakichkolwiek problemów w rozwiązywaniu nierówności, trzeba jak najwięcej trenować, rozwiązując różne zadania i jednocześnie zapamiętać główne sposoby rozwiązywania takich nierówności i ich systemy. Przy nieudanych rozwiązaniach nierówności logarytmicznych należy dokładnie przeanalizować swoje błędy, aby nie wracać do nich w przyszłości.

Zadanie domowe

Aby lepiej przyswoić sobie temat i utrwalić omawiany materiał, rozwiąż następujące nierówności: