Przykłady faktoryzacji wielomianów. Złożone przypadki faktoryzacji wielomianów

Faktoryzacja wielomianów jest identyczną transformacją, w wyniku której wielomian przekształca się w iloczyn kilku czynników - wielomianów lub jednomianów.

Istnieje kilka sposobów rozkładania wielomianów na czynniki.

Metoda 1. Wzięcie w nawias wspólnego czynnika.

Ta transformacja opiera się na rozdzielczym prawie mnożenia: ac + bc = c(a + b). Istotą transformacji jest wyodrębnienie wspólnego czynnika w dwóch rozważanych składowych i „wyrzucenie” go z nawiasów.

Rozliczmy wielomian 28x 3 - 35x 4.

Rozwiązanie.

1. Znajdujemy wspólny dzielnik dla elementów 28x3 i 35x4. Dla 28 i 35 będzie to 7; dla x 3 i x 4 - x 3. Innymi słowy, nasz wspólny czynnik to 7x3.

2. Każdy z elementów reprezentujemy jako iloczyn czynników, z których jeden:
7x 3: 28x 3 - 35x 4 \u003d 7x 3 ∙ 4 - 7x 3 ∙ 5x.

3. Wzięcie w nawias wspólnego czynnika
7x 3: 28x 3 - 35x 4 \u003d 7x 3 ∙ 4 - 7x 3 ∙ 5x \u003d 7x 3 (4 - 5x).

Metoda 2. Korzystanie ze skróconych wzorów mnożenia. „Opanowaniem” opanowania tej metody jest dostrzeżenie w wyrażeniu jednej z formuł na skrócone mnożenie.

Rozłóżmy na czynniki wielomian x 6 - 1.

Rozwiązanie.

1. Do tego wyrażenia możemy zastosować wzór różnicy kwadratów. Aby to zrobić, reprezentujemy x 6 jako (x 3) 2, a 1 jako 1 2, tj. 1. Wyrażenie przybierze postać:
(x 3) 2 - 1 \u003d (x 3 + 1) ∙ (x 3 - 1).

2. Do otrzymanego wyrażenia możemy zastosować wzór na sumę i różnicę sześcianów:
(x 3 + 1) ∙ (x 3 - 1) \u003d (x + 1) ∙ (x 2 - x + 1) ∙ (x - 1) ∙ (x 2 + x + 1).

Więc,
x 6 - 1 = (x 3) 2 - 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 - 1) = (x + 1) ∙ (x 2 - x + 1) ∙ (x - 1) ∙ (x 2 + x + 1).

Metoda 3. Grupowanie. Metoda grupowania polega na łączeniu składowych wielomianu w taki sposób, aby można było na nich łatwo wykonać operacje (dodawanie, odejmowanie, odejmowanie wspólnego czynnika).

Faktoryzujemy wielomian x 3 - 3x 2 + 5x - 15.

Rozwiązanie.

1. Pogrupuj elementy w ten sposób: 1. z 2., a 3. z 4.
(x 3 - 3x 2) + (5x - 15).

2. W otrzymanym wyrażeniu bierzemy wspólne czynniki z nawiasów: x 2 w pierwszym przypadku i 5 w drugim.
(x 3 - 3x 2) + (5x - 15) \u003d x 2 (x - 3) + 5 (x - 3).

3. Wyciągamy wspólny dzielnik x - 3 i otrzymujemy:
x 2 (x - 3) + 5 (x - 3) \u003d (x - 3) (x 2 + 5).

Więc,
x 3 - 3x 2 + 5x - 15 \u003d (x 3 - 3x 2) + (5x - 15) \u003d x 2 (x - 3) + 5 (x - 3) \u003d (x - 3) ∙ (x 2 + 5 ).

Naprawmy materiał.

Rozkład wielomianu na czynniki a 2 - 7ab + 12b 2 .

Rozwiązanie.

1. Reprezentujemy jednomian 7ab jako sumę 3ab + 4ab. Wyrażenie przyjmie postać:
a 2 - (3ab + 4ab) + 12b 2 .

Otwórzmy nawiasy i zdobądźmy:
a 2 - 3ab - 4ab + 12b 2 .

2. Pogrupuj składniki wielomianu w ten sposób: 1. z 2. i 3. z 4.. Otrzymujemy:
(a 2 - 3ab) - (4ab - 12b 2).

3. Wyjmijmy wspólne czynniki:
(a 2 - 3ab) - (4ab - 12b 2) \u003d a (a - 3b) - 4b (a - 3b).

4. Wyjmijmy wspólny czynnik (a - 3b):
a(a – 3b) – 4b(a – 3b) = (a – 3b) (a – 4b).

Więc,
a 2 - 7ab + 12b 2 =
= a 2 - (3ab + 4ab) + 12b 2 =
= a 2 - 3ab - 4ab + 12b 2 =
= (a 2 - 3ab) - (4ab - 12b 2) =
= a(a - 3b) - 4b(a - 3b) =
= (a – 3 b) ∙ (a – 4b).

strony, z pełnym lub częściowym skopiowaniem materiału, wymagany jest link do źródła.

Wielomian to wyrażenie składające się z sumy jednomianów. Te ostatnie są iloczynem stałej (liczby) i pierwiastka (lub pierwiastków) wyrażenia do potęgi k. W tym przypadku mówimy o wielomianu stopnia k. Rozkład wielomianu obejmuje przekształcenie wyrażenia, w którym terminy są zastępowane czynnikami. Zastanówmy się nad głównymi sposobami przeprowadzenia tego rodzaju transformacji.

Metoda rozszerzania wielomianu przez wyodrębnienie wspólnego czynnika

Ta metoda opiera się na prawach prawa dystrybucji. Tak więc mn + mk = m * (n + k).

Przykład: rozwiń 7y 2 + 2uy i 2m 3 – 12m 2 + 4lm.

7 lat 2 + 2 uy = y * (7 lat + 2 u),

2m 3 - 12m 2 + 4lm = 2m(m 2 - 6m + 2l).

Jednak nie zawsze można znaleźć czynnik, który jest koniecznie obecny w każdym wielomianu, więc ta metoda nie jest uniwersalna.

Wielomianowa metoda rozwinięcia oparta na skróconych wzorach mnożenia

Skrócone wzory mnożenia obowiązują dla wielomianu dowolnego stopnia. W ogólny widok wyrażenie konwersji wygląda tak:

uk - lk = (u - l)(u k-1 + u k-2 * l + u k-3 *l 2 + ... u * l k-2 + l k-1), gdzie k jest a przedstawiciel liczb naturalnych.

Najczęściej w praktyce stosuje się wzory na wielomiany drugiego i trzeciego rzędu:

u 2 - l 2 \u003d (u - l) (u + l),

u 3 - l 3 \u003d (u - l) (u 2 + ul + l 2),

u 3 + l 3 = (u + l) (u 2 - ul + l 2).

Przykład: rozwiń 25p 2 - 144b 2 i 64m 3 - 8l 3 .

25p 2 - 144b 2 \u003d (5p - 12b) (5p + 12b),

64m 3 - 8l 3 = (4m) 3 - (2l) 3 = (4m - 2l)((4m) 2 + 4m * 2l + (2l) 2) = (4m - 2l)(16m 2 + 8ml + 4l 2 ).

Metoda dekompozycji wielomianowej - grupowanie wyrazów wyrażenia

Ta metoda w pewien sposób przypomina technikę wyprowadzania wspólnego czynnika, ale ma pewne różnice. W szczególności przed wyodrębnieniem czynnika wspólnego należy pogrupować jednomiany. Grupowanie opiera się na zasadach prawa skojarzeniowego i przemiennego.

Wszystkie jednomiany przedstawione w wyrażeniu są podzielone na grupy, w każdej z nich Ogólne znaczenie tak, że drugi czynnik będzie taki sam we wszystkich grupach. Ogólnie taką metodę dekompozycji można przedstawić jako wyrażenie:

pl + ks + kl + ps = (pl + ps) + (ks + kl) ⇒ pl + ks + kl + ps = p(l + s) + k(l + s),

pl + ks + kl + ps = (p + k)(l + s).

Przykład: rozwiń 14mn + 16ln - 49m - 56l.

14mn + 16ln - 49m - 56l = (14mn - 49m) + (16ln - 56l) = 7m * (2n - 7) + 8l * (2n - 7) = (7m + 8l)(2n - 7).

Metoda rozkładu wielomianowego — tworzenie pełnego kwadratu

Metoda ta jest jedną z najbardziej wydajnych w procesie rozkładu wielomianowego. Na początkowym etapie konieczne jest określenie jednomianów, które można „złożyć” w kwadrat różnicy lub sumy. W tym celu używana jest jedna z następujących relacji:

(p - b) 2 \u003d p 2 - 2pb + b 2,

Przykład: rozwiń wyrażenie u 4 + 4u 2 – 1.

Wśród jednomianów wyróżniamy terminy, które tworzą pełny kwadrat: 4 + 4u 2 - 1 = 4 + 2 * 2u 2 + 4 - 4 - 1 =

\u003d (u 4 + 2 * 2u 2 + 4) - 4 - 1 \u003d (u 4 + 2 * 2u 2 + 4) - 5.

Uzupełnij transformację stosując zasady skróconego mnożenia: (u 2 + 2) 2 - 5 = (u 2 + 2 - √5) (u 2 + 2 + √5).

To. u 4 + 4u 2 - 1 = (u 2 + 2 - √5)(u 2 + 2 + √5).

W ogólnym przypadku zadanie to wiąże się z kreatywnym podejściem, ponieważ nie ma uniwersalnej metody jego rozwiązania. Spróbujmy jednak podać kilka wskazówek.

W zdecydowanej większości przypadków rozkład wielomianu na czynniki opiera się na konsekwencji twierdzenia Bezouta, to znaczy, że pierwiastek jest znaleziony lub wybrany, a stopień wielomianu jest zmniejszony o jeden przez dzielenie przez. Powstały wielomian jest przeszukiwany w poszukiwaniu pierwiastka i proces jest powtarzany aż do całkowitego rozwinięcia.

Jeśli nie można znaleźć korzenia, stosuje się określone metody dekompozycji: od grupowania po wprowadzenie dodatkowych wzajemnie wykluczających się terminów.

Dalsza prezentacja opiera się na umiejętności rozwiązywania równań wyższych stopni ze współczynnikami całkowitymi.

Wzięcie w nawias wspólnego czynnika.

Zacznijmy od najprostszego przypadku, gdy wyraz wolny jest równy zero, czyli wielomian ma postać .

Oczywiście pierwiastek takiego wielomianu to , to znaczy wielomian można przedstawić jako .

Ta metoda to nic innego jak wyjęcie wspólnego czynnika z nawiasów.

Przykład.

Rozłóż wielomian trzeciego stopnia na czynniki.

Rozwiązanie.

Jest oczywiste, że jest pierwiastkiem wielomianu, czyli x można umieścić w nawiasach:

Znajdź pierwiastki trójmianu kwadratowego

W ten sposób,

Na górze strony

Faktoryzacja wielomianu o pierwiastkach wymiernych.

Najpierw rozważ sposób rozwinięcia wielomianu o współczynniki całkowite postaci , współczynnik w najwyższym stopniu jest równy jeden.

W tym przypadku, jeśli wielomian ma pierwiastki całkowite, to są one dzielnikami wyrazu wolnego.

Przykład.

Rozwiązanie.

Sprawdźmy, czy istnieją pierwiastki całkowite. Aby to zrobić, wypisujemy dzielniki liczby -18 : . Oznacza to, że jeśli wielomian ma pierwiastki całkowite, to są one wśród wypisanych liczb. Sprawdźmy kolejno te liczby według schematu Hornera. Jego wygoda polega również na tym, że w końcu otrzymamy również współczynniki rozszerzalności wielomianu:

Tj, x=2 I x=-3 są pierwiastkami oryginalnego wielomianu i mogą być reprezentowane jako iloczyn:

Pozostaje do rozłożenia trójmian kwadratowy.

Wyróżnik tego trójmianu jest ujemny, a więc nie ma prawdziwych korzeni.

Odpowiedź:

Komentarz:

zamiast schematu Hornera można by zastosować wybór pierwiastka, a następnie podział wielomianu przez wielomian.

Rozważmy teraz rozkład wielomianu o współczynnikach całkowitych postaci , a współczynnik w najwyższym stopniu nie jest równy jeden.

W takim przypadku wielomian może mieć ułamkowo racjonalne pierwiastki.

Przykład.

Rozkład wyrażenia na czynniki.

Rozwiązanie.

Zmieniając zmienną y=2x, przechodzimy do wielomianu o współczynniku równym jeden w najwyższym stopniu. Aby to zrobić, najpierw mnożymy wyrażenie przez 4 .

Jeśli wynikowa funkcja ma pierwiastki całkowite, to należą one do dzielników wyrazu wolnego. Zapiszmy je:

Oblicz sekwencyjnie wartości funkcji g(y) w tych punktach, aż do osiągnięcia zera.

Rozkład wielomianu na czynniki. Część 1

Faktoryzacja to uniwersalna technika, która pomaga rozwiązać złożone równania i nierówności. Pierwsza myśl, jaka powinna przyjść do głowy przy rozwiązywaniu równań i nierówności, w których zero jest po prawej stronie, to próba faktoryzacji lewej strony.

Wymieniamy główne sposoby na faktoryzację wielomianu:

wyjęcie wspólnego czynnika z nawiasu
stosowanie skróconych wzorów mnożenia
ze wzoru na faktoryzację trójmianu kwadratowego
metoda grupowania
dzielenie wielomianu przez dwumian
metoda współczynników nieokreślonych

W tym artykule skupimy się szczegółowo na pierwszych trzech metodach, reszta zostanie omówiona w kolejnych artykułach.

1. Wyjęcie wspólnego czynnika z nawiasu.

Aby wyjąć wspólny czynnik z nawiasu, musisz go najpierw znaleźć. Wspólny współczynnik mnożnika jest równy największemu wspólnemu dzielnikowi wszystkich współczynników.

Część listowa dzielnik wspólny jest równy iloczynowi wyrażeń składających się na każdy wyraz o najmniejszym wykładniku.

Schemat usuwania wspólnego czynnika wygląda tak:

Uwaga!
Liczba terminów w nawiasach jest równa liczbie terminów w oryginalnym wyrażeniu. Jeśli jeden z terminów pokrywa się ze wspólnym dzielnikiem, to po podzieleniu go przez czynnik wspólny otrzymujemy jeden.

Przykład 1

Rozkład wielomianu na czynniki:

Wyjmijmy wspólny czynnik z nawiasów. Aby to zrobić, najpierw go znajdujemy.

1. Znajdź największy wspólny dzielnik wszystkich współczynników wielomianu, tj. liczby 20, 35 i 15. Jest równy 5.

2. Ustalamy, że zmienna zawiera się we wszystkich wyrażeniach, a najmniejszym z jej wykładników jest 2. Zmienna jest zawarta we wszystkich wyrażeniach, a najmniejszym z jej wykładników jest 3.

Zmienna zawarta jest tylko w drugim członie, więc nie jest częścią czynnika wspólnego.

Więc wspólnym czynnikiem jest

3. Wyjmujemy czynnik za pomocą powyższego schematu:

Przykład 2 Rozwiązać równanie:

Rozwiązanie. Rozłóżmy na czynniki lewą stronę równania. Wyjmijmy czynnik z nawiasów:

Więc mamy równanie

Ustaw każdy współczynnik równy zero:

Otrzymujemy - pierwiastek pierwszego równania.

Korzenie:

Odpowiedź: -1, 2, 4

2. Faktoryzacja za pomocą skróconych wzorów mnożenia.

Jeśli liczba wyrazów w wielomianu, który zamierzamy rozłożyć na czynniki, jest mniejsza lub równa trzy, wówczas próbujemy zastosować skrócone wzory mnożenia.

1. Jeśli wielomianem jestróżnica dwóch terminów, wtedy staramy się aplikować wzór różnicy kwadratów:

lub wzór różnicy sześcianów:

Oto litery i oznaczają liczbę lub wyrażenie algebraiczne.

2. Jeśli wielomian jest sumą dwóch wyrazów, to być może można go rozłożyć na czynniki za pomocą wzory na sumę sześcianów:

3. Jeśli wielomian składa się z trzech wyrazów, to staramy się zastosować suma kwadratowa formuła:

lub wzór kwadratu różnicy:

Albo próbujemy rozkładać na czynniki przez wzór na faktoryzację trójmianu kwadratowego:

Oto i są pierwiastki równania kwadratowego

Przykład 3Faktoring wyrażenia:

Rozwiązanie. Mamy sumę dwóch terminów. Spróbujmy zastosować wzór na sumę sześcianów. Aby to zrobić, musisz najpierw przedstawić każdy termin jako sześcian jakiegoś wyrażenia, a następnie zastosować wzór na sumę sześcianów:

Przykład 4 Faktoring wyrażenia:

Rozwiązanie. Przed nami różnica kwadratów dwóch wyrażeń. Pierwsze wyrażenie: , drugie wyrażenie:

Zastosujmy wzór na różnicę kwadratów:

Otwórzmy nawiasy i podajmy podobne terminy, otrzymujemy:

Co zrobić, jeśli w trakcie rozwiązywania zadania z Jednolitego Egzaminu Państwowego lub na egzaminie wstępnym z matematyki otrzymałeś wielomian, którego nie da się rozliczyć standardowymi metodami, których nauczyłeś się w szkole? W tym artykule korepetytor z matematyki opowie o jednym skutecznym sposobie, którego studiowanie wykracza poza program nauczania, ale za pomocą którego rozłożenie wielomianu na czynniki nie będzie trudne. Przeczytaj ten artykuł do końca i obejrzyj załączony samouczek wideo. Zdobyta wiedza pomoże Ci na egzaminie.

Rozkładanie wielomianu na czynniki metodą dzielenia

W przypadku, gdy otrzymałeś wielomian większy niż drugi stopień i mogłeś odgadnąć wartość zmiennej, przy której ten wielomian staje się równy zero (na przykład ta wartość jest równa), wiedz! Ten wielomian można podzielić bez reszty przez .

Na przykład łatwo zauważyć, że wielomian czwartego stopnia znika w . Oznacza to, że można go podzielić przez bez reszty, uzyskując w ten sposób wielomian trzeciego stopnia (mniej niż jeden). Oznacza to, że umieść to w formie:

gdzie A, b, C I D- kilka liczb. Rozwińmy nawiasy:

Ponieważ współczynniki przy równe stopnie powinno być takie samo, otrzymujemy:

Więc dostaliśmy:

Pójść dalej. Wystarczy posortować kilka małych liczb całkowitych, aby zobaczyć, że wielomian trzeciego stopnia jest ponownie podzielny przez . Daje to wielomian drugiego stopnia (mniej niż jeden). Następnie przechodzimy do nowego rekordu:

gdzie mi, F I g- kilka liczb. Otwierając ponownie nawiasy, dochodzimy do następującego wyrażenia:

Ponownie z warunku równości współczynników przy tych samych potęgach otrzymujemy:

Następnie otrzymujemy:

Oznacza to, że oryginalny wielomian można rozłożyć na czynniki w następujący sposób:

Zasadniczo, w razie potrzeby, wykorzystując wzór różnicy kwadratów, wynik można również przedstawić w następującej postaci:

Tak proste i skuteczna metoda faktoryzacja wielomianów. Pamiętaj o tym, może się przydać na egzaminie lub olimpiadzie matematycznej. Sprawdź, czy nauczyłeś się korzystać z tej metody. Spróbuj sam rozwiązać następujący problem.

Rozkład na czynniki wielomianu:

Napisz swoje odpowiedzi w komentarzach.

Przygotował Sergey Valerievich