S średnia formuła. Średnie w statystykach
Załóżmy, że chcesz znaleźć średnią liczbę dni na wykonanie zadań przez różnych pracowników. A może chcesz obliczyć przedział czasu wynoszący 10 lat? Średnia temperatura pewnego dnia. Obliczanie średniej wartości szeregu liczb na kilka sposobów.
Średnia jest funkcją miary tendencji centralnej, w której znajduje się środek szeregu liczb w rozkładzie statystycznym. Trzy najczęstsze kryteria trendu centralnego to.
ŚredniaŚrednia arytmetyczna jest obliczana przez dodanie szeregu liczb, a następnie podzielenie liczby tych liczb. Na przykład średnia z 2, 3, 3, 5, 7 i 10 to 30 podzielone przez 6, 5;
MedianaŚrodkowa liczba w rzędzie liczb. Połowa liczb ma wartości większe niż Mediana, a połowa liczb ma wartości mniejsze niż Mediana. Na przykład mediana 2, 3, 3, 5, 7 i 10 wynosi 4.
Tryb Najczęstsza liczba w grupie liczb. Na przykład tryb 2, 3, 3, 5, 7 i 10 - 3.
Te trzy mierzy centralną tendencję symetrycznego rozkładu wielu liczb, to jeden i to samo. W asymetrycznym rozkładzie wielu liczb mogą one być różne.
Oblicz średnią z komórek znajdujących się w sposób ciągły w jednym rzędzie lub jednej kolumnie
Wykonaj poniższe kroki.
Obliczanie średniej z rozproszonych komórek
Aby wykonać to zadanie, użyj funkcji PRZECIĘTNY... Skopiuj poniższą tabelę na pusty arkusz.
Obliczanie średniej ważonej
SUMA PRODUKT oraz sumy... Przykład vOblicza średnią cenę jednostkową zapłaconą za trzy zakupy, gdzie każdy zakup dotyczy innej liczby jednostek w różnych cenach jednostkowych.
Skopiuj poniższą tabelę na pusty arkusz.
Obliczanie średniej liczb, z wyłączeniem wartości zerowych
Do wykonania tego zadania wykorzystywane są funkcje PRZECIĘTNY oraz Jeśli... Skopiuj poniższą tabelę i pamiętaj, że w tym przykładzie, aby ułatwić zrozumienie, skopiuj ją na pusty arkusz.
W obliczeniach średnia jest tracona.
Średnia oznaczający zbiór liczb jest równy sumie liczb S podzielonej przez liczbę tych liczb. Oznacza to, że okazuje się, że Średnia oznaczający równa się: 19/4 = 4,75.
Uwaga
Jeśli chcesz znaleźć średnią geometryczną tylko dla dwóch liczb, nie potrzebujesz kalkulatora inżynierskiego: wyodrębnij pierwiastek drugiego stopnia ( Pierwiastek kwadratowy) z dowolnej liczby przy użyciu najpopularniejszego kalkulatora.
W przeciwieństwie do średniej arytmetycznej, na średnią geometryczną nie mają tak silnego wpływu duże odchylenia i wahania pomiędzy poszczególnymi wartościami w badanym zestawie wskaźników.
Źródła:
- Kalkulator średniej geometrycznej online
- Średnia geometryczna
Średnia wartość jest jedną z cech zbioru liczb. Reprezentuje liczbę, która nie może znajdować się poza zakresem określonym przez największe i najmniejsze wartości w tym zestawie liczb. Średnia arytmetyka jest najczęściej używanym rodzajem średnich.
Instrukcje
Dodaj wszystkie liczby w zestawie i podziel przez liczbę wyrazów, aby otrzymać średnią arytmetyczną. W zależności od konkretnych warunków obliczeń czasami łatwiej jest podzielić każdą z liczb przez liczbę wartości w zestawie i zsumować wynik.
Użyj na przykład tej dołączonej do systemu Windows, jeśli nie możesz obliczyć średniej arytmetycznej w głowie. Możesz go otworzyć za pomocą okna dialogowego uruchamiania programu. Aby to zrobić, naciśnij „klawisze skrótu” WIN + R lub kliknij przycisk „Start” i wybierz polecenie „Uruchom” w menu głównym. Następnie wpisz calc w polu wprowadzania i naciśnij Enter lub kliknij przycisk OK. To samo można zrobić w menu głównym - otwórz je, przejdź do sekcji „Wszystkie programy” oraz w sekcji „Standard” i wybierz wiersz „Kalkulator”.
Wprowadź kolejno wszystkie liczby w zestawie, naciskając klawisz Plus po każdym z nich (z wyjątkiem ostatniej) lub klikając odpowiedni przycisk w interfejsie kalkulatora. Możesz także wprowadzać liczby zarówno z klawiatury, jak i klikając odpowiednie przyciski w interfejsie.
Naciśnij klawisz ukośnika lub kliknij to w interfejsie kalkulatora po wpisaniu ostatnia wartość ustawia i drukuje liczbę cyfr w sekwencji. Następnie naciśnij znak równości, a kalkulator obliczy i wyświetli średnią arytmetyczną.
W tym samym celu możesz użyć edytora arkuszy kalkulacyjnych. Microsoft Excel... W takim przypadku uruchom edytor i wprowadź wszystkie wartości sekwencji liczb w sąsiednich komórkach. Jeśli po wprowadzeniu każdej liczby naciśniesz klawisz Enter lub klawisz strzałki w dół lub w prawo, edytor sam przeniesie fokus wprowadzania do sąsiedniej komórki.
Kliknij komórkę obok ostatnio wprowadzonej liczby, jeśli nie satysfakcjonuje Cię samo wyświetlenie średniej arytmetycznej. Rozwiń menu rozwijane poleceniem grecką sigma (Σ) „Edytuj” na karcie „Strona główna”. Wybierz linię „ Średnia»A edytor wstawi wymaganą formułę do obliczenia średniej arytmetycznej w wybranej komórce. Naciśnij klawisz Enter, a wartość zostanie obliczona.
Średnia arytmetyczna jest jedną z miar trendu centralnego, która jest szeroko stosowana w matematyce i obliczeniach statystycznych. Znajdź średnią liczba arytmetyczna dla kilku wartości jest to bardzo proste, ale każde zadanie ma swoje własne niuanse, które po prostu trzeba znać, aby wykonać poprawne obliczenia.
Co to jest średnia arytmetyczna
Średnia arytmetyczna określa średnią wartość dla całej oryginalnej tablicy liczb. Innymi słowy, z pewnego zestawu liczb wybierana jest wartość wspólna dla wszystkich elementów, której matematyczne porównanie ze wszystkimi elementami jest w przybliżeniu równe. Średnia arytmetyczna jest wykorzystywana głównie do sporządzania sprawozdań finansowych i statystycznych lub do obliczania wyników podobnych eksperymentów.Jak znaleźć średnią arytmetyczną
Znalezienie średniej arytmetycznej dla tablicy liczb należy rozpocząć od określenia sumy algebraicznej tych wartości. Na przykład, jeśli tablica zawiera liczby 23, 43, 10, 74 i 34, to ich suma algebraiczna wyniesie 184. Podczas pisania średnia arytmetyczna jest oznaczana literą μ (mu) lub x (x z kreską). Następnie sumę algebraiczną należy podzielić przez liczbę liczb w tablicy. W tym przykładzie było pięć liczb, więc średnia arytmetyczna wyniesie 184/5 i wyniesie 36,8.Funkcje pracy z liczbami ujemnymi
Jeżeli tablica zawiera liczby ujemne, to średnia arytmetyczna jest znajdowana przy użyciu podobnego algorytmu. Różnica dotyczy tylko obliczeń w środowisku programistycznym lub jeśli problem zawiera: dodatkowe warunki... W takich przypadkach znalezienie średniej arytmetycznej z różne znaki sprowadza się do trzech kroków:1. Znalezienie całkowitej średniej arytmetycznej metodą standardową;
2. Wyznaczanie średniej arytmetycznej liczb ujemnych.
3. Obliczanie średniej arytmetycznej liczb dodatnich.
Odpowiedzi na każdą z czynności są pisane oddzielone przecinkami.
Ułamki naturalne i dziesiętne
Jeśli reprezentowana jest tablica liczb ułamki dziesiętne, rozwiązanie przeprowadza się metodą obliczania średniej arytmetycznej liczb całkowitych, ale pomniejszenia wyniku dokonuje się zgodnie z wymaganiami zadania dotyczącymi dokładności odpowiedzi.Podczas pracy z frakcje naturalne należy je sprowadzić do wspólnego mianownika, który jest mnożony przez liczbę liczb w tablicy. Licznik odpowiedzi będzie sumą podanych liczników pierwotnych elementów ułamkowych.
- Kalkulator inżynierski.
Instrukcje
Należy pamiętać, że ogólnie średnią geometryczną liczb można znaleźć, mnożąc te liczby i wydobywając z nich pierwiastek potęgi, który odpowiada liczbie liczb. Na przykład, jeśli chcesz znaleźć średnią geometryczną pięciu liczb, musisz wyodrębnić pierwiastek mocy z produktu.
Użyj podstawowej zasady, aby znaleźć średnią geometryczną dwóch liczb. Znajdź ich iloczyn, a następnie wyciągnij z niego pierwiastek kwadratowy, ponieważ liczby to dwa, co odpowiada potędze pierwiastka. Na przykład, aby znaleźć średnią geometryczną 16 i 4, znajdź ich iloczyn 16 4 = 64. Z otrzymanej liczby wyodrębnij pierwiastek kwadratowy z √64 = 8. Będzie to pożądana wartość. Zauważ, że średnia arytmetyczna tych dwóch liczb jest większa i równa 10. Jeśli pierwiastek nie jest całkowicie wyodrębniony, zaokrąglij wynik do żądanej kolejności.
Aby znaleźć średnią geometryczną z więcej niż dwóch liczb, użyj również podstawowej zasady. Aby to zrobić, znajdź iloczyn wszystkich liczb, dla których musisz znaleźć średnią geometryczną. Z otrzymanego produktu wyodrębnij pierwiastek mocy równej liczbie liczb. Na przykład, aby znaleźć średnią geometryczną liczb 2, 4 i 64, znajdź ich iloczyn. 2 4 64 = 512. Ponieważ musisz znaleźć wynik średniej geometrycznej trzech liczb, wyodrębnij pierwiastek trzeciego stopnia z produktu. Trudno to zrobić werbalnie, więc użyj kalkulatora inżynierskiego. Aby to zrobić, ma przycisk „x ^ y”. Wybierz numer 512, naciśnij przycisk "x ^ y", następnie wybierz numer 3 i naciśnij przycisk "1/x", aby znaleźć wartość 1/3, naciśnij przycisk "=". Otrzymujemy wynik podniesienia 512 do potęgi 1/3, co odpowiada pierwiastkowi trzeciej potęgi. Uzyskaj 512 ^ 1/3 = 8. Jest to średnia geometryczna z 2,4 i 64.
Korzystając z kalkulatora inżynierskiego, możesz znaleźć średnią geometryczną w inny sposób. Znajdź przycisk dziennika na klawiaturze. Następnie weź logarytm dla każdej z liczb, znajdź ich sumę i podziel ją przez liczbę liczb. Z otrzymanej liczby wyjmij antylogarytm. Będzie to średnia geometryczna liczb. Na przykład, aby znaleźć średnią geometryczną tych samych liczb 2, 4 i 64, wykonaj zestaw operacji na kalkulatorze. Wybierz numer 2, następnie naciśnij przycisk rejestru, naciśnij przycisk „+”, wybierz numer 4 i ponownie naciśnij rejestr i „+”, wybierz 64, naciśnij rejestr i „=”. Wynikiem będzie liczba, równa sumie logarytmy dziesiętne liczby 2, 4 i 64. Otrzymaną liczbę podziel przez 3, ponieważ jest to liczba liczb, według których poszukiwana jest średnia geometryczna. Z wyniku weź antylogarytm, przełączając przycisk sprawy i użyj tego samego klucza dziennika. Wynikiem będzie liczba 8, to jest pożądana średnia geometryczna.
W trakcie nauki matematyki uczniowie zapoznają się z pojęciem średniej arytmetycznej. Później w statystyce i niektórych innych naukach studenci stają przed obliczeniami innych: czym mogą być i czym różnią się od siebie?
znaczenie i różnice
Nie zawsze dokładne wskaźniki dają zrozumienie sytuacji. Aby ocenić tę lub inną sytuację, czasami konieczne jest przeanalizowanie duża ilość cyfry. A potem na ratunek przychodzą średnie. Umożliwiają całościową ocenę sytuacji.
Od czasów szkolnych wielu dorosłych pamięta istnienie średniej arytmetycznej. Obliczenie jest bardzo proste - suma ciągu n elementów jest podzielna przez n. Oznacza to, że jeśli chcesz obliczyć średnią arytmetyczną w sekwencji wartości 27, 22, 34 i 37, musisz rozwiązać wyrażenie (27 + 22 + 34 + 37) / 4, ponieważ 4 wartości są wykorzystywane w obliczeniach. W takim przypadku wymagana wartość będzie równa 30.
Często w ciągu kurs szkolny nauka i średnia geometryczna. Zapłata podana wartość opiera się na wyodrębnieniu n-tego pierwiastka z iloczynu n-wyrazów. Jeśli weźmiemy te same liczby: 27, 22, 34 i 37, wynik obliczeń wyniesie 29,4.
Średnia harmoniczna w Szkoła ogólnokształcąca zwykle nie jest przedmiotem studiów. Niemniej jednak jest używany dość często. Wartość ta jest odwrotnością średniej arytmetycznej i jest obliczana jako iloraz n - liczby wartości i sumy 1/a1+1/a2+...+1/an. Jeśli ponownie weźmiemy to samo do obliczeń, harmoniczna wyniesie 29,6.
Średnia ważona: cechy
Jednak wszystkie powyższe wartości mogą nie być wszędzie stosowane. Na przykład w statystyce, przy obliczaniu niektórych, ważną rolę odgrywa „waga” każdej liczby użytej w obliczeniach. Wyniki są bardziej orientacyjne i poprawne, ponieważ uwzględniają więcej informacji. Ta grupa wartości jest zbiorczo określana jako „średnia ważona”. Nie zdają w szkole, więc warto przyjrzeć się im bardziej szczegółowo.
Przede wszystkim warto powiedzieć, co oznacza „waga” tej lub innej wartości. Najłatwiej to wyjaśnić na konkretny przykład... Temperatura ciała każdego pacjenta jest mierzona w szpitalu dwa razy dziennie. Na 100 pacjentów na różnych oddziałach szpitala 44 będzie miało normalną temperaturę - 36,6 stopnia. Kolejne 30 będzie miało zwiększoną wartość - 37,2, 14 - 38, 7 - 38,5, 3 - 39, a pozostałe dwa - 40. A jeśli weźmiemy średnią arytmetyczną, to ta wartość ogólnie dla szpitala będzie większa niż 38 stopnie! Ale u prawie połowy pacjentów całkowicie I tutaj bardziej poprawne będzie użycie średniej ważonej wartości, a „wagą” każdej wartości będzie liczba osób. W takim przypadku wynik obliczeń wyniesie 37,25 stopnia. Różnica jest oczywista.
W przypadku wyliczenia średniej ważonej za „wagę” można przyjąć liczbę wysyłek, liczbę osób pracujących w danym dniu, ogólnie wszystko, co da się zmierzyć i wpłynąć na wynik końcowy.
Odmiany
Średnia ważona odpowiada średniej arytmetycznej omówionej na początku artykułu. Jednak pierwsza wartość, jak już wspomniano, uwzględnia również wagę każdej liczby użytej w obliczeniach. Ponadto istnieją również geometryczne i harmoniczne średnie ważone.
W serii liczb zastosowano jeszcze jedną ciekawą odmianę. Jest to ważona średnia ruchoma. To na jego podstawie wyliczane są trendy. Oprócz samych wartości i ich wag stosuje się tam również okresowość. A przy obliczaniu średniej wartości w pewnym momencie brane są pod uwagę również wartości dla poprzednich przedziałów czasowych.
Obliczenie wszystkich tych wartości nie jest takie trudne, ale w praktyce zwykle używa się tylko zwykłej średniej ważonej.
Metody obliczania
W dobie masowej komputeryzacji nie ma potrzeby ręcznego obliczania średniej ważonej. Przydatna będzie jednak znajomość wzoru obliczeniowego, aby móc sprawdzić iw razie potrzeby poprawić uzyskane wyniki.
Najłatwiejszym sposobem rozważenia obliczeń jest konkretny przykład.
Konieczne jest ustalenie, jaka jest średnia płaca w tym przedsiębiorstwie, biorąc pod uwagę liczbę pracowników otrzymujących takie lub inne zarobki.
Tak więc średnią ważoną oblicza się według następującego wzoru:
x = (a 1 * w 1 + a 2 * w 2 + ... + a n * w n) / (w 1 + w 2 + ... + w n)
Na przykład obliczenia będą wyglądać tak:
x = (32 * 20 + 33 * 35 + 34 * 14 + 40 * 6) / (20 + 35 + 14 + 6) = (640 + 1155 + 476 + 240) / 75 = 33,48
Oczywiście ręczne obliczenie średniej ważonej nie sprawia szczególnych trudności. Formuła do obliczenia tej wartości w jednej z najpopularniejszych aplikacji z formułami - Excel - wygląda jak funkcja SUMA (seria liczb; szereg wag) / SUMA (seria wag).
Najważniejszą właściwością średniej jest to, że odzwierciedla ona ogólną, która jest nieodłączna we wszystkich jednostkach badanej populacji. Wartości cechy poszczególnych jednostek populacji zmieniają się pod wpływem wielu czynników, wśród których mogą występować zarówno podstawowe, jak i losowe. Istota średniej polega na tym, że wzajemnie kompensuje ona odchylenia wartości atrybutu wynikające z działania czynników losowych i kumuluje (uwzględnia) zmiany spowodowane działaniem czynnika główne czynniki. Pozwala to średniej odzwierciedlać typowy poziom cechy i abstrahować od indywidualne cechy nieodłączne w poszczególnych jednostkach.
Aby średnia rzeczywiście była typowa, musi być obliczana w oparciu o pewne zasady.
Podstawowe zasady posługiwania się średnimi.
1. Średnią należy wyznaczyć dla populacji składających się z jednostek jakościowo jednorodnych.
2. Średnia powinna być obliczona dla populacji składającej się z wystarczającej duża liczba jednostki.
3. Średnią należy obliczyć dla populacji w warunkach stacjonarnych (kiedy czynniki wpływające nie zmieniają się lub nie zmieniają się znacząco).
4. Średnią należy obliczyć biorąc pod uwagę treść ekonomiczna badany wskaźnik.
Obliczenie większości szczegółowych statystyk opiera się na wykorzystaniu:
· Agregat średni;
· Moc średnia (harmoniczna, geometryczna, arytmetyczna, kwadratowa, sześcienna);
· Średnia chronologiczna (patrz rozdział).
Wszystkie średnie, poza średnią zagregowaną, można obliczyć w dwóch wersjach - jako ważona lub nieważona.
Średni agregat. Stosowana formuła:
gdzie w ja= x ja* f ja;
x ja- i-ta opcja uśredniona cecha;
f ja, - waga i- pierwsza opcja.
Prawo mocy średniej. V ogólna perspektywa wzór do obliczeń:
gdzie stopień? k Jest rodzajem średniej z prawa potęgowego.
Wartości średnie obliczone na podstawie średnich potęgowych dla tych samych danych wyjściowych nie są takie same. Wraz ze wzrostem wykładnika k wzrasta również odpowiednia wartość średnia:
Średnia chronologiczna. Przez chwilę szeregi czasowe z w równych odstępach między datami, obliczane według wzoru:
,
gdzie x 1 oraz xn wartość wskaźnika w dniu rozpoczęcia i zakończenia.
Wzory do obliczania średnich mocy
Przykład. Według tabeli. 2.1 wymagane jest obliczenie przeciętnego wynagrodzenia ogółem dla trzech przedsiębiorstw.
Tabela 2.1
Płace przedsiębiorstw JSC
|
Spółka |
Liczba przemysłowych produkcjapersonel (PPP), ludzie |
Fundusz miesięczny wynagrodzenie, pocierać. |
Przeciętny płaca, pocierać. |
|
564840 |
2092 |
||
|
332750 |
2750 |
||
|
517540 |
2260 |
||
|
Całkowity |
1415130 |
Konkretna formuła obliczeniowa zależy od tego, jakie dane w tabeli. 7 są oryginalne. W związku z tym możliwe są następujące opcje: dane w kolumnach 1 (liczba PPP) i 2 (miesięczna lista płac); lub - 1 (liczba PPP) i 3 (średnie wynagrodzenie); lub 2 (miesięczne wynagrodzenie) i 3 (przeciętne wynagrodzenie).
Jeśli dostępne są tylko dane z kolumn 1 i 2... Wyniki tych wykresów zawierają niezbędne wartości do obliczenia pożądanej średniej. Stosowana jest średnia formuła agregatu:
Jeśli dostępne są tylko dane z kolumn 1 i 3, to mianownik pierwotnego stosunku jest znany, ale jego licznik nie jest znany. Jednak listę płac można uzyskać, mnożąc przeciętne wynagrodzenie przez liczbę PPP. Dlatego ogólną średnią można obliczyć za pomocą wzoru ważona średnia arytmetyczna:
Należy pamiętać, że waga ( f ja) w niektórych przypadkach może być iloczynem dwóch lub nawet trzech znaczeń.
Ponadto w praktyce statystycznej średnia arytmetyczne nieważone:
gdzie n to wielkość populacji.
Ta średnia jest używana, gdy wagi ( f ja) nieobecne (każdy wariant cechy występuje tylko raz) lub równe sobie.
Jeśli dostępne są tylko dane w kolumnach 2 i 3., czyli licznik pierwotnego stosunku jest znany, ale jego mianownik nie jest znany. Liczbę PPP dla każdego przedsiębiorstwa można uzyskać dzieląc listę płac przez średnie wynagrodzenie. Następnie oblicza się przeciętne wynagrodzenie dla trzech przedsiębiorstw jako całości według wzoru średnia ważona harmoniczna:
Jeśli wagi są równe ( f ja) średni wskaźnik można obliczyć za pomocą nieważona średnia harmoniczna:
W naszym przykładzie użyliśmy różne kształtyśrednie, ale otrzymałem tę samą odpowiedź. Wynika to z faktu, że dla określonych danych każdorazowo realizowano ten sam początkowy średni wskaźnik.
Średnie można obliczyć za pomocą serii zmienności dyskretnych i interwałowych. W takim przypadku obliczenia przeprowadza się zgodnie z arytmetyczną średnią ważoną. W przypadku szeregu dyskretnego wzór ten jest używany w taki sam sposób, jak w powyższym przykładzie. W szeregu interwałowym do obliczeń wyznaczane są punkty środkowe interwałów.
Przykład. Według tabeli. 2.2 określimy wartość średniego miesięcznego dochodu pieniężnego na mieszkańca w regionie warunkowym.
Tabela 2.2
Dane początkowe (szereg zmian)
| Średni dochód pieniężny na mieszkańca miesięcznie, x, ruble | Populacja,% całości / |
| Do 400 | 30,2 |
| 400 — 600 | 24,4 |
| 600 — 800 | 16,7 |
| 800 — 1000 | 10,5 |
| 1000-1200 | 6,5 |
| 1200 — 1600 | 6,7 |
| 1600 — 2000 | 2,7 |
| 2000 i więcej | 2,3 |
| Całkowity | 100 |
Wartości średnie odnoszą się do uogólniających wskaźników statystycznych, które stanowią sumaryczną (końcową) charakterystykę masowych zjawisk społecznych, ponieważ opierają się na duża liczba poszczególne wartości atrybutu zmiennej. Aby poznać istotę średni rozmiar należy wziąć pod uwagę cechy kształtowania się wartości znaków tych zjawisk, zgodnie z którymi obliczana jest wartość średnia.
Wiadomo, że jednostki każdego zjawiska masowego mają wiele cech. Niezależnie od tego, który z tych znaków przyjmiemy, jego wartości dla poszczególnych jednostek będą różne, zmieniają się lub, jak mówią statystyki, różnią się w zależności od jednostki. Na przykład wynagrodzenie pracownika zależy od jego kwalifikacji, charakteru pracy, doświadczenia zawodowego i szeregu innych czynników, dlatego waha się w bardzo szerokich granicach. Skumulowany wpływ wszystkich czynników determinuje wysokość zarobków każdego pracownika, niemniej jednak możemy mówić o przeciętnym miesięcznym wynagrodzeniu pracowników. różne branże gospodarka. Tutaj operujemy typową, charakterystyczną wartością atrybutu zmiennego, odniesionego do jednostki dużej populacji.
Odzwierciedla to średnia ogólny, co jest typowe dla wszystkich jednostek badanej populacji. Równocześnie równoważy wpływ wszystkich czynników działających na wartość charakterystyki poszczególnych jednostek agregatu, jakby je wzajemnie wygasając. Poziom (lub rozmiar) dowolnego zjawiska społecznego jest określony przez działanie dwóch grup czynników. Niektóre z nich mają charakter ogólny i główny, stale działający, ściśle związany z naturą badanego zjawiska lub procesu i tworzą to typowy dla wszystkich jednostek badanej populacji, co znajduje odzwierciedlenie w średniej. Inni są indywidualny, ich działanie jest mniej wyraźne i ma charakter epizodyczny, przypadkowy. Działają w przeciwnym kierunku, określają różnice między cechami ilościowymi poszczególnych jednostek agregatu, dążąc do zmiany stałej wartości badanych cech. Efekt poszczególnych znaków jest średnio wygaszany. W zagregowanym wpływie czynników typowych i jednostkowych, który jest zrównoważony i wzajemnie wygaszony w cechach uogólniających, przejawia się on w postaci ogólnej znanej z statystyka matematyczna fundamentalny prawo duże liczby.
Łącznie poszczególne wartości cech łączą się w masa całkowita i wydają się rozpuszczać. Stąd i Średnia wartość działa jako „bezosobowy”, który może odbiegać od indywidualnych wartości znaków, nie pokrywając się ilościowo z żadnym z nich. Wartość średnia odzwierciedla ogólną, charakterystyczną i typową dla całego zbioru ze względu na wzajemne znoszenie w nim przypadkowych, nietypowych różnic między cechami poszczególnych jego jednostek, gdyż o jego wartości decyduje niejako sumaryczna wypadkowa wszystkich powoduje.
Aby jednak średnia odzwierciedlała najbardziej typową wartość cechy, należy ją wyznaczać nie dla jakichkolwiek populacji, a jedynie dla populacji składających się z jednostek jakościowo jednorodnych. Wymóg ten jest głównym warunkiem naukowo uzasadnionego stosowania średnich i zakłada ścisłe powiązanie metody średnich z metodą grupowań w analizie zjawisk społeczno-gospodarczych. W konsekwencji wartość średnia jest wskaźnikiem uogólniającym charakteryzującym typowy poziom charakterystyki zmiennej na jednostkę jednorodnej populacji w określonych warunkach miejsca i czasu.
Definiując zatem istotę wartości średnich należy podkreślić, że prawidłowe obliczenie dowolnej średniej implikuje spełnienie następujących wymagań:
- jednorodność jakościowa populacji, dla której obliczana jest wartość średnia. Oznacza to, że obliczanie wartości średnich powinno opierać się na metodzie grupowania, która zapewnia identyfikację zjawisk jednorodnych tego samego typu;
- eliminacja wpływu na obliczanie średniej przypadkowych, czysto indywidualnych przyczyn i czynników. Osiąga się to w przypadku, gdy obliczenie średniej opiera się na wystarczająco masywnym materiale, w którym objawia się działanie prawa dużych liczb, a wszystkie wypadki są wzajemnie znoszone;
- przy obliczaniu średniej ważne jest ustalenie celu jej obliczania oraz tzw definiowanie show-tel(własność), do której powinna być kierowana.
Wskaźnik definiujący może pełnić rolę sumy wartości uśrednionego atrybutu, sumy jego wartości odwrotnych, iloczynu jego wartości itp. Zależność między wskaźnikiem definiującym a wartością średnią wyraża się następująco: jeśli wszystkie wartości tego przypadku nie zmienią definiującego wskaźnika. Na podstawie tego związku między wyznacznikiem a wartością średnią konstruuje się wstępny wskaźnik ilościowy do bezpośredniego obliczenia wartości średniej. Zdolność średnich do zachowania właściwości populacji statystycznych nazywa się definiowanie właściwości.
Średnia wartość liczona jako całość dla populacji nazywa się Średnia ogólna; wartości średnie obliczone dla każdej grupy - średnie grupowe.Średnia ogólna odzwierciedla ogólne cechy badanego zjawiska, średnia grupowa daje charakterystykę zjawiska, które rozwija się w określonych warunkach danej grupy.
Metody obliczeniowe mogą być różne, dlatego w statystyce rozróżnia się kilka rodzajów średnich, z których główne to średnia arytmetyczna, średnia harmoniczna i średnia geometryczna.
V analiza ekonomiczna posługiwanie się wartościami średnimi jest głównym narzędziem oceny wyników postępu naukowo-technicznego, wydarzeń społecznych oraz poszukiwania rezerw na rozwój gospodarczy. Jednocześnie należy pamiętać, że nadmierny entuzjazm dla wskaźników przeciętnych może prowadzić do nieobiektywnych wniosków przy prowadzeniu analiz ekonomicznych i statystycznych. Wynika to z faktu, że wartości średnie, będące wskaźnikami uogólniającymi, wygasają, pomijają te różnice w cechach ilościowych poszczególnych jednostek populacji, które faktycznie istnieją i mogą być przedmiotem niezależnego zainteresowania.
Rodzaje średnich
W statystykach stosuje się różne rodzaje średnich, które dzielą się na dwie duże klasy:
- średnie mocy (średnia harmoniczna, średnia geometryczna, średnia arytmetyczna, średnia kwadratowa, średnia sześcienna);
- średnie strukturalne (moda, mediana).
Liczyć średnie mocy należy wykorzystać wszystkie dostępne wartości charakterystyczne. Moda oraz mediana są określane tylko przez strukturę rozkładu, dlatego nazywane są średnimi strukturalnymi, pozycyjnymi. Mediana i moda są często używane jako średnia charakterystyka w tych populacjach, w których obliczenie średniej mocy jest niemożliwe lub niepraktyczne.
Najpopularniejszym rodzajem średniej jest średnia arytmetyczna. Pod Średnia arytmetyczna znaczenie cechy jest rozumiane, że każda jednostka populacji miałaby, gdyby suma wszystkich wartości cechy była równomiernie rozłożona między wszystkie jednostki populacji. Obliczenie tej wartości sprowadza się do zsumowania wszystkich wartości atrybutu zmiennej i podzielenia otrzymanej kwoty przez całkowity jednostki populacji. Np. pięciu pracowników realizowało zamówienie na produkcję części, podczas gdy pierwszy wykonał 5 części, drugi - 7, trzeci - 4, czwarty - 10, piąty - 12. Ponieważ w danych początkowych wartość każda opcja została napotkana tylko raz, do określenia przeciętnego pracownika należy zastosować prosty wzór na średnią arytmetyczną:
czyli w naszym przykładzie średnia produkcja jednego pracownika jest równa
Wraz z prostą średnią arytmetyczną studium ważona średnia arytmetyczna. Na przykład obliczmy średni wiek uczniów w grupie 20 osób, których wiek waha się od 18 do 22 lat, gdzie xi- warianty uśrednionej cechy, fi- częstotliwość, która pokazuje ile razy występuje ja-th wartość zagregowana (tabela 5.1).
Tabela 5.1
Średni wiek uczniów
Stosując wzór na arytmetyczną średnią ważoną otrzymujemy:
Aby wybrać średnią ważoną arytmetyczną, jest pewna zasada: jeśli istnieje szereg danych dla dwóch wskaźników, z których dla jednego konieczne jest obliczenie
wartość średnia, a jednocześnie wartości liczbowe mianownika jego wzoru logicznego są znane, a wartości licznika są nieznane, ale można je znaleźć jako iloczyn tych wskaźników, to wartość średnia należy obliczyć według wzoru na średnią ważoną arytmetyczną.
W niektórych przypadkach charakter początkowych danych statystycznych jest taki, że obliczenie średniej arytmetycznej traci sens, a jedynym wskaźnikiem uogólniającym może być tylko inny rodzaj średniej - średnia harmoniczna. Obecnie właściwości obliczeniowe średniej arytmetycznej straciły na znaczeniu w obliczaniu uogólniających wskaźników statystycznych w związku z powszechnym wprowadzaniem technologii obliczeń elektronicznych. Duża Praktyczne znaczenie uzyskał średnią wartość harmoniczną, która może być również prosta i ważona. Jeżeli znane są wartości liczbowe licznika formuły logicznej, a wartości mianownika są nieznane, ale można je znaleźć jako iloraz dzielenia jednego wskaźnika przez drugi, to wartość średnią oblicza się za pomocą harmonicznej formuła średniej ważonej.
Np. niech będzie wiadomo, że auto przejechało pierwsze 210 km z prędkością 70 km/h, a pozostałe 150 km z prędkością 75 km/h. Za pomocą wzoru na średnią arytmetyczną nie da się wyznaczyć średniej prędkości samochodu na całej trasie 360 km. Ponieważ opcje to prędkości w poszczególnych sekcjach xj= 70 km/h i X2= 75 km/h, a wagi (fi) są odpowiednimi odcinkami ścieżki, to iloczyny opcji przez wagi nie będą miały znaczenia fizycznego ani ekonomicznego. W tym przypadku iloraz z podzielenia odcinków ścieżki przez odpowiadające im prędkości (opcje xi), czyli czas spędzony na przejeździe poszczególnych odcinków ścieżki (fi / xi). Jeżeli segmenty ścieżki są oznaczone fi, to cała ścieżka jest wyrażana jako Σfi, a czas spędzony na całej ścieżce jest wyrażany jako Σfi / xi , Następnie średnią prędkość można znaleźć jako iloraz podzielenia całej ścieżki przez całkowity wymagany czas:
W naszym przykładzie otrzymujemy:
Jeżeli przy użyciu średnich wag harmonicznych wszystkich opcji (f) są równe, to zamiast ważonej można użyć prosta (nieważona) średnia harmoniczna:
gdzie xi to indywidualne opcje; n- liczba wariantów uśrednionej cechy. W przykładzie z prędkością prosta średnia harmoniczna mogłaby być zastosowana, gdyby odcinki drogi przebyte z różnymi prędkościami były równe.
Każda wartość średnia powinna być liczona tak, aby po zastąpieniu każdego wariantu wskaźnika uśrednionego wartość jakiegoś końcowego wskaźnika uogólniającego, który jest powiązany ze wskaźnikiem uśrednionym, nie uległa zmianie. Tak więc przy zastępowaniu rzeczywistych prędkości na poszczególnych odcinkach ścieżki ich wartością średnią (prędkość średnią) całkowita odległość nie powinna ulec zmianie.
Forma (wzór) wartości średniej jest zdeterminowana charakterem (mechanizmem) relacji tego wskaźnika końcowego ze średnią, stąd wskaźnik końcowy, którego wartość nie powinna ulec zmianie przy zastępowaniu opcji ich wartością średnią, jest nazywa definiujący wskaźnik. Aby wyprowadzić wzór na średnią, musisz ułożyć i rozwiązać równanie, korzystając z relacji uśrednionego wskaźnika z wyznaczającym. To równanie jest konstruowane przez zastąpienie wariantów uśrednionego atrybutu (wskaźnika) ich średnią wartością.
Oprócz średniej arytmetycznej i średniej harmonicznej w statystyce stosuje się również inne typy (postacie) średniej. Wszystkie są szczególnymi przypadkami. średnia z prawa potęgowego. Jeśli obliczymy wszystkie rodzaje średnich potęgowych dla tych samych danych, to wartości
okażą się takie same, tutaj obowiązuje zasada majo-rangśredni. Wraz ze wzrostem wykładnika średnich wzrasta również sama wartość średnia. Formuły obliczeniowe najczęściej wykorzystywane w badaniach praktycznych różne rodzajeśrednie z prawa potęgowego przedstawiono w tabeli. 5.2.
Tabela 5.2
Stosowana jest średnia geometryczna, jeśli jest dostępna. n czynniki wzrostu, natomiast indywidualne wartości cechy to z reguły wartości względne dynamika, zbudowana w postaci wielkości łańcuchowych, w relacji do poprzedniego poziomu każdego poziomu w szeregu dynamiki. Średnia charakteryzuje więc średnie tempo wzrostu. Średnia geometryczna prosta obliczone według wzoru
Formuła geometryczna średnia ważona To ma następny widok:
Podane formuły są identyczne, ale jedna jest stosowana przy bieżących stopach lub tempach wzrostu, a druga - przy bezwzględnych wartościach poziomów szeregów.
Średnia kwadratowa używane przy obliczaniu z wartościami funkcje kwadratowe, służy do pomiaru stopnia zmienności poszczególnych wartości cechy wokół średniej arytmetycznej w szeregu rozkładów i jest obliczany ze wzoru
Średnia ważona kwadratowa obliczone przy użyciu innego wzoru:
Średnia sześcienna używane przy obliczaniu z wartościami funkcje sześcienne i jest obliczany według wzoru
średnia ważona sześcienna:
Wszystkie omówione powyżej średnie można przedstawić w postaci ogólnego wzoru:
gdzie jest średnia wartość; - wartość indywidualna; n- liczba jednostek badanej populacji; k- wykładnik określający rodzaj średniej.
W przypadku korzystania z tych samych danych początkowych, tym więcej k w ogólnym wzorze na średnią potęgową, tym większa jest wartość średnia. Wynika z tego, że istnieje regularna zależność między wartościami średnich mocy:
Opisane powyżej wartości średnie dają uogólnioną ideę badanego agregatu iz tego punktu widzenia ich wartość teoretyczna, aplikacyjna i poznawcza jest niepodważalna. Zdarza się jednak, że wartość średniej nie pokrywa się z żadną z rzeczywistych istniejące opcje w związku z tym, oprócz uwzględnianych średnich w analizie statystycznej, wskazane jest wykorzystanie wartości poszczególnych opcji, które zajmują ściśle określoną pozycję w uporządkowanej (rankingowej) serii wartości cechy. Wśród tych wartości najczęstsze to: strukturalny, lub opisowy, średni- tryb (Mo) i mediana (Me).
Moda- wartość cechy, która najczęściej występuje w danej populacji. W odniesieniu do szeregu wariacyjnego mod jest najczęściej występującą wartością szeregu rankingowego, czyli wariantem o największej częstości. Moda może posłużyć do określenia, które sklepy są częściej odwiedzane i jaka jest najczęstsza cena produktu. Pokazuje wielkość cechy charakterystycznej dla znacznej części populacji i jest zdeterminowana wzorem
gdzie x0 jest dolną granicą przedziału; h- wielkość przedziału; fm- częstotliwość interwału; fm_ 1 - częstotliwość poprzedniego interwału; fm + 1 - częstotliwość kolejnego interwału.
Mediana nazywa się wariantem znajdującym się w środku rzędu rankingowego. Mediana dzieli rząd na dwie równe części w taki sposób, że po obu jego stronach znajduje się taka sama liczba jednostek populacji. Jednocześnie w jednej połowie jednostek populacji wartość zmiennego atrybutu jest mniejsza niż mediana, w drugiej - większa niż ona. Mediana jest używana podczas badania elementu, którego wartość jest większa lub równa lub jednocześnie mniejsza lub równa połowie elementów szeregu dystrybucyjnego. Mediana daje główny pomysł o tym, gdzie koncentrują się wartości atrybutu, innymi słowy, gdzie znajduje się ich środek.
Opisowy charakter mediany przejawia się w tym, że charakteryzuje ona granicę ilościową wartości zmiennego atrybutu, którą posiada połowa jednostek populacji. Problem znalezienia mediany dla szeregu zmienności dyskretnej jest łatwy do rozwiązania. Jeżeli wszystkim jednostkom szeregu przyporządkujemy liczebniki porządkowe, to liczbę porządkową wariantu mediany wyznaczamy jako (n +1)/2 z nieparzystą liczbą członków n. Jeżeli liczba członków szeregu jest liczbą parzystą , wtedy mediana będzie średnią z dwóch opcji z liczbami porządkowymi n/ 2 i n / 2 + 1.
Przy wyznaczaniu mediany w szeregu zmienności przedziałowej najpierw określa się przedział, w którym się ona znajduje (przedział mediany). Przedział ten charakteryzuje się tym, że jego skumulowana suma częstotliwości jest równa lub przekracza połowę sumy wszystkich częstotliwości w szeregu. Medianę szeregu zmienności przedziałowej oblicza się ze wzoru
gdzie X0- dolna granica przedziału; h- wielkość przedziału; fm- częstotliwość interwału; F- liczba członków serii;
∫m-1 - suma skumulowanych członków szeregu poprzedzającego ten.
Wraz z medianą więcej pełna charakterystyka Struktury badanej populacji wykorzystują także inne znaczenia opcji, które zajmują ściśle określoną pozycję w szeregach rankingowych. Obejmują one kwartyle oraz decyle. Kwartyle dzielą szereg przez sumę częstości na 4 równe części, a decyle na 10 równych części. Istnieją trzy kwartyle i dziewięć decyli.
Mediana i moda, w przeciwieństwie do średniej arytmetycznej, nie wygaszają różnic indywidualnych w wartościach atrybutu zmiennej, a zatem są dodatkowymi i bardzo ważnymi cechami populacji statystycznej. W praktyce są one często używane zamiast lub obok średniej. Szczególnie wskazane jest obliczenie mediany i mody w tych przypadkach, gdy badana populacja zawiera pewną liczbę jednostek o bardzo dużej lub bardzo małej wartości zmiennego atrybutu. Te niezbyt typowe dla zagregowanych wartości opcji, wpływające na wartość średniej arytmetycznej, nie wpływają na wartości mediany i mody, co czyni te ostatnie bardzo cennymi wskaźnikami do analizy ekonomicznej i statystycznej.
Wskaźniki zmienności
Celem badania statystycznego jest identyfikacja głównych właściwości i wzorców badanej populacji statystycznej. W procesie sumarycznego przetwarzania danych z obserwacji statystycznych budują rang dystrybucyjnych. Istnieją dwa rodzaje szeregów dystrybucyjnych – atrybutowe i wariacyjne, w zależności od tego, czy cecha przyjęta jako podstawa grupowania jest jakościowa czy ilościowa.
Wariacja nazywane są szeregami dystrybucyjnymi, zbudowanymi na podstawie ilościowej. Wartości cech ilościowych dla poszczególnych jednostek populacji nie są stałe, mniej więcej różnią się od siebie. Ta różnica w wielkości cechy nazywa się wariacje. Poszczególne wartości liczbowe cechy występujące w badanej populacji nazywane są opcje wartości. Obecność zmienności w poszczególnych jednostkach populacji wynika z wpływu dużej liczby czynników na kształtowanie się poziomu cechy. Badanie charakteru i stopnia zmienności cech w poszczególnych jednostkach populacji jest najważniejszym zagadnieniem każdego opracowania statystycznego. Do opisu miary zmienności cech wykorzystuje się wskaźniki zmienności.
Kolejnym ważnym zadaniem badań statystycznych jest określenie roli poszczególnych czynników lub ich grup w zmienności niektórych cech agregatu. Aby rozwiązać taki problem, użyj statystyk metody specjalne badania zmienności oparte na wykorzystaniu karty wyników, za pomocą której mierzy się zmienność. W praktyce naukowiec ma do czynienia z wystarczającą ilością duża ilość opcje wartości atrybutu, co nie daje wyobrażenia o rozkładzie jednostek według wartości atrybutu w agregacie. W tym celu rozmieszczenie wszystkich wariantów wartości cechy odbywa się w kolejności rosnącej lub malejącej. Ten proces nazywa się ranking serii. Szereg rankingowy od razu daje ogólne pojęcie o wartościach, jakie atrybut przyjmuje w agregacie.
Niewystarczalność wartości średniej dla wyczerpującej charakterystyki populacji skłania do uzupełnienia wartości średnich o wskaźniki, które pozwalają ocenić typowość tych średnich poprzez pomiar zmienności (zmienności) badanej cechy. Wykorzystanie tych wskaźników zmienności pozwala na pełniejszą i bardziej sensowną analizę statystyczną, a tym samym na lepsze zrozumienie istoty badanych zjawisk społecznych.
Najbardziej proste znaki wariacje są minimum oraz maksymalna - to jest najmniejsze i największa wartość cecha łącznie. Nazywa się liczbę powtórzeń poszczególnych wariantów charakterystycznych wartości częstotliwość powtarzania. Oznaczmy częstotliwość powtarzania się wartości cechy fi, suma częstotliwości równa objętości badanej populacji wyniesie:
gdzie k- liczba opcji wartości charakterystyki. Wygodne jest zastępowanie częstotliwości częstotliwościami - wi. Częstotliwość- względny wskaźnik częstości - może być wyrażony w ułamkach jednostki lub w procentach i umożliwia porównanie szeregu zmienności z różną liczbą obserwacji. Formalnie posiadamy:
Różne wskaźniki bezwzględne i względne służą do pomiaru zmienności cechy. Bezwzględne wskaźniki zmienności obejmują średnie odchylenie liniowe, zakres zmienności, wariancję, odchylenie standardowe.
Odmiana machnięcia(R) to różnica między maksymalnymi i minimalnymi wartościami cechy w badanej populacji: r= Xmaks - Xmin. Wskaźnik ten daje tylko najbardziej ogólne pojęcie o zmienności badanej cechy, ponieważ pokazuje różnicę tylko między wartościami granicznymi opcji. Jest całkowicie niezwiązany z częstościami w szeregu wariacyjnym, czyli z naturą rozkładu, a jego zależność może nadać mu niestabilny, losowy charakter jedynie od skrajnych wartości cechy. Zakres zmienności nie dostarcza informacji o cechach badanych populacji i nie pozwala na ocenę stopnia typowości uzyskanych wartości średnich. Zakres tego wskaźnika ogranicza się do dość jednorodnych populacji, a dokładniej wskaźnik charakteryzuje zmienność cechy na podstawie uwzględnienia zmienności wszystkich wartości cechy.
Aby scharakteryzować zmienność cechy, należy uogólnić odchylenia wszystkich wartości od dowolnej wartości typowej dla badanej populacji. Takie wskaźniki
odchylenia, takie jak średnie odchylenie liniowe, wariancja i odchylenie standardowe, polegają na uwzględnieniu odchyleń wartości atrybutu poszczególnych jednostek populacji od średniej arytmetycznej.
Średnie odchylenie liniowe reprezentuje średnią arytmetyczną bezwzględnych wartości odchyleń poszczególnych opcji od ich średniej arytmetycznej:
Wartość bezwzględna (moduł) odchylenia wariantu od średniej arytmetycznej; F- częstotliwość.
Pierwsza formuła jest stosowana, jeśli każda z opcji występuje w agregacie tylko raz, a druga - w wierszach o nierównych częstościach.
Istnieje inny sposób uśredniania odchyleń opcji od średniej arytmetycznej. Metoda ta, bardzo powszechna w statystyce, sprowadza się do obliczenia kwadratów odchyleń opcji od średniej z późniejszym ich uśrednieniem. W ten sposób otrzymujemy nowy wskaźnik zmienności - wariancję.
Dyspersja(σ 2) to średnia kwadratów odchyleń opcji wartości cechy od ich wartości średniej:
Drugi wzór jest używany, jeśli warianty mają własne wagi (lub częstotliwości serii wariantów).
W analizie ekonomicznej i statystycznej zwyczajowo ocenia się zmienność cechy za pomocą odchylenia standardowego. Odchylenie standardowe(σ) jest pierwiastkiem kwadratowym z wariancji:
Średnia liniowa i odchylenie standardowe pokazują, jak bardzo wartość atrybutu waha się przeciętnie w jednostkach badanej populacji i są wyrażone w tych samych jednostkach miary co opcje.
W praktyce statystycznej często konieczne jest porównanie zmienności różnych cech. Na przykład bardzo interesujące jest porównanie zmienności wieku personelu i jego kwalifikacji, stażu pracy i wynagrodzenia itp. Dla takich porównań wskaźniki bezwzględnej zmienności cech - średnia liniowa i odchylenie standardowe - nie są odpowiedni. W rzeczywistości nie można porównać zmienności stażu pracy wyrażonej w latach ze zmiennością płac wyrażoną w rublach i kopiejkach.
Porównując zmienność różnych cech w agregacie, wygodnie jest używać względnych wskaźników zmienności. Wskaźniki te są obliczane jako stosunek wskaźników bezwzględnych do średniej arytmetycznej (lub mediany). Wykorzystując zakres zmienności, średnie odchylenie liniowe, odchylenie standardowe jako bezwzględny wskaźnik zmienności, uzyskuje się względne wskaźniki fluktuacji:
Najczęściej stosowany wskaźnik względnej zmienności, charakteryzujący jednorodność populacji. Populację uważa się za jednorodną, jeśli współczynnik zmienności nie przekracza 33% dla rozkładów zbliżonych do normalnego.