Jak rozwiązać układ nierówności za pomocą modulo. Nierówności z modułem. Nowe spojrzenie na rozwiązanie

Dziś, przyjaciele, nie będzie smarków i sentymentów. Zamiast tego wyślę cię do walki z jednym z najgroźniejszych przeciwników na kursie algebry 8-9 klasy bez dalszych pytań.

Tak, wszystko dobrze zrozumiałeś: mówimy o nierównościach z modułem. Przyjrzymy się czterem podstawowym technikom, dzięki którym nauczysz się rozwiązywać około 90% tych problemów. A co z pozostałymi 10%? Cóż, porozmawiamy o nich na osobnej lekcji :)

Zanim jednak przeanalizuję jakiekolwiek tam sztuczki, chciałbym przypomnieć dwa fakty, o których już musicie wiedzieć. W przeciwnym razie ryzykujesz, że w ogóle nie zrozumiesz materiału dzisiejszej lekcji.

Co już musisz wiedzieć

Kapitan Evidence niejako podpowiada, że aby rozwiązać nierówności za pomocą modułu, musisz wiedzieć dwie rzeczy:

Jak rozwiązywane są nierówności?
Co to jest moduł.

Zacznijmy od drugiego punktu.

Definicja modułu

Tutaj wszystko jest proste. Istnieją dwie definicje: algebraiczna i graficzna. Zacznijmy od algebry:

Definicja. Moduł liczby $x$ to albo sama liczba, jeśli nie jest ujemna, albo liczba przeciwna do niej, jeśli oryginalny $x$ jest nadal ujemny.

Jest napisane tak:

\[\lewo| x \right|=\left\( \begin(align) & x,\ x\ge 0, \\ & -x,\ x \lt 0. \\\end(align) \right.\]

rozmawiając zwykły język, moduł to „liczba bez minusa”. I to w tej dwoistości (gdzieś nie trzeba nic robić z oryginalną liczbą, ale gdzieś trzeba usunąć tam jakiś minus) i cała trudność dla początkujących studentów tkwi.

Jest też definicja geometryczna. Warto o tym wiedzieć, ale będziemy się do niego odnosić tylko w skomplikowanych i niektórych szczególnych przypadkach, gdzie podejście geometryczne jest wygodniejsze niż podejście algebraiczne (spoiler: nie dzisiaj).

Definicja. Niech punkt $a$ będzie zaznaczony na prostej. Następnie moduł $\left| x-a \right|$ to odległość od punktu $x$ do punktu $a$ na tej linii.

Jeśli narysujesz obrazek, otrzymasz coś takiego:

Definicja modułu graficznego

Tak czy inaczej, jego kluczowa właściwość wynika bezpośrednio z definicji modułu: moduł liczby jest zawsze wartością nieujemną. Ten fakt będzie dziś czerwoną nitką przewijającą się przez całą naszą historię.

Rozwiązanie nierówności. Metoda odstępów

Zajmijmy się teraz nierównościami. Jest ich bardzo dużo, ale naszym zadaniem jest teraz rozwiązanie przynajmniej najprostszego z nich. Te, które sprowadzają się do nierówności liniowych, a także do metody interwałów.

Mam dwa duże tutoriale na ten temat (swoją drogą bardzo, BARDZO przydatne - polecam studiować):

Metoda interwałowa dla nierówności (zwłaszcza obejrzyj wideo);
Nierówności ułamkowo-racjonalne to bardzo obszerna lekcja, ale po niej nie pozostanie już żadnych pytań.

Jeśli to wszystko wiesz, jeśli zdanie „przejdźmy od nierówności do równania” nie sprawia, że niejasno chcesz się zabić pod ścianą, to jesteś gotowy: witaj w piekle w głównym temacie lekcji :)

1. Nierówności postaci „Moduł mniejszy niż funkcja”

To jedno z najczęściej spotykanych zadań z modułami. Wymagane jest rozwiązanie nierówności formy:

\[\lewo| f\prawo| \ltg\]

Wszystko może działać jako funkcje $f$ i $g$, ale zazwyczaj są to wielomiany. Przykłady takich nierówności:

Wszystkie są rozwiązywane dosłownie w jednej linii zgodnie ze schematem:

\[\lewo| f\prawo| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g\quad \left(\Rightarrow \left\( \begin(align) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\end(align) \prawo.\prawo)\]

Łatwo zauważyć, że pozbywamy się modułu, ale zamiast tego otrzymujemy podwójną nierówność (lub, co jest tym samym, układ dwóch nierówności). Ale to przejście uwzględnia absolutnie wszystko możliwe problemy: jeśli liczba pod modułem jest dodatnia, metoda działa; jeśli jest ujemny, nadal działa; i nawet przy najbardziej nieodpowiedniej funkcji zamiast $f$ lub $g$, metoda nadal będzie działać.

Naturalnie pojawia się pytanie: czy nie jest łatwiej? Niestety nie możesz. To jest cały punkt modułu.

Ale dość filozofowania. Rozwiążmy kilka problemów:

Zadanie. Rozwiąż nierówność:

\[\lewo| 2x+3\prawo| \ltx+7\]

Rozwiązanie. Mamy więc klasyczną nierówność postaci „moduł jest mniejszy niż” - nie ma nawet czego przekształcać. Pracujemy według algorytmu:

\[\begin(wyrównaj) & \left| f\prawo| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g; \\ & \lewo| 2x+3\prawo| \lt x+7\Rightarrow -\left(x+7 \right) \lt 2x+3 \lt x+7 \\\end(align)\]

Nie spiesz się, aby otworzyć nawiasy poprzedzone „minusem”: całkiem możliwe, że z powodu pośpiechu popełnisz obraźliwy błąd.

\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]

\[\left\( \begin(align) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(wyrównaj) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \end(wyrównaj) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]

Zadanie zostało zredukowane do dwóch elementarne nierówności. Odnotowujemy ich rozwiązania na równoległych liniach rzeczywistych:
Przecięcie wielu
Przecięcie tych zbiorów będzie odpowiedzią.

Odpowiedź: $x\in \left(-\frac(10)(3);4 \right)$

Zadanie. Rozwiąż nierówność:

\[\lewo| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0\]

Rozwiązanie. To zadanie jest trochę trudniejsze. Na początek izolujemy moduł, przesuwając drugi termin w prawo:

\[\lewo| ((x)^(2))+2x-3 \right| \lt -3\lewo(x+1 \prawo)\]

Oczywiście znowu mamy nierówność postaci „moduł jest mniejszy”, więc pozbywamy się modułu według znanego już algorytmu:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\left(x+1 \right)\]

Teraz uwaga: ktoś powie, że jestem trochę zboczeńcem z tymi wszystkimi nawiasami. Ale jeszcze raz przypominam, że naszym głównym celem jest poprawnie rozwiąż nierówności i uzyskaj odpowiedź. Później, gdy już doskonale opanujesz wszystko, co jest opisane w tej lekcji, możesz zboczyć, jak chcesz: otwierać nawiasy, dodawać minusy itp.

A na początek po prostu pozbywamy się podwójnego minusa po lewej stronie:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right)=\left(-1 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(x+1 \right) =3\lewo(x+1\prawo)\]

Teraz otwórzmy wszystkie nawiasy w podwójnej nierówności:

Przejdźmy do podwójnej nierówności. Tym razem obliczenia będą poważniejsze:

\[\left\( \begin(wyrównaj) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \end(wyrównaj) \prawo.\]

\[\left\( \begin(wyrównaj) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( wyrównaj)\w prawo.\]

Obie nierówności są kwadratowe i są rozwiązywane metodą interwałową (dlatego mówię: jeśli nie wiesz, co to jest, lepiej jeszcze nie brać modułów). Przechodzimy do równania w pierwszej nierówności:

\[\begin(wyrównaj) & ((x)^(2))+5x=0; \\ & x\lewo(x+5 \prawo)=0; \\ & ((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\\koniec(wyrównaj)\]

Jak widać, wynik okazał się niepełnym równaniem kwadratowym, które jest rozwiązywane elementarnie. Zajmijmy się teraz drugą nierównością systemu. Tam musisz zastosować twierdzenie Viety:

\[\begin(wyrównaj) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \left(x-3 \right)\left(x+2 \right)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\\koniec(wyrównaj)\]

Otrzymane liczby zaznaczamy na dwóch równoległych liniach (oddzielnych dla pierwszej nierówności i oddzielnych dla drugiej):
Ponownie, ponieważ rozwiązujemy system nierówności, interesuje nas przecięcie zacieniowanych zbiorów: $x\in \left(-5;-2 \right)$. To jest odpowiedź.
Odpowiedź: $x\in \left(-5;-2 \right)$

Myślę, że po tych przykładach schemat rozwiązania jest bardzo jasny:

Wyizoluj moduł, przesuwając wszystkie inne wyrazy na przeciwną stronę nierówności. W ten sposób otrzymujemy nierówność postaci $\left| f\prawo| \ltg$.
Rozwiąż tę nierówność, pozbywając się modułu, jak opisano powyżej. W pewnym momencie konieczne będzie przejście od podwójnej nierówności do systemu dwóch niezależnych wyrażeń, z których każde można już rozwiązać osobno.
Na koniec pozostaje tylko skrzyżować rozwiązania tych dwóch niezależnych wyrażeń - i tyle, otrzymamy ostateczną odpowiedź.

Podobny algorytm istnieje dla nierówności następny typ kiedy moduł więcej funkcji. Jest jednak kilka poważnych „ale”. Porozmawiamy teraz o tych „ale”.

2. Nierówności postaci „Moduł jest większy niż funkcja”

Wyglądają tak:

\[\lewo| f\prawo| \gt g\]

Podobny do poprzedniego? Wygląda jak. Niemniej jednak takie zadania rozwiązywane są w zupełnie inny sposób. Formalnie schemat wygląda następująco:

\[\lewo| f\prawo| \gt g\Rightarrow \left[ \begin(align) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\\end(align) \right.\]

Innymi słowy, rozważamy dwa przypadki:

Najpierw po prostu ignorujemy moduł - rozwiązujemy zwykłą nierówność;
Wtedy faktycznie otwieramy moduł ze znakiem minus, a następnie mnożymy obie części nierówności przez -1 ze znakiem.

W tym przypadku opcje są połączone nawiasem kwadratowym, tj. Mamy kombinację dwóch wymagań.

Zwróć uwagę: przed nami nie jest system, ale agregat, dlatego w odpowiedzi zestawy są połączone, a nie przecinane. To zasadnicza różnica w stosunku do poprzedniego akapitu!

Ogólnie rzecz biorąc, wielu uczniów ma wiele zamieszania ze związkami i skrzyżowaniami, więc przyjrzyjmy się temu problemowi raz na zawsze:

„∪” to znak konkatenacji. W rzeczywistości jest to stylizowana litera „U”, która przyszła do nas z po angielsku i jest skrótem od „Unii”, tj. "Wspomnienia".
„∩” to znak skrzyżowania. To gówno nie wzięło się znikąd, tylko pojawiło się jako opozycja do „∪”.

Aby jeszcze łatwiej było to zapamiętać, po prostu dodaj nogi do tych znaków, aby zrobić okulary (tylko nie oskarżaj mnie teraz o promowanie narkomanii i alkoholizmu: jeśli poważnie studiujesz tę lekcję, to już jesteś narkomanem):

Różnica między przecięciem a sumą zbiorów

W tłumaczeniu na język rosyjski oznacza to, że: związek (kolekcja) zawiera elementy z obu zestawów, a więc nie mniej niż każdy z nich; ale skrzyżowanie (system) obejmuje tylko te elementy, które znajdują się zarówno w pierwszym, jak i drugim zestawie. Dlatego przecięcie zbiorów nigdy nie jest większe niż zbiory źródłowe.

Więc stało się jaśniejsze? To wspaniale. Przejdźmy do praktyki.

Zadanie. Rozwiąż nierówność:

\[\lewo| 3x+1 \prawo| \gt 5-4x\]

Rozwiązanie. Działamy według schematu:

\[\lewo| 3x+1 \prawo| \gt 5-4x\Rightarrow \left[ \begin(align) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\left(5-4x \right) \\\end(align) \ prawidłowy.\]

Rozwiązujemy każdą nierówność populacji:

\[\left[ \begin(align) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(align) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(wyrównaj) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \end(wyrównaj) \right.\]

Każdy wynikowy zestaw zaznaczamy na osi liczbowej, a następnie łączymy je:
Unia zbiorów
Oczywiście odpowiedź brzmi: $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Odpowiedź: $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Zadanie. Rozwiąż nierówność:

\[\lewo| ((x)^(2))+2x-3 \right| \gtx\]

Rozwiązanie. Dobrze? Nie, to wszystko jedno. Przechodzimy od nierówności z modułem do zbioru dwóch nierówności:

\[\lewo| ((x)^(2))+2x-3 \right| \gt x\Rightarrow \left[ \begin(wyrównaj) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\end(wyrównaj) \w prawo.\]

Rozwiązujemy każdą nierówność. Niestety korzenie nie będą tam zbyt dobre:

\[\begin(wyrównaj) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ & ((x)^(2))+x-3 \gt 0; \\ &D=1+12=13; \\ & x=\frac(-1\pm \sqrt(13))(2). \\\koniec(wyrównaj)\]

W drugiej nierówności jest też trochę gry:

\[\begin(wyrównaj) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \\ & ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \\ &D=9+12=21; \\ & x=\frac(-3\pm \sqrt(21))(2). \\\koniec(wyrównaj)\]

Teraz musimy oznaczyć te liczby na dwóch osiach - jedna oś dla każdej nierówności. Musisz jednak zaznaczyć punkty w odpowiedniej kolejności: więcej numeru, tym bardziej przesuniemy punkt w prawo.

A tu czekamy na setup. Jeśli wszystko jest jasne z liczbami $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ (warunki w liczniku pierwszego ułamki są mniejsze niż wyrazy w liczniku drugiego , więc suma jest również mniejsza), z liczbami $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt (21))(2)$ też nie będzie trudności (liczba dodatnia oczywiście bardziej ujemna), ale z ostatnią parą wszystko nie jest takie proste. Który jest większy: $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ czy $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$? Od odpowiedzi na to pytanie będzie zależeć rozmieszczenie punktów na liniach liczbowych, a właściwie odpowiedź.

Porównajmy więc:

\[\begin(macierz) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\end(macierz)\]

Wyizolowaliśmy pierwiastek, otrzymaliśmy liczby nieujemne po obu stronach nierówności, więc mamy prawo do kwadratu obu stron:

\[\begin(matrix) ((\left(2+\sqrt(13) \right))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \right))^(2)) \ \4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\end(macierz)\]

Myślę, że nie ma sensu, że $4\sqrt(13) \gt 3$, więc $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) ( 2)$, na końcu punkty na osiach będą ułożone w następujący sposób:
Przypadek brzydkich korzeni
Przypomnę, że rozwiązujemy zestaw, więc odpowiedzią będzie suma, a nie przecięcie zestawów cieniowanych.

Odpowiedź: $x\in \left(-\infty ;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \right)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2 );+\infty\right)$

Jak widać, nasz schemat świetnie sprawdza się zarówno w przypadku prostych zadań, jak i tych bardzo trudnych. Jedynym „słabym punktem” w tym podejściu jest to, że musisz poprawnie porównywać liczby niewymierne (i uwierz mi: to nie są tylko pierwiastki). Ale osobna (i bardzo poważna lekcja) będzie poświęcona kwestiom porównawczym. I ruszamy dalej.

3. Nierówności z nieujemnymi „ogonami”

Dotarliśmy więc do najciekawszych. Są to nierówności formy:

\[\lewo| f\prawo| \gt\lewo| g\prawo|\]

Ogólnie rzecz biorąc, algorytm, o którym teraz będziemy mówić, jest prawdziwy tylko dla modułu. Działa we wszystkich nierównościach, w których po lewej i prawej stronie istnieją gwarantowane wyrażenia nieujemne:

Co zrobić z tymi zadaniami? Tylko pamiętaj:

W nierównościach z nieujemnymi ogonami obie strony mogą zostać podniesione do dowolnej naturalnej siły. Nie będzie żadnych dodatkowych ograniczeń.

Przede wszystkim zainteresuje nas kwadrat - spala moduły i korzenie:

\[\begin(align) & ((\left(\left| f \right| \right))^(2))=((f)^(2)); \\ & ((\left(\sqrt(f) \right))^(2))=f. \\\koniec(wyrównaj)\]

Tylko nie myl tego z wyciągnięciem pierwiastka z kwadratu:

\[\sqrt(((f)^(2)))=\left| f \prawo|\ne f\]

Popełniono niezliczoną ilość błędów, gdy uczeń zapomniał zainstalować moduł! Ale to zupełnie inna historia (są to jakby irracjonalne równania), więc teraz nie będziemy się w to wchodzić. Lepiej rozwiążmy kilka problemów:

Zadanie. Rozwiąż nierówność:

\[\lewo| x+2 \right|\ge \left| 1-2x \w prawo|\]

Rozwiązanie. Od razu zauważamy dwie rzeczy:

To jest nieścisła nierówność. Punkty na osi liczbowej zostaną wybite.

Obie strony nierówności są oczywiście nieujemne (jest to właściwość modułu: $\left| f\left(x \right) \right|\ge 0$).

Dlatego możemy podważyć obie strony nierówności, aby pozbyć się modułu i rozwiązać problem przy użyciu zwykłej metody przedziałowej:

\[\begin(align) & ((\left(\left| x+2 \right| \right))^(2))\ge ((\left(\left| 1-2x \right| \right) )^(2)); \\ & ((\left(x+2 \right))^(2))\ge ((\left(2x-1 \right))^(2)). \\\koniec(wyrównaj)\]

W ostatnim kroku trochę oszukałem: zmieniłem kolejność wyrazów, używając parzystości modułu (w rzeczywistości pomnożyłem wyrażenie $1-2x$ przez −1).

\[\begin(align) & ((\left(2x-1 \right))^(2))-((\left(x+2 \right))^(2))\le 0; \\ & \left(\left(2x-1 \right)-\left(x+2 \right) \right)\cdot \left(\left(2x-1 \right)+\left(x+2 \ dobrze)\prawo)\le 0; \\ & \left(2x-1-x-2 \right)\cdot \left(2x-1+x+2 \right)\le 0; \\ & \left(x-3 \right)\cdot \left(3x+1 \right)\le 0. \\\end(align)\]

Rozwiązujemy metodą interwałową. Przejdźmy od nierówności do równania:

\[\begin(align) & \left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\\koniec(wyrównaj)\]

Znalezione korzenie zaznaczamy na osi liczbowej. Jeszcze raz: wszystkie punkty są zacienione, ponieważ pierwotna nierówność nie jest ścisła!
Pozbywanie się znaku modułu
Przypomnę dla szczególnie upartych: bierzemy znaki z ostatniej nierówności, która została spisana przed przejściem do równania. I malujemy wymagane obszary w tej samej nierówności. W naszym przypadku jest to $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$.

Cóż, to wszystko. Problem rozwiązany.

Odpowiedź: $x\in \left[ -\frac(1)(3);3 \right]$.

Zadanie. Rozwiąż nierówność:

\[\lewo| ((x)^(2))+x+1 \right|\le \left| ((x)^(2))+3x+4 \right|\]

Rozwiązanie. Wszystko robimy tak samo. Nie będę komentował - wystarczy spojrzeć na kolejność działań.

Rozwiążmy to:

\[\begin(align) & ((\left(\left| ((x)^(2))+x+1 \right| \right))^(2))\le ((\left(\left | ((x)^(2))+3x+4 \right| \right))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))\le ((\left(((x)^(2))+3x+4 \right))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))-((\left(((x)^(2))+3x+4 \ prawo))^(2))\le 0; \\ & \left(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \right)\times \\ & \times \left(((x) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \right)\le 0; \\ & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)\le 0. \\\end(align)\]

Metoda odstępów:

\[\begin(align) & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)=0 \\ & -2x-3=0\ Strzałka w prawo x=-1,5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Rightarrow D=16-40 \lt 0\Rightarrow \varnothing . \\\koniec(wyrównaj)\]

Na osi liczbowej jest tylko jeden pierwiastek:
Odpowiedzią jest cała gama
Odpowiedź: $x\in \left[ -1.5;+\infty \right)$.

Mała notka o ostatnim zadaniu. Jak trafnie zauważył jeden z moich uczniów, oba wyrażenia submodułowe w tej nierówności są oczywiście pozytywne, więc znak modułu można pominąć bez szkody dla zdrowia.

Ale to już zupełnie inny poziom myślenia i inne podejście - można to warunkowo nazwać metodą konsekwencji. O nim - w osobnej lekcji. A teraz przejdźmy do ostatniej części dzisiejszej lekcji i zastanówmy się uniwersalny algorytm co zawsze działa. Nawet gdy wszystkie poprzednie podejścia były bezsilne :)

4. Sposób wyliczania opcji

A jeśli wszystkie te sztuczki nie zadziałają? Czy nierówność nie sprowadza się do nieujemnych ogonów, czy nie da się wyizolować modułu, czy w ogóle ból-smutek-tęsknota?

Wtedy na scenę wkracza „ciężka artyleria” wszelkiej matematyki – metoda wyliczania. W odniesieniu do nierówności z modułem wygląda to tak:

Wypisz wszystkie wyrażenia podmodułów i przyrównaj je do zera;
Rozwiąż powstałe równania i zaznacz znalezione korzenie na jednej linii liczbowej;
Linia prosta zostanie podzielona na kilka odcinków, w obrębie których każdy moduł ma stały znak i dzięki temu jednoznacznie się rozszerza;
Rozwiąż nierówność na każdym takim odcinku (możesz osobno rozważyć pierwiastki graniczne uzyskane w paragrafie 2 - dla niezawodności). Połącz wyniki - to będzie odpowiedź :)

Cóż, jak? Słaby? Łatwo! Tylko przez długi czas. Zobaczmy w praktyce:

Zadanie. Rozwiąż nierówność:

\[\lewo| x+2 \prawo| \lt\lewo| x-1 \right|+x-\frac(3)(2)\]

Rozwiązanie. To gówno nie sprowadza się do nierówności takich jak $\left| f\prawo| \lt g$, $\lewo| f\prawo| \gt g$ lub $\lewo| f\prawo| \lt\lewo| g \right|$, więc przejdźmy dalej.

Wypisujemy wyrażenia submodułów, przyrównujemy je do zera i znajdujemy pierwiastki:

\[\begin(wyrównaj) & x+2=0\Strzałka w prawo x=-2; \\ & x-1=0\Strzałka w prawo x=1. \\\koniec(wyrównaj)\]

W sumie mamy dwa pierwiastki, które dzielą oś liczbową na trzy sekcje, wewnątrz których każdy moduł jest ujawniany w unikalny sposób:
Dzielenie osi liczbowej przez zera funkcji submodularnych
Rozważmy każdą sekcję osobno.

1. Niech $x \lt -2$. Wtedy oba wyrażenia podmodułów są ujemne, a pierwotna nierówność zostaje przepisana w następujący sposób:

\[\begin(align) & -\left(x+2 \right) \lt -\left(x-1 \right)+x-1,5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x-1.5 \\ & x \gt 1.5 \\\koniec(wyrównaj)\]

Mamy dość proste ograniczenie. Przetnijmy to z pierwotnym założeniem, że $x \lt -2$:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2 \\ & x \gt 1,5 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnic \]

Oczywiście zmienna $x$ nie może być jednocześnie mniejsza niż −2 ale większa niż 1,5. W tym obszarze nie ma rozwiązań.

1.1. Rozważmy osobno przypadek brzegowy: $x=-2$. Zamieńmy tę liczbę na pierwotną nierówność i sprawdźmy: czy to się sprawdza?

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1,5 \right|)_(x=-2) ) \\ & 0 \lt \lewo| -3 \prawo|-2-1,5; \\ & 0 \lt 3-3,5; \\ & 0 \lt -0,5\Rightarrow \varnic . \\\koniec(wyrównaj)\]

Oczywiście łańcuch obliczeń doprowadził nas do niewłaściwej nierówności. Dlatego pierwotna nierówność jest również fałszywa, a $x=-2$ nie jest uwzględnione w odpowiedzi.

2. Teraz niech $-2 \lt x \lt 1$. Lewy moduł otworzy się już z „plusem”, ale prawy nadal z „minusem”. Mamy:

\[\begin(align) & x+2 \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1.5 \\& x \lt - 2.5 \\\koniec(wyrównaj)\]

Ponownie przecinamy się z pierwotnym wymaganiem:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2,5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

I znowu pusty zbiór rozwiązań, ponieważ nie ma liczb, które są jednocześnie mniejsze od -2,5 i większe od -2.

2.1. I znowu przypadek szczególny: $x=1$. Zastępujemy do pierwotnej nierówności:

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1,5 \right|)_(x=1)) \\ & \lewo| 3\prawo| \lt\lewo| 0 \prawo|+1-1,5; \\ & 3 \lt -0,5; \\ & 3 \lt -0,5\Rightarrow \varnic . \\\koniec(wyrównaj)\]

Podobnie jak w poprzednim "przypadku szczególnym", liczba $x=1$ wyraźnie nie jest zawarta w odpowiedzi.

3. Ostatni kawałek linii: $x \gt 1$. Tutaj wszystkie moduły są rozszerzone o znak plus:

\[\begin(wyrównaj) & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x \gt 4.5 \\ \end(wyrównaj)\ ]

I znowu przecinamy znaleziony zbiór z pierwotnym wiązaniem:

\[\left\( \begin(align) & x \gt 4,5 \\ & x \gt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \left(4,5;+\infty \prawidłowy)\]

Wreszcie! Znaleźliśmy interwał, który będzie odpowiedzią.

Odpowiedź: $x\in \left(4,5;+\infty \right)$

Na koniec jedna uwaga, która może uchronić Cię przed głupimi błędami przy rozwiązywaniu prawdziwych problemów:

Rozwiązania nierówności z modułami to zazwyczaj ciągłe zbiory na osi liczbowej - odstępy i odcinki. Punkty izolowane są znacznie rzadsze. A jeszcze rzadziej zdarza się, że granice rozwiązania (koniec segmentu) pokrywają się z granicą rozważanego zakresu.

W konsekwencji, jeśli granice (te same „przypadki specjalne”) nie zostaną uwzględnione w odpowiedzi, to obszary po lewej i prawej stronie tych granic prawie na pewno nie zostaną uwzględnione w odpowiedzi. I odwrotnie: granica weszła w odpowiedzi, co oznacza, że niektóre obszary wokół niej również będą odpowiedziami.

Pamiętaj o tym, sprawdzając swoje rozwiązania.

Matematyka jest symbolem mądrości nauki,

przykład naukowego rygoru i prostoty,

standard doskonałości i piękna w nauce.

Rosyjski filozof, profesor A.V. Wołoszynow

Nierówności modulo

Najtrudniejszymi problemami do rozwiązania w matematyce szkolnej są nierówności, zawierające zmienne pod znakiem modułu. Aby skutecznie rozwiązywać takie nierówności, konieczna jest dobra znajomość właściwości modułu i umiejętność ich wykorzystania.

Podstawowe pojęcia i właściwości

Moduł (wartość bezwzględna) prawdziwy numer oznaczone i jest zdefiniowany następująco:

DO proste właściwości moduł zawiera następujące relacje:

ORAZ .

Notatka, że dwie ostatnie właściwości utrzymują się w dowolnym stopniu.

Również, jeśli , gdzie , to i

Bardziej złożone właściwości modułu, które można skutecznie wykorzystać do rozwiązywania równań i nierówności za pomocą modułów, formułuje się za pomocą następujących twierdzeń:

Twierdzenie 1.Dla wszelkich funkcji analitycznych I nierówności.

Twierdzenie 2. Równość jest równoznaczne z nierównością.

Twierdzenie 3. Równość jest równoznaczne z nierównością.

Najczęściej spotykane w matematyka w szkole nierówności, zawierające nieznane zmienne pod znakiem modulo, są nierównościami formy oraz gdzie pewna dodatnia stała.

Twierdzenie 4. Nierówność jest równoznaczne z podwójną nierównością, i rozwiązanie nierównościsprowadza się do rozwiązania zbioru nierówności I .

To twierdzenie jest szczególnym przypadkiem Twierdzeń 6 i 7.

Bardziej złożone nierówności, zawierające moduł są nierównościami formy, I .

Metody rozwiązywania takich nierówności można sformułować za pomocą następujących trzech twierdzeń.

Twierdzenie 5. Nierówność jest równoznaczne z połączeniem dwóch systemów nierówności

I 1)

Dowód. Od tego czasu

Oznacza to ważność (1).

Twierdzenie 6. Nierówność jest równoznaczny z systemem nierówności

Dowód. Dlatego , potem z nierówności wynika z tego . W tych warunkach nierównośći w tym przypadku drugi system nierówności (1) okazuje się niespójny.

Twierdzenie zostało udowodnione.

Twierdzenie 7. Nierówność jest równoważna kombinacji jednej nierówności i dwóch systemów nierówności

ORAZ (3)

Dowód. Od , to nierówność zawsze wykonywane, Jeśli .

Niech będzie , to nierównośćbędzie równoznaczne z nierównością, z którego wynika zbiór dwóch nierówności I .

Twierdzenie zostało udowodnione.

Rozważ typowe przykłady rozwiązywania problemów na temat „Nierówności, zawierające zmienne pod znakiem modułu.

Rozwiązywanie nierówności z modułem

Bardzo prosta metoda rozwiązywanie nierówności za pomocą modułu jest metodą, w oparciu o rozbudowę modułową. Ta metoda jest ogólna, jednak w ogólnym przypadku jego zastosowanie może prowadzić do bardzo kłopotliwych obliczeń. Dlatego studenci powinni także znać inne (bardziej efektywne) metody i techniki rozwiązywania takich nierówności. W szczególności, musisz mieć umiejętności stosowania twierdzeń, podane w tym artykule.

Przykład 1Rozwiąż nierówności

. (4)

Rozwiązanie.Nierówność (4) zostanie rozwiązana metodą „klasyczną” – metodą rozwinięcia modułów. W tym celu łamiemy oś liczbową kropki i interwały i rozważ trzy przypadki.

1. Jeżeli , to , , , a nierówność (4) przybiera postać lub .

Ponieważ przypadek jest tutaj rozważany, , jest rozwiązaniem nierówności (4).

2. Jeśli , następnie z nierówności (4) otrzymujemy lub . Od przecięcia interwałów I jest pusty, wówczas nie ma rozwiązań nierówności (4) na rozważanym przedziale.

3. Jeśli , wtedy nierówność (4) przybiera postać lub . To oczywiste, że jest również rozwiązaniem nierówności (4).

Odpowiedź: , .

Przykład 2 Rozwiąż nierówności.

Rozwiązanie. Załóżmy, że . Dlatego , wtedy dana nierówność przybiera postać lub . Od , wtedy i stąd wynika lub .

Jednak w związku z tym lub .

Przykład 3 Rozwiąż nierówności

. (5)

Rozwiązanie. Dlatego , wtedy nierówność (5) jest równoznaczna z nierównościami lub . Stąd, zgodnie z twierdzeniem 4, mamy zbiór nierówności I .

Odpowiedź: , .

Przykład 4Rozwiąż nierówności

. (6)

Rozwiązanie. Oznaczmy . Następnie z nierówności (6) otrzymujemy nierówności , , lub .

Stąd, stosując metodę interwałową, otrzymujemy . Dlatego , to tutaj mamy system nierówności

Rozwiązaniem pierwszej nierówności układu (7) jest suma dwóch przedziałów I , a rozwiązaniem drugiej nierówności jest nierówność podwójna. Oznacza to, że rozwiązaniem układu nierówności (7) jest suma dwóch przedziałów I .

Odpowiedź: ,

Przykład 5Rozwiąż nierówności

. (8)

Rozwiązanie. Przekształcamy nierówność (8) w następujący sposób:

Lub .

Stosowanie metody interwałowej, uzyskujemy rozwiązanie nierówności (8).

Odpowiedź: .

Notatka. Jeśli postawimy i w warunku Twierdzenia 5, otrzymamy .

Przykład 6 Rozwiąż nierówności

. (9)

Rozwiązanie. Z nierówności (9) wynika:. Przekształcamy nierówność (9) w następujący sposób:

Lub

Od , wtedy lub .

Odpowiedź: .

Przykład 7Rozwiąż nierówności

. (10)

Rozwiązanie. Od i , wtedy lub .

W tym kontekście a nierówność (10) przybiera postać

Lub

. (11)

Wynika z tego, że lub . Ponieważ , to nierówność (11) implikuje również lub .

Odpowiedź: .

Notatka. Jeśli zastosujemy Twierdzenie 1 do lewej strony nierówności (10), wtedy dostajemy . Stąd i z nierówności (10) wynika, czyli lub . Dlatego , wtedy nierówność (10) przybiera postać lub .

Przykład 8 Rozwiąż nierówności

. (12)

Rozwiązanie. Od tego czasu a nierówność (12) implikuje: lub . Jednak w związku z tym lub . Stąd otrzymujemy lub .

Odpowiedź: .

Przykład 9 Rozwiąż nierówności

. (13)

Rozwiązanie. Zgodnie z Twierdzeniem 7, rozwiązania nierówności (13) to lub .

Niech teraz. W tym przypadku a nierówność (13) przybiera postać: lub .

Jeśli połączymy interwały I , otrzymujemy rozwiązanie nierówności (13) postaci.

Przykład 10 Rozwiąż nierówności

. (14)

Rozwiązanie. Przepiszmy nierówność (14) w postaci równoważnej: . Jeśli zastosujemy Twierdzenie 1 po lewej stronie tej nierówności, to otrzymamy nierówność .

Stąd i z Twierdzenia 1 wynika, że nierówność (14) jest spełniona dla dowolnych wartości.

Odpowiedź: dowolna liczba.

Przykład 11. Rozwiąż nierówności

. (15)

Rozwiązanie. Stosowanie Twierdzenia 1 po lewej stronie nierówności (15), dostajemy . Stąd i z nierówności (15) wynika równanie, który wygląda jak.

Zgodnie z twierdzeniem 3, równanie jest równoznaczne z nierównością. Stąd otrzymujemy.

Przykład 12.Rozwiąż nierówności

. (16)

Rozwiązanie. Z nierówności (16) zgodnie z Twierdzeniem 4 otrzymujemy układ nierówności

Przy rozwiązywaniu nierównościkorzystamy z Twierdzenia 6 i otrzymujemy system nierównościz czego wynika.

Rozważ nierówność. Zgodnie z twierdzeniem 7, otrzymujemy zbiór nierówności I . Druga nierówność populacji dotyczy każdej realnej.

W konsekwencji , rozwiązanie nierówności (16) są.

Przykład 13Rozwiąż nierówności

. (17)

Rozwiązanie. Zgodnie z Twierdzeniem 1 możemy pisać

(18)

Biorąc pod uwagę nierówności (17) dochodzimy do wniosku, że obie nierówności (18) zamieniają się w równości, tj. istnieje układ równań

Według Twierdzenia 3 ten układ równań jest równoważny układowi nierówności

lub

Przykład 14Rozwiąż nierówności

. (19)

Rozwiązanie. Od tego czasu . Pomnóżmy obie części nierówności (19) przez wyrażenie , które dla dowolnych wartości przyjmuje tylko wartości dodatnie. Następnie otrzymujemy nierówność równoważną nierówności (19) postaci

Stąd otrzymujemy lub , gdzie . Od i to rozwiązania nierówności (19) to: I .

Odpowiedź: , .

W celu głębszego przestudiowania metod rozwiązywania nierówności za pomocą modułu, wskazane jest zapoznanie się z samouczkami, wymienione na liście zalecanych lektur.

1. Zbiór zadań z matematyki dla kandydatów na uczelnie techniczne / Wyd. MI. Scanavi. - M.: Świat i edukacja, 2013r. - 608 s.

2. Suprun V.P. Matematyka dla uczniów szkół ponadgimnazjalnych: metody rozwiązywania i dowodzenia nierówności. – M.: Lenand / URSS, 2018r. - 264 pkt.

3. Suprun V.P. Matematyka dla uczniów szkół ponadgimnazjalnych: niestandardowe metody rozwiązywania problemów. - M.: KD "Librocom" / URSS, 2017r. - 296 s.

Czy masz jakieś pytania?

Aby uzyskać pomoc korepetytora - zarejestruj się.

strony, z pełnym lub częściowym skopiowaniem materiału, wymagany jest link do źródła.

numer modułu ta sama liczba jest wywoływana, jeśli jest nieujemna, lub ta sama liczba z przeciwnym znakiem, jeśli jest ujemna.

Na przykład moduł 6 wynosi 6, a moduł -6 również 6.

Oznacza to, że moduł liczby jest rozumiany jako wartość bezwzględna, wartość bezwzględna tej liczby bez uwzględnienia jej znaku.

Oznaczone następująco: |6|, | x|, |ale| itp.

(Aby uzyskać więcej informacji, zobacz sekcję „Moduł numeru”).

Równania modulo.

Przykład 1 . Rozwiązać równanie|10 x - 5| = 15.

Rozwiązanie.

Zgodnie z regułą równanie jest równoznaczne z połączeniem dwóch równań:

10x - 5 = 15
10x - 5 = -15

My decydujemy:

10x = 15 + 5 = 20
10x = -15 + 5 = -10

x = 20: 10
x = -10: 10

x = 2
x = -1

Odpowiedź: x 1 = 2, x 2 = -1.

Przykład 2 . Rozwiązać równanie|2 x + 1| = x + 2.

Rozwiązanie.

Ponieważ moduł jest liczbą nieujemną, to x+ 2 ≥ 0. Odpowiednio:

x ≥ -2.

Wykonujemy dwa równania:

2x + 1 = x + 2
2x + 1 = -(x + 2)

My decydujemy:

2x + 1 = x + 2
2x + 1 = -x - 2

2x - x = 2 - 1
2x + x = -2 - 1

x = 1
x = -1

Obie liczby są większe niż -2. Więc oba są pierwiastkami równania.

Odpowiedź: x 1 = -1, x 2 = 1.

Przykład 3 . Rozwiązać równanie

|x + 3| - 1
————— = 4
x - 1

Rozwiązanie.

Równanie ma sens, jeśli mianownik nie jest równy zero - więc jeśli x≠ 1. Weźmy pod uwagę ten warunek. Nasza pierwsza akcja jest prosta - nie tylko pozbywamy się ułamka, ale przekształcamy go w taki sposób, aby uzyskać moduł w najczystszej postaci:

|x+ 3| - 1 = 4 ( x - 1),

|x + 3| - 1 = 4x - 4,

|x + 3| = 4x - 4 + 1,

|x + 3| = 4x - 3.

Teraz mamy tylko wyrażenie pod modułem po lewej stronie równania. Pójść dalej.
Moduł liczby jest liczbą nieujemną – to znaczy, że musi być większa lub równa zero. W związku z tym rozwiązujemy nierówności:

4x - 3 ≥ 0

4x ≥ 3

x ≥ 3/4

Mamy więc drugi warunek: pierwiastek równania musi wynosić co najmniej 3/4.

Zgodnie z regułą układamy zestaw dwóch równań i rozwiązujemy je:

x + 3 = 4x - 3
x + 3 = -(4x - 3)

x + 3 = 4x - 3
x + 3 = -4x + 3

x - 4x = -3 - 3
x + 4x = 3 - 3

x = 2
x = 0

Otrzymaliśmy dwie odpowiedzi. Sprawdźmy, czy są to pierwiastki pierwotnego równania.

Mieliśmy dwa warunki: pierwiastek równania nie może być równy 1 i musi wynosić co najmniej 3/4. Tj x ≠ 1, x≥ 3/4. Oba te warunki odpowiadają tylko jednej z dwóch otrzymanych odpowiedzi - liczbie 2. Zatem tylko ona jest pierwiastkiem pierwotnego równania.

Odpowiedź: x = 2.

Nierówności z modułem.

Przykład 1 . Rozwiąż nierówności| x - 3| < 4

Rozwiązanie.

Zasada modułu mówi:

|ale| = ale, Jeśli ale ≥ 0.

|ale| = -ale, Jeśli ale < 0.

Moduł może mieć zarówno liczbę nieujemną, jak i ujemną. Musimy więc rozważyć oba przypadki: x- 3 ≥ 0 i x - 3 < 0.

1) Kiedy x- 3 ≥ 0 nasza pierwotna nierówność pozostaje taka, jaka jest, tylko bez znaku modulo:
x - 3 < 4.

2) Kiedy x - 3 < 0 в исходном неравенстве надо поставить знак минус перед всем подмодульным выражением:

-(x - 3) < 4.

Otwierając nawiasy otrzymujemy:

-x + 3 < 4.

Tak więc z tych dwóch warunków doszliśmy do połączenia dwóch systemów nierówności:

x - 3 ≥ 0
x - 3 < 4

x - 3 < 0
-x + 3 < 4

Rozwiążmy je:

x ≥ 3
x < 7

x < 3
x > -1

Tak więc w naszej odpowiedzi mamy połączenie dwóch zestawów:

3 ≤ x < 7 U -1 < x < 3.

Określamy najmniejszy i największa wartość. Są to -1 i 7. W tym samym czasie x większa niż -1, ale mniejsza niż 7.
Oprócz, x≥ 3. Zatem rozwiązaniem nierówności jest cały zbiór liczb od -1 do 7, z wyłączeniem tych skrajnych liczb.

Odpowiedź: -1 < x < 7.

Lub: x ∈ (-1; 7).

Dodatki.

1) Jest prostszy i krótka droga rozwiązania naszej nierówności - graficzne. Aby to zrobić, narysuj oś poziomą (ryc. 1).

Wyrażenie | x - 3| < 4 означает, что расстояние от точки x do punktu 3 mniej niż cztery jednostki. Zaznaczamy cyfrę 3 na osi i odliczamy 4 działki po lewej i prawej stronie. Po lewej dojdziemy do punktu -1, po prawej do punktu 7. Zatem punkty x po prostu widzieliśmy bez ich obliczania.

Ponadto, zgodnie z warunkiem nierówności, same -1 i 7 nie są zawarte w zbiorze rozwiązań. W ten sposób otrzymujemy odpowiedź:

1 < x < 7.

2) Ale jest inne rozwiązanie, które jest nawet prostsze niż sposób graficzny. Aby to zrobić, nasza nierówność musi być przedstawiona w następującej formie:

4 < x - 3 < 4.

Przecież tak jest zgodnie z regułą modułu. Nieujemna liczba 4 i podobna liczba ujemna -4 to granice rozwiązania nierówności.

4 + 3 < x < 4 + 3

1 < x < 7.

Przykład 2 . Rozwiąż nierówności| x - 2| ≥ 5

Rozwiązanie.

Ten przykład znacznie różni się od poprzedniego. Lewa strona jest większa niż 5 lub równa 5. Z geometrycznego punktu widzenia rozwiązaniem nierówności są wszystkie liczby, które znajdują się w odległości 5 jednostek lub więcej od punktu 2 (ryc. 2). Wykres pokazuje, że są to wszystkie liczby mniejsze lub równe -3 oraz większe lub równe 7. Tak więc otrzymaliśmy już odpowiedź.

Odpowiedź: -3 ≥ x ≥ 7.

Po drodze rozwiązujemy tę samą nierówność, przestawiając wolny wyraz w lewo i w prawo o przeciwny znak:

5 ≥ x - 2 ≥ 5

5 + 2 ≥ x ≥ 5 + 2

Odpowiedź jest taka sama: -3 ≥ x ≥ 7.

Lub: x ∈ [-3; 7]

Przykład rozwiązany.

Przykład 3 . Rozwiąż nierówności 6 x 2 - | x| - 2 ≤ 0

Rozwiązanie.

Numer x może być dodatnia, ujemna lub zerowa. Dlatego musimy wziąć pod uwagę wszystkie trzy okoliczności. Jak wiadomo, są one brane pod uwagę w dwóch nierównościach: x≥ 0 i x < 0. При x≥ 0, po prostu przepisujemy naszą pierwotną nierówność taką, jaka jest, tylko bez znaku modulo:

6x 2 - x - 2 ≤ 0.

A teraz drugi przypadek: jeśli x < 0. Модулем отрицательного числа является это же число с противоположным знаком. То есть пишем число под модулем с обратным знаком и опять же освобождаемся от знака модуля:

6x 2 - (-x) - 2 ≤ 0.

Rozwijanie nawiasów:

6x 2 + x - 2 ≤ 0.

W ten sposób otrzymaliśmy dwa układy równań:

6x 2 - x - 2 ≤ 0
x ≥ 0

6x 2 + x - 2 ≤ 0
x < 0

Musimy rozwiązać nierówności w układach - co oznacza, że musimy znaleźć pierwiastki dwóch równań kwadratowych. Aby to zrobić, przyrównujemy lewe strony nierówności do zera.

Zacznijmy od pierwszego:

6x 2 - x - 2 = 0.

Jak rozwiązać równanie kwadratowe — patrz rozdział „Równanie kwadratowe”. Od razu podamy odpowiedź:

x 1 \u003d -1/2, x 2 \u003d 2/3.

Z pierwszego układu nierówności otrzymujemy, że rozwiązaniem pierwotnej nierówności jest cały zbiór liczb od -1/2 do 2/3. Piszemy unię rozwiązań dla x ≥ 0:
[-1/2; 2/3].

Rozwiążmy teraz drugie równanie kwadratowe:

6x 2 + x - 2 = 0.

Jego korzenie:

x 1 = -2/3, x 2 = 1/2.

Wniosek: kiedy x < 0 корнями исходного неравенства являются также все числа от -2/3 до 1/2.

Połączmy te dwie odpowiedzi i uzyskajmy ostateczną odpowiedź: rozwiązaniem jest cały zestaw liczb od -2/3 do 2/3, w tym te skrajne liczby.

Odpowiedź: -2/3 ≤ x ≤ 2/3.

Lub: x ∈ [-2/3; 2/3].

Sposoby (reguły) otwierania nierówności modułami polegają na sekwencyjnym rozszerzaniu modułów, przy wykorzystaniu odstępów o stałym znaku funkcji podmodułów. W ostatecznej wersji uzyskuje się kilka nierówności, z których znajdują przedziały lub przedziały spełniające warunek problemu.

Przejdźmy do rozwiązywania często spotykanych w praktyce przykładów.

Nierówności liniowe z modułami

Przez liniowe rozumiemy równania, w których zmienna wchodzi do równania liniowo.

Przykład 1. Znajdź rozwiązanie nierówności

Rozwiązanie:
Z warunku problemu wynika, że przy x=-1 i x=-2 moduły zmieniają się w zero. Punkty te dzielą oś liczbową na przedziały

W każdym z tych przedziałów rozwiązujemy daną nierówność. W tym celu przede wszystkim sporządzamy rysunki graficzne obszarów stałego znaku funkcji submodularnych. Przedstawiono je jako obszary ze znakami każdej z funkcji.

lub interwały ze znakami wszystkich funkcji.

W pierwszym przedziale otwórz moduły

Obie części mnożymy przez minus jeden, a znak nierówności zmieni się na przeciwny. Jeśli trudno ci się przyzwyczaić do tej zasady, możesz przenieść każdą z części poza znak, aby pozbyć się minusa. W końcu otrzymasz

Przecięcie zbioru x>-3 z obszarem, na którym rozwiązano równania, będzie przedziałem (-3;-2). Dla tych, którym łatwiej jest szukać rozwiązań graficznie, możesz narysować skrzyżowanie tych obszarów

Rozwiązaniem będzie ogólne przecięcie obszarów. Przy ścisłych nierównościach krawędzie nie są uwzględniane. Jeśli nieścisłe jest sprawdzane przez podstawienie.

W drugim przedziale otrzymujemy

Sekcja będzie interwałem (-2; -5/3). Graficznie rozwiązanie będzie wyglądało

W trzecim przedziale otrzymujemy

Ten warunek nie daje rozwiązań na wymaganym obszarze.

Ponieważ dwa znalezione rozwiązania (-3;-2) i (-2;-5/3) graniczą z punktem x=-2 , również to sprawdzamy.

Zatem punkt x=-2 jest rozwiązaniem. Wspólna decyzja mając to na uwadze, będzie wyglądać tak (-3; 5/3).

Przykład 2. Znajdź rozwiązanie nierówności
|x-2|-|x-3|>=|x-4|

Rozwiązanie:
Zerami funkcji submodułów będą punkty x=2, x=3, x=4 . Gdy wartości argumentów są mniejsze niż te punkty, funkcje podmodułów są ujemne, a gdy wartości są duże, są dodatnie.

Punkty dzielą oś rzeczywistą na cztery przedziały. Otwieramy moduły zgodnie z przedziałami stałości znaku i rozwiązujemy nierówności.

1) Na pierwszym przedziale wszystkie funkcje submodularne są ujemne, dlatego przy rozbudowie modułów zmieniamy znak na przeciwny.

Przecięcie znalezionych wartości x z rozważanym przedziałem będzie zbiorem punktów

2) W przedziale między punktami x=2 i x=3 pierwsza funkcja submodułu jest dodatnia, druga i trzecia ujemna. Rozbudowując moduły, otrzymujemy

nierówność, która w przecięciu z przedziałem, na którym rozwiązujemy, daje jedno rozwiązanie - x=3.

3) W przedziale między punktami x=3 i x=4, pierwsza i druga funkcja submodułu są dodatnie, a trzecia ujemna. Na tej podstawie otrzymujemy

Warunek ten pokazuje, że cały przedział zaspokoi nierówność modułami.

4) Dla wartości x>4 wszystkie funkcje są znak-dodatnie. Rozbudowując moduły nie zmieniamy ich oznaczenia.

Znaleziony warunek na przecięciu z przedziałem daje następujący zestaw rozwiązań

Ponieważ nierówność jest rozwiązana na wszystkich przedziałach, pozostaje znaleźć wspólną wartość wszystkich znalezionych wartości x. Rozwiązaniem są dwie interwały

Ten przykład został rozwiązany.

Przykład 3. Znajdź rozwiązanie nierówności
||x-1|-5|>3-2x

Rozwiązanie:
Mamy nierówność z modułem z modułu. Takie nierówności ujawniają się, gdy moduły są zagnieżdżane, zaczynając od tych, które są umieszczone głębiej.

Funkcja submodułu x-1 jest konwertowana na zero w punkcie x=1 . Dla mniejszych wartości powyżej 1 jest ujemny i dodatni dla x>1 . Na tej podstawie otwieramy moduł wewnętrzny i rozważamy nierówność na każdym z przedziałów.

Najpierw rozważ przedział od minus nieskończoności do jednego

Funkcja submodułu wynosi zero w punkcie x=-4 . Dla mniejszych wartości jest dodatni, dla większych jest ujemny. Rozwiń moduł dla x<-4:

Na przecięciu z obszarem, na którym rozważamy, otrzymujemy zbiór rozwiązań

Kolejnym krokiem jest rozbudowa modułu na interwale (-4; 1)

Uwzględniając obszar rozbudowy modułu otrzymujemy przedział rozwiązań

PAMIĘTAJ: jeśli w takich nieprawidłowościach z modułami dostaniesz dwa przedziały graniczące ze wspólnym punktem, to z reguły jest to również rozwiązanie.

Aby to zrobić, wystarczy sprawdzić.

W tym przypadku podstawiamy punkt x=-4.

Więc x=-4 jest rozwiązaniem.
Rozwiń moduł wewnętrzny dla x>1

Funkcja podmodułu jest ujemna dla x<6.
Rozbudowując moduł otrzymujemy

Ten warunek w sekcji z przedziałem (1;6) daje pusty zbiór rozwiązań.

Dla x>6 otrzymujemy nierówność

Również rozwiązując dostaliśmy pusty zestaw.
Biorąc pod uwagę powyższe, jedynym rozwiązaniem nierówności z modułami będzie następujący przedział.

Nierówności z modułami zawierającymi równania kwadratowe

Przykład 4. Znajdź rozwiązanie nierówności
|x^2+3x|>=2-x^2

Rozwiązanie:
Funkcja submodułu znika w punktach x=0, x=-3. Przez proste podstawienie minus jeden

ustalamy, że jest on mniejszy od zera w przedziale (-3; 0) i dodatni poza nim.
Rozwiń moduł w obszarach, w których funkcja podmodułu jest dodatnia

Pozostaje określić obszary, w których funkcja kwadratowa pozytywny. Aby to zrobić, definiujemy korzenie równanie kwadratowe

Dla wygody podstawiamy punkt x=0, który należy do przedziału (-2;1/2). W tym przedziale funkcja jest ujemna, więc rozwiązaniem będą następujące zbiory x

Tutaj nawiasy wskazują krawędzie obszarów z rozwiązaniami, zrobiono to celowo, z uwzględnieniem następującej zasady.

PAMIĘTAJ: Jeżeli nierówność z modułami, lub zwykła nierówność jest ścisła, to krawędzie znalezionych obszarów nie są rozwiązaniami, ale jeśli nierówności nie są ścisłe (), to krawędzie są rozwiązaniami (oznaczone nawiasami kwadratowymi).

Ta zasada jest stosowana przez wielu nauczycieli: jeśli podana zostanie ścisła nierówność, a podczas obliczeń wpiszesz nawias kwadratowy ([,]) w rozwiązaniu, automatycznie uznają to za nieprawidłową odpowiedź. Również podczas testowania, jeśli określono nieścisłą nierówność modułów, to wśród rozwiązań szukaj obszarów z nawiasami kwadratowymi.

Na przedziale (-3; 0), rozwijając moduł, zmieniamy znak funkcji na przeciwny

Biorąc pod uwagę zakres ujawnienia nierówności rozwiązanie będzie miało postać:

Razem z poprzednim obszarem da to dwie półprzedziały

Przykład 5. Znajdź rozwiązanie nierówności
9x^2-|x-3|>=9x-2

Rozwiązanie:
Dana jest nieścisła nierówność, której funkcja podmodułu jest równa zero w punkcie x=3. Przy mniejszych wartościach jest ujemny, przy większych jest dodatni. Rozbudowujemy moduł na przedziale x<3.

Znalezienie dyskryminatora równania

i korzenie

Podstawiając punkt zerowy, dowiadujemy się, że na przedziale [-1/9; 1] funkcja kwadratowa jest ujemna, zatem przedział jest rozwiązaniem. Następnie otwórz moduł dla x>3