Co to jest równoległościan i jego właściwości. prostopadłościan

Definicja

wielościan nazwiemy zamkniętą powierzchnię złożoną z wielokątów i ograniczającą pewną część przestrzeni.

Segmenty, które są bokami tych wielokątów, nazywają się żebra wielościan i same wielokąty - twarze. Wierzchołki wielokątów nazywane są wierzchołkami wielościanu.

Rozważymy tylko wielościany wypukłe (jest to wielościan znajdujący się po jednej stronie każdej płaszczyzny zawierającej jej twarz).

Wielokąty tworzące wielościan tworzą jego powierzchnię. Część przestrzeni ograniczona danym wielościanem nazywana jest jego wnętrzem.

Definicja: pryzmat

Rozważmy dwa równe wielokąty \(A_1A_2A_3...A_n\) i \(B_1B_2B_3...B_n\) umieszczone w równoległych płaszczyznach tak, aby segmenty \(A_1B_1, \A_2B_2, ..., A_nB_n\) są równoległe. Wielościan utworzony z wielokątów \(A_1A_2A_3...A_n\) i \(B_1B_2B_3...B_n\) oraz równoległoboków \(A_1B_1B_2A_2, \A_2B_2B_3A_3, ...\), nazywa się (\(n\)-węgiel) pryzmat.

Wielokąty \(A_1A_2A_3...A_n\) i \(B_1B_2B_3...B_n\) nazywane są podstawami graniastosłupa, równoległobokiem \(A_1B_1B_2A_2, \A_2B_2B_3A_3, ...\)– ścianki boczne, segmenty \(A_1B_1, \A_2B_2, \ ..., A_nB_n\)- żeberka boczne.
W ten sposób boczne krawędzie pryzmatu są równoległe i równe.

Rozważmy przykład - pryzmat \(A_1A_2A_3A_4A_5B_1B_2B_3B_4B_5\), którego podstawą jest wypukły pięciokąt.

Wzrost Graniastosłup jest prostopadły z dowolnego punktu na jednej podstawie do płaszczyzny innej podstawy.

Jeśli krawędzie boczne nie są prostopadłe do podstawy, wówczas taki pryzmat nazywa się skośny(ryc. 1), w przeciwnym razie - proste. W przypadku prostego pryzmatu krawędzie boczne są wysokościami, a ściany boczne są równymi prostokątami.

Jeśli u podstawy prawego pryzmatu leży wielokąt foremny, to pryzmat ten nazywa się prawidłowy.

Definicja: pojęcie objętości

Jednostką objętości jest sześcian jednostkowy (sześcian o wymiarach \(1\times1\times1\) units\(^3\) , gdzie jednostka jest jednostką miary).

Można powiedzieć, że objętość wielościanu to ilość przestrzeni, jaką ten wielościan ogranicza. Inaczej: jest to wartość, której wartość liczbowa wskazuje, ile razy sześcian jednostkowy i jego części mieszczą się w danym wielościanie.

Objętość ma takie same właściwości jak powierzchnia:

1. Objętości równych cyfr są równe.

2. Jeśli wielościan składa się z kilku nie przecinających się wielościanów, to jego objętość jest równa sumie tomy tych wielościanów.

3. Objętość jest wartością nieujemną.

4. Objętość jest mierzona w cm\(^3\) (centymetrach sześciennych), m\(^3\) (metrach sześciennych) itp.

Twierdzenie

1. Powierzchnia bocznej powierzchni pryzmatu jest równa iloczynowi obwodu podstawy i wysokości pryzmatu.
Pole powierzchni bocznej jest sumą pól powierzchni bocznych pryzmatu.

2. Objętość pryzmatu jest równa iloczynowi powierzchni podstawy i wysokości pryzmatu: \

Definicja: pudełko

Równoległościan Jest to pryzmat, którego podstawą jest równoległobok.

Wszystkie ściany równoległościanu (ich \(6\) : \(4\) ściany boczne i \(2\) podstawy) są równoległobokami, a przeciwległe ściany (równolegle do siebie) są równymi równoległobokami (ryc. 2).

Przekątna pudełka to odcinek łączący dwa wierzchołki równoległościanu, które nie leżą na tej samej powierzchni (ich \(8\) : \(AC_1, \A_1C, \BD_1, \B_1D\) itp.).

prostopadłościan jest równoległościanem prawym z prostokątem u podstawy.
Bo jest równoległościanem prawym, a ściany boczne są prostokątami. Ogólnie rzecz biorąc, wszystkie ściany prostokątnego równoległościanu są prostokątami.

Wszystkie przekątne prostopadłościanu są równe (wynika to z równości trójkątów \(\triangle ACC_1=\trójkąt AA_1C=\trójkąt BDD_1=\trójkąt BB_1D\) itp.).

Komentarz

Tak więc równoległościan ma wszystkie właściwości pryzmatu.

Twierdzenie

Powierzchnia bocznej powierzchni prostokątnego równoległościanu jest równa \

Całkowita powierzchnia prostokątnego równoległościanu wynosi \

Twierdzenie

Objętość prostopadłościanu jest równa iloczynowi jego trzech krawędzi wychodzących z jednego wierzchołka (trzy wymiary prostopadłościanu): \

Dowód

Bo dla prostopadłościanu prostokątnego krawędzie boczne są prostopadłe do podstawy, wtedy są to również jego wysokości, czyli \(h=AA_1=c\) podstawa jest prostokątem \(S_(\text(main))=AB\cdot AD=ab\). Stąd pochodzi formuła.

Twierdzenie

Przekątnej \(d\) prostopadłościanu szukamy według wzoru (gdzie \(a,b,c\) to wymiary prostopadłościanu)\

Dowód

Rozważ ryc. 3. Ponieważ podstawa jest prostokątem, a następnie \(\triangle ABD\) jest prostokątne, zatem według twierdzenia Pitagorasa \(BD^2=AB^2+AD^2=a^2+b^2\) .

Bo wszystkie krawędzie boczne są prostopadłe do podstaw, to \(BB_1\perp (ABC) \Rightarrow BB_1\) prostopadłe do dowolnej linii w tej płaszczyźnie, tj. \(BB_1\perp BD\) . Tak więc \(\triangle BB_1D\) jest prostokątne. Następnie przez twierdzenie Pitagorasa \(B_1D=BB_1^2+BD^2=a^2+b^2+c^2\), tys.

Definicja: kostka

Sześcian jest prostokątnym równoległościanem, którego wszystkie boki są równe kwadratom.

Zatem trzy wymiary są sobie równe: \(a=b=c\) . Więc poniższe są prawdziwe

Twierdzenia

1. Objętość sześcianu o krawędzi \(a\) wynosi \(V_(\text(sześcian))=a^3\) .

2. Przekątna sześcianu jest przeszukiwana według wzoru \(d=a\sqrt3\) .

3. Całkowita powierzchnia sześcianu \(S_(\text(pełne iteracje kostki))=6a^2\).

Tłumaczenie z grecki równoległobok oznacza płaszczyznę. Równoległościan to graniastosłup, którego podstawą jest równoległobok. Istnieje pięć rodzajów równoległoboków: ukośny, prosty i prostokątny równoległościan. Sześcian i rombohedron również należą do równoległościanu i są jego odmianą.

Zanim przejdziemy do podstawowych pojęć, podajmy kilka definicji:

Przekątna równoległościanu to odcinek, który łączy wierzchołki równoległościanu, które są naprzeciw siebie.
Jeśli dwie ściany mają wspólną krawędź, możemy nazwać je sąsiednimi krawędziami. Jeśli nie ma wspólnej krawędzi, twarze są nazywane przeciwnie.
Dwa wierzchołki, które nie leżą na tej samej powierzchni, nazywane są przeciwległymi.

Jakie są właściwości równoległościanu?

Ściany równoległościanu leżące po przeciwnych stronach są do siebie równoległe i równe.
Jeśli narysujesz przekątne z jednego wierzchołka do drugiego, punkt przecięcia tych przekątnych podzieli je na pół.
Boki równoległościanu leżącego pod tym samym kątem do podstawy będą równe. Innymi słowy, kąty boków w obu kierunkach będą sobie równe.

Jakie są rodzaje równoległościanów?

Teraz zastanówmy się, czym są równoległościany. Jak wspomniano powyżej, istnieje kilka rodzajów tej figury: prosty, prostokątny, ukośny równoległościan, a także sześcian i rombohedron. Czym się od siebie różnią? Chodzi o płaszczyzny, które je tworzą i kąty, które tworzą.

Przyjrzyjmy się bliżej każdemu z wymienionych typów równoległościanów.

Jak sama nazwa wskazuje, nachylone pudełko ma nachylone ściany, a mianowicie te ściany, które nie są pod kątem 90 stopni w stosunku do podstawy.
Ale dla prawego równoległościanu kąt między podstawą a twarzą wynosi zaledwie dziewięćdziesiąt stopni. Z tego powodu ten typ równoległościanu ma taką nazwę.
Jeśli wszystkie ściany równoległościanu są tymi samymi kwadratami, wówczas tę figurę można uznać za sześcian.
Prostokątny równoległościan otrzymał swoją nazwę od tworzących go płaszczyzn. Jeśli wszystkie są prostokątami (łącznie z podstawą), to jest to prostopadłościan. Ten typ równoległościanu nie jest tak powszechny. W języku greckim rombohedron oznacza twarz lub podstawę. Tak nazywa się trójwymiarowa figura, w której twarze są rombami.

Podstawowe wzory na równoległościan

Objętość równoległościanu jest równa iloczynowi powierzchni podstawy i jej wysokości prostopadłej do podstawy.

Powierzchnia powierzchni bocznej będzie równa iloczynowi obwodu podstawy i wysokości.
Znając podstawowe definicje i wzory, możesz obliczyć powierzchnię bazową i objętość. Możesz wybrać wybraną przez siebie bazę. Jednak z reguły podstawą jest prostokąt.

W tej lekcji każdy będzie mógł zapoznać się z tematem „Prostokątne pudełko”. Na początku lekcji powtórzymy, czym są dowolne i proste równoległościany, przypomnimy sobie właściwości ich przeciwległych ścian i przekątnych równoległościanu. Następnie zastanowimy się, czym jest prostopadłościan i omówimy jego główne właściwości.

Temat: Prostopadłość linii i płaszczyzn

Lekcja: Prostopadłościan

Powierzchnia składająca się z dwóch równych równoległoboków ABCD i A 1 B 1 C 1 D 1 oraz czterech równoległoboków ABB 1 A 1, BCC 1 B 1, CDD 1 C 1, DAA 1 D 1 jest nazywana równoległościan(rys. 1).

Ryż. 1 równoległościan

Czyli: mamy dwa równe równoległoboki ABCD i A 1 B 1 C 1 D 1 (podstawy), leżą one w równoległych płaszczyznach tak, że krawędzie boczne AA 1, BB 1, DD 1, CC 1 są równoległe. Tak więc powierzchnia złożona z równoległoboków nazywa się równoległościan.

Zatem powierzchnia równoległościanu jest sumą wszystkich równoległoboków, które tworzą równoległościan.

1. Przeciwległe ściany równoległościanu są równoległe i równe.

(liczby są równe, to znaczy można je łączyć za pomocą nakładki)

Na przykład:

ABCD \u003d A 1 B 1 C 1 D 1 (z definicji równe równoległoboki),

AA 1 B 1 B \u003d DD 1 C 1 C (ponieważ AA 1 B 1 B i DD 1 C 1 C są przeciwległymi ścianami równoległościanu),

AA 1 D 1 D \u003d BB 1 C 1 C (ponieważ AA 1 D 1 D i BB 1 C 1 C są przeciwległymi ścianami równoległościanu).

2. Przekątne równoległościanu przecinają się w jednym punkcie i przecinają ten punkt.

Przekątne równoległościanu AC 1, B 1 D, A 1 C, D 1 B przecinają się w jednym punkcie O, a każda przekątna jest podzielona na pół przez ten punkt (ryc. 2).

Ryż. 2 Przekątne równoległościanu przecinają i przecinają punkt przecięcia.

3. Istnieją trzy czwórki równych i równoległych krawędzi równoległościanu: 1 - AB, A 1 B 1, D 1 C 1, DC, 2 - AD, A 1 D 1, B 1 C 1, BC, 3 - AA 1, BB 1, SS 1, DD 1.

Definicja. Równoległościan nazywa się prostym, jeśli jego boczne krawędzie są prostopadłe do podstaw.

Niech krawędź boczna AA 1 będzie prostopadła do podstawy (rys. 3). Oznacza to, że prosta AA 1 jest prostopadła do prostych AD i AB, które leżą w płaszczyźnie podstawy. I dlatego prostokąty leżą na bocznych ścianach. A podstawy są dowolnymi równoległobokami. Oznaczmy, ∠BAD = φ, kąt φ może być dowolny.

Ryż. 3 Prawe pudełko

Tak więc właściwe pudełko to pudełko, w którym boczne krawędzie są prostopadłe do podstaw pudełka.

Definicja. Równoległościan nazywa się prostokątnym, jeśli jego boczne krawędzie są prostopadłe do podstawy. Podstawy są prostokątami.

Równoległościan АВСДА 1 В 1 С 1 D 1 jest prostokątny (ryc. 4), jeżeli:

1. AA 1 ⊥ ABCD (krawędź boczna jest prostopadła do płaszczyzny podstawy, czyli prosty równoległościan).

2. ∠BAD = 90°, tzn. podstawa jest prostokątem.

Ryż. 4 Prostopadłościan

Prostokątne pudełko ma wszystkie właściwości dowolnego pudełka. Ale istnieją dodatkowe właściwości, które wynikają z definicji prostopadłościanu.

Więc, prostopadłościan jest równoległościanem, którego boczne krawędzie są prostopadłe do podstawy. Podstawą prostopadłościanu jest prostokąt.

1. W prostopadłościanie wszystkie sześć ścian to prostokąty.

ABCD i A 1 B 1 C 1 D 1 są z definicji prostokątami.

2. Żebra boczne są prostopadłe do podstawy. Oznacza to, że wszystkie ściany boczne prostopadłościanu są prostokątami.

3. Wszystkie dwuścienne kąty prostopadłościanu są kątami prostymi.

Rozważmy na przykład kąt dwuścienny równoległościanu prostokątnego z krawędzią AB, tj. kąt dwuścienny między płaszczyznami ABB 1 i ABC.

AB jest krawędzią, punkt A 1 leży w jednej płaszczyźnie - w płaszczyźnie ABB 1, a punkt D w drugiej - w płaszczyźnie A 1 B 1 C 1 D 1. Wówczas rozpatrywany kąt dwuścienny można również oznaczyć w następujący sposób: ∠А 1 АВD.

Weź punkt A na krawędzi AB. AA 1 jest prostopadła do krawędzi AB w płaszczyźnie ABB-1, AD jest prostopadła do krawędzi AB w płaszczyźnie ABC. Stąd ∠A 1 AD jest kątem liniowym danego kąta dwuściennego. ∠A 1 AD \u003d 90 °, co oznacza, że kąt dwuścienny na krawędzi AB wynosi 90 °.

∠(ABB 1, ABC) = ∠(AB) = ∠A 1 ABD= ∠A 1 AD = 90°.

Podobnie udowadnia się, że wszelkie kąty dwuścienne prostopadłościanu prostokątnego są prawidłowe.

Kwadrat przekątnej prostopadłościanu jest równy sumie kwadratów jego trzech wymiarów.

Notatka. Długości trzech krawędzi wychodzących z tego samego wierzchołka prostopadłościanu są wymiarami prostopadłościanu. Czasami nazywa się je długością, szerokością, wysokością.

Biorąc pod uwagę: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - prostokątny równoległościan (ryc. 5).

Udowodnić: .

Ryż. 5 Prostopadłościan

Dowód:

Prosta CC 1 jest prostopadła do płaszczyzny ABC, a więc do prostej AC. Czyli trójkąt CC 1 A jest trójkątem prostokątnym. Zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa:

Rozważać trójkąt prostokątny ABC. Zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa:

Ale BC i AD są przeciwległymi stronami prostokąta. Więc BC = AD. Następnie:

Bo , a , następnie. Ponieważ CC 1 = AA 1, to co należało udowodnić.

Przekątne prostokątnego równoległościanu są równe.

Oznaczmy wymiary równoległościanu ABC jako a, b, c (patrz rys. 6), a następnie AC 1 = CA 1 = B 1 D = DB 1 =

Równoległościan to graniastosłup, którego podstawą są równoległoboki. W takim przypadku wszystkie krawędzie będą równoległoboki.
Każdy równoległościan można uznać za pryzmat z trzema różne sposoby, ponieważ co dwie przeciwległe ściany mogą być traktowane jako podstawy (na rys. 5 ściany ABCD i A „B” C „D” lub ABA „B” i CDC „D” lub BC „C” i ADA „D” ) .
Rozważane ciało ma dwanaście krawędzi, cztery równe i równoległe do siebie.
Twierdzenie 3 . Przekątne równoległościanu przecinają się w jednym punkcie, pokrywając się ze środkiem każdego z nich.
Równoległościan ABCDA"B"C"D" (ryc. 5) ma cztery przekątne AC", BD", CA", DB". Musimy udowodnić, że punkty środkowe dowolnych dwóch z nich, na przykład AC i BD, pokrywają się.Wynika to z faktu, że figura ABC „D”, która ma równe i równoległe boki AB i C „D”, jest równoległobokiem .
Definicja 7 . Prawy równoległościan to równoległościan, który jest również prostym graniastosłupem, to znaczy równoległościanem, którego krawędzie boczne są prostopadłe do płaszczyzny podstawy.
Definicja 8 . Równoległościan prostokątny to równoległościan prawy, którego podstawą jest prostokąt. W tym przypadku wszystkie jego twarze będą prostokątami.
Prostokątny równoległościan to prawy graniastosłup, bez względu na to, którą z jego ścian przyjmiemy za podstawę, ponieważ każda z jego krawędzi jest prostopadła do krawędzi wychodzących z tego samego wierzchołka, a zatem będzie prostopadła do płaszczyzn ściany zdefiniowane przez te krawędzie. Z kolei pudełko proste, ale nie prostokątne, może być postrzegane jako prawy pryzmat tylko w jeden sposób.
Definicja 9 . Długości trzech krawędzi prostopadłościanu, z których żadne dwie nie są do siebie równoległe (na przykład trzy krawędzie wychodzące z tego samego wierzchołka), nazywamy jego wymiarami. Dwa prostokątne równoległościany o odpowiednio równych wymiarach są oczywiście sobie równe.
Definicja 10 Sześcian to prostokątny równoległościan, którego wszystkie trzy wymiary są sobie równe, tak że wszystkie jego powierzchnie są kwadratami. Dwa sześciany, których krawędzie są równe, są równe.
Definicja 11 . Nachylony równoległościan, w którym wszystkie krawędzie są równe, a kąty wszystkich ścian są równe lub komplementarne, nazywa się rombohedronem.
Wszystkie twarze rombohedronu są równymi rombami. (Kształt rombościanu ma kilka kryształów, które mają bardzo ważne, na przykład kryształy islandzkiego drzewca.) W romboedrze można znaleźć taki wierzchołek (a nawet dwa przeciwległe wierzchołki), że wszystkie sąsiadujące z nim kąty są sobie równe.
Twierdzenie 4 . Przekątne prostokątnego równoległościanu są sobie równe. Kwadrat przekątnej jest równy sumie kwadratów trzech wymiarów.
W prostopadłościanie prostokątnym ABCDA „B” C „D” (ryc. 6) przekątne AC „i BD” są równe, ponieważ czworokąt ABC „D” jest prostokątem (linia AB jest prostopadła do płaszczyzny BC „C” , w którym leży BC ").
Dodatkowo AC" 2 =BD" 2 = AB2+AD" 2 na podstawie twierdzenia o kwadratu przeciwprostokątnej. Ale na podstawie tego samego twierdzenia AD" 2 = AA" 2 + + A"D" 2; stąd mamy:
AC „2 \u003d AB 2 + AA” 2 + A „D” 2 \u003d AB 2 + AA „2 + AD 2.