Jaki jest kąt środkowy. Wpisane właściwości narożników

Najpierw ustalmy różnicę między kołem a kołem. Aby zobaczyć tę różnicę, wystarczy zastanowić się, jakie są te dwie liczby. Jest to niezliczona liczba punktów na płaszczyźnie, równoodległych od pojedynczego punktu środkowego. Ale jeśli okrąg składa się również z przestrzeni wewnętrznej, to nie należy do koła. Okazuje się, że okrąg to zarówno okrąg, który go ogranicza (o-okrąg (d) zness), jak i niezliczona liczba punktów, które znajdują się wewnątrz koła.

Dla dowolnego punktu L leżącego na okręgu obowiązuje równość OL = R. (Długość odcinka linii OL jest równa promieniowi okręgu).

Odcinek łączący dwa punkty okręgu to jego akord.

Akord przechodzący bezpośrednio przez środek koła to średnica ten okrąg (D). Średnicę można obliczyć ze wzoru: D = 2R

Obwód obliczone według wzoru: C = 2 \ pi R

Powierzchnia koła: S = \ pi R ^ (2)

Łuk koła nazywa się tę część, która znajduje się między jej dwoma punktami. Te dwa punkty definiują dwa łuki kołowe. Akord CD kurczy dwa łuki: CMD i CLD. Identyczne akordy kurczą się podobnymi łukami.

Środkowy róg nazywa się kątem, który znajduje się między dwoma promieniami.

Długość łuku można znaleźć według wzoru:

Za pomocą miary stopnia: CD = \ frac (\ pi R \ alfa ^ (\ circ)) (180 ^ (\ circ))
Używając miary w radianach: CD = \ alfa R

Średnica prostopadła do cięciwy dzieli cięciwę i skrócone przez nią łuki na pół.

Jeżeli cięciwy AB i CD okręgu przecinają się w punkcie N, to iloczyny odcinków cięciw oddzielonych punktem N są sobie równe.

AN \ cdot NB = CN \ cdot ND

Okrąg styczny

Styczna do okręgu zwyczajowo nazywa się linię prostą, która ma jeden wspólny punkt z okręgiem.

Jeśli linia prosta ma dwa punkty wspólne, nazywa się to sieczna.

Jeśli narysujesz promień do punktu stycznej, będzie on prostopadły do stycznej do okręgu.

Narysujmy dwie styczne z tego punktu do naszego okręgu. Okazuje się, że odcinki stycznych zrównają się ze sobą, a środek okręgu znajdzie się na dwusiecznej kąta z wierzchołkiem w tym punkcie.

AC = CB

Teraz narysuj styczną i sieczną do okręgu z naszego punktu. Otrzymujemy, że kwadrat długości odcinka stycznego będzie równy iloczynowi całego siecznego odcinka przez jego zewnętrzną część.

AC ^ (2) = CD \ cdot BC

Możemy wywnioskować, że iloczyn całego odcinka pierwszej siecznej do jej części zewnętrznej jest równy iloczynowi całego odcinka drugiej siecznej do jej części zewnętrznej.

AC \ cdot BC = EC \ cdot DC

Kąty w kole

Miary stopnia kąta środkowego i łuku, na którym się on opiera, są równe.

\ kąt COD = \ kubek CD = \ alfa ^ (\ circ)

Wpisany narożnik Jest kątem, którego wierzchołek znajduje się na okręgu i którego boki zawierają cięciwy.

Możesz to obliczyć, znając rozmiar łuku, ponieważ jest on równy połowie tego łuku.

\ kąt AOB = 2 \ kąt ADB

Na podstawie średnicy, kąt wpisany, linia prosta.

\ kąt CBD = \ kąt CED = \ kąt CAD = 90 ^ (\ circ)

Kąty wpisane na jednym łuku są identyczne.

Kąty wpisane na jednym cięciwie są identyczne lub ich suma wynosi 180 ^ (\ circ).

\ kąt ADB + \ kąt AKB = 180 ^ (\ circ)

\ kąt ADB = \ kąt AEB = \ kąt AFB

Na jednym okręgu znajdują się wierzchołki trójkątów o identycznych kątach i danej podstawie.

Kąt z wierzchołkiem wewnątrz okręgu i znajdujący się pomiędzy dwoma cięciwami jest równy połowie sumy wartości kątowełuki okręgu, które znajdują się w podanych i pionowych narożnikach.

\ kąt DMC = \ kąt ADM + \ kąt DAM = \ frac (1) (2) \ lewy (\ kubek DmC + \ kubek AlB \ prawy)

Kąt z wierzchołkiem na zewnątrz okręgu i znajdujący się między dwiema siecznymi jest identyczny z połową różnicy wartości kątowych łuków koła, które znajdują się wewnątrz kąta.

\ kąt M = \ kąt CBD - \ kąt ACB = \ frac (1) (2) \ lewy (\ kubek DmC - \ kubek AlB \ prawy)

Wpisany okrąg

Wpisany okrąg Jest okręgiem stycznym do boków wielokąta.

W miejscu przecięcia dwusiecznych narożników wielokąta znajduje się jego środek.

Okrąg nie może być wpisany w każdy wielokąt.

Obszar wielokąta z wpisanym kołem określa wzór:

S = pr,

p jest półobwodem wielokąta,

r jest promieniem okręgu wpisanego.

Wynika z tego, że promień okręgu wpisanego wynosi:

r = \ ułamek (S) (p)

Sumy długości przeciwległych boków będą identyczne, jeśli okrąg zostanie wpisany w wypukły czworobok. I odwrotnie: okrąg jest wpisany w czworobok wypukły, jeśli sumy długości przeciwległych boków są w nim identyczne.

AB + DC = AD + BC

W dowolny z trójkątów można wpisać okrąg. Tylko jeden. W miejscu, w którym przecinają się dwusieczne wewnętrzne rogi figury, będzie leżał środek tego wpisanego koła.

Promień okręgu wpisanego oblicza się według wzoru:

r = \ frac (S) (p),

gdzie p = \ frac (a + b + c) (2)

Zakreślony okrąg

Jeśli okrąg przechodzi przez każdy wierzchołek wielokąta, zwykle nazywa się taki okrąg opisane wielokątem.

Środek opisanego koła będzie znajdował się w punkcie przecięcia środkowych prostopadłych boków tej figury.

Promień można znaleźć, obliczając go jako promień okręgu opisanego wokół trójkąta określonego przez dowolne 3 wierzchołki wielokąta.

Jest następny warunek: okrąg można opisać wokół czworoboku tylko wtedy, gdy suma jego przeciwnych kątów wynosi 180 ^ (\ circ).

\ kąt A + \ kąt C = \ kąt B + \ kąt D = 180 ^ (\ okrąg)

Wokół dowolnego trójkąta możesz opisać okrąg i tylko jeden. Środek takiego okręgu będzie znajdował się w miejscu przecięcia środkowych prostopadłych boków trójkąta.

Promień opisanego okręgu można obliczyć za pomocą wzorów:

R = \ frac (a) (2 \ sin A) = \ frac (b) (2 \ sin B) = \ frac (c) (2 \ sin C)

R = \ frac (abc) (4 S)

a, b, c - długości boków trójkąta,

S to obszar trójkąta.

Twierdzenie Ptolemeusza

Na koniec rozważ twierdzenie Ptolemeusza.

Twierdzenie Ptolemeusza mówi, że iloczyn przekątnych jest identyczny z sumą iloczynów przeciwległych boków czworokąta wpisanego.

AC \ cdot BD = AB \ cdot CD + BC \ cdot AD

Jest to kąt utworzony przez dwa akordy pochodzące z jednego punktu koła. Mówi się, że wpisany kąt to polega na na łuku między jego bokami.

Wpisany narożnik równy połowie łuku, na którym spoczywa.

Innymi słowy, wpisany kąt obejmuje tyle stopni kątowych, minut i sekund, ile stopnie łuku, minuty i sekundy są zawarte w połowie łuku, na którym spoczywa. Dla uzasadnienia przeanalizujmy trzy przypadki:

Pierwszy przypadek:

Centrum O znajduje się z boku wpisany kąt ABC. Wykreślając promień AO, otrzymujemy ΔABO, w którym OA = OB (jako promienie) i odpowiednio ∠ABO = ∠BAO. W związku z tym trójkąt, kąt AOC - zewnętrzny. A to oznacza, że on… równe sumom e kąty ABO i BAO lub równe podwójnemu kątowi ABO. Więc ∠ABO równa się połowie centralny róg AOC. Ale ten kąt jest mierzony łukiem prądu przemiennego. Oznacza to, że kąt wpisany ABC jest mierzony przez połowę łuku AC.

Drugi przypadek:

Centrum O znajduje się między bokami wpisany kąt ABC Po narysowaniu średnicy BD dzielimy kąt ABC na dwa kąty, z których zgodnie z ustalonym w pierwszym przypadku jeden jest mierzony na pół łuki AD, a druga połowa łuku CD. I odpowiednio mierzy się kąt ABC (AD + DC) / 2, tj. 1/2 AC.

Trzeci przypadek:

Centrum O znajduje się na zewnątrz wpisany kąt ABC. Po narysowaniu średnicy BD otrzymamy: ∠ABС = ∠ABD - ∠CBD . Ale kąty ABD i CBD są mierzone na podstawie wcześniej uzasadnionych połówek łuki AD i CD. A ponieważ ∠ABC jest mierzone przez (AD-CD)/2, czyli połowę łuku AC.

Wniosek 1. Wszelkie jedynki oparte na tym samym łuku są takie same, to znaczy są sobie równe. Ponieważ każdy z nich jest mierzony o połowę tego samego łuki .

Następstwo 2. Wpisany narożnik na podstawie średnicy - prosty kąt... Ponieważ każdy taki kąt jest mierzony w pół półokręgu i odpowiednio zawiera 90 °.

Instrukcje

Jeśli znasz promień (R) okręgu i długość łuku (L) odpowiadającą żądanemu kątowi środkowemu (θ), możesz obliczyć go zarówno w stopniach, jak iw radianach. Pełna jest określona wzorem 2 * π * R i odpowiada kątowi środkowemu 360 ° lub dwóm liczbom pi, jeśli zamiast stopni stosuje się radiany. Dlatego postępuj zgodnie z proporcją 2 * π * R / L = 360 ° / θ = 2 * π / θ. Wyraź z niego kąt środkowy w radianach θ = 2 * π / (2 * π * R / L) = L / R lub stopnie θ = 360 ° / (2 * π * R / L) = 180 * L / (π * R) i oblicz, korzystając z otrzymanego wzoru.

Z długości cięciwy (m) łączącej punkty definiujące kąt środkowy (θ) można obliczyć jego wartość, jeśli znany jest promień (R) okręgu. Aby to zrobić, rozważ trójkąt utworzony przez dwa promienie i. To jest trójkąt równoramienny, wszyscy są znani, ale musisz znaleźć kąt, który leży naprzeciwko podstawy. Zatoka jego połowy jest równy stosunkowi długość podstawy - cięciwy - do dwukrotnej długości boku bocznego - promień. Dlatego do obliczeń używaj funkcji odwrotnego sinusa - arcsine: θ = 2 * arcsin (½ * m / R).

Kąt środkowy można określić w ułamkach obrotu lub na podstawie kąta rozwinięcia. Na przykład, jeśli chcesz znaleźć kąt środkowy odpowiadający jednej czwartej pełnego obrotu, podziel 360 ° przez cztery: θ = 360 ° / 4 = 90 °. Ta sama wartość w radianach powinna wynosić 2 * π / 4 ≈ 3,14 / 2 ≈ 1,57. Kąt rozłożony jest równy połowie pełnego obrotu, dlatego na przykład kąt środkowy odpowiadający jednej czwartej będzie równy połowie wartości obliczonych powyżej, zarówno w stopniach, jak iw radianach.

Funkcja trygonometryczna odwrotnego sinusa nosi nazwę arcus sinus... Może przyjmować wartości, które leżą w granicach połowy liczby Pi zarówno w wartościach dodatnich, jak i zła strona mierzone w radianach. Mierzone w stopniach wartości te będą mieściły się odpowiednio w zakresie od -90° do +90°.

Instrukcje

Niektóre „okrągłe” wartości nie muszą być obliczane, łatwiej je zapamiętać. Na przykład: - jeśli argumentem funkcji jest zero, to wartość arcus sinus z niej również wynosi zero, - od 1/2 jest równa 30 ° lub 1/6 Pi, jeśli zmierzono, - arcus sinus od -1/2 jest równy do -30 ° lub -1 / 6 Pi w; - arcus sinus 1 to 90 ° lub 1/2 Pi w radianach - arcsinus -1 to -90 ° lub -1/2 Pi w radianach;

Aby zmierzyć wartości tej funkcji z innych argumentów, najłatwiej jest użyć standardowego kalkulatora Windows, jeśli taki posiadasz. Aby rozpocząć, otwórz menu główne na przycisku „Start” (lub naciskając klawisz WIN), przejdź do sekcji „Wszystkie programy”, a następnie do podsekcji „Standard” i kliknij element „Kalkulator”.

Przełącz interfejs kalkulatora w tryb działania, który pozwala na obliczenia funkcje trygonometryczne... W tym celu otwórz sekcję „Widok” w jej menu i wybierz pozycję „Inżynieria” lub „Naukowa” (w zależności od użytego system operacyjny).

Wprowadź wartość argumentu, z którego ma zostać obliczony arcus tangens. Można to zrobić, klikając przyciski interfejsu kalkulatora myszą lub naciskając klawisze lub kopiując wartość (CTRL + C), a następnie wklejając ją (CTRL + V) do pola wejściowego kalkulatora.

Wybierz jednostki, w których chcesz otrzymać wynik obliczenia funkcji. Poniżej pola wejściowego znajdują się trzy opcje, z których należy wybrać (klikając myszą) jedną - radiany lub radiany.

Zaznacz pole, które odwraca funkcje wskazane na przyciskach w interfejsie kalkulatora. Obok widnieje krótki napis Inv.

Kliknij przycisk grzechu. Kalkulator odwróci przypisaną mu funkcję, wykona obliczenia i przedstawi wynik w określonych jednostkach.

Powiązane wideo

Jednym z najczęstszych problemów geometrycznych jest obliczenie powierzchni odcinka kołowego - części koła ograniczonej cięciwą i łukiem kołowym odpowiadającym cięciwie.

Powierzchnia segmentu kołowego jest równa różnicy między polem odpowiedniego sektora kołowego a polem trójkąta utworzonego przez promienie sektora odpowiadającego segmentowi i cięciwę ograniczającą segment.

Przykład 1

Długość cięciwy skracającej okrąg jest równa a. Miara stopnia łuku odpowiadającego cięciwie wynosi 60 °. Znajdź obszar segmentu kołowego.

Rozwiązanie

Trójkąt utworzony przez dwa promienie i cięciwę jest równoramienny, więc wysokość narysowana od wierzchołka kąta środkowego do boku trójkąta utworzonego przez cięciwę będzie również dwusieczną kąta środkowego, dzieląc go na pół i środkową , dzieląc akord na pół. Wiedząc, że sinus kąta jest równy stosunkowi przeciwnej odnogi do przeciwprostokątnej, możesz obliczyć wartość promienia:

Grzech 30 ° = a / 2: R = 1/2;

Sc = πR² / 360 ° * 60 ° = πa² / 6

S ▲ = 1/2 * ah, gdzie h jest wysokością narysowaną od szczytu kąta środkowego do cięciwy. Według twierdzenia Pitagorasa h = √ (R²-a² / 4) = √3 * a / 2.

W związku z tym S ▲ = √3 / 4 * a².

Powierzchnia segmentu, obliczona jako Sseg = Sc - S ▲, wynosi:

Sseg = πa² / 6 - √3 / 4 * a²

Podstawiając wartość liczbową za a, możesz łatwo obliczyć wartość liczbową dla obszaru segmentu.

Przykład 2

Promień okręgu jest równy a. Łuk odpowiadający segmentowi wynosi 60°. Znajdź obszar segmentu kołowego.

Rozwiązanie:

Obszar sektora odpowiadający danemu kątowi można obliczyć za pomocą następującego wzoru:

Sc = πa² / 360 ° * 60 ° = πa² / 6,

Pole trójkąta odpowiadające sektorowi oblicza się w następujący sposób:

S ▲ = 1/2 * ah, gdzie h jest wysokością narysowaną od szczytu kąta środkowego do cięciwy. Według twierdzenia Pitagorasa h = √ (a²-a² / 4) = √3 * a / 2.

W związku z tym S ▲ = √3 / 4 * a².

I na koniec powierzchnia segmentu, obliczona jako Sseg = Sc - S ▲, jest równa:

Sseg = πa² / 6 - √3 / 4 * a².

Rozwiązania w obu przypadkach są prawie identyczne. Możemy zatem stwierdzić, że do obliczenia powierzchni odcinka w najprostszym przypadku wystarczy znać wartość kąta odpowiadającego łukowi odcinka oraz jeden z dwóch parametrów - albo promień okręgu, albo długość cięciwy, która kurczy łuk okręgu tworzącego odcinek.

Źródła:

Segment — geometria

Środkowy róg jest kątem utworzonym przez dwa promienie kręgi... Przykładem kąta środkowego jest AOB, BOC, COE i tak dalej.

O centralny róg oraz łuk zawarte między jego stronami, mówią, że… korespondować wzajemnie.

1.jeśli rogi środkowe łuki są równe.

2.jeżeli rogi środkowe nie są równe, to większy z nich odpowiada większemu łuk.

Niech AOB i COD będą równe dwóm rogi środkowe, równe lub nierówne. Obróć sektor AOB wokół środka w kierunku wskazanym przez strzałkę tak, aby promień OA pokrywał się z OC. Następnie, jeśli kąty środkowe są równe, to promień OA będzie pokrywał się z OD, a łuk AB z łukiem CD .

Oznacza to, że te łuki będą równe.

Jeśli rogi środkowe nie są równe, to promień OB będzie przebiegał nie wzdłuż OD, ale wzdłuż jakiegoś innego kierunku, na przykład wzdłuż OE lub OF. W obu przypadkach większy łuk oczywiście odpowiada większemu kątowi.

Twierdzenie, które udowodniliśmy dla jednego koła, pozostaje prawdziwe dla równe koła, bo takie kręgi niczym się od siebie nie różnią, poza położeniem.

Odwróć sugestie też będzie prawdziwe . W tym samym kręgu lub w równych kręgach:

1.jeśli łuki są równe, to odpowiadające rogi środkowe są równe.

2.jeżeli łuki nie są równe, to większy z nich odpowiada większemu środkowy róg.

W tym samym okręgu lub w równych okręgach kąty środkowe są określane jako odpowiadające im łuki. Albo parafrazując, otrzymujemy kąt środkowy proporcjonalny odpowiedni łuk.

Średni poziom

Obwód i kąt wpisany. Przewodnik wizualny (2019)

Podstawowe warunki.

Czy dobrze pamiętasz wszystkie nazwiska związane z kręgiem? Na wszelki wypadek przypomnimy - spójrz na zdjęcia - odśwież swoją wiedzę.

Po pierwsze - środkiem okręgu jest punkt, odległości od wszystkich punktów okręgu są takie same.

Po drugie - promień - odcinek linii łączący środek i punkt na okręgu.

Promieni jest dużo (tyle, ile punktów na okręgu), ale długość dla wszystkich promieni jest taka sama.

Czasami dla zwięzłości promień nazywają się dokładnie długość segmentu„Centrum to punkt na okręgu”, a nie sama linia.

Ale co się dzieje jeśli połączysz dwa punkty na okręgu? Również segment?

Tak więc ten segment nazywa się "akord".

Podobnie jak w przypadku promienia, średnicę często nazywa się długością odcinka łączącego dwa punkty na okręgu i przechodzącego przez środek. A tak przy okazji, jak są ze sobą powiązane średnica i promień? Przypatrz się. Oczywiście, promień to połowa średnicy.

Oprócz akordów są też sieczna.

Pamiętasz najprostszą rzecz?

Kąt środkowy to kąt między dwoma promieniami.

A teraz - wpisany róg

Kąt wpisany - kąt między dwoma cięciwami przecinającymi się w punkcie na okręgu.

Mówi się, że wpisany kąt opiera się na łuku (lub cięciwie).

Zobacz zdjęcie:

Pomiary łuków i kątów.

Obwód. Łuki i kąty są mierzone w stopniach i radianach. Najpierw o stopniach. W przypadku kątów nie ma problemu - musisz nauczyć się mierzyć łuk w stopniach.

Miara stopni (rozmiar łuku) to wartość (w stopniach) odpowiedniego kąta środkowego

Co oznacza tutaj słowo „odpowiedni”? Przyglądamy się uważnie:

Czy widzisz dwa łuki i dwa środkowe rogi? Cóż, większy łuk odpowiada większemu kątowi (i dobrze, że jest większy), a mniejszy łuk odpowiada mniejszemu kątowi.

Więc zgodziliśmy się: łuk zawiera taką samą liczbę stopni, jak odpowiadający mu kąt centralny.

A teraz o okropnościach - o radianach!

Jaką bestią jest ten „radian”?

Wyobraź to sobie: radiany to sposób pomiaru kąta ... w promieniach!

Kąt w radianach to kąt środkowy, którego długość łuku jest równa promieniowi okręgu.

Wtedy pojawia się pytanie - ile radianów jest w rozłożonym kącie?

Innymi słowy: ile promieni „pasuje” w pół okręgu? Albo inaczej: ile razy długość pół okręgu jest większa niż promień?

To pytanie zadali naukowcy w starożytnej Grecji.

I tak po długich poszukiwaniach stwierdzili, że stosunek obwodu do promienia nie chciał być wyrażony w liczbach „ludzkich”, takich jak itp.

I nie potrafię nawet wyrazić tej postawy poprzez korzenie. To znaczy okazuje się, że nie można powiedzieć, że połowa koła jest razy lub razy większa niż promień! Czy możesz sobie wyobrazić, jak niesamowite było to, że ludzie odkryli to po raz pierwszy?! Dla stosunku długości pół okręgu do promienia „normalne” liczby nie wystarczały. Musiałem wpisać list.

Jest to więc liczba wyrażająca stosunek długości półokręgu do promienia.

Teraz możemy odpowiedzieć na pytanie: ile radianów znajduje się w rozłożonym kącie? Zawiera radiany. Właśnie dlatego, że połowa koła jest razy większa niż promień.

Starożytni (i nie tacy) ludzie od wieków (!) próbował dokładniej obliczyć tę tajemniczą liczbę, aby lepiej wyrazić ją (przynajmniej w przybliżeniu) za pomocą „zwykłych” liczb. A teraz jesteśmy niemożliwie leniwi - wystarczą nam dwa znaki po zajętym, jesteśmy przyzwyczajeni do tego, że

Pomyśl o tym, oznacza to na przykład, że y koła o promieniu jeden jest w przybliżeniu równe długości, ale po prostu niemożliwe jest zapisanie tej długości liczbą „ludzką” - potrzebujesz litery. A wtedy ten obwód będzie równy. No i oczywiście obwód promienia.

Wróćmy do radianów.

Zorientowaliśmy się już, że rozwinięty kąt zawiera radiany.

Co mamy:

To znaczy, że się cieszę. To znaczy, że się cieszę. W ten sam sposób uzyskuje się płytę o najpopularniejszych kątach.

Stosunek wartości kątów wpisanych i środkowych.

Ma miejsce niesamowity fakt:

Kąt wpisany jest o połowę mniejszy od odpowiedniego kąta centralnego.

Zobacz, jak wygląda to stwierdzenie na zdjęciu. „Odpowiadający” kąt środkowy to taki, w którym końce pokrywają się z końcami kąta wpisanego, a wierzchołek znajduje się w środku. Jednocześnie „odpowiadający” kąt środkowy musi „wyglądać” na ten sam cięciw () co kąt wpisany.

Dlaczego tak jest? Spójrzmy najpierw na prosty przypadek. Niech jeden z akordów przejdzie przez środek. Czasami tak się zdarza, prawda?

co się tutaj stało? Rozważmy. W końcu są równoramienne i są promieniami. Stąd (oznaczono je).

Teraz spójrzmy. To jest zewnętrzny narożnik! Pamiętamy, że róg zewnętrzny jest równy sumie dwóch nie sąsiadujących z nim wewnętrznych i piszemy:

To jest! Nieoczekiwany efekt... Ale jest też kąt środkowy dla wpisanego.

Oznacza to, że w tym przypadku udowodniono, że kąt środkowy jest dwukrotnie większy od kąta wpisanego. Ale to bardzo szczególny przypadek: czy to prawda, że akord nie zawsze przechodzi prosto przez środek? Ale nic, teraz ten konkretny przypadek bardzo nam pomoże. Spójrz: drugi przypadek: niech centrum będzie w środku.

Zróbmy to: narysuj średnicę. A potem… widzimy dwa zdjęcia, które zostały już przeanalizowane w pierwszym przypadku. Dlatego już to mamy

Stąd (na rysunku a)

Cóż, pozostaje ostatni przypadek: środek jest poza rogiem.

Robimy to samo: narysuj średnicę przez punkt. Wszystko jest takie samo, ale zamiast sumy - różnica.

To wszystko!

Sformułujmy teraz dwie główne i bardzo ważne konsekwencje ze stwierdzenia, że kąt wpisany jest połową kąta środkowego.

Następstwo 1

Wszystkie kąty wpisane na podstawie jednego łuku są sobie równe.

Zilustrujmy:

Istnieje niezliczona ilość kątów wpisanych spoczywających na tym samym łuku (my mamy ten łuk), mogą wyglądać zupełnie inaczej, ale wszystkie mają ten sam kąt środkowy (), co oznacza, że wszystkie te kąty wpisane są między sobą równe.

Następstwo 2

Kąt oparty na średnicy jest prosty.

Spójrz: dla którego rogu jest środkowy?

Na pewno, . Ale jest równy! No właśnie dlatego (a także wiele kątów wpisanych na podstawie) i jest równy.

Kąt między dwoma cięciwami i siecznymi

A co jeśli kąt, który nas interesuje, NIE jest wpisany i NIE jest centralny, a np. taki:

czy tak?

Czy da się to jakoś wyrazić poprzez jakieś centralne kąty? Okazuje się, że możesz. Spójrz: jesteśmy zainteresowani.

a) (jako narożnik zewnętrzny). Ale - wpisany, spoczywa na łuku -. - wpisany, spoczywa na łuku -.

Dla urody mówią:

Kąt między cięciwami jest równy połowie sumy wartości kątowych łuków zawartych w tym kącie.

Jest to napisane dla zwięzłości, ale oczywiście używając tego wzoru, musisz pamiętać o kątach środkowych

b) A teraz - „na zewnątrz”! Jak być? Tak, prawie to samo! Tylko teraz (ponownie zastosuj właściwość narożnika zewnętrznego dla). To znaczy teraz.

I to oznacza, że. Wprowadźmy piękno i zwięzłość w zapisy i sformułowania:

Kąt między siecznymi jest równy połowie różnicy wartości kątowych łuków zawartych w tym kącie.

Cóż, teraz jesteś uzbrojony w całą podstawową wiedzę na temat kątów związanych z kołem. Naprzód, do szturmu zadań!

KÓŁKO I KĄT NAPISANY. ŚREDNI POZIOM

Pięciolatek wie, czym jest koło, prawda? Matematycy, jak zawsze, mają zawiłą definicję tego, ale nie podamy jej (patrz), ale raczej przypomnimy sobie nazwy punktów, linii i kątów związanych z kołem.

Ważne terminy

Po pierwsze:

środek okręgu- taki punkt, odległości z których do wszystkich punktów okręgu są takie same.

Po drugie:

Jest jeszcze inne przyjęte wyrażenie: „akord ściąga łuk”. Na przykład na rysunku akord kurczy łuk. A jeśli akord nagle przechodzi przez środek, ma specjalną nazwę: „średnica”.

A tak przy okazji, jak są ze sobą powiązane średnica i promień? Przypatrz się. Oczywiście,

A teraz nazwy rogów.

Oczywiście, prawda? Boki narożnika wychodzą ze środka, co oznacza, że narożnik jest centralny.

Tutaj czasami pojawiają się trudności. Zwróć uwagę - NIE ŻADNY kąt wewnątrz koła - wpisany, ale tylko taki, którego wierzchołek „siedzi” na samym okręgu.

Zobaczmy różnicę na zdjęciach:

Mówią też w inny sposób:

Jest tutaj jeden trudny punkt. Co to jest „dopasowany” lub „niestandardowy” kąt środkowy? Tylko kąt z wierzchołkiem w środku okręgu i końcami na końcach łuku? Nie na pewno w ten sposób. Spójrz na rysunek.

Jeden z nich nie wygląda jednak jak róg – jest większy. Ale nie może być więcej kątów w trójkącie, ale w kole - może! A więc: mniejszy łuk AB odpowiada mniejszemu kątowi (pomarańczowy), a większy - większemu. Tylko jak, prawda?

Stosunek wartości kątów wpisanych i środkowych

Zapamiętaj bardzo ważne stwierdzenie:

W podręcznikach lubią pisać ten fakt tak:

Czy sformułowanie nie jest łatwiejsze w środkowym rogu?

Ale mimo to znajdźmy zgodność między tymi dwoma sformułowaniami, a jednocześnie nauczmy się znaleźć „odpowiadający” kąt środkowy i łuk, na którym wpisany kąt „opiera się” na rysunkach.

Spójrz: oto okrąg i wpisany kąt:

Gdzie jest jego „odpowiedni” kąt środkowy?

Patrzymy ponownie:

Jaka jest zasada?

Ale! W takim przypadku ważne jest, aby kąt wpisany i centralny „wyglądał” z jednej strony na łuk. Na przykład:

Co dziwne, niebieski! Ponieważ łuk jest długi, dłuższy niż pół koła! Więc nigdy nie myl!

Jakie konsekwencje można wywnioskować z „połowiczności” wpisanego kąta?

A tutaj np.:

Kąt na podstawie średnicy

Zauważyłeś już, że matematycy bardzo lubią mówić o tym samym. innymi słowami? Dlaczego mieliby? Widzisz, język matematyki, chociaż formalny, jest żywy i dlatego, jak w języku potocznym, za każdym razem, gdy chcesz go powiedzieć, ponieważ jest to wygodniejsze. Cóż, widzieliśmy już, co to jest „kąt opiera się na łuku”. I wyobraź sobie, że ten sam obraz nazywa się „kąt opiera się na cięciwie”. Na czym? Tak, oczywiście, na tym, który ciągnie ten łuk!

Kiedy wygodniej jest polegać na cięciwie niż na łuku?

No cóż, w szczególności gdy ten akord jest średnicą.

W takiej sytuacji istnieje zaskakująco proste, piękne i przydatne stwierdzenie!

Spójrz: oto obwód, średnica i kąt, na którym się opiera.