Cosinus jest równy stosunkowi. Definicja sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa

Dane odniesienia dla tangensa (tg x) i cotangensa (ctg x). Definicja geometryczna, właściwości, wykresy, wzory. Tablica tangensów i kotangensów, pochodne, całki, rozwinięcia szeregów. Wyrażenia w kategoriach zmiennych złożonych. Połączenie z funkcjami hiperbolicznymi.

Definicja geometryczna

| BD | - długość łuku koła wyśrodkowanego w punkcie A.
α to kąt wyrażony w radianach.

Styczna ( tg α) jest funkcją trygonometryczną zależną od kąta α między przeciwprostokątną a odnogą trójkąta prostokątnego, równą stosunkowi długości przeciwprostokątnej |BC | do długości sąsiedniej nogi |AB | ...

Cotangens ( ctg α) jest funkcją trygonometryczną zależną od kąta α między przeciwprostokątną a ramieniem trójkąta prostokątnego, równego stosunkowi długości sąsiedniego ramienia |AB | do długości przeciwległej nogi |BC | ...

Tangens

Gdzie n- cały.

W literaturze zachodniej tangens oznaczany jest następująco:
.
;
;
.

Wykres funkcji stycznej, y = tg x

Cotangens

Gdzie n- cały.

W literaturze zachodniej cotangens oznacza się następująco:
.
Przyjmuje się również następujące oznaczenia:
;
;
.

Wykres funkcji cotangensa, y = ctg x

Właściwości tangensa i cotangensa

Okresowość

Funkcje y = tg x i y = ctg x okresowy z okresem π.

Parytet

Funkcje tangens i cotangens są nieparzyste.

Dziedziny i wartości, wzrastające, malejące

Funkcje tangens i cotangens są ciągłe w swojej dziedzinie definicji (patrz dowód ciągłości). Główne właściwości tangensa i cotangensa przedstawiono w tabeli ( n- cały).

	y = tg x	y = ctg x
Domena definicji i ciągłości
Zakres wartości	-∞ < y < +∞	-∞ < y < +∞
Rosnąco		-
Malejąco	-
Ekstrema	-	-
Zera, y = 0
Punkty przecięcia z osią y, x = 0	y = 0	-

Formuły

Wyrażenia w postaci sinusa i cosinusa

; ;
; ;
;

Wzory na tangens i cotangens sumy i różnicy

Reszta formuł jest łatwa do zdobycia, na przykład

Iloczyn stycznych

Wzór na sumę i różnicę stycznych

Ta tabela pokazuje wartości tangensów i cotangensów dla niektórych wartości argumentu.

Wyrażenia w postaci liczb zespolonych

Wyrażenia w kategoriach funkcji hiperbolicznych

;
;

Pochodne

; .

.
Pochodna n-tego rzędu względem zmiennej x funkcji:
.
Wyprowadzenie wzorów na styczną>>>; dla cotangensa>>>

Całki

Rozszerzenia serii

Aby uzyskać rozwinięcie tangensa do potęg x, musisz wziąć kilka wyrazów rozwinięcia w szereg potęgowy dla funkcji grzech x oraz bo x i podziel te wielomiany przez siebie. Daje to następujące formuły.

Na .

w .
gdzie B n- Liczby Bernoulliego. Są one wyznaczane albo z relacji rekurencyjności:
;
;
gdzie .
Lub według formuły Laplace'a:

Funkcje odwrotne

Funkcje odwrotne tangensa i cotangensa to odpowiednio arcus tangens i arcus cotangens.

Arcus tangens, arctg

, gdzie n- cały.

Arccotangens, arcctg

, gdzie n- cały.

Bibliografia:
W. Bronstein, K.A. Semendyaev, Podręcznik matematyki dla inżynierów i studentów uczelni technicznych, „Lan”, 2009.
G. Korn, Podręcznik matematyki dla naukowców i inżynierów, 2012.

Tam, gdzie rozważano problemy z rozwiązywaniem trójkąta prostokątnego, obiecałem nakreślić technikę zapamiętywania definicji sinusa i cosinusa. Używając go, zawsze szybko zapamiętasz, która noga należy do przeciwprostokątnej (sąsiadująca lub przeciwna). Postanowiłem nie odkładać go na tylny palnik, wymagany materiał poniżej, przeczytaj 😉

Faktem jest, że wielokrotnie obserwowałem, jak uczniowie klas 10-11 mają trudności z zapamiętaniem tych definicji. Doskonale pamiętają, że noga należy do przeciwprostokątnej, ale która…- zapomnij i zmieszany. Kosztem błędu, jak wiadomo na egzaminie, jest stracony punkt.

Informacje, które przedstawię bezpośrednio matematyce nie mają z tym nic wspólnego. Wiąże się z myśleniem figuratywnym i metodami komunikacji werbalno-logicznej. Zgadza się, ja sam raz na zawsze pamiętamdane definicji. Jeśli o nich zapomnisz, to dzięki przedstawionym technikom zawsze łatwo je zapamiętać.

Przypomnę definicje sinusa i cosinusa w trójkącie prostokątnym:

Cosinus kąt ostry w trójkącie prostokątnym to stosunek sąsiedniej nogi do przeciwprostokątnej:

Zatoka kąt ostry w trójkącie prostokątnym to stosunek przeciwnej nogi do przeciwprostokątnej:

Jakie masz skojarzenia ze słowem cosinus?

Chyba każdy ma swoje 😉Zapamiętaj grupę:

W ten sposób natychmiast będziesz mieć wyraz w swojej pamięci -

«… stosunek nogi REGULACYJNEJ do przeciwprostokątnej».

Problem z określeniem cosinusa został rozwiązany.

Jeśli chcesz zapamiętać definicję sinusa w trójkącie prostokątnym, to pamiętając definicję cosinusa, możesz łatwo ustalić, że sinus kąta ostrego w trójkącie prostokątnym jest stosunkiem przeciwnej nogi do przeciwprostokątna. W końcu są tylko dwie nogi, jeśli sąsiednia noga jest „zajęta” przez cosinus, pozostaje tylko sinus przeciwny.

A co z tangensem i cotangensem? Zamieszanie jest takie samo. Studenci wiedzą, że jest to relacja nóg, ale problem polega na tym, aby pamiętać, do której należy - albo przeciwnie do sąsiedniej, albo odwrotnie.

Definicje:

Tangens kąt ostry w trójkącie prostokątnym to stosunek przeciwległej nogi do sąsiedniej:

Cotangens kąt ostry w trójkącie prostokątnym to stosunek sąsiedniej nogi do przeciwnej:

Jak zapamiętać? Są dwa sposoby. Jedno również wykorzystuje połączenie werbalno-logiczne, drugie - matematyczne.

METODA MATEMATYCZNA

Jest taka definicja - tangens kąta ostrego to stosunek sinusa kąta do jego cosinusa:

* Po zapamiętaniu wzoru zawsze możesz określić, że styczna kąta ostrego w trójkącie prostokątnym jest stosunkiem nogi przeciwnej do nogi sąsiedniej.

Podobnie.Cotangens kąta ostrego to stosunek cosinusa kąta do jego sinusa:

Więc! Po zapamiętaniu wskazanych wzorów zawsze można stwierdzić, że:

- tangens kąta ostrego w trójkącie prostokątnym jest stosunkiem odnogi przeciwległej do przyległej

- cotangens kąta ostrego w trójkącie prostokątnym to stosunek sąsiedniej nogi do przeciwległej.

METODA SŁOWO-LOGICZNA

O stycznej. Zapamiętaj grupę:

Oznacza to, że jeśli musisz zapamiętać definicję stycznej, korzystając z tego logicznego połączenia, możesz łatwo zapamiętać, że jest

"... relacja przeciwległej nogi do sąsiedniej"

Jeśli chodzi o cotangens, to pamiętając definicję tangensa, możesz łatwo wyrazić definicję cotangensa -

"... stosunek sąsiedniej nogi do przeciwnej"

Istnieje ciekawa technika zapamiętywania tangensa i cotangensa na stronie " Tandem matematyczny " , Spójrz.

METODA UNIWERSALNA

Możesz po prostu zapamiętać.Ale jak pokazuje praktyka, dzięki powiązaniom werbalnym i logicznym człowiek zapamiętuje informacje na długi czas, nie tylko matematyczne.

Mam nadzieję, że materiał był dla Ciebie przydatny.

Z pozdrowieniami, Aleksander Krutitskikh

PS: Byłbym wdzięczny, gdybyś mógł nam opowiedzieć o stronie w sieciach społecznościowych.

Badanie trygonometrii zaczniemy od trójkąta prostokątnego. Zdefiniujmy, co to jest sinus i cosinus, a także tangens i cotangens kąta ostrego. To są podstawy trygonometrii.

Odwołaj to prosty kąt to kąt 90 stopni. Innymi słowy, połowa spłaszczonego narożnika.

Ostry róg- mniej niż 90 stopni.

Kąt rozwarty- powyżej 90 stopni. „Głupi” zastosowany do takiego narożnika nie jest obelgą, ale matematycznym terminem :-)

Porysujmy trójkąt prostokątny... Zwykle wskazany jest kąt prosty. Zauważ, że strona przeciwna do rogu jest oznaczona tą samą literą, tylko małą. Tak więc oznaczono stronę przeciwną do rogu A.

Kąt jest oznaczony odpowiednią grecką literą.

Przeciwprostokątna trójkąt prostokątny to strona przeciwna do kąta prostego.

Nogi- boki przeciwległe do ostrych rogów.

Noga leżąca naprzeciwko rogu nazywa się przeciwny(w stosunku do narożnika). Kolejna noga, która leży po jednej stronie narożnika, nazywa się przylegający.

Zatoka kąt ostry w trójkącie prostokątnym to stosunek przeciwnej nogi do przeciwprostokątnej:

Cosinus kąt ostry w trójkącie prostokątnym to stosunek sąsiedniej nogi do przeciwprostokątnej:

Tangens kąt ostry w trójkącie prostokątnym - stosunek przeciwnej nogi do sąsiedniej:

Inna (równoważna) definicja: tangens kąta ostrego to stosunek sinusa kąta do jego cosinusa:

Cotangens kąt ostry w trójkącie prostokątnym to stosunek sąsiedniej nogi do przeciwległej (lub, co jest tym samym, stosunkiem cosinusa do sinusa):

Zwróć uwagę na podstawowe relacje dla sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa poniżej. Przydadzą się nam przy rozwiązywaniu problemów.

Udowodnijmy niektóre z nich.

No dobra, podaliśmy definicje i spisano formuły. A do czego służą sinus, cosinus, tangens i cotangens?

Wiemy to suma kątów dowolnego trójkąta wynosi.

Znamy związek między imprezy trójkąt prostokątny. To jest twierdzenie Pitagorasa:.

Okazuje się, że znając dwa kąty w trójkącie, można znaleźć trzeci. Znając dwa boki trójkąta prostokątnego, możesz znaleźć trzeci. Oznacza to, że dla rogów - własny stosunek, dla boków - własny. A co, jeśli w trójkącie prostokątnym znany jest jeden kąt (poza prawym) i jedna strona, ale trzeba znaleźć inne boki?

Ludzie mierzyli się z tym w przeszłości, robiąc mapy okolicy i rozgwieżdżonego nieba. W końcu nie zawsze można bezpośrednio zmierzyć wszystkie boki trójkąta.

Sinus, cosinus i tangens - są również nazywane funkcje trygonometryczne kąta- podać związek między imprezy oraz rogi trójkąt. Znając kąt, możesz znaleźć wszystkie jego funkcje trygonometryczne za pomocą specjalnych tabel. A znając sinusy, cosinusy i tangensy kątów trójkąta i jednego z jego boków, możesz znaleźć resztę.

Narysujemy również tabelę wartości sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa dla „dobrych” kątów od do.

Zwróć uwagę na dwie czerwone kreski w tabeli. Dla odpowiednich kątów tangens i cotangens nie istnieją.

Przeanalizujmy kilka zadań trygonometrycznych z Banku zadań FIPI.

1. W trójkącie kąt to . Znajdować.

Problem został rozwiązany w cztery sekundy.

O ile , .

2. W trójkącie kąt to ,. Znajdować.

Znajdź według twierdzenia Pitagorasa.

Problem został rozwiązany.

Trójkąty z narożnikami i lub z narożnikami i często napotykają problemy. Zapamiętaj dla nich podstawowe proporcje!

Dla trójkąta z narożnikami i odnogą przeciwną do kąta b jest równe połowa przeciwprostokątnej.

Trójkąt z rogami i równoramienny. W nim przeciwprostokątna jest razy większa niż noga.

Zbadaliśmy problem rozwiązywania trójkątów prostokątnych - czyli znajdowania nieznanych boków lub kątów. Ale to nie wszystko! V warianty egzaminu w matematyce istnieje wiele problemów, w których pojawia się sinus, cosinus, tangens lub cotangens zewnętrznego narożnika trójkąta. Więcej na ten temat w następnym artykule.

Cosinus jest dobrze znaną funkcją trygonometryczną, która jest również jedną z głównych funkcji trygonometrii. Cosinus kąta w trójkącie prostokątnym to stosunek sąsiedniego ramienia trójkąta do przeciwprostokątnej trójkąta. Najczęściej definicja cosinusa jest powiązana z prostokątnym trójkątem. Ale zdarza się również, że kąt, dla którego należy obliczyć cosinus w trójkącie typu prostokątnego, nie znajduje się w tym trójkącie bardzo prostokątnym. Co zatem należy zrobić? Jak znaleźć cosinus kąta trójkąta?

Jeśli chcesz obliczyć cosinus kąta w prostokątnym trójkącie, wszystko jest bardzo proste. Wystarczy zapamiętać definicję cosinusa, która jest rozwiązaniem tego problemu. Musisz tylko znaleźć sam związek między sąsiednią nogą a przeciwprostokątną trójkąta. Rzeczywiście, wyrażenie tutaj cosinusa kąta nie jest trudne. Wzór jest następujący: - cosα = a / c, tutaj „a” to długość nogi, a bok „c” to odpowiednio długość przeciwprostokątnej. Na przykład za pomocą tego wzoru można znaleźć cosinus kąta ostrego trójkąta prostokątnego.

Jeśli jesteś zainteresowany czym równa się cosinus kąt w dowolnym trójkącie, wtedy na ratunek przychodzi twierdzenie cosinus, które powinno być stosowane w takich przypadkach. Twierdzenie cosinus mówi, że kwadrat boku trójkąta jest a priori jest równa sumie kwadraty pozostałych boków tego samego trójkąta, ale bez podwójnego iloczynu tych boków przez cosinus kąta znajdującego się między nimi.

Jeśli w trójkącie konieczne jest znalezienie cosinusa kąta ostrego, należy użyć następującego wzoru: cosα = (a 2 + b 2 - c 2) / (2ab).
Jeśli w trójkącie konieczne jest znalezienie cosinusa kąta rozwartego, należy użyć następującego wzoru: cosα = (c 2 - a 2 - b 2) / (2ab). Oznaczenia we wzorze - a i b - to długości boków przylegających do żądanego kąta, c to długość boku przeciwnego do żądanego kąta.

Cosinus kąta można również obliczyć za pomocą twierdzenia sinus. Stwierdza, że wszystkie boki trójkąta są proporcjonalne do sinusa kątów, które są przeciwne. Za pomocą twierdzenia o sinusach można obliczyć pozostałe elementy trójkąta, mając informacje tylko o dwóch bokach i kącie przeciwległym do jednej strony lub w dwóch kątach i jednym boku. Rozważ przykład. Warunki problemowe: a = 1; b = 2; c = 3. Kąt przeciwny do boku „A” oznaczamy przez - α, to zgodnie ze wzorami mamy: cosα = (b² + c²-а²) / (2 * b * c) = (2² + 3²- 1²) / (2 * 2 * 3) = (4 + 9-1) / 12 = 12/12 = 1. Odpowiedź 1.

Jeśli cosinus kąta należy obliczyć nie w trójkącie, ale w jakiejś innej dowolnej figurze geometrycznej, wszystko staje się nieco bardziej skomplikowane. Wartość kąta należy najpierw określić w radianach lub stopniach, a dopiero potem z tej wartości obliczyć cosinus. Cosinus przez wartość liczbową jest określany za pomocą tabel Bradisa, kalkulatorów inżynierskich lub specjalnych aplikacji matematycznych.

Specjalne aplikacje matematyczne mogą mieć takie funkcje, jak automatyczne obliczanie cosinusów kątów w danym kształcie. Piękno takich aplikacji polega na tym, że dają poprawną odpowiedź, a użytkownik nie spędza czasu na rozwiązywaniu trudne zadania... Z drugiej strony, przy ciągłym korzystaniu wyłącznie z aplikacji do rozwiązywania problemów, wszystkie umiejętności pracy z rozwiązywaniem problemów matematycznych do znajdowania cosinusów kątów w trójkątach, a także innych liczb arbitralnych, są tracone.

Pojęcia sinus (), cosinus (), tangens (), cotangens () są nierozerwalnie związane z pojęciem kąta. Aby dobrze zrozumieć te na pierwszy rzut oka skomplikowane pojęcia (które wywołują grozę u wielu uczniów) i upewnić się, że „diabeł nie jest taki straszny, jak go malują”, zacznijmy od początku i zrozummy pojęcie kąta.

Pojęcie kąta: radian, stopień

Rzućmy okiem na zdjęcie. Wektor „obrócił się” względem punktu o określoną wartość. Zatem miarą tego obrotu w stosunku do pozycji początkowej będzie zastrzyk.

Co jeszcze musisz wiedzieć o pojęciu kąta? Oczywiście jednostki kątowe!

Kąt, zarówno w geometrii, jak i trygonometrii, można mierzyć w stopniach i radianach.

Nazywa się kąt (jeden stopień) środkowy róg w kole, opierając się na łuku koła równym części koła. Cały okrąg składa się więc z „kawałków” łuków kołowych, czyli kąt opisany przez okrąg jest równy.

Oznacza to, że powyższy obrazek pokazuje równy kąt, to znaczy ten kąt opiera się na łuku kołowym o wielkości obwodu.

Kąt w radianach to kąt środkowy okręgu, który spoczywa na łuku kołowym, którego długość jest równa promieniowi okręgu. Cóż, zorientowałeś się? Jeśli nie, zastanówmy się, rysując.

Rysunek pokazuje więc kąt równy radianowi, to znaczy kąt ten opiera się na łuku kołowym, którego długość jest równa promieniowi okręgu (długość jest równa długości lub promień jest równy długość łuku). Zatem długość łuku oblicza się według wzoru:

Gdzie jest kąt środkowy w radianach.

Czy możesz, wiedząc o tym, odpowiedzieć, ile radianów zawiera kąt opisany przez okrąg? Tak, w tym celu musisz zapamiętać wzór na obwód. Tutaj jest:

Cóż, teraz powiążmy te dwa wzory i uzyskajmy, że kąt opisany przez okrąg jest równy. To znaczy, skorelując wartość w stopniach i radianach, otrzymujemy to. Odpowiednio . Jak widać, w przeciwieństwie do „stopni”, słowo „radiany” jest pomijane, ponieważ jednostka jest zwykle jasna z kontekstu.

Ile jest radianów? Zgadza się!

Rozumiem? Następnie napraw do przodu:

Masz trudności? Potem spójrz odpowiedzi:

Trójkąt prostokątny: sinus, cosinus, tangens, cotangens kąta

Więc wymyśliliśmy pojęcie kąta. Ale czym właściwie jest sinus, cosinus, tangens, cotangens kąta? Rozwiążmy to. W tym celu pomoże nam trójkąt prostokątny.

Jak nazywają się boki trójkąta prostokątnego? Zgadza się, przeciwprostokątna i nogi: przeciwprostokątna to strona leżąca naprzeciwko kąta prostego (w naszym przykładzie jest to bok); nogi są dwoma pozostałymi bokami i (te, które sąsiadują z kątem prostym), ponadto jeśli rozpatrujemy nogi względem kąta, to noga jest nogą sąsiednią, a noga jest przeciwna. A teraz odpowiedzmy na pytanie: jaki jest sinus, cosinus, tangens i cotangens kąta?

Kąt sinusoidalny jest stosunkiem przeciwnej (odległej) nogi do przeciwprostokątnej.

W naszym trójkącie.

Cosinus kąta jest stosunkiem sąsiedniej (bliskiej) nogi do przeciwprostokątnej.

W naszym trójkącie.

Styczna kąta jest stosunkiem odnogi przeciwnej (odległej) do odnogi sąsiedniej (bliskiej).

W naszym trójkącie.

Cotangens kąta jest stosunkiem sąsiedniej (bliskiej) nogi do przeciwnej (odległej) nogi.

W naszym trójkącie.

Te definicje są konieczne Zapamiętaj! Aby łatwiej było zapamiętać, którą nogę podzielić na co, musisz wyraźnie zdać sobie z tego sprawę w tangens oraz cotangens tylko nogi siedzą, a przeciwprostokątna pojawia się tylko w sinus oraz cosinus... A potem możesz wymyślić łańcuch skojarzeń. Na przykład ten:

Cosinus → dotyk → dotyk → sąsiedni;

Cotangens → dotyk → dotyk → sąsiednie.

Przede wszystkim należy pamiętać, że sinus, cosinus, tangens i cotangens jako stosunki boków trójkąta nie zależą od długości tych boków (pod jednym kątem). Nie wierz? Następnie upewnij się, patrząc na zdjęcie:

Rozważmy na przykład cosinus kąta. Z definicji z trójkąta:, ale możemy obliczyć cosinus kąta z trójkąta:. Widzisz, długości boków są różne, ale wartość cosinusa jednego kąta jest taka sama. Zatem wartości sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa zależą wyłącznie od wielkości kąta.

Jeśli znasz definicje, popraw je!

Dla trójkąta pokazanego na poniższym rysunku znajdź.

Cóż, rozumiesz? Następnie spróbuj sam: policz to samo na róg.

Koło jednostkowe (trygonometryczne)

Rozumiejąc pojęcia stopni i radianów, rozważyliśmy okrąg o promieniu równym. Taki krąg nazywa się pojedynczy... Jest to bardzo przydatne podczas nauki trygonometrii. Dlatego przyjrzyjmy się temu bardziej szczegółowo.

Jak widać, ten okrąg jest zbudowany w kartezjańskim układzie współrzędnych. Promień okręgu jest równy jeden, natomiast środek okręgu leży w początku, początkowe położenie wektora promienia jest ustalone wzdłuż dodatniego kierunku osi (w naszym przykładzie jest to promień).

Każdy punkt okręgu odpowiada dwóm liczbom: współrzędnej wzdłuż osi i współrzędnej wzdłuż osi. A czym są te liczby-współrzędne? A ogólnie, co mają wspólnego z rozważanym tematem? Aby to zrobić, musisz pamiętać o rozważanym trójkącie prostokątnym. Na powyższym obrazku widać dwa całe trójkąty prostokątne. Rozważ trójkąt. Jest prostokątny, ponieważ jest prostopadły do osi.

Co jest równe trójkątowi? W porządku. Ponadto wiemy, że - to promień okręgu jednostkowego, a co za tym idzie. Podstaw tę wartość do naszego wzoru cosinusa. Oto, co się dzieje:

A co jest równe z trójkąta? Ależ oczywiście, ! Podstaw wartość promienia do tego wzoru i uzyskaj:

Czy możesz nam powiedzieć, jakie są współrzędne punktu należącego do okręgu? Cóż, nie ma mowy? A jeśli zdajesz sobie z tego sprawę i to tylko liczby? Jakiej współrzędnej to odpowiada? Oczywiście współrzędne! A jakiej współrzędnej to odpowiada? Zgadza się, koordynuj! Więc punkt.

A co wtedy są równe i? Zgadza się, użyjmy odpowiednich definicji tangensa i cotangensa i zdobądźmy to.

Co jeśli kąt jest większy? Tutaj, na przykład, jak na tym rysunku:

Co się zmieniło w tym przykładzie? Rozwiążmy to. Aby to zrobić, ponownie skręć w trójkąt prostokątny. Rozważ trójkąt prostokątny: róg (jako sąsiadujący z rogiem). Jaka jest wartość sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa dla kąta? Zgadza się, przestrzegamy odpowiednich definicji funkcje trygonometryczne:

Jak widać, wartość sinusa kąta nadal odpowiada współrzędnej; wartość cosinusa kąta - współrzędna; a wartości tangensa i cotangensa do odpowiednich stosunków. Zatem te zależności dotyczą dowolnych obrotów wektora promienia.

Wspomniano już, że początkowa pozycja wektora promienia leży wzdłuż dodatniego kierunku osi. Do tej pory obróciliśmy ten wektor w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, ale co, jeśli obrócimy go zgodnie z ruchem wskazówek zegara? Nic nadzwyczajnego, okaże się też kąt pewnej wielkości, ale tylko ujemny. Tak więc, gdy obrócisz wektor promienia w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, otrzymasz dodatnie kąty, a przy obrocie w prawo - negatywny.

Wiemy więc, że cały obrót wektora promienia w okręgu to lub. Czy można obrócić wektor promienia o lub o? Oczywiście, że możesz! W pierwszym przypadku wektor promienia wykona więc jeden pełny obrót i zatrzyma się w pozycji lub.

W drugim przypadku wektor promienia wykona trzy pełne obroty i zatrzyma się w pozycji lub.

Zatem z powyższych przykładów możemy wywnioskować, że kąty różniące się o lub (gdzie jest dowolną liczbą całkowitą) odpowiadają temu samemu położeniu wektora promienia.

Poniższy obrazek pokazuje kąt. Ten sam obraz odpowiada narożnikowi itp. Lista jest długa. Wszystkie te kąty można zapisać za pomocą ogólnego wzoru lub (gdzie jest dowolną liczbą całkowitą)

Teraz, znając definicje podstawowych funkcji trygonometrycznych i korzystając z okręgu jednostkowego, spróbuj odpowiedzieć, jakie wartości są równe:

Oto krąg jednostek, który może ci pomóc:

Masz trudności? Więc zastanówmy się. Wiemy więc, że:

Stąd określamy współrzędne punktów odpowiadających pewnym miarom kąta. Cóż, zacznijmy w kolejności: róg odpowiada punktowi o współrzędnych, a zatem:

Nie istnieje;

Ponadto, przestrzegając tej samej logiki, dowiadujemy się, że rogi odpowiadają odpowiednio punktom o współrzędnych. Wiedząc o tym, łatwo jest wyznaczyć wartości funkcji trygonometrycznych w odpowiednich punktach. Najpierw spróbuj sam, a potem sprawdź odpowiedzi.

Odpowiedzi:

Nie istnieje

W ten sposób możemy sporządzić następującą tabelę:

Nie trzeba pamiętać wszystkich tych znaczeń. Wystarczy pamiętać o zgodności współrzędnych punktów na okręgu jednostkowym z wartościami funkcji trygonometrycznych:

Ale wartości funkcji trygonometrycznych kątów w i, podane w poniższej tabeli, muszę pamiętać:

Nie bój się, teraz pokażemy jeden z przykładów. dość proste zapamiętywanie odpowiednich wartości:

Aby skorzystać z tej metody, należy pamiętać wartości sinusa dla wszystkich trzech miar kąta () oraz wartość tangensa kąta w. Znając te wartości dość łatwo jest odtworzyć całą tabelę jako całość – wartości cosinusów są przenoszone zgodnie ze strzałkami, czyli:

Wiedząc o tym, możesz przywrócić wartości. Licznik „” zostanie dopasowany, a mianownik „” będzie zgodny. Wartości cotangens są przenoszone zgodnie ze strzałkami na rysunku. Jeśli to zrozumiesz i zapamiętasz schemat ze strzałkami, wystarczy zapamiętać wszystkie wartości z tabeli.

Współrzędne punktu na okręgu

Czy można znaleźć punkt (jego współrzędne) na okręgu, znając współrzędne środka okręgu, jego promień i kąt obrotu?

Oczywiście, że możesz! Przynieśmy ogólny wzór na znalezienie współrzędnych punktu.

Tutaj mamy np. takie koło:

Dano nam, że punkt jest środkiem koła. Promień okręgu wynosi. Konieczne jest znalezienie współrzędnych punktu uzyskanego przez obracanie punktu o stopnie.

Jak widać na rysunku, długość odcinka odpowiada współrzędnej punktu. Długość segmentu odpowiada współrzędnej środka koła, czyli jest równa. Długość segmentu można wyrazić za pomocą definicji cosinusa:

Wtedy mamy to dla punktu współrzędnej.

Używając tej samej logiki, znajdujemy wartość współrzędnej y dla punktu. W ten sposób,

tak w ogólna perspektywa współrzędne punktów określają wzory:

Współrzędne środka okręgu,

promień okręgu,

Kąt obrotu promienia wektora.

Jak widać, dla rozpatrywanego okręgu jednostkowego wzory te są znacznie zmniejszone, ponieważ współrzędne środka są równe zeru, a promień jest równy jeden:

Cóż, czy spróbujemy tych formuł, ćwicząc znajdowanie punktów na kole?

1. Znajdź współrzędne punktu na okręgu jednostkowym uzyskanym przez obrócenie punktu o.

2. Znajdź współrzędne punktu na okręgu jednostkowym uzyskanym przez obrócenie punktu o.

3. Znajdź współrzędne punktu na okręgu jednostkowym uzyskanym przez obrócenie punktu o.

4. Punkt jest środkiem okręgu. Promień okręgu wynosi. Konieczne jest znalezienie współrzędnych punktu uzyskanego przez obrócenie wektora promienia początkowego o.

5. Punkt jest środkiem okręgu. Promień okręgu wynosi. Konieczne jest znalezienie współrzędnych punktu uzyskanego przez obrócenie wektora promienia początkowego o.

Masz problem ze znalezieniem współrzędnych punktu na okręgu?

Rozwiąż te pięć przykładów (lub dobrze zrozum rozwiązanie), a dowiesz się, jak je znaleźć!

Możesz to zobaczyć. Ale wiemy, co odpowiada pełnemu obrotowi punktu wyjścia. W ten sposób żądany punkt będzie w tej samej pozycji, co podczas obracania się. Wiedząc o tym, znajdujemy wymagane współrzędne punktu:

2. Okrąg jest jednostką ze środkiem w punkcie, co oznacza, że możemy używać uproszczonych wzorów:

Możesz to zobaczyć. Wiemy, co odpowiada dwóm pełnym obrotom punktu startowego. W ten sposób żądany punkt będzie w tej samej pozycji, co podczas obracania się. Wiedząc o tym, znajdujemy wymagane współrzędne punktu:

Sinus i cosinus to wartości tabelaryczne. Zapamiętujemy ich znaczenie i otrzymujemy:

Zatem wymagany punkt ma współrzędne.

3. Okrąg jest jednostką ze środkiem w punkcie, co oznacza, że możemy używać uproszczonych wzorów:

Możesz to zobaczyć. Przedstawmy rozważany przykład na rysunku:

Promień tworzy kąty z osią równą i. Wiedząc, że tabelaryczne wartości cosinusa i sinusa są równe i po ustaleniu, że cosinus ma tutaj wartość ujemną, a sinus jest dodatni, mamy:

Podobne przykłady są analizowane bardziej szczegółowo podczas studiowania wzorów na rzutowanie funkcji trygonometrycznych w temacie.

Zatem wymagany punkt ma współrzędne.

Kąt obrotu promienia wektora (według warunku)

Aby wyznaczyć odpowiednie znaki sinusa i cosinusa, konstruujemy okrąg jednostkowy i kąt: