Co to jest węzeł fali. Prędkość fazowa fali. Interferencja fal. stojące fale
Rozważ wynik interferencji dwóch sinusoidalnych fale samolotu o tej samej amplitudzie i częstotliwości, rozchodzących się w przeciwnych kierunkach. Dla uproszczenia rozumowania przyjmujemy, że równania tych fal mają postać:
Oznacza to, że u źródła obie fale powodują oscylacje w tej samej fazie. W punkcie A o współrzędnej x całkowita wartość wielkości oscylacyjnej, zgodnie z zasadą superpozycji (patrz § 19), wynosi
Z równania tego wynika, że w wyniku interferencji fal do przodu i do tyłu w każdym punkcie ośrodka (o stałej współrzędnej) powstają drgania harmoniczne o tej samej częstotliwości, ale o amplitudzie
zależne od wartości współrzędnej x. W punktach ośrodka, w których w ogóle nie ma wibracji: te punkty nazywane są węzłami wibracji.
W punktach, w których amplituda oscylacji ma najwyższa wartość, równy Te punkty nazywane są antywęzłami oscylacji. Łatwo pokazać, że odległość między sąsiednimi węzłami lub sąsiednimi antywęzłami jest równa odległości między antywęzłem a najbliższym węzłem jest równa Gdy x we wzorze (5.16 zmienia się o cosinus), odwraca swój znak (jego argument zmienia się na tak jeśli w obrębie jednej półfali - z jednego węzła do drugiego - cząstki ośrodka odchylają się w jednym kierunku, to w sąsiedniej półfali cząstki ośrodka będą odchylane w przeciwnym kierunku.
Proces falowy w ośrodku opisany wzorem (5.16) nazywany jest falą stojącą. Graficznie falę stojącą można przedstawić, jak pokazano na ryc. 1.61. Załóżmy, że y ma przemieszczenie punktów ośrodka ze stanu równowagi; wtedy wzór (5.16) opisuje „stojącą falę przemieszczenia”. W pewnym momencie, gdy wszystkie punkty ośrodka mają maksymalne przemieszczenia, których kierunek w zależności od wartości współrzędnej x określa znak. Przemieszczenia te pokazano na rys. 1,61 z solidnymi strzałkami. Po jednej czwartej okresu, gdy przemieszczenia wszystkich punktów ośrodka są równe zeru; cząstki medium przechodzą przez linię z różnymi prędkościami. Po kolejnej ćwiartce okresu, kiedy cząstki ośrodka znów będą miały maksymalne przemieszczenia, ale w przeciwnym kierunku; te przesunięcia są pokazane w
Ryż. 1,61 przerywanych strzałek. Punkty są antywęzłami stojącej fali przemieszczenia; punkty węzły tej fali.
Charakterystyczne cechy fali stojącej, w przeciwieństwie do konwencjonalnej fali rozchodzącej się lub biegnącej, są następujące (czyli fale płaskie przy braku tłumienia):
1) w fali stojącej amplitudy drgań są różne w różnych częściach układu; system ma węzły i antywęzły oscylacji. W „wędrującej” fali amplitudy te są wszędzie takie same;
2) na obszarze systemu od jednego węzła do sąsiedniego wszystkie punkty ośrodka oscylują w tej samej fazie; przy przejściu do sąsiedniej sekcji fazy oscylacji są odwrócone. W fali biegnącej fazy oscylacji zgodnie ze wzorem (5.2) zależą od współrzędnych punktów;
3) w fali stojącej nie ma jednokierunkowego transferu energii, jak ma to miejsce w przypadku fali biegnącej.
Przy opisywaniu procesów oscylacyjnych w układach sprężystych wartość oscylacyjną y można przyjąć nie tylko jako przemieszczenie lub prędkość cząstek układu, ale także jako wartość odkształcenia względnego lub wartość naprężenia przy ściskaniu, rozciąganiu lub ścinanie itp. Jednocześnie, w fali stojącej, w miejscach, w których powstają antywęzły prędkości cząstek, znajdują się węzły deformacji i odwrotnie, węzły prędkości pokrywają się z antywęzłami deformacji. Transformacja energii z kinetycznej na potencjalną i odwrotnie zachodzi na odcinku układu od antywęzła do sąsiedniego węzła. Można założyć, że każdy taki odcinek nie wymienia energii z sąsiednimi odcinkami. Zauważ, że transformacja energia kinetyczna przeniesienie cząstek w energię potencjalną odkształconych odcinków ośrodka w jednym okresie następuje dwukrotnie.
Powyżej, biorąc pod uwagę interferencję fal bezpośrednich i wstecznych (patrz wyrażenia (5.16)), nie interesowało nas pochodzenie tych fal. Załóżmy teraz, że ośrodek, w którym rozchodzą się drgania, ma ograniczone wymiary, na przykład drgania powstają w jakimś ciele stałym - w pręcie lub sznurku, w słupie cieczy lub gazu itp. Fala propagująca się w takim ośrodku ( ciało) , odbija się od granic, dlatego w obrębie objętości tego ciała stale występuje interferencja fal wywołanych przez zewnętrzne źródło i odbita od granic.
Rozważać najprostszy przykład; załóżmy, że w punkcie (ryc. 1.62) pręta lub struny ruch oscylacyjny o częstotliwości jest wzbudzany za pomocą zewnętrznego źródła sinusoidalnego; wybieramy początek odniesienia czasowego tak, aby w tym momencie przemieszczenie wyrażało się wzorem
gdzie amplituda oscylacji w punkcie Fala indukowana w pręcie zostanie odbita od drugiego końca pręta 0% i pójdzie w przeciwnym kierunku
kierunek. Znajdźmy wynik interferencji fal bezpośrednich i odbitych w pewnym punkcie pręta o współrzędnej x. Dla uproszczenia rozumowania zakładamy, że w pręcie nie ma pochłaniania energii drgań, a zatem amplitudy fal bezpośrednich i odbitych są równe.
W pewnym momencie, gdy przemieszczenie oscylujących cząstek w jednym punkcie jest równe y, w innym punkcie pręta, przemieszczenie wywołane falą bezpośrednią będzie, zgodnie ze wzorem na falę, równe
Odbita fala przechodzi również przez ten sam punkt A. Aby znaleźćprzemieszczenie wywołane w punkcie A przez falę odbitą (w tym samym czasie należy obliczyć czas w którym fala będzie podróżować zi do punktu Ponieważ przemieszczenie wywołane w punkcie przez falę odbitą będzie równy
W tym przypadku zakłada się, że na odbijającym końcu pręta w procesie odbicia nie ma nagłej zmiany fazy oscylacji; w niektórych przypadkach zachodzi taka zmiana fazy (zwana zanikiem fazy), którą należy wziąć pod uwagę.
Dodanie drgań wywołanych w różnych punktach pręta przez fale bezpośrednie i odbite daje falę stojącą; naprawdę,
gdzie jest pewna stała faza, niezależna od współrzędnej x i ilości
jest amplitudą oscylacji w punkcie; zależy ona od współrzędnej x, tj. jest różna w różnych miejscach pręta.
Znajdźmy współrzędne tych punktów pręta, w których tworzą się węzły i antywęzły fali stojącej. Cosinus zwraca się do zera lub jeden występuje przy wartościach argumentów, które są wielokrotnościami
gdzie jest liczbą całkowitą. Dla nieparzystej wartości tej liczby znika cosinus, a wzór (5.19) podaje współrzędne węzłów fali stojącej; bo nawet otrzymujemy współrzędne antywęzłów.
Powyżej dodano tylko dwie fale: bezpośrednią wychodzącą i odbitą rozchodzącą się, należy jednak liczyć się z tym, że fala odbita na granicy pręta zostanie ponownie odbita i popłynie w kierunku fali bezpośredniej. Takie refleksje
będzie dużo z końców pręta, dlatego konieczne jest znalezienie wyniku interferencji nie dwóch, ale wszystkich fal jednocześnie występujących w pręcie.
Załóżmy, że zewnętrzne źródło drgań powodowało falowanie w pręcie przez pewien czas, po czym ustał przepływ energii drgań z zewnątrz. W tym czasie w pręcie pojawiały się odbicia, gdzie jest to czas, w którym fala przechodziła z jednego końca pręta na drugi. W konsekwencji w pręcie będą jednocześnie występować fale biegnące w kierunku do przodu i fale biegnące w kierunku przeciwnym.
Załóżmy, że w wyniku interferencji jednej pary fal (bezpośredniej i odbitej) przemieszczenie w punkcie A okazało się równe y. Znajdźmy warunek, w którym wszystkie przemieszczenia y wywołane przez każdą parę fal mają te same kierunki w punkcie A pręta i dlatego się sumują. W tym celu fazy oscylacji wywołanych przez każdą parę fal w danym punkcie muszą różnić się od fazy oscylacji wywołanych przez następną parę fal. Ale każda fala ponownie wraca do punktu A z tym samym kierunkiem propagacji dopiero po pewnym czasie, tj. Opóźnia się w fazie przez wyrównanie tego opóźnienia, gdzie jest liczbą całkowitą, otrzymujemy
tzn. całkowita liczba półfal musi zmieścić się na całej długości pręta. Zauważ, że pod tym warunkiem fazy wszystkich fal przemieszczających się w kierunku do przodu różnią się od siebie o gdzie jest liczbą całkowitą; dokładnie w ten sam sposób, fazy wszystkich fal biegnących w przeciwnych kierunkach różnią się od siebie o. Dlatego jeśli jedna para fal (do przodu i do tyłu) daje rozkład przemieszczeń wzdłuż pręta, określony wzorem (5.17) , to przy interferencji par takich fal rozkład przemieszczeń nie ulegnie zmianie; wzrośnie tylko amplituda oscylacji. Jeżeli maksymalna amplituda oscylacji podczas interferencji dwóch fal według wzoru (5.18) jest równa, to przy interferencji wielu fal będzie ona większa. Oznaczmy to, gdyż wtedy rozkład amplitudy drgań wzdłuż pręta zamiast wyrażenia (5.18) będzie określony wzorem
Wyrażenia (5.19) i (5.20) określają punkty, w których cosinus ma wartości lub 1:
gdzie jest liczbą całkowitą Współrzędne węzłów fali stojącej zostaną otrzymane z tego wzoru dla wartości nieparzystych wtedy, w zależności od długości pręta, czyli wartości
współrzędne antywęzłów zostaną uzyskane z wartościami parzystymi
Na ryc. 1,63 przedstawia schematycznie falę stojącą w pręcie, którego długość; punkty są antywęzłami, punkty są węzłami tej fali stojącej.
W rozdz. wykazano, że przy braku okresowych wpływów zewnętrznych, charakter współdyskutujących ruchów w układzie, a przede wszystkim główna wielkość – częstotliwość drgań – determinowane są przez wymiary i właściwości fizyczne systemy. Każdy system oscylacyjny ma swój własny, nieodłączny ruch oscylacyjny; fluktuację tę można zaobserwować, jeśli system zostanie wytrącony z równowagi, a następnie wyeliminowane zostaną wpływy zewnętrzne.
W rozdz. 4 godziny rozważałem głównie układy oscylacyjne o parametrach skupionych, w których jedne ciała (punkt) mają masę bezwładną, a inne (sprężyny) właściwości sprężyste. Natomiast układy oscylacyjne, w których masa i elastyczność są nieodłączne dla każdej objętości elementarnej, nazywane są układami o parametrach rozłożonych. Należą do nich omówione powyżej pręty, struny, a także kolumny cieczy lub gazu (w dętych instrumentach muzycznych) itp. Dla takich systemów fale stojące są naturalnymi wibracjami; główna cecha tych fal - długość fali lub rozkład węzłów i antywęzłów, a także częstotliwość oscylacji - jest określona tylko przez wymiary i właściwości układu. stojące fale może istnieć nawet przy braku zewnętrznego (okresowego) wpływu na system; to działanie jest konieczne tylko do wywołania lub utrzymania fal stojących w systemie lub do zmiany amplitudy oscylacji. W szczególności, jeśli wpływ zewnętrzny na układzie o parametrach rozłożonych występuje z częstotliwością równą częstotliwości jego drgań własnych, czyli częstotliwości fali stojącej, wówczas zachodzi zjawisko rezonansu, rozważane w rozdz. 5.
To samo dla różnych częstotliwości.
Tak więc w układach o parametrach rozłożonych oscylacje naturalne – fale stojące – charakteryzują się całym spektrum częstotliwości będących wielokrotnością siebie. Najmniejsza z tych częstotliwości odpowiadająca najdłuższej długości fali nazywana jest częstotliwością podstawową; reszta) to alikwoty lub harmoniczne.
Każdy system charakteryzuje się nie tylko obecnością takiego spektrum drgań, ale także pewnym rozkładem energii pomiędzy drganiami o różnych częstotliwościach. Do instrumenty muzyczne taki rozkład nadaje dźwiękowi swoistą cechę, tzw. barwę dźwięku, która jest różna dla różnych instrumentów.
Powyższe obliczenia odnoszą się do swobodnie oscylującego „prętu o długości. Jednak zwykle mamy pręty zamocowane na jednym lub obu końcach (na przykład wibrujące struny) lub wzdłuż pręta znajduje się jeden lub więcej punktów. ruchy są węzłami wymuszonego przemieszczenia. Na przykład,
jeśli konieczne jest uzyskanie fal stojących w pręcie w jednym, dwóch, trzech punktach mocowania itp., to punkty te nie mogą być wybrane dowolnie, ale muszą być umieszczone wzdłuż pręta tak, aby znajdowały się w węzłach uformowanej fali stojącej . Pokazano to na przykład na ryc. 1.64. Na tym samym rysunku linia przerywana pokazuje przemieszczenia punktów pręta podczas drgań; Antywęzły przemieszczenia są zawsze tworzone na swobodnych końcach, a węzły przemieszczenia na stałych końcach. W przypadku oscylujących słupów powietrza w rurach węzły przemieszczenia (i prędkości) uzyskuje się na odbijających ścianach litych; na otwartych końcach rurek powstają antywęzły przemieszczeń i prędkości.
Każda fala jest oscylacją. Ciecz, pole elektromagnetyczne lub inne medium może oscylować. W Życie codzienne każdy człowiek codziennie spotyka się z tym lub innym przejawem wahań. Ale czym jest fala stojąca?
Wyobraź sobie pojemny pojemnik, do którego wlewa się wodę - może to być miska, wiadro lub wanna. Jeśli teraz płyn zostanie uderzony dłonią, faliste grzbiety będą przebiegały ze środka uderzenia we wszystkich kierunkach. Nawiasem mówiąc, nazywają się one - falami podróżującymi. Ich funkcja- transfer energii. Jednak zmieniając częstotliwość trzasków, można osiągnąć prawie całkowite ich widoczne zniknięcie. Odnosi się wrażenie, że masa wody staje się galaretowata, a ruch odbywa się tylko w górę iw dół. Fala stojąca jest tym przemieszczeniem. Zjawisko to występuje, ponieważ każda fala, która opuściła środek uderzenia, dociera do ścian zbiornika i jest odbijana z powrotem, gdzie przecina się (interferuje) z głównymi falami rozchodzącymi się w przeciwnym kierunku. Fala stojąca pojawia się tylko wtedy, gdy fale odbite i bezpośrednie są w fazie, ale różnią się amplitudą. W przeciwnym razie powyższa interferencja nie występuje, gdyż jedną z właściwości zaburzeń falowych o różnej charakterystyce jest zdolność współistnienia w tej samej objętości przestrzeni bez wzajemnego zniekształcania. Można argumentować, że fala stojąca jest sumą dwóch przeciwstawnych biegaczy, co prowadzi do spadku ich prędkości do zera.
Dlaczego w powyższym przykładzie woda nadal oscyluje w kierunku pionowym? Bardzo prosta! Kiedy nakładają się na siebie fale o tych samych parametrach, w pewnych momentach oscylacje osiągają swoją maksymalną wartość, zwaną antywęzłami, a w innych są całkowicie wygaszane (węzły). Zmieniając częstotliwość klaśnięć, możliwe jest zarówno całkowite wygaszenie fal poziomych, jak i zwiększenie przemieszczeń pionowych.
Fale stojące interesują nie tylko praktyków, ale także teoretyków. W szczególności jeden z modeli mówi, że każda cząstka materialna charakteryzuje się pewnymi specyficznymi (drganiami): drga elektron (drga), drga neutrino itp. Ponadto w ramach hipotezy przyjęto, że wspomniana drgania jest konsekwencją ingerencji niektórych, nieodkrytych jeszcze perturbacji ośrodka. Innymi słowy, autorzy twierdzą, że tam, gdzie te niesamowite fale tworzą falę stojącą, powstaje materia.
Nie mniej interesujące jest zjawisko rezonansu Schumanna. Polega ona na tym, że pod pewnymi warunkami (żadna z proponowanych hipotez nie została jeszcze przyjęta jako jedyna prawdziwa) w przestrzeni między powierzchnia ziemi i dolna granica jonosfery, stojąc fale elektromagnetyczne, których częstotliwości leżą w zakresie niskich i ultraniskich (od 7 do 32 Hz). Jeśli fala utworzona w szczelinie „powierzchnia-jonosfera” okrąży planetę i wejdzie w rezonans (zbieżność faz), to może istnieć przez długi czas bez tłumienia, samopodtrzymująca się. Rezonans Schumanna jest szczególnie interesujący, ponieważ częstotliwość fal praktycznie pokrywa się z naturalnymi rytmami alfa ludzkiego mózgu. Na przykład badania nad tym zjawiskiem w Rosji prowadzą nie tylko fizycy, ale także tacy duża organizacja jako „Instytut Ludzkiego Mózgu”.
Pomysłowy wynalazca Nikola Tesla zwrócił uwagę na te stojące. Uważa się, że mógł wykorzystać to zjawisko w niektórych swoich urządzeniach. Jednym ze źródeł ich pojawienia się w atmosferze są burze z piorunami. Wyładowania elektryczne wzbudzają pole elektromagnetyczne i generują fale.
stojące fale. 6.1 Fale stojące w ośrodku elastycznym
6.1 Fale stojące w ośrodku elastycznym
Zgodnie z zasadą superpozycji, gdy kilka fal jednocześnie rozchodzi się w ośrodku elastycznym, następuje ich superpozycja, a fale nie zakłócają się nawzajem: oscylacje cząstek ośrodka są sumą wektorów oscylacji, które wytworzyłyby cząstki podczas propagacji każdej z fal osobno.
Fale wywołujące oscylacje ośrodka, między którymi różnice fazowe są stałe w każdym punkcie przestrzeni, są nazywane zgodny.
Po dodaniu fale spójne istnieje zjawisko ingerencja, który polega na tym, że w niektórych punktach przestrzeni fale wzmacniają się nawzajem, a w innych słabną. Ważny przypadek interferencji obserwuje się, gdy dwie przeciwległe fale płaskie o tej samej częstotliwości i amplitudzie nakładają się na siebie. Powstałe oscylacje są nazywane stojąca fala. Najczęściej fale stojące powstają, gdy fala biegnąca zostaje odbita od przeszkody. W tym przypadku fala padająca i fala odbita w jej kierunku po zsumowaniu dają falę stojącą.
Otrzymujemy równanie fali stojącej. Weźmy dwie płaskie fale harmoniczne rozchodzące się ku sobie wzdłuż osi X i mające tę samą częstotliwość i amplitudę:
gdzie 
- faza oscylacji punktów ośrodka podczas przejścia pierwszej fali;
- faza oscylacji punktów ośrodka podczas przejścia drugiej fali.
Różnica faz w każdym punkcie na osi X sieć nie będzie zależeć od czasu, tj. będzie stała:
Dlatego obie fale będą spójne.
Oscylacja cząstek ośrodka wynikająca z dodania rozważanych fal będzie następująca:
Przekształcamy sumę cosinusów kątów zgodnie z zasadą (4.4) i otrzymujemy:
Przestawiając czynniki, otrzymujemy:
Aby uprościć wyrażenie, wybieramy początek tak, aby różnica faz 
i pochodzenie czasu, tak aby suma faz była równa zeru: 
.
Wtedy równanie na sumę fal przyjmie postać:
Równanie (6.6) nazywa się równanie fali stojącej. Widać z niego, że częstotliwość fali stojącej jest równa częstotliwości fali biegnącej, a amplituda, w przeciwieństwie do fali biegnącej, zależy od odległości od źródła:
. (6.7)
Uwzględniając (6.7), równanie fali stojącej przyjmuje postać:
. (6.8)
Zatem punkty ośrodka oscylują z częstotliwością zbieżną z częstotliwością fali biegnącej i z amplitudą a, w zależności od położenia punktu na osi X. W związku z tym amplituda zmienia się zgodnie z prawem cosinusów i ma swoje maksima i minima (rys. 6.1).
 |
Aby zobrazować położenie minimów i maksimów amplitudy, zastępujemy zgodnie z (5.29) liczbę falową jej wartością:
Wtedy wyrażenie (6.7) na amplitudę przyjmuje postać
(6.10)
Z tego staje się jasne, że amplituda przemieszczenia jest maksymalna przy 
, tj. w punktach, których współrzędna spełnia warunek:
, (6.11)
gdzie 
Stąd otrzymujemy współrzędne punktów, w których amplituda przemieszczeń jest maksymalna:
; (6.12)
Punkty, w których amplituda oscylacji ośrodka jest maksymalna, nazywa się antywęzły falowe.
Amplituda fali wynosi zero w punktach, w których 
. Współrzędne takich punktów, zwane węzły falowe, spełnia warunek:
, (6.13)
gdzie
Z (6.13) widać, że współrzędne węzłów mają wartości:
, (6.14)
Na ryc. 6.2 przedstawia przybliżony widok fali stojącej, zaznaczona jest lokalizacja węzłów i antywęzłów. Widać, że sąsiednie węzły i antywęzły przemieszczenia są oddalone od siebie o tę samą odległość.
 |
Znajdź odległość między sąsiednimi antywęzłami i węzłami. Z (6.12) otrzymujemy odległość między antywęzłami:
(6.15)
Odległość między węzłami otrzymuje się z (6.14):
(6.16)
Z otrzymanych relacji (6.15) i (6.16) wynika, że odległość pomiędzy sąsiednimi węzłami, jak również pomiędzy sąsiednimi antywęzłami jest stała i równa; węzły i antywęzły są przesunięte względem siebie o (rys. 6.3).
Z definicji długości fali możemy napisać wyrażenie na długość fali stojącej: jest ona równa połowie długości fali biegnącej:
Napiszmy, biorąc pod uwagę (6.17), wyrażenia na współrzędne węzłów i antywęzłów:
, (6.18)
, 
(6.19)
Mnożnik określający amplitudę fali stojącej zmienia swój znak przy przejściu przez wartość zero, w wyniku czego faza oscylacji po przeciwnych stronach węzła różni się o . Dlatego wszystkie punkty leżące wzdłuż różne strony od węzła oscylują w przeciwfazie. Wszystkie punkty pomiędzy sąsiednimi węzłami oscylują w fazie.
 |
Węzły warunkowo dzielą ośrodek na regiony autonomiczne, w których oscylacje harmoniczne występują niezależnie. Nie ma transferu ruchu między regionami, a zatem nie ma przepływu energii między regionami. Oznacza to, że nie ma transmisji perturbacji wzdłuż osi. Dlatego fala nazywa się stojącą.
Tak więc fala stojąca jest utworzona z dwóch przeciwnie skierowanych fal biegnących o równych częstotliwościach i amplitudach. Wektory Umov każdej z tych fal mają równy moduł i przeciwny kierunek, a po dodaniu dają zero. Dlatego fala stojąca nie przenosi energii.
6.2 Przykłady fal stojących
6.2.1 Fala stojąca w strunie
Rozważ ciąg długości L, zamocowany na obu końcach (rys. 6.4).
Umieśćmy oś wzdłuż sznurka X tak, aby lewy koniec ciągu miał współrzędną x=0 i prawo x=L. W strunie występują drgania opisane równaniem:
Zapiszmy warunki brzegowe dla rozważanego ciągu. Ponieważ jego końce są ustalone, to w punktach o współrzędnych x=0 oraz x=L bez wahania:
(6.22)
Znajdźmy równanie drgań struny na podstawie zapisanych warunków brzegowych. Piszemy równanie (6.20) dla lewego końca ciągu, biorąc pod uwagę (6.21):
Relacja (6.23) utrzymuje się przez cały czas t w dwóch przypadkach:
1. 
. Jest to możliwe, jeśli w strunie nie ma wibracji (). Ta sprawa nie jest interesująca i nie będziemy jej rozważać.
2. . Oto faza. Ten przypadek pozwoli nam otrzymać równanie drgań struny.
Wstawmy otrzymaną wartość fazy do warunku brzegowego (6.22) dla prawego końca struny:
. (6.25)
Jeśli się uwzględni
, (6.26)
z (6.25) otrzymujemy:
Ponownie pojawiają się dwa przypadki, w których relacja (6.27) jest spełniona. Przypadku, w którym nie ma wibracji w strunie (), nie będziemy rozważać.
W drugim przypadku równość musi utrzymywać:
a jest to możliwe tylko wtedy, gdy argument sinus jest wielokrotnością liczby całkowitej:
Odrzucamy wartość, ponieważ w tym przypadku , co oznaczałoby albo zerową długość ciągu ( L=0) lub fala-nowa liczba k=0. Biorąc pod uwagę zależność (6.9) między liczbą falową a długością fali, jasne jest, że aby liczba falowa była równa zero, długość fali musiałaby być nieskończona, a to oznaczałoby brak oscylacji.
Z (6.28) wynika, że liczba falowa podczas drgań struny zamocowanej na obu końcach może przyjmować tylko pewne wartości dyskretne:
Biorąc pod uwagę (6.9), piszemy (6.30) jako:
skąd wyprowadzamy wyrażenie na możliwe długości fal w łańcuchu:
Innymi słowy, na całej długości sznurka L musi być liczbą całkowitą n półfala:
Odpowiednie częstotliwości drgań można określić z (5.7):
Oto prędkość fazowa fali, która zgodnie z (5.102) zależy od gęstości liniowej struny i siły naciągu struny:
Podstawiając (6.34) do (6.33) otrzymujemy wyrażenie opisujące możliwe częstotliwości drgań struny:
, (6.36)
Częstotliwości są nazywane częstotliwości naturalne smyczki. częstotliwość (kiedy n = 1):
(6.37)
nazywa Podstawowa częstotliwość(lub główny ton) ciągi. Częstotliwości określone w n>1 nazywa podteksty lub harmonia. Liczba harmoniczna to n-1. Na przykład częstotliwość:
odpowiada pierwszej harmonicznej, a częstotliwość :
odpowiada drugiej harmonicznej i tak dalej. Ponieważ strunę można przedstawić jako system dyskretny o nieskończonej liczbie stopni swobody, każda harmoniczna jest moda wibracje strun. W ogólnym przypadku drgania struny są superpozycją modów.
 |
Każda harmoniczna ma swoją własną długość fali. Dla głównego tonu (z n= 1) długość fali:
odpowiednio dla pierwszej i drugiej harmonicznej (at n= 2 i n= 3) długości fal będą:
Rysunek 6.5 przedstawia widok kilku trybów drgań wykonywanych przez strunę.
W ten sposób struna ze stałymi końcami realizuje wyjątkowy przypadek w ramach fizyki klasycznej - dyskretne widmo częstotliwości drgań (lub długości fal). Elastyczny pręt z jednym lub dwoma zaciśniętymi końcami zachowuje się w ten sam sposób, jak wahania słupa powietrza w rurach, co zostanie omówione w kolejnych rozdziałach.
6.2.2 Wpływ warunków początkowych na ruch
ciągły ciąg. Analiza Fouriera
Drgania struny z zaciśniętymi końcami oprócz dyskretnego widma częstotliwości drgań mają jeszcze jedno ważna własność: konkretna forma drgań struny zależy od metody wzbudzenia drgań, tj. od warunków początkowych. Rozważmy bardziej szczegółowo.
Równanie (6.20), które opisuje jeden mod fali stojącej w strunie, jest szczególnym rozwiązaniem równania różniczkowego (5.61). Ponieważ drgania struny składają się ze wszystkich możliwych modów (dla struny z nieskończonej liczby), to wspólna decyzja równanie falowe (5.61) składa się z nieskończona liczba rozwiązania prywatne:
, (6.43)
gdzie i to numer trybu oscylacji. Wyrażenie (6.43) jest napisane z uwzględnieniem tego, że końce ciągu są stałe:
a także biorąc pod uwagę połączenie częstotliwości i th mod i jego numer falowy:
(6.46)
Tutaj 
– numer fali i moda;
jest numerem fali pierwszego trybu;
Znajdźmy wartość fazy początkowej dla każdego modu oscylacji. W tym czasie t=0 nadajmy łańcuchowi kształt opisany przez funkcję f 0 (x), wyrażenie, dla którego otrzymujemy z (6.43):
. (6.47)
Na ryc. 6.6 pokazuje przykład kształtu napisu opisanego przez moją funkcję f 0 (x).
 |
W tym momencie t=0 struna jest nadal w spoczynku, tj. prędkość wszystkich jego punktów jest równa zeru. Z (6.43) znajdujemy wyrażenie na prędkość punktów struny:
i zastępując go t=0, otrzymujemy wyrażenie na prędkość punktów struny w początkowy moment czas:
. (6.49)
Ponieważ w początkowym momencie prędkość wynosi zero, to wyrażenie (6.49) będzie równe zero dla wszystkich punktów struny, jeśli . Wynika z tego, że początkowa faza dla wszystkich modów również wynosi zero (). Mając to na uwadze, wyrażenie (6.43) opisujące ruch struny przyjmuje postać:
, (6.50)
i wyrażenie (6.47) opisujące forma początkowa struny, wygląda tak:
. (6.51)
Fala stojąca w strunie jest opisana funkcją okresową na przedziale , gdzie równa się dwóm długościom struny (rys. 6.7):
Widać to z faktu, że okresowość na przedziale oznacza:
Stąd,
co prowadzi nas do wyrażenia (6.52).
Z analizy matematycznej wiadomo, że dowolną funkcję okresową można z dużą dokładnością rozszerzyć w szereg Fouriera:
, (6.57)
gdzie , , są współczynnikami Fouriera.
stojąca fala- zjawisko interferencji fal rozchodzących się w przeciwnych kierunkach, w których transfer energii jest osłabiony lub nieobecny.
stojąca fala(elektromagnetyczny) - zmiana okresowa amplituda natężenie pól elektrycznych i magnetycznych wzdłuż kierunku propagacji, spowodowane interferencją fal padających i odbitych.
Na przykład fala stojąca występuje, gdy fala jest odbijana od przeszkód i niejednorodności w wyniku interakcji (interferencji) fali padającej i odbitej. Na wynik interferencji ma wpływ częstotliwość oscylacji, moduł i faza współczynnika odbicia, kierunki propagacji fal padających i odbitych względem siebie, zmiana lub zachowanie polaryzacji fal podczas odbicia, współczynnik tłumienia fal w ośrodku propagacji. Ściśle mówiąc, fala stojąca może istnieć tylko wtedy, gdy nie ma strat w ośrodku propagacji (lub w ośrodku aktywnym), a fala padająca jest całkowicie odbita. Jednak w rzeczywistym ośrodku obserwuje się mod fal mieszanych, ponieważ zawsze następuje transfer energii do miejsc absorpcji i emisji. Jeśli fala spada, to jest całkowicie wchłanianie, wtedy fala odbita jest nieobecna, nie ma interferencji fal, amplituda procesu falowego w przestrzeni jest stała. Taki proces falowy nazywa się falą biegnącą.
Przykładami fali stojącej są wibracje strun, wibracje powietrza w piszczałce organowej; w przyrodzie - fale Schumanna. Rurka Rubensa służy do demonstrowania fal stojących w gazie.
-
1 / 5
Na przykład różne tryby wibracji struny zaciśniętej na końcach określają jej ton podstawowy i alikwoty.
Matematyczny opis fal stojących
W przypadku jednowymiarowym dwie fale o tej samej częstotliwości, długości fali i amplitudzie rozchodzące się w przeciwnych kierunkach (na przykład ku sobie) będą oddziaływać ze sobą, tworząc falę stojącą. Na przykład fala harmoniczna rozchodząca się w prawo, docierając do końca struny, wytwarza falę stojącą. Fala odbita od końca musi mieć taką samą amplitudę i częstotliwość jak fala padająca.
Rozważ incydent i fale odbite w postaci:
r 1 = r 0 grzech (k x - ω t) (\displaystyle y_(1)\;=\;y_(0)\,\sin(kx-\omega t)) r 2 = y 0 grzech (k x + ω t) (\displaystyle y_(2)\;=\;y_(0)\,\sin(kx+\omega t))Dlatego powstałe równanie dla fali stojącej tak będzie w formie sumy r 1 oraz y2:
y = y 0 grzech (k x − ω t) + y 0 grzech (k x + ω t) . (\displaystyle y\;=\;y_(0)\,\sin(kx-\omega t)\;+\;y_(0)\,\sin(kx+\omega t).)Korzystając z relacji trygonometrycznych, równanie to można przepisać jako:
y = 2 y 0 cos (ω t) sin (k x) . (\displaystyle y\;=\;2\,y_(0)\,\cos(\omega t)\;\sin(kx).)Jeśli spojrzymy na modę x = 0 , λ / 2 , 3 λ / 2 , . . . (\displaystyle x=0,\lambda/2,3\lambda/2,...) i antymody x = λ / 4 , 3 λ / 4 , 5 λ / 4 , . . . (\displaystyle x=\lambda/4,3\lambda/4,5\lambda/4,...), wtedy odległość pomiędzy sąsiednimi modami / antymodami będzie równa połowie długości fali
Fale stojące są rozwiązaniami równań falowych. Można je traktować jako superpozycję fal rozchodzących się w przeciwnych kierunkach.
Gdy w ośrodku występuje fala stojąca, istnieją punkty, w których amplituda oscylacji jest równa zeru. Te punkty nazywają się węzły stojąca fala. Punkty, w których oscylacje mają maksymalną amplitudę, nazywane są antywęzłami.
Encyklopedyczny YouTube
Fale stojące mogą tworzyć się, gdy różne warunki. Zjawisko to najłatwiej zademonstrować w przestrzeniach zamkniętych. Efekt ten można osiągnąć łącząc dwie wibracje o tej samej długości fali, rozchodzące się w przeciwnych kierunkach. Interferencja dwóch sygnałów daje wynikową falę, która na pierwszy rzut oka nie porusza się (czyli stoi).
Ważnym warunkiem jest to, że energia musi wchodzić do systemu w określonym tempie. Oznacza to, że częstotliwość wzbudzenia powinna być w przybliżeniu równa częstotliwości drgań własnych. Ta koncepcja jest również znana jako rezonans. Fale stojące zawsze kojarzą się z . Występowanie rezonansu można określić przez gwałtowny wzrost amplitudy powstałych oscylacji. Na tworzenie fal stojących zużywa się znacznie mniej energii w porównaniu do fal biegnących o tych samych amplitudach.
Nie zapominaj, że w każdym systemie, w którym występują fale stojące, występują również liczne częstotliwości naturalne. Różnorodność wszystkich możliwych fal stojących nazywana jest harmonicznymi systemu. Najprostsza z harmonicznych nazywana jest podstawową lub pierwszą. Kolejne fale stojące nazywane są drugą, trzecią i tak dalej. Harmoniczne różniące się od podstawowych są czasami nazywane harmonicznymi podtekstów.
Rodzaje fal stojących
W zależności od Charakterystyka fizyczna Istnieje kilka rodzajów fal stojących. Wszystkie można warunkowo podzielić na trzy duże grupy: jednowymiarową, dwuwymiarową i trójwymiarową.
Jednowymiarowe fale stojące pojawiają się, gdy istnieje płaska zamknięta przestrzeń. W tym przypadku fala może rozchodzić się tylko w jednym kierunku: od źródła do granicy przestrzeni. Istnieją trzy podgrupy jednowymiarowych fal stojących: z dwoma węzłami na końcach, z jednym węzłem pośrodku oraz z węzłem na jednym z końców fali. Węzeł to punkt o najmniejszej amplitudzie i energii sygnału.
Dwuwymiarowe fale stojące powstają, gdy wibracje rozchodzą się w dwóch kierunkach od źródła. Po odbiciu od bariery pojawia się fala stojąca.
Trójwymiarowe fale stojące to sygnały rozchodzące się w przestrzeni ze skończoną prędkością. Węzły w tego typu oscylacji będą powierzchniami dwuwymiarowymi. To znacznie komplikuje ich badania. Przykładem takich fal jest orbita elektronu w atomie.
Praktyczne znaczenie fal stojących
fale stojące mają bardzo ważne, ponieważ dźwięk jest kombinacją kilku wibracji. Prawidłowe obliczenie długości i sztywności strun pozwala na uzyskanie najlepszego brzmienia danego instrumentu.
Bardzo ważne są również fale stojące. W metodzie badania cząstek za pomocą spektroskopii rentgenowskiej przetwarzanie odbitego sygnału umożliwia określenie przybliżonego składu ilościowego i jakościowego obiektu.