Co to jest węzeł falowy? Prędkość fazy fali. Interferencja fal. Stojące fale
Rozważmy wynik interferencji dwóch sinusoid fale płaskie o tej samej amplitudzie i częstotliwości, rozchodzące się w przeciwnych kierunkach. Dla uproszczenia rozumowania załóżmy, że równania tych fal mają postać:
Oznacza to, że w miejscu pochodzenia obie fale oscylują w tej samej fazie. W punkcie A o współrzędnej x całkowita wartość wielkości oscylacyjnej, zgodnie z zasadą superpozycji (patrz § 19), jest równa
Równanie to pokazuje, że w wyniku interferencji fal do przodu i do tyłu w każdym punkcie ośrodka (o stałej współrzędnej) powstają oscylacje harmoniczne z tą samą częstotliwością, ale o amplitudzie
w zależności od wartości współrzędnej x. W punktach ośrodka, w których w ogóle nie występują oscylacje: punkty te nazywane są węzłami oscylacji.
W punktach, w których występuje amplituda oscylacji najwyższa wartość, równe Punkty te nazywane są antywęzłami oscylacji. Łatwo pokazać, że odległość między sąsiednimi węzłami lub sąsiednimi antywęzłami jest równa odległości między antywęzłem a najbliższym węzłem jest równa Kiedy x zmienia się o cosinus we wzorze (5.16), znak zostaje odwrócony (jego argument zmienia się na zatem jeśli w obrębie jednej półfali – od jednego węzła do drugiego – cząstki ośrodka zostaną odchylone w jednym kierunku, to w obrębie sąsiedniej półfali cząstki ośrodka zostaną odchylone w kierunku przeciwnym.
Proces falowy w ośrodku opisany wzorem (5.16) nazywany jest falą stojącą. Graficznie falę stojącą można przedstawić w sposób pokazany na ryc. 1,61. Załóżmy, że y jest przesunięciem punktów ośrodka ze stanu równowagi; wówczas wzór (5.16) opisuje „falę przemieszczenia stojącego”. W pewnym momencie, gdy wszystkie punkty ośrodka mają maksymalne przemieszczenia, których kierunek, w zależności od wartości współrzędnej x, wyznacza znak Przemieszczenia te pokazano na rys. 1,61 z solidnymi strzałkami. Po jednej czwartej okresu, gdy przemieszczenia wszystkich punktów ośrodka są równe zeru; cząstki ośrodka przechodzą przez linię z różnymi prędkościami. Po kolejnym kwartale okresu, kiedy cząstki ośrodka ponownie będą miały maksymalne przemieszczenia, ale w przeciwnym kierunku; te przemieszczenia są pokazane w
Ryż. 1,61 z przerywanymi strzałkami. Punkty są antywęzłami fali przemieszczenia stojącego; punkty i węzły tej fali.
Charakterystyczne cechy fali stojącej, w odróżnieniu od zwykłej fali rozchodzącej się lub przemieszczającej się, są następujące (co oznacza fale płaskie przy braku tłumienia):
1) w fali stojącej amplitudy oscylacji są różne w różnych miejscach układu; układ ma węzły i antywęzły oscylacji. W przypadku fali „wędrującej” amplitudy te są wszędzie takie same;
2) na odcinku systemu od jednego węzła do sąsiedniego wszystkie punkty ośrodka oscylują w tej samej fazie; podczas przemieszczania się do sąsiedniej sekcji fazy oscylacji ulegają odwróceniu. W fali biegnącej fazy drgań, zgodnie ze wzorem (5.2), zależą od współrzędnych punktów;
3) w fali stojącej nie następuje jednokierunkowy transfer energii, jak ma to miejsce w przypadku fali bieżącej.
Opisując procesy oscylacyjne w układach sprężystych, wartość oscylacyjną y można przyjmować nie tylko jako przemieszczenie lub prędkość cząstek układu, ale także wartość odkształcenia względnego czy wartość naprężenia ściskającego, rozciągającego, ścinającego itp. Ponadto , w fali stojącej, w miejscach, w których powstają antywęzły prędkości cząstek, zlokalizowane są węzły deformacji i odwrotnie, węzły prędkości pokrywają się z antywęzłami deformacji. Konwersja energii z postaci kinetycznej do potencjalnej i odwrotnie następuje na odcinku układu od antywęzła do sąsiedniego węzła. Można założyć, że każdy taki obszar nie wymienia energii z sąsiednimi obszarami. Należy pamiętać, że transformacja energia kinetyczna przemieszczanie cząstek do energii potencjalnej odkształconych obszarów ośrodka następuje dwukrotnie w jednym okresie.
Powyżej, rozważając interferencję fal do przodu i do tyłu (patrz wyrażenia (5.16)), nie byliśmy zainteresowani pochodzeniem tych fal. Załóżmy teraz, że ośrodek, w którym rozchodzą się drgania, ma ograniczone wymiary, np. drgania powstają w jakimś ciele stałym - w pręcie lub sznurku, w kolumnie cieczy lub gazu itp. Fala rozchodząca się w takim ośrodku ( ciało), odbija się od granic, zatem w objętości tego ciała w sposób ciągły następuje interferencja fal wywołanych przez źródło zewnętrzne i odbitych od granic.
Rozważmy najprostszy przykład; Załóżmy, że w punkcie (ryc. 1.62) pręta lub sznurka wzbudzany jest ruch oscylacyjny o częstotliwości za pomocą zewnętrznego źródła sinusoidalnego; Wybieramy początek odliczania czasu tak, aby w tym momencie przemieszczenie było wyrażone wzorem
gdzie amplituda drgań w punkcie Fala wywołana w pręcie odbije się od drugiego końca pręta 0% i popłynie w przeciwnym kierunku
kierunek. Znajdźmy wynik interferencji fal bezpośrednich i odbitych w pewnym punkcie pręta o współrzędnej x. Dla uproszczenia rozumowania zakładamy, że w pręcie nie ma absorpcji energii drgań i dlatego amplitudy fal bezpośrednich i odbitych są równe.
W pewnym momencie, gdy przemieszczenie oscylujących cząstek w jednym punkcie będzie równe y, w innym punkcie pręta przemieszczenie wywołane falą bezpośrednią będzie, zgodnie ze wzorem falowym, równe
Fala odbita również przechodzi przez ten sam punkt A. Aby znaleźć przemieszczenie spowodowane w punkcie A przez falę odbitą (w tym samym momencie należy obliczyć czas, w którym fala przemieszcza się od tego punktu i z powrotem do tego punktu. Ponieważ przemieszczenie spowodowane w tym punkcie przez odbitą falę fala będzie równa
Zakłada się, że na odbijającym końcu pręta podczas odbicia nie następuje gwałtowna zmiana fazy oscylacji; W niektórych przypadkach następuje zmiana fazy (zwana utratą fazy), którą należy wziąć pod uwagę.
Połączenie oscylacji wywołanych w różnych punktach pręta przez fale bezpośrednie i odbite daje falę stojącą; Naprawdę,
gdzie istnieje pewna stała faza niezależna od współrzędnej x i ilości
jest amplitudą drgań w punkcie; zależy od współrzędnej x, tj. jest różna w różnych miejscach pręta.
Znajdźmy współrzędne tych punktów pręta, w których powstają węzły i antywęzły fali stojącej. Cosinus zmienia się na zero lub jeden, gdy wartości argumentów są wielokrotnościami
gdzie jest liczbą całkowitą. Jeśli liczba ta jest nieparzysta, cosinus przyjmuje wartość zero, a wzór (5.19) podaje współrzędne węzłów fali stojącej; jeśli nawet, otrzymujemy współrzędne antywęzłów.
Powyżej dodano tylko dwie fale: falę bezpośrednią pochodzącą z i falę odbitą rozchodzącą się od. Należy jednak wziąć pod uwagę, że fala odbita na granicy pręta ponownie zostanie odbita i pójdzie w kierunku fali bezpośredniej . Takie refleksje
z końców pręta będzie dużo, dlatego konieczne jest znalezienie wyniku interferencji nie dwóch, ale wszystkich jednocześnie istniejących fal w pręcie.
Załóżmy, że zewnętrzne źródło drgań powodowało falowanie w pręcie przez pewien czas, po czym dopływ energii drgań z zewnątrz ustał. W tym czasie w pręcie wystąpiły odbicia, czyli czas, w którym fala przeszła z jednego końca pręta na drugi. W rezultacie w pręcie będą jednocześnie istniały fale poruszające się w kierunku do przodu i fale poruszające się w kierunku przeciwnym.
Załóżmy, że w wyniku interferencji jednej pary fal (prostej i odbitej) przemieszczenie w punkcie A okazuje się równe y. Znajdźmy warunek, w którym wszystkie przemieszczenia y wywołane przez każdą parę fal mają ten sam kierunek w punkcie A pręta i dlatego sumują się. W tym celu fazy oscylacji wywołanych przez każdą parę fal w danym punkcie muszą różnić się od fazy oscylacji wywołanych przez następna para fale Ale każda fala powraca do punktu A ponownie z tym samym kierunkiem propagacji dopiero po pewnym czasie, tj. pozostaje w tyle w fazie, przyrównując to opóźnienie do miejsca, w którym jest liczbą całkowitą, otrzymujemy
oznacza to, że na całej długości pręta musi zmieścić się całkowita liczba półfal. Należy zauważyć, że w tym warunku fazy wszystkich fal przemieszczających się z kierunku do przodu różnią się od siebie o gdzie jest liczbą całkowitą; w ten sam sposób fazy wszystkich fal przemieszczających się z przeciwnego kierunku różnią się od siebie o. Zatem jeśli jedna para fal (do przodu i do tyłu) daje rozkład przemieszczeń wzdłuż pręta, określony wzorem (5.17), to gdy pary takich fal interferują, rozkład przemieszczeń nie ulegnie zmianie; wzrosną jedynie amplitudy oscylacji. Jeżeli maksymalna amplituda drgań podczas interferencji dwóch fal, zgodnie ze wzorem (5.18), jest równa, to przy interferencji wielu fal będzie większa. Oznaczmy to wtedy rozkład amplitudy oscylacji wzdłuż pręta zamiast wyrażenia (5.18) będzie określony wzorem
Z wyrażeń (5.19) i (5.20) wyznacza się punkty, w których cosinus ma wartość lub 1:
gdzie jest liczbą całkowitą. Współrzędne węzłów fali stojącej uzyskuje się z tego wzoru dla wartości nieparzystych, a następnie w zależności od długości pręta, tj. wielkości.
współrzędne antywęzłów zostaną uzyskane przy wartościach parzystych
Na ryc. Rysunek 1.63 przedstawia schematycznie falę stojącą w pręcie o długości ; punkty są antywęzłami, punkty są węzłami tej fali stojącej.
w rozdz. wykazano, że przy braku okresowych wpływów zewnętrznych charakter ruchów oscylacyjnych w układzie, a przede wszystkim główna wielkość - częstotliwość oscylacji - zależą od wymiarów i właściwości fizyczne systemy. Każdy układ oscylacyjny ma swój własny, nieodłączny ruch oscylacyjny; oscylację tę można zaobserwować, jeśli układ zostanie wytrącony z równowagi, a następnie usunięte zostaną wpływy zewnętrzne.
w rozdz. Część 4 rozważałem przede wszystkim układy oscylacyjne o parametrach skupionych, w których niektóre ciała (ciała punktowe) posiadają masę bezwładności, a inne ciała (sprężyny) posiadają właściwości sprężyste. Natomiast układy oscylacyjne, w których masa i sprężystość są nieodłączne w każdej elementarnej objętości, nazywane są układami o parametrach rozproszonych. Należą do nich omówione powyżej pręty, struny, a także kolumny cieczy lub gazu (w dętych instrumentach muzycznych) itp. W przypadku takich systemów naturalnymi oscylacjami są fale stojące; główna charakterystyka tych fal – długość fali lub rozkład węzłów i antywęzłów, a także częstotliwość oscylacji – zależy jedynie od wymiarów i właściwości układu. Stojące fale może istnieć przy braku zewnętrznego (okresowego) wpływu na system; efekt ten jest niezbędny jedynie do wywołania lub utrzymania fal stojących w systemie lub do zmiany amplitudy oscylacji. W szczególności, jeśli wpływ zewnętrzny w układzie o parametrach rozproszonych występuje z częstotliwością równą częstotliwości własnych oscylacji, czyli częstotliwości fali stojącej, wówczas zachodzi zjawisko rezonansu, omówione w rozdziale. 5.
To samo dotyczy różnych częstotliwości.
Zatem w układach o parametrach rozproszonych oscylacje naturalne – fale stojące – charakteryzują się całym spektrum częstotliwości, które są wielokrotnościami siebie. Najmniejsza z tych częstotliwości odpowiadająca najdłuższej długości fali nazywana jest częstotliwością podstawową; reszta) to alikwoty lub harmoniczne.
Każdy układ charakteryzuje się nie tylko obecnością takiego spektrum drgań, ale także pewnym rozkładem energii pomiędzy drganiami o różnych częstotliwościach. Dla instrumenty muzyczne Rozkład ten nadaje dźwiękowi osobliwą cechę, tzw. barwę dźwięku, która jest różna dla różnych instrumentów.
Powyższe obliczenia dotyczą swobodnie oscylującego pręta o określonej długości. Jednakże zwykle mamy pręty zamocowane na jednym lub obu końcach (na przykład wibrujące struny) lub wzdłuż pręta znajduje się jeden lub więcej punktów mocowania. Miejsca mocowania, w których znajdują się cząstki system nie może wibrować, ruchy są węzłami wymuszonego przemieszczenia, na przykład.
jeśli konieczne jest uzyskanie fal stojących w pręcie w jednym, dwóch, trzech punktach mocowania itp., wówczas punktów tych nie można wybierać dowolnie, ale muszą być rozmieszczone wzdłuż pręta tak, aby kończyły się w węzłach powstałego stojąca fala. Pokazano to na przykład na ryc. 1,64. Na tym samym rysunku linia przerywana pokazuje przemieszczenie punktów pręta podczas drgań; Antywęzły przemieszczenia powstają zawsze na końcach wolnych, węzły przemieszczenia zawsze powstają na końcach stałych. W przypadku oscylujących słupów powietrza w rurach węzły przemieszczenia (i prędkości) wyznaczane są na odblaskowych ścianach pełnych; Na otwartych końcach rur powstają antywęzły przemieszczeń i prędkości.
Każda fala jest oscylacją. Ciecz, pole elektromagnetyczne lub inne medium może wibrować. W Życie codzienne Każdy człowiek codziennie spotyka się z takim czy innym przejawem wahania. Ale czym jest fala stojąca?
Wyobraź sobie pojemny pojemnik, do którego wlewa się wodę – może to być umywalka, wiadro lub wanna. Jeśli teraz poklepiesz płyn dłonią, wówczas od środka uderzenia we wszystkich kierunkach będą biegły faliste grzbiety. Nawiasem mówiąc, tak się je nazywa - fale podróżne. Ich cecha charakterystyczna- transfer energii. Jednak zmieniając częstotliwość klaśnięć, można osiągnąć ich prawie całkowite, widoczne zniknięcie. Wydaje się, że masa wody staje się galaretowata, a ruch odbywa się tylko w dół i w górę. Fala stojąca jest tym przemieszczeniem. Zjawisko to zachodzi, ponieważ każda fala oddalająca się od środka uderzenia dociera do ścianek pojemnika i zostaje odbita z powrotem, gdzie przecina się (interferuje) z falami głównymi biegnącymi w przeciwnym kierunku. Fala stojąca pojawia się tylko wtedy, gdy fala odbita i fala bezpośrednia są w fazie, ale różnią się amplitudą. W przeciwnym razie powyższa interferencja nie występuje, ponieważ jedną z właściwości zaburzeń falowych o różnych charakterystykach jest zdolność do współistnienia w tej samej objętości przestrzeni bez wzajemnego zniekształcania. Można argumentować, że fala stojąca jest sumą dwóch fal biegnących przeciwnie, co prowadzi do spadku ich prędkości do zera.
Dlaczego woda w powyższym przykładzie nadal oscyluje w kierunku pionowym? Bardzo prosta! Kiedy fale o tych samych parametrach nakładają się na siebie, w pewnych momentach oscylacje osiągają swoją wartość maksymalną, zwaną antywęzłami, a w innych są całkowicie tłumione (węzły). Zmieniając częstotliwość klaskania, możesz albo całkowicie stłumić fale poziome, albo zwiększyć przemieszczenia pionowe.
Fale stojące interesują nie tylko praktyków, ale także teoretyków. W szczególności jeden z modeli stwierdza, że każda cząstka materialna charakteryzuje się pewnym rodzajem wibracji: elektron oscyluje (drży), oscyluje neutrino itp. Ponadto w ramach hipotezy przyjęto, że wspomniane drgania są konsekwencją interferencji niektórych nieodkrytych jeszcze zaburzeń środowiska. Innymi słowy, autorzy argumentują, że tam, gdzie te niesamowite fale tworzą fale stojące, pojawia się materia.
Nie mniej interesujące jest zjawisko rezonansu Schumanna. Polega ona na tym, że pod pewnymi warunkami (żadna z postawionych hipotez nie została dotychczas uznana za jedyną prawdziwą) w przestrzeni pomiędzy powierzchnia ziemi i dolna granica jonosfery, stojąca fale elektromagnetyczne, których częstotliwości mieszczą się w niskich i bardzo niskich zakresach (od 7 do 32 herców). Jeżeli fala powstająca w szczelinie „powierzchnia – jonosfera” okrąży planetę i wejdzie w rezonans (zbieżność faz), może istnieć przez długi czas bez tłumienia, samopodtrzymując się. Rezonans Schumanna jest szczególnie interesujący, ponieważ częstotliwość fal jest prawie identyczna z naturalnymi rytmami alfa ludzkiego mózgu. Na przykład nie tylko fizycy, ale także tacy duża organizacja jako „Instytut Ludzkiego Mózgu”.
Na stojące zwrócił uwagę genialny wynalazca Nikola Tesla. Uważa się, że mógłby wykorzystać to zjawisko w niektórych swoich urządzeniach. Burze są uważane za jedno ze źródeł ich pojawiania się w atmosferze. Wyładowania elektryczne wzbudzają pole elektromagnetyczne i generują fale.
Stojące fale. 6.1 Fale stojące w ośrodku sprężystym
6.1 Fale stojące w ośrodku sprężystym
Zgodnie z zasadą superpozycji, gdy w ośrodku sprężystym rozchodzi się jednocześnie kilka fal, następuje ich superpozycja, a fale nie zakłócają się wzajemnie: oscylacje cząstek ośrodka są sumą wektorową drgań, jakie wykonywałyby te cząstki gdy każda z fal rozchodzi się oddzielnie.
Nazywa się fale wywołujące oscylacje ośrodka, pomiędzy którymi różnice faz są stałe w każdym punkcie przestrzeni zgodny.
Podczas dodawania spójne fale zachodzi zjawisko ingerencja, która polega na tym, że w niektórych punktach przestrzeni fale wzmacniają się, a w innych osłabiają. Istotny przypadek interferencji obserwuje się, gdy nakładają się na siebie dwie przeciwbieżne fale płaskie o tej samej częstotliwości i amplitudzie. Powstałe w ten sposób oscylacje nazywane są stojąca fala. Najczęściej fale stojące powstają, gdy fala biegnąca odbija się od przeszkody. W tym przypadku fala padająca i fala odbita w jej stronę po dodaniu dają falę stojącą.
Otrzymujemy równanie fali stojącej. Weźmy dwie płaskie fale harmoniczne rozchodzące się ku sobie wzdłuż osi X i mające tę samą częstotliwość i amplitudę:
Gdzie 
– faza oscylacji punktów ośrodka podczas przejścia pierwszej fali;
– faza oscylacji punktów w ośrodku podczas przejścia drugiej fali.
Różnica faz w każdym punkcie osi X sieć nie będzie zależna od czasu, tj. będzie stała:
Zatem obie fale będą spójne.
Drgania cząstek ośrodka powstałe w wyniku dodania rozpatrywanych fal będą wyglądać następująco:
Przekształćmy sumę cosinusów kątów zgodnie z zasadą (4.4) i otrzymajmy:
Grupując czynniki otrzymujemy:
Aby uprościć wyrażenie, wybieramy punkt odniesienia tak, aby różnica faz 
i początek odliczania czasu tak, aby suma faz była równa zeru: 
.
Wtedy równanie na sumę fal będzie miało postać:
Równanie (6.6) nazywa się równanie fali stojącej. Pokazuje, że częstotliwość fali stojącej jest równa częstotliwości fali biegnącej, a amplituda, w przeciwieństwie do fali biegnącej, zależy od odległości od początku:
. (6.7)
Biorąc pod uwagę (6.7), równanie fali stojącej przyjmuje postać:
. (6.8)
Zatem punkty ośrodka oscylują z częstotliwością zgodną z częstotliwością fali biegnącej i amplitudą A, w zależności od położenia punktu na osi X. Odpowiednio amplituda zmienia się zgodnie z prawem cosinusa i ma swoje własne maksima i minima (ryc. 6.1).
 |
Aby zobrazować położenie minimów i maksimów amplitudy, zgodnie z (5.29) liczbę falową zastępujemy jej wartością:
Wtedy wyrażenie (6.7) na amplitudę przyjmie postać
(6.10)
Z tego staje się jasne, że amplituda przemieszczenia jest maksymalna przy 
, tj. w punktach, których współrzędne spełniają warunek:
, (6.11)
Gdzie 
Stąd uzyskujemy współrzędne punktów, w których amplituda przemieszczenia jest maksymalna:
; (6.12)
Nazywa się punkty, w których amplituda drgań ośrodka jest największa antywęzły fali.
Amplituda fali wynosi zero w punktach, gdzie 
. Współrzędne takich punktów, tzw węzły falowe, spełnia warunek:
, (6.13)
Gdzie
Z (6.13) wynika, że współrzędne węzłów mają wartości:
, (6.14)
Na ryc. Rysunek 6.2 przedstawia przybliżony widok fali stojącej, zaznaczając położenie węzłów i antywęzłów. Można zauważyć, że sąsiednie węzły i antywęzły przemieszczenia są od siebie oddalone w tej samej odległości.
 |
Znajdźmy odległość między sąsiednimi antywęzłami i węzłami. Z (6.12) otrzymujemy odległość pomiędzy antywęzłami:
(6.15)
Odległość między węzłami oblicza się z (6.14):
(6.16)
Z otrzymanych zależności (6.15) i (6.16) wynika, że odległość pomiędzy sąsiednimi węzłami, a także pomiędzy sąsiednimi antywęzłami jest stała i równa ; węzły i antywęzły są przesunięte względem siebie o (ryc. 6.3).
Z definicji długości fali możemy zapisać wyrażenie na długość fali stojącej: jest ona równa połowie długości fali biegnącej:
Zapiszmy, biorąc pod uwagę (6.17), wyrażenia na współrzędne węzłów i antywęzłów:
, (6.18)
, 
(6.19)
Współczynnik określający amplitudę fali stojącej zmienia swój znak przy przejściu przez wartość zerową, w wyniku czego faza oscylacji po różnych stronach węzła różni się o . Dlatego wszystkie punkty leżą wzdłuż różne strony od węzła oscylują w przeciwfazie. Wszystkie punkty znajdujące się pomiędzy sąsiednimi węzłami oscylują w fazie.
 |
Węzły warunkowo dzielą środowisko na autonomiczne obszary, w których niezależnie występują oscylacje harmoniczne. Nie ma przenoszenia ruchu między obszarami, a zatem nie ma przepływu energii między obszarami. Oznacza to, że wzdłuż osi nie dochodzi do przenoszenia zakłóceń. Dlatego falę nazywa się falą stojącą.
Zatem fala stojąca powstaje z dwóch przeciwnie skierowanych fal biegnących o równych częstotliwościach i amplitudach. Wektory Umov każdej z tych fal są równe co do wielkości i mają przeciwny kierunek, a po dodaniu dają zero. W rezultacie fala stojąca nie przenosi energii.
6.2 Przykłady fal stojących
6.2.1 Fala stojąca w strunie
Rozważmy ciąg o długości L, zamocowany na obu końcach (ryc. 6.4).
Umieśćmy oś wzdłuż sznurka X tak, aby lewy koniec sznurka miał współrzędną x=0 i ten właściwy – x=L. W strunie występują drgania opisane równaniem:
Zapiszmy warunki brzegowe rozważanego ciągu. Ponieważ jego końce są nieruchome, to w punktach o współrzędnych x=0 I x=L bez wahania:
(6.22)
Znajdźmy równanie drgań strun na podstawie zapisanych warunków brzegowych. Zapiszmy równanie (6.20) dla lewego końca struny, biorąc pod uwagę (6.21):
Relacja (6.23) jest spełniona dla dowolnego czasu T w dwóch przypadkach:
1. 
. Jest to możliwe, jeśli w strunie () nie ma wibracji. Sprawa ta nie jest interesująca i nie będziemy jej rozważać.
2. . Oto faza. Ten przypadek pozwoli nam otrzymać równanie drgań struny.
Podstawmy uzyskaną wartość fazy do warunku brzegowego (6.22) dla prawego końca struny:
. (6.25)
Biorąc pod uwagę, że
, (6.26)
z (6.25) otrzymujemy:
Ponownie pojawiają się dwa przypadki, w których spełniona jest relacja (6.27). Nie będziemy rozpatrywać przypadku, gdy w strunie nie ma drgań ().
W drugim przypadku musi być spełniona równość:
i jest to możliwe tylko wtedy, gdy argument sinusa jest wielokrotnością liczby całkowitej:
Odrzucamy tę wartość, ponieważ w tym przypadku, co oznaczałoby zerową długość ciągu ( L=0) lub numer fali k=0. Biorąc pod uwagę związek (6.9) pomiędzy liczbą falową a długością fali, jasne jest, że aby liczba falowa była równa zeru, długość fali powinna być nieskończona, a to oznaczałoby brak oscylacji.
Z (6.28) jasno wynika, że liczba falowa podczas drgań struny zamocowanej na obu końcach może przyjmować tylko pewne wartości dyskretne:
Uwzględniając (6.9) zapisujemy (6.30) w postaci:
z którego otrzymujemy wyrażenie na możliwe długości fal w strunie:
Innymi słowy, na całej długości łańcucha L musi mieścić się w liczbie całkowitej N półfale:
Odpowiednie częstotliwości oscylacji można wyznaczyć z (5.7):
Oto prędkość fazowa fali, zależna, zgodnie z (5.102), od gęstości liniowej struny i siły naciągu struny:
Podstawiając (6.34) do (6.33) otrzymujemy wyrażenie opisujące możliwe częstotliwości drgań struny:
, (6.36)
Częstotliwości nazywane są częstotliwości naturalne smyczki. Częstotliwość (od godz N = 1):
(6.37)
zwany Podstawowa częstotliwość(Lub ton główny) sznurki. Częstotliwości określone o godz n>1 są nazywane podteksty Lub harmonia. Liczba harmoniczna to n-1. Na przykład częstotliwość:
odpowiada pierwszej harmonicznej i częstotliwości:
odpowiada drugiej harmonicznej itp. Ponieważ strunę można przedstawić jako układ dyskretny o nieskończonej liczbie stopni swobody, wówczas każda harmoniczna jest taka moda wibracje strun. W ogólnym przypadku drgania strun reprezentują superpozycję modów.
 |
Każda harmoniczna ma swoją własną długość fali. Dla tonu głównego (z n= 1) długość fali:
odpowiednio dla pierwszej i drugiej harmonicznej (at n= 2 i n= 3) długości fal będą wynosić:
Rysunek 6.5 przedstawia pojawienie się kilku postaci drgań prowadzonych przez strunę.
Zatem struna z ustalonymi końcami realizuje wyjątkowy przypadek w ramach fizyki klasycznej - dyskretne widmo częstotliwości (lub długości fal) drgań. Podobnie zachowuje się pręt elastyczny z jednym lub obydwoma końcami zaciśniętymi oraz drgania słupa powietrza w rurach, co zostanie omówione w kolejnych podrozdziałach.
6.2.2 Wpływ warunków początkowych na ruch
ciąg ciągły. Analiza Fouriera
Drgania struny z zaciśniętymi końcami, oprócz dyskretnego spektrum częstotliwości drgań, mają jeszcze inne ważna własność: specyficzna forma drgań struny zależy od sposobu wzbudzenia drgań, tj. od warunków początkowych. Przyjrzyjmy się bliżej.
Równanie (6.20), które opisuje jedną postać fali stojącej w strunie, jest szczególnym rozwiązaniem równania fali różniczkowej (5.61). Ponieważ drgania struny składają się ze wszystkich możliwych postaci (dla struny - nieskończonej liczby), to wspólna decyzja równanie falowe (5.61) składa się z nieskończona liczba rozwiązania prywatne:
, (6.43)
Gdzie I– numer trybu wibracji. Wyrażenie (6.43) zapisuje się biorąc pod uwagę fakt, że końce ciągu są stałe:
a także biorąc pod uwagę połączenie częstotliwości I-ty tryb i jego liczba falowa:
(6.46)
Tutaj 
– numer fali I moda;
– liczba falowa trybu 1;
Znajdźmy wartość fazy początkowej dla każdego modu oscylacji. Aby to zrobić na raz t=0 nadajmy stringowi kształt opisany funkcją F 0 (X), wyrażenie, dla którego otrzymujemy z (6.43):
. (6.47)
Na ryc. Rysunek 6.6 przedstawia przykładowy kształt struny opisany funkcją F 0 (X).
 |
W pewnym momencie t=0 struna jest nadal w spoczynku, tj. prędkość wszystkich jego punktów wynosi zero. Z (6.43) znajdujemy wyrażenie na prędkość punktów struny:
i zastępując w nim t=0, otrzymujemy wyrażenie na prędkość punktów struny moment początkowy czas:
. (6.49)
Ponieważ w początkowej chwili prędkość jest równa zeru, to wyrażenie (6.49) będzie równe zeru dla wszystkich punktów struny, jeśli . Wynika z tego, że faza początkowa dla wszystkich trybów również wynosi zero (). Biorąc to pod uwagę, wyrażenie (6.43) opisujące ruch struny przyjmuje postać:
, (6.50)
i wyrażenie (6.47), opisujące początkowa forma stringi, wygląda następująco:
. (6.51)
Falę stojącą w strunie opisuje funkcja okresowa w przedziale , gdzie jest ona równa dwóm długościom struny (rys. 6.7):
Można to zobaczyć na podstawie faktu, że okresowość w przedziale oznacza:
Stąd,
co prowadzi nas do wyrażenia (6.52).
Z analizy matematycznej wiadomo, że każdą funkcję okresową można z dużą dokładnością rozwinąć w szereg Fouriera:
, (6.57)
gdzie , , to współczynniki Fouriera.
Stojąca fala- zjawisko interferencji fal rozchodzących się w przeciwnych kierunkach, w których przekazywanie energii jest osłabione lub nie występuje.
stojąca fala(elektromagnetyczne) - zmiana okresowa amplitudy natężenia pola elektrycznego i magnetycznego wzdłuż kierunku propagacji, spowodowane interferencją fal padających i odbitych.
Na przykład fala stojąca ma miejsce, gdy fala odbija się od przeszkód i niejednorodności w wyniku interakcji (interferencji) fali padającej i odbitej. Na wynik interferencji wpływa częstotliwość oscylacji, moduł i faza współczynnika odbicia, kierunki propagacji fali padającej i odbitej względem siebie, zmiana lub zachowanie polaryzacji fal po odbiciu oraz współczynnik tłumienia fal w ośrodku propagacyjnym. Ściśle mówiąc, fala stojąca może istnieć tylko wtedy, gdy nie ma strat w ośrodku propagacji (lub w ośrodku aktywnym) i całkowitym odbiciu fali padającej. W rzeczywistym środowisku obserwuje się reżim fal mieszanych, ponieważ zawsze następuje transfer energii do miejsc absorpcji i emisji. Jeśli fala opada, to całkowicie wchłanianie, to nie ma fali odbitej, nie ma interferencji fal, amplituda procesu falowego w przestrzeni jest stała. Taki proces falowy nazywany jest falą biegnącą.
Przykładami fali stojącej są drgania struny, drgania powietrza w piszczałce organowej; w przyrodzie - fale Schumanna. Aby zademonstrować fale stojące w gazie, stosuje się rurkę Rubensa.
-
1 / 5
Na przykład różne tryby drgań struny zaciśniętej na końcach określają jej ton podstawowy i podtekst.
Matematyczny opis fal stojących
W przypadku jednowymiarowym dwie fale o tej samej częstotliwości, długości fali i amplitudzie rozchodzące się w przeciwnych kierunkach (na przykład ku sobie) będą oddziaływać na siebie, co może skutkować powstaniem fali stojącej. Na przykład fala harmoniczna rozchodząca się w prawo i docierająca do końca struny wytwarza falę stojącą. Fala odbita od końca musi mieć tę samą amplitudę i częstotliwość co fala padająca.
Rozważ zdarzenie i fale odbite w postaci:
y 1 = y 0 grzech (k x - ω t) (\ Displaystyle y_ (1) \; = \; y_ (0) \, \ sin (kx- \ omega t)} y 2 = y 0 grzech (k x + ω t) (\ Displaystyle y_ (2) \; = \; y_ (0) \, \ sin (kx + \ omega t))Zatem wynikowe równanie fali stojącej ma postać y będzie miało formę sumy y 1 I y 2:
y = y 0 grzech (k x - ω t) + y 0 grzech (k x + ω t) . (\ Displaystyle y \; = \; y_ (0) \, \ sin (kx - \ omega t) \; + \; y_ (0) \, \ sin (kx + \ omega t).)Korzystając z zależności trygonometrycznych, równanie to można przepisać jako:
y = 2 y 0 sałata (ω t) grzech (k x) . (\ Displaystyle y \; = \; 2 \, y_ (0) \, \ cos (\ omega t) \; \ sin (kx.)Jeśli weźmiemy pod uwagę modę x = 0 , λ / 2 , 3 λ / 2 , . . . (\ Displaystyle x = 0, \ lambda /2,3 \ lambda /2, ...) i przeciw modzie x = λ / 4, 3 λ / 4, 5 λ / 4, . . . (\ Displaystyle x = \ lambda / 4,3 \ lambda / 4,5 \ lambda / 4, ...), wówczas odległość między sąsiednimi modami/antymodami będzie równa połowie długości fali
Fale stojące są rozwiązaniami równań falowych. Można je traktować jako superpozycję fal poruszających się w przeciwnych kierunkach.
Gdy w ośrodku występuje fala stojąca, istnieją punkty, w których amplituda oscylacji wynosi zero. Punkty te nazywane są węzły stojąca fala. Punkty, w których oscylacje mają największą amplitudę, nazywane są antywęzłami.
Encyklopedyczny YouTube
Fale stojące mogą powstawać, kiedy różne warunki. Zjawisko to najłatwiej zaobserwować w zamkniętych przestrzeniach. Efekt ten można osiągnąć poprzez połączenie dwóch drgań o tej samej długości fali, rozchodzących się w przeciwnych kierunkach. Interferencja dwóch sygnałów powoduje powstanie fali, która na pierwszy rzut oka się nie porusza (czyli stoi).
Ważnym warunkiem jest to, aby energia dostała się do układu z określoną prędkością. Oznacza to, że częstotliwość wzbudzenia powinna być w przybliżeniu równa częstotliwości drgań własnych. Koncepcja ta jest również znana jako rezonans. Fale stojące są zawsze kojarzone z . Występowanie rezonansu można określić poprzez gwałtowny wzrost amplitudy powstałych oscylacji. Do wytworzenia fal stojących potrzeba znacznie mniej energii w porównaniu do fal biegnących o tej samej amplitudzie.
Nie powinniśmy zapominać, że w każdym systemie, w którym występują fale stojące, istnieje również wiele częstotliwości własnych. Różnorodność wszystkich możliwych fal stojących nazywana jest harmonicznymi układu. Najprostsza harmoniczna nazywana jest podstawową lub pierwszą. Kolejne fale stojące nazywane są drugą, trzecią itd. Harmoniczne różniące się od składowej podstawowej są czasami nazywane podharmonicznymi.
Rodzaje fal stojących
W zależności od Charakterystyka fizyczna Istnieje kilka rodzajów fal stojących. Wszystkie można podzielić na trzy duże grupy: jednowymiarowe, dwuwymiarowe i trójwymiarowe.
Jednowymiarowe fale stojące pojawiają się, gdy mamy do czynienia z płaską, zamkniętą przestrzenią. W tym przypadku fala może rozchodzić się tylko w jednym kierunku: od źródła do granicy przestrzeni. Istnieją trzy podgrupy jednowymiarowych fal stojących: te z dwoma węzłami na końcach, te z jednym węzłem pośrodku i te z węzłem na jednym końcu fali. Węzeł to punkt o najniższej amplitudzie i energii sygnału.
Dwuwymiarowe fale stojące powstają, gdy drgania rozchodzą się od źródła w dwóch kierunkach. Po odbiciu się od przeszkody pojawia się fala stojąca.
Trójwymiarowe fale stojące to sygnały rozchodzące się w przestrzeni ze skończoną prędkością. Węzły o tego typu drganiach będą powierzchniami dwuwymiarowymi. To znacznie komplikuje ich badania. Przykładem takich fal jest orbita elektronu w atomie.
Praktyczne znaczenie fal stojących
Fale stojące mają bardzo ważne, ponieważ dźwięk jest kombinacją kilku wibracji. Prawidłowe obliczenie długości i sztywności strun pozwala uzyskać najlepsze brzmienie konkretnego instrumentu.
Bardzo ważne są również fale stojące. W metodzie badania cząstek za pomocą spektroskopii rentgenowskiej przetwarzanie odbitego sygnału umożliwia określenie przybliżonego składu ilościowego i jakościowego obiektu.