Najmniejsza wspólna wielokrotność dwóch liczb jest bezpośrednio związana z największym wspólnym dzielnikiem tych liczb. Ten połączenie między GCD a NOC jest zdefiniowany przez następujące twierdzenie.

Twierdzenie.

Najmniejsza wspólna wielokrotność dwóch dodatnich liczb całkowitych a i b jest równa iloczynowi a i b podzielonemu przez największy wspólny dzielnik a i b, czyli LKM(a, b)=a b: LKM(a, b).

Dowód.

Wynajmować M jest pewną wielokrotnością liczb a i b. Oznacza to, że M jest podzielne przez a, az definicji podzielności istnieje pewna liczba całkowita k taka, że ​​równość M=a·k jest prawdziwa. Ale M jest również podzielne przez b, wtedy a k jest podzielne przez b.

Oznacz gcd(a, b) jako d . Następnie możemy zapisać równości a=a 1 ·d i b=b 1 ·d, a a 1 =a:d i b 1 =b:d będą liczbami względnie pierwszymi. Zatem warunek uzyskany w poprzednim akapicie, że a k jest podzielna przez b, można przeformułować w następujący sposób: a 1 d k jest podzielna przez b 1 d , a to ze względu na własności podzielności jest równoważne z warunkiem, że a 1 k jest podzielna przez b jeden .

Musimy również wypisać dwa ważne wnioski z rozważanego twierdzenia.

Wspólne wielokrotności dwóch liczb są takie same jak wielokrotności ich najmniejszej wspólnej wielokrotności.

To prawda, ponieważ każda wspólna wielokrotność M liczb a i b jest określona przez równość M=LCM(a, b) t dla pewnej liczby całkowitej t .

Najmniejsza wspólna wielokrotność względnie pierwszych liczb dodatnich a i b jest równa ich iloczynowi.

Uzasadnienie tego faktu jest dość oczywiste. Ponieważ a i b są względnie pierwsze, to gcd(a, b)=1 , zatem LCM(a, b)=a b: NWD(a, b)=a b:1=a b.

Najmniejsza wspólna wielokrotność trzech lub więcej liczb

Znalezienie najmniejszej wspólnej wielokrotności trzech lub więcej liczb można sprowadzić do kolejnego znalezienia LCM dwóch liczb. Jak to się robi, wskazuje następujące twierdzenie: a 1 , a 2 , …, a k pokrywają się ze wspólnymi wielokrotnościami liczb m k-1 i a k ​​, zatem pokrywają się z wielokrotnościami m k . A ponieważ najmniejszą dodatnią wielokrotnością liczby m k jest sama liczba m k, to najmniejszą wspólną wielokrotnością liczb a 1 , a 2 , …, a k jest m k .

Bibliografia.

• Vilenkin N.Ya. itd. Matematyka. Klasa 6: podręcznik dla instytucji edukacyjnych.
• Winogradow I.M. Podstawy teorii liczb.
• Michelowicz Sz.Kh. Teoria liczb.
• Kulikow L.Ya. i inne Zbiór zadań z algebry i teorii liczb: Instruktaż dla studentów fizyki i matematyki. specjalności instytutów pedagogicznych.

Definicja. Największa liczba naturalna, przez którą liczby a i b są podzielne bez reszty, nazywa się największy wspólny dzielnik (gcd) te liczby.

Znajdźmy największy wspólny dzielnik liczb 24 i 35.
Dzielnikami 24 będą liczby 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, a dzielnikami 35 będą liczby 1, 5, 7, 35.
Widzimy, że liczby 24 i 35 mają tylko jeden wspólny dzielnik - liczbę 1. Takie liczby są nazywane pierwotna.

Definicja. Liczby naturalne nazywają się pierwotna jeśli ich największy wspólny dzielnik (gcd) wynosi 1.

Największy wspólny dzielnik (GCD) można znaleźć bez wypisywania wszystkich dzielników podanych liczb.

Faktorując liczby 48 i 36 otrzymujemy:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Z czynników uwzględnionych w rozwinięciu pierwszej z tych liczb usuwamy te, które nie są uwzględnione w rozwinięciu drugiej liczby (tj. dwie dwójki).
Pozostają dzielniki 2 * 2 * 3. Ich iloczyn wynosi 12. Ta liczba jest największym wspólnym dzielnikiem liczb 48 i 36. Znaleziono również największy wspólny dzielnik trzech lub więcej liczb.

Znaleźć Największy wspólny dzielnik

2) z czynników uwzględnionych w rozwinięciu jednej z tych liczb skreślić te, które nie są uwzględnione w rozwinięciu innych liczb;
3) znaleźć iloczyn pozostałych czynników.

Jeżeli wszystkie podane liczby są podzielne przez jedną z nich, to liczba ta wynosi Największy wspólny dzielnik podane liczby.
Na przykład największym wspólnym dzielnikiem 15, 45, 75 i 180 jest 15, ponieważ dzieli wszystkie inne liczby: 45, 75 i 180.

Najmniejsza wspólna wielokrotność (LCM)

Definicja. Najmniejsza wspólna wielokrotność (LCM) liczby naturalne a i b są najmniejszą liczbą naturalną będącą wielokrotnością a i b. Najmniejszą wspólną wielokrotność (LCM) z liczb 75 i 60 można znaleźć bez wypisywania wielokrotności tych liczb w rzędzie. Aby to zrobić, rozkładamy 75 i 60 na proste czynniki: 75 \u003d 3 * 5 * 5 i 60 \u003d 2 * 2 * 3 * 5.
Wypisujemy czynniki uwzględnione w rozwinięciu pierwszej z tych liczb i dodajemy do nich brakujące czynniki 2 i 2 z rozwinięcia drugiej liczby (czyli łączymy czynniki).
Otrzymujemy pięć czynników 2 * 2 * 3 * 5 * 5, których iloczyn wynosi 300. Ta liczba jest najmniejszą wspólną wielokrotnością liczb 75 i 60.

Znajdź także najmniejszą wspólną wielokrotność trzech lub więcej liczb.

Do znajdź najmniej wspólną wielokrotność kilka liczb naturalnych, potrzebujesz:
1) rozłożyć je na czynniki pierwsze;
2) wypisz czynniki uwzględnione w rozwinięciu jednej z liczb;
3) dodać do nich brakujące czynniki z rozwinięć pozostałych liczb;
4) znaleźć iloczyn powstałych czynników.

Zauważ, że jeśli jedna z tych liczb jest podzielna przez wszystkie inne, to ta liczba jest najmniejszą wspólną wielokrotnością tych liczb.
Na przykład najmniejsza wspólna wielokrotność 12, 15, 20 i 60 będzie równa 60, ponieważ jest podzielna przez wszystkie podane liczby.

Pitagoras (VI wiek pne) i jego uczniowie badali kwestię podzielności liczb. Numer, równa sumie wszystkie jej dzielniki (bez samej liczby) nazwali liczbą doskonałą. Na przykład liczby 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) są idealne. Następne liczby doskonałe to 496, 8128, 33 550 336. Pitagorejczycy znali tylko trzy pierwsze liczby doskonałe. Czwarty - 8128 - stał się znany w I wieku. n. mi. Piąty - 33 550 336 - został znaleziony w XV wieku. Do 1983 roku znanych było już 27 doskonałych liczb. Ale do tej pory naukowcy nie wiedzą, czy istnieją liczby nieparzyste doskonałe, czy istnieje największa liczba doskonała.
Zainteresowanie starożytnych matematyków liczbami pierwszymi wynika z faktu, że dowolna liczba jest albo pierwsza, albo może być reprezentowana jako iloczyn liczb pierwszych, tj. liczby pierwsze- to jak cegły, z których zbudowana jest reszta liczb naturalnych.
Zapewne zauważyłeś, że liczby pierwsze w szeregu liczb naturalnych występują nierównomiernie – w niektórych częściach szeregu jest ich więcej, w innych mniej. Ale im dalej poruszamy się wzdłuż szeregu liczb, tym rzadsze są liczby pierwsze. Powstaje pytanie: czy istnieje ostatnia (największa) liczba pierwsza? Starożytny grecki matematyk Euklides (III wiek p.n.e.) w swojej książce „Początki”, która przez dwa tysiące lat była głównym podręcznikiem matematyki, dowiódł, że liczb pierwszych jest nieskończenie wiele, to znaczy za każdą liczbą pierwszą kryje się parzysta większa liczba pierwsza.
Aby znaleźć liczby pierwsze, inny grecki matematyk tego samego czasu, Eratostenes, wymyślił taką metodę. Zapisał wszystkie liczby od 1 do jakiejś liczby, a następnie wykreślił jednostkę, która nie jest ani liczbą pierwszą, ani złożoną, a następnie przekreślił przez jedną wszystkie liczby po 2 (liczby będące wielokrotnościami 2, czyli 4, 6, 8 itd.). Pierwsza pozostała liczba po 2 to 3. Następnie, po dwóch, wszystkie liczby po 3 zostały przekreślone (liczby będące wielokrotnościami 3, tj. 6, 9, 12 itd.). w końcu tylko liczby pierwsze pozostały nieskreślone.

Aby zrozumieć, jak obliczyć LCM, należy najpierw określić znaczenie terminu „wielokrotność”.

Mnożnik A jest liczbą naturalną podzielną bez reszty przez A. Tak więc 15, 20, 25 itd. można uznać za wielokrotności 5.

Dzielnikami określonej liczby mogą być: Limitowana ilość, ale istnieje nieskończona liczba wielokrotności.

Wspólna wielokrotność liczb naturalnych to liczba podzielna przez nie bez reszty.

Jak znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność liczb

Najmniejsza wspólna wielokrotność (LCM) liczb (dwa, trzy lub więcej) to najmniejsza liczba naturalna podzielna przez wszystkie te liczby.

Aby znaleźć NOC, możesz użyć kilku metod.

W przypadku małych liczb wygodnie jest wypisać w wierszu wszystkie wielokrotności tych liczb, aż do znalezienia wśród nich wspólnej. Wielokrotności są oznaczone w rekordzie wielką literą K.

Na przykład wielokrotności 4 można zapisać w następujący sposób:

K(4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)

K(6) = (12, 18, 24, ...)

Widać więc, że najmniejszą wspólną wielokrotnością liczb 4 i 6 jest liczba 24. Ten wpis jest wykonywany w następujący sposób:

LCM(4, 6) = 24

Jeśli liczby są duże, znajdź wspólną wielokrotność trzech lub więcej liczb, wtedy lepiej użyć innego sposobu obliczenia LCM.

Aby wykonać zadanie, konieczne jest rozłożenie proponowanych liczb na czynniki pierwsze.

Najpierw musisz wypisać rozwinięcie największej z liczb w linii, a pod nią - resztę.

W ekspansji każdej liczby może występować inna liczba czynników.

Na przykład podzielmy liczby 50 i 20 na czynniki pierwsze.

Przy rozwinięciu mniejszej liczby należy podkreślić czynniki, których brakuje w rozwinięciu pierwszej największej liczby, a następnie dodać je do niej. W prezentowanym przykładzie brakuje dwójki.

Teraz możemy obliczyć najmniejszą wspólną wielokrotność 20 i 50.

LCM (20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100

Tak więc iloczyn czynników pierwszych jeszcze a czynniki drugiej liczby, które nie są uwzględnione w rozwinięciu większej liczby, będą najmniejszą wspólną wielokrotnością.

Aby znaleźć LCM trzech lub więcej liczb, wszystkie z nich należy rozłożyć na czynniki pierwsze, tak jak w poprzednim przypadku.

Jako przykład możesz znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność liczb 16, 24, 36.

36 = 2 * 2 * 3 * 3

24 = 2 * 2 * 2 * 3

16 = 2 * 2 * 2 * 2

Tak więc tylko dwie dwójki z rozkładu szesnastu nie zostały uwzględnione w faktoryzacji większej liczby (jedna jest w dekompozycji dwudziestu czterech).

Dlatego należy je dodać do rozkładu większej liczby.

LCM (12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9

Istnieją szczególne przypadki wyznaczania najmniejszej wspólnej wielokrotności. Jeśli więc jedną z liczb można podzielić bez reszty przez drugą, to większa z tych liczb będzie najmniejszą wspólną wielokrotnością.

Na przykład, dwanaście i dwadzieścia cztery NOCs będą miały dwadzieścia cztery.

Jeśli konieczne jest znalezienie najmniejszej wspólnej wielokrotności liczb względnie pierwszych, które nie mają takich samych dzielników, to ich LCM będzie równy ich iloczynowi.

Na przykład LCM(10, 11) = 110.

Zacznijmy studiować najmniejszą wspólną wielokrotność dwóch lub więcej liczb. W sekcji podamy definicję terminu, rozważymy twierdzenie, które ustala związek między najmniejszą wspólną wielokrotnością a największym wspólnym dzielnikiem oraz podamy przykłady rozwiązywania problemów.

Wspólne wielokrotności - definicja, przykłady

W tym temacie interesują nas tylko wspólne wielokrotności liczb całkowitych innych niż zero.

Definicja 1

Wspólna wielokrotność liczb całkowitych jest liczbą całkowitą będącą wielokrotnością wszystkich podanych liczb. W rzeczywistości jest to dowolna liczba całkowita, którą można podzielić przez dowolną z podanych liczb.

Definicja wspólnych wielokrotności odnosi się do dwóch, trzech lub więcej liczb całkowitych.

Przykład 1

Zgodnie z definicją podaną powyżej dla liczby 12, wspólne wielokrotności to 3 i 2. Również liczba 12 będzie wspólną wielokrotnością liczb 2 , 3 i 4 . Liczby 12 i -12 są wspólnymi wielokrotnościami liczb ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12.

Jednocześnie wspólną wielokrotnością liczb 2 i 3 będą liczby 12 , 6 , − 24 , 72 , 468 , − 100 010 004 oraz liczba dowolnych innych.

Jeśli weźmiemy liczby podzielne przez pierwszą liczbę pary i niepodzielne przez drugą, to takie liczby nie będą wspólnymi wielokrotnościami. Tak więc dla liczb 2 i 3 liczby 16 , − 27 , 5009 , 27001 nie będą wspólnymi wielokrotnościami.

0 jest wspólną wielokrotnością dowolnego zestawu niezerowych liczb całkowitych.

Jeśli przypomnimy sobie własność podzielności względem liczb przeciwnych, to okaże się, że jakaś liczba całkowita k będzie wspólną wielokrotnością tych liczb tak samo jak liczba - k. Oznacza to, że wspólne dzielniki mogą być dodatnie lub ujemne.

Czy można znaleźć LCM dla wszystkich numerów?

Wspólną wielokrotność można znaleźć dla dowolnych liczb całkowitych.

Przykład 2

Załóżmy, że otrzymaliśmy k liczby całkowite a 1 , a 2 , … , a k. Liczba, którą otrzymujemy podczas mnożenia liczb a 1 a 2 … a k zgodnie z właściwością podzielności zostanie ona podzielona przez każdy z czynników, które zostały uwzględnione w oryginalnym produkcie. Oznacza to, że iloczyn liczb a 1 , a 2 , … , a k jest najmniejszą wspólną wielokrotnością tych liczb.

Ile wspólnych wielokrotności mogą mieć te liczby całkowite?

Grupa liczb całkowitych może mieć duża liczba wspólne wielokrotności. W rzeczywistości ich liczba jest nieskończona.

Przykład 3

Załóżmy, że mamy pewną liczbę k . Wtedy iloczyn liczb k · z , gdzie z jest liczbą całkowitą, będzie wspólną wielokrotnością liczb k i z . Biorąc pod uwagę, że liczba liczb jest nieskończona, to liczba wspólnych wielokrotności jest nieskończona.

Najmniejsza wielokrotność (LCM) - definicja, symbol i przykłady

Zapamiętajmy koncepcję najmniejsza liczba z dany zestaw liczb, które omówiliśmy w sekcji Porównanie liczb całkowitych. Mając to na uwadze, sformułujmy definicję najmniejszej wspólnej wielokrotności, która ma największą wartość praktyczną spośród wszystkich wspólnych wielokrotności.

Definicja 2

Najmniejsza wspólna wielokrotność podanych liczb całkowitych jest najmniejszą dodatnią wspólną wielokrotnością tych liczb.

Najmniejsza wspólna wielokrotność istnieje dla dowolnej liczby podanych liczb. Skrót NOK jest najczęściej używany do oznaczenia pojęcia w literaturze referencyjnej. Skrót dla najmniejszej wspólnej wielokrotności liczb a 1 , a 2 , … , a k będzie wyglądać jak LCM (a 1 , a 2 , … , a k).

Przykład 4

Najmniejsza wspólna wielokrotność 6 i 7 to 42. Tych. LCM(6, 7) = 42. Najmniejsza wspólna wielokrotność czterech liczb - 2, 12, 15 i 3 będzie równa 60. Skrót będzie to LCM (-2 , 12 , 15 , 3) ​​= 60 .

Nie dla wszystkich grup danych liczb, najmniejsza wspólna wielokrotność jest oczywista. Często trzeba to obliczyć.

Związek między NOC i NOD

Najmniejsza wspólna wielokrotność i największy wspólny dzielnik są ze sobą powiązane. Związek między pojęciami ustala twierdzenie.

Twierdzenie 1

Najmniejsza wspólna wielokrotność dwóch dodatnich liczb całkowitych a i b jest równa iloczynowi liczb a i b podzielonemu przez największy wspólny dzielnik liczb a i b , czyli LCM (a , b) = a b: gcd (a , b) .

Dowód 1

Załóżmy, że mamy pewną liczbę M, która jest wielokrotnością liczb a i b . Jeśli liczba M jest podzielna przez a , istnieje również pewna liczba całkowita z , pod którym równość M = k. Zgodnie z definicją podzielności, jeśli M jest również podzielne przez b, i wtedy K podzielony przez b.

Jeśli wprowadzimy nową notację dla gcd (a , b) jako d, wtedy możemy użyć równości a = a 1 d i b = bi · d . W tym przypadku obie równości będą liczbami względnie pierwszymi.

Ustaliliśmy już to powyżej K podzielony przez b. Teraz ten warunek można zapisać w następujący sposób:
1 dzień k podzielony przez b 1 d, co jest równoznaczne z warunkiem 1 tys podzielony przez b 1 zgodnie z właściwościami podzielności.

Zgodnie z własnością liczb względnie pierwszych, jeśli 1 oraz b 1 są wzajemnie liczbami pierwszymi, 1 niepodzielne przez b 1 pomimo tego, że 1 tys podzielony przez b 1, następnie b 1 powinien się dzielić k.

W takim przypadku należałoby założyć, że istnieje liczba t, dla którego k = b 1 t, a ponieważ b1=b:d, następnie k = b: d t.

Teraz zamiast k postawić na równość M = k wyraz formy b: d t. To pozwala nam dojść do równości M = a b: d t. Na t=1 możemy otrzymać najmniejszą dodatnią wspólną wielokrotność a i b , równy a b: d, pod warunkiem, że liczby a i b pozytywny.

Udowodniliśmy więc, że LCM (a , b) = a b: NWD (a,b).

Nawiązanie połączenia między LCM a GCD pozwala znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność przez największy wspólny dzielnik dwóch lub więcej podanych liczb.

Definicja 3

Twierdzenie ma dwie ważne konsekwencje:

• wielokrotności najmniejszej wspólnej wielokrotności dwóch liczb są takie same jak wspólne wielokrotności tych dwóch liczb;
• najmniejsza wspólna wielokrotność względnie pierwszych liczb dodatnich a i b jest równa ich iloczynowi.

Nietrudno uzasadnić te dwa fakty. Każda wspólna wielokrotność M liczb a i b jest określona przez równość M = LCM (a, b) t dla pewnej liczby całkowitej t. Ponieważ a i b są względnie pierwsze, to gcd (a, b) = 1, zatem LCM (a, b) = a b: gcd (a, b) = a b: 1 = a b.

Najmniejsza wspólna wielokrotność trzech lub więcej liczb

Aby znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność kilku liczb, należy kolejno znaleźć LCM dwóch liczb.

Twierdzenie 2

Udawajmy, że a 1 , a 2 , … , a k to kilka dodatnich liczb całkowitych. Aby obliczyć LCM mk te liczby, musimy kolejno obliczyć m2 = LCM(a 1 , a 2) , m 3 = NOC(m 2 , a 3) , … , m k = NOC(mk-1 , ak) .

Dowód 2

Pierwszy wniosek z pierwszego twierdzenia omawianego w tym temacie pomoże nam udowodnić poprawność drugiego twierdzenia. Rozumowanie budowane jest według następującego algorytmu:

• wspólne wielokrotności liczb 1 oraz 2 pokrywają się z wielokrotnościami ich LCM, w rzeczywistości pokrywają się z wielokrotnościami liczby m2;
• wspólne wielokrotności liczb 1, 2 oraz 3 m2 oraz 3 m 3;
• wspólne wielokrotności liczb a 1 , a 2 , … , a k pokrywają się ze wspólnymi wielokrotnościami liczb mk - 1 oraz K, zatem pokrywają się z wielokrotnościami liczby mk;
• ze względu na fakt, że najmniejsza dodatnia wielokrotność liczby mk to sama liczba mk, to najmniejsza wspólna wielokrotność liczb a 1 , a 2 , … , a k jest mk.

Udowodniliśmy więc twierdzenie.

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter

Jak znaleźć LCM (najmniejsza wspólna wielokrotność)

Wspólną wielokrotnością dwóch liczb całkowitych jest liczba całkowita podzielna przez obie podane liczby bez reszty.

Najmniejsza wspólna wielokrotność dwóch liczb całkowitych jest najmniejszą ze wszystkich liczb całkowitych podzielną równomiernie i bez reszty przez obie podane liczby.

Metoda 1. Możesz znaleźć LCM z kolei dla każdej z podanych liczb, wypisując w porządku rosnącym wszystkie liczby, które uzyskuje się przez pomnożenie ich przez 1, 2, 3, 4 i tak dalej.

Przykład dla numerów 6 i 9.
Liczbę 6 mnożymy kolejno przez 1, 2, 3, 4, 5.
Otrzymujemy: 6, 12, 18 , 24, 30
Liczbę 9 mnożymy kolejno przez 1, 2, 3, 4, 5.
Otrzymujemy: 9, 18 , 27, 36, 45
Jak widać, LCM dla liczb 6 i 9 wyniesie 18.

Ta metoda jest wygodna, gdy obie liczby są małe i łatwo je pomnożyć przez ciąg liczb całkowitych. Jednak są chwile, kiedy trzeba znaleźć LCM dla dwucyfrowego lub liczby trzycyfrowe, a także gdy są trzy lub nawet więcej liczb początkowych.

Metoda 2. LCM można znaleźć, rozkładając oryginalne liczby na czynniki pierwsze.
Po rozkładzie konieczne jest wykreślenie tych samych liczb z otrzymanego szeregu czynników pierwszych. Pozostałe liczby pierwszej liczby będą czynnikiem drugiej, a pozostałe liczby drugiej liczby będą czynnikiem pierwszej.

Przykład dla liczby 75 i 60.
Najmniejszą wspólną wielokrotność liczb 75 i 60 można znaleźć bez wypisywania wielokrotności tych liczb w rzędzie. Aby to zrobić, rozkładamy 75 i 60 na czynniki pierwsze:
75 = 3 * 5 * 5 i
60 = 2 * 2 * 3 * 5 .
Jak widać, czynniki 3 i 5 występują w obu wierszach. Umysłowo je „przekreślamy”.
Zapiszmy pozostałe czynniki zawarte w rozwinięciu każdej z tych liczb. Przy rozkładaniu liczby 75 zostawiliśmy liczbę 5, a przy rozkładaniu liczby 60 zostawiliśmy 2 * 2
Tak więc, aby określić LCM dla liczb 75 i 60, musimy pomnożyć pozostałe liczby z rozwinięcia 75 (to jest 5) przez 60, a liczby pozostałe z rozwinięcia liczby 60 (to jest 2 * 2 ) pomnóż przez 75. Oznacza to, że dla ułatwienia mówimy, że mnożymy „na krzyż”.
75 * 2 * 2 = 300
60 * 5 = 300
W ten sposób znaleźliśmy LCM dla liczb 60 i 75. To jest liczba 300.

Przykład. Określ LCM dla liczb 12, 16, 24
W tym przypadku nasze działania będą nieco bardziej skomplikowane. Ale najpierw, jak zawsze, rozkładamy wszystkie liczby na czynniki pierwsze
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3
Aby poprawnie określić LCM, wybieramy najmniejszą ze wszystkich liczb (jest to liczba 12) i kolejno przechodzimy przez jej współczynniki, przekreślając je, jeśli przynajmniej jeden z pozostałych rzędów liczb ma ten sam współczynnik, który nie został jeszcze przekreślony na zewnątrz.

Krok 1 . Widzimy, że 2 * 2 występuje we wszystkich seriach liczb. Przekreślamy je.
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Krok 2. W czynniki pierwsze liczby 12 pozostaje tylko liczba 3. Ale jest ona obecna w czynnikach pierwszych liczby 24. Liczbę 3 wykreślamy z obu wierszy, natomiast dla liczby 16. nie oczekuje się żadnych działań.
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Jak widać, rozkładając liczbę 12, „przekreśliliśmy” wszystkie liczby. Tak więc odnalezienie NOC jest zakończone. Pozostaje tylko obliczyć jego wartość.
Dla liczby 12 bierzemy pozostałe czynniki z liczby 16 (najbliższy w kolejności rosnącej)
12 * 2 * 2 = 48
To jest NOC

Jak widać, w tym przypadku znalezienie LCM było nieco trudniejsze, ale gdy trzeba go znaleźć dla trzech lub więcej liczb, ta metoda pozwala to zrobić szybciej. Jednak oba sposoby znalezienia LCM są poprawne.