Pierwszy poziom

Konwersja wyrażenia. Szczegółowa teoria (2019)

Konwersja wyrażenia

Często słyszymy to nieprzyjemne zdanie: „uprość wyrażenie”. Zwykle w tym przypadku mamy takiego potwora:

„Tak, o wiele łatwiej”, mówimy, ale taka odpowiedź zwykle nie działa.

Teraz nauczę Cię nie bać się takich zadań. Co więcej, pod koniec lekcji sam uprościsz ten przykład do (tylko!) zwykłej liczby (tak, do diabła z tymi literami).

Ale zanim zaczniesz tę lekcję, musisz umieć obsługiwać ułamki i rozkładać wielomiany na czynniki. Dlatego po pierwsze, jeśli nie robiłeś tego wcześniej, pamiętaj o opanowaniu tematów „” i „”.

Czytać? Jeśli tak, to jesteś gotowy.

Podstawowe operacje upraszczania

Teraz przeanalizujemy główne techniki używane do uproszczenia wyrażeń.

Najprostszym z nich jest

1. Wprowadzanie podobnych

Jakie są podobne? Przeszedłeś przez to w 7 klasie, kiedy w matematyce zamiast liczb pojawiły się litery. Podobne są terminy (jednomiany) z tą samą częścią literową. Na przykład w sumie podobne są warunki i.

Zapamiętane?

Sprowadzić podobne terminy oznacza dodać do siebie kilka podobnych terminów i uzyskać jeden termin.

Ale jak możemy połączyć litery? - ty pytasz.

Łatwo to zrozumieć, jeśli wyobrazisz sobie, że litery są jakimś rodzajem obiektów. Na przykład list jest krzesłem. Więc jakie jest wyrażenie? Dwa krzesła plus trzy krzesła, ile to będzie? Zgadza się, krzesła: .

Teraz spróbuj tego wyrażenia:

Aby się nie pomylić, niech różne litery oznaczają różne przedmioty. Na przykład - to jest (jak zwykle) krzesło, a - to jest stół. Następnie:

krzesła stoły krzesło stoły krzesła krzesła stoły

Liczby, przez które mnożone są litery w takich terminach, nazywa się współczynniki. Na przykład w jednomianu współczynnik jest równy. I jest równy.

Tak więc zasada przynoszenia podobnych:

Przykłady:

Przynieś podobne:

Odpowiedzi:

2. (i są podobne, ponieważ w związku z tym terminy te mają tę samą część literową).

2. Faktoryzacja

Jest to zwykle najważniejsza część upraszczania wyrażeń. Po podaniu podobnych, najczęściej otrzymane wyrażenie musi zostać rozłożone na czynniki, czyli przedstawione jako produkt. Jest to szczególnie ważne w przypadku ułamków: w końcu, aby zmniejszyć ułamek, licznik i mianownik muszą być reprezentowane jako iloczyn.

Przeszedłeś przez szczegółowe metody rozkładania wyrażeń w temacie „”, więc tutaj musisz tylko zapamiętać, czego się nauczyłeś. Aby to zrobić, rozwiąż kilka przykłady(do wyliczenia):

Rozwiązania:

3. Redukcja frakcji.

Cóż może być ładniejszego niż wykreślenie części licznika i mianownika i wyrzucenie ich ze swojego życia?

Na tym polega piękno skrótu.

To proste:

Jeśli licznik i mianownik zawierają te same czynniki, można je zmniejszyć, to znaczy usunąć z ułamka.

Ta zasada wynika z podstawowej właściwości ułamka:

Oznacza to, że istotą operacji redukcji jest to, że Licznik i mianownik dzielimy przez tę samą liczbę (lub przez to samo wyrażenie).

Aby zmniejszyć ułamek, potrzebujesz:

1) licznik i mianownik rozkładać na czynniki

2) jeżeli licznik i mianownik zawierają Wspólne czynniki, można je usunąć.

Myślę, że zasada jest jasna?

Chcę zwrócić na jedną uwagę typowy błąd podczas redukcji. Chociaż ten temat jest prosty, ale wiele osób robi wszystko źle, nie zdając sobie z tego sprawy ciąć- to znaczy dzielić licznik i mianownik mają ten sam numer.

Brak skrótów, jeśli licznik lub mianownik jest sumą.

Na przykład: musisz uprościć.

Niektórzy tak robią: co jest całkowicie błędne.

Inny przykład: zmniejsz.

„Najmądrzejsi” zrobią to:.

Powiedz mi, co tu jest nie tak? Wydawałoby się: - to mnożnik, więc możesz zmniejszyć.

Ale nie: - jest to czynnik tylko jednego wyrazu w liczniku, ale sam licznik jako całość nie jest rozkładany na czynniki.

Oto kolejny przykład: .

Wyrażenie to jest rozkładane na czynniki, co oznacza, że ​​można zredukować, czyli podzielić licznik i mianownik przez, a następnie przez:

Możesz od razu podzielić przez:

Aby uniknąć takich błędów, pamiętaj łatwy sposób jak określić, czy wyrażenie jest rozkładane na czynniki:

Operacja arytmetyczna, która jest wykonywana jako ostatnia podczas obliczania wartości wyrażenia, to „główna”. To znaczy, jeśli podstawisz jakieś (dowolne) liczby zamiast liter i spróbujesz obliczyć wartość wyrażenia, to jeśli ostatnią czynnością jest mnożenie, to mamy iloczyn (wyrażenie jest rozkładane na czynniki). Jeśli ostatnią czynnością jest dodawanie lub odejmowanie, oznacza to, że wyrażenie nie jest rozkładane na czynniki (a zatem nie może być redukowane).

Aby to naprawić, rozwiąż to sam kilka przykłady:

Odpowiedzi:

1. Mam nadzieję, że nie spieszył się od razu z cięciem i? Wciąż nie wystarczyło „zredukować” jednostek w ten sposób:

Pierwszym krokiem powinno być rozłożenie na czynniki:

4. Dodawanie i odejmowanie ułamków. Doprowadzanie ułamków do wspólnego mianownika.

Dodawanie i odejmowanie zwykłe ułamki- operacja jest dobrze znana: szukamy wspólnego mianownika, każdy ułamek mnożymy przez brakujący czynnik i dodajemy/odejmujemy liczniki. Zapamiętajmy:

Odpowiedzi:

1. Mianowniki i są względnie pierwsze, to znaczy nie mają wspólnych dzielników. Dlatego LCM tych liczb jest równy ich iloczynowi. To będzie wspólny mianownik:

2. Tutaj wspólnym mianownikiem jest:

3. Tutaj przede wszystkim zamieniamy ułamki mieszane na nieodpowiednie, a następnie - zgodnie ze zwykłym schematem:

To zupełnie inna sprawa, jeśli ułamki zawierają litery, na przykład:

Zacznijmy od prostych:

a) Mianowniki nie zawierają liter

Tutaj wszystko jest takie samo jak w przypadku zwykłych ułamków liczbowych: znajdujemy wspólny mianownik, mnożymy każdy ułamek przez brakujący czynnik i dodajemy / odejmujemy liczniki:

teraz w liczniku możesz przynieść podobne, jeśli takie istnieją, i rozłożyć je na czynniki:

Spróbuj sam:

b) Mianowniki zawierają litery

Pamiętajmy o zasadzie znajdowania wspólnego mianownika bez liter:

Przede wszystkim określamy wspólne czynniki;

Następnie wypisujemy wszystkie wspólne czynniki raz;

i pomnóż je przez wszystkie inne czynniki, a nie wspólne.

Aby określić wspólne czynniki mianowników, najpierw rozkładamy je na czynniki proste:

Podkreślamy wspólne czynniki:

Teraz wypisujemy wspólne czynniki raz i dodajemy do nich wszystkie nietypowe (niepodkreślone) czynniki:

To jest wspólny mianownik.

Wróćmy do liter. Mianowniki podaje się dokładnie w ten sam sposób:

Rozkładamy mianowniki na czynniki;

określić wspólne (identyczne) mnożniki;

wypisz wszystkie wspólne czynniki raz;

Mnożymy je przez wszystkie inne czynniki, a nie wspólne.

A więc w kolejności:

1) rozłóż mianowniki na czynniki:

2) określić wspólne (identyczne) czynniki:

3) wypisz wszystkie wspólne czynniki raz i pomnóż je przez wszystkie inne (niepodkreślone) czynniki:

Więc wspólny mianownik jest tutaj. Pierwszy ułamek należy pomnożyć przez, drugi przez:

Nawiasem mówiąc, jest jedna sztuczka:

Na przykład: .

Widzimy te same czynniki w mianownikach, tylko wszystkie z różnymi wskaźnikami. Wspólnym mianownikiem będzie:

w stopniu

w stopniu

w stopniu

w stopniu.

Skomplikujmy zadanie:

Jak sprawić, by ułamki miały ten sam mianownik?

Zapamiętajmy podstawową właściwość ułamka:

Nigdzie nie jest powiedziane, że tę samą liczbę można odjąć (lub dodać) od licznika i mianownika ułamka. Bo to nieprawda!

Przekonaj się sam: weź na przykład dowolny ułamek i dodaj liczbę do licznika i mianownika, na przykład . Czego się nauczyłeś?

A więc kolejna niezachwiana zasada:

Kiedy łączysz ułamki ze wspólnym mianownikiem, używaj tylko operacji mnożenia!

Ale co trzeba pomnożyć, aby uzyskać?

Tutaj dalej i pomnóż. I pomnóż przez:

Wyrażenia, których nie można podzielić na czynniki, będą nazywane „czynnikami elementarnymi”. Na przykład to elementarny czynnik. - też. Ale - nie: rozkłada się na czynniki.

A co z ekspresją? Czy to elementarne?

Nie, ponieważ można to rozłożyć na czynniki:

(już czytałeś o faktoryzacji w temacie „”).

Tak więc elementarne czynniki, na które rozkładasz wyrażenie za pomocą liter, są analogiem czynniki pierwsze na które rozkładasz liczby. I zrobimy z nimi to samo.

Widzimy, że oba mianowniki mają czynnik. Dojdzie do wspólnego mianownika we władzy (pamiętasz dlaczego?).

Mnożnik jest elementarny i nie mają go wspólnego, co oznacza, że ​​pierwszy ułamek trzeba będzie po prostu pomnożyć przez niego:

Inny przykład:

Rozwiązanie:

Zanim w panice pomnożysz te mianowniki, musisz zastanowić się, jak je rozłożyć? Obaj reprezentują:

W porządku! Następnie:

Inny przykład:

Rozwiązanie:

Jak zwykle rozkładamy mianowniki na czynniki. W pierwszym mianowniku po prostu wyjmujemy go z nawiasów; w drugim - różnica kwadratów:

Wydawałoby się, że nie ma wspólnych czynników. Ale jeśli przyjrzysz się uważnie, są już tak podobne ... A prawda jest taka:

Napiszmy więc:

Oznacza to, że wyszło tak: w nawiasie zamieniliśmy terminy, a jednocześnie znak przed ułamkiem zmienił się na przeciwny. Zwróć uwagę, będziesz musiał to robić często.

Teraz dochodzimy do wspólnego mianownika:

Rozumiem? Sprawdźmy teraz.

Zadania do samodzielnego rozwiązania:

Odpowiedzi:

Tutaj musimy pamiętać jeszcze jedną rzecz - różnicę kostek:

Należy pamiętać, że mianownik drugiego ułamka nie zawiera formuły „kwadrat sumy”! Kwadrat sumy wyglądałby tak:

A jest tak zwanym niepełnym kwadratem sumy: drugi wyraz jest w nim iloczynem pierwszego i ostatniego, a nie ich iloczynem podwojonym. Niepełny kwadrat sumy jest jednym z czynników rozszerzania różnicy sześcianów:

Co jeśli są już trzy ułamki?

Tak to samo! Przede wszystkim upewnimy się, że maksymalna liczba czynników w mianownikach jest taka sama:

Zwróć uwagę: jeśli zmienisz znaki w jednym nawiasie, znak przed ułamkiem zmieni się na przeciwny. Kiedy zmieniamy znaki w drugim nawiasie, znak przed ułamkiem jest ponownie odwracany. W rezultacie on (znak przed frakcją) się nie zmienił.

Pierwszy mianownik wypisujemy w całości we wspólnym mianowniku, a następnie dodajemy do niego wszystkie czynniki, które jeszcze nie zostały zapisane, z drugiego, a następnie z trzeciego (i tak dalej, jeśli jest więcej ułamków). Oznacza to, że wygląda to tak:

Hmm… Z ułamkami jasne, co robić. Ale co z tymi dwoma?

To proste: wiesz, jak dodawać ułamki, prawda? Musisz więc upewnić się, że dwójka stanie się ułamkiem! Pamiętaj: ułamek to operacja dzielenia (licznik jest dzielony przez mianownik, na wypadek, gdybyś nagle zapomniał). I nie ma nic prostszego niż dzielenie liczby przez. W takim przypadku sama liczba się nie zmieni, ale zamieni się w ułamek:

Dokładnie to, czego potrzeba!

5. Mnożenie i dzielenie ułamków.

Cóż, najtrudniejsza część już się skończyła. A przed nami najprostsze, ale jednocześnie najważniejsze:

Procedura

Jaka jest procedura obliczania wyrażenia liczbowego? Pamiętaj, biorąc pod uwagę wartość takiego wyrażenia:

Czy liczyłeś?

Powinno działać.

Więc przypominam.

Pierwszym krokiem jest obliczenie stopnia.

Drugi to mnożenie i dzielenie. Jeśli jest kilka mnożeń i dzieleń jednocześnie, możesz je wykonać w dowolnej kolejności.

I na koniec wykonujemy dodawanie i odejmowanie. Znowu w dowolnej kolejności.

Ale: wyrażenie w nawiasach jest oceniane niewłaściwie!

Jeśli kilka nawiasów jest mnożonych lub dzielonych przez siebie, najpierw oceniamy wyrażenie w każdym z nawiasów, a następnie mnożymy lub dzielimy je.

A jeśli w nawiasach są inne nawiasy? Zastanówmy się: w nawiasach jest napisane jakieś wyrażenie. Jaka jest pierwsza rzecz do zrobienia podczas oceny wyrażenia? Zgadza się, oblicz nawiasy. Cóż, zorientowaliśmy się: najpierw obliczamy nawiasy wewnętrzne, potem wszystko inne.

Tak więc kolejność czynności dla powyższego wyrażenia jest następująca (bieżąca czynność jest podświetlona na czerwono, to znaczy czynność, którą wykonuję w tej chwili):

Dobra, to wszystko jest proste.

Ale to nie to samo, co wyrażenie z literami, prawda?

Nie, to jest to samo! Tylko zamiast operacji arytmetycznych konieczne jest wykonywanie operacji algebraicznych, czyli operacji opisanych w poprzednim rozdziale: przynosząc podobne, dodawanie ułamków, zmniejszanie ułamków i tak dalej. Jedyną różnicą będzie działanie faktoryzacji wielomianów (często używamy go podczas pracy z ułamkami). Najczęściej do rozkładania na czynniki należy użyć i lub po prostu wyjąć wspólny dzielnik z nawiasów.

Zwykle naszym celem jest przedstawienie wyrażenia jako iloczynu lub ilorazu.

Na przykład:

Uprośćmy wyrażenie.

1) Najpierw upraszczamy wyrażenie w nawiasach. Tam mamy różnicę ułamków, a naszym celem jest przedstawienie jej jako iloczynu lub ilorazu. Tak więc łączymy ułamki ze wspólnym mianownikiem i dodajemy:

Nie da się dalej uprościć tego wyrażenia, wszystkie czynniki są tu elementarne (pamiętasz jeszcze, co to oznacza?).

2) Otrzymujemy:

Mnożenie ułamków zwykłych: co może być prostsze.

3) Teraz możesz skrócić:

Cóż, to wszystko. Nic skomplikowanego, prawda?

Inny przykład:

Uprość wyrażenie.

Najpierw spróbuj sam go rozwiązać, a dopiero potem spójrz na rozwiązanie.

Przede wszystkim zdefiniujmy procedurę. Najpierw dodajmy ułamki w nawiasach, zamiast dwóch ułamków okaże się jeden. Następnie dokonamy podziału ułamków. Cóż, dodajemy wynik z ostatnim ułamkiem. Schematycznie ponumeruję kroki:

Teraz pokażę cały proces, zabarwiając bieżącą akcję na czerwono:

Na koniec dam ci dwie przydatne wskazówki:

1. Jeśli są podobne, należy je niezwłocznie przywieźć. W każdej chwili mamy podobne, warto je od razu zabrać.

2. To samo dotyczy redukcji ułamków: gdy tylko pojawi się okazja do redukcji, należy ją wykorzystać. Wyjątkiem są ułamki, które dodajesz lub odejmujesz: jeśli mają teraz te same mianowniki, skrócenie należy zostawić na później.

Oto kilka zadań do samodzielnego rozwiązania:

I obiecał na samym początku:

Rozwiązania (krótkie):

Jeśli poradziłeś sobie z przynajmniej pierwszymi trzema przykładami, to pomyśl, że opanowałeś temat.

Teraz do nauki!

KONWERSJA WYRAŻENIA. PODSUMOWANIE I PODSTAWOWA FORMUŁA

Podstawowe operacje upraszczające:

• Przynosząc podobne: aby dodać (zredukować) podobne terminy, musisz dodać ich współczynniki i przypisać część literową.
• Faktoryzacja: wyjęcie wspólnego czynnika z nawiasów, zastosowanie itp.
• Redukcja frakcji: licznik i mianownik ułamka można pomnożyć lub podzielić przez tę samą liczbę niezerową, od której wartość ułamka się nie zmienia.
  1) licznik i mianownik rozkładać na czynniki
  2) jeśli w liczniku i mianowniku występują wspólne czynniki, można je przekreślić.

  WAŻNE: można zmniejszyć tylko mnożniki!

• Dodawanie i odejmowanie ułamków:
  ;
• Mnożenie i dzielenie ułamków zwykłych:
  ;

I. Wyrażenia, w których wraz z literami mogą być używane liczby, znaki operacji arytmetycznych i nawiasy nazywamy wyrażeniami algebraicznymi.

Przykłady wyrażeń algebraicznych:

2m-n; 3 · (2a+b); 0,24x; 0.3a-b · (4a + 2b); a 2 - 2ab;

Ponieważ literę w wyrażeniu algebraicznym można zastąpić różnymi liczbami, literę nazywamy zmienną, a samo wyrażenie algebraiczne nazywamy wyrażeniem ze zmienną.

II. Jeśli w wyrażeniu algebraicznym litery (zmienne) są zastępowane ich wartościami i wykonywane są określone czynności, to wynikowa liczba nazywana jest wartością wyrażenia algebraicznego.

Przykłady. Znajdź wartość wyrażenia:

1) a + 2b-c dla a = -2; b = 10; c = -3,5.

2) |x| + |y| -|z| w x = -8; y=-5; z = 6.

Rozwiązanie.

1) a + 2b-c dla a = -2; b = 10; c = -3,5. Zamiast zmiennych podstawiamy ich wartości. Otrzymujemy:

— 2+ 2 · 10- (-3,5) = -2 + 20 +3,5 = 18 + 3,5 = 21,5.

2) |x| + |y| -|z| w x = -8; y=-5; z = 6. Podstawiamy wskazane wartości. Pamiętaj, że moduł liczby ujemnej jest równy jej liczbie przeciwnej, a moduł liczby dodatniej jest równy tej liczbie. Otrzymujemy:

|-8| + |-5| -|6| = 8 + 5 -6 = 7.

III. Wartości litery (zmiennej), dla których wyrażenie algebraiczne ma sens, nazywane są prawidłowymi wartościami litery (zmiennej).

Przykłady. Przy jakich wartościach zmiennej wyrażenie nie ma sensu?

Rozwiązanie. Wiemy, że nie da się dzielić przez zero, dlatego każde z tych wyrażeń nie będzie miało sensu przy wartości litery (zmiennej), która zamienia mianownik ułamka na zero!

W przykładzie 1) jest to wartość a = 0. Rzeczywiście, jeśli zamiast a podstawimy 0, to liczba 6 będzie musiała zostać podzielona przez 0, ale nie można tego zrobić. Odpowiedź: wyrażenie 1) nie ma sensu, gdy a = 0.

W przykładzie 2) mianownik x - 4 = 0 przy x = 4, zatem ta wartość x = 4 i nie może być wzięta. Odpowiedź: wyrażenie 2) nie ma sensu dla x = 4.

W przykładzie 3) mianownik to x + 2 = 0 dla x = -2. Odpowiedź: wyrażenie 3) nie ma sensu przy x = -2.

W przykładzie 4) mianownik to 5 -|x| = 0 dla |x| = 5. A ponieważ |5| = 5 i |-5| \u003d 5, to nie możesz wziąć x \u003d 5 i x \u003d -5. Odpowiedź: wyrażenie 4) nie ma sensu dla x = -5 i dla x = 5.
IV. Mówi się, że dwa wyrażenia są identycznie równe, jeśli dla dowolnych dopuszczalnych wartości zmiennych odpowiadające im wartości tych wyrażeń są równe.

Przykład: 5 (a - b) i 5a - 5b są identyczne, ponieważ równość 5 (a - b) = 5a - 5b będzie prawdziwa dla dowolnych wartości a i b. Równość 5 (a - b) = 5a - 5b jest identycznością.

Tożsamość jest równością, która obowiązuje dla wszystkich dopuszczalnych wartości zawartych w nim zmiennych. Przykładami już znanych Tobie tożsamości są na przykład właściwości dodawania i mnożenia, właściwość dystrybucji.

Zastąpienie jednego wyrażenia innym, identycznie mu równym, nazywamy transformacją identyczną lub po prostu transformacją wyrażenia. Identyczne przekształcenia wyrażeń ze zmiennymi wykonywane są na podstawie właściwości operacji na liczbach.

Przykłady.

a) przekonwertuj wyrażenie na identycznie równe, używając właściwości rozdzielczej mnożenia:

1) 10 (1,2x + 2,3y); 2) 1,5 (a-2b + 4c); 3) a·(6m -2n + k).

Rozwiązanie. Przypomnij sobie własność rozdzielczą (prawo) mnożenia:

(a+b) c=a c+b c(rozdzielcze prawo mnożenia względem dodawania: aby pomnożyć sumę dwóch liczb przez trzecią liczbę, każdy wyraz można pomnożyć przez tę liczbę i dodać wyniki).
(a-b) c=a c-b c(Dystrybucyjne prawo mnożenia względem odejmowania: aby pomnożyć różnicę dwóch liczb przez trzecią liczbę, można pomnożyć przez tę liczbę oddzielnie pomniejszoną i odejmowaną oraz odjąć drugą od pierwszego wyniku).

1) 10 (1,2x + 2,3y) \u003d 10 1,2x + 10 2,3y \u003d 12x + 23y.

2) 1,5 (a -2b + 4c) = 1,5a -3b + 6c.

3) a (6m -2n + k) = 6 rano -2an +ak.

b) przekształć wyrażenie na identycznie równe, korzystając z przemiennych i łącznych własności (praw) dodawania:

4) x + 4,5 + 2x + 6,5; 5) (3a + 2,1) + 7,8; 6) 5,4s -3 -2,5 -2,3s.

Rozwiązanie. Stosujemy prawa (właściwości) dodawania:

a+b=b+a(przesunięcie: suma nie zmienia się od zmiany warunków).
(a+b)+c=a+(b+c)(skojarzenie: aby dodać trzecią liczbę do sumy dwóch wyrazów, możesz dodać sumę drugiej i trzeciej do pierwszej liczby).

4) x + 4,5 + 2x + 6,5 = (x + 2x) + (4,5 + 6,5) = 3x + 11.

5) (3a + 2,1) + 7,8 = 3a + (2,1 + 7,8) = 3a + 9,9.

6) 6) 5,4 s -3 -2,5 -2,3 s = (5,4 s -2,3 s) + (-3 -2,5) = 3,1 s -5,5.

w) przekształć wyrażenie na identycznie równe za pomocą przemiennych i łącznych własności (praw) mnożenia:

7) 4 · x · (-2,5); 8) -3,5 · 2 lata · (-jeden); 9) 3a · (-3) · 2s.

Rozwiązanie. Zastosujmy prawa (własności) mnożenia:

a b=b a(przemieszczenie: permutacja czynników nie zmienia iloczynu).
(a b) c=a (b c)(kombinacja: aby pomnożyć iloczyn dwóch liczb przez trzecią liczbę, możesz pomnożyć pierwszą liczbę przez iloczyn drugiej i trzeciej).

Wpis, który składa się z cyfr, znaków i nawiasów, a także ma sens, nazywa się wyrażeniem liczbowym.

Na przykład następujące wpisy:

• (100-32)/17,
• 2*4+7,
• 4*0.7 -3/5,
• 1/3 +5/7

będzie numeryczny. Należy rozumieć, że jedna liczba będzie również wyrażeniem liczbowym. W naszym przykładzie ta liczba to 13.

Na przykład następujące wpisy

• 100 - *9,
• /32)343

nie będą wyrażeniami liczbowymi, ponieważ są bez znaczenia i są tylko zbiorem liczb i znaków.

Wartość wyrażenia liczbowego

Ponieważ znaki operacji arytmetycznych są zawarte jako znaki w wyrażeniach liczbowych, możemy obliczyć wartość wyrażenia liczbowego. Aby to zrobić, wykonaj następujące kroki.

Na przykład,

(100-32)/17 = 4, czyli dla wyrażenia (100-32)/17 wartością tego wyrażenia liczbowego będzie liczba 4.

2*4+7=15, liczba 15 będzie wartością wyrażenia liczbowego 2*4+7.

Często, dla zwięzłości, wpisy nie podają pełnej wartości wyrażenia liczbowego, ale po prostu wpisują „wartość wyrażenia”, pomijając słowo „liczbowe”.

Równość liczbowa

Jeśli dwa wyrażenia liczbowe są zapisane ze znakiem równości, to te wyrażenia tworzą równość liczbową. Na przykład wyrażenie 2*4+7=15 jest równością liczbową.

Jak wspomniano powyżej, w wyrażeniach numerycznych można używać nawiasów. Jak już wiesz, nawiasy wpływają na kolejność działań.

Ogólnie wszystkie działania są podzielone na kilka etapów.

• Czynności pierwszego kroku: dodawanie i odejmowanie.
• Czynności drugiego etapu: mnożenie i dzielenie.
• Czynności trzeciego kroku - do kwadratu i do sześcianu.

Zasady obliczania wartości wyrażeń numerycznych

Przy obliczaniu wartości wyrażeń liczbowych należy przestrzegać następujących zasad.

• 1. Jeżeli w wyrażeniu nie ma nawiasów, to należy wykonać czynności zaczynając od najwyższych kroków: krok trzeci, krok drugi i krok pierwszy. Jeśli istnieje kilka działań na tym samym etapie, są one wykonywane w kolejności, w jakiej zostały napisane, to znaczy od lewej do prawej.
• 2. Jeśli w wyrażeniu występują nawiasy, najpierw wykonywane są operacje w nawiasach, a dopiero potem wszystkie operacje stalowe są wykonywane w zwykłej kolejności. Wykonując czynności w nawiasach, jeśli jest ich kilka, należy zastosować kolejność opisaną w ust. 1.
• 3. Jeśli wyrażenie jest ułamkiem, najpierw obliczane są wartości w liczniku i mianowniku, a następnie licznik jest dzielony przez mianownik.
• 4. Jeżeli wyrażenie zawiera nawiasy zagnieżdżone, to czynności należy wykonać z nawiasów wewnętrznych.

Wyrażenia numeryczne i algebraiczne. Konwersja wyrażenia.

Co to jest wyrażenie w matematyce? Dlaczego potrzebne są konwersje wyrażeń?

Pytanie, jak mówią, jest interesujące... Faktem jest, że te pojęcia są podstawą wszelkiej matematyki. Cała matematyka składa się z wyrażeń i ich przekształceń. Niezbyt jasne? Pozwól mi wyjaśnić.

Powiedzmy, że masz zły przykład. Bardzo duży i bardzo złożony. Powiedzmy, że jesteś dobry z matematyki i niczego się nie boisz! Czy możesz odpowiedzieć od razu?

Będziesz musiał rozwiązywać ten przykład. Kolejno, krok po kroku, ten przykład uproszczać. Przez pewne zasady, naturalnie. Tych. robić konwersja wyrażenia. Jak skutecznie przeprowadzasz te przekształcenia, więc jesteś silny w matematyce. Jeśli nie wiesz, jak wykonać odpowiednie przekształcenia, w matematyce nie możesz tego zrobić nic...

Aby uniknąć tak niewygodnej przyszłości (lub teraźniejszości…), nie zaszkodzi zrozumieć ten temat.)

Na początek dowiedzmy się co to jest wyrażenie w matematyce?. Co się stało wyrażenie liczbowe i co jest wyrażenie algebraiczne.

Co to jest wyrażenie w matematyce?

Wyrażenie w matematyce to bardzo szerokie pojęcie. Prawie wszystko, czym zajmujemy się w matematyce, to zbiór wyrażeń matematycznych. Wszelkie przykłady, wzory, ułamki, równania itd. - wszystko składa się z wyrażenia matematyczne.

3+2 to wyrażenie matematyczne. c 2 - d 2 to także wyrażenie matematyczne. I zdrowy ułamek, a nawet jedna liczba - to wszystko wyrażenia matematyczne. Na przykład równanie to:

5x + 2 = 12

składa się z dwóch wyrażeń matematycznych połączonych znakiem równości. Jedno wyrażenie jest po lewej, drugie po prawej.

W ogólny widok termin " wyrażenie matematyczne" jest używany najczęściej, aby nie mamrotać. Zapytają Cię na przykład, co to jest zwykły ułamek? A jak odpowiedzieć?!

Odpowiedź 1: „To... m-m-m-m... coś takiego... w którym... Czy mogę napisać ułamek lepiej? Który chcesz?"

Druga opcja odpowiedzi: „Zwykły ułamek to (wesoło i radośnie!) wyrażenie matematyczne , który składa się z licznika i mianownika!"

Druga opcja jest jakoś bardziej imponująca, prawda?)

W tym celu fraza „ wyrażenie matematyczne "bardzo dobrze. Zarówno poprawne, jak i solidne. Ale za praktyczne zastosowanie powinien być dobrze zorientowany w specyficzne rodzaje wyrażeń w matematyce .

Konkretny typ to inna sprawa. Ten co innego! Każdy rodzaj wyrażenia matematycznego ma mój zestaw zasad i technik, które należy zastosować przy podejmowaniu decyzji. Do pracy z ułamkami - jeden zestaw. Do pracy z wyrażeniami trygonometrycznymi - drugi. Do pracy z logarytmami - trzeci. Itp. Gdzieś te zasady są zbieżne, gdzieś znacznie się różnią. Ale nie bój się tych strasznych słów. Logarytmy, trygonometria i inne tajemnicze rzeczy opanujemy w odpowiednich działach.

Tutaj opanujemy (lub - powtórz, jak chcesz ...) dwa główne typy wyrażeń matematycznych. Wyrażenia liczbowe i wyrażenia algebraiczne.

Wyrażenia liczbowe.

Co się stało wyrażenie liczbowe? To bardzo prosta koncepcja. Sama nazwa wskazuje, że jest to wyrażenie z liczbami. Tak to jest. Wyrażenie matematyczne składające się z liczb, nawiasów i znaków operacji arytmetycznych nazywa się wyrażeniem liczbowym.

7-3 to wyrażenie liczbowe.

(8+3.2) 5.4 jest również wyrażeniem liczbowym.

A ten potwór:

także wyrażenie liczbowe, tak...

Zwykła liczba, ułamek, dowolny przykład obliczenia bez x i innych liter - wszystko to są wyrażenia numeryczne.

główna cecha liczbowy wyrażenia w nim bez liter. Nic. Tylko cyfry i ikony matematyczne (jeśli to konieczne). To proste, prawda?

A co można zrobić z wyrażeniami liczbowymi? Wyrażenia liczbowe można zwykle zliczyć. Aby to zrobić, czasami trzeba otworzyć nawiasy, zmienić znaki, skrócić, zamienić terminy - tj. robić konwersje wyrażeń. Ale więcej na ten temat poniżej.

Tutaj zajmiemy się tak śmiesznym przypadkiem, gdy z wyrażeniem liczbowym nie musisz nic robić. Cóż, w ogóle nic! Ta miła operacja Nic nie robić)- jest wykonywane, gdy wyrażenie nie ma sensu.

Kiedy wyrażenie numeryczne nie ma sensu?

Oczywiście, jeśli zobaczymy przed sobą jakąś abrakadabrę, taką jak

wtedy nic nie zrobimy. Ponieważ nie jest jasne, co z tym zrobić. Jakieś bzdury. Chyba, że ​​policzyć ilość plusów...

Ale na zewnątrz są całkiem przyzwoite wyrażenia. Na przykład to:

(2+3) : (16 - 2 8)

Jednak to wyrażenie jest również nie ma sensu! Z tego prostego powodu, że w drugich nawiasach – jeśli policzysz – otrzymujesz zero. Nie możesz dzielić przez zero! Jest to zabroniona operacja w matematyce. Dlatego też nie trzeba nic robić z tym wyrażeniem. Dla każdego zadania z takim wyrażeniem odpowiedź zawsze będzie taka sama: „Wyrażenie nie ma sensu!”

Aby udzielić takiej odpowiedzi, oczywiście musiałem policzyć, co będzie w nawiasach. A czasem w nawiasach taki skręt… No cóż, nic z tym nie można zrobić.

W matematyce nie ma zbyt wielu zakazanych operacji. W tym wątku jest tylko jeden. Dzielenie przez zero. Dodatkowe zakazy wynikające z pierwiastków i logarytmów są omówione w odpowiednich tematach.

Więc pomysł na to, co jest wyrażenie liczbowe- Odebrane. pojęcie wyrażenie liczbowe nie ma sensu- zrealizowane. Chodźmy dalej.

Wyrażenia algebraiczne.

Jeśli w wyrażeniu liczbowym pojawiają się litery, to wyrażenie staje się... Wyrażenie staje się... Tak! Staje się wyrażenie algebraiczne. Na przykład:

5a 2; 3x-2 lata; 3(z-2); 3,4m/n; x 2 +4x-4; (a + b) 2; ...

Takie wyrażenia są również nazywane dosłowne wyrażenia. Lub wyrażenia ze zmiennymi. To praktycznie to samo. Wyrażenie 5a +c, na przykład - zarówno dosłowne, jak i algebraiczne oraz wyrażenie ze zmiennymi.

pojęcie wyrażenie algebraiczne - szerszy niż numeryczny. Ono zawiera i wszystkie wyrażenia liczbowe. Tych. wyrażenie numeryczne jest również wyrażeniem algebraicznym, tylko bez liter. Każdy śledź to ryba, ale nie każda ryba to śledź...)

Czemu dosłowny- to jest czyste. No, skoro są litery... Zwrot wyrażenie ze zmiennymi również niezbyt kłopotliwe. Jeśli rozumiesz, że cyfry są ukryte pod literami. Pod literami można schować wszelkiego rodzaju cyfry... I 5 i -18, i co tylko zechcesz. Oznacza to, że list może wymienić na różne liczby. Dlatego litery nazywają się zmienne.

W wyrażeniu y+5, na przykład, w- zmienny. Lub po prostu powiedz „ zmienny", bez słowa „wartość”. W przeciwieństwie do piątki, która jest wartością stałą. Lub po prostu - stały.

Termin wyrażenie algebraiczne oznacza, że ​​aby pracować z tym wyrażeniem, musisz korzystać z praw i zasad algebra. Jeśli arytmetyka działa z określonymi liczbami, to algebra- ze wszystkimi liczbami naraz. Prosty przykład do wyjaśnienia.

W arytmetyce można to napisać

Ale jeśli zapiszemy podobną równość za pomocą wyrażeń algebraicznych:

a + b = b + a

podejmiemy decyzję natychmiast wszystko pytania. Do wszystkie liczby udar. Na nieskończoną liczbę rzeczy. Bo pod literami ale I b ukryty wszystko liczby. I nie tylko liczby, ale nawet inne wyrażenia matematyczne. Tak działa algebra.

Kiedy wyrażenie algebraiczne nie ma sensu?

W przypadku wyrażenia liczbowego wszystko jest jasne. Nie możesz dzielić przez zero. A z literami, czy można dowiedzieć się, przez co dzielimy?!

Weźmy za przykład następujące wyrażenie zmiennej:

2: (ale - 5)

Czy ma sens? Ale kto go zna? ale- Jakikolwiek numer...

Dowolne, dowolne... Ale jest jedno znaczenie ale, dla którego to wyrażenie dokładnie nie ma sensu! A co to za liczba? TAk! Jest 5! Jeśli zmienna ale zastąp (mówią - „zastąp”) liczbą 5, w nawiasach zero się okaże. których nie można podzielić. Okazuje się więc, że nasza ekspresja nie ma sensu, Jeśli a = 5. Ale dla innych wartości ale czy ma sens? Czy możesz zastąpić inne liczby?

Na pewno. W takich przypadkach mówi się po prostu, że wyrażenie

2: (ale - 5)

ma sens dla każdej wartości ale, z wyjątkiem a = 5 .

Cały zestaw liczb mogą substytut do podanego wyrażenia nazywa się Prawidłowy zakres to wyrażenie.

Jak widać, nie ma nic trudnego. Przyglądamy się wyrażeniu ze zmiennymi i zastanawiamy się: przy jakiej wartości zmiennej uzyskuje się zakazaną operację (dzielenie przez zero)?

A potem koniecznie spójrz na kwestię zadania. O co pytają?

nie ma sensu odpowiedzią będzie nasza zakazana wartość.

Jeśli zapytają, przy jakiej wartości zmiennej wyrażenie ma znaczenie(poczuj różnicę!), odpowiedź będzie wszystkie inne liczby z wyjątkiem zakazanego.

Dlaczego potrzebujemy znaczenia wyrażenia? On tam jest, nie ma go... Jaka to różnica?! Faktem jest, że ta koncepcja staje się bardzo ważna w szkole średniej. Bardzo ważny! Na tym opierają się takie solidne koncepcje jak zakres poprawnych wartości czy zakres funkcji. Bez tego nie będziesz w stanie w ogóle rozwiązać poważnych równań lub nierówności. Lubię to.

Konwersja wyrażenia. Transformacje tożsamości.

Zapoznaliśmy się z wyrażeniami liczbowymi i algebraicznymi. Zrozum, co oznacza wyrażenie „wyrażenie nie ma sensu”. Teraz musimy dowiedzieć się, co konwersja wyrażenia. Odpowiedź jest prosta, skandaliczna.) To jest każda akcja z wyrażeniem. I to wszystko. Robisz te przemiany od pierwszych zajęć.

Weź fajne wyrażenie liczbowe 3+5. Jak można go nawrócić? Tak, bardzo proste! Oblicz:

Ta kalkulacja będzie transformacją wyrażenia. Możesz napisać to samo wyrażenie w inny sposób:

Niczego tu nie liczyliśmy. Po prostu zapisz wyrażenie w innej formie. Będzie to również transformacja wyrażenia. Można to napisać tak:

I to też jest transformacja ekspresji. Możesz wykonać tyle tych przemian, ile chcesz.

Każdy działanie na wyrażeniu każdy napisanie go w innej formie nazywa się transformacją wyrażenia. I wszystkie rzeczy. Wszystko jest bardzo proste. Ale jest tu jedna rzecz bardzo ważna zasada. Tak ważne, że można je bezpiecznie nazwać główna zasada cała matematyka. Łamanie tej zasady nieuchronnie prowadzi do błędów. Czy rozumiemy?)

Załóżmy, że arbitralnie przekształciliśmy nasze wyrażenie, w ten sposób:

Transformacja? Na pewno. Wyrażenie napisaliśmy w innej formie, co tu jest nie tak?

To nie tak.) Faktem jest, że transformacje "cokolwiek" matematyka w ogóle nie jest zainteresowana). Cała matematyka opiera się na przekształceniach, w których wygląd, ale istota wypowiedzi się nie zmienia. Trzy plus pięć można zapisać w dowolnej formie, ale musi to być osiem.

przekształcenia, wyrażenia, które nie zmieniają istoty nazywa się identyczny.

Dokładnie tak identyczne przekształcenia i pozwól nam, krok po kroku, zmieniać się złożony przykład w proste wyrażenie, zachowując istota przykładu. Jeśli pomylimy się w łańcuchu przekształceń, dokonamy NIE identycznej transformacji, wtedy zdecydujemy inne przykład. Z innymi odpowiedziami, które nie są powiązane z poprawnymi.)

Oto główna zasada rozwiązywania wszelkich zadań: zgodność z tożsamością przekształceń.

Dla jasności podałem przykład z wyrażeniem liczbowym 3 + 5. W wyrażenia algebraiczne przekształcenia tożsamości są podane przez formuły i reguły. Powiedzmy, że w algebrze jest wzór:

a(b+c) = ab + ac

Tak więc w każdym przykładzie możemy zamiast wyrażenia a(b+c) możesz napisać wyrażenie ab+ac. I wzajemnie. Ten identyczna transformacja. Matematyka daje nam do wyboru te dwa wyrażenia. A który napisać - od studium przypadku zależy.

Inny przykład. Jedną z najważniejszych i niezbędnych przekształceń jest podstawowa własność ułamka. Więcej szczegółów można zobaczyć pod linkiem, ale tutaj przypominam tylko zasadę: jeśli licznik i mianownik ułamka zostaną pomnożone (podzielone) przez tę samą liczbę lub wyrażenie, które nie jest równe zero, ułamek się nie zmieni. Oto przykład identycznych przekształceń dla tej właściwości:

Jak się zapewne domyślasz, ten łańcuch można kontynuować w nieskończoność...) Bardzo ważna własność. To właśnie pozwala zamienić wszelkiego rodzaju przykładowe potwory w białe i puszyste.)

Istnieje wiele formuł definiujących identyczne przekształcenia. Ale najważniejsze – całkiem rozsądna kwota. Jedną z podstawowych transformacji jest faktoryzacja. Jest używany we wszystkich dziedzinach matematyki - od elementarnej po zaawansowaną. Zacznijmy od niego. w następnej lekcji.)

Jeśli podoba Ci się ta strona...

Nawiasem mówiąc, mam dla Ciebie kilka innych interesujących stron.)

Możesz ćwiczyć rozwiązywanie przykładów i sprawdzać swój poziom. Testowanie z natychmiastową weryfikacją. Nauka - z zainteresowaniem!)

możesz zapoznać się z funkcjami i pochodnymi.

Jeśli więc wyrażenie liczbowe składa się z liczb i znaków +, −, · oraz:, to w kolejności od lewej do prawej należy najpierw wykonać mnożenie i dzielenie, a następnie dodawanie i odejmowanie, co pozwoli znaleźć żądane wartość wyrażenia.

Rzućmy okiem na kilka przykładów dla wyjaśnienia.

Przykład.

Oblicz wartość wyrażenia 14−2·15:6−3 .

Rozwiązanie.

Aby znaleźć wartość wyrażenia, musisz wykonać wszystkie określone w nim czynności zgodnie z przyjętą kolejnością wykonywania tych czynności. Najpierw w kolejności od lewej do prawej wykonujemy mnożenie i dzielenie, otrzymujemy 14−2 15:6−3=14−30:6−3=14−5−3. Teraz w kolejności od lewej do prawej wykonujemy pozostałe czynności: 14−5−3=9−3=6 . Więc znaleźliśmy wartość oryginalnego wyrażenia, która jest równa 6 .

Odpowiedź:

14-2 15:6-3=6.

Przykład.

Znajdź wartość wyrażenia.

Rozwiązanie.

W tym przykładzie najpierw musimy wykonać w wyrażeniu mnożenie 2 (−7) i dzielenie z mnożeniem. Pamiętając jak , znajdujemy 2 (−7)=−14 . I najpierw wykonać czynności w wyrażeniu , następnie i wykonać: .

Otrzymane wartości podstawiamy do oryginalnego wyrażenia: .

Ale co, gdy pod znakiem głównym znajduje się wyrażenie liczbowe? Aby uzyskać wartość takiego korzenia, musisz najpierw znaleźć wartość wyrażenia root, zgodnie z przyjętą kolejnością operacji. Na przykład, .

W wyrażeniach liczbowych pierwiastki należy postrzegać jako pewne liczby i wskazane jest natychmiastowe zastąpienie pierwiastków ich wartościami, a następnie znalezienie wartości wynikowego wyrażenia bez pierwiastków, wykonując czynności w przyjętej kolejności.

Przykład.

Znajdź wartość wyrażenia z pierwiastkami.

Rozwiązanie.

Najpierw znajdź wartość korzenia . Aby to zrobić, najpierw obliczamy wartość radykalnego wyrażenia, które mamy −2 3−1+60:4=−6−1+15=8. A po drugie, znajdujemy wartość korzenia.

Teraz obliczmy wartość drugiego pierwiastka z oryginalnego wyrażenia: .

Na koniec możemy znaleźć wartość oryginalnego wyrażenia, zastępując pierwiastki ich wartościami: .

Odpowiedź:

Dość często, aby można było znaleźć wartość wyrażenia z pierwiastkami, trzeba je najpierw przekonwertować. Pokażmy przykładowe rozwiązanie.

Przykład.

Jakie jest znaczenie wyrażenia .

Rozwiązanie.

Nie jesteśmy w stanie zastąpić pierwiastka z trzech jego dokładną wartością, co nie pozwala nam obliczyć wartości tego wyrażenia w sposób opisany powyżej. Możemy jednak obliczyć wartość tego wyrażenia, wykonując proste przekształcenia. Odpowiedni wzór różnicy kwadratów: . Biorąc pod uwagę , otrzymujemy . Zatem wartość oryginalnego wyrażenia wynosi 1 .

Odpowiedź:

.

Z stopniami

Jeśli podstawą i wykładnikiem są liczby, to ich wartość jest obliczana na podstawie definicji stopnia, na przykład 3 2 =3 3=9 lub 8 -1 =1/8 . Są też wpisy, gdy podstawa i/lub wykładnik są wyrażeniami. W takich przypadkach należy znaleźć wartość wyrażenia w podstawie, wartość wyrażenia w wykładniku, a następnie obliczyć wartość samego stopnia.

Przykład.

Znajdź wartość wyrażenia z potęgami postaci 2 3 4-10 +16 (1-1/2) 3,5-2 1/4.

Rozwiązanie.

Pierwotne wyrażenie ma dwie potęgi 2 3 4-10 i (1-1/2) 3,5-2 1/4 . Ich wartości należy obliczyć przed wykonaniem pozostałych kroków.

Zacznijmy od potęgi 2 3,4−10 . Jego wskaźnik zawiera wyrażenie liczbowe, obliczmy jego wartość: 3,4−10=12−10=2 . Teraz możesz znaleźć wartość samego stopnia: 2 3 4−10 =2 2 =4 .

W podstawie i wykładniku znajdują się wyrażenia (1−1/2) 3,5−2 1/4, obliczamy ich wartości, aby później znaleźć wartość stopnia. Mamy (1−1/2) 3,5−2 1/4 =(1/2) 3 =1/8.

Teraz wracamy do pierwotnego wyrażenia, zamieniamy w nim stopnie na ich wartości i znajdujemy wartość wyrażenia, którego potrzebujemy: 2 3 4-10 +16 (1-1/2) 3,5-2 1/4 = 4+16 1/8=4+2=6 .

Odpowiedź:

2 3 4-10 +16 (1-1/2) 3,5-2 1/4 =6.

Warto zauważyć, że częściej zdarzają się przypadki, w których wskazane jest przeprowadzenie wstępnego uproszczenie wyrażania za pomocą uprawnień na bazie .

Przykład.

Znajdź wartość wyrażenia .

Rozwiązanie.

Sądząc po wykładnikach tego wyrażenia, nie można uzyskać dokładnych wartości stopni. Spróbujmy uprościć oryginalne wyrażenie, może pomoże to w odnalezieniu jego wartości. Mamy

Odpowiedź:

.

Potęgi w wyrażeniach często idą w parze z logarytmami, ale porozmawiamy o znajdowaniu wartości wyrażeń z logarytmami w jednym z nich.

Znajdowanie wartości wyrażenia z ułamkami

Wyrażenia numeryczne w swoim rekordzie mogą zawierać ułamki. Gdy wymagane jest znalezienie wartości takiego wyrażenia, ułamki inne niż zwykłe należy zastąpić ich wartościami przed wykonaniem innych kroków.

Licznik i mianownik ułamków (które różnią się od zwykłych ułamków) mogą zawierać zarówno niektóre liczby, jak i wyrażenia. Aby obliczyć wartość takiego ułamka, należy obliczyć wartość wyrażenia w liczniku, obliczyć wartość wyrażenia w mianowniku, a następnie obliczyć wartość samego ułamka. Porządek ten tłumaczy się tym, że ułamek a/b, gdzie aib są pewnymi wyrażeniami, jest w rzeczywistości ilorazem postaci (a):(b) , ponieważ .

Rozważmy przykładowe rozwiązanie.

Przykład.

Znajdź wartość wyrażenia z ułamkami .

Rozwiązanie.

W pierwotnym wyrażeniu liczbowym trzy ułamki I . Aby znaleźć wartość oryginalnego wyrażenia, najpierw potrzebujemy tych ułamków i zastępujemy je ich wartościami. Zróbmy to.

Licznikiem i mianownikiem ułamka są liczby. Aby znaleźć wartość takiego ułamka, zastępujemy pasek ułamka znakiem podziału i wykonujemy tę czynność: .

Licznik ułamka zawiera wyrażenie 7−2 3 , jego wartość jest łatwa do znalezienia: 7−2 3=7−6=1 . W ten sposób, . Możesz przejść do znalezienia wartości trzeciego ułamka.

Trzeci ułamek w liczniku i mianowniku zawiera wyrażenia liczbowe, dlatego najpierw musisz obliczyć ich wartości, a to pozwoli ci znaleźć wartość samego ułamka. Mamy .

Pozostaje podstawić znalezione wartości do oryginalnego wyrażenia i wykonać pozostałe kroki: .

Odpowiedź:

.

Często przy znajdowaniu wartości wyrażeń z ułamkami trzeba wykonać uproszczenie wyrażenia ułamkowe , na podstawie wykonania akcji z ułamkami i redukcji ułamków.

Przykład.

Znajdź wartość wyrażenia .

Rozwiązanie.

Pierwiastek z piątki nie jest całkowicie wyodrębniony, więc aby znaleźć wartość oryginalnego wyrażenia, uprośćmy je najpierw. Dla tego pozbyć się irracjonalności w mianowniku pierwsza frakcja: . Następnie oryginalne wyrażenie przybierze formę . Po odjęciu ułamków, pierwiastki znikną, co pozwoli nam znaleźć wartość początkowo podanego wyrażenia:.

Odpowiedź:

.

Z logarytmami

Jeśli wyrażenie liczbowe zawiera , i jeśli można się ich pozbyć, robi się to przed wykonaniem innych czynności. Na przykład przy znalezieniu wartości wyrażenia log 2 4+2 3 , logarytm log 2 4 jest zastępowany jego wartością 2 , po czym reszta operacji jest wykonywana w zwykłej kolejności, czyli log 2 4 +2 3=2+2 3=2 +6=8 .

Gdy pod znakiem logarytmu i / lub u jego podstawy znajdują się wyrażenia liczbowe, najpierw znajdują się ich wartości, po czym obliczana jest wartość logarytmu. Rozważmy na przykład wyrażenie z logarytmem postaci . U podstawy logarytmu i pod jego znakiem znajdują się wyrażenia liczbowe, odnajdujemy ich wartości: . Teraz znajdujemy logarytm, po którym kończymy obliczenia: .

Jeżeli logarytmy nie są dokładnie obliczone, to ich wstępne uproszczenie za pomocą . W takim przypadku musisz dobrze znać materiał artykułu. transformacja wyrażeń logarytmicznych.

Przykład.

Znajdź wartość wyrażenia z logarytmami .

Rozwiązanie.

Zacznijmy od obliczenia log 2 (log 2 256) . Skoro 256=2 8 , to log 2 256=8 , stąd log 2 (log 2 256)=log 2 8=log 2 2 3 =3.

Logarytmy log 6 2 i log 6 3 mogą być grupowane. Suma logarytmów log 6 2+log 6 3 jest równa logarytmowi iloczynu log 6 (2 3) , więc log 6 2+log 6 3=log 6 (2 3)=log 6 6=1.

Teraz zajmijmy się ułamkami. Na początek przepisujemy podstawę logarytmu w mianowniku w postaci wspólny ułamek jako 1/5 , po czym korzystamy z własności logarytmów, które pozwolą nam uzyskać wartość ułamka:
.

Pozostaje tylko podstawić uzyskane wyniki do oryginalnego wyrażenia i dokończyć znajdowanie jego wartości:

Odpowiedź:

Jak znaleźć wartość wyrażenia trygonometrycznego?

Gdy wyrażenie liczbowe zawiera lub itp., ich wartości są obliczane przed wykonaniem innych czynności. Jeśli pod znakiem funkcje trygonometryczne Jeśli istnieją wyrażenia liczbowe, najpierw obliczane są ich wartości, po czym znajdują się wartości funkcji trygonometrycznych.

Przykład.

Znajdź wartość wyrażenia .

Rozwiązanie.

Wracając do artykułu, otrzymujemy i cosπ=−1 . Podstawiamy te wartości do pierwotnego wyrażenia, to przybiera formę . Aby znaleźć jego wartość, należy najpierw wykonać potęgowanie, a następnie zakończyć obliczenia: .

Odpowiedź:

.

Należy zauważyć, że obliczanie wartości wyrażeń z sinusami, cosinusami itp. często wymaga wcześniejszego transformacje wyrażeń trygonometrycznych.

Przykład.

Jaka jest wartość wyrażenia trygonometrycznego .

Rozwiązanie.

Przekształćmy oryginalne wyrażenie za pomocą , w tym przypadku potrzebujemy formuły cosinus podwójnego kąta i sumy cosinus:

Dokonane przekształcenia pomogły nam odnaleźć wartość wyrażenia.

Odpowiedź:

.

Sprawa ogólna

W ogólnym przypadku wyrażenie numeryczne może zawierać pierwiastki, stopnie, ułamki i dowolne funkcje oraz nawiasy. Znalezienie wartości takich wyrażeń polega na wykonaniu następujących czynności:

• pierwsze pierwiastki, stopnie, ułamki itp. są zastępowane przez ich wartości,
• dalsze czynności w nawiasach,
• i w kolejności od lewej do prawej wykonywane są pozostałe operacje - mnożenie i dzielenie, a następnie dodawanie i odejmowanie.

Powyższe czynności są wykonywane do momentu uzyskania końcowego wyniku.

Przykład.

Znajdź wartość wyrażenia .

Rozwiązanie.

Forma tego wyrażenia jest dość skomplikowana. W tym wyrażeniu widzimy ułamek, pierwiastki, stopnie, sinus i logarytm. Jak znaleźć jego znaczenie?

Przesuwając się wzdłuż rekordu od lewej do prawej, natrafiamy na ułamek formy . Wiemy to, gdy mamy do czynienia z ułamkami złożony typ, musimy osobno obliczyć wartość licznika, osobno - mianownik, a na koniec znaleźć wartość ułamka.

W liczniku mamy pierwiastek postaci . Aby określić jego wartość, musisz najpierw obliczyć wartość wyrażenia radykalnego . Tutaj jest sinus. Jego wartość możemy znaleźć dopiero po obliczeniu wartości wyrażenia . Oto co możemy zrobić: . Następnie skąd i .

Z mianownikiem wszystko jest proste: .

W ten sposób, .

Po podstawieniu tego wyniku do oryginalnego wyrażenia, przyjmie on postać . Otrzymane wyrażenie zawiera stopień. Aby znaleźć jego wartość, musisz najpierw znaleźć wartość wskaźnika, który mamy .

Więc, .

Odpowiedź:

.

Jeśli nie można obliczyć dokładnych wartości pierwiastków, stopni itp., możesz spróbować się ich pozbyć za pomocą dowolnych przekształceń, a następnie powrócić do obliczania wartości zgodnie z określonym schematem.

Racjonalne sposoby obliczania wartości wyrażeń

Obliczanie wartości wyrażeń liczbowych wymaga spójności i dokładności. Tak, konieczne jest przestrzeganie kolejności czynności zapisanych w poprzednich akapitach, ale nie powinno się tego robić na ślepo i mechanicznie. Rozumiemy przez to, że często można zracjonalizować proces znajdowania wartości wyrażenia. Na przykład niektóre właściwości akcji z liczbami pozwalają znacznie przyspieszyć i uprościć znajdowanie wartości wyrażenia.

Na przykład znamy tę właściwość mnożenia: jeśli jeden z czynników iloczynu wynosi zero, to wartość iloczynu wynosi zero. Korzystając z tej właściwości, możemy od razu powiedzieć, że wartość wyrażenia 0 (2 3+893-3234:54 65-79 56 2,2)(45 36-2 4+456:3 43) to zero. Gdybyśmy postępowali zgodnie ze standardową kolejnością operacji, najpierw musielibyśmy obliczyć wartości niewygodnych wyrażeń w nawiasach, a zajęłoby to dużo czasu, a wynik nadal byłby zerem.

Wygodne jest również użycie właściwości odejmowania równych liczb: jeśli odejmiesz równą liczbę od liczby, wynik wyniesie zero. Tę właściwość można rozpatrywać szerzej: różnica dwóch identycznych wyrażeń liczbowych jest równa zeru. Na przykład bez obliczania wartości wyrażeń w nawiasach możesz znaleźć wartość wyrażenia (54 6-12 47362:3)-(54 6-12 47362:3), jest równa zero, ponieważ oryginalne wyrażenie jest różnicą identycznych wyrażeń.

Identyczne przekształcenia mogą przyczynić się do racjonalnego obliczania wartości wyrażeń. Na przykład grupowanie terminów i czynników może być przydatne, ale nie mniej często jest usuwanie wspólnego czynnika z nawiasów. Zatem wartość wyrażenia 53 5+53 7−53 11+5 jest bardzo łatwa do znalezienia po wyjęciu z nawiasów współczynnika 53: 53 (5+7−11)+5=53 1+5=53+5=58. Bezpośrednia kalkulacja zajęłaby znacznie więcej czasu.

Na zakończenie tego akapitu zwróćmy uwagę na racjonalne podejście do obliczania wartości wyrażeń z ułamkami - zmniejszono te same współczynniki w liczniku i mianowniku ułamka. Na przykład zmniejszenie tych samych wyrażeń w liczniku i mianowniku ułamka pozwala od razu znaleźć jego wartość, która wynosi 1/2 .

Znajdowanie wartości wyrażenia dosłownego i wyrażenia ze zmiennymi

Wartość wyrażenia dosłownego i wyrażenia ze zmiennymi znajduje się dla określonych podanych wartości liter i zmiennych. Czyli mówimy o znalezieniu wartości wyrażenia dosłownego dla podanych wartości liter lub o znalezieniu wartości wyrażenia ze zmiennymi dla wybranych wartości zmiennych.

reguła znalezienie wartości wyrażenia dosłownego lub wyrażenia ze zmiennymi dla podanych wartości liter lub wybranych wartości zmiennych wygląda następująco: w oryginalnym wyrażeniu należy podstawić podane wartości liter lub zmiennych, a obliczyć wartość wynikowego wyrażenia liczbowego, jest to pożądana wartość.

Przykład.

Oblicz wartość wyrażenia 0.5 x−y dla x=2.4 i y=5 .

Rozwiązanie.

Aby znaleźć wymaganą wartość wyrażenia, należy najpierw podstawić te wartości zmiennych do oryginalnego wyrażenia, a następnie wykonać następujące czynności: 0.5 2.4−5=1,2−5=−3.8 .

Odpowiedź:

−3,8 .

Podsumowując, zauważamy, że czasami przekształcenia wyrażenia dosłowne a wyrażenia ze zmiennymi pozwalają uzyskać ich wartości, niezależnie od wartości liter i zmiennych. Na przykład wyrażenie x+3−x można uprościć do postaci 3 . Z tego możemy wywnioskować, że wartość wyrażenia x + 3 - x jest równa 3 dla dowolnych wartości zmiennej x z jej zakresu dopuszczalnych wartości (ODZ) . Inny przykład: wartość wyrażenia jest równa 1 dla wszystkich wartości dodatnich x , więc zakres dopuszczalnych wartości dla zmiennej x w pierwotnym wyrażeniu to zbiór liczb dodatnich i na tym obszarze zachodzi równość .

Bibliografia.

• Matematyka: studia. na 5 komórek. ogólne wykształcenie instytucje / N. Ya Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21. ed., wymazane. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 s.: ch. ISBN 5-346-00699-0.
• Matematyka. Klasa 6: podręcznik. dla kształcenia ogólnego instytucje / [N. Ya Vilenkin i inni]. - wyd. 22, ks. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 s.: chor. ISBN 978-5-346-00897-2.
• Algebra: podręcznik na 7 komórek. ogólne wykształcenie instytucje / [Ju. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; wyd. S. A. Teliakowski. - 17. ed. - M. : Edukacja, 2008. - 240 s. : chory. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Algebra: podręcznik na 8 ogniw. ogólne wykształcenie instytucje / [Ju. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; wyd. S. A. Teliakowski. - 16 wyd. - M. : Edukacja, 2008. - 271 s. : chory. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Algebra: Klasa 9: podręcznik. dla kształcenia ogólnego instytucje / [Ju. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; wyd. S. A. Teliakowski. - 16 wyd. - M. : Edukacja, 2009. - 271 s. : chory. - ISBN 978-5-09-021134-5.
• Algebra i początek analizy: Proc. na 10-11 komórek. ogólne wykształcenie instytucje / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn i inni; Wyd. A. N. Kolmogorova.- 14. wyd.- M.: Oświecenie, 2004.- 384 s.: il.- ISBN 5-09-013651-3.