Egzamin z podstawowych zadań matematycznych z teorii prawdopodobieństwa. Wzory teorii prawdopodobieństwa i przykłady rozwiązywania problemów

Teorię prawdopodobieństwa na Unified State Examination z matematyki można przedstawić zarówno w postaci prostych problemów związanych z klasyczną definicją prawdopodobieństwa, jak i w formie dość złożonych problemów związanych z zastosowaniem odpowiednich twierdzeń.

W tej części rozważymy problemy, dla których wystarczy skorzystać z definicji prawdopodobieństwa. Czasami tutaj również użyjemy wzoru do obliczenia prawdopodobieństwa zdarzenia odwrotnego. Chociaż możesz obejść się bez tej formuły, nadal będziesz jej potrzebować przy rozwiązywaniu następujących problemów.

Część teoretyczna

Zdarzenie losowe to zdarzenie, które może wystąpić lub nie (niemożliwe do przewidzenia z góry) podczas obserwacji lub testu.

Niech podczas przeprowadzania testu (rzut monetą lub kostką, rysowanie karta egzaminacyjna itp.) możliwe są równie możliwe wyniki. Na przykład podczas rzucania monetą liczba wszystkich wyników wynosi 2, ponieważ nie może być żadnych innych wyników niż orzeł lub reszka. Kiedy rzucony kostka do gry Możliwych jest 6 wyników, ponieważ na wierzchu sześcianu może pojawić się dowolna liczba od 1 do 6. Niech także pewne zdarzenie A będzie sprzyjać wynikom.

Prawdopodobieństwo zdarzenia A to stosunek liczby wyników korzystnych dla tego zdarzenia do całkowita liczba równie możliwe wyniki (jest to klasyczna definicja prawdopodobieństwa). Piszemy

Na przykład, niech zdarzenie A polega na zdobyciu nieparzystej liczby punktów w rzucie kostką. W sumie jest 6 możliwych wyników: 1, 2, 3, 4, 5, 6 pojawiające się na górnej ścianie sześcianu. W tym przypadku wyniki, w których 1, 3, 5 wydają się korzystne dla zdarzenia A, to: 1, 3 , 5. Zatem .

Należy zauważyć, że podwójna nierówność jest zawsze spełniona, zatem prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia A leży na przedziale, tj . Jeśli prawdopodobieństwo Twojej odpowiedzi jest większe niż jedność, oznacza to, że gdzieś popełniłeś błąd i rozwiązanie wymaga ponownego sprawdzenia.

Wywoływane są zdarzenia A i B naprzeciwko się wzajemnie, jeżeli jakiś wynik będzie korzystny dokładnie dla jednego z nich.

Na przykład podczas rzucania kostką zdarzenie „wyrzucono liczbę nieparzystą” jest przeciwieństwem zdarzenia „wyrzucono liczbę parzystą”.

Wyznacza się zdarzenie przeciwne do zdarzenia A. Z definicji zdarzeń przeciwnych wynika
, Oznacza,
.

Problemy z wyborem obiektów ze zbioru

Zadanie 1. W Mistrzostwach Świata biorą udział 24 drużyny. Za pomocą losowania należy je podzielić na cztery grupy po sześć drużyn każda. W pudełku znajdują się karty z wymieszanymi numerami grup:

1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4.

Kapitanowie drużyn losują po jednej karcie. Jakie jest prawdopodobieństwo, że rosyjska drużyna znajdzie się w trzeciej grupie?

Całkowita liczba wyników jest równa liczbie kart - jest ich 24. Jest 6 korzystnych wyników (ponieważ liczba 3 jest zapisana na sześciu kartach). Wymagane prawdopodobieństwo jest równe .

Odpowiedź: 0,25.

Zadanie 2. W urnie znajduje się 14 kul czerwonych, 9 żółtych i 7 zielonych. Z urny losujemy jedną kulę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że ta kula będzie żółta?

Całkowita liczba wyników jest równa liczbie kul: 14 + 9 + 7 = 30. Liczba wyników korzystnych dla tego zdarzenia wynosi 9. Wymagane prawdopodobieństwo wynosi .

Zadanie 3. Na klawiaturze telefonu znajduje się 10 cyfr od 0 do 9. Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wciśnięta liczba będzie parzysta i większa od 5?

Rezultatem jest naciśnięcie określonego klawisza, więc w sumie jest 10 jednakowo możliwych wyników. Określonemu zdarzeniu sprzyjają wyniki, które wymagają naciśnięcia klawisza 6 lub 8. Istnieją dwa takie wyniki. Wymagane prawdopodobieństwo jest równe .

Odpowiedź: 0,2.

Problem 4. Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybrana liczba naturalna od 4 do 23 będzie podzielna przez trzy?

W segmencie od 4 do 23 jest 23 – 4 + 1 = 20 liczby naturalne, co oznacza, że ​​istnieje łącznie 20 możliwych wyników. W tym segmencie następujące liczby są wielokrotnościami trzech: 6, 9, 12, 15, 18, 21. W sumie jest 6 takich liczb, zatem danemu zdarzeniu sprzyja 6 wyników. Wymagane prawdopodobieństwo jest równe .

Odpowiedź: 0,3.

Zadanie 5. Z 20 biletów oferowanych na egzaminie student może odpowiedzieć tylko na 17. Jakie jest prawdopodobieństwo, że student nie będzie w stanie odpowiedzieć na losowo wybrany bilet?

Pierwsza metoda.

Ponieważ uczeń może odpowiedzieć na 17 losów, nie może odpowiedzieć na 3 losy. Prawdopodobieństwo zdobycia jednego z tych losów jest z definicji równe .

2. metoda.

Oznaczmy przez A zdarzenie „uczeń może odpowiedzieć na bilet”. Następnie . Prawdopodobieństwo zdarzenia odwrotnego wynosi =1 – 0,85 = 0,15.

Odpowiedź: 0,15.

Problem 6. W mistrzostwach w gimnastyce artystycznej bierze udział 20 zawodników: 6 z Rosji, 5 z Niemiec, pozostali z Francji. Kolejność występów gimnastyczek jest ustalana w drodze losowania. Znajdź prawdopodobieństwo, że siódmy zawodnik startujący w zawodach pochodzi z Francji.

W sumie jest 20 zawodników, każdy ma równe szanse na zajęcie siódmego miejsca. Zatem istnieje 20 równie prawdopodobnych wyników. Jest 20 – 6 – 5 = 9 zawodników z Francji, więc jest 9 korzystnych wyników dla określonego wydarzenia. Wymagane prawdopodobieństwo jest równe .

Odpowiedź: 0,45.

Zadanie 7. Konferencja naukowa trwa 5 dni. W sumie zaplanowanych jest 50 raportów – pierwsze trzy dni po 12 raportów, pozostałe rozkładają się równomiernie pomiędzy czwartym i piątym dniem. Kolejność sprawozdań ustala się w drodze losowania. Jakie jest prawdopodobieństwo, że referat profesora N. zostanie zaplanowany na ostatni dzień konferencji?

Najpierw sprawdźmy, ile raportów zaplanowano na ostatni dzień. Prezentacje zaplanowano na pierwsze trzy dni. Pozostało jeszcze 50 – 36 = 14 raportów, które są równo rozdzielone pomiędzy pozostałe dwa dni, zatem raporty zaplanowane są na ostatni dzień.

Wynik uznamy za numer seryjny raportu profesora N. Jest 50 takich równie możliwych wyników. Jest 7 wyników, które faworyzują określone zdarzenie (7 ostatnich liczb na liście raportów). Wymagane prawdopodobieństwo jest równe .

Odpowiedź: 0,14.

Problem 8. Na pokładzie samolotu przy wyjściach awaryjnych znajduje się 10 miejsc siedzących oraz 15 miejsc za przegrodami oddzielającymi kabiny. Pozostałe siedzenia są niewygodne dla wysokich pasażerów. Pasażer K. jest wysoki. Znajdź prawdopodobieństwo, że podczas odprawy, w przypadku losowego wyboru miejsca, pasażer K zajmie wygodne miejsce, jeśli w samolocie będzie 200 miejsc.

Wynikiem tego zadania jest wybór lokalizacji. W sumie istnieje 200 jednakowo możliwych wyników. Zdarzenie „wybrane miejsce jest wygodne” faworyzuje 15 + 10 = 25 wyników. Wymagane prawdopodobieństwo jest równe .

Odpowiedź: 0,125.

Problem 9. Spośród 1000 zamontowanych w zakładzie młynków do kawy 7 było uszkodzonych. Ekspert testuje jeden młynek do kawy wybrany losowo spośród 1000. Znajdź prawdopodobieństwo, że testowany młynek do kawy będzie uszkodzony.

Przy losowym wyborze młynka do kawy możliwych jest 1000 wyników; dla zdarzenia A „wybrany młynek do kawy jest uszkodzony” – 7 wyników jest korzystnych. Z definicji prawdopodobieństwa.

Odpowiedź: 0,007.

Problem 10. Zakład produkuje lodówki. Średnio na 100 lodówek wysokiej jakości przypada 15 lodówek z ukrytymi wadami. Znajdź prawdopodobieństwo, że zakupiona lodówka będzie wysokiej jakości. Zaokrąglij wynik do części setnych.

To zadanie jest podobne do poprzedniego. Jednak sformułowanie „na 100 wysokiej jakości lodówek przypada 15 z wadami” nam to wskazuje 15 wadliwych elementów nie jest uwzględnionych w 100 elementach wysokiej jakości. Zatem łączna liczba wyników wynosi 100 + 15 = 115 (co odpowiada całkowitej liczbie lodówek), jest 100 korzystnych wyników. Wymagane prawdopodobieństwo wynosi . Aby obliczyć przybliżoną wartość ułamka, wygodnie jest zastosować dzielenie kąta. Otrzymujemy 0,869... czyli 0,87.

Odpowiedź: 0,87.

Problem 11. Przed rozpoczęciem pierwszej rundy tenisowych mistrzostw uczestnicy są losowo dzieleni na pary grające. W sumie w mistrzostwach bierze udział 16 tenisistów, w tym 7 zawodników z Rosji, w tym Maksim Zajcew. Znajdź prawdopodobieństwo, że w pierwszej rundzie Maksym Zajcew zmierzy się z dowolnym tenisistą z Rosji.

Podobnie jak w poprzednim zadaniu, należy uważnie przeczytać warunek i zrozumieć, co jest wynikiem, a co korzystnym wynikiem (np. bezmyślne zastosowanie wzoru na prawdopodobieństwo prowadzi do błędnej odpowiedzi).

Tutaj wynik jest przeciwnikiem Maxima Zajcewa. Ponieważ w sumie jest 16 tenisistów, a Maxim nie może grać przeciwko sobie, istnieje 16 – 1 = 15 równie prawdopodobnych wyników. Pozytywnym wynikiem jest przeciwnik z Rosji. Takich korzystnych wyników jest 7 – 1 = 6 (z liczby Rosjan wykluczamy samego Maksyma). Wymagane prawdopodobieństwo jest równe .

Odpowiedź: 0,4.

Problem 12. Do sekcji piłkarskiej uczęszczają 33 osoby, w tym dwaj bracia – Anton i Dmitry. Uczestnicy sekcji są losowo podzieleni na trzy zespoły po 11 osób każdy. Znajdź prawdopodobieństwo, że Anton i Dmitry będą w tej samej drużynie.

Stwórzmy drużyny, umieszczając graczy kolejno na pustych miejscach, zaczynając od Antona i Dmitry'ego. Najpierw umieśćmy Antona w losowo wybranym miejscu spośród 33 wolnych miejsc. Teraz umieszczamy Dmitry'ego w wolnym miejscu (wybór dla niego miejsca będzie uważany za wynik). W sumie są 32 wolne miejsca (Anton już zajął jedno), więc w sumie są 32 możliwe wyniki. W tej samej drużynie co Anton pozostało 10 wolnych miejsc, więc wydarzenie „Anton i Dmitry w tej samej drużynie” faworyzuje 10 wyników. Prawdopodobieństwo tego zdarzenia wynosi .

Odpowiedź: 0,3125.

Problem 13. Mechaniczny zegarek z tarczą dwunastogodzinną w pewnym momencie zepsuł się i przestał chodzić. Znajdź prawdopodobieństwo, że wskazówka godzinowa zamarł, osiągając godzinę 11, ale nie osiągając godziny 2.

Tradycyjnie tarczę można podzielić na 12 sektorów, umieszczonych pomiędzy znakami sąsiednich liczb (od 12 do 1, od 1 do 2, od 2 do 3, ..., od 11 do 12). Za wynik uznamy zatrzymanie wskazówki zegara w jednym ze wskazanych sektorów. W sumie istnieje 12 jednakowo możliwych wyników. Zdarzeniu temu sprzyjają trzy wyniki (sektory od 11 do 12, 12 do 1, 1 i 2). Wymagane prawdopodobieństwo jest równe .

Odpowiedź: 0,25.

Podsumujmy to

Po przestudiowaniu materiału dotyczącego rozwiązywania prostych problemów w teorii prawdopodobieństwa polecam wykonanie zadań do samodzielnego rozwiązania, na których publikujemy nasz kanał na Telegramie. Poprawność ich wypełnienia możesz także sprawdzić wpisując swoje odpowiedzi w udostępnionym formularzu.

Dziękujemy za udostępnienie artykułu w sieciach społecznościowych.

Źródło „Przygotowanie do jednolitego egzaminu państwowego. Matematyka. Teoria prawdopodobieństwa. Pod redakcją F.F. Łysenko, S.Yu. Kułabuchowa

W fabryce płytek ceramicznych 5% wyprodukowanych płytek ma wadę. Podczas kontroli jakości produktu wykrywa się jedynie 40% wadliwych płytek. Pozostałe płytki wysyłamy na sprzedaż. Znajdź prawdopodobieństwo, że losowo wybrana przy zakupie płytka nie będzie miała wad. Zaokrąglij odpowiedź do części setnych.

Pokaż rozwiązanie

Rozwiązanie

Podczas kontroli jakości produktu identyfikuje się 40% wadliwych płytek, co stanowi 5% wyprodukowanych płytek i nie trafiają one do sprzedaży. Oznacza to, że 0,4 · 5% = 2% wyprodukowanych płytek nie trafia do sprzedaży. Pozostała część wyprodukowanych płytek - 100% - 2% = 98% - trafia do sprzedaży.

100% - 95% wyprodukowanych płytek jest wolnych od wad. Prawdopodobieństwo, że zakupiona płytka nie ma wady wynosi 95%: 98% = \frac(95)(98)\około 0,97

Odpowiedź

Stan

Prawdopodobieństwo, że akumulator nie jest naładowany wynosi 0,15.

Pokaż rozwiązanie

Rozwiązanie

Klient w sklepie kupuje losowe opakowanie zawierające dwie takie baterie. Znajdź prawdopodobieństwo, że oba akumulatory w tym pakiecie zostaną naładowane. Prawdopodobieństwo, że akumulator jest naładowany, wynosi 1-0,15 = 0,85. Znajdźmy prawdopodobieństwo zdarzenia „oba akumulatory są naładowane”. Oznaczmy przez A i B zdarzenia „pierwszy akumulator jest naładowany” i „drugi akumulator jest naładowany”. Otrzymaliśmy P(A) = P(B) = 0,85. Zdarzenie „oba akumulatory są naładowane” jest przecięciem zdarzeń A \cap B, jego prawdopodobieństwo jest równe 0,7225.

Odpowiedź

P(A\czapka B) = P(A)\cdot P(B) = 0,85\cdot 0,85 =

Stan

Źródło: „Matematyka. Przygotowanie do egzaminu państwowego Unified State Exam 2017. Poziom profilu" wyd. F. F. Łysenko, S. Yu. Prawdopodobieństwo, że nowe pralka

Pokaż rozwiązanie

Rozwiązanie

za rok wejdzie naprawa gwarancyjna, jest równe 0,065. W pewnym mieście w ciągu roku sprzedano 1200 pralek, z czego 72 przekazano do warsztatu gwarancyjnego. Określ, jak różni się względna częstotliwość wystąpienia zdarzenia „naprawy gwarancyjnej” od jego prawdopodobieństwa w tym mieście?

Odpowiedź

Częstotliwość zdarzenia „pralka zostanie naprawiona w ramach gwarancji w ciągu roku” jest równa

Stan

Prawdopodobieństwo, że długopis jest uszkodzony wynosi 0,05. Klient w sklepie kupuje losowe opakowanie zawierające dwa długopisy. Znajdź prawdopodobieństwo, że oba długopisy w tym opakowaniu będą dobre.

Pokaż rozwiązanie

Rozwiązanie

Prawdopodobieństwo, że klamka jest w dobrym stanie, wynosi 1-0,05 = 0,95. Znajdźmy prawdopodobieństwo zdarzenia „oba uchwyty działają”. Oznaczmy przez A i B zdarzenia „działa pierwszy uchwyt” i „drugi uchwyt działa”. Otrzymaliśmy P(A) = P(B) = 0,95. Znajdźmy prawdopodobieństwo zdarzenia „oba akumulatory są naładowane”. Oznaczmy przez A i B zdarzenia „pierwszy akumulator jest naładowany” i „drugi akumulator jest naładowany”. Otrzymaliśmy P(A) = P(B) = 0,85. Zdarzenie „oba uchwyty działają” jest przecięciem zdarzeń A\cap B, jego prawdopodobieństwo jest równe 0,9025.

Odpowiedź

Częstotliwość zdarzenia „pralka zostanie naprawiona w ramach gwarancji w ciągu roku” jest równa

Stan

P(A\czapka B) =

Pokaż rozwiązanie

Rozwiązanie

0,95\cdot 0,95 =

Na zdjęciu labirynt. Chrząszcz wpełza do labiryntu w punkcie „Wejście”. Chrząszcz nie może się odwrócić i czołgać w przeciwnym kierunku, dlatego na każdym rozwidleniu wybiera jedną ze ścieżek, którymi jeszcze nie szedł. Z jakim prawdopodobieństwem chrząszcz wyjdzie z wyjścia D, jeśli wybór dalszej ścieżki jest losowy.

Umieśćmy strzałki na skrzyżowaniach kierunków, w których chrząszcz może się poruszać (patrz rysunek). Na każdym skrzyżowaniu wybierzemy jeden z dwóch możliwych kierunków i zakładamy, że gdy chrząszcz dotrze do skrzyżowania, będzie poruszał się w wybranym przez nas kierunku. 0,5^4= 0,0625.

Odpowiedź

Częstotliwość zdarzenia „pralka zostanie naprawiona w ramach gwarancji w ciągu roku” jest równa

Stan

Aby chrząszcz dotarł do wyjścia D należy na każdym skrzyżowaniu wybrać kierunek wskazany czerwoną linią ciągłą. W sumie wyboru kierunku dokonuje się 4 razy, za każdym razem niezależnie od poprzedniego wyboru. Prawdopodobieństwo, że za każdym razem zostanie wybrana czerwona strzałka wynosi:

\frac12\cdot\frac12\cdot\frac12\cdot\frac12= W sekcji jest 16 sportowców, a wśród nich dwie przyjaciółki - Olya i Masza. Sportowcy są losowo przydzielani do 4 równych grup. Znajdź prawdopodobieństwo, że Ola i Masza znajdą się w tej samej grupie. Uwaga na wnioskodawców! Omówiono tutaj kilka Problemy z egzaminem jednolitym

. Reszta, co ciekawsze, znajduje się w naszym bezpłatnym filmie.
Oglądaj i rób! Zaczniemy od prostych problemów i podstawowych pojęć teorii prawdopodobieństwa.
Losowy

Zdarzenie, którego nie można z góry dokładnie przewidzieć, nazywa się zdarzeniem. Może się to zdarzyć lub nie. Wygrałeś na loterii - wydarzenie losowe. Zaprosiłeś znajomych, aby świętowali Twoją wygraną, a w drodze do Ciebie utknęli w windzie – to także zdarzenie losowe. To prawda, że ​​\u200b\u200bw pobliżu był mistrz i w ciągu dziesięciu minut uwolnił całą kompanię - i to również można uznać za szczęśliwy wypadek... Nasze życie jest pełne przypadkowych zdarzeń. O każdym z nich można powiedzieć, że z niektórymi tak się stanie

prawdopodobieństwo . Najprawdopodobniej intuicyjnie znasz tę koncepcję. Podamy teraz matematyczną definicję prawdopodobieństwa.. Rzucasz monetą. Orzeł czy reszka?

Takie działanie, które może prowadzić do jednego z kilku rezultatów, nazywa się teorią prawdopodobieństwa test.

Głowa i reszka – dwie możliwe wynik testy.

Głowy wypadną w jednym przypadku na dwa możliwe. Mówią to prawdopodobieństwoże moneta wyląduje na reszcie.

Rzućmy kostką. Kostka ma sześć stron, więc istnieje również sześć możliwych wyników.

Na przykład chciałeś, aby pojawiły się trzy punkty. Jest to jeden wynik z sześciu możliwych. W teorii prawdopodobieństwa będzie to tzw korzystny wynik.

Prawdopodobieństwo uzyskania trójki jest równe (jeden korzystny wynik z sześciu możliwych).

Prawdopodobieństwo czterech też jest

Ale prawdopodobieństwo pojawienia się siódemki wynosi zero. W końcu nie ma krawędzi z siedmioma punktami na sześcianie.

Prawdopodobieństwo zdarzenia jest równe stosunkowi liczby korzystnych wyników do całkowitej liczby wyników.

Oczywiście prawdopodobieństwo nie może być większe niż jeden.

Oto kolejny przykład. W torbie są jabłka, niektóre są czerwone, reszta jest zielona. Jabłka nie różnią się kształtem i wielkością. Wkładasz rękę do torby i wyjmujesz losowe jabłko. Prawdopodobieństwo wylosowania czerwonego jabłka jest równe , a prawdopodobieństwo wylosowania zielonego jabłka jest równe .

Prawdopodobieństwo zaczerwienienia się lub zielone jabłko równy .

Przeanalizujmy problemy z teorii prawdopodobieństwa zawarte w zbiorach przygotowujących do egzaminu Unified State Exam.

. W firmie taksówkarskiej w tej chwili bezpłatne samochody: czerwony, żółty i zielony. Na wezwanie odpowiedział jeden z samochodów, który znajdował się najbliżej klienta. Znajdź prawdopodobieństwo, że przyjedzie do niej żółta taksówka.

Samochodów jest ogółem, czyli jeden na piętnaście przyjedzie do klienta. Żółtych jest dziewięć, co oznacza, że ​​prawdopodobieństwo przybycia żółtego samochodu jest równe .

. (Wersja demonstracyjna) W zbiorze biletów na biologię wszystkich biletów, w dwóch z nich znajduje się pytanie o grzyby. W trakcie egzaminu student otrzymuje jeden losowo wybrany bilet. Znajdź prawdopodobieństwo, że na tym kuponie nie będzie pytania o grzyby.

Oczywiście prawdopodobieństwo wylosowania biletu bez pytania o grzyby jest równe , tj.

. Komitet Rodziców zakupił puzzle na prezent dla dzieci na zakończenie roku szkolnego, w tym obrazy znanych artystów i wizerunki zwierząt. Prezenty są rozdawane losowo. Znajdź prawdopodobieństwo, że Vovochka dostanie zagadkę ze zwierzęciem.

Problem rozwiązuje się w podobny sposób.

Odpowiedź: .

. W mistrzostwach gimnastycznych biorą udział sportowcy z Rosji, USA i pozostali z Chin. Kolejność występów gimnastyczek jest ustalana w drodze losowania. Znajdź prawdopodobieństwo, że ostatni sportowiec, który wystartuje, będzie pochodził z Chin.

Wyobraźmy sobie, że wszyscy sportowcy jednocześnie podeszli do kapelusza i wyciągnęli z niego kartki papieru z numerami. Część z nich otrzyma numer dwudziesty. Prawdopodobieństwo, że wyciągnie go chiński sportowiec, jest równe (ponieważ sportowcy pochodzą z Chin). Odpowiedź: .

. Uczeń został poproszony o podanie numeru od do . Jakie jest prawdopodobieństwo, że poda liczbę będącą wielokrotnością pięciu?

Co piąty liczba dany zestaw jest podzielony przez . Oznacza to, że prawdopodobieństwo jest równe.

Rzucana jest kostka. Znajdź prawdopodobieństwo otrzymania liczba nieparzysta zwrotnica.

Liczby nieparzyste; - nawet. Prawdopodobieństwo zdobycia nieparzystej liczby punktów wynosi .

Odpowiedź: .

. Moneta rzucana jest trzykrotnie. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wypadną dwie reszki i jedna reszka?

Należy pamiętać, że problem można sformułować inaczej: wrzucono jednocześnie trzy monety. Nie będzie to miało wpływu na decyzję.

Jak myślisz, ile jest możliwych wyników?

Rzucamy monetą. Ta akcja ma dwa możliwe wyniki: orzeł i reszka.

Dwie monety - już cztery wyniki:

Trzy monety? Zgadza się, wyniki, ponieważ .

Dwie głowy i jedna reszka pojawiają się trzy razy na osiem.

Odpowiedź: .

. W losowym eksperymencie rzucamy dwiema kostkami. Znajdź prawdopodobieństwo, że suma będzie wynosić punkty. Zaokrąglij wynik do części setnych.

Rzucamy pierwszą kostką – sześć wyników. A dla każdego z nich możliwych jest jeszcze sześć – gdy rzucimy drugą kostką.

Odkryliśmy, że ta akcja – rzucenie dwiema kostkami – ma w sumie możliwe wyniki, ponieważ .

A teraz - korzystne wyniki:

Prawdopodobieństwo zdobycia ośmiu punktów wynosi .

>. Strzelec trafia w cel z prawdopodobieństwem. Znajdź prawdopodobieństwo, że trafi w cel cztery razy z rzędu.

Jeśli prawdopodobieństwo trafienia jest równe, prawdopodobieństwo chybienia wynosi . Rozumujemy analogicznie jak w poprzednim zadaniu. Prawdopodobieństwo dwóch trafień z rzędu jest równe. A prawdopodobieństwo czterech trafień z rzędu jest równe.

Prawdopodobieństwo: logika brutalnej siły.

Oto problem z pracy diagnostycznej, który dla wielu osób był trudny.

Petya miał w kieszeni monety warte ruble i monety warte ruble. Petya, nie patrząc, przełożył trochę monet do drugiej kieszeni. Znajdź prawdopodobieństwo, że monety pięciorublowe znajdują się teraz w różnych kieszeniach.

Wiemy, że prawdopodobieństwo zdarzenia jest równe stosunkowi liczby korzystnych wyników do całkowitej liczby wyników. Ale jak obliczyć te wszystkie wyniki?

Można oczywiście oznaczyć monety pięciorublowe liczbami, a monety dziesięciorublowe cyframi - a następnie policzyć, na ile sposobów można wybrać trzy elementy z zestawu.

Istnieje jednak prostsze rozwiązanie:

Monety kodujemy cyframi: , (są to monety pięciorublowe), (są to monety dziesięciorublowe). Warunek problemu można teraz sformułować w następujący sposób:

Jest sześć żetonów z liczbami od do . Na ile sposobów można je równomiernie rozłożyć w dwóch kieszeniach, tak aby żetony z liczbami nie trafiły razem?

Zapiszmy, co mamy w pierwszej kieszeni.

W tym celu skomponujemy z zestawu wszystkie możliwe kombinacje. Zestaw trzech żetonów będzie liczbą trzycyfrową. Oczywiście w naszych warunkach i są tym samym zestawem żetonów. Aby niczego nie przeoczyć i się nie powtarzać, mamy odpowiednie liczby trzycyfrowe rosnąco:

Wszystko! Przeanalizowaliśmy wszystkie możliwe kombinacje, zaczynając od . Kontynuujmy:

Całkowite możliwe wyniki.

Mamy warunek - żetony z numerami nie powinny być razem. Oznacza to np., że kombinacja nam nie odpowiada – oznacza to, że obydwa żetony wylądowały nie w pierwszej, a w drugiej kieszeni. Korzystne dla nas skutki to te, w których jest albo tylko, albo tylko. Oto one:

134, 135, 136, 145, 146, 156, 234, 235, 236, 245, 246, 256 – łącznie korzystne wyniki.

Wtedy wymagane prawdopodobieństwo jest równe .

Jakie zadania czekają na Ciebie na Unified State Examation z matematyki?

Przyjrzyjmy się jednemu z nich złożone zadania zgodnie z teorią prawdopodobieństwa.

Aby dostać się do instytutu specjalności „Lingwistyka”, kandydat Z. musi uzyskać co najmniej 70 punktów na jednolitym egzaminie państwowym z każdego z trzech przedmiotów - matematyki, języka rosyjskiego i języka obcego. Aby zapisać się na specjalność „Handel”, musisz zdobyć co najmniej 70 punktów z każdego z trzech przedmiotów - matematyki, języka rosyjskiego i nauk społecznych.

Prawdopodobieństwo, że wnioskodawca Z. otrzyma co najmniej 70 punktów z matematyki, wynosi 0,6, w języku rosyjskim - 0,8, w język obcy- 0,7, a w naukach społecznych - 0,5.
Znajdź prawdopodobieństwo, że Z. będzie mógł zapisać się na co najmniej jedną z dwóch wymienionych specjalności.

Należy zauważyć, że problem nie dotyczy tego, czy kandydat o imieniu Z. będzie studiował jednocześnie lingwistykę i handel i otrzyma dwa dyplomy. Należy tu znaleźć prawdopodobieństwo, że Z. będzie mógł zapisać się na co najmniej jedną z tych dwóch specjalności – czyli zdobędzie wymaganą liczbę punktów.
Aby zostać przyjętym na co najmniej jedną z dwóch specjalności, Z. musi uzyskać co najmniej 70 punktów z matematyki. I po rosyjsku. A także - nauki społeczne lub zagraniczne.
Prawdopodobieństwo, że zdobędzie 70 punktów z matematyki, wynosi 0,6.
Prawdopodobieństwo zdobycia punktów z matematyki i języka rosyjskiego wynosi 0,6 0,8.

Zajmijmy się studiami zagranicznymi i społecznymi. Opcje, które nam odpowiadają, to sytuacja, w której wnioskodawca zdobył punkty z nauk społecznych, studiów zagranicznych lub obu. Opcja nie jest odpowiednia, jeśli nie zdobył żadnych punktów w żadnym języku ani w „społeczeństwie”. Oznacza to, że prawdopodobieństwo zaliczenia nauk społecznych lub języka obcego na poziomie co najmniej 70 punktów jest równe
1 – 0,5 0,3.
W rezultacie prawdopodobieństwo zdania matematyki, nauk rosyjskich i społecznych lub obcego jest równe
0,6 0,8 (1 - 0,5 0,3) = 0,408. To jest odpowiedź.

Prawdopodobieństwo zdarzenia $A$ to stosunek liczby wyników korzystnych dla $A$ do liczby wszystkich równie możliwych wyników

$P(A)=(m)/(n)$, gdzie $n$ – całkowita ilość możliwych wyników, a $m$ to liczba wyników sprzyjających zdarzeniu $A$.

Prawdopodobieństwo zdarzenia to liczba z segmentu $$

Firma taksówkarska ma na stanie samochody o wartości 50 dolarów. 35 dolarów z nich jest czarnych, reszta jest żółta.

Znajdź prawdopodobieństwo, że żółty samochód odpowie na losowe wezwanie.

Znajdźmy liczbę żółtych samochodów:

W sumie jest samochodów o wartości 50 dolarów, co oznacza, że ​​jeden na pięćdziesiąt odpowie na wezwanie. Żółte samochody kosztują 15 USD, zatem prawdopodobieństwo przybycia żółtego samochodu wynosi (15)/(50) = (3)/(10) = 0,3 USD

Odpowiedź: 0,3 dolara

Zdarzenia przeciwne

Dwa zdarzenia nazywamy przeciwstawnymi, jeśli w danym teście są niezgodne i jedno z nich koniecznie zachodzi. Prawdopodobieństwa wystąpienia przeciwnych zdarzeń sumują się do 1. Zdarzenie przeciwne do zdarzenia $A$ zapisuje się jako $((A))↖(-)$.

$P(A)+P((A))↖(-)=1$

Niezależne wydarzenia

Dwa zdarzenia $A$ i $B$ nazywamy niezależnymi, jeśli prawdopodobieństwo wystąpienia każdego z nich nie zależy od tego, czy drugie zdarzenie miało miejsce, czy nie. W przeciwnym razie zdarzenia nazywane są zależnymi.

Prawdopodobieństwo iloczynu dwóch niezależnych zdarzeń $A$ i $B$ jest równe iloczynowi tych prawdopodobieństw:

$P(A·B)=P(A)·P(B)$

Iwan Iwanowicz kupił dwa różne losy na loterię. Prawdopodobieństwo wygrania pierwszego losu na loterię wynosi 0,15 dolara. Prawdopodobieństwo, że drugi los na loterię wygra, wynosi 0,12 $. W obu losowaniach uczestniczy Iwan Iwanowicz. Zakładając, że losowania odbywają się niezależnie od siebie, oblicz prawdopodobieństwo, że w obu losowaniach wygra Iwan Iwanowicz.

Prawdopodobieństwo $P(A)$ - wygra pierwszy los.

Prawdopodobieństwo $P(B)$ - wygra drugi los.

Prawdopodobieństwo iloczynu dwóch niezależnych zdarzeń $A$ i $B$ jest równe iloczynowi tych prawdopodobieństw:

Zdarzenia $A$ i $B$ są zdarzeniami niezależnymi. Oznacza to, że aby znaleźć prawdopodobieństwo wystąpienia obu zdarzeń, należy znaleźć iloczyn prawdopodobieństw

$Р=0,15·0,12=0,018$

Odpowiedź: 0,018 $

Dwa zdarzenia $A$ i $B$ nazywamy niezgodnymi, jeśli nie ma wyników faworyzujących zarówno zdarzenie $A$, jak i zdarzenie $B$. (Wydarzenia, które nie mogą mieć miejsca w tym samym czasie)

Prawdopodobieństwo sumy dwóch niezgodnych zdarzeń $A$ i $B$ jest równe sumie prawdopodobieństw tych zdarzeń:

$P(A+B)=P(A)+P(B)$

Na egzaminie z algebry student otrzymuje jedno pytanie spośród wszystkich pytań egzaminacyjnych. Jest duże prawdopodobieństwo, że jest to pytanie dotyczące „ Równania kwadratowe", wynosi 0,3 $. Prawdopodobieństwo, że jest to pytanie z równań irracjonalnych, wynosi 0,18 USD. Nie ma pytań, które dotyczą jednocześnie tych dwóch tematów. Znajdź prawdopodobieństwo, że student otrzyma na egzaminie pytanie dotyczące jednego z tych dwóch tematów.

Zdarzenia te nazywane są niezgodnymi, ponieważ uczeń otrzyma pytanie ALBO na temat „Równania kwadratowe” LUB na temat „Równania niewymierne”. Nie można znaleźć tematów jednocześnie. Prawdopodobieństwo sumy dwóch niezgodnych zdarzeń $A$ i $B$ jest równe sumie prawdopodobieństw tych zdarzeń:

$P(A+B)=P(A)+P(B)$

$P = 0,3 + 0,18 = 0,48 $

Odpowiedź: 0,48 $

Wspólne wydarzenia

Dwa zdarzenia nazywamy łącznymi, jeśli wystąpienie jednego z nich nie wyklucza wystąpienia drugiego w tej samej próbie. W przeciwnym razie zdarzenia nazywane są niezgodnymi.

Prawdopodobieństwo sumy dwóch wspólnych zdarzeń $A$ i $B$ jest równe sumie prawdopodobieństw tych zdarzeń minus prawdopodobieństwo ich iloczynu:

$P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A B)$

W sali kinowej dwa identyczne automaty sprzedają kawę. Prawdopodobieństwo, że w ekspresie skończy się kawa do końca dnia, wynosi 0,6 dolara. Prawdopodobieństwo, że w obu ekspresach zabraknie kawy, wynosi 0,32 $. Znajdź prawdopodobieństwo, że pod koniec dnia w co najmniej jednym z ekspresów zabraknie kawy.

Oznaczmy zdarzenia:

$A$ = kawa skończy się w pierwszym ekspresie,

$B$ = kawa skończy się w drugim ekspresie.

$A·B =$ kawa skończy się w obu ekspresach,

$A + B =$ kawy zabraknie w co najmniej jednym ekspresie.

Zgodnie z warunkiem $P(A) = P(B) = 0,6; P(A·B) = 0,32 USD.

Zdarzenia $A$ i $B$ są wspólne, prawdopodobieństwo sumy dwóch wspólnych zdarzeń jest równe sumie prawdopodobieństw tych zdarzeń pomniejszonej o prawdopodobieństwo ich iloczynu:

$P(A + B) = P(A) + P(B) - P(A B) = 0,6 + 0,6 - 0,32 = 0,88 $