Nie całe liczby naturalne. Zrozumienie liczb całkowitych
Informacje zawarte w tym artykule stanowią ogólną ideę wszystkie liczby. Najpierw podano definicję liczb całkowitych i podano przykłady. Następnie brane są pod uwagę liczby całkowite na osi liczbowej, z których jasno wynika, które liczby nazywane są liczbami całkowitymi dodatnimi, a które liczbami całkowitymi ujemnymi. Następnie pokazano, w jaki sposób zmiany ilości są opisywane za pomocą liczb całkowitych, a ujemne liczby całkowite są brane pod uwagę w sensie długu.
Nawigacja po stronach.
Liczby całkowite - definicja i przykłady
Definicja.
Wszystkie liczby- ten liczby całkowite, liczba zero, a także liczby przeciwne do naturalnych.
Definicja liczb całkowitych mówi, że dowolna z liczb 1, 2, 3, …, liczba 0, a także dowolna z liczb -1, -2, -3, … jest liczbą całkowitą. Teraz możemy łatwo przywieźć przykłady liczb całkowitych. Na przykład liczba 38 jest liczbą całkowitą, liczba 70040 również jest liczbą całkowitą, zero jest liczbą całkowitą (przypomnij sobie, że zero NIE jest liczbą naturalną, zero jest liczbą całkowitą), liczby -999 , -1 , -8 934 832 są również przykładami liczb całkowitych.
Wygodnie jest reprezentować wszystkie liczby całkowite jako ciąg liczb całkowitych, który ma następny widok: 0, ±1, ±2, ±3, … Ciąg liczb całkowitych można również zapisać w następujący sposób: …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …
Z definicji liczb całkowitych wynika, że zbiór liczb naturalnych jest podzbiorem zbioru liczb całkowitych. Dlatego każda liczba naturalna jest liczbą całkowitą, ale nie każda liczba jest liczbą naturalną.
Liczby całkowite na linii współrzędnych
Definicja.
Liczby całkowite dodatnie są liczbami całkowitymi większymi od zera.
Definicja.
Liczby całkowite ujemne są liczbami całkowitymi mniejszymi od zera.
Liczby całkowite dodatnie i ujemne można również określić na podstawie ich pozycji na linii współrzędnych. Na poziomej linii współrzędnych punkty, których współrzędne są dodatnimi liczbami całkowitymi, leżą na prawo od początku. Z kolei punkty o ujemnych współrzędnych całkowitych znajdują się na lewo od punktu O .
Jasne jest, że zbiór wszystkich liczb całkowitych dodatnich jest zbiorem liczb naturalnych. Z kolei zbiór wszystkich ujemnych liczb całkowitych jest zbiorem wszystkich liczb przeciwnych do liczb naturalnych.
Osobno zwracamy uwagę na to, że każdą liczbę naturalną możemy bezpiecznie nazwać liczbą całkowitą, a NIE możemy nazwać dowolną liczbę całkowitą liczbą naturalną. Naturalną możemy nazwać tylko każdą dodatnią liczbę całkowitą, ponieważ ujemne liczby całkowite i zero nie są naturalne.
Liczby całkowite niedodatnie i liczby całkowite nieujemne
Podajmy definicje liczb całkowitych niedodatnich i liczb całkowitych nieujemnych.
Definicja.
Wszystkie dodatnie liczby całkowite wraz z zerem są nazywane liczby całkowite nieujemne.
Definicja.
Liczby całkowite niedodatnie są ujemnymi liczbami całkowitymi wraz z liczbą 0 .
Innymi słowy, nieujemna liczba całkowita jest liczbą całkowitą większą lub równą zero, a niedodatnia liczba całkowita jest liczbą całkowitą mniejszą lub równą zero.
Przykładami liczb całkowitych niedodatnich są liczby -511, -10 030, 0, -2, a jako przykłady liczb całkowitych nieujemnych podajmy liczby 45, 506, 0, 900 321.
Najczęściej terminy „niedodatnie liczby całkowite” i „nieujemne liczby całkowite” są używane dla zwięzłości. Na przykład zamiast wyrażenia „liczba a jest liczbą całkowitą, a jest większe od zera lub równe zero”, możesz powiedzieć „a jest nieujemną liczbą całkowitą”.
Opis zmiany wartości za pomocą liczb całkowitych
Czas porozmawiać o tym, do czego służą liczby całkowite.
Głównym celem liczb całkowitych jest to, aby za ich pomocą wygodnie opisać zmianę liczby dowolnych elementów. Zajmijmy się tym na przykładach.
Załóżmy, że w magazynie jest pewna ilość części. Jeżeli na magazyn zostanie przywiezionych np. 400 części więcej, to ilość części w magazynie wzrośnie, a liczba 400 wyraża tę zmianę ilości w kierunku dodatnim (w kierunku wzrostu). Jeżeli np. z magazynu zostanie pobranych 100 części, to ilość części w magazynie zmniejszy się, a liczba 100 będzie wyrażać zmianę ilości w zła strona(w kierunku malejącym). Części nie zostaną przywiezione do magazynu, a części nie zostaną wyprowadzone z magazynu, wtedy możemy mówić o niezmienności ilości części (czyli możemy mówić o zerowej zmianie ilości).
W podanych przykładach zmianę liczby części można opisać za pomocą liczb całkowitych odpowiednio 400 , -100 i 0. Dodatnia liczba całkowita 400 oznacza dodatnią zmianę ilości (wzrost). Ujemna liczba całkowita -100 wyraża ujemną zmianę ilości (spadek). Liczba całkowita 0 wskazuje, że ilość się nie zmieniła.
Wygoda korzystania z liczb całkowitych w porównaniu do liczb naturalnych polega na tym, że nie ma potrzeby jednoznacznego wskazywania, czy ilość rośnie, czy maleje – liczba całkowita określa zmianę ilościowo, a znak liczby całkowitej wskazuje kierunek zmiany.
Liczby całkowite mogą również wyrażać nie tylko zmianę ilości, ale także zmianę pewnej wartości. Zajmijmy się tym na przykładzie zmiany temperatury.
Wzrost temperatury o, powiedzmy, 4 stopnie jest wyrażany jako dodatnia liczba całkowita 4 . Spadek temperatury, na przykład o 12 stopni, można opisać ujemną liczbą całkowitą -12. A niezmienność temperatury to jej zmiana, określona przez liczbę całkowitą 0.
Oddzielnie należy powiedzieć o interpretacji ujemnych liczb całkowitych jako kwoty długu. Na przykład, jeśli mamy 3 jabłka, to dodatnia liczba całkowita 3 reprezentuje liczbę jabłek, które posiadamy. Z drugiej strony, jeśli musimy dać komuś 5 jabłek, a nie mamy ich do dyspozycji, to taką sytuację można opisać liczbą całkowitą ujemną −5. W tym przypadku „posiadamy” -5 jabłek, znak minus oznacza dług, a liczba 5 określa dług.
Rozumienie ujemnej liczby całkowitej jako długu pozwala na przykład uzasadnić zasadę dodawania ujemnych liczb całkowitych. Weźmy przykład. Jeśli ktoś jest winien 2 jabłka jednej osobie i jedno jabłko drugiej, to całkowity dług wynosi 2+1=3 jabłka, czyli −2+(−1)=−3 .
Bibliografia.
- Vilenkin N.Ya. itd. Matematyka. Klasa 6: podręcznik dla instytucji edukacyjnych.
Co oznacza liczba całkowita
Zastanów się więc, jakie liczby nazywamy liczbami całkowitymi.
Zatem liczby całkowite będą oznaczać takie liczby: $0$, $±1$, $±2$, $±3$, $±4$ itd.
Zbiór liczb naturalnych jest podzbiorem zbioru liczb całkowitych, tj. każda naturalna będzie liczbą całkowitą, ale żadna liczba całkowita nie będzie liczbą naturalną.
Liczby całkowite dodatnie i liczby całkowite ujemne
Definicja 2
plus.
Liczby 3, 78, 569, 10450$ są liczbami całkowitymi dodatnimi.
Definicja 3
są liczbami całkowitymi ze znakiem minus.
Liczby $-3, -78, -569, -10450$ są ujemnymi liczbami całkowitymi.
Uwaga 1
Liczba zero nie odnosi się ani do dodatnich ani ujemnych liczb całkowitych.
Całe liczby dodatnie są liczbami całkowitymi większymi od zera.
Całkowite liczby ujemne są liczbami całkowitymi mniejszymi od zera.
Zbiór liczb naturalnych jest zbiorem wszystkich dodatnich liczb całkowitych, a zbiór wszystkich przeciwieństw liczb naturalnych jest zbiorem wszystkich ujemnych liczb całkowitych.
Liczby całkowite niedodatnie i liczby całkowite nieujemne
Wszystkie liczby całkowite dodatnie i liczba zero są nazywane liczby całkowite nieujemne.
Liczby całkowite niedodatnie są ujemnymi liczbami całkowitymi i liczbą $0$.
Uwaga 2
W ten sposób, cała liczba nieujemna są liczbami całkowitymi większymi od zera lub równymi zeru oraz liczba całkowita niedodatnia są liczbami całkowitymi mniejszymi od zera lub równymi zeru.
Na przykład liczby całkowite niedodatnie: $−32, −123, 0, −5$ oraz liczby całkowite nieujemne: $54, 123, 0,856 342.$
Opis zmiany wartości za pomocą liczb całkowitych
Liczby całkowite służą do opisywania zmian w liczbie dowolnych elementów.
Rozważ przykłady.
Przykład 1
Załóżmy, że sklep sprzedaje określoną liczbę przedmiotów. Gdy sklep otrzyma przedmioty 520 $, liczba przedmiotów w sklepie wzrośnie, a liczba $ 520 $ pokazuje pozytywną zmianę liczby. Gdy sklep sprzedaje przedmioty za 50 $, liczba przedmiotów w sklepie zmniejszy się, a liczba 50 $ będzie wyrażać ujemną zmianę liczby. Jeżeli sklep nie przyniesie ani nie sprzeda towaru, to ilość towaru pozostanie bez zmian (tzn. możemy mówić o zerowej zmianie ilości).
W powyższym przykładzie zmiana ilości towarów jest opisana za pomocą liczb całkowitych odpowiednio 520$, $−50$ i 0$. Dodatnia wartość liczby całkowitej $520$ wskazuje na dodatnią zmianę liczby. Ujemna wartość liczby całkowitej $-50 $ oznacza ujemną zmianę liczby. Liczba całkowita $0$ wskazuje niezmienność liczby.
Liczby całkowite są wygodne w użyciu, ponieważ nie jest potrzebne wyraźne wskazanie wzrostu liczby lub spadku - znak liczby całkowitej wskazuje kierunek zmiany, a wartość wskazuje zmianę ilościową.
Używając liczb całkowitych, możesz wyrazić nie tylko zmianę ilości, ale także zmianę dowolnej wartości.
Rozważ przykład zmiany kosztu produktu.
Przykład 2
Wzrost kosztu np. o 20 zł rubli jest wyrażony dodatnią liczbą całkowitą 20 zł. Zmniejszenie kosztu np. o 5$ rubli jest opisane za pomocą ujemnej liczby całkowitej $−5$. Jeżeli nie ma zmian kosztów, to taką zmianę określa się za pomocą liczby całkowitej $0$.
Oddzielnie rozważ wartość ujemnych liczb całkowitych jako wielkość długu.
Przykład 3
Na przykład osoba ma 5000 rubli. Następnie, używając dodatniej liczby całkowitej 5000 $, możesz pokazać liczbę rubli, które ma. Człowiek musi płacić czynsz w wysokości 7000 zł, ale takich pieniędzy nie ma, w tym przypadku taką sytuację opisuje ujemna liczba całkowita − 7000 zł. W tym przypadku dana osoba ma -7 000 $ rubli, gdzie „-” oznacza dług, a liczba 7 000 $ oznacza kwotę długu.
Liczba to abstrakcja używana do kwantyfikacji obiektów. Liczby powstały w prymitywnym społeczeństwie w związku z koniecznością liczenia przedmiotów przez ludzi. Z biegiem czasu, wraz z rozwojem nauki, liczba stała się najważniejszym pojęciem matematycznym.
Aby rozwiązać problemy i udowodnić różne twierdzenia, musisz zrozumieć, jakie są typy liczb. Główne typy liczb to: liczby naturalne, liczby całkowite, liczby wymierne, liczby rzeczywiste.
Liczby całkowite- są to liczby uzyskane z naturalnego liczenia przedmiotów, a raczej z ich numeracją („pierwszy”, „drugi”, „trzeci” ...). Zbiór liczb naturalnych jest oznaczony literą łacińską n (można zapamiętać na podstawie angielskie słowo naturalny). Można powiedzieć, że n ={1,2,3,....}
Wszystkie liczby to liczby ze zbioru (0, 1, -1, 2, -2, ....). Zbiór ten składa się z trzech części - liczb naturalnych, ujemnych liczb całkowitych (przeciwieństwo liczb naturalnych) oraz liczby 0 (zero). Liczby całkowite są oznaczone literą łacińską Z . Można powiedzieć, że Z ={1,2,3,....}.
Liczby wymierne to liczby, które można przedstawić jako ułamek, gdzie m jest liczbą całkowitą, a n jest liczbą naturalną. Wyznaczyć liczby wymierne używana jest litera łacińska Q . Wszystkie liczby naturalne i całkowite są wymierne. Również jako przykłady liczb wymiernych można podać: ,,.
Liczby rzeczywiste (rzeczywiste) to liczby używane do pomiaru wielkości ciągłych. Wiele liczby rzeczywiste oznaczane łacińską literą R. Liczby rzeczywiste obejmują liczby wymierne i niewymierne. Liczby niewymierne to liczby, które uzyskuje się wykonując różne operacje na liczbach wymiernych (na przykład wyciąganie pierwiastka, obliczanie logarytmów), ale nie są wymierne. Przykładami liczb niewymiernych są ,,.
Na osi liczbowej można wyświetlić dowolną liczbę rzeczywistą:
Dla zestawów liczb wymienionych powyżej prawdziwe jest następujące stwierdzenie:
Oznacza to, że zbiór liczb naturalnych jest zawarty w zbiorze liczb całkowitych. Zbiór liczb całkowitych jest zawarty w zbiorze liczb wymiernych. A zbiór liczb wymiernych jest zawarty w zbiorze liczb rzeczywistych. To stwierdzenie można zilustrować za pomocą kręgów Eulera.
Nauczyciel najwyższej kategorii
Jakie liczby nazywamy liczbami całkowitymi?
Cele Lekcji:
-Rozwiń pojęcie liczby, wprowadzając liczby ujemne:
-Kształcenie umiejętności pisania liczb dodatnich i ujemnych.
Cele Lekcji.
Edukacyjny - promowanie rozwoju umiejętności uogólniania i systematyzacji, promowanie rozwoju horyzontów matematycznych, myślenia i mowy, uwagi i pamięci.
Edukacyjny - wychowanie postawy wobec samokształcenia, samokształcenia, dokładnej pracowitości, twórczego podejścia do działania, krytycznego myślenia.
Edukacyjny - rozwijać w uczniach umiejętność porównywania i uogólniania, logicznego wyrażania myśli, rozwijania horyzontów matematycznych, myślenia i mowy, uwagi i pamięci.
Podczas zajęć:
1. Rozmowa wprowadzająca.
Do tej pory na lekcjach matematyki rozważaliśmy jakie liczby?
-Naturalny i ułamkowy.
Jakie liczby nazywamy naturalnymi?
- Są to liczby używane do liczenia przedmiotów.
Ile możesz powiedzieć?
- nieskończenie wiele.
Czy zero jest liczbą naturalną? Czemu?
Do czego służą liczby ułamkowe?
- Liczymy nie tylko przedmioty, ale części w określonych ilościach.
Jakie ułamki znasz?
- Zwykłe i dziesiętne.
Zadanie numer 1.
Czy potrafisz wymienić liczby naturalne? Wspólne ułamki? Dziesiętne?
10; 1,1; https://pandia.ru/text/77/504/images/image002_2.png" width="16" height="35 src="> ; https://pandia.ru/text/77/504/images/image004_0.png" width="24" height="35 src="> .
2. Wyjaśnienie nowego materiału:
Jednak w życiu prawdopodobnie spotkałeś się już z innymi liczbami, które? Gdzie?
-Negatywny. Na przykład w prognozie pogody.
Zanim przejdziemy do nowego tematu, omówmy znaki, które pomogą w rozszerzeniu zbioru liczb. To są znaki plus i minus. Zastanów się, z czym te znaki są związane w życiu. Może to być wszystko: biały – czarny, dobry – zły. Twoje przykłady napiszemy w formie tabeli.
Ile myśli jest spowodowanych tylko dwoma znakami. W rzeczywistości te dwa znaki umożliwiają przejście do różne strony. Takie liczby, „podobne” do naturalnych, ale ze znakiem minus, są potrzebne w przypadkach, gdy wartość może zmieniać się w dwóch przeciwnych kierunkach. Aby wyrazić wartość jako liczbę ujemną, wprowadza się jakiś początkowy znak zerowy. Przyjrzyjmy się przykładom, które zrobili inni, aw domu pomyśl i zrób swoją prezentację. Slajd nr 2-7.
Używanie znaku jest bardzo wygodne. Jego stosowanie jest akceptowane na całym świecie. Ale nie zawsze tak było. Slajd nr 8.
Tak więc wraz z liczbami naturalnymi
1, 2, 3, 4, 5, …100, …, 1000, …
Rozważymy liczby ujemne, z których każda jest uzyskiwana przez przypisanie znaku minus do odpowiedniej liczby naturalnej:
-1,- 2, - 3, - 4, - 5, …-100, …,- 1000, …
Liczba naturalna i odpowiadająca jej liczba ujemna nazywane są przeciwieństwami. Na przykład liczby 15 i -15. Możesz -15 i 15. O jest przeciwieństwem siebie.
Reguła: Liczby naturalne, ich negatywne przeciwieństwa i liczba 0 nazywa się wszystkie liczby. Wszystkie te liczby razem tworzą zbiór liczb całkowitych.
Otwórz podręcznik stronę 159, znajdź regułę, przeczytaj ją jeszcze raz, uczymy się jej na pamięć w domu.
Liczba naturalna jest również nazywana liczbą całkowitą dodatnią, to znaczy jest tym samym. Przed nim, w celu podkreślenia zewnętrzna różnica od minusa, czasami umieszczany jest znak plus. +5=5.
3. Kształtowanie umiejętności i zdolności:
1) № 000.
2) Zapisz te liczby w dwóch grupach: dodatniej i ujemnej:
-15, 7, 28, -41, 0, 382, -591, -999, 2000.
3) Gra „mój nastrój”.
Teraz ocenisz swój aktualny nastrój na następującej skali:
Dobry nastrój: +1, +2, +3, +4, +5.
Zły nastrój: -1, -2, -3, -4, -5.
Jedna osoba zapisze wyniki na tablicy, a pozostali po kolei powiedzą: „Mam dobry humor za 4 punkty"
4) Gra Clapperboard
Wywołam pary liczb, jeśli para jest przeciwna, to klaszczesz w dłonie, jeśli nie, to w klasie powinna być cisza:
5 i -5; 6 i 0,6; -300 i 300; 3 i 1/3; 8 i 80; 14 i -14; 5/7 i 7/5; -1 i 1.
5) Propedeutyka studiowania dodawania liczb całkowitych:
Nr 000 (a).
Przyglądamy się rozwiązaniu za pomocą prezentacji. Slajd nr 8.
4. Podsumowanie lekcji:
Co to są liczby dodatnie? Negatywny?
- O czym się dowiedziałeś?
Do czego służą liczby ujemne?
Jak zapisuje się liczby dodatnie i ujemne?
5. D/Z: 8.1, nr 000, 721(b), 715(b). Zadanie twórcze: ułożyć wiersz o liczbach całkowitych, rysunek, prezentację, bajkę.
Odejmujemy inny od liczby,
Tworzymy linię prostą.
Rozpoznajemy ten znak
„Minus” nazywamy go.
1.
Warte jednostki
Wygląda na zapałkę.
Ona jest tylko kreską
Z małym hukiem.
2.
Ledwo ślizga się po wodzie
Jak łabędź, numer dwa.
łukowata szyja,
W pogoni za falami.
3.
Dwa haki, spójrz
Mam numer trzy.
Ale te dwa haki
Nie sadź robaka.
4.
Jakoś widelec został upuszczony
Jeden ząb został odłamany.
Ten widelec na całym świecie
Nazywa się „cztery”.
5.
Numer pięć - z dużym brzuchem,
Nosi czapkę z daszkiem.
W szkole ta liczba to pięć
Dzieci uwielbiają otrzymywać.
6.
Co za wiśnia, mój przyjacielu
Czy łodyga jest zwinięta?
Próbujesz to zjeść
Ten wiśnia- numer sześć.
7.
Jestem takim pokerzystą
Nie mogę tego włożyć do piekarnika.
Wszyscy o niej wiedzą
Że nazywa się „siedem”.
8.
Lina skręcona, skręcona,
Spleciony w dwie pętle.
"Jaki jest numer?" - Zapytaj mamę.
Mama odpowie nam: „Osiem”.
9.
Wiatr wiał silny i wiał,
Odwróć wiśnię.
Numer sześć, módl się powiedz
Zamieniony w numer dziewięć.
10.
Jak starsza siostra
Zero jeden prowadzi.
Po prostu szliśmy razem
Natychmiast stała się liczba dziesięć.
Wiersze o matematyce
Matematyka jest podstawą i królową wszystkich nauk, Arżnikowa Swietłana, Matematyka nauk złożonych: Razborowa Romana, | Znajdź swoją prędkość , Jeden dwa trzy cztery pięć, Przystań Witiutniewa, |
· Dużo matematyki nie zostaje w pamięci, ale kiedy ją zrozumiesz, łatwo jest czasem przypomnieć sobie zapomniane rzeczy.