Średni poziom

Trójkąt prostokątny. Kompletny ilustrowany przewodnik (2019)

TRÓJKĄT PROSTOKĄTNY. PIERWSZY POZIOM.

W przypadku problemów kąt prosty wcale nie jest konieczny - lewy dolny róg, więc musisz nauczyć się rozpoznawać trójkąt prostokątny w tej formie,

i w taki sposób

i w tym

Co jest dobrego w trójkącie prostokątnym? Cóż... przede wszystkim są wyjątkowe piękne imiona dla jego stron.

Uwaga na rysunek!

Pamiętaj i nie myl: są dwie nogi i jest tylko jedna przeciwprostokątna(jedyny, niepowtarzalny i najdłuższy)!

Cóż, omówiliśmy nazwy, teraz najważniejsza rzecz: twierdzenie Pitagorasa.

Twierdzenie Pitagorasa.

Twierdzenie to jest kluczem do rozwiązania wielu problemów z nim związanych trójkąt prostokątny. Udowodnił to Pitagoras już w zupełnie niepamiętnych czasach i od tego czasu przynosi wiele pożytku tym, którzy ją znają. A najlepsze w tym jest to, że jest proste.

Więc, Twierdzenie Pitagorasa:

Czy pamiętasz dowcip: „Spodnie pitagorejskie są równe ze wszystkich stron!”?

Narysujmy te same Spodnie pitagorejskie i przyjrzyjmy się im.

Czy to nie wygląda jak jakieś szorty? Cóż, po których stronach i gdzie są równe? Dlaczego i skąd wziął się ten żart? I ten żart wiąże się właśnie z twierdzeniem Pitagorasa, a ściślej ze sposobem, w jaki sam Pitagoras sformułował swoje twierdzenie. A sformułował to w ten sposób:

"Suma obszary kwadratów, zbudowany na nogach, jest równy powierzchnia kwadratowa, zbudowany na przeciwprostokątnej.”

Czy to naprawdę brzmi trochę inaczej? I tak, kiedy Pitagoras przedstawił oświadczenie swojego twierdzenia, powstał dokładnie taki obraz.

Na tym obrazku suma pól małych kwadratów jest równa powierzchni dużego kwadratu. Aby dzieci lepiej pamiętały, że suma kwadratów nóg jest równa kwadratowi przeciwprostokątnej, ktoś dowcipny wymyślił ten żart o spodniach pitagorejskich.

Dlaczego teraz formułujemy twierdzenie Pitagorasa?

Czy Pitagoras cierpiał i mówił o kwadratach?

Widzisz, w starożytności nie było... algebry! Nie było żadnych znaków i tak dalej. Nie było żadnych napisów. Czy możesz sobie wyobrazić, jak okropne było dla biednych starożytnych uczniów zapamiętywanie wszystkiego słowami?! I możemy się cieszyć, że mamy proste sformułowanie twierdzenia Pitagorasa. Powtórzmy to jeszcze raz, żeby lepiej zapamiętać:

Teraz powinno być łatwo:

Kwadrat przeciwprostokątnej równa sumie kwadraty nóg.

Cóż, najważniejsze twierdzenie o trójkątach prostokątnych zostało omówione. Jeśli ciekawi Cię, jak to zostało udowodnione, przeczytaj kolejne poziomy teorii, a teraz przejdźmy dalej… w ciemny las… trygonometrii! Do okropnych słów sinus, cosinus, tangens i cotangens.

Sinus, cosinus, tangens, cotangens w trójkącie prostokątnym.

W rzeczywistości wszystko wcale nie jest takie straszne. Oczywiście w artykule należy przyjrzeć się „prawdziwym” definicjom sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa. Ale naprawdę nie chcę, prawda? Możemy się radować: aby rozwiązać problemy dotyczące trójkąta prostokątnego, możesz po prostu wypełnić następujące proste rzeczy:

Dlaczego wszystko jest tuż za rogiem? Gdzie jest róg? Aby to zrozumieć, musisz wiedzieć, jak stwierdzenia 1–4 są pisane słownie. Spójrz, zrozum i zapamiętaj!

1.
Właściwie brzmi to tak:

A co z kątem? Czy istnieje noga znajdująca się naprzeciwko rogu, czyli przeciwna (dla kąta) noga? Oczywiście, że tak! To jest noga!

A co z kątem? Przyjrzyj się uważnie. Która noga przylega do rogu? Oczywiście noga. Oznacza to, że dla kąta noga sąsiaduje i

Teraz uważaj! Zobacz, co mamy:

Zobacz jakie to fajne:

Przejdźmy teraz do stycznej i cotangensu.

Jak mam to teraz zapisać słowami? Jaka jest noga w stosunku do kąta? Oczywiście odwrotnie - „leży” naprzeciwko rogu. A co z nogą? Sąsiaduje z rogiem. Co więc mamy?

Widzisz, jak licznik i mianownik zamieniły się miejscami?

A teraz znowu rogi i dokonałem wymiany:

Streszczenie

Zapiszmy krótko wszystko, czego się nauczyliśmy.

Twierdzenie Pitagorasa:

Głównym twierdzeniem dotyczącym trójkątów prostokątnych jest twierdzenie Pitagorasa.

twierdzenie Pitagorasa

Swoją drogą, czy dobrze pamiętasz, czym są nogi i przeciwprostokątna? Jeśli nie jest zbyt dobry, spójrz na zdjęcie - odśwież swoją wiedzę

Jest całkiem możliwe, że korzystałeś już z twierdzenia Pitagorasa wiele razy, ale czy zastanawiałeś się kiedyś, dlaczego takie twierdzenie jest prawdziwe? Jak mogę to udowodnić? Postępujmy jak starożytni Grecy. Narysujmy kwadrat z bokiem.

Zobacz jak sprytnie podzieliliśmy jego boki na długości i!

Teraz połączmy zaznaczone kropki

Tutaj jednak zauważyliśmy coś innego, ale sam patrzysz na rysunek i zastanawiasz się, dlaczego tak jest.

Jakie jest pole większego kwadratu? Prawidłowy, . A co z mniejszym obszarem? Z pewnością, . Całkowita powierzchnia czterech rogów pozostaje. Wyobraź sobie, że wzięliśmy ich po dwóch na raz i oparliśmy o siebie przeciwprostokątnymi. Co się stało? Dwa prostokąty. Oznacza to, że powierzchnia „nacięć” jest równa.

Połączmy to teraz w całość.

Przekształćmy:

Odwiedziliśmy więc Pitagorasa - w starożytny sposób udowodniliśmy jego twierdzenie.

Trójkąt prostokątny i trygonometria

Dla trójkąta prostokątnego zachodzą następujące zależności:

Sinus kąta ostrego równy stosunkowi stronę przeciwną do przeciwprostokątnej

Cosinus kąta ostrego jest równy stosunkowi sąsiedniej nogi do przeciwprostokątnej.

Tangens kąta ostrego jest równy stosunkowi strony przeciwnej do strony sąsiedniej.

Cotangens kąta ostrego jest równy stosunkowi boku sąsiedniego do boku przeciwnego.

I jeszcze raz to wszystko w formie tabletu:

To jest bardzo wygodne!

Znaki równości trójkątów prostokątnych

I. Z dwóch stron

II. Przez nogę i przeciwprostokątną

III. Według przeciwprostokątnej i kąta ostrego

IV. Wzdłuż nogi i kąta ostrego

A)

B)

Uwaga! Bardzo ważne jest tutaj, aby nogi były „odpowiednie”. Na przykład, jeśli to pójdzie tak:

WTEDY TRÓJKĄTY NIE SĄ RÓWNE, mimo że mają jeden identyczny kąt ostry.

Potrzebować w obu trójkątach noga sąsiadowała ze sobą lub w obu była przeciwna.

Czy zauważyłeś, jak znaki równości trójkątów prostokątnych różnią się od zwykłych znaków równości trójkątów? Przyjrzyj się tematowi „i zwróć uwagę, że dla równości „zwykłych” trójkątów muszą być równe trzy ich elementy: dwa boki i kąt między nimi, dwa kąty i bok między nimi, czyli trzy boki. Ale dla równości trójkątów prostokątnych wystarczą tylko dwa odpowiednie elementy. Świetnie, prawda?

Sytuacja jest w przybliżeniu taka sama w przypadku znaków podobieństwa trójkątów prostokątnych.

Znaki podobieństwa trójkątów prostokątnych

I. Pod kątem ostrym

II. Z dwóch stron

III. Przez nogę i przeciwprostokątną

Mediana w trójkącie prostokątnym

Dlaczego tak jest?

Zamiast trójkąta prostokątnego rozważ cały prostokąt.

Narysujmy przekątną i rozważmy punkt - punkt przecięcia przekątnych. Co wiesz o przekątnych prostokąta?

I co z tego wynika?

Okazało się więc, że

1. - mediana:

Zapamiętaj ten fakt! Bardzo pomaga!

Jeszcze bardziej zaskakujące jest to, że jest też odwrotnie.

Co dobrego można uzyskać z faktu, że środkowa poprowadzona do przeciwprostokątnej jest równa połowie przeciwprostokątnej? Spójrzmy na zdjęcie

Przyjrzyj się uważnie. Mamy: , czyli odległości od punktu do wszystkich trzech wierzchołków trójkąta okazały się równe. Ale w trójkącie jest tylko jeden punkt, którego odległości od wszystkich trzech wierzchołków trójkąta są równe, i jest to ŚRODEK OKOŁA. Więc co się stało?

Zacznijmy więc od tego „oprócz…”.

Spójrzmy na i.

Ale podobne trójkąty mają wszystkie równe kąty!

To samo można powiedzieć o i

Teraz narysujmy to razem:

Jakie korzyści można wyciągnąć z tego „potrójnego” podobieństwa?

Cóż, na przykład - dwa wzory na wysokość trójkąta prostokątnego.

Zapiszmy relacje odpowiednich stron:

Aby znaleźć wysokość, rozwiązujemy proporcję i otrzymujemy pierwsza formuła „Wysokość w trójkącie prostokątnym”:

Zastosujmy więc podobieństwo: .

Co się teraz stanie?

Ponownie rozwiązujemy proporcję i otrzymujemy drugą formułę:

Trzeba bardzo dobrze zapamiętać obie te formuły i skorzystać z tej, która jest wygodniejsza. Zapiszmy je jeszcze raz

Twierdzenie Pitagorasa:

W trójkącie prostokątnym kwadrat przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów nóg: .

Znaki równości trójkątów prostokątnych:

• z dwóch stron:
• przez nogę i przeciwprostokątną: lub
• wzdłuż nogi i przyległego kąta ostrego: lub
• wzdłuż nogi i przeciwległy kąt ostry: lub
• przez przeciwprostokątną i kąt ostry: lub.

Znaki podobieństwa trójkątów prostokątnych:

• jeden ostry róg: lub
• z proporcjonalności dwóch nóg:
• z proporcjonalności nogi i przeciwprostokątnej: lub.

Sinus, cosinus, tangens, cotangens w trójkącie prostokątnym

• Sinus kąta ostrego trójkąta prostokątnego to stosunek przeciwprostokątnej do przeciwprostokątnej:
• Cosinus kąta ostrego trójkąta prostokątnego to stosunek sąsiedniej nogi do przeciwprostokątnej:
• Tangens kąta ostrego w trójkącie prostokątnym to stosunek boku przeciwnego do boku sąsiedniego:
• Cotangens kąta ostrego trójkąta prostokątnego to stosunek boku sąsiedniego do boku przeciwnego: .

Wysokość trójkąta prostokątnego: lub.

W trójkącie prostokątnym środkowa narysowana z wierzchołka kąta prostego jest równa połowie przeciwprostokątnej: .

Pole trójkąta prostokątnego:

• przez nogi:

twierdzenie Pitagorasa- jedno z podstawowych twierdzeń geometrii euklidesowej, ustalające zależność

pomiędzy bokami trójkąta prostokątnego.

Uważa się, że udowodnił to grecki matematyk Pitagoras, od którego pochodzi nazwa.

Geometryczne sformułowanie twierdzenia Pitagorasa.

Twierdzenie zostało pierwotnie sformułowane w następujący sposób:

W trójkącie prostokątnym pole kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej jest równe sumie pól kwadratów,

zbudowany na nogach.

Algebraiczne sformułowanie twierdzenia Pitagorasa.

W trójkącie prostokątnym kwadrat długości przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów długości nóg.

To znaczy, oznaczając długość przeciwprostokątnej trójkąta przez C i długości nóg A I B:

Obydwa preparaty twierdzenie Pitagorasa są równoważne, ale drugie sformułowanie jest bardziej elementarne, tak nie jest

wymaga pojęcia obszaru. Oznacza to, że drugie stwierdzenie można zweryfikować, nie wiedząc nic o obszarze i

mierząc jedynie długości boków trójkąta prostokątnego.

Odwrotne twierdzenie Pitagorasa.

Jeżeli kwadrat jednego boku trójkąta jest równy sumie kwadratów dwóch pozostałych boków, to

trójkąt prostokątny.

Lub innymi słowy:

Dla każdej trójki liczb dodatnich A, B I C, takie że

istnieje trójkąt prostokątny z nogami A I B i przeciwprostokątna C.

Twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta równoramiennego.

Twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta równobocznego.

Dowody twierdzenia Pitagorasa.

NA ten moment V literatura naukowa Zanotowano 367 dowodów tego twierdzenia. Prawdopodobnie twierdzenie

Pitagoras to jedyne twierdzenie z tak imponującą liczbą dowodów. Taka różnorodność

można wyjaśnić jedynie podstawowym znaczeniem twierdzenia dla geometrii.

Oczywiście koncepcyjnie wszystkie można podzielić na niewielką liczbę klas. Najbardziej znany z nich:

dowód metoda obszarowa, aksjomatyczny I egzotyczny dowód(Na przykład,

używając równania różniczkowe).

1. Dowód twierdzenia Pitagorasa przy użyciu trójkątów podobnych.

Poniższy dowód sformułowania algebraicznego jest najprostszym ze skonstruowanych dowodów

bezpośrednio z aksjomatów. W szczególności nie wykorzystuje pojęcia pola figury.

Pozwalać ABC istnieje trójkąt prostokątny z kątem prostym C. Narysujmy wysokość z C i oznaczać

jego fundament poprzez H.

Trójkąt ACH podobny do trójkąta AB C w dwóch rogach. Podobnie trójkąt CBH podobny ABC.

Wprowadzając oznaczenie:

otrzymujemy:

,

co odpowiada -

Fałdowy A 2 i B 2, otrzymujemy:

lub , co należało udowodnić.

2. Dowód twierdzenia Pitagorasa metodą powierzchniową.

Poniższe dowody, pomimo pozornej prostoty, wcale nie są takie proste. Wszyscy

wykorzystać właściwości pola, których dowody są bardziej złożone niż dowód samego twierdzenia Pitagorasa.

• Dowód poprzez ekwikomplementarność.

Ułóżmy cztery równe prostokąty

trójkąt, jak pokazano na rysunku

po prawej.

Czworokąt z bokami C- kwadrat,

ponieważ suma dwóch kątów ostrych wynosi 90°, oraz

kąt rozłożenia - 180°.

Pole całej figury jest z jednej strony równe

pole kwadratu o boku ( a+b), a z drugiej strony suma pól czterech trójkątów i

co było do okazania

3. Dowód twierdzenia Pitagorasa metodą nieskończenie małą.

​

Patrząc na rysunek pokazany na rysunku i

obserwując zmianę stronyA, możemy

napisz poniższą zależność dla nieskończoności

mały przyrosty boczneZ I A(używając podobieństwa

trójkąty):

Stosując metodę separacji zmiennych, znajdujemy:

Bardziej ogólne wyrażenie na zmianę przeciwprostokątnej w przypadku przyrostów po obu stronach:

Całkując to równanie i korzystając z warunków początkowych, otrzymujemy:

W ten sposób dochodzimy do pożądanej odpowiedzi:

Jak łatwo zauważyć, zależność kwadratowa w ostatecznym wzorze wynika z liniowości

proporcjonalność między bokami trójkąta i przyrostami, podczas gdy suma jest odniesiona do niezależności

składki z przyrostu różnych nóg.

Prostszy dowód można uzyskać, jeśli założymy, że jedna z nóg nie ulega wzrostowi

(w tym przypadku noga B). Następnie dla stałej całkowania otrzymujemy:

Instrukcje

Jeśli chcesz obliczyć za pomocą twierdzenia Pitagorasa, użyj następującego algorytmu: - Określ w trójkącie, które boki są nogami, a które przeciwprostokątną. Dwie strony tworzące kąt dziewięćdziesiąt stopni to nogi, pozostała jedna trzecia to przeciwprostokątna. (cm) - Podnieś każdą nogę tego trójkąta do drugiej potęgi, to znaczy pomnóż przez siebie. Przykład 1. Załóżmy, że musimy obliczyć przeciwprostokątną, jeśli jedna noga w trójkącie ma długość 12 cm, a druga 5 cm. Najpierw kwadraty nóg są równe: 12 * 12 = 144 cm i 5 * 5 = 25 cm. Następnie określ sumę nóg kwadratów. Konkretny numer Jest przeciwprostokątna, musisz pozbyć się drugiej potęgi liczby, którą chcesz znaleźć długość tej strony trójkąta. Aby to zrobić, usuń spod pierwiastek kwadratowy wartość sumy kwadratów nóg. Przykład 1. 144+25=169. Pierwiastek kwadratowy z 169 wynosi 13. Zatem długość tego przeciwprostokątna równa 13 cm.

Inny sposób obliczania długości przeciwprostokątna leży w terminologii sinusa i kątów w trójkącie. Z definicji: sinus kąta alfa - odnoga przeciwna do przeciwprostokątnej. Oznacza to, że patrząc na rysunek, grzech a = CB / AB. Zatem przeciwprostokątna AB = CB / sin a. Przykład 2. Niech kąt będzie wynosił 30 stopni, a przeciwprostokątna będzie miała długość 4 cm. Musimy znaleźć przeciwprostokątną. Rozwiązanie: AB = 4 cm / sin 30 = 4 cm / 0,5 = 8 cm Odpowiedź: długość przeciwprostokątna równa 8 cm.

Podobny sposób na znalezienie przeciwprostokątna z definicji cosinusa kąta. Cosinus kąta jest stosunkiem boku sąsiadującego z nim i przeciwprostokątna. Oznacza to, że cos a = AC/AB, stąd AB = AC/cos a. Przykład 3. W trójkącie ABC AB jest przeciwprostokątną, kąt BAC wynosi 60 stopni, a noga AC ma długość 2 cm. Znajdź AB.
Rozwiązanie: AB = AC/cos 60 = 2/0,5 = 4 cm Odpowiedź: Przeciwprostokątna ma długość 4 cm.

Pomocna rada

Aby znaleźć wartość sinusa lub cosinusa kąta, użyj tabeli sinusów i cosinusów lub tabeli Bradisa.

Wskazówka 2: Jak znaleźć długość przeciwprostokątnej w trójkącie prostokątnym

Przeciwprostokątna jest najdłuższym bokiem trójkąta prostokątnego, więc nie jest to zaskakujące język grecki to słowo jest tłumaczone jako „ciasne”. Strona ta zawsze leży naprzeciwko kąta 90°, a boki tworzące ten kąt nazywane są nogami. Znając długości tych boków i wartości kątów ostrych w różnych kombinacjach tych wartości, możemy obliczyć długość przeciwprostokątnej.

Instrukcje

Jeśli znane są długości obu trójkątów (A i B), użyj długości przeciwprostokątnej (C), być może najsłynniejszego postulatu matematycznego - twierdzenia Pitagorasa. Stwierdza, że ​​kwadrat długości przeciwprostokątnej jest sumą kwadratów długości nóg, z czego wynika, że ​​należy obliczyć pierwiastek z sumy kwadratów długości dwóch boków: C = √ ( A² + B²). Na przykład, jeśli długość jednej nogi wynosi 15 i - 10 centymetrów, wówczas długość przeciwprostokątnej wyniesie około 18,0277564 centymetrów, ponieważ √(15²+10²)=√(225+100)= √325≈18,0277564.

Jeżeli znana jest długość tylko jednej z nóg (A) w trójkącie prostokątnym oraz wartość kąta leżącego naprzeciw niej (α), to długość przeciwprostokątnej (C) można obliczyć korzystając z jednej z funkcji trygonometrycznych funkcje - sinus. Aby to zrobić, podziel długość znanego boku przez sinus znanego kąta: C=A/sin(α). Na przykład, jeśli długość jednej z nóg wynosi 15 centymetrów, a kąt przy przeciwległym wierzchołku trójkąta wynosi 30°, to długość przeciwprostokątnej będzie równa 30 centymetrów, ponieważ 15/sin(30°) =15/0,5=30.

Jeśli w trójkącie prostokątnym znany jest rozmiar jednego z kątów ostrych (α) i długość sąsiedniej nogi (B), to do obliczenia długości przeciwprostokątnej (C) można użyć innego funkcja trygonometryczna- cosinus. Długość znanej nogi należy podzielić przez cosinus znanego kąta: C=B/ cos(α). Na przykład, jeśli długość tej nogi wynosi 15 centymetrów, a przylegający do niej kąt ostry wynosi 30°, to długość przeciwprostokątnej wyniesie w przybliżeniu 17,3205081 centymetra, ponieważ 15/cos(30°)=15/(0,5* √3)=30/√3≈17,3205081.

Długość jest zwykle używana do określenia odległości między dwoma punktami na odcinku linii. Może to być linia prosta, łamana lub zamknięta. Możesz obliczyć długość po prostu, jeśli znasz inne wskaźniki segmentu.

Instrukcje

Jeśli chcesz znaleźć długość boku kwadratu, to nie będzie to , jeśli znasz jego pole S. Ze względu na fakt, że wszystkie boki kwadratu mają

Twierdzenie Pitagorasa jest najważniejszym stwierdzeniem geometrii. Twierdzenie jest sformułowane w następujący sposób: pole kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego jest równe sumie pól kwadratów zbudowanych na jego nogach.

Odkrycie tego stwierdzenia jest zwykle przypisywane starożytny grecki filozof i matematyk Pitagoras (VI wiek p.n.e.). Jednak badanie babilońskich tabliczek klinowych i starożytnych chińskich rękopisów (kopii jeszcze starszych rękopisów) wykazało, że stwierdzenie to było znane na długo przed Pitagorasem, być może tysiąc lat przed nim. Zasługą Pitagorasa było to, że odkrył dowód tego twierdzenia.

Jest prawdopodobne, że fakt zawarty w twierdzeniu Pitagorasa został po raz pierwszy ustalony dla trójkątów prostokątnych równoramiennych. Wystarczy spojrzeć na mozaikę czarnych i jasnych trójkątów pokazaną na ryc. 1, aby sprawdzić ważność twierdzenia o trójkącie: kwadrat zbudowany na przeciwprostokątnej zawiera 4 trójkąty, a kwadrat zawierający 2 trójkąty jest zbudowany z każdej strony. Aby udowodnić ogólny przypadek w starożytnych Indiach, zastosowali dwie metody: w kwadracie z bokiem przedstawili cztery trójkąty prostokątne z nogami o długościach i (ryc. 2, a i 2, b), po czym napisali jedno słowo „ Patrzeć!" I rzeczywiście, patrząc na te rysunki, widzimy, że po lewej stronie znajduje się figura wolna od trójkątów, składająca się z dwóch kwadratów o bokach i odpowiednio jej powierzchnia jest równa , a po prawej stronie jest kwadrat z bokiem - jego pole jest równe. Oznacza to, że stanowi to stwierdzenie twierdzenia Pitagorasa.

Jednak przez dwa tysiące lat nie używano tego dowodu wizualnego, ale bardziej złożonego dowodu wymyślonego przez Euklidesa, który umieszczono w jego słynnej książce „Elementy” (patrz Euklides i jego „Elementy”), Euklides obniżył wysokość od wierzchołka kąta prostego do przeciwprostokątnej i udowodnił, że jej kontynuacja dzieli kwadrat zbudowany na przeciwprostokątnej na dwa prostokąty, których pola są równe polam odpowiednich kwadratów zbudowanych na nogach (ryc. 3). Rysunek użyty do udowodnienia tego twierdzenia jest żartobliwie nazywany „spodami pitagorejskimi”. Przez długi czas uznawany był za jeden z symboli nauk matematycznych.

Obecnie znanych jest kilkadziesiąt różnych dowodów twierdzenia Pitagorasa. Niektóre z nich opierają się na podziale kwadratów, w którym kwadrat zbudowany na przeciwprostokątnej składa się z części wchodzących w skład podziałów kwadratów zbudowanych na nogach; inne - na uzupełnienie równych liczb; trzeci - na tym, że wysokość obniżona z wierzchołka kąta prostego do przeciwprostokątnej dzieli trójkąt prostokątny na dwa podobne do niego trójkąty.

Twierdzenie Pitagorasa leży u podstaw większości obliczeń geometrycznych. Już w starożytnym Babilonie używano go do obliczania długości wysokości trójkąta równoramiennego z długości podstawy i boku, strzałki odcinka ze średnicy koła i długości cięciwy oraz ustalania zależności pomiędzy elementami niektórych wielokątów foremnych. Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, udowadniamy jego uogólnienie, które pozwala nam obliczyć długość boku leżącego naprzeciw kąta ostrego lub rozwartego:

Z tego uogólnienia wynika, że ​​obecność kąta prostego w jest nie tylko warunkiem wystarczającym, ale i koniecznym, aby równość była spełniona. Ze wzoru (1) wynika zależność między długościami przekątnych i boków równoległoboku, za pomocą którego łatwo jest znaleźć długość środkowej trójkąta na podstawie długości jego boków.

Na podstawie twierdzenia Pitagorasa wyprowadza się wzór wyrażający pole dowolnego trójkąta przez długości jego boków (patrz wzór Herona). Oczywiście do rozwiązania różnych problemów praktycznych wykorzystano także twierdzenie Pitagorasa.

Zamiast kwadratów można budować dowolne podobne figury (trójkąty równoboczne, półkola itp.) na bokach trójkąta prostokątnego. W tym przypadku pole figury zbudowanej na przeciwprostokątnej jest równe sumie pól figur zbudowanych na nogach. Kolejne uogólnienie wiąże się z przejściem z płaszczyzny do przestrzeni. Formułuje się go w następujący sposób: kwadrat długości przekątnej równoległościanu prostokątnego jest równy sumie kwadratów jego wymiarów (długość, szerokość i wysokość). Podobne twierdzenie jest prawdziwe w przypadkach wielowymiarowych, a nawet nieskończenie wymiarowych.

Twierdzenie Pitagorasa istnieje tylko w geometrii euklidesowej. Nie występuje ani w geometrii Łobaczewskiego, ani w innych geometriach nieeuklidesowych. Nie ma odpowiednika twierdzenia Pitagorasa na kuli. Dwa południki tworzące kąt 90° i równik ograniczają na kuli równoboczny trójkąt sferyczny, którego wszystkie trzy kąty są kątami prostymi. Dla niego, nie jak w samolocie.

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, oblicz odległość między punktami a płaszczyzną współrzędnych, korzystając ze wzoru

.

Po odkryciu twierdzenia Pitagorasa pojawiło się pytanie, jak znaleźć wszystkie trójki liczb naturalnych, które mogą być bokami trójkątów prostokątnych (patrz ostatnie twierdzenie Fermata). Odkryli je pitagorejczycy, ale pewne ogólne metody znajdowania takich trójek liczb były już znane Babilończykom. Jedna z tabliczek klinowych zawiera 15 trojaczków. Wśród nich są trojaczki składające się z tak wielu duże liczby, że nie może być mowy o ich znalezieniu w drodze selekcji.

Dół Hipokratesa

Luny Hipokratesa to figury ograniczone łukami dwóch okręgów, a ponadto takie, że wykorzystując promienie i długość wspólnej cięciwy tych okręgów, używając kompasu i linijki, można z nich zbudować kwadraty o jednakowej wielkości.

Z uogólnienia twierdzenia Pitagorasa na półkola wynika, że ​​suma pól różowych grudek pokazanych na rysunku po lewej stronie jest równa powierzchni niebieskiego trójkąta. Dlatego jeśli weźmiesz trójkąt równoramienny, otrzymasz dwie dziury, których powierzchnia będzie równa połowie powierzchni trójkąta. Próbując rozwiązać problem kwadratury koła (patrz Klasyczne problemy starożytności), starożytny grecki matematyk Hipokrates (V w p.n.e.) znalazł jeszcze kilka dziur, których obszary wyrażono w postaci obszarów figur prostoliniowych.

Pełną listę lunul hipomarginalnych uzyskano dopiero w XIX-XX wieku. dzięki zastosowaniu metod teorii Galois.

twierdzenie Pitagorasa

Losy innych twierdzeń i problemów są osobliwe... Jak wytłumaczyć na przykład tak wyjątkową uwagę matematyków i miłośników matematyki twierdzeniem Pitagorasa? Dlaczego wielu z nich nie zadowoliło się już znanymi dowodami, ale znalazło własne, zwiększając liczbę dowodów do kilkuset w ciągu dwudziestu pięciu stosunkowo przewidywalnych stuleci?
Jeśli chodzi o twierdzenie Pitagorasa, niezwykłość zaczyna się od jego nazwy. Uważa się, że to nie Pitagoras ją sformułował. Wątpliwe jest także to, czy przedstawił na to dowód. Jeśli Pitagoras jest prawdziwą osobą (niektórzy nawet w to wątpią!), to najprawdopodobniej żył w VI-V wieku. pne mi. On sam nic nie pisał, nazywał siebie filozofem, co w jego rozumieniu oznaczało „dążenie do mądrości” i założył Unię Pitagorejską, której członkowie studiowali muzykę, gimnastykę, matematykę, fizykę i astronomię. Podobno był także znakomitym mówcą, o czym świadczy następująca legenda związana z jego pobytem w mieście Kroto: „Pierwsze wystąpienie Pitagorasa przed ludem w Krotonie rozpoczęło się od przemówienia do młodych mężczyzn, w którym tak bardzo surowo, ale jednocześnie tak fascynująco nakreślono obowiązki młodych mężczyzn, a starsi w mieście prosili, aby nie pozostawiać ich bez instrukcji. W tym drugim przemówieniu wskazał na legalność i czystość moralności jako podstawy rodziny; w kolejnych dwóch zwracał się do dzieci i kobiet. Konsekwencja ostatnie przemówienie, w którym szczególnie potępiał luksus, było to, że do świątyni Hery dostarczono tysiące kosztownych sukienek, gdyż żadna kobieta nie odważyła się już w nich pojawić na ulicy…” Niemniej jednak jeszcze w II w. n.e., tj. 700 lat później żyli i pracowali całkiem nieźle. prawdziwi ludzie, niezwykłych naukowców, którzy pozostali pod wyraźnym wpływem sojuszu pitagorejskiego i którzy mieli wielki szacunek dla tego, co według legendy stworzył Pitagoras.
Nie ulega też wątpliwości, że zainteresowanie twierdzeniem wynika także z faktu, że zajmuje ono jedno z twierdzeń miejsca centralne, i zadowolenie autorów materiału dowodowego, którzy pokonali trudności, które słusznie powiedział żyjący przed naszą erą rzymski poeta Quintus Horace Flaccus: „Trudno wyrazić dobrze znane fakty”.
Początkowo twierdzenie ustalało związek między polami kwadratów zbudowanych na przeciwprostokątnej i ramionach trójkąta prostokątnego:
.
Sformułowanie algebraiczne:
W trójkącie prostokątnym kwadrat długości przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów długości nóg.
Oznacza to, że oznaczając długość przeciwprostokątnej trójkąta przez c i długości nóg przez a i b: a 2 + b 2 = c 2. Oba sformułowania twierdzenia są równoważne, ale drugie sformułowanie jest bardziej elementarne i nie wymaga pojęcia pola. Oznacza to, że drugie stwierdzenie można zweryfikować, nie wiedząc nic o polu i mierząc jedynie długości boków trójkąta prostokątnego.
Odwrotne twierdzenie Pitagorasa. Dla dowolnej trójki liczb dodatnich a, b i c takich, że
a 2 + b 2 = c 2, istnieje trójkąt prostokątny z nogami a i b oraz przeciwprostokątną c.

Dowód

Obecnie w literaturze naukowej odnotowano 367 dowodów tego twierdzenia. Prawdopodobnie twierdzenie Pitagorasa jest jedynym twierdzeniem z tak imponującą liczbą dowodów. Taką różnorodność można wytłumaczyć jedynie zasadniczym znaczeniem twierdzenia dla geometrii.
Oczywiście koncepcyjnie wszystkie można podzielić na niewielką liczbę klas. Najsłynniejsze z nich: dowody metodą powierzchniową, dowody aksjomatyczne i egzotyczne (np. z wykorzystaniem równań różniczkowych).

Przez podobne trójkąty

Poniższy dowód sformułowania algebraicznego jest najprostszym z dowodów, zbudowanym bezpośrednio z aksjomatów. W szczególności nie wykorzystuje pojęcia pola figury.
Niech ABC będzie trójkątem prostokątnym o kącie prostym C. Narysuj wysokość z C i oznacz jego podstawę przez H. Trójkąt ACH jest podobny do trójkąta ABC pod dwoma kątami.
Podobnie trójkąt CBH jest podobny do ABC. Wprowadzając notację

dostajemy

Co jest równoważne

Dodając to, otrzymujemy

Lub

Dowody metodą powierzchniową

Poniższe dowody, pomimo pozornej prostoty, wcale nie są takie proste. Wszyscy posługują się właściwościami pola, których dowód jest bardziej złożony niż dowód samego twierdzenia Pitagorasa.

Dowód poprzez ekwidopełnienie

1. Umieść cztery równe trójkąty prostokątne, jak pokazano na rysunku.
2. Czworokąt o bokach c jest kwadratem, ponieważ suma dwóch kątów ostrych wynosi 90°, a kąt prosty wynosi 180°.
3. Pole całej figury jest z jednej strony równe polu kwadratu o boku (a + b), a z drugiej strony sumie pól czterech trójkątów i wewnętrzny plac.



co było do okazania

Dowody poprzez równoważność

Przykład jednego z takich dowodów pokazano na rysunku po prawej stronie, na którym kwadrat zbudowany na przeciwprostokątnej zostaje przestawiony na dwa kwadraty zbudowane na nogach.

Dowód Euklidesa

Idea dowodu Euklidesa jest następująca: spróbujmy udowodnić, że połowa pola kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej jest równa sumie połówek pól kwadratów zbudowanych na nogach, a następnie pól pól kwadratów zbudowanych na przeciwprostokątnych duży i dwa małe kwadraty są równe. Spójrzmy na rysunek po lewej stronie. Na nim zbudowaliśmy kwadraty po bokach trójkąta prostokątnego i wyciągnęliśmy promień s z wierzchołka kąta prostego C prostopadle do przeciwprostokątnej AB, przecina on zbudowany na przeciwprostokątnej kwadrat ABIK na dwa prostokąty - BHJI i HAKJ, odpowiednio. Okazuje się, że pola tych prostokątów są dokładnie równe obszarom kwadratów zbudowanych na odpowiednich nogach. Spróbujmy udowodnić, że pole kwadratu DECA jest równe polu prostokąta AHJK. W tym celu skorzystamy z obserwacji pomocniczej: Pole trójkąta o tej samej wysokości i podstawie co dany prostokąt jest równy połowie pola danego prostokąta. Jest to konsekwencja określenia pola trójkąta jako połowy iloczynu podstawy i wysokości. Z tej obserwacji wynika, że ​​pole trójkąta ACK jest równe polu trójkąta AHK (niepokazanego na rysunku), które z kolei jest równe połowie pola prostokąta AHJK. Udowodnimy teraz, że pole trójkąta ACK jest również równe połowie pola kwadratu DECA. Jedyne, co należy w tym celu zrobić, to udowodnić równość trójkątów ACK i BDA (ponieważ pole trójkąta BDA jest równe połowie pola kwadratu zgodnie z powyższą właściwością). Ta równość jest oczywista, trójkąty są równe po obu stronach i kąt między nimi. Mianowicie - AB=AK,AD=AC - równość kątów CAK i BAD łatwo udowodnić metodą ruchu: obracamy trójkąt CAK o 90° przeciwnie do ruchu wskazówek zegara, wtedy jest oczywiste, że odpowiednie boki dwóch trójkątów w pytanie będzie zbieżne (ponieważ kąt przy wierzchołku kwadratu wynosi 90°). Rozumowanie równości pól kwadratu BCFG i prostokąta BHJI jest całkowicie podobne. W ten sposób udowodniliśmy, że pole kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej składa się z pól kwadratów zbudowanych na nogach.

Dowód Leonarda da Vinci

Głównymi elementami dowodu są symetria i ruch.

Rozważmy rysunek, jak widać z symetrii, odcinek CI przecina kwadrat ABHJ na dwie identyczne części (ponieważ trójkąty ABC i JHI są równe w budowie). Stosując obrót o 90 stopni w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, widzimy równość zacieniowanych figur CAJI i GDAB. Teraz jest jasne, że pole zacienionej przez nas figury jest równe sumie połowy pól kwadratów zbudowanych na nogach i pola pierwotnego trójkąta. Z drugiej strony jest on równy połowie pola kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej plus pole pierwotnego trójkąta. Ostatni krok w dowodzie pozostawia się czytelnikowi.