Metoda interwałowa, przykłady, rozwiązania. Rozwiązywanie nierówności racjonalnych metodą przedziałową

Jak rozwiązywać nierówności metodą przedziałową (algorytm z przykładami)

Przykład . (zadanie z OGE) Rozwiąż nierówność metodą interwałową \((x-7)^2< \sqrt{11}(x-7)\)
Rozwiązanie:

Odpowiedź : \((7;7+\sqrt(11))\)

Przykład . Rozwiąż nierówność metodą interwałową \(≥0\)
Rozwiązanie:

\(\frac((4-x)^3 (x+6)(6-x)^4)((x+7,5))\)\(≥0\)		Tutaj na pierwszy rzut oka wszystko wydaje się normalne, a nierówności początkowo zredukowane do… właściwy rodzaj. Ale tak nie jest - w końcu w pierwszym i trzecim nawiasie licznika x jest ze znakiem minus. Przekształcamy nawiasy, biorąc pod uwagę fakt, że czwarty stopień jest parzysty (to znaczy usunie znak minus), a trzeci jest nieparzysty (to znaczy go nie usunie). \((4-x)^3=(-x+4)^3=(-(x-4))^3=-(x-4)^3\) \((6-x)^4=(-x+6)^4=(-(x-6))^4=(x-6)^4\) Lubię to. Teraz zwracamy nawiasy „na miejscu” już przekonwertowane.
\(\frac(-(x-4)^3 (x+6)(x-6)^4)((x+7,5))\)\(≥0\)		Teraz wszystkie nawiasy wyglądają tak, jak powinny ( pierwsze przychodzi garnitur bez znaku, a dopiero potem numer). Ale przed licznikiem był minus. Usuwamy ją mnożąc nierówność przez \(-1\), nie zapominając o odwróceniu znaku porównania
\(\frac((x-4)^3 (x+6)(x-6)^4)((x+7,5))\)\(≤0\)		Gotowy. Teraz nierówność wygląda dobrze. Możesz użyć metody interwałowej.
\(x=4;\) \(x=-6;\) \(x=6;\) \(x=-7,5\)		Umieśćmy punkty na osi, znaki i zamalujmy niezbędne luki.
		W przedziale od \(4\) do \(6\) znak nie musi być zmieniany, ponieważ nawias \((x-6)\) jest równy (patrz paragraf 4 algorytmu) . Flaga będzie przypomnieniem, że szóstka to także rozwiązanie nierówności. Zapiszmy odpowiedź.

Odpowiedź : \((-∞;7,5]∪[-6;4]∪\lewo\(6\prawo\)\)

Przykład.(Zlecenie z OGE) Rozwiąż nierówność metodą przedziałową \(x^2 (-x^2-64)≤64(-x^2-64)\)
Rozwiązanie:

\(x^2 (-x^2-64)≤64(-x^2-64)\)		Lewa i prawa strona są takie same - to oczywiście nie jest przypadkowe. Pierwszym pragnieniem jest dzielenie przez \(-x^2-64\), ale jest to błąd, ponieważ istnieje szansa na utratę korzenia. Zamiast tego przenieś \(64(-x^2-64)\) do lewa strona
\(x^2 (-x^2-64)-64(-x^2-64)≤0\)
\((-x^2-64)(x^2-64)≤0\)		Usuń minus z pierwszego nawiasu i rozłóż drugi
\(-(x^2+64)(x-8)(x+8)≤0\)		Zauważ, że \(x^2\) jest albo zerem, albo większym od zera. Oznacza to, że \(x^2+64\) jest jednoznacznie dodatnie dla dowolnej wartości x, to znaczy, że to wyrażenie w żaden sposób nie wpływa na znak po lewej stronie. Dlatego możemy bezpiecznie podzielić obie części nierówności za pomocą tego wyrażenia. Podzielmy również nierówność przez \(-1\), aby pozbyć się minusa.
\((x-8)(x+8)≥0\)		Teraz możesz zastosować metodę interwałową
\(x=8;\) \(x=-8\)		Zapiszmy odpowiedź

Odpowiedź : \((-∞;-8]∪ ∪ { 3 } ∪ [ 4 , 7) ∪ { 10 } . Oznacza to, że musimy oznaczyć punkty o współrzędnych − 5 , 1 , 3 , 4 , 7 I 10 . zwrotnica − 5 i 7 są pokazane jako puste, resztę można zaznaczyć kredką w celu odróżnienia ich od zer funkcji.

Zera funkcji w przypadku nierówności nieścisłych zaznaczono kropkami zwykłymi (zacieniowanymi), a dla nierówności ścisłych kropkami pustymi. Jeżeli zera pokrywają się z punktami granicznymi lub poszczególnymi punktami dziedziny definicji, to można je przekolorować na czarno, czyniąc je pustymi lub wypełnionymi, w zależności od rodzaju nierówności.

Rekord odpowiedzi to zestaw liczbowy, który zawiera:

kreskowane luki;
oddzielić punkty dziedziny znakiem plus, jeśli mamy do czynienia z nierównością, której znak jest > lub ≥ lub znakiem minus, jeśli w nierówności występują znaki< или ≤ .

Teraz stało się jasne, że algorytm, który przedstawiliśmy na samym początku tematu, jest szczególnym przypadkiem algorytmu zastosowania uogólnionej metody przedziałowej.

Rozważ przykład zastosowania uogólnionej metody przedziałowej.

Przykład 3

Rozwiąż nierówność x 2 + 2 x - 24 - 3 4 x - 3 x - 7< 0 .

Rozwiązanie

Wprowadzamy funkcję f taką, że f (x) = x 2 + 2 x - 24 - 3 4 x - 3 x - 7 . Znajdź dziedzinę funkcji F:

x 2 + 2 x - 24 ≥ 0 x ≠ 7 D (f) = (- ∞ , - 6 ] ∪ [ 4 , 7) ∪ (7 , + ∞) .

Teraz znajdźmy zera funkcji. Aby to zrobić, rozwiążemy irracjonalne równanie:

x 2 + 2 x - 24 - 3 4 x - 3 = 0

Otrzymujemy pierwiastek x = 12 .

Do wyznaczenia punktów granicznych na osi współrzędnych używamy kolor pomarańczowy. Punkty - 6, 4 zostaną wypełnione, a 7 pozostanie puste. Otrzymujemy:

Zero funkcji zaznaczamy pustą czarną kropką, ponieważ pracujemy ze ścisłą nierównością.

Znaki określamy na oddzielnych interwałach. Aby to zrobić, weź jeden punkt z każdego przedziału, na przykład 16 , 8 , 6 I − 8 i obliczyć w nich wartość funkcji F:

f (16) = 16 2 + 2 16 - 24 - 3 4 16 - 3 16 - 7 = 264 - 15 9 > 0 f (8) = 8 2 + 2 8 - 24 - 3 4 8 - 3 8 - 7 = 56 - 9< 0 f (6) = 6 2 + 2 · 6 - 24 - 3 4 · 6 - 3 6 - 7 = 24 - 15 2 - 1 = = 15 - 2 · 24 2 = 225 - 96 2 >0 f (- 8) \u003d - 8 2 + 2 (- 8) - 24 - 3 4 (- 8) - 3 - 8 - 7 \u003d 24 + 3 - 15< 0

Umieszczamy znaki, które właśnie zdefiniowaliśmy, i nakładamy kreskowanie na przerwy ze znakiem minus:

Odpowiedzią będzie suma dwóch przedziałów ze znakiem "-": (− ∞ , − 6 ] ∪ (7 , 12) .

W odpowiedzi zamieściliśmy punkt o współrzędnej - 6 . Nie jest to zero funkcji, którego nie uwzględnilibyśmy w odpowiedzi przy rozwiązywaniu ścisłej nierówności, ale punkt graniczny dziedziny definicji, która mieści się w dziedzinie definicji. Wartość funkcji w tym momencie jest ujemna, co oznacza, że spełnia nierówność.

W odpowiedzi nie uwzględniliśmy punktu 4, podobnie jak nie uwzględniliśmy całego przedziału [4, 7]. W tym momencie, podobnie jak na całym określonym przedziale, wartość funkcji jest dodatnia, co nie spełnia rozwiązywanej nierówności.

Zapiszmy to jeszcze raz dla lepszego zrozumienia: kolorowe kropki muszą być zawarte w odpowiedzi w następujących przypadkach:

te kropki są częścią kreskowanej luki,
punkty te są odrębnymi punktami dziedziny funkcji, wartościami funkcji, w których spełniają rozwiązywaną nierówność.

Odpowiedź: (− ∞ , − 6 ] ∪ (7 , 12) .

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter

Najpierw kilka tekstów, aby wyczuć problem, który rozwiązuje metoda interwałowa. Załóżmy, że musimy rozwiązać następującą nierówność:

(x − 5)(x + 3) > 0

Jakie są opcje? Pierwszą rzeczą, która przychodzi do głowy większości uczniów, są zasady „plus razy plus daje plus” i „minus razy minus daje plus”. Dlatego wystarczy rozważyć przypadek, w którym oba nawiasy są dodatnie: x − 5 > 0 i x + 3 > 0. Następnie rozważymy również przypadek, w którym oba nawiasy są ujemne: x − 5< 0 и x + 3 < 0. Таким образом, наше неравенство свелось к совокупности двух систем, которая, впрочем, легко решается:

Bardziej zaawansowani uczniowie będą pamiętać (być może), że po lewej stronie jest funkcja kwadratowa, którego wykres jest parabolą. Co więcej, parabola ta przecina oś OX w punktach x = 5 i x = -3. Do dalszej pracy musisz otworzyć wsporniki. Mamy:

x 2 − 2x − 15 > 0

Teraz jest jasne, że gałęzie paraboli są skierowane w górę, ponieważ współczynnik a = 1 > 0. Spróbujmy narysować diagram tej paraboli:

Funkcja jest większa od zera, gdy przechodzi nad osią OX. W naszym przypadku są to przedziały (−∞ −3) i (5; +∞) – oto odpowiedź.

Należy pamiętać, że obraz pokazuje dokładnie schemat funkcji, a nie jej harmonogram. Ponieważ dla prawdziwego wykresu trzeba policzyć współrzędne, obliczyć offsety i inne bzdury, których teraz w ogóle nie potrzebujemy.

Dlaczego te metody są nieskuteczne?

Rozważyliśmy więc dwa rozwiązania tej samej nierówności. Obie okazały się bardzo uciążliwe. Pojawia się pierwsza decyzja - pomyśl o tym! to zbiór systemów nierówności. Drugie rozwiązanie również nie jest bardzo proste: musisz zapamiętać wykres paraboli i kilka innych drobnych faktów.

To była bardzo prosta nierówność. Ma tylko 2 mnożniki. Teraz wyobraź sobie, że nie będzie 2 mnożników, ale co najmniej 4. Na przykład:

(x − 7)(x − 1)(x + 4)(x + 9)< 0

Jak rozwiązać taką nierówność? Przejrzyj wszystkie możliwe kombinacje zalet i wad? Tak, szybciej zaśniemy, niż znajdziemy rozwiązanie. Rysowanie wykresu również nie wchodzi w grę, ponieważ nie jest jasne, jak taka funkcja zachowuje się na płaszczyźnie współrzędnych.

Dla takich nierówności potrzebny jest specjalny algorytm rozwiązania, który rozważymy dzisiaj.

Jaka jest metoda interwałowa

Metoda przedziałowa to specjalny algorytm przeznaczony do rozwiązywania złożonych nierówności postaci f (x) > 0 i f (x)< 0. Алгоритм состоит из 4 шагов:

Rozwiąż równanie f (x) \u003d 0. W ten sposób zamiast nierówności otrzymujemy równanie, które jest znacznie łatwiejsze do rozwiązania;
Zaznacz wszystkie uzyskane korzenie na linii współrzędnych. W ten sposób linia prosta zostanie podzielona na kilka przedziałów;
Znajdź znak (plus lub minus) funkcji f (x) na skrajnym prawym przedziale. Aby to zrobić, wystarczy podstawić w f (x) dowolną liczbę, która będzie na prawo od wszystkich zaznaczonych pierwiastków;
Zaznacz znaki na innych interwałach. Aby to zrobić, wystarczy pamiętać, że przechodząc przez każdy korzeń, znak się zmienia.

To wszystko! Potem pozostaje tylko wypisać interesujące nas interwały. Oznaczono je znakiem „+”, jeśli nierówność była postaci f(x) > 0, lub znakiem „−”, jeśli nierówność była postaci f(x)< 0.

Na pierwszy rzut oka może się wydawać, że metoda interwałowa to jakaś cyna. Ale w praktyce wszystko będzie bardzo proste. Potrzeba trochę praktyki - i wszystko stanie się jasne. Spójrz na przykłady i przekonaj się sam:

Zadanie. Rozwiąż nierówność:

(x − 2)(x + 7)< 0

Pracujemy nad metodą interwałów. Krok 1: Zastąp nierówność równaniem i rozwiąż je:

(x − 2)(x + 7) = 0

Iloczyn jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy przynajmniej jeden z czynników jest równy zero:

x − 2 = 0 ⇒ x = 2;
x + 7 = 0 ⇒ x = -7.

Ma dwa korzenie. Przejdź do kroku 2: zaznacz te korzenie na linii współrzędnych. Mamy:

Teraz krok 3: znajdujemy znak funkcji na skrajnym prawym przedziale (na prawo od zaznaczonego punktu x = 2). Aby to zrobić, weź dowolną liczbę, która więcej numeru x = 2. Weźmy na przykład x = 3 (ale nikt nie zabrania x = 4, x = 10, a nawet x = 10 000). Otrzymujemy:

f(x) = (x − 2)(x + 7);
x=3;
f (3) = (3 − 2)(3 + 7) = 1 10 = 10;

Otrzymujemy, że f (3) = 10 > 0, więc wstawiamy znak plus w skrajnym prawym przedziale.

Przechodzimy do ostatniego punktu – należy zanotować znaki na pozostałych interwałach. Pamiętaj, że przechodząc przez każdy korzeń, znak musi się zmienić. Na przykład na prawo od pierwiastka x = 2 znajduje się plus (zapewniliśmy to w poprzednim kroku), więc po lewej musi być minus.

Ten minus rozciąga się na cały przedział (−7; 2), więc jest minus na prawo od pierwiastka x = -7. Dlatego na lewo od pierwiastka x = -7 znajduje się plus. Pozostaje zaznaczyć te znaki na osi współrzędnych. Mamy:

Wróćmy do pierwotnej nierówności, która wyglądała tak:

(x − 2)(x + 7)< 0

Więc funkcja musi być mniejsza od zera. Oznacza to, że interesuje nas znak minus, który występuje tylko na jednym przedziale: (−7; 2). To będzie odpowiedź.

Zadanie. Rozwiąż nierówność:

(x + 9)(x − 3)(1 − x )< 0

Krok 1: Zrównaj lewą stronę do zera:

(x + 9)(x - 3)(1 - x ) = 0;
x + 9 = 0 ⇒ x = -9;
x − 3 = 0 ⇒ x = 3;
1 − x = 0 ⇒ x = 1.

Pamiętaj: iloczyn wynosi zero, gdy przynajmniej jeden z czynników wynosi zero. Dlatego mamy prawo zrównać do zera każdy nawias z osobna.

Krok 2: zaznacz wszystkie korzenie na linii współrzędnych:

Krok 3: znajdź znak najbardziej prawej luki. Bierzemy dowolną liczbę większą niż x = 1. Na przykład możemy przyjąć x = 10. Mamy:

f (x) \u003d (x + 9) (x - 3) (1 - x);
x=10;
f (10) = (10 + 9)(10 - 3)(1 - 10) = 19 7 (-9) = - 1197;
f(10) = -1197< 0.

Krok 4: Umieść pozostałe znaki. Pamiętaj, że przechodząc przez każdy korzeń, znak się zmienia. W rezultacie nasze zdjęcie będzie wyglądało tak:

To wszystko. Pozostaje tylko napisać odpowiedź. Spójrz jeszcze raz na pierwotną nierówność:

(x + 9)(x − 3)(1 − x )< 0

To jest nierówność postaci f (x)< 0, т.е. нас интересуют интервалы, отмеченные знаком минус. А именно:

x ∈ (−9; 1) ∪ (3; +∞)

To jest odpowiedź.

Uwaga o znakach funkcyjnych

Praktyka pokazuje, że największe trudności w metodzie interwałowej pojawiają się na dwóch ostatnich krokach, tj. podczas umieszczania znaków. Wielu uczniów zaczyna się mylić: jakie liczby wziąć i gdzie umieścić znaki.

Aby ostatecznie zrozumieć metodę interwałową, rozważ dwie uwagi, na których jest zbudowana:

Funkcja ciągła zmienia znak tylko w punktach gdzie jest równe zero. Takie punkty rozbijają oś współrzędnych na kawałki, w obrębie których znak funkcji nigdy się nie zmienia. Dlatego rozwiązujemy równanie f (x) \u003d 0 i zaznaczamy znalezione pierwiastki na linii prostej. Znalezione liczby są punktami „granicznymi” oddzielającymi plusy od minusów.
Aby znaleźć znak funkcji na dowolnym przedziale, wystarczy podstawić do funkcji dowolną liczbę z tego przedziału. Na przykład dla przedziału (-5; 6) możemy przyjąć x = -4, x = 0, x = 4, a nawet x = 1,29374, jeśli chcemy. Dlaczego to jest ważne? Tak, ponieważ wielu uczniów zaczyna dręczyć wątpliwości. Na przykład, co jeśli dla x = −4 dostaniemy plus, a dla x = 0 dostaniemy minus? Nic takiego się nigdy nie wydarzy. Wszystkie punkty w tym samym przedziale dają ten sam znak. Pamiętaj to.

To wszystko, co musisz wiedzieć o metodzie interwałowej. Oczywiście rozebraliśmy go w większości prosta wersja. Jest więcej złożone nierówności- nieścisłe, ułamkowe i z powtarzającymi się korzeniami. Dla nich można również zastosować metodę interwałową, ale to temat na osobną dużą lekcję.

Teraz chciałbym przeanalizować zaawansowaną sztuczkę, która drastycznie upraszcza metodę interwałową. Dokładniej, uproszczenie dotyczy tylko trzeciego kroku - obliczenia znaku na skrajnym prawym fragmencie linii. Z jakiegoś powodu ta technika nie jest stosowana w szkołach (przynajmniej nikt mi tego nie wyjaśnił). Ale na próżno - w rzeczywistości ten algorytm jest bardzo prosty.

Tak więc znak funkcji znajduje się na prawym fragmencie osi numerycznej. Ten kawałek ma postać (a; +∞), gdzie a jest największym pierwiastkiem równania f (x) = 0. Aby nie wysadzić naszych mózgów, rozważmy konkretny przykład:

(x − 1)(2 + x )(7 − x )< 0;
f (x) \u003d (x - 1) (2 + x) (7 - x);
(x − 1) (2 + x )(7 − x ) = 0;
x − 1 = 0 ⇒ x = 1;
2 + x = 0 ⇒ x = -2;
7 − x = 0 ⇒ x = 7;

Mamy 3 korzenie. Podajemy je w porządku rosnącym: x = −2, x = 1 i x = 7. Oczywiście największym pierwiastkiem jest x = 7.

Dla tych, którym łatwiej jest rozumować graficznie, zaznaczę te pierwiastki na linii współrzędnych. Zobaczmy co się stanie:

Wymagane jest znalezienie znaku funkcji f(x) na skrajnym prawym przedziale, tj. na (7; +∞). Ale jak już zauważyliśmy, aby określić znak, możesz wziąć dowolną liczbę z tego przedziału. Na przykład możesz wziąć x = 8, x = 150 itd. A teraz - ta sama technika, której nie uczy się w szkołach: weźmy nieskończoność jako liczbę. Dokładniej, plus nieskończoność, tj. +∞.

"Jesteś naćpany? Jak możesz zastąpić nieskończoność funkcją? być może pytasz. Ale pomyśl o tym: nie potrzebujemy wartości samej funkcji, potrzebujemy tylko znaku. Zatem np. wartości f (x) = -1 i f (x) = -938 740 576 215 oznaczają to samo: funkcja jest ujemna na tym przedziale. Dlatego wszystko, co jest od ciebie wymagane, to znalezienie znaku, który występuje w nieskończoności, a nie wartości funkcji.

W rzeczywistości zastąpienie nieskończoności jest bardzo proste. Wróćmy do naszej funkcji:

f(x) = (x − 1)(2 + x)(7 − x)

Wyobraź sobie, że x jest bardzo duża liczba. Miliard, a nawet bilion. Zobaczmy teraz, co dzieje się w każdym nawiasie.

Pierwszy nawias: (x − 1). Co się stanie, jeśli odejdziesz jeden od miliarda? Wynik będzie liczbą niewiele różniącą się od miliarda, a liczba ta będzie dodatnia. Podobnie z drugim nawiasem: (2 + x). Jeśli dodamy miliard do dwóch, otrzymamy miliard kopiejek - to liczba dodatnia. Wreszcie trzeci nawias: (7 − x ). Tutaj będzie minus miliard, z którego nędzny kawałek w postaci siódemki został „odgryziony”. Tych. wynikowa liczba nie będzie się zbytnio różnić od minus miliarda - będzie ujemna.

Pozostaje znaleźć znak całej pracy. Ponieważ mieliśmy plus w pierwszym nawiasie i minus w ostatnim, otrzymujemy następującą konstrukcję:

(+) · (+) · (−) = (−)

Ostatni znak to minus! Nie ma znaczenia, jaka jest wartość samej funkcji. Najważniejsze, że ta wartość jest ujemna, tj. w skrajnym prawym przedziale znajduje się znak minus. Pozostaje dokończyć czwarty krok metody interwałowej: ułożyć wszystkie znaki. Mamy:

Pierwotna nierówność wyglądała tak:

(x − 1)(2 + x )(7 − x )< 0

Dlatego interesują nas interwały oznaczone minusem. Piszemy odpowiedź:

x ∈ (−2; 1) ∪ (7; +∞)

To cała sztuczka, którą chciałem opowiedzieć. Podsumowując, jest jeszcze jedna nierówność, którą rozwiązuje się metodą przedziałową z wykorzystaniem nieskończoności. Aby wizualnie skrócić rozwiązanie, nie będę pisał numerów kroków i szczegółowych komentarzy. Napiszę tylko to, co naprawdę trzeba napisać przy rozwiązywaniu rzeczywistych problemów:

Zadanie. Rozwiąż nierówność:

x (2x + 8)(x − 3) > 0

Zastępujemy nierówność równaniem i rozwiązujemy ją:

x (2x + 8)(x − 3) = 0;
x = 0;
2x + 8 = 0 ⇒ x = -4;
x − 3 = 0 ⇒ x = 3.

Zaznaczamy wszystkie trzy pierwiastki na linii współrzędnych (natychmiast znakami):

Po prawej stronie osi współrzędnych znajduje się plus, ponieważ funkcja wygląda tak:

f(x) = x(2x + 8)(x − 3)

A jeśli podstawimy nieskończoność (na przykład miliard), otrzymamy trzy dodatnie nawiasy. Ponieważ oryginalne wyrażenie musi być większe od zera, interesują nas tylko plusy. Pozostaje napisać odpowiedź:

x ∈ (−4; 0) ∪ (3; +∞)