Nazywa się je falami spójnymi. Interferencja fal. Zasada superpozycji fal. Spójne fale

Fala monochromatyczna jest falą ściśle harmoniczną (sinusoidalną) o stałej częstotliwości, amplitudzie i fazie początkowej w czasie.

lub w rozpatrywanym przypadku ten sam kierunek oscylacji wektorów 1 i E=E 1 +E 2 . (3)

Podnosząc do kwadratu równość (3) biorąc pod uwagę (1) i uśredniając w czasie, otrzymujemy

ja=ja 1 +ja 2 + 2 (4)

Gdzie I 1 i I 2 - odpowiednio intensywności pierwszej i drugiej fali [patrz. (2.20)].

Maksymalna intensywność Ja maks. = I 1 +ja 2 +2 będzie podlegać

Gdy Na I 1 =Ja 2 =Ja 0 intensywność przy maksimach wzrośnie 4-krotnie ( Maksymalnie = 4I 0).

Minimalna intensywność Ja min = Ja 1 + Ja 2 -2 będzie podlegać

Gdy Na I 1 =Ja 2 =Ja 0 Ja min = 0, te. światło + światło = ciemność.

W konsekwencji, gdy w przestrzeni dodamy dwie (lub kilka) fal świetlnych, w niektórych miejscach mogą pojawić się maksima intensywności, a w innych minima, tj. jasne i ciemne obszary, paski.

Powstały wzór będzie stabilny (tj. będzie się utrzymywał w czasie), gdy nałożą się na siebie spójne fale, tj. fale emitowane przez źródła spójne.

Spójne fale. Czas i długość koherencji

Dwie fale [zob (1)] lub kilka fal jest całkowicie spójnych (dopasowanych), jeśli ich częstotliwości są takie same, to amplitudy i różnica faz są stałe, tj.

w 1 =w 2 ,mi 10 = stała, E 20 = stała, j 2 -J 1 = stała (7)

Warunek ten spełniają fale monochromatyczne (1), które są nieograniczone w przestrzeni i czasie.

Z codziennego doświadczenia wiadomo, że w przypadku nałożenia światła z dwóch niezależnych (niekoherentnych) źródeł promieniowania np. żarówki, nigdy nie jest możliwe zaobserwowanie zjawiska interferencji. W tym przypadku J 2 -J 1 zmienia się w czasie i podczas obserwacji j 2 -j 1 )> = 0 i wynikająca z tego intensywność ja = ja 1 +ja 2, tj. równa sumie natężeń nałożonych na siebie fal świetlnych, a nie i nie .

Wyjaśnia to mechanizm emisji światła przez atomy źródła promieniowania. W paragrafie 2.4 wykazano, że czas trwania procesu emisji światła przez atom T» 10 -8 Z. W tym czasie wzbudzony atom, wydawszy nadmiar energii na promieniowanie, powraca do stanu normalnego (niewzbudzonego) i jego emisja światła ustaje. Następnie, po pewnym czasie, atom może ponownie zostać wzbudzony i zacząć emitować światło.

Taka przerywana emisja światła przez atomy w postaci pojedynczych krótkotrwałych impulsów – ciągów fal – jest charakterystyczna dla każdego źródła światła. Każdy pociąg ma ograniczony zasięg w przestrzeni Dx = ct i wynosi 4 - 16 m w zakresie widzialnym.

W wyniku tego, a także ze względu na zmniejszenie amplitudy fali, ciąg fal różni się od fali monochromatycznej i można go przedstawić jako zbiór (sumę) fal monochromatycznych, których częstotliwości kołowe mieszczą się w zakresie od w-Dw/2 do w+ Dw/2. Można to wykazać

Rzeczywista fala emitowana przez ograniczony czas i obejmująca ograniczony obszar przestrzeni z pewnością nie jest monochromatyczna. Jego spektrum częstotliwości obejmuje częstotliwości od w-Dw/2 zanim w+Dw/2.

Przedział czasowy kiedy, podczas którego różnica faz oscylacji odpowiada falom o częstotliwościach w-Dw/2 i w + Dw/2 zmienia się na P, nazywany jest okresem koherencji fali niemonochromatycznej

. (9)

Nazwa ta wynika z faktu, że falę niemonochromatyczną można w przybliżeniu uznać za spójną z częstotliwością w przez pewien okres czasu Dt£ kiedy.

Należy pamiętać, że dla fali monochromatycznej Dw I Dn są równe zeru i kiedy®¥.

Dystans kiedy, po którym fala będzie się rozchodzić w czasie koherencji, nazywa się długością koherencji kiedy= w trybik. (10)

W przypadku widzialnego światła słonecznego o widmie częstotliwości od 4 × 10 14 do 8 × 10 14 Hz ( l= 0,75 µm i 0,375 µm odpowiednio), szerokość widma Dw = 2pDn = 2P(8-4) × 10 14 = 8 P×10 14 s -1 i zgodnie z (9), (10) t tryb = 2,5 × 10-15 Z,kiedy= 0,75 × 10-6 M. (11)

Należy pamiętać, że w przypadku laserów ciągłych kiedy osiąga 10 -2 s, i kiedy » Jednak ze względu na niejednorodność atmosfery możliwe jest zaobserwowanie interferencji przy różnicy tras wynoszącej kilka kilometrów.

Spójność przestrzenna

Wraz ze spójnością czasową wprowadzono pojęcie spójności przestrzennej, aby opisać spójne właściwości fal w płaszczyźnie prostopadłej do kierunku ich propagacji.

Jedną z jego cech jest promień spójności r kiedy, charakteryzujący odległość, z której można uzyskać wyraźny obraz interferencyjny ( r kiedy to nie jest promień okręgu).

Praca l tryb r tryb 2 = V kiedy nazywa się objętością koherencji, w obrębie której losowa faza fali zmienia się o wielkość nieprzekraczającą P.

Metody wytwarzania fal spójnych

Aby uzyskać spójne fale świetlne przy użyciu konwencjonalnych (nielaserowych) źródeł, należy zastosować metoda separacji światła z jednego źródła na dwa lub więcej systemów fal (wiązek światła). Każda z nich reprezentuje promieniowanie pochodzące od tych samych atomów źródła, dzięki czemu fale te są ze sobą spójne i nakładają się na siebie.

Światło można podzielić na spójne wiązki za pomocą ekranów i szczelin, zwierciadeł i ciał załamujących. Przyjrzyjmy się niektórym z tych metod.

Metoda Younga

Źródłem światła jest jasno oświetlona szczelina S, z którego fala świetlna pada na dwie wąskie szczeliny S 1 i S 2, równoległe szczeliny S.

Zatem luki S 1 i S 2 pełnią rolę źródeł spójnych. Na ekranie mi(region Słońce) obserwuje się wzór interferencyjny w postaci naprzemiennych jasnych i ciemnych pasków.

Bipryzmat Fresnela.

Składa się z dwóch identycznych pryzmatów złożonych u podstaw. Światło ze źródła S załamuje się w obu pryzmatach, w wyniku czego promienie rozchodzą się za pryzmatem, jakby emanowały z wyimaginowanych źródeł S 1 i S 2, które są spójne. Więc na ekranie mi(region Słońce) obserwuje się wzór interferencyjny.

Długość ścieżki optycznej i różnica ścieżek

Niech z jednego źródła powstaną dwie spójne fale (patrz 3.1). S, ale na ekran przechodzą różne długości ścieżek geometrycznych l 1 i l 2 w ośrodkach o bezwzględnych współczynnikach załamania światła N 1 i N 2, odpowiednio (ryc. 4). Następnie fazy tych fal [patrz (1) i (2.9)] wt-j 1 = wt - k 1 l 1 +j 0 , wt - j 2 = wt - k 2 l 1 +j 0 i różnicę faz

J 2 -J 1 = k 2 l 2 -k 1 l 1 =, (12)

Gdzie l 1 = l/n 1 , l 2 = l/n 2 - długości fal w ośrodkach, których współczynniki załamania światła N 1 i N 2 odpowiednio, l- długość fali w próżni.

Iloczyn długości ścieżki geometrycznej l fali świetlnej do bezwzględnego współczynnika załamania światła N nazywaną długością ścieżki optycznej fali.

Rozmiar (13)

nazywaną różnicą optyczną w drodze fal zakłócających. Biorąc to pod uwagę, różnica faz jot 2 - jot 1 =. (14)

Maksymalne natężenie będzie obserwowane o godz J 2 -J 1 = 2po południu[cm. (5)], kiedy

=ml, , (15)

te. gdy różnica dróg optycznych jest równa całkowitej liczbie długości fal. Jest to maksymalny warunek zakłóceń.

Minimalne natężenie będzie obserwowane o godz [cm. (6)], kiedy

=, (16)

te. gdy różnica dróg optycznych jest równa nieparzystej liczbie półfal (l/2). Jest to minimalny warunek wystąpienia zakłóceń.

Monochromatyczną płaską falę elektromagnetyczną opisuje się następującym wyrażeniem na natężenie pola w dowolnym punkcie przestrzeni, określone przez wektor promienia R:

Gdzie mi 0, i są wartościami stałymi. Jednakże każda rzeczywista fala świetlna powstaje w wyniku superpozycji oscylacji o różnych częstotliwościach zawartych w skończonym przedziale. Zgodnie ze wzorem na rozproszenie częstotliwości odpowiada rozproszeniu wartości liczby falowej . Należy zauważyć, że rozprzestrzenianie się wektora falowego można także powiązać z rozproszeniem kierunków propagacji fali, które charakteryzuje się wielkością wektora .

Najpierw omówmy spójność czasowa, co jest związane z rozprzestrzenianiem się częstotliwości. Rozważmy przypadek superpozycji w pewnym punkcie przestrzeni dwóch drgań światła o nieco różnych częstotliwościach:

Termin zakłócający

zgodnie z przyjętymi założeniami będzie zależeć od różnicy czasu i częstotliwości

Każde urządzenie optyczne, za pomocą którego obserwuje się interferencję światła (klisza fotograficzna, oko ludzkie itp.) ma pewną bezwładność, która charakteryzuje się czasem potrzebnym urządzeniu na zarejestrowanie wzoru interferencji. W tym przypadku urządzenie optyczne rejestruje obraz uśredniony w pewnym okresie czasu. Jeśli w tym czasie cosinus w terminie interferencji

z równym prawdopodobieństwem pobiera wszystkie wartości z –1 zanim +1 , to średnia wartość składnika zakłócającego będzie równa zeru. Wzór zakłóceń nie będzie widoczny, to znaczy intensywność zarejestrowana przez urządzenie będzie równa kwocie intensywności tworzone w danym punkcie przez każdą falę z osobna. Jeśli wartość cosinusa pozostaje praktycznie niezmieniona w czasie, urządzenie zarejestruje zakłócenia. Zatem, aby scharakteryzować spójne właściwości fal świetlnych, wprowadzamy czas spójności, który jest zdefiniowany jako czas, w którym nastąpiła zmiana różnica w fazach fale nakładające się w danym punkcie przestrzeni osiągają tę wartość :

urządzenie nie wykryje zakłóceń i jeśli

przyrząd wykryje wzór zakłóceń. W czasie koherencji fala rozchodzi się na odległość

zwany długość spójności.

Do obserwacji wzoru interferencyjnego wykorzystuje się zwykle wiązki światła pochodzące z tego samego źródła, lecz przeszły one na różne odległości do punktu obserwacyjnego. Oznacza to, że fale emitowane przez źródło w inny czas. Jeżeli częstotliwość źródła „pływa”, to przy różnicy w drodze fal do punktu obserwacyjnego różnica w czasie emisji fal będzie wynosić , co oznacza, że ​​nie da się zaobserwować interferencji.

Jako przykład podajemy typowe wartości długości koherencji dla naturalnego źródła optycznego z filtrem wąskopasmowym o szerokości pasma w pobliżu środka zakresu widzialnego ( nm) oraz dla lasera gazowego – źródło promieniowania optycznego o dużej spójności czasowej, dla którego szerokość pasma jest o dwa do trzech rzędów wielkości mniejsza. W pierwszym przypadku oszacowanie długości koherencji daje wartość

a w drugim przypadku - dla lasera -

Zatem obserwacja obrazu interferencyjnego z konwencjonalnych źródeł optycznych możliwa jest jedynie przy niewielkich różnicach w drogach fal, np. podczas interferencji w cienkich warstwach, natomiast zastosowanie promieniowania laserowego znacznie upraszcza to zadanie.

W wyidealizowanym przypadku, gdy nakładają się na siebie sygnały monochromatyczne o ściśle ustalonych i równych częstotliwościach (), czas i długość koherencji stają się nieskończenie duże, dlatego naturalnie w takich warunkach wzór interferencji będzie obserwowany przy wszelkich różnicach ścieżek.

Zmiana różnicy fazowej oscylacji może nastąpić nie tylko na skutek rozproszenia częstotliwości, ale także na skutek rozproszenia wektorów falowych. Dlatego też wraz ze spójnością czasową, wyznaczaną przez czas koherencji, wprowadza się pojęcie spójność przestrzenna. Pojawienie się w pewnym punkcie przestrzeni drgań wzbudzanych przez fale o całym zestawie wektorów o różnym kierunku następuje, jeśli fale te są emitowane przez różne części rozciągniętego źródła światła.

Dla pewności rozważmy świetlisty dysk AB, o co chodzi M widoczne pod kątem (ryc. 4.1)

Ryż. 4.1. Spójność przestrzenna światła z rozszerzonego źródła:
kąt charakteryzuje rozkład wektorów falowych Ak

Narożnik charakteryzuje rozprzestrzenianie się wektorów falowych . Zatem w fazie fala elektromagnetyczna

należy zastąpić wyrażenia:

gdzie jest rzutem wektora promienia R do kierunku wektora . We wzorach (4.7) i poniżej zakłada się, że . Wektor, jak widać na rysunku, można uznać za równoległy do ​​​​rozciągniętego źródła i odpowiednio do czoła fali.

Jesteśmy otoczeni obiektami o określonych rozmiarach; wiemy dokładnie, gdzie kończy się nasze ciało i mamy pewność, że na jednym krześle wygodnie usiądzie tylko jedna osoba. Jednak w świecie rzeczy bardzo małych, czyli w świecie mikrokwantowym, wszystko nie jest takie prozaiczne: krzesło i stół, zmniejszone około dziesięciu miliardów razy do rozmiarów atomów, stracą swoje wyraźne granice i mogą nawet zająć w tym samym miejscu w przestrzeni, w ogóle nie zakłócając się nawzajem. Powodem jest to, że obiekty w świecie kwantowym bardziej przypominają przenikające się fale niż obiekty ograniczone w przestrzeni. Dlatego w świecie mikrokwantowym na jednym krześle może siedzieć od trzech do dziesięciu osób.

Rzeczy są jak fale

Aby właściwości fal można było wyczuć eksperymentalnie, obiekty muszą być nie tylko małe, ale także bardzo zimne, to znaczy ze znacznie zmniejszoną prędkością chaotycznego ruchu atomów. Zatem atomy trzeba schłodzić do jednej miliardowej stopnia Kelvina, a właściwości falowe stołu i krzesła z makrokosmosu muszą być zauważalne w niewyobrażalnie niskich temperaturach – zimniejszych niż 10–40 K.

Niezwykłą właściwością fal jest ich zdolność do spójnego składania. Spójny oznacza spójny, uporządkowany w czasie lub przestrzeni. Przykład spójności czasowej fale dźwiękowe- muzyka. Każdy dźwięk melodii, jego wysokość, czas trwania i siła pozostają ze sobą w ściśle określonej korespondencji.

Dyrygent orkiestry symfonicznej uważnie monitoruje spójność strumienia dźwiękowego setek, a nawet tysięcy dźwięków. Osłabienie koherencji będziemy postrzegać jako fałszywy dźwięk, a jego całkowitą utratę jako szum. W rzeczywistości spójność jest tym, co odróżnia melodię od niespójnego zestawu dźwięków. Podobnie w świecie kwantowym spójność właściwości falowych obiektów może nadać im zupełnie nowe właściwości, które są nie tylko bardzo niezwykłe, ale także istotne dla tworzenia nowych materiałów, które mogą radykalnie zmienić istniejące technologie. To nie przypadek, że prawie połowa Nagród Nobla w dziedzinie fizyki przyznanych w ciągu ostatnich dziesięciu lat dotyczy zjawisk spójnych: w promieniowanie laserowe(2005), w zimnych atomach (1997, 2001), w ciekłym helu (1996) i w nadprzewodnikach (2003).

Większość rosyjskich laureatów Nagrody Nobla w dziedzinie fizyki otrzymała swoje nagrody za zjawiska spójne: Piotr Kapica (1978), Lew Landau (1962), Nikołaj Basow i Aleksander Prochorow (1964), Aleksiej Abrikosow i Witalij Ginzburg (2003).

Spójność światła

Pojęcie spójności powstało w r początek XIX wieki po eksperymentach angielskiego naukowca Thomasa Younga. Istnieją dwa fale świetlne z różnych źródeł spadło na ekran i uformowało się. Światło z dwóch zwykłych żarówek, które wytwarzają promieniowanie niespójne, dodaje się po prostu: oświetlenie ekranu jest równe sumie oświetlenia z każdej lampy. Mechanizm tutaj jest taki. Fale świetlne z żarówek charakteryzują się różnicami fazowymi, które zmieniają się chaotycznie w czasie. Jeśli w jednym punkcie ekranu pojawią się teraz dwa maksima fal, to w następnej chwili z jednej lampy może pochodzić minimum, a z drugiej maksimum. W wyniku dodania fal powstaną „fale na wodzie” – niestabilny wzór interferencji. Zmarszczki fal świetlnych są tak szybkie, że wzrok nie jest w stanie za nimi nadążać i widzieć równomiernie oświetlonego ekranu. Przez analogię ze świata dźwięków jest to hałas.

Wynik będzie zupełnie inny, jeśli na ekranie zostaną dodane dwie spójne fale (ryc. 1). Fale takie najłatwiej uzyskać z jednej wiązki lasera, dzieląc ją na dwie części, a następnie łącząc. Następnie na ekranie pojawią się paski. Jasne obszary to obszary ekranu, do których maksima fal świetlnych zawsze docierają jednocześnie (w fazie). Niezwykłym efektem optycznym jest to, że oświetlenie nie wzrośnie dwukrotnie, jak w przypadku fal niespójnych, ale czterokrotnie. Dzieje się tak, ponieważ w jasnym paśmie maksima fal, czyli ich amplitudy, są stale sumowane, a oświetlenie jest proporcjonalne do kwadratu sumy amplitud fal. W słabych pasmach spójne fale z różnych źródeł znoszą się wzajemnie.

Teraz wyobraźmy sobie wiele spójnych fal docierających do pewnego punktu fazy. Na przykład tysiąc fal. Wtedy oświetlenie jasnego obszaru wzrośnie milion razy! Spójne promieniowanie ogromnej, około 10 22, liczby atomów jest wytwarzane przez wiązkę lasera. Wynalezienie zasad jego działania przyniosło Nagrodę Nobla w dziedzinie fizyki w 1964 roku Amerykaninowi Charlesowi Townesowi oraz dwóm radzieckim fizykom Nikołajowi Basowowi i Aleksandrowi Prochorowowi. Od 40 lat laser przenika do naszych wnętrz życie codzienne za jego pomocą przechowujemy np. informacje na dyskach kompaktowych i przesyłamy je światłowodem na duże odległości.

Spójne fale materii

Nasz świat jest zaprojektowany w taki sposób, że każda cząsteczka materii może wykazywać właściwości fali. Fale takie nazywane są falami materii lub falami de Broglie’a. Wybitny francuski fizyk Louis de Broglie w 1923 roku zaproponował bardzo prosty wzór wiążący długość fali λ (odległość między maksimami) z masą cząstki m i jej prędkością v: λ = h/mv, gdzie h jest stałą Plancka.

Podstawową właściwością fal dowolnego rodzaju jest zdolność do interferencji. Aby jednak uzyskać nie jednolity szum, ale jak w przypadku światła jasny pasek, należy zadbać o spójność fal de Broglie'a. Utrudnia to ruch termiczny - atomy o różnych prędkościach różnią się długością fal. Zgodnie ze wzorem de Broglie’a, gdy atomy są chłodzone, długość fali λ wzrasta (rys. 2). A gdy tylko jego wartość przekroczy odległość między cząstkami, fale de Broglie'a różnych cząstek dadzą stabilny wzór interferencji, ponieważ maksima fal odpowiadające położeniu cząstek będą się nakładać.

W mikroskopie optycznym wzór interferencyjny fal de Broglie'a można zobaczyć, jeśli ich długość wynosi około 1 mikrona. Aby tego dokonać, jak wynika ze wzoru de Broglie'a, prędkość atomu musi wynosić około 1 cm/s, co odpowiada ekstremalnie niskim temperaturom - mniejszym niż jeden mikrokelwin. Tak schłodzony gaz udało się wytworzyć z atomów metali alkalicznych i dziś jest to ciekawy obiekt badań. (Jak schłodzić atomy do niskie temperatury i na ich bazie produkować ultraprecyzyjne zegarki, opisano w „Chemii i Życiu”, 2001, nr 10. - Notatka wyd.) Zauważmy, że radzieccy fizycy z Instytutu Spektroskopii Akademii Nauk ZSRR, na którego czele stał Władilen Letochow, w 1979 r. przedstawili i wdrożyli kluczowe koncepcje, na podstawie których atomy są obecnie schładzane do ultraniskich temperatur.

Czym są zakłócające się cząstki materii? Jesteśmy przyzwyczajeni do tego, że substancję można przedstawić w postaci solidnych małych kulek, które się nie przenikają. Fale natomiast mogą się kumulować i przenikać. Analogicznie do interferencji światła powinniśmy otrzymać „jasny punkt na ekranie” – niewielki obszar w przestrzeni, w którym maksima fal materii sumują się w fazie. Nieoczekiwane jest to, że spójne fale wielu, wielu atomów mogą zajmować jeden obszar przestrzeni, tworząc niejako superatom – zbiór ogromnej liczby fal de Broglie’a. Na języku mechanika kwantowa oznacza to, że prawdopodobieństwo znalezienia spójnych atomów w „jasnym punkcie” jest maksymalne. Ten niesamowity stan materii nazywany jest kondensatem Bosego-Einsteina. Albert Einstein przewidział to w 1925 roku na podstawie prac indyjskiego fizyka Shatyendranatha Bose’a. W kondensacie wszystkie atomy znajdują się w tym samym stanie kwantowym i zachowują się jak jedna wielka fala.

Kondensat Bosego-Einsteina (BEC) udało się eksperymentalnie zaobserwować dopiero 70 lat później: raport na ten temat został opublikowany w 1995 roku przez dwie grupy amerykańskich naukowców. W swoich eksperymentach atomy wpadły do ​​kondensatu z chmury par sodu lub rubidu zamkniętej w pułapce magnetycznej. Te pionierskie prace zostały uhonorowane Nagrodą Nobla w dziedzinie fizyki w 2001 roku, przyznaną Ericowi Cornellowi, Wolfgangowi Ketterle i Carlowi Wiemannowi. Wyraźna wizualna reprezentacja zachowania ultrazimnych atomów wpadających do BEC została pokazana na okładce grudniowego magazynu Nauka dla roku 1995: w centrum maszeruje grupa identycznych niebieskich cyborgów - są to atomy BEC o zerowej temperaturze, a wokół nich poruszają się chaotycznie cyborgi o cieplejszych barwach - suprakondensat lekko rozgrzanych atomów. Spójność atomów osadzonych w BEC została zademonstrowana w genialnym eksperymencie przeprowadzonym w 1997 roku przez W. Ketterle i współpracowników z Massachusetts Institute of Technology. W tym celu pułapkę magnetyczną podzielono na dwie części lekką przegrodą (rys. 3a). Z chmur atomów sodu przygotowano dwa kondensaty, po czym wyłączono pułapkę i przegrodę: chmury zaczęły się rozszerzać i nakładać. W miejscu ich nałożenia powstał wyraźny wzór interferencyjny (ryc. 3b), podobny do interferencji spójnych wiązek laserowych (ryc. 1). Zaobserwował to cień rzucany przez chmurę atomów na ekranie – „zebra” na ryc. 3b to cień zakłócających się fal materii; ciemne obszary odpowiadają maksimom fal atomowych. Zaskakujące jest to, że gdy dodamy atomy z różnych kondensatów, ich suma może dać zero - „substancja znika” w obszarze odpowiadającym jasnemu pasowi zebry. Oczywiście atomy tak naprawdę nie znikają – po prostu koncentrują się w obszarach rzucających cień.

Czy można zaobserwować przejawy właściwości falowych dla obiektów masywniejszych od atomów? Okazuje się, że jest to możliwe. Grupie Antona Zeilingera z Wiednia w 2003 roku udało się zaobserwować interferencję fulerenów i biomolekuł zawierających około stu atomów. Pytaniem otwartym jest dziś, jak duże cząstki materii będzie można obserwować właściwości fal.

Laser atomowy

Z punktu widzenia Fizyka kwantowa atomy i fotony są podobne w tym sensie, że duża liczba tych cząstek może jednocześnie znajdować się w tym samym stanie kwantowym, to znaczy być spójna. Przykładowo w promieniowaniu laserowym wszystkie fotony są spójne: mają tę samą barwę, ten sam kierunek propagacji i polaryzację. Dzięki temu możliwe jest uzyskanie potężnych, spójnych wiązek laserowych składających się z ogromnej liczby fotonów w jednym stanie.

Jak uzyskać spójne wiązki atomowe? Pomysł jest prosty: musimy ostrożnie usunąć uwięzione spójne atomy z BEC, tak jak promieniowanie laserowe jest usuwane z jego wnęki za pomocą półprzezroczystego lustra. Urządzenie to nazwano laserem atomowym. Pierwszy laser atomowy został stworzony w 1997 roku przez tego samego V. Ketterle. W takim laserze pułapka magnetyczna złożona z dwóch cewek utrzymuje atomy sodu tworzące BEC. Impulsy pola radiowego stosowane przez okres 5 milisekund powodują zmianę spinów atomów i nie można ich już dłużej trzymać w pułapce. Wiązka uwolnionych atomów – promieniowanie lasera atomowego – opada swobodnie pod wpływem grawitacji, co można wizualizować za pomocą opisanych powyżej technik teatru cieni. Dziś moc laserów atomowych jest niewielka: emitują one 10 6 atomów na sekundę, czyli nieporównywalnie mniej niż moc laserów optycznych. Na przykład konwencjonalny wskaźnik laserowy emituje około 10 9 razy więcej fotonów w ciągu jednej sekundy.

W przeciwieństwie do nieważkich fotonów, atomy mają masę spoczynkową. Oznacza to, że grawitacja działa na nie znacznie silniej – interferencja spójnych fal materii będzie silnie zależała od pola grawitacyjnego odchylającego wiązki atomów. Niech dwie spójne wiązki atomowe interferują w obszarze ich przecięcia podobnie jak wiązki laserowe (patrz rys. 1). Załóżmy, że zmieniło się pole grawitacyjne na drodze jednej z wiązek atomowych. Wtedy zmieni się również długość ścieżki tej wiązki do momentu spotkania z inną wiązką. W rezultacie maksima fal materii dwóch wiązek atomowych spotkają się w innym miejscu, co doprowadzi do przesunięcia wzoru interferencji. Mierząc takie przemieszczenie, można określić zmianę pola grawitacyjnego. W oparciu o ten pomysł stworzono już czujniki pola grawitacyjnego, które potrafią wykryć różnicę w wielkości przyspieszenia grawitacyjnego mniejszą niż 10–6%. Mogą być przydatne dla obu podstawowe badania(testowanie teorii fizycznych, pomiar stałych) oraz za ważne osiągnięcia stosowane w nawigacji (tworzenie precyzyjnych żyroskopów), geologii (sondowanie minerałów) i innych naukach. U pisarzy science fiction można na przykład znaleźć fabułę, w której za pomocą urządzenia mierzącego najmniejsze zmiany grawitacji archeolodzy odczytują inskrypcje wyryte na obeliskach zakopanych w ziemi.

Spójna materia

Szczególnie interesujące efekty powstają, gdy właściwości spójnych fal materii można zaobserwować jako makroskopowe właściwości materii skondensowanej, czyli ciała stałego lub cieczy. Uderzającym przykładem takich właściwości jest nadciekłość ciekłego helu schłodzonego poniżej 2,2 K. Radzieccy fizycy przeprowadzili pionierskie badania nad nadciekłością: zjawisko to odkrył Piotr Kapica w 1938 r. i wyjaśnił Lew Landau. Nadciekły hel może przepływać przez małe otwory z ogromną prędkością: co najmniej 108 razy szybciej niż woda. Gdybyśmy mogli napełnić zwykłą wannę nadciekłym helem, wypłynąłby on z niej w mniej niż sekundę przez otwór wielkości małego ucha igły. W 2004 roku Amerykanie Yun Sung Kim i Moses Chan ogłosili odkrycie nadciekłości w stałym helu. Ich delikatny eksperyment polegał na tym, że stały, schłodzony hel, pod ciśnieniem w temperaturze około 0,2 K, umieszczono na wahadle skrętnym. Jeśli część helu przejdzie w stan nadciekły, wówczas częstotliwość oscylacji skrętnych powinna wzrosnąć, ponieważ składnik nadciekły pozostaje nieruchomy, ułatwiając oscylacje wahadła. Według Kima i Chana około 1% stałego helu przeszło w stan nadciekły. Eksperymenty te pokazują, że atomy mogą swobodnie poruszać się w cieczy nadciekłej ciało stałe dlatego jest w stanie bez przeszkód przepuszczać przez siebie masę materii: perspektywa przejścia przez ściany w takim świecie wydaje się całkiem realna!

To niesamowite zjawisko można wytłumaczyć właściwościami falowymi atomów. Fale, w przeciwieństwie do cząstek, omijają przeszkody na swojej drodze. Wyjaśnimy to na przykładzie interferencji dwóch wiązek światła na ekranie. Wytnijmy dziury w ekranie w obszarze jasnych pasków zebry (wzór interferencyjny). Światło spójne nie wyczuje takiej przeszkody: ekran został zachowany jedynie w nieoświetlonych fragmentach przejścia dla pieszych. Jeśli wiązki nie są spójne, równomiernie oświetlony ekran z otworami nieuchronnie zatrzyma część światła. Z tego możemy zrozumieć, jak spójne fale materii pokonują przeszkody bez strat.

Innym niezwykłym makroskopowym zjawiskiem kwantowym podobnym do nadciekłości jest nadprzewodnictwo, odkryte przez Holendra Heike Kamerlingha-Ohnessa w 1911 roku w rtęci po ochłodzeniu do temperatury ciekłego helu ( nagroda Nobla 1913). Elektrony nadprzewodzące poruszają się bez oporu, omijając przeszkody, którymi jest termiczny ruch atomów. Na przykład prąd w pierścieniu nadprzewodnika może płynąć w nieskończoność, ponieważ nic mu nie przeszkadza. Można powiedzieć, że nadprzewodnictwo to nadciekłość cieczy elektronowej. Aby uzyskać taką nadciekłość, konieczne jest, aby duża liczba ładunków znajdowała się w jednym stanie kwantowym, np. fotony w wiązce laserowej. Wymaganie to ma ograniczenie ustanowione przez wybitnego szwajcarskiego fizyka Wolfganga Pauli w 1924 roku: jeśli cząstka ma liczbę spinową 1/2, podobnie jak elektron, to tylko jedna cząstka może istnieć w jednym stanie kwantowym. Takie cząstki nazywane są fermionami. W przypadku całkowitej wartości spinu w jednym stanie kwantowym można skondensować dowolnie dużą liczbę cząstek. Takie cząstki nazywane są bozonami. Dlatego prąd nadprzewodzący wymaga cząstek ładunek elektryczny z całym obrotem. Gdyby para elektronów (fermiony) mogła utworzyć cząstkę złożoną, wówczas spin tej pary byłby liczbą całkowitą. Następnie cząstki składowe staną się bozonami zdolnymi do tworzenia BEC i wytwarzania prądu nadprzewodzącego.

Jednak w przewodnikach rzeczywiście mogą występować związane pary elektronów, mimo że siły Coulomba odpychają elektrony od siebie – na tej idei powstała teoria wyjaśniająca nadprzewodnictwo w prostych metalach (John Bardeen, Leon Cooper, John Schrieffer, Nagroda Nobla z fizyki 1972 rok).

Nadciekłość BEC

Tak więc w drugiej połowie XX wieku fizycy doszli do wniosku, że BEC może mieć właściwości nadciekłości. Naturalnie, po otrzymaniu gazu BEC, naukowców urzekł pomysł eksperymentów wykazujących w nim nadciekłość. W 2005 roku grupa W. Ketterle przedstawiła ostateczny dowód na nadciekłość gazowego BEC. Idea eksperymentu opiera się na fakcie, że nadciekła ciecz zachowuje się nietypowo podczas obrotu. Gdybyśmy zdołali zamieszać łyżką nadpłynną ciecz, taką jak kawę w filiżance, wówczas nie obracałaby się całkowicie, ale rozpadłaby się na wiele małych wirów. Co więcej, miałyby się one znajdować w w ścisłym porządku, tworząc tzw. sieć wirową Abrikosowa. Schemat tego filigranowego eksperymentu jest następujący (ryc. 4). Kondensat gazu wychwytywany przez wiązkę lasera pole magnetyczne, zaczął się obracać dodatkowymi wiązkami laserowymi; wirowali kondensat jak łyżką wirującą kawę. Następnie wyłączono pułapkę, czyli belki i cewkę, a kondensat pozostawiono własnym urządzeniom. Rozszerzył się i stworzył cień przypominający ser szwajcarski (ryc. 4b). „Dziury w serze” odpowiadają wirom nadciekłym. Kluczowa cecha z tych eksperymentów jest to, że przeprowadzono je nie tylko w gazie bozonów (atomy sodu), ale także w gazie fermionów (atomy litu). Nadciekłość w gazie litowym zaobserwowano tylko wtedy, gdy atomy litu tworzą cząsteczki lub słabe pary. Była to pierwsza obserwacja nadciekłości w gazie fermionowym. Dało to solidne podstawy eksperymentalne dla teorii nadprzewodnictwa, opartej na idei kondensacji Bosego-Einsteina.

Fizykom udaje się łączyć w pary atomy litu za pomocą tzw. rezonansu Feshbacha, który zachodzi w pułapce pod jednoczesnym działaniem pól cewek magnetycznych i wiązek laserowych. Pole magnetyczne jest regulowane w obszarze rezonansu Feshbacha tak, że znacznie zmienia siły oddziaływania pomiędzy atomami gazu. Możesz sprawić, że atomy będą się przyciągać lub odpychać. Fizycy wymyślili inne sposoby kontrolowania właściwości ultrazimnego gazu atomowego. Jednym z najbardziej eleganckich jest umieszczenie atomów w zakłócającym polu wiązek laserowych – czymś w rodzaju siatki optycznej. W nim każdy atom znajdzie się w środku jednego z prążków wzoru interferencyjnego (patrz ryc. 1), dzięki czemu fale światła będą zatrzymywane przez fale materii niczym pleśń do przechowywania jaj. Atomy w sieci optycznej stanowią doskonały model kryształu, w którym odległość między atomami zmienia się za pomocą parametrów wiązek laserowych, a oddziaływanie między nimi reguluje się za pomocą rezonansu Feshbacha. W rezultacie fizycy zrealizowali wieloletnie marzenie - otrzymać próbkę substancji o kontrolowanych parametrach. Naukowcy uważają, że ultrazimny gaz jest modelem nie tylko dla kryształów, ale także dla bardziej egzotycznych form materii, takich jak gwiazdy neutronowe i plazma kwarkowo-gluonowa wczesnego Wszechświata. Dlatego niektórzy badacze nie bez powodu uważają, że ultrazimny gaz pomoże zrozumieć wczesne etapy ewolucji Wszechświata.

Spójna przyszłość

Zjawiska nadciekłości i nadprzewodnictwa pokazują, że spójność fal de Broglie'a duża liczba cząstki dają nieoczekiwane i ważne właściwości. Zjawisk tych nie przewidziano, a wyjaśnienie nadprzewodnictwa w prostych metalach zajęło prawie 50 lat. Natomiast zjawisko nadprzewodnictwa wysokotemperaturowego, odkryte w 1986 roku w ceramice z tlenków metali w temperaturze 35 stopni Kelvina przez Niemca Johannesa Bednorza i Szwajcara Karla Müllera (Nagroda Nobla 1987), wciąż nie doczekało się ogólnie przyjętego wyjaśnienia, pomimo ogromnych wysiłków fizyków na całym świecie.

Kolejnym obszarem badań, w którym niezbędne są spójne stany kwantowe, są komputery kwantowe: tylko w takim stanie możliwe jest prowadzenie wysokowydajnych obliczeń kwantowych, niedostępnych dla najnowocześniejszych superkomputerów.

Spójność oznacza zatem utrzymanie różnicy faz pomiędzy falami składanymi. Same fale mogą mieć różny charakter: zarówno lekkie, jak i fale de Broglie'a. Na przykładzie gazowego BEC widzimy, że substancja spójna faktycznie istnieje nowy mundur materia wcześniej niedostępna dla człowieka. Powstaje pytanie: czy obserwacja spójnych procesów kwantowych w materii zawsze wymaga bardzo niskich temperatur? Nie zawsze. Przynajmniej jest jeden bardzo dobry przykład- laser. Temperatura otoczenia dla pracy lasera nie ma zwykle większego znaczenia, gdyż laser pracuje w warunkach odległych od równowagi termicznej. Laser jest układem wysoce nierównowagowym, ponieważ dostarczany jest do niego przepływ energii.

Najwyraźniej wciąż jesteśmy na samym początku badań nad spójnymi procesami kwantowymi z udziałem ogromnej liczby cząstek. Jednym z ekscytujących pytań, na które nie ma jeszcze jednoznacznej odpowiedzi, jest to, czy w żywej przyrodzie zachodzą makroskopowe, spójne procesy kwantowe? Być może samo życie można scharakteryzować jako szczególny stan materii o zwiększonej spójności.

W artykule wyjaśnimy, co oznacza pojęcie koherencji, zdefiniujemy jego główne rodzaje (czasowe i przestrzenne), a także rozwiążemy kilka problemów związanych z oceną koherencji. Zacznijmy od podstawowej definicji.

Definicja 1

Obserwując interferencję fal przez jeden z najważniejsze warunki jest ich spójność. Mówi się, że koherencja występuje wtedy, gdy występuje spójność w występowaniu procesów falowych lub oscylacyjnych w czasie i przestrzeni.

Spójność charakteryzuje się taką cechą, jak stopień (inaczej można ją nazwać stopniem spójności powyższych procesów). Wyróżnia się dwa główne typy tego zjawiska – spójność czasową i przestrzenną.

Co to jest spójność czasowa

Ten typ spójności charakteryzuje się długością i czasem trwania. Powstaje, gdy mamy do czynienia z niemonochromatycznym, punktowym źródłem światła. Przykładem są prążki obserwowane podczas interferencji w specjalnym urządzeniu - interferometrze Michelsona: im większa różnica optyczna, tym mniej wyraźne stają się prążki (aż do całkowitego zaniku). Główną przyczyną czasowej spójności światła jest długość źródła i skończony czas świecenia.

Spójność można rozpatrywać z punktu widzenia dwóch podejść. Pierwsza nazywana jest zwykle fazą, a druga częstotliwością. Podejście fazowe polega na tym, że częstotliwości wzorów opisujących procesy oscylacyjne w pewnym punkcie przestrzeni, wzbudzane przez dwie nakładające się fale, będą stałe i równe sobie ω 1 = ω 2.

Ważne jest, aby δ (t) = α 2 (t) - α 1 (t). Tutaj wyrażenie 2 I 1 I 2 cos δ (t) jest tak zwanym składnikiem interferencyjnym.

Jeśli mierzymy proces interferencji jakimkolwiek urządzeniem, musimy wziąć pod uwagę, że w każdym przypadku będzie ono miało czas bezwładności. Czas reakcji urządzenia można oznaczyć jako t i . Następnie, jeśli w czasie t i cos δ (t) przyjmuje wartości z zakresu od minus jeden do plus jeden, to 2 I 1 I 2 cos δ t = 0.

W tym przypadku badane fale nie są spójne. Jeśli za określony czas wartość cos δ (t) pozostaje praktycznie niezmieniona, wówczas interferencja staje się oczywista i otrzymujemy fale spójne.

Z tego wszystkiego możemy wywnioskować, że pojęcie spójności jest względne. Jeśli bezwładność urządzenia jest niska, zwykle wykrywane są zakłócenia, ale jeśli urządzenie ma długi czas bezwładności, możemy po prostu nie zobaczyć pożądanego obrazu.

Definicja 2

Czas spójności, oznaczony jako t k o g, to czas, w którym następuje przypadkowa zmiana fazy fali a (t), w przybliżeniu równy π.

Jeśli t i ≪ t k o g , to w urządzeniu widoczny jest równomierny wzór interferencji.

Definicja 3

Długość spójności- jest to pewna odległość, na której podczas przemieszczania się faza ulega losowej zmianie w przybliżeniu równej π.

Jeśli podzielimy naturalną falę świetlną na dwie części, to aby zobaczyć interferencję, musimy zachować różnicę dróg optycznych mniejszą niż l k o g .

Czas koherencji zależy od przedziału częstotliwości, a także od długości fali reprezentowanej w całkowitej fali świetlnej.

Spójność czasowa jest związana z rozproszeniem modułu liczby falowej k → .

Co to jest spójność przestrzenna

Jeśli mamy do czynienia z monochromatycznym, rozszerzonym, a nie punktowym źródłem światła, wówczas wprowadzone zostaje tu pojęcie spójności przestrzennej. Ma takie cechy, jak szerokość, promień i kąt.

Spójność przestrzenna zależy od zmienności kierunków wektorów k → . Kierunki danego wektora można scharakteryzować za pomocą wektora jednostkowego e k → .

Długość spójności przestrzennej lub promień spójności to odległość ρ k o g .

Litera φ oznacza rozmiar kątowy źródła fali świetlnej.

Notatka 1

Jeśli fala świetlna znajduje się w pobliżu nagrzanego ciała, to jej spójność przestrzenna wynosi tylko kilka długości fal. Im większa odległość od źródła światła, tym wyższy stopień spójności przestrzennej.

Przykład 1

Stan : schorzenie: Załóżmy, że rozmiar kątowy Słońca wynosi 0,01 rad. Emituje ono fale świetlne o długości 500 nm. Oblicz promień spójności tych fal.

Rozwiązanie

Aby oszacować promień koherencji, używamy wzoru ρ k o g ~ λ φ . Obliczamy:

ρ k o g ~ 500 · 10 - 9 0, 01 = 5 · 10 - 5 (m).

Ingerencja promienie słoneczne nie można zobaczyć gołym okiem, ponieważ jego promień spójności jest bardzo mały i przekracza zdolność rozdzielczą ludzkiego oka.

Odpowiedź:ρ k o g ~ 50 m do m.

Przykład 2

Stan : schorzenie: Jeśli dwa niepowiązane źródła światła emitują fale, dlaczego fale nie będą spójne?

Rozwiązanie

Aby wyjaśnić to zjawisko, przejdźmy do mechanizmu występowania promieniowania na poziomie atomowym. Jeżeli źródła światła są niezależne, to znajdujące się w nich atomy również niezależnie emitują fale świetlne. Czas trwania promieniowania każdego atomu wynosi około 10 - 8 s e k, po czym atom powraca do normalnego stanu i promieniowanie fali ustaje. Wzbudzony atom będzie emitował światło o początkowo różnej fazie, co oznacza, że ​​różnice fazowe pomiędzy promieniowaniem dwóch podobnych atomów będą zmienne. Dlatego fale, które spontanicznie emitują światło, nie są spójne. Model ten będzie obowiązywał dla wszelkich źródeł światła o skończonych wymiarach.

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter

Zakłócenia (patrz rozdział 5). Stabilny wzór interferencji powstaje tylko wtedy, gdy nałożone są na siebie fale, które mają stałą różnicę faz w czasie w każdym punkcie przestrzeni. Fale spełniające te warunki oraz źródła tworzące takie fale nazywane są spójnymi. Warunek spójności spełniają fale monochromatyczne, które mają tę samą częstotliwość i stałe różnice w fazach początkowych. Fala monochromatyczna charakteryzuje się określoną długością fali i związaną z nią częstotliwością, gdzie c jest prędkością światła w próżni.

Metody wytwarzania fal spójnych.

Uzyskanie fal spójnych w celu realizacji interferencji w optyce odbywa się na dwa sposoby:

instrumentalny odbiór z danego źródła dwóch spójnych;

podział czoła fali.

Schematy uzyskania fal spójnych w pierwszym przypadku opierają się na uzyskaniu dwóch źródeł, którymi są dwa obrazy danego pojedynczego centrum promieniujące(Metoda Younga, bipryzmat Fresnela, zwierciadła Fresnela). W drugim przypadku fale spójne uzyskuje się dzieląc falę w obrębie ciągu na dwie fale (interferometr Michelsona, cienkie warstwy, klin, pierścienie Newtona).

6. Interferencja fal- superpozycja fal, podczas której w jednych punktach przestrzeni następuje ich wzajemne wzmacnianie się, a w innych osłabianie. Wynik interferencji zależy od różnicy faz pomiędzy nałożonymi na siebie falami.

Tylko fale o tej samej częstotliwości i oscylujące w tym samym kierunku (tj. fale spójne) mogą zakłócać. Zakłócenia mogą być stacjonarne lub niestacjonarne. Tylko spójne fale mogą wytworzyć stacjonarny wzór interferencyjny. Na przykład dwie fale kuliste na powierzchni wody, rozchodzące się z dwóch spójnych źródeł punktowych, w wyniku interferencji wytworzą falę wynikową. Przód powstałej fali będzie kulą.

Kiedy fale interferują, ich energie się nie sumują. Interferencja fal prowadzi do redystrybucji energii drgań pomiędzy różnymi blisko rozmieszczonymi cząstkami ośrodka. Nie jest to sprzeczne z prawem zachowania energii, ponieważ średnio dla dużego obszaru przestrzeni energia powstałej fali jest równa sumie energii fal zakłócających.

Podczas nakładania niespójnych fal Średnia wartość Kwadrat amplitudy powstałej fali jest równy sumie kwadratów amplitud nałożonych na siebie fal. Energia powstałych oscylacji każdego punktu ośrodka jest równa sumie energii jego oscylacji wywołanych przez wszystkie fale niespójne z osobna.

7. W optyce falowej Opracowano metody obliczania wzoru interferencji. Do obliczeń wykorzystuje się wartość iloczynu geometrycznej drogi s fali świetlnej (promienia świetlnego) w danym ośrodku i współczynnika załamania światła n tego ośrodka. Wielkość ta L = s · n nazywana jest drogą optyczną fali (promienia). Różnica dróg optycznych dwóch fal ∆L = L1 – L2 = s1n1 –s2 n2 nazywana jest różnicą dróg optycznych dwóch fal. Aby obliczyć różnicę dróg optycznych, wygodniej jest narysować promienie, a nie fale. Maksymalny warunek interferencji.

Jeżeli różnica dróg optycznych jest równa całkowitej liczbie długości fal w próżni: wówczas oscylacje wzbudzone w danym punkcie ośrodka przez obie fale będą występować w tej samej fazie, a zatem wystąpi minimalny warunek interferencji.

Jeżeli różnica dróg optycznych jest równa połowie całkowitej liczby długości fal w próżni: wówczas oscylacje wzbudzone w danym punkcie ośrodka przez obie fale będą występować w przeciwfazie i dlatego będą się osłabiać.

8. W naturze często można obserwuj opalizujące zabarwienie cienkich warstw (warstwy oleju na wodzie, bańka, warstwy tlenkowe na metalach), powstające w wyniku interferencji światła odbitego przez dwie powierzchnie folii.

Niech płaska fala monochromatyczna spadnie na płasko-równoległą przezroczystą folię o współczynniku załamania n i grubości d pod kątem i (ryc. 249) (dla uproszczenia rozważmy jeden promień). Na powierzchni folii w punkcie O wiązka rozdzieli się na dwie części: zostanie częściowo odbita od górnej powierzchni folii i częściowo załamana. Załamany promień po dotarciu do punktu C zostanie częściowo załamany w powietrzu (n0 = 1), a częściowo odbity i trafi do punktu B. Tutaj ponownie zostanie częściowo odbity (nie będziemy rozważać tej drogi promienia w przyszłości ze względu na niską intensywność) i ulegną załamaniu, wychodząc w powietrze pod kątem tj. Promienie 1 i 2 wychodzące z folii są spójne, jeśli optyczna różnica na ich drodze jest niewielka w porównaniu z długością spójności padającej fali. Jeśli na ich drodze umieścimy soczewkę skupiającą, zbiegną się one w jednym z punktów P płaszczyzny ogniskowej soczewki. W rezultacie pojawia się wzór interferencyjny, który jest określony przez różnicę dróg optycznych pomiędzy zakłócającymi wiązkami.

Różnica dróg optycznych powstająca między dwiema zakłócającymi się wiązkami od punktu O do płaszczyzny AB, gdzie przyjmuje się, że współczynnik załamania światła ośrodka otaczającego folię wynosi 1, a wyraz ± l0/2 wynika z utraty półfali gdy światło odbija się od interfejsu. Jeżeli n>n0, to w punkcie O nastąpi utrata półfali i powyższy wyraz będzie miał znak minus; jeśli n