Przeprowadź pełne badanie tych funkcji i skonstruuj ich wykresy. Badanie funkcji metodami rachunku różniczkowego
Instrukcje
Znajdź dziedzinę funkcji. Przykładowo funkcja sin(x) jest definiowana na całym przedziale od -∞ do +∞, a funkcja 1/x jest definiowana od -∞ do +∞, z wyjątkiem punktu x = 0.
Identyfikacja obszarów ciągłości i punktów nieciągłości. Zazwyczaj funkcja jest ciągła w tym samym obszarze, w którym jest zdefiniowana. Aby wykryć nieciągłości, należy obliczyć, gdy argument zbliża się do izolowanych punktów w dziedzinie definicji. Na przykład funkcja 1/x dąży do nieskończoności, gdy x → 0+ i do minus nieskończoności, gdy x → 0-. Oznacza to, że w punkcie x = 0 ma nieciągłość drugiego rodzaju.
Jeśli granice w punkcie nieciągłości są skończone, ale nie równe, to jest to nieciągłość pierwszego rodzaju. Jeżeli są one równe, to funkcję uważa się za ciągłą, chociaż nie jest ona zdefiniowana w izolowanym punkcie.
Znajdź asymptoty pionowe, jeśli takie istnieją. Pomogą Ci w tym obliczenia z poprzedniego kroku, ponieważ asymptota pionowa prawie zawsze leży w punkcie nieciągłości drugiego rodzaju. Czasami jednak z dziedziny definicji wyłączone są nie pojedyncze punkty, lecz całe przedziały punktów i wówczas na krawędziach tych przedziałów można zlokalizować asymptoty pionowe.
Sprawdź, czy funkcja ma specjalne właściwości: parzyste, nieparzyste i okresowe.
Funkcja będzie parzysta jeśli dla dowolnego x z dziedziny f(x) = f(-x). Na przykład cos(x) i x^2 są funkcjami parzystymi.
Okresowość to właściwość mówiąca, że istnieje pewna liczba T, zwana okresem, dla dowolnego x f(x) = f(x + T). Na przykład wszystkie główne funkcje trygonometryczne(sinus, cosinus, tangens) - okresowe.
Znajdź punkty. Aby to zrobić, oblicz pochodną danej funkcji i znajdź te wartości x, gdzie staje się zerem. Na przykład funkcja f(x) = x^3 + 9x^2 -15 ma pochodną g(x) = 3x^2 + 18x, która znika przy x = 0 i x = -6.
Aby określić, które ekstrema są maksimami, a które minimami, śledź zmianę znaków pochodnej przy znalezionych zerach. g(x) zmienia znak z plusa w punkcie x = -6, a w punkcie x = 0 z powrotem z minusa na plus. W konsekwencji funkcja f(x) ma minimum w pierwszym punkcie i minimum w drugim.
W ten sposób znalazłeś również obszary monotoniczności: f(x) monotonicznie rośnie w przedziale -∞;-6, monotonicznie maleje w -6;0 i ponownie rośnie w przedziale 0;+∞.
Znajdź drugą pochodną. Jej pierwiastki pokażą, gdzie wykres danej funkcji będzie wypukły, a gdzie wklęsły. Na przykład druga pochodna funkcji f(x) będzie wynosić h(x) = 6x + 18. Przy x = -3 dochodzi do zera, zmieniając znak z minus na plus. W konsekwencji wykres f(x) przed tym punktem będzie wypukły, za nim wklęsły, a sam ten punkt będzie punktem przegięcia.
Funkcja może mieć inne asymptoty oprócz pionowych, ale tylko wtedy, gdy jej dziedzina definicji obejmuje . Aby je znaleźć, oblicz granicę f(x), gdy x → ∞ lub x → -∞. Jeśli jest skończony, to znalazłeś asymptotę poziomą.
Asymptota ukośna jest linią prostą w postaci kx + b. Aby znaleźć k, oblicz granicę f(x)/x jako x → ∞. Znalezienie b - granicy (f(x) – kx) dla tego samego x→∞.
Jednym z najważniejszych zadań rachunku różniczkowego jest rozwój typowe przykłady badania zachowania funkcji.
Jeżeli funkcja y=f(x) jest ciągła na przedziale , a jej pochodna jest dodatnia lub równa 0 na przedziale (a,b), to y=f(x) zwiększa się o (f"(x)0) Jeżeli funkcja y=f (x) jest ciągła na odcinku i jej pochodna jest ujemna lub równa 0 na przedziale (a,b), to y=f(x) zmniejsza się o (f"(x)0 )
Przedziały, w których funkcja nie maleje ani nie rośnie, nazywane są przedziałami monotoniczności funkcji. Monotoniczność funkcji może się zmieniać tylko w tych punktach jej dziedziny definicji, w których zmienia się znak pierwszej pochodnej. Punkty, w których pierwsza pochodna funkcji zanika lub ma nieciągłość, nazywamy krytycznymi.
Twierdzenie 1 (pierwszy warunek wystarczający istnienia ekstremum).
Niech będzie zdefiniowana funkcja y=f(x) w punkcie x 0 i niech będzie otoczenie δ>0 takie, że funkcja będzie ciągła na przedziale i różniczkowalna na przedziale (x 0 -δ,x 0)u( x 0 , x 0 + δ) , a jej pochodna zachowuje stały znak na każdym z tych przedziałów. Wtedy jeśli na x 0 -δ,x 0) i (x 0 , x 0 +δ) znaki pochodnej są różne, to x 0 jest punktem ekstremalnym, a jeśli się pokrywają, to x 0 nie jest punktem ekstremalnym . Ponadto, jeżeli przy przejściu przez punkt x0 pochodna zmienia znak z plusa na minus (na lewo od x 0 f"(x)>0 jest spełnione, to x 0 jest punktem maksymalnym; jeżeli pochodna zmienia znak z minus do plus (na prawo od x 0 wykonane f"(x)<0, то х 0 - точка минимума.
Punkty maksymalne i minimalne nazywane są ekstremami funkcji, a maksimum i minimum funkcji nazywane są jej wartościami ekstremalnymi.
Twierdzenie 2 (znak konieczny ekstremum lokalnego).
Jeśli funkcja y=f(x) ma ekstremum w bieżącym x=x 0, to albo f’(x 0)=0, albo f’(x 0) nie istnieje.
W ekstremalnych punktach funkcji różniczkowalnej styczna do jej wykresu jest równoległa do osi Wółu.
Algorytm badania funkcji ekstremum:
1) Znajdź pochodną funkcji.
2) Znajdź punkty krytyczne, tj. punkty, w których funkcja jest ciągła, a pochodna wynosi zero lub nie istnieje.
3) Rozważ sąsiedztwo każdego punktu i sprawdź znak pochodnej po lewej i prawej stronie tego punktu.
4) Określ współrzędne punktów skrajnych; w tym celu podstaw wartości punktów krytycznych do tej funkcji. Korzystając z warunków wystarczających dla ekstremum, wyciągnij odpowiednie wnioski.
Przykład 18. Zbadaj funkcję y=x 3 -9x 2 +24x dla ekstremum
Rozwiązanie.
1) y"=3x 2 -18x+24=3(x-2)(x-4).
2) Przyrównując pochodną do zera, znajdujemy x 1 =2, x 2 =4. W tym przypadku pochodna jest zdefiniowana wszędzie; Oznacza to, że poza dwoma znalezionymi punktami nie ma innych punktów krytycznych.
3) Znak pochodnej y"=3(x-2)(x-4) zmienia się w zależności od przedziału jak pokazano na rysunku 1. Po przejściu przez punkt x=2 pochodna zmienia znak z plusa na minus, a przy przejściu przez punkt x=4 - od minus do plusa.
4) W punkcie x=2 funkcja ma maksimum y max =20, a w punkcie x=4 minimum y min =16.
Twierdzenie 3. (Drugi warunek wystarczający istnienia ekstremum).
Niech f”(x 0) i w punkcie x 0 istnieje f””(x 0). Wtedy jeśli f””(x 0)>0, to x 0 jest punktem minimalnym, a jeśli f””(x 0)<0, то х 0 – точка максимума функции y=f(x).
Na odcinku funkcja y=f(x) może osiągnąć najmniejszą (y najmniej) lub największą (y największa) wartość albo w punktach krytycznych funkcji leżącej w przedziale (a;b), albo w końce segmentu.
Algorytm znajdowania największych i najmniejszych wartości funkcji ciągłej y=f(x) na odcinku:
1) Znajdź f”(x).
2) Znajdź punkty, w których f"(x)=0 lub f"(x) nie istnieje i wybierz spośród nich te, które leżą wewnątrz odcinka.
3) Oblicz wartość funkcji y=f(x) w punktach uzyskanych w kroku 2), a także na końcach odcinka i wybierz z nich największy i najmniejszy: są one odpowiednio największe (y największa) i najmniejsza (y najmniejsza) wartość funkcji na przedziale.
Przykład 19. Znajdź największą wartość funkcji ciągłej y=x 3 -3x 2 -45+225 na odcinku.
1) Mamy y"=3x 2 -6x-45 w segmencie
2) Pochodna y” istnieje dla każdego x. Znajdźmy punkty, w których y”=0; otrzymujemy:
3x2 -6x-45=0
x 2 -2x-15=0
x 1 = -3; x2 =5
3) Oblicz wartość funkcji w punktach x=0 y=225, x=5 y=50, x=6 y=63
Odcinek zawiera tylko punkt x=5. Największa ze znalezionych wartości funkcji to 225, a najmniejsza to liczba 50. Zatem y max = 225, y min = 50.
Badanie funkcji na wypukłości
Rysunek przedstawia wykresy dwóch funkcji. Pierwsza z nich jest wypukła w górę, druga wypukła w dół.
Funkcja y=f(x) jest ciągła na odcinku i różniczkowalna w przedziale (a;b), nazywana jest na tym odcinku wypukłą w górę (w dół), jeśli dla axb jej wykres leży nie wyżej (nie niżej) od styczna poprowadzona w dowolnym punkcie M 0 (x 0 ;f(x 0)), gdzie axb.
Twierdzenie 4. Niech funkcja y=f(x) ma drugą pochodną w dowolnym punkcie wewnętrznym x odcinka i jest ciągła na końcach tego odcinka. Jeżeli wtedy zachodzi nierówność f""(x)0 na przedziale (a;b), to funkcja jest wypukła w dół na tym przedziale ; jeśli nierówność f""(x)0 zachodzi na przedziale (a;b), to funkcja jest wypukła w górę na .
Twierdzenie 5. Jeżeli funkcja y=f(x) ma drugą pochodną na przedziale (a;b) i zmienia znak przy przejściu przez punkt x 0, to M(x 0 ;f(x 0)) wynosi punkt przegięcia.
Reguła znajdowania punktów przegięcia:
1) Znajdź punkty, w których f""(x) nie istnieje lub znika.
2) Sprawdź znak f""(x) po lewej i prawej stronie każdego punktu znalezionego w pierwszym kroku.
3) Na podstawie Twierdzenia 4 wyciągnij wniosek.
Przykład 20. Znajdź ekstrema i punkty przegięcia wykresu funkcji y=3x 4 -8x 3 +6x 2 +12.
Mamy f"(x)=12x 3 -24x 2 +12x=12x(x-1) 2. Oczywiście f"(x)=0 gdy x 1 =0, x 2 =1. Po przejściu przez punkt x=0 pochodna zmienia znak z minus na plus, natomiast przy przejściu przez punkt x=1 nie zmienia znaku. Oznacza to, że x=0 jest punktem minimalnym (ymin=12), a w punkcie x=1 nie ma ekstremum. Dalej znajdujemy 
. Druga pochodna znika w punktach x 1 =1, x 2 =1/3. Znaki drugiej pochodnej zmieniają się następująco: Na półprostej (-∞;) mamy f""(x)>0, na przedziale (;1) f""(x)<0, на луче (1;+∞) имеем f""(x)>0. Zatem x= jest punktem przegięcia wykresu funkcji (przejście od wypukłości w dół do wypukłości w górę) i x=1 jest także punktem przegięcia (przejście od wypukłości w górę do wypukłości w dół). Jeśli x=, to y= ; jeśli, to x=1, y=13.
Algorytm znajdowania asymptoty grafu
I. Jeśli y=f(x) jako x → a, to x=a jest asymptotą pionową.
II. Jeśli y=f(x) jako x → ∞ lub x → -∞, to y=A jest asymptotą poziomą.
III. Aby znaleźć asymptotę ukośną, używamy następującego algorytmu:
1) Oblicz. Jeżeli granica istnieje i jest równa b, to y=b jest asymptotą poziomą; jeśli , przejdź do drugiego kroku.
2) Oblicz. Jeśli ta granica nie istnieje, to nie ma asymptoty; jeśli istnieje i jest równy k, to przejdź do trzeciego kroku.
3) Oblicz. Jeśli ta granica nie istnieje, to nie ma asymptoty; jeśli istnieje i jest równy b, przejdź do czwartego kroku.
4) Zapisz równanie asymptoty ukośnej y=kx+b.
Przykład 21: Znajdź asymptotę funkcji 
1) 
2)
3)
4) Równanie asymptoty ukośnej ma postać
Schemat badania funkcji i konstruowania jej wykresu
I. Znajdź dziedzinę definicji funkcji.
II. Znajdź punkty przecięcia wykresu funkcji z osiami współrzędnych.
III. Znajdź asymptoty.
IV. Znajdź możliwe punkty ekstremalne.
V. Znajdź punkty krytyczne.
VI. Korzystając z figury pomocniczej, zbadaj znak pierwszej i drugiej pochodnej. Wyznaczyć obszary funkcji rosnącej i malejącej, znaleźć kierunek wypukłości wykresu, punkty ekstremów i punkty przegięcia.
VII. Zbuduj wykres, biorąc pod uwagę badania przeprowadzone w punktach 1-6.
Przykład 22: Skonstruuj wykres funkcji zgodnie z powyższym diagramem
Rozwiązanie.
I. Dziedziną funkcji jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych z wyjątkiem x=1.
II. Ponieważ równanie x 2 +1=0 nie ma pierwiastków rzeczywistych, wykres funkcji nie ma punktów przecięcia z osią Ox, lecz przecina oś Oy w punkcie (0;-1).
III. Wyjaśnijmy kwestię istnienia asymptot. Przeanalizujmy zachowanie funkcji w pobliżu punktu nieciągłości x=1. Ponieważ y → ∞ jako x → -∞, y → +∞ jako x → 1+, to prosta x=1 jest asymptotą pionową wykresu funkcji.
Jeśli x → +∞(x → -∞), to y → +∞(y → -∞); dlatego wykres nie ma asymptoty poziomej. Dalej, z istnienia granic
Rozwiązując równanie x 2 -2x-1=0 otrzymujemy dwa możliwe ekstrema:
x 1 =1-√2 i x 2 =1+√2
V. Aby znaleźć punkty krytyczne, obliczamy drugą pochodną:
Ponieważ f""(x) nie zanika, nie ma punktów krytycznych.
VI. Zbadajmy znak pierwszej i drugiej pochodnej. Możliwe ekstrema do rozważenia: x 1 =1-√2 i x 2 =1+√2, podziel dziedzinę istnienia funkcji na przedziały (-∞;1-√2),(1-√2;1 +√2) i (1+√2;+∞).
W każdym z tych przedziałów pochodna zachowuje swój znak: w pierwszym - plus, w drugim - minus, w trzecim - plus. Ciąg znaków pierwszej pochodnej zapiszemy następująco: +,-,+.
Zauważamy, że funkcja rośnie w (-∞;1-√2), maleje w (1-√2;1+√2) i ponownie rośnie w (1+√2;+∞). Punkty ekstremalne: maksimum przy x=1-√2 i f(1-√2)=2-2√2 minimum przy x=1+√2 i f(1+√2)=2+2√2. W (-∞;1) wykres jest wypukły w górę, a w (1;+∞) jest wypukły w dół.
VII Zróbmy tabelę uzyskanych wartości
VIII Na podstawie uzyskanych danych konstruujemy szkic wykresu funkcji 
Aby w pełni przestudiować funkcję i wykreślić jej wykres, zaleca się skorzystanie z następującego schematu:
1) znaleźć dziedzinę definicji funkcji;
2) znaleźć punkty nieciągłości funkcji i asymptoty pionowe (jeśli istnieją);
3) zbadać zachowanie funkcji w nieskończoności, znaleźć asymptoty poziome i ukośne;
4) badać funkcję pod kątem parzystości (nieparzystości) i okresowości (dla funkcji trygonometrycznych);
5) znaleźć ekstrema i przedziały monotoniczności funkcji;
6) wyznaczać przedziały wypukłości i punkty przegięcia;
7) znaleźć punkty przecięcia z osiami współrzędnych i, jeśli to możliwe, kilka dodatkowych punktów wyjaśniających wykres.
Badanie funkcji odbywa się jednocześnie z konstrukcją jej wykresu.
Przykład 9 Zbadaj funkcję i zbuduj wykres.
1. Zakres definicji: ;
2. Funkcja ma nieciągłość punktową 
,
;
Badamy funkcję obecności asymptot pionowych.
;
,
─ asymptota pionowa.
;
,
─ asymptota pionowa.
3. Badamy funkcję obecności asymptot ukośnych i poziomych.
Prosty 
─ asymptota ukośna, jeśli 
,
.
,
.
Prosty 
─ asymptota pozioma.
4. Funkcja jest parzysta, ponieważ 
. Parzystość funkcji wskazuje na symetrię wykresu względem osi rzędnych.
5. Znajdź przedziały monotoniczności i ekstrema funkcji.
Znajdźmy punkty krytyczne, tj. punkty, w których pochodna wynosi 0 lub nie istnieje: 
;
. Mamy trzy punkty 
;
. Punkty te dzielą całą oś rzeczywistą na cztery przedziały. Zdefiniujmy znaki 
na każdym z nich.
Na przedziałach (-∞; -1) i (-1; 0) funkcja rośnie, na przedziałach (0; 1) i (1; +∞) ─ maleje. Podczas przechodzenia przez punkt 
pochodna zmienia znak z plusa na minus, dlatego w tym momencie funkcja ma maksimum 
.
6. Znajdź przedziały wypukłości i punkty przegięcia.
Znajdźmy punkty, w których 
wynosi 0 lub nie istnieje.
nie ma prawdziwych korzeni. 
,
,
Zwrotnica 
I 
podzielić oś rzeczywistą na trzy przedziały. Zdefiniujmy znak 
w każdym odstępie czasu.
Zatem krzywa na interwałach 
I 
wypukły w dół, na przedziale (-1;1) wypukły w górę; nie ma punktów przegięcia, ponieważ funkcja jest w punktach 
I 
niezdeterminowany.
7. Znajdź punkty przecięcia z osiami.
Z osią 
wykres funkcji przecina się w punkcie (0; -1) i z osią 
wykres się nie przecina, ponieważ licznik tej funkcji nie ma pierwiastków rzeczywistych.
Wykres danej funkcji pokazano na rysunku 1.
Rysunek 1 ─ Wykres funkcji 
Zastosowanie pojęcia pochodnej w ekonomii. Funkcja sprężystości
Do badania procesów ekonomicznych i rozwiązywania innych stosowanych problemów często używa się pojęcia elastyczności funkcji.
Definicja. Funkcja sprężystości 
nazywa się granicą stosunku względnego przyrostu funkcji 
do względnego przyrostu zmiennej 
Na 
, . (VII)
Elastyczność funkcji pokazuje w przybliżeniu, o ile procent funkcja się zmieni 
gdy zmienia się zmienna niezależna 
o 1%.
Funkcja elastyczności wykorzystywana jest w analizie popytu i konsumpcji. Jeżeli elastyczność popytu (w wartości bezwzględnej) 
, to popyt uważa się za elastyczny, jeśli 
─ neutralny jeśli 
─ nieelastyczny w stosunku do ceny (lub dochodu).
Przykład 10 Oblicz elastyczność funkcji 
i znajdź wartość wskaźnika elastyczności dla 
= 3.
Rozwiązanie: zgodnie ze wzorem (VII) elastyczność funkcji wynosi:
Niech więc x=3 
Oznacza to, że jeśli zmienna niezależna wzrośnie o 1%, to wartość zmiennej zależnej wzrośnie o 1,42%.
Przykład 11 Niech popyt działa 
odnośnie ceny 
wygląda jak 
, Gdzie 
─ stały współczynnik. Znajdź wartość wskaźnika elastyczności funkcji popytu przy cenie x = 3 den. jednostki
Rozwiązanie: oblicz elastyczność funkcji popytu korzystając ze wzoru (VII)
Wierzyć 
jednostek pieniężnych, otrzymujemy 
. Oznacza to, że po cenie 
jednostki monetarne wzrost ceny o 1% spowoduje spadek popytu o 6%, tj. popyt jest elastyczny.
Badanie funkcji odbywa się według przejrzystego schematu i wymaga od studenta solidnej znajomości podstawowych pojęć matematycznych, takich jak dziedzina definicji i wartości, ciągłość funkcji, asymptota, punkty ekstremalne, parzystość, okresowość itp. . Student musi umieć swobodnie różniczkować funkcje i rozwiązywać równania, które czasami mogą być bardzo złożone.
Oznacza to, że w tym zadaniu sprawdzana jest znaczna warstwa wiedzy, a każda luka stanie się przeszkodą w uzyskaniu prawidłowego rozwiązania. Szczególnie często trudności pojawiają się przy konstruowaniu wykresów funkcji. Ten błąd jest natychmiast zauważalny dla nauczyciela i może znacznie zaszkodzić Twojej ocenie, nawet jeśli wszystko inne zostało zrobione poprawnie. Tutaj możesz znaleźć Problemy z badaniem funkcji online: przykłady badań, rozwiązania do pobrania, zadania zamówień.
Przeglądaj funkcję i kreśl wykres: przykłady i rozwiązania online
Przygotowaliśmy dla Ciebie wiele gotowych badań funkcyjnych, zarówno płatnych w książce rozwiązań, jak i bezpłatnych w dziale Przykłady badań funkcyjnych. Na podstawie rozwiązanych zadań będziesz mógł szczegółowo zapoznać się z metodologią wykonywania podobnych zadań i przeprowadzić swoje badania przez analogię.
Oferujemy gotowe przykłady kompletnych badań i wykreślania funkcji najpopularniejszych typów: wielomianów, funkcji ułamkowo-wymiernych, niewymiernych, wykładniczych, logarytmicznych, trygonometrycznych. Do każdego rozwiązanego problemu dołączony jest gotowy wykres z wyróżnionymi kluczowymi punktami, asymptotami, maksimami i minimami. Rozwiązanie przeprowadza się za pomocą algorytmu badania funkcji;
W każdym razie rozwiązane przykłady będą dla Ciebie bardzo pomocne, ponieważ obejmują najpopularniejsze typy funkcji. Oferujemy setki już rozwiązanych problemów, ale jak wiadomo, na świecie istnieje nieskończona liczba funkcji matematycznych, a nauczyciele są świetnymi ekspertami w wymyślaniu coraz trudniejszych zadań dla biednych uczniów. Tak więc, drodzy studenci, wykwalifikowana pomoc wam nie zaszkodzi.
Rozwiązywanie problemów związanych z badaniem funkcji niestandardowych
W takim przypadku nasi partnerzy zaoferują Ci inną usługę - pełne badanie funkcji online zamówić. Zadanie zostanie wykonane za Ciebie zgodnie ze wszystkimi wymaganiami algorytmu rozwiązywania takich problemów, co bardzo ucieszy Twojego nauczyciela.
Wykonamy dla Ciebie pełne badanie funkcji: znajdziemy dziedzinę definicji i dziedzinę wartości, zbadamy ciągłość i nieciągłość, ustalimy parzystość, sprawdzimy okresowość funkcji oraz znajdziemy punkty przecięcia z osiami współrzędnych . I oczywiście dalej korzystając z rachunku różniczkowego: znajdziemy asymptoty, obliczymy ekstrema, punkty przegięcia i skonstruujemy sam wykres.
Zachowanie Twojej prywatności jest dla nas ważne. Z tego powodu opracowaliśmy Politykę prywatności, która opisuje, w jaki sposób wykorzystujemy i przechowujemy Twoje dane. Zapoznaj się z naszymi praktykami dotyczącymi prywatności i daj nam znać, jeśli masz jakiekolwiek pytania.
Gromadzenie i wykorzystywanie danych osobowych
Dane osobowe to dane, które można wykorzystać do identyfikacji konkretnej osoby lub skontaktowania się z nią.
Możesz zostać poproszony o podanie swoich danych osobowych w dowolnym momencie kontaktu z nami.
Poniżej znajduje się kilka przykładów rodzajów danych osobowych, które możemy gromadzić i sposobu, w jaki możemy je wykorzystywać.
Jakie dane osobowe zbieramy:
- Kiedy składasz wniosek na stronie, możemy zbierać różne informacje, w tym Twoje imię i nazwisko, numer telefonu, adres e-mail itp.
Jak wykorzystujemy Twoje dane osobowe:
- Gromadzone przez nas dane osobowe pozwalają nam kontaktować się z Tobą w sprawie wyjątkowych ofert, promocji i innych wydarzeń oraz nadchodzących wydarzeń.
- Od czasu do czasu możemy wykorzystywać Twoje dane osobowe do wysyłania ważnych powiadomień i komunikatów.
- Możemy również wykorzystywać dane osobowe do celów wewnętrznych, takich jak przeprowadzanie audytów, analiza danych i różnych badań w celu ulepszenia świadczonych przez nas usług i przedstawienia rekomendacji dotyczących naszych usług.
- Jeśli bierzesz udział w losowaniu nagród, konkursie lub podobnej promocji, możemy wykorzystać podane przez Ciebie informacje w celu administrowania takimi programami.
Ujawnianie informacji osobom trzecim
Nie udostępniamy otrzymanych od Państwa informacji osobom trzecim.
Wyjątki:
- Jeżeli jest to konieczne – zgodnie z przepisami prawa, procedurą sądową, w postępowaniu sądowym i/lub na podstawie publicznych żądań lub wniosków organów rządowych na terytorium Federacji Rosyjskiej – do ujawnienia Twoich danych osobowych. Możemy również ujawnić informacje o Tobie, jeśli uznamy, że takie ujawnienie jest konieczne lub odpowiednie ze względów bezpieczeństwa, egzekwowania prawa lub innych celów ważnych dla społeczeństwa.
- W przypadku reorganizacji, fuzji lub sprzedaży możemy przekazać zebrane dane osobowe odpowiedniej następczej stronie trzeciej.
Ochrona danych osobowych
Podejmujemy środki ostrożności – w tym administracyjne, techniczne i fizyczne – aby chronić Twoje dane osobowe przed utratą, kradzieżą i niewłaściwym wykorzystaniem, a także nieuprawnionym dostępem, ujawnieniem, zmianą i zniszczeniem.
Szanowanie Twojej prywatności na poziomie firmy
Aby zapewnić bezpieczeństwo Twoich danych osobowych, przekazujemy naszym pracownikom standardy dotyczące prywatności i bezpieczeństwa oraz rygorystycznie egzekwujemy praktyki dotyczące prywatności.