Funkcje zmiennej zespolonej.
Różniczkowanie funkcji zmiennej zespolonej.

Artykuł otwiera serię lekcji, w których rozważę typowe problemy związane z teorią funkcji zmiennej zespolonej. Aby skutecznie opanować przykłady, musisz mieć podstawową wiedzę na temat liczb zespolonych. W celu utrwalenia i powtórzenia materiału wystarczy odwiedzić stronę. Będziesz także potrzebować umiejętności, aby znaleźć pochodne cząstkowe drugiego rzędu. Oto one, te pochodne cząstkowe... nawet teraz byłem trochę zdziwiony, jak często one występują...

Temat, który zaczynamy analizować, nie jest szczególnie trudny, a w funkcjach zmiennej złożonej w zasadzie wszystko jest jasne i dostępne. Najważniejsze jest przestrzeganie podstawowej zasady, którą wyprowadzam empirycznie. Czytaj!

Pojęcie funkcji zmiennej zespolonej

Najpierw odświeżmy naszą wiedzę na temat szkolnej funkcji jednej zmiennej:

Funkcja jednej zmiennej to reguła, zgodnie z którą każdej wartości zmiennej niezależnej (z dziedziny definicji) odpowiada jedna i tylko jedna wartość funkcji . Oczywiście „x” i „y” to liczby rzeczywiste.

W przypadku złożonym zależność funkcjonalną podaje się podobnie:

Jednowartościowa funkcja zmiennej zespolonej jest zasada, że ​​wszyscy wyczerpujący wartość zmiennej niezależnej (z dziedziny) odpowiada jednej i tylko jednej wyczerpujący wartość funkcji. Teoretycznie brane są pod uwagę również funkcje wielowartościowe i niektóre inne, ale dla uproszczenia skupię się na jednej definicji.

Jaka jest funkcja zmiennej złożonej?

Główna różnica polega na tym, że liczby są złożone. Nie ironizuję. Od takich pytań często wpadają w osłupienie, na końcu artykułu opowiem fajną historię. Na lekcji Liczby zespolone dla manekinów rozważaliśmy liczbę zespoloną w postaci . Od teraz litera „Z” stała się zmienny, to oznaczymy to następująco: , natomiast „x” i „y” mogą przyjmować różne ważny wartości. Z grubsza rzecz biorąc, funkcja zmiennej złożonej zależy od zmiennych i , które przyjmują „zwykłe” wartości. Od ten fakt następujący punkt jest logicznie następujący:

Funkcję zmiennej zespolonej można zapisać jako:
, gdzie i są dwiema funkcjami dwójki ważny zmienne.

Funkcja nazywa się prawdziwa część Funkcje .
Funkcja nazywa się część urojona Funkcje .

Oznacza to, że funkcja zmiennej zespolonej zależy od dwóch funkcji rzeczywistych i . Aby wreszcie wszystko wyjaśnić, spójrzmy na praktyczne przykłady:

Przykład 1

Rozwiązanie: Zmienna niezależna „z”, jak pamiętasz, jest zapisana jako , a więc:

(1) Podstawiony do pierwotnej funkcji.

(2) W pierwszym semestrze zastosowano zredukowany wzór mnożenia. W semestrze nawiasy zostały otwarte.

(3) Ostrożnie do kwadratu, nie zapominając o tym

(4) Zmiana układu terminów: pierwsze przepisanie terminów , w którym nie ma jednostki urojonej(pierwsza grupa), potem terminy, gdzie jest (druga grupa). Należy zauważyć, że nie jest konieczne tasowanie terminów, a ten krok można pominąć (w rzeczywistości wykonując go ustnie).

(5) Druga grupa jest wyjęta z nawiasów.

W rezultacie nasza funkcja okazała się być reprezentowana w postaci

Odpowiedź:
jest rzeczywistą częścią funkcji .
jest urojoną częścią funkcji .

Jakie są te funkcje? Najzwyklejsze funkcje dwóch zmiennych, wśród których można znaleźć tak popularne pochodne cząstkowe. Bez litości - znajdziemy. Ale trochę później.

W skrócie algorytm rozwiązanego problemu można zapisać w następujący sposób: podstawiamy do funkcji pierwotnej, przeprowadzamy uproszczenia i dzielimy wszystkie terminy na dwie grupy - bez jednostki urojonej (część rzeczywista) i z jednostką urojoną (część urojona).

Przykład 2

Znajdź rzeczywistą i urojoną część funkcji

To jest przykład zrób to sam. Zanim rzucisz się do walki w skomplikowanym samolocie z nagimi warcabami, pozwól, że dam Ci najważniejsze rady na ten temat:

BĄDŹ OSTROŻNY! Musisz być ostrożny, oczywiście wszędzie, ale w liczbach zespolonych powinieneś być ostrożny bardziej niż kiedykolwiek! Pamiętaj, że ostrożnie rozciągnij nawiasy, nic nie zgub. Według moich obserwacji najczęstszym błędem jest utrata znaku. Nie spiesz się!

Kompletne rozwiązanie i odpowiedź na końcu lekcji.

Teraz kostka. Korzystając ze skróconego wzoru mnożenia, wyprowadzamy:
.

Formuły są bardzo wygodne w praktyce, ponieważ znacznie przyspieszają proces rozwiązywania.

Różniczkowanie funkcji zmiennej zespolonej.

Mam dwie wiadomości: dobrą i złą. Zacznę od dobrego. Dla funkcji zmiennej zespolonej obowiązują zasady różniczkowania i tablica pochodnych funkcji elementarnych. Zatem pochodną przyjmuje się dokładnie tak samo, jak w przypadku funkcji zmiennej rzeczywistej.

Zła wiadomość jest taka, że ​​dla wielu funkcji zmiennej złożonej w ogóle nie ma pochodnej i musisz się dowiedzieć jest różniczkowalny taka czy inna funkcja. A „rozgryzanie” tego, jak czuje się twoje serce, wiąże się z dodatkowymi problemami.

Rozważmy funkcję zmiennej złożonej . Aby ta funkcja była różniczkowalna, konieczne i wystarczające jest, aby:

1) Aby były pochodne cząstkowe pierwszego rzędu. Zapomnij o tych zapisach od razu, ponieważ w teorii funkcji zmiennej zespolonej tradycyjnie używa się innej wersji zapisu: .

2) Do przeprowadzenia tzw warunki Cauchy-Riemanna:

Tylko w tym przypadku pochodna będzie istnieć!

Przykład 3

Rozwiązanie rozkłada się na trzy kolejne etapy:

1) Znajdź rzeczywiste i urojone części funkcji. To zadanie było analizowane w poprzednich przykładach, więc opiszę je bez komentarza:

Od , wtedy:

W ten sposób:

jest urojoną częścią funkcji .

Zajmę się jeszcze jednym punktem technicznym: w jakiej kolejności pisać terminy w częściach rzeczywistych i urojonych? Tak, w zasadzie to nie ma znaczenia. Na przykład część rzeczywistą można zapisać w ten sposób: i urojone - tak: .

2) Sprawdźmy spełnienie warunków Cauchy-Riemanna. Jest ich dwóch.

Zacznijmy od sprawdzenia warunku. Znaleźliśmy pochodne cząstkowe:

Tym samym warunek jest spełniony.

Niewątpliwie dobrą wiadomością jest to, że pochodne cząstkowe są prawie zawsze bardzo proste.

Sprawdzamy spełnienie drugiego warunku:

Okazało się to samo, ale z przeciwstawnymi znakami, czyli warunek również jest spełniony.

Warunki Cauchy'ego-Riemanna są spełnione, więc funkcja jest różniczkowalna.

3) Znajdź pochodną funkcji. Pochodna jest również bardzo prosta i znajduje się zgodnie ze zwykłymi regułami:

Jednostka urojona w różnicowaniu jest uważana za stałą.

Odpowiedź: - część prawdziwa jest częścią urojoną.
Spełnione są warunki Cauchy-Riemanna, .

Są jeszcze dwa sposoby na znalezienie pochodnej, są one oczywiście używane rzadziej, ale informacje przydadzą się do zrozumienia drugiej lekcji - Jak znaleźć funkcję zmiennej złożonej?

Pochodną można znaleźć za pomocą wzoru:

W tym przypadku:

W ten sposób

Konieczne jest rozwiązanie problemu odwrotnego - w otrzymanym wyrażeniu musisz wyizolować . W tym celu konieczne jest wyjęcie z nawiasów i terminów:

Odwrotna akcja, jak wielu zauważyło, jest nieco trudniejsza do wykonania, w celu weryfikacji zawsze lepiej wziąć wyrażenie i na szkicu lub ustnie otworzyć nawiasy z powrotem, upewniając się, że wypada dokładnie

Wzór lustrzany do znajdowania pochodnej:

W tym przypadku: , dlatego:

Przykład 4

Określ rzeczywiste i urojone części funkcji . Sprawdź spełnienie warunków Cauchy-Riemanna. Jeśli warunki Cauchy'ego-Riemanna są spełnione, znajdź pochodną funkcji.

Krótkie rozwiązanie i przybliżona próbka wykończenia na końcu lekcji.

Czy warunki Cauchy-Riemanna są zawsze spełnione? Teoretycznie częściej nie są spełnione niż są. Ale w praktyczne przykłady Nie pamiętam przypadku, w którym nie były spełnione =) Zatem jeśli Twoje pochodne cząstkowe „nie były zbieżne”, to z bardzo dużym prawdopodobieństwem możemy powiedzieć, że gdzieś popełniłeś błąd.

Skomplikujmy nasze funkcje:

Przykład 5

Określ rzeczywiste i urojone części funkcji . Sprawdź spełnienie warunków Cauchy-Riemanna. Oblicz

Rozwiązanie: Algorytm rozwiązania jest całkowicie zachowany, ale na koniec dodaje się nową modę: znajdowanie pochodnej w punkcie. Dla sześcianu została już wyprowadzona wymagana formuła:

Zdefiniujmy rzeczywiste i urojone części tej funkcji:

Uwaga i jeszcze raz uwaga!

Od , wtedy:


W ten sposób:
jest rzeczywistą częścią funkcji ;
jest urojoną częścią funkcji .

Sprawdzenie drugiego warunku:

Okazało się to samo, ale z przeciwstawnymi znakami, czyli warunek również jest spełniony.

Warunki Cauchy'ego-Riemanna są spełnione, więc funkcja jest różniczkowalna:

Oblicz wartość pochodnej w wymaganym punkcie:

Odpowiedź:, , warunki Cauchy'ego-Riemanna są spełnione,

Funkcje z kostkami są wspólne, więc przykład do konsolidacji:

Przykład 6

Określ rzeczywiste i urojone części funkcji . Sprawdź spełnienie warunków Cauchy-Riemanna. Oblicz .

Decyzja i próbne zakończenie na końcu lekcji.

W teorii analizy złożonej definiuje się również inne funkcje argumentu złożonego: wykładniczy, sinus, cosinus itp. Funkcje te mają niezwykłe, a nawet dziwaczne właściwości - i to naprawdę ciekawe! Naprawdę chcę ci powiedzieć, ale tutaj tak się stało, nie podręcznik lub podręcznik, ale rozwiązanie, więc rozważę to samo zadanie z niektórymi typowymi funkcjami.

Najpierw o tzw Wzory Eulera:

Dla kazdego ważny liczb, obowiązują następujące wzory:

Możesz również skopiować go do notesu jako odniesienie.

Ściśle mówiąc, jest tylko jedna formuła, ale zwykle dla wygody piszą również specjalny przypadek z minusem we wskaźniku. Parametr nie musi być pojedynczą literą, może być złożone wyrażenie, funkcja, ważne jest tylko, aby zaakceptować tylko ważne wartości. Właściwie zobaczymy to już teraz:

Przykład 7

Znajdź pochodną.

Rozwiązanie: Ogólna linia partii pozostaje niezachwiana - konieczne jest wyodrębnienie rzeczywistych i urojonych części funkcji. Podam szczegółowe rozwiązanie i skomentuję każdy krok poniżej:

Od , wtedy:

(1) Zastąp „z”.

(2) Po podstawieniu konieczne jest oddzielenie części rzeczywistej i urojonej pierwszy w wykładniku wystawców. Aby to zrobić, otwórz nawiasy.

(3) Grupujemy część urojoną wskaźnika, umieszczając jednostkę urojoną poza nawiasami.

(4) Użyj akcji szkolnej z mocami.

(5) Jako mnożnik używamy wzoru Eulera , while .

(6) Otwieramy nawiasy, w wyniku czego:

jest rzeczywistą częścią funkcji ;
jest urojoną częścią funkcji .

Dalsze czynności są standardowe, sprawdźmy spełnienie warunków Cauchy-Riemanna:

Przykład 9

Określ rzeczywiste i urojone części funkcji . Sprawdź spełnienie warunków Cauchy-Riemanna. Niech tak będzie, nie znajdziemy pochodnej.

Rozwiązanie: Algorytm rozwiązania jest bardzo podobny do poprzednich dwóch przykładów, ale są bardzo ważne punkty, dlatego Pierwszy etap Jeszcze raz skomentuję krok po kroku:

Od , wtedy:

1) Zastępujemy zamiast „z”.

(2) Najpierw wybierz rzeczywiste i urojone części wewnątrz zatoki. W tym celu otwórz wsporniki.

(3) Używamy wzoru , natomiast .

(4) Użyj parzystość cosinusa hiperbolicznego: I hiperboliczna osobliwość sinusoidalna: . Hiperbolika, choć nie z tego świata, ale pod wieloma względami przypomina podobne funkcje trygonometryczne.

Ostatecznie:
jest rzeczywistą częścią funkcji ;
jest urojoną częścią funkcji .

Uwaga! Znak minus odnosi się do części urojonej i w żadnym wypadku nie możemy jej zgubić! Do ilustracja wizualna Powyższy wynik można przepisać w ten sposób:

Sprawdźmy spełnienie warunków Cauchy-Riemanna:

Warunki Cauchy-Riemanna są spełnione.

Odpowiedź:, , warunki Cauchy'ego-Riemanna są spełnione.

Cosinus, panie i panowie, sami rozumiemy:

Przykład 10

Określ rzeczywiste i urojone części funkcji. Sprawdź spełnienie warunków Cauchy-Riemanna.

Celowo wybrałem bardziej skomplikowane przykłady, ponieważ każdy poradzi sobie z czymś takim jak obrane orzeszki ziemne. Jednocześnie ćwicz swoją uwagę! Dziadek do orzechów na koniec lekcji.

Cóż, na zakończenie rozważę jeszcze jeden ciekawy przykład kiedy złożony argument znajduje się w mianowniku. Spotkaliśmy się kilka razy w praktyce, przeanalizujmy coś prostego. Och, starzeję się...

Przykład 11

Określ rzeczywiste i urojone części funkcji. Sprawdź spełnienie warunków Cauchy-Riemanna.

Rozwiązanie: Ponownie konieczne jest oddzielenie części rzeczywistej i urojonej funkcji.
Jeśli następnie

Powstaje pytanie, co zrobić, gdy w mianowniku jest „Z”?

Wszystko jest proste - standard pomoże metoda mnożenia licznika i mianownika przez wyrażenie sprzężone, zostało to już wykorzystane w przykładach lekcji Liczby zespolone dla manekinów. Pamiętamy formuła szkolna. W mianowniku już mamy , więc wyrażeniem sprzężonym będzie . W związku z tym należy pomnożyć licznik i mianownik przez: