Соотношение сторон треугольника формула. Какие есть треугольники
Деление треугольников на остроугольные, прямоугольные и тупоугольные. Классификация по соотношению сторон делит треугольники на разносторонние, равносторонние и равнобедренные. Причем каждый треугольник одновременно принадлежит к двум . Например, он может быть прямоугольным и разносторонним одновременно.
Определяя вид по типу углов, очень внимательны. Тупоугольным будет называться такой треугольник, у которого один из углов является , то есть составляет боле 90 градусов. Прямоугольный треугольник может быть вычислен по наличию одного прямого (равного 90 градусам) угла. Однако чтобы классифицировать треугольник как остроугольный, вам нужно будет убедиться, что все три его угла острыми.
Определяя вид треугольника по соотношению сторон, для начала вам придется узнать длины всех трех сторон. Однако если по условию длины сторон вам не даны, помочь вам смогут углы. Разносторонним будет являться треугольник, все три стороны которого имеют разную длину. Если длины сторон неизвестны, то треугольник может быть классифицирован как разносторонний в случае, если все три его угла являются разными. Разносторонний треугольник может быть тупоугольным, прямоугольным и остроугольным.
Равнобедренным будет являться треугольник, две из трех сторон которого равны между собой. Если длины сторон вам не даны, ориентируйтесь по двум равным между собой углам. Равнобедренный треугольник, как и разносторонний, может быть и тупоугольным, и прямоугольным и остроугольным.
Равносторонним может быть только такой треугольник, все три стороны которого имеют одинаковую длину. Все его углы также равны между собой, и каждый из них равен 60-ти градусам. Отсюда ясно, что равносторонние треугольники всегда являются остроугольными.
Совет 2: Как определить тупоугольный и остроугольный треугольник
Простейший из многоугольников – это треугольник. Он образуется при помощи трех точек, лежащих в одной плоскости, но не лежащих на одной прямой, попарно соединенных отрезками. Тем не менее, треугольники бывают разных типов, а значит, обладают разными свойствами.
Инструкция
Принято выделять три типа : тупоугольные, остроугольные и прямоугольные. Это по типу углов. Тупоугольным называется треугольник, у которого один из углов является тупым. Тупым называется угол, имеющий величину больше девяноста градусов, но меньше ста восьмидесяти. Например, в треугольнике ABC угол ABC равен 65°, угол BCA равен 95°, угол CAB равен 20°. Углы ABC и CAB меньше 90°, но угол BCA больше, значит, треугольник тупоугольный.
Остроугольным называется треугольник, у которого все углы являются острыми. Острым называется угол, имеющий величину меньше девяноста и больше нуля градусов. Например, в треугольнике ABC угол ABC равен 60°, угол BCA равен 70°, угол CAB равен 50°. Все три угла меньше 90°, значит треугольник . Если вам известно, что у треугольника все стороны равны, это значит, что все углы у него тоже равны между собой, при этом равны шестидесяти градусам. Соответственно, все углы в таком треугольнике меньше девяноста градусов, а следовательно такой треугольник является остроугольным.
Если в треугольнике один из углов равен девяноста градусам, это значит, что он не относится ни широкоугольному типу, ни к остроугольному. Это прямоугольный треугольник.
Если вид треугольника определять по соотношению сторон, они будут равносторонние, разносторонние и равнобедренные. В равностороннем треугольнике все стороны равны, а это, как вы выяснили, говорит о том, что треугольник остроугольный. Если у треугольника равны только две стороны или стороны не равны между собой, он может быть и тупоугольным, и прямоугольным, и остроугольным. Значит, в этих случаях необходимо вычислить или измерить углы и делать умозаключения, согласно пунктам 1, 2 или 3.
Видео по теме
Источники:
- тупоугольный треугольник
Равенство двух или более треугольников соответствует случаю, когда все стороны и углы данных треугольников равны. Однако существует ряд более простых критериев для доказательства данного равенства.
Вам понадобится
- Учебник по геометрии, лист бумаги, простой карандаш, транспортир, линейка.
Инструкция
Откройте учебник по геометрии седьмого класса на параграфе о признаках равенства треугольников. Вы увидите, что существует ряд основных признаков, доказывающих равенство двух треугольников. Если два треугольника, равенство которых проверяется, являются произвольными, то для них существует три основных признака равенства. Если же известна какая-то дополнительная информация о треугольниках, то основные три признака дополняются еще несколькими. Это относится, например, к случаю равенства прямоугольных треугольников.
Прочитайте первое правило о равенстве треугольников. Как известно, оно позволяет считать треугольники равными, если можно доказать, что какой-либо один угол и две прилегающие к нему стороны двух треугольников равны. Для того чтобы понять, данный закон, начертите на листе бумаги с помощью транспортира два одинаковых определенных угла, образованных двумя лучами, исходящими из одной точки. Отмерьте линейкой одинаковые стороны от вершины нарисованного угла в обоих случаях. Используя транспортир, измерьте величины полученных углов двух образованных треугольников, убедитесь, что они равны.
Для того чтобы не прибегать к таким практическим мерам для понимания признака равенства треугольников, прочитайте доказательство первого признака равенства. Дело в том, что каждое правило о равенстве треугольников имеет строгое теоретическое доказательство, просто его не удобно использовать в целях запоминания правил.
Прочитайте второй признак равенства треугольников. Он гласит, что два треугольника будут равны в том случае, если какая-либо одна сторона и два прилегающие к ней угла двух таких треугольников равны. Для того чтобы запомнить данное правило, представьте нарисованную сторону треугольника и два прилежащих к ней угла. Представьте, что длины сторон углов постепенно увеличиваются. В конце концов, они пересекутся, образуя третий угол. В данной мысленной задаче важным является то, что точка пересечения сторон, которые мысленно увеличиваются, а также полученный угол однозначно определяются третьей стороной и двумя прилегающими к ней углами.
Если вам не дана никакая информация об углах исследуемых треугольников, то используйте третий признак равенства треугольников. По данному правилу, два треугольника считаются равными, если все три стороны одно из них равны соответствующим трем сторонам другого. Таким образом, данное правило говорит о том, что длины сторон треугольника однозначно определяют все углы треугольника, а значит, они однозначно определяют и сам треугольник.
Видео по теме
Задачи:
1. Познакомить учащихся с разными видами треугольников в зависимости от вида углов (прямоугольный, остроугольный, тупоугольный). Учиться находить на чертежах треугольники и их виды. Закреплять основные геометрические понятия и их свойства: прямая линия, отрезок, луч, угол.
2. Развитие мышления, воображения, математической речи.
3. Воспитание внимания, активности.
Ход урока
I. Организационный момент.
Много ль надо нам, ребята,
Для умелых наших рук?
Нарисуем два квадрата,
А на них огромный круг.
А потом ещё кружочки,
Треугольник колпачок.
Вот и вышел очень - очень
Развесёлый Чудачок.
II. Объявление темы урока.
Сегодня на уроке мы с вами совершим путешествие по городу Геометрии и побываем в микрорайоне Треугольники (т.е. познакомимся с разными видами треугольников в зависимости от их углов, будем учиться находить эти треугольники на чертежах.) Проведём урок в форме “игры-соревнования” по командам.
1 команда - “Отрезок”.
2 команда - “Луч”.
3 команда - “Угол”.
А гости будут представлять жюри.
Жюри нас по пути направит
И без вниманья не оставит. (Оценивать по баллам 5,4,3,...).
А на чём же мы будем путешествовать по городу Геометрии? Вспомните, какие виды пассажирского транспорта есть в городе? Нас очень много, какой же мы выберем? (Автобус).
Автобус. Чётко, кратко. Начинается посадка.
Усаживаемся поудобнее и начнём наше путешествие. Капитаны команд получите билеты.
Но билеты эти непростые, а билеты - “задания”.
III. Повторение пройденного материала.
Первая остановка “ Повторяй-ка”.
Вопрос всем командам.
Найти на чертеже прямую линию и назвать её свойства.
Без конца и края линия прямая!
Хоть сто лет по ней иди,
Не найдёшь конца пути!
- Прямая не имеет ни начала, ни конца - она бесконечна, поэтому её измерить нельзя.
Начинаем наше соревнование.
Защита названий своих команд.
(Все команды читают первые вопросы и обсуждают. По очереди капитаны команд зачитывают вопросы, 1 команда читает 1 вопрос).
1. Показать на чертеже отрезок. Что называется отрезком. Назвать его свойства.
- Часть прямой, ограниченная двумя точками, называется отрезком. У отрезка есть начало и конец, потому его можно измерить при помощи линейки.
(2 команда читает 1 вопрос).
1. Показать на чертеже луч. Что называется лучом. Назвать его свойства.
- Если отметить точку и из неё провести часть прямой, то получится изображение луча. Точка, из которой проведена часть прямой, называется началом луча.
Конца у луча нет, поэтому его измерить нельзя.
(3 команда читает 1 вопрос).
1 .Показать на чертеже угол. Что называется углом. Назвать его свойства.
- Проведя из одной точки два луча, получается геометрическая фигура, которая называется углом. У угла есть вершина, а сами лучи называются сторонами угла. Углы измеряются в градусах с помощью транспортира.
Физкультминутка (под музыку).
IV. Подготовка к изучению нового материала.
Вторая остановка “Сказочная”.
На прогулке Карандаш встретил разные углы. Хотел с ними поздороваться, да забыл, как зовут каждого из них. Придётся Карандашу помочь.
(Углы уч-ся проверяют с помощью модели прямого угла).
Задание командам. Прочитайте вопросы №2, обсудите.
1 команда читает 2 вопрос.
2. Найти прямой угол, дать определение.
- Угол величиной 90°называется прямым углом.
2 команда читает 2 вопрос.
2. Найти острый угол, дать определение.
- Угол меньше прямого, называется острым.
3 команда читает 2 вопрос.
2. Найти тупой угол, дать определение.
Угол больше прямого, называется тупым.
В микрорайоне, где любил гулять Карандаш, все углы отличались от других жителей тем, что гуляли всегда втроём, пили чай втроём, ходили в кино втроём. И Карандаш никак не мог понять, что за геометрическую фигуру вместе составляют три угла?
А подсказкой вам будет стихотворение.
Ты на меня, ты на него,
На всех нас посмотри.
У нас всего, у нас всего,
У нас всего по три!
О свойствах какой фигуры говорится?
- О треугольнике.
Какая же фигура называется треугольником?
- Треугольник - это геометрическая фигура, у которой три вершины, три угла, три стороны.
(Уч-ся показывают на чертеже треугольник, называют вершины, углы и стороны).
Вершины: А, В, С (точки)
Углы: ВАС, АВС, ВСА.
Стороны: АВ, ВС, СА (отрезки).
V. Физкультминутка:
8 раз ногою топнем,
9 раз руками хлопнем,
мы присядем 10 раз,
и наклонимся 6 раз,
мы подпрыгнем ровно
столько (показ треугольника)
Ай, да, счёт! Игра и только!
VI. Изучение нового материала.
Скоро углы подружились и стали неразлучны.
И теперь микрорайон мы будем так и называть: микрорайон Треугольники.
Третья остановка “Знайка”.
А как зовут эти треугольники?
Давайте дадим им имена. И попробуем сами сформулировать определение.
2. Найди треугольники разных видов
1 команда найдет и покажет тупоугольные треугольники.
2 команда найдёт и покажет прямоугольные треугольники.
3 команда найдёт и покажет остроугольные треугольники.
VIII. Следующая остановка “Соображай-ка”.
Задание всем командам.
Переложив 6 палочек, составьте из фонаря 4 равных треугольника.
Какие по виду углов получились треугольники? (Остроугольные).
IX. Итог урока.
В каком же микрорайоне мы с вами побывали?
С какими видами треугольников познакомились?
Длины сторон треугольника (короче, стороны треугольника) не
могут быть заданы произвольно. Действительно, для произвольного треугольника
АВС сумма двух любых сторон больше третей стороны: АВ + ВС > АС, так как ломаная
длиннее отрезка прямой. Из этого же неравенства находим АС – АВ < ВС, то
есть разность двух любых сторон треугольника меньше его третей стороны.
Например, из отрезков
а
= 5, b
= 8, с
= 14 нельзя построить треугольник, так как 14>5+8. Если же
даны три отрезка a
,
b
,
c
такие, что больший из них меньше суммы двух других, то
можно построить треугольник, то можно построить треугольник, имеющий данные
отрезки своими сторонами. Итак,
Теорема 1.
Сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины третьей стороны этого треугольника.
(a + b > c
, где с
– наибольший из трех отрезков).
Доказательство:
Пусть ABC - данный треугольник. Докажем, что AB + AC > BC. Опустим из вершины A этого треугольника высоту AD. Рассмотрим два случая:
1) Точка D принадлежит отрезку BC, или совпадает с его концами (рис.1). В этом случае AB>DB и AC>DC, так как длина наклонной больше длины проекции наклонной. Сложив эти два неравенства, получим, что AB + AC > BD + DC = BC. Что и требовалось доказать.
2) Точка D не принадлежит отрезку BC (рис.2). В этом случае BD
Теорема 2.
Сумма
углов любого треугольника равна 180 градусов.
Доказательство. Рассмотрим произвольный треугольник АВС и
проведем через одну из его вершин, например В
, прямую BD
, параллельную
противоположной стороне АС. Теперь из чертежа ясно, что ∠
1’ = ∠
1 и ∠
2’ = ∠
2
(накрест лежащие углы), и так как 1’ + 2’ + 3 = 180°, то 1 + 2 + 3 = 180°, что и требовалось доказать.
Продолжая сторону АС, находим как следствие:
Теорема 3.
Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.
Теорема 3.1
Тем самым, внешний угол треугольника больше каждого из его внутренних углов, с ним не смежных.
Действительно, на рисунке ∠
4=180°-∠
2 (как смежные)
Также ∠
2=180°-(∠
1+∠
3)
Подставляя второе выражение в первое, получаем: ∠
4=∠
1+∠
3
Ну, а так как ни один из углов не может равняться нулю, каждый из этих углов меньше внешнего, например, ∠
1=∠
4-∠
3 или ∠
1<∠
4
Таким образом, зная два угла треугольника, можно найти и
третий. Ясно также, что если один угол в треугольнике прямой или тупой, то два
других его угла острые.
Определение 1.
Если один угол треугольника тупой, то треугольник называется тупоугольным.
Определение 2.
Если один угол треугольника прямой, то треугольник называется прямоугольным.
Определение 3.
Если все три угла треугольника острые, то треугольник называется остроугольным.
Из задач на построение треугольников видно, что при любых
данных положительных углах α
, β
,
γ
, составляющих в сумме два прямых, существуют треугольники,
имеющие α
, β
,
γ
своими внутренними углами. Итак,
Теорема 4.
Условие a
+ b
+ g
= 180°
необходимо и достаточно для существования треугольника с углами a
, b
, g
.
Так как внешний угол треугольника дополняет внутренний
смежный с ним угол до развернутого угла, то
Теорема 5.
Сумма внешних углов треугольника
равна 360°.
Связь между величинами сторон и углов треугольника
устанавливает следующая
Теорема 6 .
Против большей стороны в треугольнике лежит больший угол.
Теорема 6.1 .
Против равных сторон лежат равные углы.
Теорема 7 .
В любом треугольнике против большего угла лежит большая сторона.
Теорема 7.1 .
Против равных углов лежат равные стороны.
Доказательство. Применим свойство наклонных. Пусть в
треугольнике АВС сторона АС больше стороны ВС. Проведем высоту СМ треугольника.
Так как наклонная СВ меньше наклонной СА, то её основание В
лежит ближе к основанию высоты СМ, чем основание А наклонной СА. Поэтому, если
перегнуть рисунок по СМ, то угол при вершине В
перейдет во внешний угол B
’
треугольника АСB
’ и,
следовательно, будет больше угла А, как внутреннего с ним не смежного. Итак, если
между сторонами треугольника имеются неравентсва
a
<
b
<
c
, то соответственно и
противолежащие углы удовлетворяют неравенствам a
< b
<
g
.
Равенство углов, лежащих против равных сторон, сразу получится, если учесть,
что равные наклонные расположены относительно перпендикуляра симметрично и
совмещаются при сгибе плоскости по перпендикуляру. При этом совмещаются и углы,
равенство которых должно быть доказано.
Обратное утверждение, говорящее, что против большего угла лежит
большая сторона, получается рассуждением от противного. Так, пусть a
<
b
.
Если бы мы имели a
>
b
или
a
=
b
, то
должно было бы быть a
> b
или a
= b
,
что противоречит условию. Поэтому a
<
b
, что и требовалось доказать. Так же доказывается, что
против равных углов расположены равные стороны. В частности, равносторонний
треугольник является и равноугольным. Каждый из его углов в этом случае равен
60°
При изучении математики ученики начинаются знакомиться с различными видами геометрических фигур. Сегодня речь пойдет о различных видах треугольников.
Определение
Геометрические фигуры, которые состоят из трех точек, которые не находятся на одной прямой, называются треугольниками.
Отрезки, соединяющие точки, называются сторонами, а точки – вершинами. Вершины обозначаются большими латинскими буквами, например: A, B, C.
Стороны обозначаются названиями двух точек, из которых они состоят – AB, BC, AC. Пересекаясь, стороны образуют углы. Нижняя сторона считается основанием фигуры.
Рис. 1. Треугольник ABC.
Виды треугольников
Треугольники классифицируют по углам и сторонам. Каждый из видов треугольника имеет свои свойства.
Существует три вида треугольников по углам:
- остроугольные;
- прямоугольные;
- тупоугольные.
Все углы остроугольного треугольника острые, то есть градусная мера каждого составляет не более 90 0 .
Прямоугольный треугольник содержит прямой угол. Два других угла всегда будут острыми, так как иначе сумма углов треугольника превысит 180 градусов, а это невозможно. Сторона, которая, находится напротив прямого угла, называется гипотенузой, а две другие катетами. Гипотенуза всегда больше катета.
Тупоугольный треугольник содержит тупой угол. То есть угол, величиной больше 90 градусов. Два других угла в таком треугольника будут острыми.
Рис. 2. Виды треугольников по углам.
Пифагоровым треугольником называется прямоугольник, стороны которого равны 3, 4, 5.
Причем, большая сторона является гипотенузой.
Такие треугольники часто используются для составления простых задач в геометрии. Поэтому, запомните: если две стороны треугольника равны 3, то третья обязательно будет 5. Это упростит расчеты.
Виды треугольников по сторонам:
- равносторонние;
- равнобедренные;
- разносторонние.
Равносторонний треугольник – это треугольник, у которого все стороны равны. Все углы такого треугольника равны 60 0 , то есть он всегда является остроугольным.
Равнобедренный треугольник – треугольник, у которого только две стороны равны. Эти стороны называются боковыми, а третья – основанием. Кроме того, углы при основании равнобедренного треугольника равны и всегда являются острыми.
Разносторонним или произвольным треугольником называется треугольник, у которого все длины и все углы не равны между собой.
Если в задаче нет никаких уточнений по поводу фигуры, то принято считать, что речь идет о произвольном треугольнике.
Рис. 3. Виды треугольников по сторонам.
Сумма всех углов треугольника, независимо от его вида, равна 1800.
Напротив большего угла находится большая сторона. А также длина любой стороны всегда меньше суммы двух других его сторон. Эти свойства подтверждаются теоремой о неравенстве треугольника.
Существует понятие золотого треугольника. Это равнобедренный треугольник, у которого две боковые стороны пропорциональны основе и равны определенному числу. В такой фигуре углы пропорциональны соотношению 2:2:1.
Задача:
Существует ли треугольник, стороны которого равны 6 см., 3 см., 4 см.?
Решение:
Для решения данного задания нужно использовать неравенство a
Что мы узнали?
Из данного материала из курса математики 5 класса, мы узнали, что треугольники классифицируются по сторонам и величине углов. Треугольники имеют определенные свойства, которые можно использовать при решении заданий.