Zacznij od nauki. Liczby Fibonacciego i złoty podział: związek Jaka jest liczba phi
Liczby Fibonacciego lub ciąg Fibonacciego- ciąg liczbowy - posiadający szereg właściwości. Przykładowo suma dwóch sąsiadujących ze sobą liczb w ciągu daje wartość kolejnej (np. 1+1=2; 2+3=5 itd.), co potwierdza istnienie tzw. współczynników Fibonacciego , tj. stałe proporcje.
Ciąg Fibonacciego zaczyna się w następujący sposób: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233...
Własności ciągu Fibonacciego
1.
Stosunek każdej liczby do następnej dąży coraz bardziej do 0,618 w miarę wzrostu numeru seryjnego. Stosunek każdej liczby do poprzedniej dąży do 1,618 (odwrotność 0,618). Liczba 0,618 nazywa się (FI).
2.
Kiedy każda liczba jest dzielona przez następną, liczba po jedynce wynosi 0,382; wręcz przeciwnie – odpowiednio 2,618.
3.
Wybierając w ten sposób współczynniki, otrzymujemy główny zestaw współczynników Fibonacciego:… 4,235, 2,618, 1,618, 0,618, 0,382, 0,236.
Związek ciągu Fibonacciego ze „złotym podziałem”
Ciąg Fibonacciego asymptotycznie (zbliżając się coraz wolniej) ma tendencję do pewnej stałej zależności. Jednak ten stosunek jest irracjonalny, to znaczy reprezentuje liczbę z nieskończoną, nieprzewidywalną sekwencją cyfr dziesiętnych w części ułamkowej. Nie da się tego precyzyjnie wyrazić.
Jeśli dowolny element ciągu Fibonacciego zostanie podzielony przez jego poprzednika (na przykład 13:8), wynikiem będzie wartość, która oscyluje wokół irracjonalnej wartości 1,61803398875... i czasami ją przekracza, czasami jej nie osiąga. Ale nawet po spędzeniu na tym Wieczności nie da się dokładnie ustalić proporcji, aż do ostatniej cyfry po przecinku. Dla ścisłości przedstawimy to w postaci 1.618. Stosunkowi temu zaczęto nadawać specjalne nazwy jeszcze zanim Luca Pacioli (średniowieczny matematyk) nazwał go Boską proporcją. Wśród jego współczesnych nazw znajdują się Złoty Podział, Złota Średnia i stosunek obracających się kwadratów. Kepler nazwał tę zależność jednym ze „skarbów geometrii”. W algebrze Powszechnie przyjmuje się, że oznacza się je grecką literą phi.
Ф=1,618
Złoty podział- jest to taki proporcjonalny podział odcinka na nierówne części, w którym cały odcinek odnosi się do części większej, tak jak sama część większa do mniejszej; lub innymi słowy, mniejszy segment ma się do większego, jak większy do całości.
Odcinki złotej proporcji wyraża się jako nieskończony ułamek niewymierny 0,618..., jeśli AB przyjąć jako jeden, AC = 0,382.. Jak już wiemy, liczby 0,618 i 0,382 są współczynnikami ciągu Fibonacciego.
Proporcje Fibonacciego i złoty podział w przyrodzie i historii
Należy zauważyć, że Fibonacci zdawał się przypominać ludzkości o swoim ciągu. Znali go starożytni Grecy i Egipcjanie. I rzeczywiście, od tego czasu wzorce opisane współczynnikami Fibonacciego odkryto w przyrodzie, architekturze, sztukach pięknych, matematyce, fizyce, astronomii, biologii i wielu innych dziedzinach. To niesamowite, ile stałych można obliczyć za pomocą ciągu Fibonacciego i jak jego wyrazy pojawiają się w ogromnej liczbie kombinacji. Nie będzie jednak przesadą stwierdzenie, że nie jest to tylko gra z liczbami, ale najważniejszy matematyczny wyraz zjawisk naturalnych, jaki kiedykolwiek odkryto.
Poniższe przykłady pokazują kilka interesujących zastosowań tej sekwencji matematycznej.-
1. Skorupa skręcona w spiralę. Jeśli go rozłożysz, otrzymasz długość nieco krótszą niż długość węża. Mała dziesięciocentymetrowa muszla ma spiralę o długości 35 cm. Kształt spiralnie zwiniętej muszli przyciągnął uwagę Archimedesa. Faktem jest, że stosunek wymiarów loków muszli jest stały i równy 1,618. Archimedes badał spiralę muszli i wyprowadził równanie spirali. Spirala narysowana według tego równania nosi jego imię. Wzrost jej kroku jest zawsze równomierny. Obecnie spirala Archimedesa jest szeroko stosowana w technologii.
2. Rośliny i zwierzęta. Goethe podkreślał także tendencję natury do spiralności.
Już dawno zauważono spiralne i spiralne ułożenie liści na gałęziach drzew. Spiralę można było zobaczyć w ułożeniu nasion słonecznika, szyszek, ananasów, kaktusów itp. Wspólna praca botaników i matematyków rzuciła światło na te niesamowite zjawiska naturalne. Okazało się, że w ułożeniu liści na gałęzi nasion słonecznika i szyszek ujawnia się ciąg Fibonacciego, a zatem objawia się prawo złotego podziału. Pająk tka swoją sieć spiralnie. Huragan wiruje jak spirala. Przestraszone stado reniferów rozprasza się po spirali. Cząsteczka DNA jest skręcona w podwójną helisę. Goethe nazwał spiralę „krzywą życia”.
Zarówno w świecie roślinnym, jak i zwierzęcym nieustannie przełamuje się formacyjna tendencja natury – symetria w zakresie kierunku wzrostu i ruchu. Tutaj złoty podział pojawia się w proporcjach części prostopadłych do kierunku wzrostu. Natura dokonała podziału na symetryczne części i złote proporcje. W częściach ujawnia się powtórzenie struktury całości.
Piotra Curie na początku naszego stulecia sformułował szereg głębokich idei symetrii. Twierdził, że nie można rozważać symetrii żadnego ciała bez uwzględnienia symetrii otoczenia. Prawa złotej symetrii przejawiają się w przejściach energii cząstek elementarnych, w strukturze niektórych związków chemicznych, w układach planetarnych i kosmicznych, w strukturach genowych organizmów żywych. Wzorce te, jak wskazano powyżej, istnieją w budowie poszczególnych narządów człowieka i organizmu jako całości, a także przejawiają się w biorytmach i funkcjonowaniu mózgu oraz percepcji wzrokowej.
3. Przestrzeń. Z historii astronomii wiadomo, że I. Titius, niemiecki astronom z XVIII wieku, za pomocą tej serii (Fibonacciego) znalazł wzór i porządek w odległościach między planetami Układu Słonecznego
Jednak jeden przypadek wydawał się zaprzeczać prawu: między Marsem a Jowiszem nie było planety. Skoncentrowana obserwacja tej części nieba doprowadziła do odkrycia pasa asteroid. Stało się to po śmierci Tycjusza na początku XIX wieku.
Seria Fibonacciego jest szeroko stosowana: służy do przedstawiania architektury istot żywych, konstrukcji stworzonych przez człowieka i struktury galaktyk. Fakty te świadczą o niezależności szeregu liczbowego od warunków jego manifestacji, co jest jednym z przejawów jego uniwersalności.
4. Piramidy. Wielu próbowało rozwikłać tajemnice piramidy w Gizie. W przeciwieństwie do innych egipskich piramid, nie jest to grobowiec, ale raczej nierozwiązywalna zagadka kombinacji liczb. Niezwykła pomysłowość, umiejętności, czas i praca, jakie architekci piramidy włożyli w budowę odwiecznego symbolu, wskazują na ogromne znaczenie przesłania, które chcieli przekazać przyszłym pokoleniom. Ich era była przedpiśmienna, prehieroglificzna, a jedynym sposobem zapisywania odkryć były symbole. Klucz do geometryczno-matematycznego sekretu Piramidy w Gizie, który przez tak długi czas był tajemnicą dla ludzkości, został faktycznie przekazany Herodotowi przez kapłanów świątyni, którzy poinformowali go, że piramida została zbudowana w taki sposób, że powierzchnia każda z jego ścian była równa kwadratowi jego wysokości.
Niektórzy współcześni uczeni są skłonni interpretować, że starożytni Egipcjanie zbudowali go wyłącznie w celu przekazania wiedzy, którą chcieli zachować dla przyszłych pokoleń. Intensywne badania piramidy w Gizie pokazały, jak obszerna była wówczas wiedza z zakresu matematyki i astrologii. We wszystkich wewnętrznych i zewnętrznych proporcjach piramidy kluczową rolę odgrywa liczba 1,618.
Kategorie:
Nawet prawdziwe opinie są niewiele warte
dopóki ktoś nie połączy ich ogniwem rozumowania przyczynowego.
Książka D. Browna „Kod Da Vinci” pomogła mi w rozpoczęciu opracowywania tego materiału. Jako kod bohater książki używa kilku liczb z ciągu Fibonacciego: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,… Znalazłem dodatkowe materiały na ten temat i. W rezultacie wiele rozwinięć moich lekcji zostało rozszerzonych.
Na przykład pierwsza lekcja matematyki w klasie piątej na temat: „Oznaczanie liczb naturalnych”. Mówiąc o nieskończonym ciągu liczb naturalnych, zauważyłem obecność innych szeregów, na przykład szeregu Fibonacciego i szeregu „liczb trójkątnych”: 1, 3, 6, 10, ...
W ósmej klasie, ucząc się liczb niewymiernych, obok liczby „pi” podaję liczbę „phi” (Ф=1,618...). (D. Brown nazywa tę liczbę „pfi”, co według autora jest jeszcze fajniejsze niż „pi”). Proszę uczniów, aby pomyśleli o dwóch liczbach, a następnie utworzyli serię, korzystając z „zasady” ciągu Fibonacciego. Każdy oblicza swój ciąg aż do dziesiątego wyrazu. Na przykład 7 i 13. Zbudujmy ciąg: 7, 13, 20, 33, 53, 86, 139, 225, 364, 589,… Już przy dzieleniu dziewiątego wyrazu przez ósmy pojawia się liczba Fibonacciego.
Historia życia.
Włoski kupiec Leonardo z Pizy (1180-1240), lepiej znany pod pseudonimem Fibonacci, był znaczącym matematykiem średniowiecza. Rola jego książek w rozwoju matematyki i upowszechnianiu wiedzy matematycznej w Europie jest nie do przecenienia.
Życie i kariera naukowa Leonarda są ściśle związane z rozwojem europejskiej kultury i nauki.
Do renesansu było jeszcze daleko, ale historia dała Włochom krótki okres, który można nazwać próbą przed nadchodzącym renesansem. Próbę tę prowadził Fryderyk II, Święty Cesarz Rzymski. Wychowany w tradycjach południowych Włoch Fryderyk II był wewnętrznie głęboko odległy od europejskiej rycerskości chrześcijańskiej. Fryderyk II w ogóle nie uznawał turniejów rycerskich. Zamiast tego kultywował zawody matematyczne, w których przeciwnicy zamiast ciosów wymieniali się problemami.
To właśnie na takich turniejach zabłysnął talent Leonardo Fibonacciego. Sprzyjało temu dobre wykształcenie, jakie zapewnił synowi kupiec Bonacci, który zabrał go ze sobą na Wschód i przydzielił mu arabskich nauczycieli. Spotkanie Fibonacciego z Fryderykiem II odbyło się w 1225 roku i było wydarzeniem o ogromnym znaczeniu dla miasta Pizy. Cesarz jechał konno na czele długiej procesji złożonej z trębaczy, dworzan, rycerzy, urzędników i wędrownej menażerii zwierząt. Niektóre problemy, które cesarz postawił słynnemu matematykowi, zostały szczegółowo opisane w Księdze liczydła. Fibonacci najwyraźniej rozwiązał problemy postawione przez cesarza i na zawsze stał się mile widzianym gościem na Dworze Królewskim. Kiedy Fibonacci zrewidował Księgę liczydła w 1228 r., zadedykował poprawioną edycję Fryderykowi II. W sumie napisał trzy znaczące dzieła matematyczne: Księgę liczydła, wydaną w 1202 r. i przedrukowaną w 1228 r., Geometrię praktyczną, wydaną w 1220 r. oraz Księgę kwadratur. Książki te, przewyższające poziomem dzieła arabskie i średniowieczne dzieła europejskie, były używane do nauczania matematyki niemal aż do czasów Kartezjusza. Jak zapisano w dokumentach z roku 1240, pełni podziwu obywatele Pizy określili go jako „człowieka rozsądnego i erudycyjnego”, a niedawno Joseph Guise, redaktor naczelny Encyclopædia Britannica, oświadczył, że przyszli uczeni przez cały czas „będą spłacić swój dług Leonardo z Pizy, jako jeden z największych pionierów intelektualnych na świecie.”
Problem z królikiem.
Najbardziej interesuje nas praca „Księga liczydła”. Książka ta jest obszernym dziełem, zawierającym prawie wszystkie informacje arytmetyczne i algebraiczne tamtych czasów i odegrała znaczącą rolę w rozwoju matematyki w Europie Zachodniej w ciągu następnych kilku stuleci. W szczególności z tej książki Europejczycy zapoznali się z cyframi hinduskimi (arabskimi).
Materiał wyjaśniono na przykładach problemów, które stanowią znaczną część tego traktatu.
W tym rękopisie Fibonacci postawił następujący problem:
„Ktoś umieścił parę królików w określonym miejscu, otoczonym ze wszystkich stron murem, aby dowiedzieć się, ile par królików urodzi się w ciągu roku, jeśli natura królików jest taka, że po miesiącu para królików rodzi kolejną parę, a króliki rodzą od drugiego miesiąca po twoim urodzeniu.”
Oczywiste jest, że jeśli uznamy pierwszą parę królików za noworodki, to w drugim miesiącu nadal będziemy mieli jedną parę; przez 3 miesiąc - 1+1=2; 4-go - 2 + 1 = 3 pary (ze względu na dwie dostępne pary tylko jedna para rodzi potomstwo); w 5 miesiącu - 3+2=5 par (tylko 2 pary urodzone w 3 miesiącu dadzą potomstwo w 5 miesiącu); w 6 miesiącu - 5 + 3 = 8 par (ponieważ tylko pary urodzone w 4 miesiącu dadzą potomstwo) itp.
Jeśli więc liczbę par królików dostępnych w n-tym miesiącu oznaczymy przez Fk, to F1=1, F2=1, F3=2, F4=3, F5=5, F6=8, F7=13, F8= 21 itd., a powstawanie tych liczb reguluje ogólne prawo: Fn=Fn-1+Fn-2 dla wszystkich n>2, gdyż liczba par królików w n-tym miesiącu jest równa liczbie Fn -1 par królików w poprzednim miesiącu plus liczba nowo narodzonych par, co pokrywa się z liczbą par królików Fn-2 urodzonych w (n-2)-tym miesiącu (ponieważ tylko te pary królików dają potomstwo).
Liczby Fn tworzące ciąg 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ... nazywane są „liczbami Fibonacciego”, a sam ciąg nazywany jest Ciąg Fibonacciego.
Stosunkowi temu zaczęto nadawać specjalne nazwy jeszcze zanim Luca Pacioli (średniowieczny matematyk) nazwał go Boską Proporcją. Kepler nazwał tę zależność jednym ze skarbów geometrii. W algebrze powszechnie przyjmuje się, że oznacza się go grecką literą „phi” (Ф=1,618033989…).
Poniżej znajdują się relacje drugiego członu do pierwszego, trzeciego do drugiego, czwartego do trzeciego i tak dalej:
1:1 = 1,0000, czyli mniej niż phi o 0,6180
2:1 = 2,0000, czyli o 0,3820 więcej niż phi
3:2 = 1,5000, czyli mniej niż phi o 0,1180
5:3 = 1,6667, czyli o 0,0486 więcej niż phi
8:5 = 1,6000, czyli mniej niż phi o 0,0180
Gdy będziemy przechodzić przez sekwencję sumowania Fibonacciego, każdy nowy wyraz będzie dzielił następny z coraz większym przybliżeniem do nieosiągalnego „phi”. Wahania stosunków w okolicach wartości 1,618 o większą lub mniejszą wartość znajdziemy w Teorii Fal Elliotta, gdzie opisuje je Reguła Alternacji. Należy zauważyć, że w przyrodzie znajduje się właśnie przybliżenie liczby „phi”, podczas gdy matematyka operuje wartością „czystą”. Został on wprowadzony przez Leonarda da Vinci i nazwany „złotym podziałem” (złoty podział). Wśród jego współczesnych nazw znajdują się takie jak „złoty środek” i „współczynnik obrotowy”. Złota proporcja to podział odcinka AC na dwie części w taki sposób, że jego większa część AB odnosi się do mniejszej części BC w ten sam sposób, w jaki cały odcinek AC odnosi się do AB, czyli: AB: BC = AC: AB = F (dokładna liczba niewymierna „fi”).
Dzieląc dowolny element ciągu Fibonacciego przez następny, uzyskuje się odwrotność 1,618 (1: 1,618 = 0,618). To także bardzo niezwykłe, wręcz niezwykłe zjawisko. Ponieważ pierwotny stosunek jest ułamkiem nieskończonym, stosunek ten również nie powinien mieć końca.
Dzieląc każdą liczbę przez następną po niej, otrzymujemy liczbę 0,382.
Wybierając w ten sposób współczynniki, otrzymujemy główny zestaw współczynników Fibonacciego: 4,235, 2,618, 1,618, 0,618, 0,382, 0,236. Wszystkie odgrywają szczególną rolę w przyrodzie, a zwłaszcza w analizie technicznej.
To niesamowite, jak wiele stałych można obliczyć za pomocą ciągu Fibonacciego i jak jego wyrazy pojawiają się w ogromnej liczbie kombinacji. Nie będzie jednak przesadą stwierdzenie, że nie jest to tylko gra z liczbami, ale najważniejszy matematyczny wyraz zjawisk naturalnych, jaki kiedykolwiek odkryto.
Liczby te są niewątpliwie częścią mistycznej naturalnej harmonii, która jest przyjemna w dotyku, wygląda przyjemnie, a nawet przyjemnie brzmi. Na przykład muzyka opiera się na 8-dźwiękowej oktawie. W fortepianie jest to reprezentowane przez 8 białych klawiszy i 5 czarnych klawiszy – w sumie 13.
Bardziej wizualną reprezentację można uzyskać, badając spirale w naturze i dziełach sztuki. Święta geometria bada dwa rodzaje spiral: spiralę złotego podziału i spiralę Fibonacciego. Porównanie tych spiral pozwala nam wyciągnąć następujący wniosek. Spirala złotego podziału jest idealna: nie ma początku ani końca, ciągnie się w nieskończoność. Natomiast spirala Fibonacciego ma początek. Wszystkie naturalne spirale są spiralami Fibonacciego, a dzieła sztuki wykorzystują obie spirale, czasami jednocześnie.
Matematyka.
Pentagram (pentagram, pięcioramienna gwiazda) jest jednym z często używanych symboli. Pentagram jest symbolem doskonałego mężczyzny stojącego na dwóch nogach z rozłożonymi rękami. Można powiedzieć, że człowiek jest żywym pentagramem. Dzieje się tak zarówno fizycznie, jak i duchowo – człowiek posiada i przejawia pięć cnót: miłość, mądrość, prawda, sprawiedliwość i dobroć. Są to cnoty Chrystusa, które można przedstawić za pomocą pentagramu. Te pięć cnót niezbędnych do rozwoju człowieka jest bezpośrednio związanych z ciałem człowieka: dobroć związana jest z nogami, sprawiedliwość z rękami, miłość z ustami, mądrość z uszami, oczy z prawdą.
Prawda należy do ducha, miłość do duszy, mądrość do intelektu, dobroć do serca, sprawiedliwość do wody. Istnieje także zgodność pomiędzy ludzkim ciałem a pięcioma żywiołami (ziemia, woda, powietrze, ogień i eter): wola odpowiada ziemi, serce wodzie, intelekt powietrzu, dusza ogniowi, duch eterowi. Zatem swoją wolą, intelektem, sercem, duszą, duchem człowiek jest połączony z pięcioma żywiołami działającymi w kosmosie i może świadomie pracować z nim w harmonii. Takie jest właśnie znaczenie innego symbolu - podwójnego pentagramu, człowiek (mikrokosmos) żyje i działa we wszechświecie (mikrokosmos).
Odwrócony pentagram wlewa energię w Ziemię i dlatego jest symbolem tendencji materialistycznych, natomiast pentagram zwykły kieruje energię w górę i przez to ma charakter duchowy. Jedna rzecz, co do której wszyscy się zgadzają, to to, że pentagram z pewnością reprezentuje „duchową formę” postaci ludzkiej.
Proszę zwrócić uwagę na CF:FH=CH:CF=AC:CH=1,618. Rzeczywiste proporcje tego symbolu opierają się na świętej proporcji zwanej złotą sekcją: to położenie punktu na dowolnej narysowanej linii, gdy dzieli ona linię w taki sposób, że mniejsza część jest w tej samej proporcji do większej części, co większa część. do całości. Ponadto pięciokąt foremny pośrodku sugeruje, że proporcje są zachowane w przypadku pięciokątów nieskończenie małych. Ta „boska proporcja” przejawia się w każdym pojedynczym promieniu pentagramu i pomaga wyjaśnić podziw, z jakim matematycy przez cały czas patrzyli na ten symbol. Co więcej, jeśli bok pięciokąta jest równy jeden, wówczas przekątna wynosi 1,618.
Wielu próbowało rozwikłać tajemnice piramidy w Gizie. W przeciwieństwie do innych egipskich piramid, nie jest to grobowiec, ale raczej nierozwiązywalna zagadka kombinacji liczb. Niezwykła pomysłowość, umiejętności, czas i praca, jakie architekci piramidy włożyli w budowę odwiecznego symbolu, wskazują na ogromne znaczenie przesłania, które chcieli przekazać przyszłym pokoleniom. Ich era była przedpiśmienna, prehieroglificzna, a jedynym sposobem zapisywania odkryć były symbole.
Naukowcy odkryli, że trzy piramidy w Gizie są ułożone spiralnie. W latach 80. XX wieku odkryto obecność zarówno spirali złotego podziału, jak i spirali Fibonacciego.
Klucz do geometryczno-matematycznego sekretu Piramidy w Gizie, który przez tak długi czas był tajemnicą dla ludzkości, faktycznie został przekazany Herodotowi przez kapłanów świątynnych, którzy poinformowali go, że piramida została zbudowana w taki sposób, że powierzchnia każda z jego ścian była równa kwadratowi jego wysokości.
Pole trójkąta
356 x 440 / 2 = 78320
Powierzchnia kwadratowa
280 x 280 = 78400
Długość czoła piramidy w Gizie wynosi 783,3 stóp (238,7 m), a wysokość piramidy wynosi 484,4 stóp (147,6 m). Długość krawędzi podzielona przez wysokość daje stosunek Ф=1,618. Wysokość 484,4 stóp odpowiada 5813 calom (5-8-13) - to liczby z ciągu Fibonacciego.
Te interesujące obserwacje sugerują, że konstrukcja piramidy opiera się na proporcji Ф=1,618. Współcześni uczeni zazwyczaj interpretują, że starożytni Egipcjanie zbudowali go wyłącznie w celu przekazania wiedzy, którą chcieli zachować dla przyszłych pokoleń. Intensywne badania piramidy w Gizie pokazały, jak obszerna była wówczas wiedza z matematyki i astrologii. We wszystkich wewnętrznych i zewnętrznych proporcjach piramidy kluczową rolę odgrywa liczba 1,618.
Piramidy egipskie nie tylko zostały zbudowane według doskonałych proporcji złotego podziału, to samo zjawisko zaobserwowano w piramidach meksykańskich. Nasuwa się pomysł, że piramidy egipskie i meksykańskie zostały wzniesione mniej więcej w tym samym czasie przez ludzi tego samego pochodzenia.
Biologia.
W XIX wieku naukowcy zauważyli, że kwiaty i nasiona słonecznika, rumianku, łuski owoców ananasa, szyszek drzew iglastych itp. „Upakowano” w podwójne spirale, zwijając się ku sobie. W tym przypadku liczby „prawej” i „lewej” spirali są zawsze powiązane ze sobą, podobnie jak sąsiednie liczby Fibonacciego (13:8, 21:13, 34:21, 55:34). Liczne przykłady podwójnych helis spotykanych w naturze zawsze odpowiadają tej zasadzie.
Goethe podkreślał także tendencję natury do spiralności. Już dawno zauważono spiralne i spiralne ułożenie liści na gałęziach drzew. Spiralę można było zobaczyć w ułożeniu nasion słonecznika, szyszek, ananasów, kaktusów itp. Prace botaników i matematyków rzuciły światło na te niesamowite zjawiska naturalne. Okazało się, że w ułożeniu liści na gałęzi nasion słonecznika i szyszek ujawnia się ciąg Fibonacciego, a zatem objawia się prawo złotego podziału. Pająk tka swoją sieć spiralnie. Huragan wiruje jak spirala. Przestraszone stado reniferów rozprasza się po spirali. Cząsteczka DNA jest skręcona w podwójną helisę. Goethe nazwał spiralę „krzywą życia”.
Każda dobra książka podaje jako przykład muszlę Nautilusa. Co więcej, wiele publikacji twierdzi, że jest to spirala złotego podziału, ale jest to błędne - jest to spirala Fibonacciego. Widać doskonałość ramion spiralnych, ale jeśli spojrzysz na początek, nie wygląda to tak idealnie. Jego dwa najbardziej wewnętrzne zakręty są w rzeczywistości równe. Drugi i trzeci zakręt przesuwają się nieco bliżej phi. W końcu otrzymujesz tę pełną wdzięku, gładką spiralę. Pamiętaj o związku drugiego członu z pierwszym, trzeciego z drugim, czwartego z trzecim i tak dalej. Będzie jasne, że małż dokładnie podąża za matematyką ciągu Fibonacciego.
Liczby Fibonacciego pojawiają się w morfologii różnych organizmów. Na przykład rozgwiazda. Liczba ich promieni odpowiada szeregowi liczb Fibonacciego i wynosi 5, 8, 13, 21, 34, 55. Dobrze znany komar ma trzy pary nóg, brzuch jest podzielony na osiem części, a pięć czułków na głowie. Larwa komara jest podzielona na 12 segmentów. Liczba kręgów u wielu zwierząt domowych wynosi 55. Proporcja „phi” występuje także w organizmie człowieka.
Drunvalo Melchizedek w Starożytnej tajemnicy kwiatu życia pisze: „Da Vinci wymyślił, że jeśli narysujesz kwadrat wokół ciała, to narysuj przekątną od stóp do czubków wyciągniętych palców, a następnie narysuj równoległą poziomą linię (druga z tych równoległych linii) od pępka do boku kwadratu, wówczas ta pozioma linia przetnie przekątną dokładnie w proporcji phi, a także linię pionową od głowy do stóp, jeśli pępek jest uważa się, że znajduje się w tym idealnym punkcie i nie jest nieco wyższy u kobiet i nieco niższy u mężczyzn, oznacza to, że ciało ludzkie jest podzielone w proporcji phi od czubka głowy do stóp... Gdyby tak było tylko linie, w których występuje proporcja phi w ludzkim ciele, byłby to prawdopodobnie tylko interesujący fakt. W rzeczywistości proporcja phi występuje w tysiącach miejsc w całym ciele i nie jest to tylko zbieg okoliczności oczywiste miejsca w ludzkim ciele, w których występuje proporcja phi. Długość każdego paliczka palca jest proporcjonalna do paliczka następnego... Tę samą proporcję obserwuje się dla wszystkich palców u rąk i nóg. Jeśli skorelujemy długość przedramienia z długością dłoni, otrzymamy proporcję phi, a długość barku również odnosi się do długości przedramienia. Lub powiąż długość podudzia z długością stopy i długość uda z długością podudzia. Proporcja phi występuje w całym układzie kostnym. Zwykle jest to zauważane w miejscach, gdzie coś się wygina lub zmienia kierunek. Występuje również w stosunku rozmiarów niektórych części ciała do innych. Kiedy się tego uczysz, zawsze jesteś zaskoczony.”
Wniosek.
Chociaż był największym matematykiem średniowiecza, jedynymi pomnikami Fibonacciego są posąg naprzeciwko Krzywej Wieży w Pizie po drugiej stronie rzeki Arno i dwie ulice noszące jego imię, jedna w Pizie i druga we Florencji.
Jeśli umieścisz otwartą dłoń pionowo przed sobą, z kciukiem skierowanym w stronę twarzy i zaczynając od małego palca, kolejno zaciśniesz palce w pięść, otrzymasz ruch przypominający spiralę Fibonacciego.
Literatura
1. Ensenzberger Hans Magnus Duch liczb. Matematyczne przygody. – Na. z angielskiego – Charków: Klub Książki „Rodzinny Klub Wypoczynkowy”, 2004. – 272 s.
2. Encyklopedia symboli / komp. V.M. Roshal. – Moskwa: AST; Petersburg; Sowa, 2006. – 1007 s.
Leonardo Fibonacci to jeden z najwybitniejszych matematyków średniowiecza. W jednym ze swoich dzieł, „Księdze obliczeń”, Fibonacci opisał indoarabski system obliczeń i zalety jego stosowania w porównaniu z rzymskim.
Definicja
Liczby Fibonacciego lub Ciąg Fibonacciego – ciąg liczbowy posiadający pewną liczbę parametrów. Przykładowo suma 2 sąsiadujących ze sobą liczb w ciągu daje wartość kolejnej po nich (np. 1+1=2; 2+3=5 itd.), co potwierdza istnienie tzw. Fibonacciego współczynniki, tj. niezmienne proporcje.
Ciąg Fibonacciego zaczyna się w następujący sposób: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233...
Pełna definicja liczb Fibonacciego
Charakterystyka ciągu Fibonacciego
1. Stosunek każdej liczby do następnej dąży coraz bardziej do 0,618 w miarę wzrostu numeru seryjnego. Stosunek każdej liczby do poprzedniej ma tendencję do 1,618 (odwrotność wynosi 0,618). Liczba 0,618 nazywa się (FI).
2. Dzieląc każdą liczbę przez następną po niej, po jedynce pojawia się liczba 0,382; wręcz przeciwnie - odpowiednio 2,618.
3. Wybierając zatem współczynniki, otrzymujemy główny zestaw współczynników Fibonacciego: ... 4,235, 2,618, 1,618, 0,618, 0,382, 0,236.
Związek ciągu Fibonacciego ze „złotym podziałem”
Ciąg Fibonacciego asymptotycznie (zbliżając się coraz wolniej) ma tendencję do pewnej stałej zależności. Ale ten stosunek jest irracjonalny, innymi słowy jest to liczba z nieskończonym, nieprzewidywalnym ciągiem cyfr dziesiętnych w części ułamkowej. Nie da się tego precyzyjnie wyrazić.
W tym przypadku dowolny wyraz ciągu Fibonacciego zostanie podzielony przez jego poprzednika (na przykład 13:8), wynikiem będzie wartość oscylująca wokół niewymiernej wartości 1,61803398875... i z biegiem czasu albo ją przekracza, albo nie osiąga. Ale nawet po spędzeniu na tym Wieczności nie da się dokładnie ustalić proporcji, aż do ostatniej cyfry po przecinku. Dla zachowania zwięzłości przedstawimy to w formie 1.618. Stosunkowi temu zaczęto nadawać specjalne nazwy jeszcze zanim Luca Pacioli (średniowieczny matematyk) nazwał go Boską Proporcją. Wśród jego nowoczesnych tytułów znajdują się takie jak Złoty podział, Złota średnia i stosunek obracających się kwadratów. Kepler nazwał tę zależność jednym ze „skarbów geometrii”. W algebrze powszechnie przyjmuje się, że jest oznaczana grecką literą phi
Ф=1,618
Wyobraźmy sobie złoty podział na przykładzie odcinka.
Rozważmy odcinek o końcach A i B. Niech punkt C podzieli odcinek AB w taki sposób, że:
AC/CB = CB/AB albo
Można to sobie wyobrazić mniej więcej tak: A---------C-------B
Złoty podział to taki proporcjonalny podział odcinka na nierówne części, w którym cały odcinek odnosi się do części większej, tak jak sama część największa do najmniejszej; lub innymi słowy, najmniejszy segment ma się tak do większego, jak większy do całości.
Odcinki złotej proporcji wyraża się nieskończonym ułamkiem niewymiernym 0,618..., w którym to przypadku AB przyjmuje się jako jeden, AC = 0,382.. Jak już wiemy, liczby 0,618 i 0,382 są współczynnikami ciągu Fibonacciego.
Fibonacciego i złote proporcje w przyrodzie i historia
Należy zauważyć, że Fibonacci zdawał się przypominać ludności Ziemi o swojej sekwencji. Znali go starożytni Grecy i Egipcjanie. Rzeczywiście, od tego czasu wzorce opisane współczynnikami Fibonacciego odkryto w przyrodzie, architekturze, sztukach pięknych, arytmetyce, fizyce, astronomii, biologii i wielu innych dziedzinach. To po prostu niesamowite, ile stałych można obliczyć za pomocą ciągu Fibonacciego i jak jego elementy pojawiają się w nieograniczonej liczbie kombinacji. Nie będzie jednak przesadą stwierdzenie, że nie jest to tylko gra z liczbami, ale najbardziej fundamentalny matematyczny wyraz zjawisk naturalnych, jaki kiedykolwiek odkryto.
Poniższe przykłady pokazują kilka godnych uwagi zastosowań tej sekwencji matematycznej.
1. Skorupa jest owinięta spiralą . Jeśli go rozłożysz, długość, która wyjdzie, będzie nieco krótsza niż długość węża. Mała dziesięciocentymetrowa muszla ma spiralę o długości 35 cm. Kształt spiralnie zwiniętej muszli zainteresował Archimedesa. Faktem jest, że stosunek wymiarów zakrętów muszli jest stały i wynosi 1,618. Archimedes badał spiralę muszli i wyprowadził równanie spirali. Spirala narysowana według tego równania nazywa się po imieniu. Wzrost jej kroku jest zawsze umiarkowany. Obecnie spirala Archimedesa jest szeroko stosowana w technologii.
2. Rośliny i zwierzęta . Goethe podkreślił także prawa natury zmierzające do spirali. Już od dawna obserwuje się spiralne i spiralne ułożenie liści na gałęziach drzew. Spiralę można było zobaczyć w ułożeniu nasion słonecznika, szyszek, ananasów, kaktusów itp. Wspólna praca botaników i matematyków rzuciła światło na te niesamowite zjawiska naturalne. Okazało się, że układ liści na gałązce nasion słonecznika i szyszek daje o sobie znać Szereg Fibonacciego i dlatego prawo się objawia złoty podział. Pająk tka sieć w kształcie spirali. Huragan wiruje jak spirala. Przestraszone stado reniferów rozprasza się po spirali. Cząsteczka DNA jest owinięta podwójną helisą. Goethe nazwał spiralę „krzywą życia”.
Wśród przydrożnych chwastów rośnie niepozorna roślina - cykoria . Przyjrzyjmy się temu bliżej. Z głównej łodygi wyrósł pęd. Tutaj znajduje się pierwszy liść. Pęd wykonuje silny wyrzut w teren, zatrzymuje się, wypuszcza liść, ale tym razem krótszy od pierwszego, ponownie wykonuje wyrzut w teren, ale z najmniejszą siłą, wypuszcza liść jeszcze mniejszego rozmiaru i znowu wyrzut. W takim przypadku przyjmij pierwszą emisję jako 100 jednostek, następnie druga jest równa 62 jednostkom, trzecia - 38, czwarta - 24 itd. Długość płatków również podlega złotej proporcji. Rosnąc i podbijając przestrzeń, roślina zachowała pewne proporcje. Impulsy jego wzrostu stopniowo malały proporcjonalnie do złotego podziału.
Jaszczurka jest żyworodna. Na pierwszy rzut oka jaszczurka ma przyjemne dla oka proporcje – długość jej ogona związana jest z długością reszty ciała i wynosi od 62 do 38.
Zarówno w świecie roślinnym, jak i zwierzęcym, formacyjna prawidłowość natury – symetria dotycząca kierunku wzrostu i ruchu – agresywnie się przełamuje. Tutaj złoty podział przejawia się w proporcjach części prostopadłych do kierunku wzrostu. Natura dokonała podziału na symetryczne części i złote proporcje. W częściach ujawnia się powtórzenie struktury całości.
Pierre Curie na początku tego stulecia zidentyfikował szereg najgłębszych idei symetrii. Twierdził, że nie da się zbadać symetrii żadnego ciała bez uwzględnienia symetrii ośrodka. Regularności złotej symetrii pojawiają się w przejściach energii prostych cząstek, w strukturze niektórych związków chemicznych, w układach planetarnych i galaktycznych, w strukturach genowych organizmów żywych. Te wzorce, jak wskazano powyżej, są w budowie poszczególnych narządów człowieka i całego ciała, ujawniają się także w biorytmach i funkcjonowaniu mózgu oraz percepcji wzrokowej.
3.Przestrzeń. Z historii astronomii jasno wynika, że I. Titius, niemiecki astrolog z XVIII wieku, za pomocą tej serii (Fibonacciego) znalazł wzór i porządek w odległościach między planetami galaktyki
Ale był jeden przypadek, który wydawał się zaprzeczać prawu: między Marsem a Jowiszem nie było żadnej planety. Skoncentrowana obserwacja tej części nieba doprowadziła do odkrycia pasa asteroid. Nastąpiło to po śmierci Tycjusza na początku XIX wieku.
Seria Fibonacciego jest szeroko stosowana: za jej pomocą przedstawiana jest architektura żywych stworzeń, konstrukcje stworzone przez człowieka i struktura galaktyk. Te fakty są dowodem niezależność szeregu liczbowego od kryterium jego manifestacji , co jest jednym z przejawów jego wszechstronności.
4.Piramidy. Wielu próbowało rozwikłać tajemnice piramidy w Gizie. W przeciwieństwie do innych egipskich piramid, nie jest to grobowiec, ale raczej nierozwiązywalna zagadka kompozycji numerycznych. Niezwykła pomysłowość, umiejętności, czas i praca, jakie architekci piramidy włożyli w budowę niekończącego się znaku, wskazują na ogromne znaczenie przesłania, które chcieli przekazać przyszłym pokoleniom. Ich era była przedpiśmienna, prehieroglificzna, a jedynym sposobem zapisywania odkryć były znaki. Klucz do geometryczno-matematycznej tajemnicy piramidy w Gizie, która przez tak długi czas była tajemnicą dla ludności świata, faktycznie został przekazany Herodotowi przez kapłanów świątynnych, którzy poinformowali go, że piramida została zbudowana w taki sposób, że powierzchnia każda z jego ścian była równa kwadratowi jego wysokości.
Pole trójkąta
356 x 440 / 2 = 78320
Powierzchnia kwadratowa
280 x 280 = 78400
Długość krawędzi podstawy piramidy w Gizie wynosi 783,3 stóp (238,7 m), a wysokość piramidy wynosi 484,4 stóp (147,6 m). Długość krawędzi podstawy podzielona przez wysokość daje stosunek Ф=1,618. Wysokość 484,4 stóp odpowiada 5813 calom (5-8-13) - to liczby z ciągu Fibonacciego. Te godne uwagi obserwacje dostarczają wskazówki, że konstrukcja piramidy opiera się na proporcji F = 1,618. Niektórzy współcześni naukowcy są skłonni interpretować, że starożytni Egipcjanie zbudowali go wyłącznie w celu przekazania wiedzy, którą chcieli zachować dla przyszłych pokoleń. Szeroko zakrojone badania piramidy w Gizie ujawniły, jak obszerna była wiedza z zakresu arytmetyki i astrologii w tamtych czasach. We wszystkich wewnętrznych i zewnętrznych proporcjach piramidy kluczową rolę odgrywa liczba 1,618.
Piramidy w Meksyku. Piramidy egipskie nie tylko zostały zbudowane według doskonałych proporcji złotego podziału, to samo zjawisko zaobserwowano w piramidach meksykańskich. Pojawia się pomysł, że piramidy egipskie i meksykańskie zostały zbudowane mniej więcej w tym samym czasie przez ludzi tego samego pochodzenia.
Przygotowując odpowiedź wykorzystano następujący materiał:
Zatem proszę o spotkanie...
Liczba PHI = 1,618
* I nie należy go mylić z „pi”, gdyż, jak mówią matematycy:
- litera „N” sprawia, że jest o wiele fajniej!
Wiesz to...
– Liczba PHI jest najważniejszą i najbardziej znaczącą liczbą w sztukach wizualnych.
Liczba PHI jest powszechnie uważana za najpiękniejszą we wszechświecie.
Liczba ta wynika z ciągu Fibonacciego:
- progresja matematyczna, znana nie tylko z nich
że suma dwóch sąsiednich liczb w nim jest równa następnej liczbie, ale także dlatego
że iloraz dwóch sąsiednich liczb ma unikalną właściwość -
blisko liczby 1, 618, czyli liczby PHI!
Pomimo swego niemal mistycznego pochodzenia, numer PHI odegrał na swój sposób wyjątkową rolę.
Rola cegły w fundamencie budowy wszelkiego życia na ziemi.
Wszystkie rośliny, zwierzęta, a nawet istoty ludzkie mają fizyczne proporcje,
w przybliżeniu równy pierwiastkowi ze stosunku liczby PHI do 1.
Ta wszechobecność PHI w przyrodzie wskazuje na połączenie wszystkich żywych istot.
Wcześniej wierzono, że liczba PHI została z góry ustalona przez Stwórcę wszechświata.
Naukowcy starożytni nazywali liczbę = 1,618 „boską proporcją”.
Czy wiesz, że jeśli w jakimkolwiek ulu na świecie podzielisz liczbę samic przez liczbę samców,
to zawsze dostajesz ten sam numer? Numer PHI. 
Jeśli spojrzysz na spiralną muszlę łodzika (głowonoga),
wówczas stosunek średnicy każdego zwoju spirali do następnego = 1,618. 
Znowu PHI – Boska Proporcja.
- Kwiat słonecznika z dojrzałymi nasionami.
- Nasiona słonecznika ułożone są spiralnie, w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara.
- Stosunek średnicy każdej spirali do średnicy następnej = PHI.
Jeśli spojrzysz na spiralne liście kłosa kukurydzy,
ułożenie liści na pędach roślin, segmentacja ciał owadów,
wtedy wszyscy w swojej strukturze posłusznie przestrzegają prawa „boskiej proporcji”. 
Co to ma wspólnego ze sztuką?
Słynny rysunek Leonarda da Vinci przedstawiający nagiego mężczyznę w kręgu.
"Człowiek witruwiański"
(nazwany na cześć Marka Witruwiusza, genialnego architekta rzymskiego,
który w swoich Dziesięciu książkach o architekturze wychwalał „boską proporcję”.
Nikt nie rozumiał boskiej struktury ludzkiego ciała, jego struktury lepiej niż da Vinci.
Da Vinci jako pierwszy pokazał, że organizm ludzki składa się z „cegiełek”
stosunek proporcji jest zawsze równy naszej ukochanej liczbie.
Nie wierzysz mi?
Następnie, idąc pod prysznic, nie zapomnij zabrać ze sobą miarki.
Każdy jest tak zbudowany. Zarówno chłopcy, jak i dziewczęta. Sprawdź to sam.
Zmierz odległość od czubka głowy do podłogi. Następnie podziel przez swój wzrost.
I zobaczysz, jaki numer otrzymasz.
Zmierz odległość od ramienia do palców,
następnie podziel przez odległość od łokcia do tych samych palców.
Odległość od górnej części uda podzielona przez odległość od kolana do podłogi,
i znowu PHI.
Paliczki palców. Paliczki palców. I znowu FI...FI... 
Jak widać, za pozornym chaosem świata kryje się porządek.
A starożytni, którzy odkryli numer PHI, byli pewni, że znaleźli kamień budowlany
którym Pan Bóg posłużył się, tworząc świat.
Wielu z nas wychwala Naturę, tak jak to robili poganie,
Po prostu nie do końca rozumieją dlaczego.
Człowiek po prostu gra według praw Natury i dlatego sztuka jest niczym więcej
jako próba naśladowania przez człowieka piękna stworzonego przez Stwórcę wszechświata.
Jeśli weźmiemy pod uwagę dzieła Michała Anioła, 
Albrechta Durera, 
Leonardo da Vinci 
I wielu innych artystów 
(J.-L. David. Kupidyn i Psyche. 1817)
Wtedy zobaczymy, że każdy z nich ściśle przestrzegał „boskich proporcji”
w konstrukcji swoich kompozycji.
Tę magiczną liczbę można odnaleźć w architekturze, w proporcjach greckiego Partenonu, 
Piramidy Egiptu, 
Nawet budynki ONZ w Nowym Jorku. 
PHI przejawiało się w ściśle zorganizowanych strukturach sonat Mozarta,
w V Symfonii Beethovena, a także w dziełach Bartoka, Debussy'ego i Schuberta.
Stradivarius wykorzystał numer PHI w swoich obliczeniach, tworząc swoje unikalne skrzypce. 
Pięcioramienna gwiazda - ten symbol jest jednym z najpotężniejszych obrazów.
Jest znany jako pentagram lub pentagram, jak nazywali go starożytni. 
I przez wiele stuleci i w wielu kulturach uważano ten symbol
zarówno boskie, jak i magiczne.
Ponieważ podczas rysowania pentagramu linie są automatycznie dzielone na segmenty,
odpowiadające „boskiej proporcji”.
Stosunek odcinków liniowych w pięcioramiennej gwieździe jest zawsze równy liczbie PHI,
co czyni ten symbol najwyższym wyrazem „boskiej proporcji”.
Z tego powodu pięcioramienna gwiazda zawsze była symbolem piękna i doskonałości
i był kojarzony z boginią i świętą kobiecą zasadą.
Udowodniono, że Leonardo był konsekwentnym wielbicielem starożytnych religii,
związany z pierwiastkiem żeńskim.
Ostatnia Wieczerza stała się jednym z najbardziej niesamowitych przykładów kultu
Złota Sekcja Leonarda da Vinci.
Renesans kojarzy się z imionami takich „tytanów”
jak Leonardo da Vinci, Michał Anioł, Rafael, Mikołaj Kopernik,
Alberta Durera i Luca Pacioli.
A Leonardo da Vinci słusznie zajmuje pierwsze miejsce na tej liście.
największy artysta, inżynier i naukowiec renesansu.
Istnieje wiele wiarygodnych dowodów na to, że był to Leonardo da Vinci
jako jeden z pierwszych wprowadził pojęcie „złotej sekcji”.
„Określenie „złoty podział” (aurea sectio) pochodzi od Klaudiusza Ptolemeusza,
co nadało tę nazwę liczbie 0,618.
Termin ten utknął i stał się popularny dzięki Leonardo da Vinci,
który często go używał.”
Dla samego Leonarda da Vinci sztuka i nauka były ze sobą nierozerwalnie związane.
Udzielenie palmy malarstwu w „sporze o sztuki”,
Leonardo da Vinci rozumiał go jako język uniwersalny (podobny do matematyki w nauce),
który poprzez proporcje i perspektywę ucieleśnia całą różnorodność
przejawy racjonalnej zasady panującej w przyrodzie.
Według kanonów artystycznych Leonarda złota proporcja odpowiada
nie tylko dzielenie ciała na dwie nierówne części linią talii,
w którym stosunek większej części do mniejszej jest równy stosunkowi całości do większej części
(stosunek ten wynosi około 1,618).
Stosunek wysokości twarzy (do nasady włosów) do pionowej odległości między łukami brwi a dolną częścią podbródka;
odległość między dolną częścią nosa a dolną częścią podbródka
do odległości między kącikami ust a dolną częścią podbródka
- to także „złota proporcja”.
Najbardziej uderzający dowód ogromnej roli Leonarda da Vinci
w rozwoju teorii złotego podziału jest jej wpływ na twórczość wybitnych
Włoski matematyk renesansu Luca Pacioli,
który nazywał się Luca di Borgo San Sepolcro.
Ten ostatni był już znanym matematykiem,
autor książki „Suma z arytmetyki, geometrii, proporcji i proporcjonalności”,
kiedy poznał Leonarda da Vinci.
Leonardo da Vinci stał się trzecim wielkim człowiekiem
(według Piero della Francesco i Leona Battisty Albertiego),
spotkali się na ścieżce życia Luca Pacioli.
Uważa się, że Luca Pacioli zaczął pisać pod wpływem Leonarda da Vinci
„drugą wielką księgą”, którą nazwał „O boskiej proporcji”.
Książka ta została opublikowana w 1509 roku. Leonardo wykonał ilustracje do tej książki.
Zachowało się własne świadectwo Pacioli na temat autorstwa Leonarda:
„...wykonał je zacny malarz, perspektywista,
architekt, muzyk i obdarzony wszelkimi doskonałościami, Leonardo da Vinci,
Florentyńczyk, w Mediolanie…”
Witruwiusz opisuje także inne wzorce antropometryczne.
Właściwie „człowiek witruwiański” w literaturze kolejnych stuleci nazywany był podobnymi obrazami,
ukazanie proporcji ciała człowieka i ich związku z architekturą.
1. C. Cezariano. Wydanie Witruwiusza, tom 3. Como, 1521 
2. Tamże. W odróżnieniu od kwadratowego odpowiednika,
ten pokazuje erekcję 
3. J. Martin. Architektura, czyli sztuka budownictwa.
Paryż, 1547. Rycina J. Goujona 
4. F. Giocondo. Rękopis Witruwiusza z poprawkami Giocondo,
z ilustracjami i spisem treści ułatwiającym czytanie i zrozumienie. 3. tom. Wenecja, 1511 
5. P. Cataneo. Pierwsze cztery książki o architekturze.
Wenecja, 1554. Postać wpisana jest w plan kościoła na planie krzyża 
6. V. Scamozzi. Idea architektury uniwersalnej.
Część I, księga 1. Londyn, 1676. Centralny fragment ryciny 
Współcześnie człowiek witruwiański w wersji Da Vinci nie jest już postrzegany
jak diagram geometryczny ludzkiego ciała. Nie zmienił się ani bardziej, ani mniej,
w symbol człowieka, ludzkości i wszechświata.
I nie przeszkadza nam to...