Как обычной линейкой измерить высоту дерева. Определение диаметра и высоты дерева

Тема: «Определите высоту дерева, не влезая на него»

Способ 1. «На глаз»

Оборудование: измеряемое дерево; все участники эксперимента (3 учащихся + руководитель); метровая линейка.

Выполнение эксперимента:

1) Установили линейку рядом с деревом вертикально.

2) Предложили всем участникам определить высоту дерева на глаз

3) Определили среднее арифметическое высоты дерева.

Результат: 9,32 м

Способ 2. «Воздушный шарик»

Оборудование: измеряемое дерево; воздушный шарик , наполненный гелием; длинная лёгкая нить; человек; рулетка.

Выполнение эксперимента:

1) Привязали к шарику длинную нитку и выпускали ее постепенно до тех пор, пока шарик не поднимется до верхушки дерева.

2) Сделали на нитке узелок.

3) Вернули шарик, измерили длину выпущенной части нитки.

Результат: 10,3 м

Способ 3. «Длина тени»

Оборудование: измеряемое дерево; человек; рулетка; Солнце.

Выполнение эксперимента:

1) Измерили свой рост, длину своей тени и длину тени дерева. Высота дерева во столько же раз больше роста человека, во сколько раз тень дерева больше тени человека. Так как дерево и человек расположены перпендикулярно Земле, т. е. под углом 90 градусов, а лучи Солнца падают на землю под одинаковыми углами, то образуются подобные треугольники стороны которых пропорциональны.

2) По формуле: H = hL / l

(L – длина тени дерева, l – длина тени человека, h – высота человека) вычислили высоту дерева.

Результат: 10,49 м

Способ 4. «Лужа»

Оборудование: измеряемое дерево; лужа, образовавшаяся после дождя, или налитая вода на землю (тогда к оборудованию добавляется вода в ёмкости); человек; рулетка.

Выполнение эксперимента:

1) Нашли лужицу.

2) Встали около нее так, чтобы она помещалась между нами и деревом.

3) Нашли точку, из которой видна отраженная в воде вершина дерева. Дерево (Н ), будет во столько раз выше нас (h ), во сколько расстояние от него до лужицы (L ) больше, чем расстояние от лужицы до нас (l ).

4) По формуле: H = hL / l вычислили высоту дерева.

Результат: 10,53 м

Способ 5. «Шест»

Оборудование: измеряемое дерево; длинный шест или прямая палка; человек; рулетка.

Выполнение эксперимента:

1) Воткнули шест отвесно в землю так, чтобы выступающая часть была равна нашему росту.

2) Легли на землю так, чтобы, упираясь ногами в шест, мы видели верхушку дерева на одной прямой линии с верхней точкой шеста. Так как треугольник Авс – равнобедренный и прямоугольный, то угол А = 450 и, следовательно, АВ = ВС, т. е. искомой высоте дерева.

Результат: 10,8 м

Способ 6. «Треугольник с углом 45 градусов»

Оборудование: измеряемое дерево; треугольник с углом 45 градусов; человек; рулетка.

Выполнение эксперимента:

1) Держа треугольник вертикально, отошли от дерева на такое расстояние, при

котором, глядя вдоль гипотенузы, мы могли увидеть верхушку дерева. Высота дерева от уровня глаз до верхушки (BC ) равна расстоянию от дерева до человека (AC )

2) Измерили расстояние АС.

3) Прибавили к полученному числу свой рост (до уровня глаз).

Результат: 11,6 м

Вывод: Результаты различных экспериментов отличались, что и ожидалось.

Все данные занесли в таблицу:

Название эксперимента	Результат, м
«На глаз»
«Воздушный шарик»
«Длина тени»


«Треугольник с углом 45°»

Можно сделать вывод, что высота дерева будет около 10,5 м

Самыми простыми и доступными способами считаем «Воздушный шарик» и «Треугольник». Некоторые требуют специальных погодных условий, но нам повезло, потому что один день было Солнце, другой день дождь.

УПРАВЛЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ АДМИНИСТРАЦИИ ПРОКОПЬЕВСКОГО МУНИЦИПАЛЬНОГО РАЙОНА МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ДОПОЛНИТЕЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ТРУДАРМЕЙСКИЙ ДОМ ТВОРЧЕСТВА»

«Определение высоты деревьев в естественных условиях»

Мастер - класс

Ситенкова Наталья Юрьевна,

методист Муниципального бюджетного

Учреждения дополнительного образования

«Трудармейский дом творчества»

п.Трудармейский

2017

Введение………………………………………………………..4

1. Способы определения высоты дерева…….................5

1.1 Способ № 1 «Статистическая оценка»………………..4

1.2 Способ № 2 «Воздушный шарик»……………………..6

1.3 Способ № 3 «Карандаш»…………………….................6

1.4 Способ №4 «Треугольник с углом 45 градусов»……..7

2. Вывод………………………………………………………..8

3. Заключение…………………………………………………9

4. Список используемой литературы……………………..10

Введение

Использование различных приборов, механизмов и приспособлений в наше время значительно упрощает жизнь современных людей. Но иногда возникают ситуации, когда нет возможности применить технические средства. Например: часто туристам, экологам требуется определить расстояния на местности, оценить размеры предметов для того, чтобы быстро превратить прибрежное дерево в мостик через быструю речку (если, конечно, речь идет не о заповедной зоне или чьем-то участке) или сделать ботаническое описание дерева.

Но в этом и состоит суть экстремальных увлечений, что они позволяют получать удовольствие от собственных побед - над ленью, обыденностью, интеллектуальной зависимостью от кем-то придуманных технических устройств. Почувствовать себя опытным следопытом или разведчиком может каждый.

Проблема: Как определить высоту дерева, не срубая его и не влезая на него?

Гипотеза: С уществуют различные способы измерения объектов без специальных измерительных приборов.

Цель работы - определить высоту дерева разными способами без специальных приборов.

Задачи:

1. рассмотреть различные способы определения высоты выбранного дерева:

2. провести соответствующие измерения и вычисления;

3. оформить результаты в виде инструкции.

Объект исследования: Дерево (береза)

Предмет исследования: высота дерева и способы её измерения

Практическая значимость:

Есть возможность узнать, как без каких-либо сложных технических устройств можно определить расстояние до недоступных точек. Например: измерить высоту столба, дерева в походе и т.д.

Методы исследования:

1.Изучение литературы и ресурсов Интернет

2. Эксперимент

3.Использование технических средств

4. Сравнительный анализ.

1.Способы определения высоты дерева

1.1 Способ № 1 «Статистическая оценка»

Суть: предложить как можно большему числу учащихся оценить высоту дерева на глаз, установив рядом с деревом вертикально метровую линейку. Рассчитать Н(высоту) как среднее арифметическое полученных данных.

Оборудование: метровая линейка.

Ход работы:

1. установить линейку рядом с деревом вертикально;

2. предложить определить высоту дерева на глаз;

3. записать полученное значение в таблицу;

4. для получения среднего значения сумму измерений разделить на количество измерений.

Результат:

Образец: 6, 2 6, 8 6, 8 11, 5 6, 5 6, 7 12 7. 1 11 10

Высота 8, 46 м

1.2 Способ №2 Воздушный шарик

Суть: сравнить высоту дерева с длиной подходящей нити.

Оборудование:

воздушный шарик наполненный гелием; длинная легкая нить; рулетка или т. п. измеритель.

Ход работы:

1. привязать к шарику длинную нитку и вытравливать ее постепенно до тех пор, пока шарик не достигнет вершины дерева.

2. сделать на нитке отметку (например, узелок).

3. вернуть шарик, измерить длину выпущенной части нитки.

Образец: Результат: 10, 5 м

1.3 Способ № 3 «Карандаш»

Формула и объяснение то же, что и предыдущем способе.

Оборудование: карандаш (пли ручка, или любая палочка), помощник, рулетка.

Ход работы:

1. встать от дерева на такое расстояние, чтобы видеть его целиком - от основания до верхушки. Рядом со стволом установить помощника.

2. вытянуть перед собой руку с карандашом, зажатым в кулаке. Прищурить один глаз и подвести кончик грифеля к вершине дерева. Теперь переместить ноготь большого пальца так, чтобы он оказался под основанием ствола.

3. повернуть кулак на 90 градусов, чтобы карандаш оказался расположен параллельно земле. При этом твой ноготь должен все так же оставаться в точке основания ствола.

4. крикнуть своему помощнику, чтобы он отошел от дерева. Когда он достигнет точки, на которую указывает острие карандаша, подать сигнал, чтобы он остановился.

5. измерить расстояние от ствола до места, где застыл помощник. Оно будет равняться высоте дерева.

Это следует из нашего основного соотношения

Образец Результат: Н=11, 6м.

1.4 Способ №4 «Треугольник с углом 45 градусов»

Оборудование: измеряемое дерево; треугольник с углом 45 градусов; человек; рулетка.

Ход работы:

1.Держа треугольник вертикально, отошли от дерева на такое расстояние, при котором, глядя вдоль гипотенузы, мы могли увидеть верхушку дерева. Высота дерева от уровня глаз до верхушки (BC) равна расстоянию от дерева до человека (AC)

2.Измерили расстояние АС.

3. Прибавили к полученному числу свой рост (до уровня глаз).

Результат: м

Все данные занести в таблицу:

2. Вывод

Результаты различных способов определения высоты деревьев отличались, что и ожидалось.

3. Заключение

Если не учитывать результат определения высоты «на глаз», как самый ненадежный, то разница между наибольшим и наименьшим значениями высоты составляет около 1, 5 метра. Поэтому мы можем предположить, что высота дерева около 11 метров. Более точное значение может дать измерение с помощью высотомера лесника.

Желающие попробовать определить высоту недоступного объекта могут воспользоваться нашими инструкциями.

Самым доступным способом мы считаем метод карандаша. Он требует минимум оборудования и всего одно измерение.

4. Список используемой литературы

Злацен Определение высоты предметов [Электронный ресурс] - http://handly.ru/articles/view:ce.opredelenie-vyisotyi/.
Обущак А. Как измерить высоту главного здания [Электронный ресурс] - http://www.mmforce.net/msu/heart/articles.php .
Перельман Я.И. Занимательная геометрия. [Текст] / Я.И.Перельман – М.: АСТ, 2005. 2. Л. С
«Питерский охотник» [Электронный ресурс]- http://piterhunt.ru/pages/nk-os/5/15.htm сайт
«Центральный сайт скаутов-разведчиков России» [Электронный ресурс] - http://www.scouts.ru

Размер: px

Начинать показ со страницы:

Транскрипт

1 1 Краевой конкурс учебно-исследовательских и проектных работ учащихся «Прикладные вопросы математики» Геометрия Как определить высоту дерева, не срубая его и не взбираясь на верхушку Белоногов Стас, Гимназия имени М.И.Пинаевой, 8 кл. Анисимова А.А., учитель математики

2 2 Содержание Введение 3 Геометрическая постановка задачи 4 Описание экспериментов 5 Заключение 12 Список использованных источников и литературы 13 Приложение (фотоотчет) 14

3 3 Введение В современном мире мы определяем значения различных величин (длину, массу, температуру и т.п.) с помощью различных инструментов и приборов. Так, в своей профессиональной деятельности строители, архитекторы, лесоводы, военные для определения высоты объекта используют специальные сложные и дорогостоящие приборы высотомеры. У меня возник вопрос: а можно ли определить высоту столба или дерева без высотомера? Такое умение нужно многим людям, находящимся в лесу: туристам, охотникам, лесникам. Этому умению обучают скаутов. Яков Исидорович Перельман, автор множества популярных книг по математике, «доктор занимательных наук», в войну в Ленинграде был лектором-инструктором по подготовке военных разведчиков. Он разработал несколько тем, касавшихся, главным образом, умения ориентироваться на любой местности и в любую погоду, не пользуясь при этом никакими техническими средствами, инструментами и приборами, а полагаясь только на то, что было «под руками». Одна из тем звучала так: «Как измерить высоту дерева, здания, башни». Цель работы определить высоту дерева разными способами без специальных приборов. Задачи: 1) рассмотреть различные способы определения высоты выбранного дерева; 2) провести соответствующие измерения и вычисления; 3) оформить результаты в виде инструкций.

4 4 Геометрическая постановка задачи Геометрическая постановка задачи: определить длину отрезка АВ, где А основание дерева, В его вершина. Длину отрезка определяют либо измерением, либо применением геометрических методов, например, связанных с подобием треугольников. Измерить отрезок значит, сравнить его с единичным отрезком или отрезком, имеющим известную длину. Два отрезка называются равными, если они при наложении совпадают. Материал, связанный с подобием фигур, рассматривается в 8 классе. Я использую эти факты без строгого обоснования. У подобных фигур соответственные размеры при делении дают одно и то же число. Например, два треугольника с соответственно равными углами являются подобными, и отношения их соответственных сторон равны. Рабочая формула: H h L l где H высота дерева, h высота известного объекта, L и l величины, связанные с деревом и объектом, их смысл будет пояснен в каждом эксперименте. Отсюда h L H l

5 5 Описание экспериментов Для выполнения задачи было предложено несколько способов (приведены их краткие условные названия): 1) статистическая оценка; 2) воздушный шарик; 3) фотография; 4) тень; 5) зеркало; 6) треугольник с углом 45 градусов; 7) карандаш. Первый и второй способ это измерение, т.к. используется сравнение с единичным отрезком и наложение отрезков. В остальных способах используется подобие. Источниками наших методов явились литература и сайты Интернет научнопопулярного характера , некоторые способы измерения мы придумали сами. Самостоятельным вкладом в работу мы считаем оформление описания методов в виде инструкций. Статистическая оценка Суть: предложить как можно большему числу людей оценить высоту дерева на глаз, установив рядом с деревом вертикально метровую линейку. Рассчитать Н как среднее арифметическое полученных данных. В ходе эксперимента 10 человек из 6 класса определили высоту дерева на глаз. Оборудование: метровая линейка. Ход работы: 1) установить линейку рядом с деревом вертикально; 2) предложить человеку определить высоту дерева на глаз; 3) записать полученное значение в таблицу;

6 4) для получения среднего значения сумму измерений разделить на количество измерений. Результат: 6,2 6,8 6,8 11,5 6,5 6,7 12 7, Высота 8,46 м 6 Воздушный шарик Суть: сравнить высоту дерева с длиной подходящей нити. Оборудование: воздушный шарик, наполненный гелием; длинная легкая веревочка (нить); рулетка или т.п. измеритель. Ход работы: 1) привязать к шарику длинную нитку и вытравливать ее постепенно до тех пор, пока шарик не поднимется до верхушки. 2) сделать на нитке отметку (например, узелок). 3) вернуть шарик, измерить длину выпущенной части нитки. Результат: 10,5 м Фотография Суть: высота дерева во столько раз больше высоты линейки, во сколько раз длина изображения дерева на фотографии больше длины изображения линейки. Оборудование: фотоаппарат, метровая линейка, товарищ или ты сам в качестве линейки. Ход работы: 1) рядом с деревом поставить вертикально метровую линейку; 2) сфотографировать, убедившись предварительно, что фотоаппарат установлен так, что пленка находится в вертикальной плоскости;

7 3) определить высоту дерева H по готовой фотографии по формуле: Н = L/l, где L и l размеры соответственно дерева и линейки на фотографии, h = 1. 23,2 Результат: H 11, 05м 2,1 То же самое, используя в качестве линейки человека известного роста (себя, например). Тогда формула будет иметь вид: H = h*l/l, где h и l размеры соответственно дерева и «линейки» на фотографии, L истинные размеры «линейки» (рост товарища или твой). 7 Тень Суть: это самый легкий и самый древний способ, с помощью которого греческий мудрец Фалес за шесть веков до нашей эры определил в Египте высоту пирамиды. Он воспользовался ее тенью. Мы поступили точно так же. Измерили свой рост, длину своей тени и длину тени дерева. Высота дерева во столько же раз больше роста человека, во сколько раз тень дерева больше тени человека. Т.к. дерево и человек расположены перпендикулярно Земле, т.е. под углом 90 градусов, а лучи солнца падают на землю под одинаковыми углами, то образуются подобные треугольники стороны которых пропорциональны. Рабочая формула: H = h* L / l Здесь L длина тени дерева, l длина тени человека, h высота человека.

8 8 Оборудование и ход работы ясны из рисунка. Замечания: а) вместо себя можно поставить палку и т.п.; б) указанное на рисунке взаимное расположение объектов соблюдать не обязательно. Понятно, что измерения нужно проводить одновременно, т.к. солнце не стоит на месте, и длина тени изменяется. 1,62 17,6 Результат: H 10, 89м. 2,62 Зеркало Суть: способ основан на законе отражения света. Угол ACB равен углу ECD. Следовательно, треугольник ACB подобен треугольнику ECD, и их стороны пропорциональны. Следовательно, верна основная формула. Рабочая формула: H = h* L/l

9 9 Оборудование: плоское зеркало, рулетка. Ход работы: 1) положить зеркало на землю; 2) найти такое положение, чтобы видеть в зеркале отражение верхушки дерева; 3) измерить расстояния l, L и h; 4) вычислить H; 5) повторить измерения 5 раз при разных значениях L; 6) рассчитать H как среднее арифметическое полученных значений. Результат: 1,62 8,68 H 10, 82м 1,3 Вариантом этого способа является определение высоты предмета по луже. Этот способ, описанный на сайте «Питерский охотник» , можно удачно применять после дождя, когда на земле появляется много лужиц. Измерение производят таким образом: находят невдалеке от измеряемого предмета лужицу и становятся около нее так, чтобы она помещалась между вами и предметом. После этого находят точку, из которой видна отраженная в воде вершинка предмета. Измеряемый предмет, например дерево, будет во столько раз выше вас, во сколько расстояние от него до лужицы больше, чем расстояние от лужицы до вас.

10 10 Треугольник с углом 45 градусов Суть: построение равнобедренного прямоугольного треугольника, одним из катетов которого является дерево. Рабочая формула: H = h* L / l Здесь h и l стороны прямоугольного треугольника с углом 45 градусов. Т.к. они равны, то H = L. Оборудование: любой прямоугольный треугольник (бумажный, пластмассовый, деревянный) с углом 45 градусов, то есть равнобедренный. Ход работы: 1) держа треугольник вертикально, отойти от дерева на такое расстояние, при котором, глядя вдоль гипотенузы, увидеть верхушку дерева. Высота дерева от уровня глаз до верхушки равна расстоянию от дерева до человека; 2) измерить расстояние от места измерения до дерева; 3) прибавить к полученному числу свой рост (до уровня глаз). Результат: L = 10,5 м; H = 10,5 + 1,38 = 11,88 м Карандаш Формула и объяснение то же, что и предыдущем способе. Оборудование: карандаш (или ручка, или любая палочка), помощник, рулетка. Ход работы: 1) встать от дерева на такое расстояние, чтобы видеть его целиком от основания до верхушки. Рядом со стволом установить помощника.

11 11 2) вытянуть перед собой руку с карандашом, зажатым в кулаке. Прищурить один глаз и подвести кончик грифеля к вершине дерева. Теперь переместить ноготь большого пальца так, чтобы он оказался под основанием ствола. 3) повернуть кулак на 90 градусов, чтобы карандаш оказался расположен параллельно земле. При этом твой ноготь должен все так же оставаться в точке основания ствола. 4) крикнуть своему помощнику, чтобы он отошел от дерева. Когда он достигнет точки, на которую указывает острие карандаша, подать сигнал, чтобы он остановился. 5) измерить расстояние от ствола до места, где застыл помощник. Оно будет равняться высоте дерева. Это следует из нашего основного соотношения Результат: H = 11,6 м. Такой способ измерения дерева используют скауты.

12 12 Заключение Мы рассмотрели несколько способов определения высоты дерева с помощью подручных средств без специальных приборов и инструментов. Все эти способы основаны либо на определении понятия длины отрезка и измерения, либо на свойствах подобных фигур. Эксперименты проводились в неблагоприятных условиях: неровная, неудобная местность, много снега, мороз, отсутствие опыта и сноровки. Результаты различных экспериментов отличались. Название способа/эксперимента Результат Статистическая оценка 8,46 Воздушный шарик 10,5 Фотография 11,05 Тень 10,89 Зеркало 10,82 Треугольник с углом,88 Карандаш 11,6 Если не учитывать результат определения высоты «на глаз», как самый ненадежный, то разница между наибольшим и наименьшим значениями высоты составляет около 1,5 метра. Поэтому мы можем предположить, что высота дерева около 11 метров. Более точное значение может дать измерение с помощью высотомера лесника. После изучения понятия относительной и абсолютной погрешности мы предполагаем повторить эксперименты с измерением объекта с известной высотой и оценить точность примененных методов. Желающие попробовать определить высоту недоступного объекта могут воспользоваться нашими инструкциями. Самым доступным способом мы считаем метод карандаша. Он требует минимум оборудования и всего одно измерение.

13 13 Список использованных источников и литературы 1. Я.И.Перельман. Занимательная геометрия. М.: АСТ, Л. С. Атанасян и др. Геометрия: учебник для 7-9 кл. общеобразовательных учреждений. М.: Просвещение, сайт «Питерский охотник» 4. «Центральный сайт скаутов-разведчиков России»

14 16

Готовимся к Общереспубликанскому тесту: Пособие для абитуриентов Основной тест Издание второе, переработанное и дополненное Бишкек 2004 УДК 378 ББК 74.58 Г74 Авторы разделов: Математика: М. Зельман, Г.

НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ.Н.И.ЛОБАЧЕВСКОГО НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ И ИННОВАЦИОННЫЙ КОМПЛЕКС "НОВЫЕ МНОГОФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ МАТЕРИАЛЫ И НАНОТЕХ- НОЛОГИИ"

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Рязанский государственный университет имени С.А. Есенина» Фронтальные лабораторные

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 1.1 1) ПРОСТЕЙШИЕ ИЗМЕРЕНИЯ И ОБРАБОТКА ИХ РЕЗУЛЬТАТОВ Цель работы: ознакомление с методами измерения линейных размеров тел и их масс, а также с методами обработки экспериментальных

Министерство транспорта Российской федерации Федеральное агентство железнодорожного транспорта САМАРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ Кафедра физика и экологическая теплофизика Измерения физических

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра общей физики ОБРАБОТКА И ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ Методические рекомендации Казань-1999 1. ИЗМЕРЕНИЕ И ЕГО МЕТРОЛОГИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ В основе

1 Учебная литература по гуманитарным и социальным дисциплинам для высшей школы и средних специальных учебных заведений готовится и издается при содействии Института "Открытое общество" (Фонд Сороса) в

Министерство образования Российской Федерации Уральский государственный университет им А М Горького Подготовлено кафедрами общей физики и физики магнитных явлений КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ПО ОБРАБОТКЕ РЕЗУЛЬТАТОВ

Цель работы Часто на практике необходимо исследовать, как изменение одной переменной величины X влияет на другую величину Y Например, как количество цемента X влияет на прочность бетона Y Такое влияние

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского»

Министерство образования и науки РФ Федеральное агенство по образованию Пермский государственный технический университет Кафедра теоретической механики ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Учебно-методическое пособие

7 класс 7.1. Запишите несколько раз подряд число 013 так, чтобы получившееся число делилось на 9. Ответ объясните. Ответ: например, 013013013. Решение. Приведем несколько способов обоснования. Первый способ.

Измерение физических величин. Неопределенности измерения, погрешности измерения. Измерение физических величин Измерением называется сравнение данной физической величины с величиной того же рода, принятой

О.П. Шарова Сюжетные задачи в обучении математике Резюме В статье систематизируется терминология, относящаяся к сюжетным задачам, и раскрываются возможности использования основных методов решения сюжетных

Э. Г. Готман Стереометрические задачи и методы их решения Москва Издательство МЦНМО, 006 УДК 514.11 ББК.151.0 Г7 Г7 Готман Э. Г. Стереометрические задачи и методы их решения. М.: МЦНМО, 006. 160 с.: ил.

Лекция 6. ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА ПРОСТАНОВКИ РАЗМЕРОВ НА ЧЕРТЕЖАХ. Все чертежи выполняются в определенном масштабе и на каждом из них есть строка линейного или поперечного масштаба, по которой всегда можно определить истинный размер того или иного элемента или объекта в целом. Но такой способ определения размеров не обеспечивает достаточной точности измерений, к тому же она сильно зависит от величины масштаба. При значительном уменьшении изображения точность измерения настолько падает, что судить о размерах можно только приблизительно. Поэтому на чертежах всегда проставляются размеры по правилам установленным ГОСТом. Размерные числа, в этом случае, точно определяют величину изображенного на чертеже предмета и его деталей, независимо от выбранного масштаба. Примеры машиностроительного и архитектурностроительного чертежа приведены на рис. 1 и 2. Размеров на чертеже должно быть столько, чтобы ни один элемент объекта не остался без размера и чтобы ни один размер не повторялся. Размеры на чертежах проставляются при помощи выносных и размерных линий и размерных чисел. Размерные линии проводятся обычно параллельно отрезку прямой линии, размер которой необходимо проставить, или параллельно осям проекций (т.е. горизонтально или вертикально), если, например, проставляются габаритные размеры объекта. Рис. 1. В целом простановка размеров является достаточно сложным и трудоемким техническим и творческим процессом, и каждый новый чертеж требует своего особого подхода к решению этих задач. Выносные линии направлены в сторону объекта к измеряемым элементам и, как правило, перпендикулярны размерным линиям. В точках пересечения выносных и размерных линий могут быть постав- Рис. 1 а) Машиностроительный чертеж б) архитектурно-строительный чертеж

В начале урока математики, после прохождения темы «Подобные треугольники», наша учительница Алсу Наилевна задала вопрос «Как измерить высоту предмета, до вершины которого нельзя добраться? В своей профессиональной деятельности строители, архитекторы, лесоводы, военные для определения высоты объекта используют специальные сложные и дорогостоящие приборы – высотомеры. А как определить высоту столба или дерева без высотомера? Ведь такое умение нужно многим людям, находящимся в лесу: туристам, охотникам, лесникам. Как для этого можно использовать свойства подобных треугольников? Сегодня мы с вами научимся определять высоту без высотомера. Объектом измерений станет ель, которая растет на территории школы как раз перед окнами нашего класса». Мы вышли на улицу и попытались определить высоту с помощью астролябии. Так же она заметила, что способов измерений очень много, их можно проводить и без таких приборов как астролябия, подручными средствами. Один из способов, с помощью специального шеста, предложен в нашем учебнике «Геометрии 7-9». Мы заинтересовались, стали искать в книгах и в интернете различные способы измерений. С помощью каких подручных инструментов это можно сделать? Можно ли это сделать в лесу, без какого либо измерительного инструмента? Результат поисков и измерений мы изложили в нашей работе.

Основная часть

Цель работы – определить высоту дерева, не срубая его и не влезая на него, разными способами, без специальных приборов.

Задачи:

1. Рассмотреть различные способы определения высоты выбранного дерева;

2. Провести соответствующие измерения и вычисления;

3. Произвести оценку метода, выявить положительные и отрицательные стороны, трудности в использовании этого метода, оценить точность

4. Оформить результаты в виде инструкций.

Источниками наших методов явились литература и сайты Интернет научно-популярного характера, некоторые способы измерения мы придумали сами. Результатом наших поисков стали следующие способы 1) статическая оценка;

2) воздушный шарик;

3) сравнение с предметом известной длины;

4) фотография;

5) тень;

6) зеркало;

7) лужа;

8) треугольник с углом 45 градусов;

9) самодельный простейший прибор – “высотомер”

10) карандаш;

11) измерение высоты дерева при помощи шеста (1 вариант);

12) высотомер из двух планок;

13) способ использования углов;

14) измерение высоты дерева с помощью углов не приближаясь к нему;

15) Высотомер лесоводов;

16) Измерение высоты дерева при помощи шеста (2 вариант).

Для удобства метод исследования и наш результат, полученный этим способом, предлагаем вместе.

Статическая оценка

Суть: предложить как можно большему числу людей оценить высоту дерева на глаз, установив рядом с деревом вертикально метровую линейку. Рассчитать Н как среднее арифметическое полученных данных. В ходе эксперимента 13 человек из 8 класса определили высоту дерева на глаз.

Оборудование: метровая линейка.

Ход работы:

установить метровую линейку рядом с деревом вертикально;
предложить человеку определить высоту дерева на глаз;
записать полученное значение в таблицу;
для получения среднего значения сумму измерений, разделить на количество измерений.

Результат:

10,5

9,45

10,75

Высота - 9,56 м

Наша оценка метода:

По нашему мнению, этот метод самый ненадежный, но простой, нужна лишь метровая линейка, не требует никаких сложных вычислений.

Воздушный шарик

Суть: сравнить высоту дерева с длиной подходящей нити.

Оборудование: воздушный шарик, наполненный гелием; длинная легкая веревочка (нить); рулетка.

Ход работы:

привязать к шарику длинную нитку и вытравливать ее постепенно до тех пор, пока шарик не поднимется до верхушки дерева;
сделать на нитке отметку (например, узелок);
вернуть шарик, измерить длину выпущенной части нитки.

Результат: 10,8 м

Наша оценка метода:

Метод достаточно точный. Главная трудность этого метода - нужна безветренная погода, так как при малейшем ветре шар летит не прямо вверх, а в сторону. Нам пришлось повторять этот эксперимент в течении 3 дней.

Сравнение с предметом известной длины

Суть: сравнить высоту дерева с длиной объекта известной длины

Оборудование: метод не требует никакого оборудования, но необходимо, чтобы рядом находился объекта известной длины

Ход работы: прикинули длину нашей ели путем сравнения со столбом линии электропередачи. Высоту столба выяснили у местных электриков, она равна 10 метрам от поверхности земли. Наша елка примерно на 1 м выше столба. (Высоту столбов можно найти в Интернете. Высота столба зависит от шифра опоры и стойки).

Результат: 11 м

Наша оценка метода:

Метод достаточно точный. Главная трудность этого метода – найти предмет известной длины. Нам повезло, что рядом с елкой оказался столб.

Фотография

Суть: высота дерева во столько раз больше высоты человека (линейки), во сколько раз длина изображения дерева на фотографии больше длины изображения человека (линейки).

Оборудование: фотоаппарат, линейка

или товарищ для фотографирования.

Ход работы:

рядом с деревом поставить товарища или

вертикально метровую линейку;

сфотографировать, убедившись предваритель-

но, что фотоаппарат установлен так, что пленка находится в вертикальной плоскости;

определить высоту дерева H по готовой фотографии по формуле:

Н = L/l, где L и l – размеры соответственно дерева и линейки на фотографии, h = 1.

То же самое, используя в качестве линейки человека известного роста (себя, например). Тогда формула будет иметь вид:

H = h*L/l, где h и l – размеры соответственно дерева и «линейки» на фотографии, L – истинные размеры «линейки» (рост товарища или твой).

Результат : h=0,014 м, l=0,085 м, L=1,57 м, H= 9,53м

Наша оценка метода:

Д ля этого метода нужен фотоаппарат, принтер для получения фотографии, товарищ для фотографирования или метровая линейка. Для получения точного результата все измерения должны быть выполнены очень точно.

Тень

Суть : это самый легкий и самый древний способ, с помощью которого греческий мудрец Фалес за шесть веков до нашей эры определил в Египте высоту пирамиды. Он воспользовался ее тенью. Мы поступили точно так же. Измерили свой рост, длину своей тени и длину тени дерева. Высота дерева во столько же раз больше роста человека, во сколько раз тень дерева больше тени человека. Т.к. дерево и человек расположены перпендикулярно Земле, т.е. под углом 90 градусов, а лучи солнца падают на землю под одинаковыми углами, то образуются подобные треугольники, стороны которых пропорциональны.

Рабочая формула: H = h* L / l

Здесь L – длина тени дерева, l – длина тени человека,

h – высота человека.

Оборудование и ход работы – ясны из рисунка.

Результат : h=1,57 м, l=4,2 м, L=26,8 м, H= 10 м

Наша оценка метода:

Метод достаточно надежный, но нужна солнечная погода, измерения нужно проводить одновременно, т.к. солнце не стоит на месте, и длина тени изменяется.

Зеркало

Суть : способ основан на законе отражения света.

Угол ACB равен углу ECD. Следовательно, треугольник ACB подобен

треугольнику ECD, и их стороны пропорциональны. Следовательно, верна основная формула.

Рабочая формула: H = h* L/l

Оборудование : плоское зеркало, рулетка.

Ход работы :

1) положить зеркало на землю;

2) найти такое положение, чтобы видеть в зеркале отражение верхушки дерева;

3) измерить расстояния l, L и h;

Результат : h=1,47 м, l=1,30 м, L=8,4 м, H= 9,5 м

Наша оценка метода:

Метод достаточно надежный, но нужны зеркало и рулетка.

Лужа

Измерение с помощью лужи является альтернативным вариантом измерения с помощью зеркала. Этот способ, описанный на сайте «Питерский охотник», можно удачно применять после дождя, когда на земле появляется много лужиц. Измерение производят таким образом: находят невдалеке от измеряемого предмета лужицу и становятся около нее так, чтобы она помещалась между вами и предметом. После этого находят точку, из которой видна отраженная в воде вершинка предмета. Измеряемый предмет, например дерево, будет во столько раз выше вас, во сколько расстояние от него до лужицы больше, чем расстояние от лужицы до вас.

Наша оценка метода: Метод достаточно надежный, но его можно проводить только летом и только после дождя.

Суть : построение равнобедренного прямоугольного треугольника, одним из катетов которого является дерево. h- рост человека до уровня глаз

Рабочая формула: АС=ВС, H = АС+ h

Здесь АС и ВС - стороны прямоугольного треугольника с углом 45 градусов. Т.к. они равны, то H = АС+ h

Оборудование: любой прямоугольный треугольник (бумажный, пластмассовый, деревянный) с углом 45 градусов, то есть равнобедренный.

Ход работы :

1) держа треугольник вертикально, отойти от дерева на такое расстояние, при

котором, глядя вдоль гипотенузы, увидеть верхушку дерева. Высота дерева от уровня глаз до верхушки равна расстоянию от дерева до человека;

2) измерить расстояние от места измерения до дерева;

3) прибавить к полученному числу свой рост (до уровня глаз).

Результат: АС = 8,2 м; h =1,47 м H = 8,2 + 1,47 = 9,67 м

Наша оценка метода:

Метод достаточно надежный. Оборудование простое, не требует вычислений.

Самодельный простейший прибор – “высотомер”

Измерение с помощью самодельного прибора – “высотомера” является вариантом измерения с помощью треугольника с углом 45 градусов. Нужны любая дощечка (можно использовать кору дерева, если у неё есть плоская сторона) и 3 булавки. На этой дощечке намечают три точки – вершины равнобедренного прямоугольного треугольника, и в них втыкают булавки. Если под рукой нет чертёжной линейки, для построения прямого угла, и нет циркуля, для отложения равных сторон, можно воспользоваться листом бумаги: перегните лист бумаги, затем поперёк первого сгиба ещё раз так, чтобы обе части первого сгиба совпали – получился прямой угол. С помощью этого же листа можно отмерить равные расстояния.

Результат : АС = 9,4 м; h =1,47 м H = 9,4 + 1,47 = 10,87 м

Наша оценка метода:

Метод достаточно надежный. Не требует о борудования, не требует вычислений. Можно использовать в лесу. Если нет рулетки, то расстояние до основания дерева можно измерить шагами.

Карандаш

Формула и объяснение то же, что и предыдущем способе.

Оборудование : карандаш (или ручка, или любая палочка), помощник, рулетка.

Ход работы:

1) встать от дерева на такое расстояние, чтобы видеть его целиком – от основания до верхушки. Рядом со стволом установить помощника.

2) вытянуть перед собой руку с карандашом, зажатым в кулаке. Прищурить один глаз и подвести кончик грифеля к вершине дерева. Теперь переместить ноготь большого пальца так, чтобы он оказался под основанием ствола.

3) повернуть кулак на 90 градусов, чтобы карандаш оказался расположен

параллельно земле. При этом твой ноготь должен все так же оставаться в точке основания ствола.

4) крикнуть своему помощнику, чтобы он отошел от дерева. Когда он достигнет точки, на которую указывает острие карандаша, подать сигнал, чтобы он остановился.

5) измерить расстояние от ствола до места, где застыл помощник. Оно будет

равняться высоте дерева. Это следует из нашего основного соотношения

Результат : H= 9,5 м

Наша оценка метода:

Метод достаточно надежный. Не нужно никакого оборудования и вычисления. Такой способ измерения дерева используют скауты.

Суть : Это еще один вариант измерения с помощью треугольника с углом 45 градусов. По другому этот способ называют Жюльверновским , так как он описан у Жюля Верна в романе “Таинственный остров”.

Оборудование: шест, одежда, которую вы не боитесь испачкать

Ход работы: Необходимо воткнуть этот шест отвесно в землю так, чтобы выступающая часть была равна вашему росту. Затем необходимо лечь на землю так, чтобы, упираясь ногами в шест, вы видели верхушку дерева на одной прямой линии с верхней точкой шеста. Т. к. получившийся треугольник будет равнобедренным и прямоугольным, то L=H.

Результат: L= H = 10,7 м

Наша оценка метода:

Метод достаточно надежный. Не требует оборудования и вычислений.

Но есть еще способы, которыми мы не пользовались, но нашли их описания

Высотомер из двух планок

Способ использования углов.

Этот способ можно использовать в старших классах, где ученики знают тригонометрические функции углов. Для измерения угла можно использовать прибор, изготовленный из транспортира и прикрепленного к нему особым способом отвеса (см. рисунок). Порядок измерения: Сначала отойдем на известное расстояние от дерева. Затем направим прибор на верхушку дерева по визирной линии сверху и измерим угол, который показывает отвес. При этом угол a нужно пересчитать (вычесть из 90° показываемый угол). Понятно, что высота дерева будет равна расстоянию от дерева до человека умножить на тангенс угла a , ну и плюс рост человека.

Измерение высоты дерева с помощью углов не приближаясь к нему

Высотомер лесоводов .

Очень удобен, если по какой- либо причине подойти к дереву невозможно

Измерение высоты дерева при помощи шеста (2 вариант)

(случай из истории Великой Отечественной войны).

Вот как однажды было на одном из фронтов Великой Отечественной войны. Подразделению лейтенанта Иванюк было приказано построить мост через горную реку. На противоположном берегу засели фашисты. Для разведки места постройки моста лейтенант выделил разведывательную группу во главе со старшим сержантом Поповым. В ближайшем лесном массиве они измерили диаметр и высоту наиболее типичных деревьев и подсчитали количество деревьев, которые можно было использовать для постройки. Высоту деревьев измерили при помощи вешки (шеста) так, как показано на рисунке.

Этот способ состоит в следующем.

Запасшись шестом выше своего роста, воткните его в землю отвесно на некотором расстоянии от измеряемого дерева. Отойдите от шеста назад, по продолжению Dd до того места А, с которого, глядя на вершину дерева, вы увидите на одной линии с ней верхнюю точку b шеста. Затем, не меняя положения головы, смотрите по направлению горизонтальной прямой аС, замечая точки с и С, в которых луч зрения встречает шест и ствол. Попросите помощника сделать в этих местах пометки, и наблюдение окончено. Остается только на основании подобия треугольников аbс и аВС вычислить ВС из пропорции

ВС: bс = аС: ас, откуда

ВС = вс(аС/ас).

Расстояния bс. аС и ас легко измерить непосредственно. К полученной величине ВС нужно прибавить расстояние СD (которое тоже измеряется непосредственно), чтобы узнать искомую высоту дерева.

Заключение

Мы рассмотрели несколько способов определения высоты дерева с

помощью подручных средств без специальных приборов и инструментов. Все эти способы основаны либо на определении понятия длины отрезка и измерения, либо на свойствах подобных фигур. Эксперименты проводились в неблагоприятных условиях: неровная, неудобная местность, много снега, мороз, отсутствие опыта и сноровки. Результаты различных экспериментов отличались. 9,5 м

Треугольник с углом 45 градусов

9,67 м

Самодельный простейший прибор – “высотомер

10,87 м

Карандаш

9,5 м

Измерение высоты дерева при помощи шеста (1 вариант)

10,7 м

Если не учитывать результат определения высоты «на глаз» и сравнение с предметом известной величины, как самые ненадежные, то разница между наибольшим и наименьшим значениями высоты составляет около 0,84 метра. Поэтому мы можем предположить, что высота дерева около 10 метров. Более точное значение может дать измерение с помощью высотомера лесника.

После изучения понятия относительной и абсолютной погрешности мы

предполагаем повторить эксперименты с измерением объекта с известной

высотой и оценить точность примененных методов. Желающие попробовать определить высоту недоступного объекта могут воспользоваться нашими инструкциями. Самым доступным способом мы считаем метод карандаша. Он требует минимум оборудования и всего одно измерение.