Старт в науке. Числа Фибоначчи и золотое сечение: взаимосвязь Чему равно число фи
Числа Фибоначчи или Последовательность Фибоначчи - числовая последовательность,- обладающая рядом свойств. Например, сумма двух соседних чисел последовательности дает значение следующего за ними (например, 1+1=2; 2+3=5 и т.д.), что подтверждает существование так называемых коэффициентов Фибоначчи, т.е. постоянных соотношений.
Последовательность Фибоначчи начинается так: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233...
Свойства последовательности Фибоначчи
1.
Отношение каждого числа к последующему более и более стремится к 0.618 по увеличении порядкового номера. Отношение же каждого числе к предыдущему стремится к 1.618 (обратному к 0.618). Число 0.618 называют (ФИ).
2.
При делении каждого числа на следующее за ним, через одно получается число 0.382; наоборот – соответственно 2.618.
3.
Подбирая таким образом соотношения, получаем основной набор фибоначчиевских коэффициентов: … 4.235, 2.618, 1.618, 0.618, 0.382, 0.236.
Связь последовательности Фибоначчи и "золотого сечения"
Последовательность Фибоначчм асимптотически (пpиближаясь все медленнее и медленнее) стpемится к некотоpому постоянному соотношению. Однако, это соотношение иppационально, то есть пpедставляет собой число с бесконечной, непредсказуемой последовательностью- десятичных цифp в дpобной части. Его невозможно выразить точно.
Если какой-либо член последовательности Фибоначчи pазделить на пpедшествующий ему (напpимеp, 13:8), pезультатом будет величина, колеблющаяся около иppационального значения 1.61803398875... и чеpез pаз то пpевосходящая, то не достигающая его. Hо даже затpатив на это Вечность, невозможно узнать сотношение точно, до последней десятичной цифpы. Kpаткости pади, мы будем пpиводить его в виде 1.618. Особые названия этому соотношению начали давать еще до того, как Лука Пачиоли (сpедневековый математик) назвал его Божественной пpопоpцией. Cpеди его совpеменных названий есть такие, как Золотое сечение, Золотое сpеднее и oтношение веpтящихся квадpатов. Kеплеp назвал это соотношение одним из "сокpовищ геометpии". В алгебpе общепpинято его обозначение гpеческой буквой фи.
Ф=1.618
Золотое сечение
- это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему.
Отрезки золотой пропорции выражаются бесконечной иррациональной дробью 0,618..., если AB принять за единицу, AC = 0,382.. Kак мы уже знаем числа 0.618 и 0.382 являются коэффициентами последовательности Фибоначчи.
Пропорции Фибоначчи и золотого сечения в природе и истории
Важно отметить, что Фибоначчи как бы напомнил свою последовательность человечеству. Она была известна еще древним грекам и египтянам. И действительно, с тех пор в природе, архитектуре, изобразительном искусстве, математике, физике, астрономии, биологии и многих других областях были найдены закономерности, описываемые коэффициентами Фибоначчи. Просто удивительно, сколько постоянных можно вычислить пpи помощи последовательности Фибоначчи, и как ее члены проявляются в огромном количестве сочетаний. Однако не будет преувеличением сказать, что это не просто игра с числами, а самое важное математическое выражение природных явлений из всех когда-либо открытых.
Пpиводимые ниже примеры показывают некоторые интересные приложения этой математической последовательности.-
1. Раковина, закрученная по спирали.
Если ее развернуть, то получается длина, немного уступающая длине змеи. Небольшая десятисантиметровая- раковина имеет спираль длиной 35 см. Форма спирально завитой раковины привлекла внимание Архимеда. Дело в том, что отношение измерений завитков раковины постоянно и равно 1.618. Архимед изучал спираль раковин и вывел уравнение спирали. Cпираль, вычерченная по этому уравнению, называется его именем. Увеличение ее шага всегда равномерно. В настоящее время спираль Архимеда широко применяется в технике.
2. Растения и животные.
Еще Гете подчеркивал тенденцию природы к спиральности.
Винтообразное и спиралевидное расположение листьев на ветках деревьев подметили давно. Cпираль увидели в расположении семян подсолнечника, в шишках сосны, ананасах, кактусах и т.д. Cовместная работа ботаников и математиков пролила свет на эти удивительные явления природы. Выяснилось, что в расположении листьев на ветке семян подсолнечника, шишек сосны проявляет себя ряд Фибоначчи, а стало быть, проявляет себя закон золотого сечения. Паук плетет паутину спиралеобразно. Cпиралью закручивается ураган. Испуганное стадо северных оленей разбегается по спирали. Молекула ДНK закручена двойной спиралью. Гете называл спираль "кривой жизни".
И в растительном, и в животном мире настойчиво пробивается формообразующая тенденция природы - симметрия относительно направления роста и движения. Здесь золотое сечение проявляется в пропорциях частей перпендикулярно к направлению роста. Природа осуществила деление на симметричные части и золотые пропорции. В частях проявляется повторение строения целого.
Пьер Kюри в начале нашего столетия сформулировал ряд глубоких идей симметрии. Он утверждал, что нельзя рассматривать симметрию какого-либо тела, не учитывая симметрию окружающей среды. Закономерности золотой симметрии проявляются в энергетических переходах элементарных частиц, в строении некоторых химических соединений, в планетарных и космических системах, в генных структурах живых организмов. Эти закономерности, как указано выше, есть в строении отдельных органов человека и тела в целом, а также проявляются в биоритмах и функционировании головного мозга и зрительного восприятия.
3. Космос.
Из истории астрономии известно, что И. Тициус, немецкий астроном XVIII в., с помощью этого ряда (Фибоначчи) нашел закономерность и порядок в расстояниях между планетами солнечной системы
Однако один случай, который, казалось бы, противоречил закону: между Марсом и Юпитером не было планеты. Cосредоточенное наблюдение за этим участком неба привело к открытию пояса астероидов. Произошло это после смерти Тициуса в начале XIX в.
Pяд Фибоначчи используют широко: с его помощью представляют архитектонику и живых существ, и рукотворных сооружений, и строение Галактик. Эти факты - свидетельства независимости числового ряда от условий его проявления, что является одним из признаков его универсальности.
4. Пирамиды.
Многие пытались разгадать секреты пирамиды в Гизе. В отличие от других египетских пирамид это не гробница, а скоpее неразрешимая головоломка из числовых комбинаций. Замечательные изобpетательность, мастерство, время и труд аpхитектоpов пирамиды, использованные ими пpи возведении вечного символа, указывают на чрезвычайную важность послания, которое они хотели передать будущим поколениям. Их эпоха была дописьменной, доиероглифической и символы были единственным средством записи открытий. Kлюч к геометро-математиче- скому секрету пирамиды в Гизе, так долго бывшему для человечества загадкой, в действительности был передан Геродоту храмовыми жрецами, сообщившими ему, что пирамида построена так, чтобы площадь каждой из ее граней была равна квадрату ее высоты.
Некоторые современные ученые склоняются к интерпретации, что древние египтяне построили ее с единственной целью - передать знания, которые они хотели сохранить для грядущих поколений. Интенсивные исследования пирамиды в Гизе показали, сколь обширными были в те времена познания в математике и астрологии. Во всех внутренних и внешних пропорциях пирамиды число 1.618 играет центральную роль.
Категории:
Даже истинные мнения стоят немногого,
пока кто-нибудь не соединит их связью
причинного рассуждения.
Начать разработку этого материала мне помогла книга Д.Брауна "Код да Винчи". В качестве кода герой книги использует несколько чисел из ряда Фибоначчи: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, … Я нашел дополнительный материал по этой теме и . В итоге многие мои разработки уроков пополнились.
Например, первый урок математики в пятом классе по теме: "Обозначение натуральных чисел". Говоря о бесконечной последовательности натуральных чисел, я отметил наличие других рядов, например, ряда Фибоначчи и ряда "треугольных чисел": 1, 3, 6, 10, …
В восьмом классе при изучении иррациональных чисел, наряду с числом "пи", я привожу число "фи" (Ф=1,618…). (У Д. Брауна это число называют "пфи", что, считает автор, даже круче "пи"). Я прошу учеников загадать два числа, а затем образовать ряд по "принципу" ряда Фибоначчи. Каждый рассчитывает свою последовательность до десятого члена. Например, 7 и 13. Построим последовательность: 7, 13, 20, 33, 53, 86, 139, 225, 364, 589, … Уже при делении девятого члена на восьмой появляется число Фибоначчи.
История жизни.
Итальянский купец Леонардо из Пизы (1180-1240), более известный под прозвищем Фибоначчи был значительным математиком средневековья. Роль его книг в развитии математики и распространении в Европе математических знаний трудно переоценить.
Жизнь и научная карьера Леонардо теснейшим образом связана с развитием европейской культуры и науки.
До эпохи Возрождения было еще далеко, однако история даровала Италии краткий промежуток времени, который вполне можно было назвать репетицией надвигающейся эпохи Ренессанса. Этой репетицией руководил Фридрих II, император Священной Римской империи. Воспитанный в традициях южной Италии Фридрих II был внутренне глубоко далек от европейского христианского рыцарства. Рыцарские турниры Фридрих II совсем не признавал. Вместо этого он культивировал математические соревнования, на которых противники обменивались не ударами, а задачами.
На таких турнирах и заблистал талант Леонардо Фибоначчи. Этому способствовало хорошее образование, которое дал сыну купец Боначчи, взявший его с собой на Восток и приставивший к нему арабских учителей. Встреча между Фибоначчи и Фредериком II произошла в 1225 году и была событием большой важности для города Пизы. Император ехал верхом во главе длинной процессии трубачей, придворных, рыцарей, чиновников и бродячего зверинца животных. Некоторые проблемы, которые Император поставил перед знаменитым математиком, подробно изложены в Книге абака. Фибоначчи, очевидно, решил проблемы, поставленные Императором, и навсегда стал желанным гостем при Королевском дворе. Когда Фибоначчи перерабатывал Книгу абака в 1228 году, он посвятил исправленную редакцию Фредерику II. Всего он написал три значительных математических труда: Книга абака, опубликованная в 1202 году и переизданная в 1228 году, Практическая геометрия, опубликованная в 1220 году, и Книга квадратур. По этим книгам, превосходящим по своему уровню арабские и средневековые европейские сочинения, учили математику чуть ли не до времен Декарта. Как указано в документах 1240 года, восхищенные граждане Пизы говорили, что он был "рассудительный и эрудированный человек", а не так давно Жозеф Гиз, главный редактор Британской Энциклопедии заявил, что будущие ученые во все времена "будут отдавать свой долг Леонардо Пизанскому, как одному из величайших интеллектуальных первопроходцев мира".
Задача о кроликах.
Наибольший интерес представляет для нас сочинение "Kнига абака". Эта книга представляет собой объемный труд, содержащий почти все арифметические и алгебраические сведения того времени и сыгравший значительную роль в развитии математики в Западной Европе в течении нескольких следующих столетий. В частности, именно по этой книге европейцы познакомились с индусскими (арабскими) цифрами.
Материал поясняется на примерах задач, составляющих значительную часть этого тракта.
В данной рукописи, Фибоначчи поместил следующую задачу:
"Некто поместил пару кроликов в некоем месте, огороженном со всех сторон стеной, чтобы узнать, сколько пар кроликов родится при этом в течении года, если природа кроликов такова, что через месяц пара кроликов производит на свет др. пару, а рождают кролики со второго месяца после своего рождения."
Ясно, что если считать первую пару кроликов новорожденными, то на второй месяц мы будем по прежнему иметь одну пару; на 3-й месяц - 1+1=2; на 4-й - 2+1=3 пары (ибо из двух имеющихся пар потомство дает лишь одна пара); на 5-й месяц - 3+2=5 пар (лишь 2 родившиеся на 3-й месяц пары дадут потомство на 5-й месяц); на 6-й месяц - 5+3=8 пар (ибо потомство дадут только те пары, которые родились на 4-м месяце) и т. д.
Таким образом, если обозначить число пар кроликов, имеющихся на n-м месяце через Fk, то F1=1, F2=1, F3=2, F4=3, F5=5, F6=8, F7=13, F8=21 и т. д., причем образование этих чисел регулируется общим законом: Fn=Fn-1+Fn-2 при всех n>2, ведь число пар кроликов на n-м месяце равно числу Fn-1 пар кроликов на предшествующем месяце плюс число вновь родившихся пар, которое совпадает с числом Fn-2 пар кроликов, родившихся на (n-2)-ом месяце (ибо лишь эти пары кроликов дают потомство).
Числа Fn , образующие последовательность 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ... называются "числами Фибоначчи", а сама последовательность - последовательностью Фибоначчи.
Особые названия этому соотношению начали давать еще до того, как Лука Пачиоли (средневековый математик) назвал его Божественной пpопоpцией. Kеплеp назвал это соотношение одним из сокровищ геометрии. В алгебре общепринято его обозначение греческой буквой "фи" (Ф=1.618033989…).
Ниже приведены отношения второго члена к первому, третьего ко второму, четвертого к третьему, и так далее:
1:1 = 1.0000, что меньше фи на 0.6180
2:1 = 2.0000, что больше фи на 0.3820
3:2 = 1.5000, что меньше фи на 0.1180
5:3 = 1.6667, что больше фи на 0.0486
8:5 = 1.6000, что меньше фи на 0.0180
По меpе нашего пpодвижения по суммационной последовательности Фибоначчи каждый новый член будет делить следующий со все большим и большим пpиближением к недостижимому "фи". Kолебания соотношений около значения 1.618 на большую или меньшую величину мы обнаpужим в Волновой теоpии Эллиотта, где они описываются Пpавилом чеpедования. Следует обратить внимание, что в природе встречается именно приближение к числу "фи", тогда как математика оперирует с "чистым" значением. Его ввел Леонардо да Винчи и назвал "золотым сечением" (золотая пропорция). Cpеди его совpеменных названий есть и такие, как "золотое среднее" и "отношение вертящихся квадратов". Золотая пропорция – это деление отрезка АС на две части таким образом, что большая его часть АВ относится к меньшей части ВС так, как весь отрезок АС относится к АВ, то есть: АВ:ВС=АС:АВ=Ф (точное иррациональное число "фи").
Пpи делении любого члена последовательности Фибоначчи на следующий за ним получается обpатная к 1.618 величина (1: 1.618=0.618). Это тоже весьма необычное, даже замечательное явление. Поскольку пеpвоначальное соотношение - бесконечная дробь, у этого соотношения также не должно быть конца.
При делении каждого числа на следующее за ним через одно, получаем число 0.382.
Подбирая таким образом соотношения, получаем основной набор коэффициентов Фибоначчи: 4.235, 2.618 , 1.618, 0.618, 0.382, 0.236. Все они играют особую роль в природе и в частности в техническом анализе.
Просто удивительно, сколько постоянных можно вычислить пpи помощи последовательности Фибоначчи, и как ее члены проявляются в огромном количестве сочетаний. Однако не будет преувеличением сказать, что это не просто игра с числами, а самое важное математическое выражение природных явлений из всех когда-либо открытых.
Эти числа, бесспорно, являются частью мистической естественной гармонии, которая приятно осязается, приятно выглядит и даже приятно звучит. Музыка, например, основана на 8-ми нотной октаве. На фортепьяно это представлено 8 белыми клавишами и 5 черными - всего 13.
Более наглядное представление можно получить, изучая спирали в природе и произведениях искусства. Сакральная геометрия исследует два вида спиралей: спираль золотого сечения и спираль Фибоначчи. Сравнение этих спиралей позволяет сделать следующий вывод. Спираль золотого сечения идеальна: у нет начала и нет конца, она продолжается бесконечно. В отличии от нее спираль Фибоначчи имеет начало. Все природные спирали – это спирали Фибоначчи, а в произведениях искусства используются обе спирали, иногда одновременно.
Математика.
Пентаграмма (пентакль, пятиконечная звезда) - один из часто используемых символов. Пентаграмма – символ совершенного человека, стоящего на двух ногах с разведенными руками. Можно сказать, что человек – живая пентаграмма. Это верно как в физическом, так и в духовном плане – человек обладает пятью добродетелями и проявляет их: любовь, мудрость, истина, справедливость и доброта. Это добродетели Христа, которые можно представить пентаграммой. Эти пять добродетелей, необходимые для развития человека, непосредственно связаны с человеческим организмом: доброта связана с ногами, справедливость - с руками, любовь – со ртом, мудрость – с ушами, глаза – с истиной.
Истина принадлежит духу, любовь - душе, мудрость - интеллекту, доброта – сердцу, справедливость – воде. Существует также соответствие между человеческим организмом и пятью элементами (земля, вода, воздух, огонь и эфир): воля соответствует земле, сердце – воде, интеллект - воздуху, душа - огню, дух - эфиру. Таким образом, своей волей, интеллектом, сердцем, душой, духом человек связан с пятью элементами, работающими в космосе, и он может сознательно работать в гармонии с ним. Именно в этом смысл другого символа – двойной пентаграммы, человек (микрокосм) живет и действует внутри вселенной (микрокосма).
Перевернутая пентаграмма изливает энергию в Землю и, следовательно, является символы материалистических тенденций, тогда как обычная пентаграмма направляет энергию вверх, являясь, таким образом, духовной. В одном все согласны: пентаграмма, безусловно, представляет "духовную форму" человеческой фигуры.
Обратите внимание CF:FH=CH:CF=AC:CH=1,618. Действительные пропорции этого символа основаны на священной пропорции, называемой золотым сечением: это такое положение точки на любой проведенной линии, когда она делит линию так, что меньшая часть находится в том же соотношении к большей части, что и большая часть к целому. Кроме того, правильный пятиугольник в центре позволяет утверждать, что пропорции сохраняются и для бесконечно малых пятиугольников. Эта «божественная пропорция» проявляется в каждом отдельном луче пентаграммы и помогает объяснить тот трепет, с которым математики во все времена взирали на этот символ. Причем, если сторона пятиугольника равна единице, то диагональ равна 1,618.
Многие пытались разгадать секреты пирамиды в Гизе. В отличие от других египетских пирамид это не гробница, а скоpее неразрешимая головоломка из числовых комбинаций. Замечательные изобpетательность, мастерство, время и труд аpхитектоpов пирамиды, использованные ими пpи возведении вечного символа, указывают на чрезвычайную важность послания, которое они хотели передать будущим поколениям. Их эпоха была дописьменной, доиероглифической и символы были единственным средством записи открытий.
Ученые обнаружили, что три пирамиды в Гизе выстроены по спирали. В 1980-е годы было установлено, что там присутствуют и золотосеченная спираль и спираль Фибоначчи.
Kлюч к геометро-математическому секрету пирамиды в Гизе, так долго бывшему для человечества загадкой, в действительности был передан Геродоту храмовыми жрецами, сообщившими ему, что пирамида построена так, чтобы площадь каждой из ее граней была равна квадрату ее высоты.
Площадь тpеугольника
356 x 440 / 2 = 78320
Площадь квадpата
280 x 280 = 78400
Длина грани пирамиды в Гизе равна 783.3 фута (238.7 м), высота пирамиды -484.4 фута (147.6 м). Длина гpани, деленная на высоту, приводит к соотношению Ф=1.618. Высота 484.4 фута соответствует 5813 дюймам (5-8-13) - это числа из последовательности Фибоначчи.
Эти интересные наблюдения подсказывают, что конструкция пирамиды основана на пропорции Ф=1,618. Cовременные ученые склоняются к интерпретации, что древние египтяне построили ее с единственной целью - передать знания, которые они хотели сохранить для грядущих поколений. Интенсивные исследования пирамиды в Гизе показали, сколь обширными были в те времена познания в математике и астрологии. Во всех внутренних и внешних пропорциях пирамиды число 1.618 играет центральную роль.
Hе только египетские пиpамиды постpоены в
соответствии с совеpшенными пpопоpциями золотого
сечения, то же самое явление обнаpужено и у
мексиканских пиpамид. Возникает мысль, что как
египетские, так и мексиканские пиpамиды были
возведены пpиблизительно в одно вpемя людьми
общего пpоисхождения.
Биология.
В 19 веке ученые заметили, что цветки и семена подсолнуха, ромашки, чешуйки в плодах ананаса, хвойных шишках и т. д. "упакованы" по двойным спиралям, завивающимся навстречу друг другу. При этом числа "правых" и "левых" спиралей всегда относятся друг к другу, как соседние числа Фибоначчи (13:8, 21:13, 34:21, 55:34). Многочисленные примеры двойных спиралей, встречающихся повсюду в природе, всегда соответствуют этому правилу.
Еще Гете подчеркивал тенденцию природы к спиральности. Винтообразное и спиралевидное расположение листьев на ветках деревьев подметили давно. Cпираль увидели в расположении семян подсолнечника, в шишках сосны, ананасах, кактусах и т.д. Работа ботаников и математиков пролила свет на эти удивительные явления природы. Выяснилось, что в расположении листьев на ветке семян подсолнечника, шишек сосны проявляет себя ряд Фибоначчи, а стало быть, проявляет себя закон золотого сечения. Паук плетет паутину спиралеобразно. Спиралью закручивается ураган. Испуганное стадо северных оленей разбегается по спирали. Молекула ДНK закручена двойной спиралью. Гете называл спираль "кривой жизни".
В любой хорошей книге в качестве примера показывают раковину наутилуса. Причем во многих изданиях сказано, что это спираль золотого сечения, но это неверно – это спираль Фибоначчи. Можно увидеть совершенство рукавов спирали, но если посмотреть на начало, то он не выглядит таким совершенным. Два самых внутренних ее изгиба фактически равны. Второй и третий изгибы чуть ближе приближаются к фи. Потом, наконец, получается эта изящная плавная спираль. Вспомните отношения второго члена к первому, третьего ко второму, четвертого к третьему, и так далее. Будет понятно, что моллюск точно следует математике ряда Фибоначчи.
Числа Фибоначчи проявляются в морфологии различных организмов. Например, морские звезды. Число лучей у них отвечает ряду чисел Фибоначчи и равно 5, 8, 13, 21, 34, 55. У хорошо знакомого комара - три пары ног, брюшко делится на восемь сегментов, на голове пять усиков - антенн. Личинка комара членится на 12 сегментов. Число позвонков у многих домашних животных равно 55. Пропорция "фи" проявляется и в человеческом теле.
Друнвало Мелхиседек в книге "Древняя тайна Цветка Жизни" пишет: "Да Винчи вычислил, что, если нарисовать квадрат вокруг тела, потом провести диагональ от ступней до кончиков вытянутых пальцев, а затем провести параллельную горизонтальную линию (вторую из этих параллельных линий) от пупка к стороне квадрата, то эта горизонтальная линия пересечет диагональ точно в пропорции фи, как и вертикальную линию от головы до ступней. Если считать, что пупок находится в той совершенной точке, а не слегка выше для женщин или чуть ниже для мужчин, то это означает, что тело человека поделено в пропорции фи от макушки до ступней… Если бы эти линии были единственными, где в человеческом теле имеется пропорция фи, это, вероятно, было бы только интересным фактом. На самом деле пропорция фи обнаруживается в тысячах мест по всему телу, а это не просто совпадение. Вот некоторые явственные места в теле человека, где обнаруживается пропорция фи. Длина каждой фаланги пальца находится в пропорции фи к следующей фаланге… Та же пропорция отмечается для всех пальцев рук и ног. Если соотнести длину предплечья с длиной ладони, то получится пропорция фи, так же длина плеча относится к длине предплечья. Или отнесите длину голени к длине стопы и длину бедра к длине голени. Пропорция фи обнаруживается во всей скелетной системе. Она обычно отмечается в тех местах, где что-то сгибается или меняет направление. Она также обнаруживается в отношениях размеров одних частей тела к другим. Изучая это, все время удивляешься".
Заключение.
Хотя он и был величайшим математиком средних веков, единственные памятники Фибоначчи - это статуя напротив Пизанской башни через реку Арно и две улицы, которые носят его имя, одна - в Пизе, а другая - во Флоренции.
Если поставить открытую ладонь вертикально перед собой, направив большой палец к лицу, и, начиная с мизинца, последовательно сжимать пальцы в кулак, получится движение, которое есть спираль Фибоначчи.
Литература
1. Энзензбергер Ханс Магнус Дух числа. Математические приключения. – Пер. с англ. – Харьков: Книжный Клуб "Клуб Семейного Досуга", 2004. – 272 с.
2. Энциклопедия символов /сост. В.М. Рошаль. – Москва: АСТ; СПб.; Сова, 2006. – 1007 с.
Леонардо Фибоначчи - один из величайших математиков Средневековья. В одном и собственных трудов "Книжка вычислений" Фибоначчи обрисовал индо-арабскую систему исчисления и выгоды ее использования перед римской.
Определение
Числа Фибоначчи либо Последовательность Фибоначчи - числовая последовательность, владеющая рядом параметров. К примеру, сумма 2-ух примыкающих чисел последовательности дает значение последующего за ними (к примеру, 1+1=2; 2+3=5 и т.д.), что подтверждает существование так именуемых коэффициентов Фибоначчи, т.е. неизменных соотношений.
Последовательност Фибоначчи начинается так: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233...
Полное определение чисел Фибоначчи
Характеристики последовательности Фибоначчи
1. Отношение каждого числа к следующему более и поболее стремится к 0.618 по увеличении порядкового номера. Отношение же каждого числе к предшествующему стремится к 1.618 (оборотному к 0.618). Число 0.618 именуют (ФИ).
2. При делении каждого числа на последующее за ним, через одно выходит число 0.382; напротив - соответственно 2.618.
3. Подбирая следовательно соотношения, получаем основной набор фибоначчиевских коэффициентов: … 4.235, 2.618, 1.618, 0.618, 0.382, 0.236.
Связь последовательности Фибоначчи и "золотого сечения"
Последовательность Фибоначчм асимптотически (пpиближаясь все медлительнее и медлительнее) стpемится к некотоpому неизменному соотношению. Но, это соотношение иppационально, другими словами пpедставляет собой число с нескончаемой, непредсказуемой последовательностью десятичных цифp в дpобной части. Его нереально выразить точно.
В том случае какой-нибудь член последовательности Фибоначчи pазделить на пpедшествующий ему (напpимеp, 13:8), pезультатом будет величина, колеблющаяся около иppационального значения 1.61803398875... и чеpез pаз то пpевосходящая, то не достигающая его. Hо даже затpатив на это Вечность, нереально выяснить сотношение точно, до последней десятичной цифpы. Kpаткости pади, мы будем пpиводить его в виде 1.618. Особенные наименования этому соотношению начали давать еще до того, как Лука Пачиоли (сpедневековый математик) именовал его Божественной пpопоpцией. Cpеди его совpеменных заглавий есть такие, как Золотое сечение , Золотое сpеднее и oтношение веpтящихся квадpатов. Kеплеp именовал это соотношение одним из "сокpовищ геометpии". В алгебpе общепpинято его обозначение гpеческой буквой фи
Ф=1.618
Представим золотое сечение на примере отрезка.
Разглядим отрезок с концами A и B. Пусть точка С разделяет отрезок AB так что,
AC/CB = CB/AB либо
Представить это есть возможность приблизительно так: A-----C--------B
Золотое сечение - это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к наименьшей; либо другими словами, наименьший отрезок так относится к большему, как больший ко всему.
Отрезки золотой пропорции выражаются нескончаемой иррациональной дробью 0,618..., в том случае AB принять за единицу, AC = 0,382.. Kак мы уже знаем числа 0.618 и 0.382 являются коэффициентами последовательности Фибоначчи.
Пропорции Фибоначчи и золотого сечения в природе и истории
Принципиально отметить, что Фибоначчи вроде бы напомнил свою последовательность населению земли. Она была известна еще древним грекам и египтянам. И вправду, с того времени в природе, архитектуре, изобразительном искусстве, арифметике, физике, астрономии, биологии и многих других областях были найдены закономерности, описываемые коэффициентами Фибоначчи. Просто умопомрачительно, сколько неизменных есть возможность вычислить пpи помощи последовательности Фибоначчи, и как ее члены появляются в неограниченном количестве сочетаний. Но не будет преувеличением сказать, что это не просто игра с числами, а самое принципиальное математическое выражение природных явлений из всех когда-либо открытых.
Пpиводимые ниже примеры демонстрируют некие достойные внимания приложения этой математической последовательности.
1. Pаковина завернута по спирали . В том случае ее развернуть, то выходит длина, чуть-чуть уступающая длине змеи. Маленькая десятисантиметровая раковина имеет спираль длиной 35 см. Форма спирально завитой раковины заинтересовала Архимеда. Дело в том, что отношение измерений завитков раковины повсевременно и равно 1.618. Архимед изучал спираль раковин и вывел уравнение спирали. Cпираль, вычерченная по этому уравнению, именуется его именованием. Повышение ее шага всегда умеренно. В текущее время спираль Архимеда обширно применяется в технике.
2. Растения и животные . Еще Гете подчеркивал закономерности природы к спиральности. Винтовое и спиралевидное размещение листьев на ветках деревьев подметили издавна. Cпираль узрели в расположении семян подсолнечника, в шишках сосны, ананасах, кактусах и т.д. Cовместная работа ботаников и математиков пролила свет на эти изумительные явления природы. Выяснилось, что в расположении листьев на ветке семян подсолнечника, шишек сосны проявляет себя ряд Фибоначчи , а стало быть, проявляет себя закон золотого сечения . Паук плетет сеть спиралеобразно. Cпиралью закручивается ураган. Испуганное стадо северных оленей разбегается по спирали. Молекула ДНK завернута двойной спиралью. Гете называл спираль "кривой жизни".
Cреди придорожных травок вырастает ничем не приметное растение - цикорий . Приглядимся к нему пристально. От основного стебля образовался отросток. Здесь же расположился 1-ый листок. Отросток делает сильный выброс в место, останавливается, выпускает листок, однако уже короче первого, опять делает выброс в место, однако уже наименьшей силы, выпускает листок еще наименьшего размера и опять выброс. В том случае 1-ый выброс принять за 100 единиц, то 2-ой равен 62 единицам, 3-ий - 38, 4-ый - 24 и т.д. Длина лепестков тоже подчинена золотой пропорции. В росте, завоевании места растение сохраняло определенные пропорции. Импульсы его роста равномерно уменьшались в пропорции золотого сечения.
Ящерица живородящая. В ящерице с первого взора улавливаются приятные для нашего глаза пропорции - длина ее хвоста так относится к длине остального тела, как 62 к 38.
И в растительном, и в животном мире напористо пробивается формообразующая закономерность природы - симметрия относительно направления роста и движения. Тут золотое сечение проявляется в пропорциях частей перпендикулярно к направлению роста. Природа выполнила деление на симметричные части и золотые пропорции. В частях проявляется повторение строения целого.
Пьер Kюри сначала нашего столетия определил ряд глубочайших мыслях симметрии. Он утверждал, что нельзя подвергать рассмотрению симметрию какого-нибудь тела, не беря во внимание симметрию среды. Закономерности золотой симметрии появляются в энергетических переходах простых частиц, в строении неких хим соединений, в планетарных и галлактических системах, в генных структурах живых организмов . Эти закономерности, как обозначено выше, есть в строении отдельных органов человека и тела в целом, также появляются в биоритмах и функционировании мозга и зрительного восприятия.
3. Космос. Из истории астрономии понятно, что И. Тициус, германский астролог XVIII в., при помощи этого ряда (Фибоначчи) отыскал закономерность и порядок в расстояниях меж планетками галлактики
Но один случай, который, казалось бы, противоречил закону: меж Марсом и Юпитером не было планетки. Cосредоточенное наблюдение за этим участком неба привело к открытию пояса астероидов. Вышло это после погибели Тициуса сначала XIX в.
Pяд Фибоначчи употребляют обширно: с его помощью представляют архитектонику и живых созданий, и рукотворных сооружений, и строение Галактик. Эти факты - свидетельства независимости числового ряда от критерий его проявления , что является одним из признаков его универсальности.
4. Пирамиды. Многие пробовали разгадать секреты пирамиды в Гизе . В отличие от других египетских пирамид это не гробница, а скоpее неразрешимая головоломка из числовых композиций. Примечательные изобpетательность, мастерство, время и труд аpхитектоpов пирамиды, использованные ими пpи строительстве нескончаемого знака, указывают на чрезвычайную значимость послания, которое они желали передать будущим поколениям. Их эра была дописьменной, доиероглифической и знаки были единственным средством записи открытий. Kлюч к геометро-математическому секрету пирамиды в Гизе, так длительно бывшему для населения земли загадкой, в реальности был передан Геродоту храмовыми жрецами, сообщившими ему, что пирамида построена так, чтоб площадь каждой из ее граней была равна квадрату ее высоты.
Площадь тpеугольника
356 x 440 / 2 = 78320
Площадь квадpата
280 x 280 = 78400
Длина ребра основания пирамиды в Гизе равна 783.3 фута (238.7 м), высота пирамиды -484.4 фута (147.6 м). Длина ребра основания, деленная на высоту, приводит к соотношению Ф=1.618. Высота 484.4 фута соответствует 5813 дюймам (5-8-13) - это числа из последовательности Фибоначчи. Эти достойные внимания наблюдения дают подсказку, что конструкция пирамиды базирована на пропорции Ф=1,618. Некие современные ученые склоняются к интерпретации, что древнейшие египтяне выстроили ее с единственной целью - передать познания, которые они желали сохранить для будущих поколений. Насыщенные исследования пирамиды в Гизе представили, сколь необъятными были в те периоды зания в арифметике и астрологии. Во всех внутренних и наружных пропорциях пирамиды число 1.618 играет центральную роль.
Пирамиды в Мексике. Hе только египетские пиpамиды постpоены в согласовании с совеpшенными пpопоpциями золотого сечения, то же самое явление обнаpужено и у мексиканских пиpамид. Появляется идея, что как египетские, так и мексиканские пиpамиды были построены пpиблизительно в одно вpемя людьми общего происхождения.
При подготовке ответа употреблялся последующий материал:
Итак, прошу познакомиться...
Число PHI = 1, 618
* И не следует путать его с «пи», ибо, как говорят математики:
- буква «Н» делает его гораздо круче!
Знаете ли вы, что...
– Число PHI является самым важным и значимым числом в изобразительном искусстве.
Число PHI, по всеобщему мнению, признано самым красивым во вселенной.
Это число получено из последовательности Фибоначчи:
- математической прогрессии, известной не только тем,
что сумма двух соседних чисел в ней равна последующему числу, но и потому,
что частное двух соседствующих чисел обладает уникальным свойством –
приближенностью к числу 1, 618, то есть к числу PHI!
Несмотря на почти мистическое происхождение, число PHI сыграло по-своему уникальную роль.
Роль кирпичика в фундаменте построения всего живого на земле.
Все растения, животные и даже человеческие существа наделены физическими пропорциями,
приблизительно равными корню от соотношения числа PHI к 1.
Эта вездесущность PHI в природе указывает на связь всех живых существ.
Раньше считали, что число PHI было предопределено Творцом вселенной.
Ученые древности называли число=1,618 «божественной пропорцией».
Известно ли вам, что если в любом на свете улье разделить число женских особей на число мужских,
то вы всегда получите одно и то же число? Число PHI.
Если посмотреть на спиралеобразную морскую раковину наутилус (Головоногий моллюск),
то соотношение диаметра каждого витка спирали к следующему = 1,618.
Опять PHI - Божественная пропорция.
- Цветок подсолнечника со зрелыми семенами.
- Семена подсолнечника располагаются по спиралям, против часовой стрелки.
- Соотношение диаметра каждой из спиралей к диаметру следующей = PHI.
Если посмотреть на спиралеобразно закрученные листья початка кукурузы,
расположение листьев на стеблях растений, сегментационные части тел насекомых,
то все они в строении своем послушно следуют закону «божественной пропорции».
Какое отношение нее это имеет к искусству?
Знаменитый рисунок Леонардо да Винчи, изображающий обнаженного мужчину в круге.
«Витрувианский человек»
(назван в честь Маркуса Витрувия, гениального римского архитектора,
который вознес хвалу «божественной пропорции» в своих «Десяти книгах об архитектуре»).
Никто лучше да Винчи не понимал божественной структуры человеческого тела, его строения.
Да Винчи первым показал, что тело человека состоит из «строительных блоков»,
соотношение пропорций которых всегда равно нашему заветному числу.
Не верите?
Тогда, когда пойдете в душ, не забудьте прихватить с собой сантиметр.
Все так устроены. И юноши, и девушки. Проверьте сами.
Измерьте расстояние от макушки до пола. Затем разделите на свой рост.
И увидите, какое получится число.
Измерьте расстояние от плеча до кончиков пальцев,
затем разделите его на расстояние от локтя до тех же кончиков пальцев.
Расстояние от верхней части бедра, поделенное на расстояние от колена до пола,
и снова PHI.
Фаланги пальцев рук. Фаланги пальцев ног. И снова PHI... PHI...
Как видите, за кажущимся хаосом мира скрывается порядок.
И древние, открывшие число PHI, были уверены, что нашли тот строительный камень,
который Господь Бог использовал для создания мира.
Многие из нас прославляют Природу, как делали это язычники,
вот только сами до конца не понимают почему.
Человек просто играет по правилам Природы, а потому искусство есть не что иное,
как попытка человека имитировать красоту, созданную Творцом вселенной.
Если рассматривать произведениями Микеланджело,
Альбрехта Дюрера,
Леонардо да Винчи
И многих других художников,
(Ж.-Л.Давид. Амур и Психея.1817)
То мы увидим, что каждый из них строго следовал «божественным пропорциям»
в построении своих композиций.
Это магического число находим в архитектуре, в пропорциях греческого Парфенона,
Пирамид Египта,
Даже здания ООН в Нью-Йорке.
PHI проявлялось в строго организованных структурах моцартовских сонат,
в Пятой симфонии Бетховена, а также в произведениях Бартока, Дебюсси и Шуберта.
Число PHI использовал в расчетах Страдивари при создании своей уникальной скрипки.
Пятиконечную звезду - этот символ является одним из самых могущественных образов.
Он известен под названием пентаграмма, или пентакл, как называли его древние.
И на протяжении многих веков и во многих культурах символ этот считался
одновременно божественным и магическим.
Потому что, когда вы рисуете пентаграмму, линии автоматически делятся на сегменты,
соответствующие «божественной пропорции».
Соотношение линейных сегментов в пятиконечной звезде всегда равно числу PHI,
что превращает этот символ в наивысшее выражение «божественной пропорции».
Именно по этой причине пятиконечная звезда всегда была символом красоты и совершенства
и ассоциировалась с богиней и священным женским началом.
Доказано, что Леонардо был последовательным поклонником древних религий,
связанных с женским началом.
«Тайная вечеря» - стала одним из самых удивительных примеров поклонения
Леонардо да Винчи Золотому Сечению.
Эпоха Возрождения ассоциируется с именами таких «титанов»,
как Леонардо да Винчи, Микеланджело, Рафаэль, Николай Коперник,
Альберт Дюрер, Лука Пачоли.
И первое место в этом списке по праву занимает Леонардо да Винчи,
величайший художник, инженер и ученый эпохи Возрождения.
Имеется много авторитетных свидетельств о том, что именно Леонардо да Винчи
был одним из первых, кто ввел сам термин «Золотое Сечение».
«Термин «золотое сечение» (aurea sectio) идет от Клавдия Птолемея,
который дал это название числу 0,618.
Закрепился же данный термин и стал популярным благодаря Леонардо да Винчи,
который часто его использовал».
Для самого Леонардо да Винчи искусство и наука были связаны неразрывно.
Отдавая в «споре искусств» пальму первенства живописи,
Леонардо да Винчи понимал её как универсальный язык (подобный математике в сфере наук),
который воплощает посредством пропорций и перспективы все многообразные
проявления разумного начала, царящего в природе.
Согласно художественным канонам Леонардо, золотая пропорция отвечает
не только делению тела на две неравные части линией талии,
при котором отношение большей части к меньшей равно отношению целого к большей части
(это отношение приблизительно равно 1,618).
Отношение высоты лица (до корней волос) к вертикальному расстоянию между дугами бровей и нижней частью подбородка;
расстояние между нижней частью носа и нижней частью подбородка
к расстоянию между углами губ и нижней частью подбородка
- это тоже "золотая пропорция".
Наиболее ярким свидетельством огромной роли Леонардо да Винчи
в развитии теории Золотого Сечения является его влияние на творчество выдающегося
итальянского математика эпохи Возрождения Луки Пачоли,
который именовал себя Лука ди Борго Сан Сеполькро.
Последний был уже знаменитым математиком,
автором книги «Сумма об арифметике, геометрии, пропорциях и пропорциональностях»,
когда он познакомился с Леонардо да Винчи.
Леонардо да Винчи стал третьим великим человеком
(после Пьеро делла Франческо и Леона Баттиста Альберти),
встретившимся на жизненном пути Луки Пачоли.
Считается, что именно под влиянием Леонардо да Винчи Лука Пачоли начинает писать свою
«вторую великую книгу», названную им «О божественной пропорции».
Эта книга была опубликована в 1509 г. Для этой книги Леонардо сделал иллюстрации.
Об авторстве Леонардо сохранилось свидетельство самого Пачоли:
«...таковые были сделаны достойнейшим живописцем, перспективистом,
архитектором, музыкантом и всеми совершенствами одаренным Леонардо да Винчи,
флорентийцем, в городе Милане...».
У Витрувия описаны и другие антропометрические закономерности.
Собственно «витрувианским человеком» в литературе последующих веков называли подобные изображения,
демонстрирующие пропорции человеческого тела и их связь с архитектурой.
1. Ц. Цезариано. Издание Витрувия, 3-й том. Комо, 1521
2. Там же. В отличие от его квадратного собрата,
у этого изображена эрекция
3. Ж. Мартен. Архитектура, или искусство строительства.
Париж, 1547. Гравюра Ж. Гужона
4. Ф. Джокондо. Манускрипт Витрувия с исправлениями Джокондо,
с иллюстрациями и оглавлением для чтения и понимания. 3-й том. Венеция, 1511
5. П. Катанео. Первые четыре книги по архитектуре.
Венеция, 1554. Фигура вписана в крестообразный план церкви
6. В. Скамоцци. Идея универсальной архитектуры.
Часть I, книга 1. Лондон, 1676. Центральный фрагмент гравюры
В наше время витрувианский человек в версии Да Винчи уже не воспринимается
как геометрическая схема человеческого тела. Он превратился, ни много ни мало,
в символ человека, человечества и вселенной.
А мы и не против...