Буквенные выражения. Как упрощать алгебраические выражения

Замечание 1

Логическую функцию можно записать с помощью логического выражения, а затем можно перейти к логической схеме. Упрощать логические выражения надо для того, чтобы получить как можно более простую (а значит, и более дешёвую) логическую схему. По сути, логическая функция, логическое выражение и логическая схема −это три разных языка, рассказывающие об одной сущности.

Для упрощения логических выражений используют законы алгебры логики .

Какие-то преобразования похожи на преобразования формул в классической алгебре (вынесение общего множителя за скобки, использование переместительного и сочетательного законов и т.п.), а другие преобразования основаны на свойствах, которыми операции классической алгебры не обладают (использование распределительного закона для конъюнкции, законов поглощения, склеивания, правил де Моргана и др.).

Законы алгебры логики формулируются для базовых логических операций - “НЕ” – инверсия (отрицание), “И” – конъюнкция (логическое умножение) и “ИЛИ” – дизъюнкция (логическое сложение).

Закон двойного отрицания означает, что операция “НЕ” обратима: если применить ее дважды, то в итоге логическое значение не изменится.

Закон исключенного третьего гласит, что любое логическое выражение либо истинно, либо ложно (“третьего не дано”). Поэтому если $A=1$, то $\bar{A}=0$ (и наоборот), а, значит, конъюнкция этих величин всегда равно нулю, а дизъюнкция равна единице.

$((A + B) → C) \cdot (B → C \cdot D) \cdot C.$

Упростим эту формулу:

Рисунок 3.

Отсюда следует, что $A = 0$, $B = 1$, $C = 1$, $D = 1$.

Ответ: в шахматы играют ученики $B$, $C$ и $D$, а ученик $A$ не играет.

При упрощении логических выражений можно выполнять такую последовательность действий :

Заменить все “небазовые” операции (эквивалентность, импликацию, исключающее ИЛИ и др.) на их выражения через базовые операции инверсию, конъюнкцию и дизъюнкцию.
Раскрыть инверсии сложных выражений по правилам де Моргана таким образом, чтобы операции отрицания остались только у отдельных переменных.
Затем упростить выражение, используя раскрытие скобок, вынесение общих множителей за скобки и другие законы алгебры логики.

Пример 2

Здесь последовательно использованы правило де Моргана, распределительный закон, закон исключенного третьего, переместительный закон, закон повторения, вновь переместительный закон и закон поглощения.

С помощью любого языка можно выразить одну и ту же информацию разными словами и оборотами. Не является исключением и математический язык. Но одно и то же выражение можно эквивалентным образом записать по-разному. И в некоторых ситуациях одна из записей является более простой. Об упрощении выражений мы и поговорим на этом уроке.

Люди общаются на разных языках. Для нас важным сравнением является пара «русский язык - математический язык». Одну и ту же информацию можно сообщить на разных языках. Но, кроме этого, её можно и на одном языке произнести по-разному.

Например: «Петя дружит с Васей», «Вася дружит с Петей», «Петя с Васей друзья». Сказано по-разному, но одно и то же. По любой из этих фраз мы бы поняли, о чём идёт речь.

Давайте посмотрим на такую фразу: «Мальчик Петя и мальчик Вася дружат». Мы поняли, о чем идет речь. Тем не менее, нам не нравится, как звучит эта фраза. Не можем ли мы её упростить, сказать то же, но проще? «Мальчик и мальчик» - можно же один раз сказать: «Мальчики Петя и Вася дружат».

«Мальчики»… Разве по именам не понятно, что они не девочки. Убираем «мальчики»: «Петя и Вася дружат». А слово «дружат» можно заменить на «друзья»: «Петя и Вася - друзья». В итоге первую, длинную некрасивую фразу заменили эквивалентным высказыванием, которое проще сказать и проще понять. Мы эту фразу упростили. Упростить- значит сказать проще, но не потерять, не исказить смысл.

В математическом языке происходит примерно то же самое. Одно и то же можно сказать, записать по-разному. Что значит упростить выражение? Это значит, что для исходного выражения существует множество эквивалентных выражений, то есть тех, что означают одно и то же. И из всего этого множества мы должны выбрать самое простое, на наш взгляд, или самое подходящее для наших дальнейших целей.

Например, рассмотрим числовое выражение . Ему эквивалентное будет .

Также будет эквивалентно первым двум: .

Получается, что мы упростили наши выражения и нашли самое краткое эквивалентное выражение.

Для числовых выражений всегда нужно выполнять все действия и получать эквивалентное выражение в виде одного числа.

Рассмотрим пример буквенного выражения . Очевидно, что более простое будет .

При упрощении буквенных выражений необходимо выполнить все действия, которые возможны.

Всегда ли нужно упрощать выражение? Нет, иногда нам удобнее будет эквивалентная, но более длинная запись.

Пример : от числа нужно отнять число .

Вычислить можно, но если бы первое число было представлено своей эквивалентной записью: , то вычисления были бы мгновенными: .

То есть упрощенное выражение не всегда нам выгодно для дальнейших вычислений.

Тем не менее очень часто мы сталкиваемся с заданием, которое так и звучит «упростить выражение».

Упростить выражение: .

Решение

1) Выполним действия в первых и во вторых скобках: .

2) Вычислим произведения: .

Очевидно, последнее выражение имеет более простой вид, чем начальное. Мы его упростили.

Для того чтобы упростить выражение, его необходимо заменить на эквивалентное (равное).

Для определения эквивалентного выражения необходимо:

1) выполнить все возможные действия,

2) пользоваться свойствами сложение, вычитания, умножения и деления для упрощения вычислений.

Свойства сложения и вычитания:

1. Переместительное свойство сложения: от перестановки слагаемых сумма не меняется.

2. Сочетательное свойство сложения: чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего числа.

3. Свойство вычитания суммы из числа: чтобы вычесть сумму из числа, можно вычитать каждое слагаемое по отдельности.

Свойства умножения и деления

1. Переместительное свойство умножения: от перестановки множителей произведение не меняется.

2. Сочетательное свойство: чтобы умножить число на произведение двух чисел, можно сначала умножить его на первый множитель, а потом полученное произведение умножить на второй множитель.

3. Распределительное свойство умножения: чтобы число умножить на сумму, нужно его умножить на каждое слагаемое по отдельности.

Посмотрим, как мы на самом деле делаем вычисления в уме.

Вычислите:

Решение

1) Представим как

2) Представим первый множитель как сумму разрядных слагаемых и выполним умножение:

3) можно представить как и выполнить умножение:

4) Заменим первый множитель эквивалентной суммой:

Распределительный закон можно использовать и в обратную сторону: .

Выполните действия:

1) 2)

Решение

1) Для удобства можно воспользоваться распределительным законом, только использовать его в обратную сторону - вынести общий множитель за скобки.

2) Вынесем за скобки общий множитель

Необходимо купить линолеум в кухню и прихожую. Площадь кухни - , прихожей - . Есть три вида линолеумов: по , и рублей за . Сколько будет стоить каждый из трёх видов линолеума? (Рис. 1)

Рис. 1. Иллюстрация к условию задачи

Решение

Способ 1. Можно по отдельности найти, сколько денег потребуется на покупку линолеума в кухню, а потом в прихожую и полученные произведения сложить.

Упрощение алгебраических выражений является одним из ключевых моментов изучения алгебры и чрезвычайно полезным навыком для всех математиков. Упрощение позволяет привести сложное или длинное выражение к простому выражению, с которым легко работать. Базовые навыки упрощения хорошо даются даже тем, кто не в восторге от математики. Соблюдая несколько простых правил, можно упростить многие из наиболее распространенных типов алгебраических выражений без каких-либо специальных математических знаний.

Шаги

Важные определения

Подобные члены . Это члены с переменной одного порядка, члены с одинаковыми переменными или свободные члены (члены, не содержащие переменную). Другими словами, подобные члены включают одну переменную в одной и той же степени, включают несколько одинаковых переменных или не включают переменную вовсе. Порядок членов в выражении не имеет значения.
- Например, 3x 2 и 4x 2 - это подобные члены, так как они содержат переменную «х» второго порядка (во второй степени). Однако х и x 2 не являются подобными членами, так как содержат переменную «х» разных порядков (первого и второго). Точно так же -3yx и 5хz не являются подобными членами, так как содержат разные переменные.
Разложение на множители . Это нахождение таких чисел, произведение которых приводит к исходному числу. Любое исходное число может иметь несколько множителей. Например, число 12 может быть разложено на следующий ряд множителей: 1 × 12, 2 × 6 и 3 × 4, поэтому можно сказать, что числа 1, 2, 3, 4, 6 и 12 являются множителями числа 12. Множители совпадают с делителями, то есть числами, на которые делится исходное число.
- Например, если вы хотите разложить на множители число 20, запишите это так: 4 × 5.
- Обратите внимание, что при разложении на множители переменная учитывается. Например, 20x = 4(5x) .
- Простые числа не могут быть разложены на множители, потому что они делятся только на себя и на 1.
Запомните и соблюдайте порядок выполнения операций во избежание ошибок.
- Скобки
- Степень
- Умножение
- Деление
- Сложение
- Вычитание
Приведение подобных членов
1. Запишите выражение. Простейшие алгебраические выражения (которые не содержат дробей, корней и так далее) можно решить (упростить) всего за несколько шагов.
  - Например, упростите выражение 1 + 2x - 3 + 4x .
2. Определите подобные члены (члены с переменной одного порядка, члены с одинаковыми переменными или свободные члены).
  - Найдите подобные члены в этом выражении. Члены 2x и 4x содержат переменную одного порядка (первого). Кроме того, 1 и -3 - это свободные члены (не содержат переменную). Таким образом, в этом выражении члены 2х и 4x являются подобными, и члены 1 и -3 тоже являются подобными.
3. Приведите подобные члены. Это значит сложить или вычесть их и упростить выражение.
  - 2x + 4x = 6х
  - 1 - 3 = -2
4. Перепишите выражение с учетом приведенных членов. Вы получите простое выражение с меньшим количеством членов. Новое выражение равно исходному.
  - В нашем примере: 1 + 2x - 3 + 4x = 6х - 2 , то есть исходное выражение упрощено и с ним легче работать.
5. Соблюдайте порядок выполнения операций при приведении подобных членов. В нашем примере было легко привести подобные члены. Однако в случае сложных выражений, в которых члены заключены в скобки и присутствуют дроби и корни, привести подобные члены не так просто. В этих случаях соблюдайте порядок выполнения операций.
  - Например, рассмотрим выражение 5(3x - 1) + х((2x)/(2)) + 8 - 3x. Здесь было бы ошибкой сразу определить 3x и 2x как подобные члены и привести их, потому что сначала необходимо раскрыть скобки. Поэтому выполните операции согласно их порядку.
    - 5(3x-1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x
    - 15x - 5 + x(x) + 8 - 3x
    - 15x - 5 + x 2 + 8 - 3x. Теперь , когда в выражении присутствуют только операции сложения и вычитания, вы можете привести подобные члены.
    - x 2 + (15x - 3x) + (8 - 5)
    - x 2 + 12x + 3
Вынесение множителя за скобки
1. Найдите наибольший общий делитель (НОД) всех коэффициентов выражения. НОД - это наибольшее число, на которое делятся все коэффициенты выражения.
  - Например, рассмотрим уравнение 9x 2 + 27x - 3. В этом случае НОД=3, так как любой коэффициент данного выражения делится на 3.
2. Разделите каждый член выражения на НОД. Полученные члены будут содержать меньшие коэффициенты, чем в исходном выражении.
  - В нашем примере разделите каждый член выражения на 3.
    - 9x 2 /3 = 3x 2
    - 27x/3 = 9x
    - -3/3 = -1
    - Получилось выражение 3x 2 + 9x - 1 . Оно не равно исходному выражению.
3. Запишите исходное выражение как равное произведению НОД на полученное выражение. То есть заключите полученное выражение в скобки, а за скобки вынесите НОД.
  - В нашем примере: 9x 2 + 27x - 3 = 3(3x 2 + 9x - 1)
4. Упрощение дробных выражений с помощью вынесения множителя за скобки. Зачем просто выносить множитель за скобки, как это было сделано ранее? Затем, чтобы научиться упрощать сложные выражения, например дробные выражения. В этом случае вынесение множителя за скобки может помочь избавиться от дроби (от знаменателя).
  - Например, рассмотрим дробное выражение (9x 2 + 27x - 3)/3. Воспользуйтесь вынесением множителя за скобки, чтобы упростить это выражение.
    - Вынесите множитель 3 за скобки (как вы делали это ранее): (3(3x 2 + 9x - 1))/3
    - Обратите внимание, что теперь и в числителе, и в знаменателе присутствует число 3. Его можно сократить, и вы получите выражение: (3x 2 + 9x – 1)/1
    - Так как любая дробь, у которой в знаменателе находится число 1, равна просто числителю, то исходное дробное выражение упрощается до: 3x 2 + 9x - 1 .
Дополнительные методы упрощения
Рассмотрим простой пример: √(90). Число 90 можно разложить на следующие множители: 9 и 10, а из 9 извлечь квадратный корень (3) и вынести 3 из-под корня.
- √(90)
- √(9×10)
- √(9)×√(10)
- 3×√(10)
- 3√(10)
Упрощение выражений со степенями. В некоторых выражениях присутствуют операции умножения или деления членов со степенью. В случае умножения членов с одним основанием их степени складываются; в случае деления членов с одним основанием их степени вычитаются.
- Например, рассмотрим выражение 6x 3 × 8x 4 + (x 17 /x 15). В случае умножения сложите степени, а в случае деления – вычтите их.
  - 6x 3 × 8x 4 + (x 17 /x 15)
  - (6 × 8)x 3 + 4 + (x 17 - 15)
  - 48x 7 + x 2
- Далее приведено объяснение правила умножения и деления членов со степенью.
  - Умножение членов со степенями равносильно умножению членов на самих себя. Например, так как x 3 = x × x × x и x 5 = x × x × x × x × x, то x 3 × x 5 = (x × x × x) × (x × x × x × x × x), или x 8 .
  - Аналогично, деление членов со степенями равносильно делению членов на самих себя. x 5 /x 3 = (x × x × x × x × x)/(x × x × x). Так как подобные члены, находящиеся и в числителе, и в знаменателе, могут быть сокращены, то в числителе остается произведение двух «х», или x 2 .

Всегда помните о знаках (плюс или минус), стоящих перед членами выражения, так как многие испытывают затруднения с выбором правильного знака.
Попросите о помощи, если это необходимо!
Упрощать алгебраические выражения нелегко, но если вы набьете руку, вы сможете использовать этот навык всю жизнь.

Каждое слагаемое и сложить получившиеся произведения. Это правило выражает распределительное свойство умножения относительно сложения. С помощью букв его записывают так:

(а + Ь)с = ас + bс

Одинаковые значения имеют и выражения (9 - 5) 3 и 9 3 - 5 3, так как (9 - 5) 3 = 4 3 = 12 и 9 3 - 5 3 = 27 - 15 = 12.

Для того чтобы умножить разность на число, можно умножить на это число уменьшаемое и вычитаемое и из первого произведения вычесть второе.

Это правило называют распределительным свойством умножения относительно вычитания.
С помощью букв его записывают так:

(а - b)с = ас - be.

Распределительное свойство умножения позволяет упрощать выражения вида За + la или 26x - 12х.

Имеем: За + 7a = (3 + 7)а = 10а.

Обычно пишут сразу:

За + 7а = 10а (три а да семь а равно десяти а).

26x - 12x = (26- 12)х= 14x.

Обычно пишут сразу:

26х - 12x = 14x (26 икс минус 12 икс равно 14 икс).

а) 23а + 37а; в) 48x + х; д) 27р - 17р; ж) 32l - l;
б) 4у + 26у; г) у 4- 56y; е) 84b - 80b; з) 1000k - k.

564. Пусть цена 1 кг муки а р., а цена 1 кг сахара b р. Что означает выражение:

а) 9а + 9b; б) 9(а + b); в) 10b - 10а?

565. Расстояние между двумя селами 18 км. Из них выехали в противоположные стороны два велосипедиста. Один проезжает в час т км, а другой - п км. Какое расстояние будет между ними через 4 ч?

566. Найдите значение выражения:

а) 38а + 62а при а = 238; 489;

б) 375b - 175b при b = 48; 517.

567. Найдите значение выражения:

а) 32x + 32y, если х = 4, у = 26;
б) 11m - 11n, если m = 308, n = 208.

568. Решите уравнение:

а) 4х + 4х = 424; в) 9z -z = 500; д) 4l + 5l + l = 1200
б) 15y - 8у = 714; г) 10k - k = 702; е) 6t + 3t +t = 6400

569. Найдите, при каком значении буквы:

а) выражение 7х больше 4х на 51;
б) выражение 6р меньше 23p? на 102;
в) сумма 8а и За равна 4466;
г) разность 25с и 5с равна 6060.

570. Запишите предложение в виде равенства и выясните, при каких значениях буквы это равенство верно:

а) сумма Зх и bх равна 96;
б) разность 11у и 2у равна 99;
в) Зz больше, чем z, на 48;

г) 27m на 12 меньше, чем 201;
д) 8n вдвое меньше, чем 208;
е) 380 в 19 раз больше 10р.

571. Составьте по рисунку 54 уравнение и решите его.

572. Чему равны стороны на рисунке 55, если его периметр равен 240 см?

573. Упростите выражение:

а) За + 17 + За + 14;
б) k + 35 4- 4k + 26.

574. Решите уравнение:

а) Зх 4- 7х + 18 = 178;
б) 6у - 2у + 25 = 65;
в) 7z + 62 - 13 = 130; " Ъх см
г) 21t - 4t - 17 = 17.

575. Упростите выражение:

а) 6 3 k; б) 8 р 21; в) r 14 17

576. Решите уравнение:

а) 4 25 х = 800;
б) у 5 20 = 500;

в) 21 8 р = 168;
г) m 3 33 = 990.

577. Я задумал число. Если его увеличить на 15, а результат умножить на 8, то получится 160. Какое число я задумал?

578. В книге напечатаны рассказ и повесть, которые вместе занимают 70 страниц. Повесть занимает в 4 раза больше страниц, чем рассказ. Сколько страниц занимает рассказ и сколько повесть?

Решение. Пусть рассказ занимает х страниц, тогда повесть занимает 4x страниц. По условию задачи , рассказ и повесть вместе занимают 70 страниц. Получаем уравнение: 4х + х = 70. Отсюда bх = 70, х = 70: 5, х = 14. Значит, рассказ занимает 14 страниц, а повесть - 56 страниц (14 4 = 56).

Проверка корня уравнения: 14 + 56 = 70.

579. На уборке картофеля собрали 1650 кг за день. После обеда собрали в 2 раза меньше, чем до обеда. Сколько картофеля собрали после обеда?

580. Для школы купили 220 столов и стульев, причем стульев - в 9 раз больше, чем столов. Сколько столов и сколько стульев купили?

581. Площадь кухни в 3 раза меньше площади комнаты, поэтому для ремонта пола кухни потребовалось на 24 м2 линолеума меньше, чем для комнаты. Какова площадь кухни?

582. Точка М делит отрезок АВ на два отрезка: AM и MB. Отрезок AM длиннее отрезка MB в 5 раз, а отрезок MB короче отрезка AM на 24 мм. Найдите длину отрезка AM, длину отрезка MB и длину отрезка АВ.

583. Для приготовления напитка берут 2 части вишневого сиропа и 5 частей воды. Сколько надо взять сиропа, чтобы получить 700 г напитка?

Решение. Пусть масса одной части напитка х г. Тогда масса сиропа 2х г, а масса напитка {2х + Ъх) г. По условию задачи масса напитка равна 700 г. Получим уравнение: 2х + bх = 700.

Отсюда 7х = 700, х = 700: 7 и х = 100, то есть масса одной части равна 100 г. Поэтому сиропа надо взять 200 г (100 2 = 200) и воды 500 г (100 5 = 500).

Проверка: 200 + 500 = 700.

584. При помоле ржи получается б частей муки и 2 части отрубей. Сколько получится муки, если смолоть 1 т ржи?

585. Чтобы приготовить состав для полировки медных изделий, берут 10 частей воды, 5 частей нашатырного спирта и 2 части мела (по массе). Сколько граммов каждого вещества надо взять, чтобы приготовить 340 г состава?

586. Для приготовления бутылочного стекла берут 25 частей песка, 9 частей соды и 5 частей извести (по массе). Сколько потребуется соды, чтобы изготовить 390 кг стекла?

587. Мороженое содержит 7 частей воды, 2 части молочного жира и 2 части сахара (по массе). Сколько потребуется сахара для приготовления 4400 кг мороженого?

588. На одной стороне улицы вдвое больше домов, чем на другой. Когда на улице построили еще 12 домов, то всего стало 99 домов. Сколько домов было на каждой стороне улицы?

589. По числовому равенству 3-12 + 4- 12+ 15- 12 = 264 составьте уравнение, имеющее корень 12 и содержащее три раза букву х. Придумайте задачу по этому уравнению.

590. Вычислите устно:

591. Найдите значение выражения наиболее удобным способом:

а) 125 23 8; б) 11 16 125; в) 19 + 78 + 845 + 81 + 155.

592. Найдите корень уравнения:

а) 45 = 45 + у в) у - 45 = 45;
б) 45 - у = 45; г) 0 = 45 - х.

593. Угадайте корни уравнения:

а) х- 197 = 2945 - 197;
б) у: 89 = 1068: 89;
в) 365а = 53 365.

594. Придумайте задачу по уравнению:

а) За + 2а = 75;
б) с + с + с = 46 + с;
в) m + 5m = 90.

595. При сложении каких чисел может получиться 0? Подумайте, в каких случаях получится число 0 при вычитании, при умножении, при делении.

596. Сумма пяти натуральных чисел равна произведению этих чисел. Какие это числа?

597. Саша любит решать трудные задачи. Он рассказал, что за 4 дня смог решить 23 задачи. В каждый следующий день он решал больше задач, чем в предыдущий, и в четвертый день решил вчетверо больше, чем в первый. Сколько задач решил Саша в каждый из этих четырех дней?

598. Код для открывания сейфа состоит из четырех цифр. Сколько существует различных вариантов кода для этого сейфа?

599. Выполните деление с остатком:

978: 13; 780: 24; 4295: 126.

600. Найдите делимое, если неполное частное 25, делитель 8, остаток 5.

601. Решите уравнение:

а) х: 16 = 324 + 284;
б) 1344: у = 543 - 487;
в) z 49 = 927 + 935;
г) (3724 + р) : 54 = 69;
д) 992: (130- k) = 8;
е) (148- m) 31 = 1581.

602. По рисунку 56 составьте уравнение и найдите массу каждого батона. (Масса гирь дана в килограммах.)

603. По рисунку 57 найдите длину отрезка ВС, если AD = 40 см.

604. Периметр треугольника ABC равен 64 см, сторона АВ меньше стороны АС на 7 см, но больше стороны ВС на 12 см. Найдите длину каждой стороны треугольника ABC.

605. В соревнованиях по стрельбе участвовали 12 человек. Сколько патронов получил каждый участник, если потребовалось 8 коробок, по 30 патронов в каждой?

606. Три заготовителя собрали 240 кг лекарственных трав. Первый собрал 87 кг, а первый и второй вместе - 174 кг. Сколько килограммов лекарственных трав собрал второй заготовитель и сколько третий?

607. Решите задачу:

1) Велосипедист ехал 2 ч с некоторой скоростью. После того как он проедет еще 4 км, его путь станет равным 30 км. С какой скоростью ехал велосипедист?

2) Мотоциклист ехал 3 ч с некоторой скоростью. Если он проедет еще 12 км, то его путь станет равен 132 км. С какой скоростью ехал мотоциклист?

3) В мешке 20 кг крупы. После того как крупой наполнили несколько пакетов по 3 кг, в мешке осталось 5 кг. Сколько пакетов наполнили крупой?

4) В бидоне 39 л молока. После того как молоком наполнили несколько двухлитровых банок, в бидоне осталось 7 л. Сколько банок наполнили?

608. Найдите значение выражения:

1) 47 040: 14:7: 32; 3) 46 9520: 68: 7;
2) 101 376: 48: 24: 8; 4) 319 488: 96: 64 23.

609. Примените распределительное свойство умножения:

а) 11 (60 + а); в) (х - 9) 24;
б) 21 (38 - b); г) (у + 4) 38.

610. Найдите значение выражения, применив распределительное свойство умножения:

а) (250 + 25) 4; в) 8 11 + 8 29;
б) 6 (150 + 16); г) 36 184 + 36 816.

611. Найдите значение выражения:

а) (30 - 2) 5; в) 85 137 - 75 137;
б) 7 (60 - 2); г) 78 214 - 78 204.

612. Упростите выражение:

а) 4а + 90а; б) 86b - 77b; в) 209m + m; г) 302n - n.

613. Найдите значение выражения:

а) 24а + 47а + 53а + 76а, если а = 47;
б) 128р - 72р - 28р, если р = 11.

614. Решите уравнение:

а) 14x + 27x = 656; в) 49z - z = 384;
б) 81у - 38у = 645; г) 102k - 4k = 1960.

615. При каком значении z сумма 5z и 15z равна 840?

616. Масса одного метра рельса равна 32 кг. Сколько понадобится железнодорожных вагонов грузоподъемностью 60 т, чтобы перевезти все рельсы, необходимые для постройки одноколейной железной дороги длиной 180 км?

617. В бидоне 36 л молока. Когда из него перелили в другой бидон 4 л, в обоих бидонах молока стало поровну. Сколько литров молока было в другом бидоне?

618. В двух карманах было 28 орехов, причем в левом кармане в 3 раза больше, чем в правом. Сколько орехов было в каждом кармане?

619. Площадь физкультурного зала в 6 раз больше площади классной комнаты. Найдите площадь зала, если она больше площади классной комнаты на 250 м2.

620. На складе всего 88 л сока; трехлитровых банок апельсинового сока столько же, сколько пятилитровых банок яблочного сока. Сколько литров апельсинового сока на складе?

621. Чтобы сделать казеиновый клей, берут 11 частей воды, 5 частей нашатырного спирта и 4 части казеина (по массе). Сколько получится казеинового клея, если на него будет израсходовано нашатырного спирта на 60 г меньше, чем воды?

622. Для приготовления вишневого варенья на 2 части вишни берут 3 части сахара (по массе). Сколько вишни и сколько сахара пошло на варенье, если сахара пошло на 7 кг 600 г больше, чем вишни?

623. С двух яблонь собрали 67 кг яблок, причем с одной яблони собрали на 19 кг больше, чем с другой. Сколько килограммов яблок собрали с каждой яблони?

624. Из 523 цыплят, выведенных в инкубаторе, петушков оказалось на 25 меньше, чем курочек. Сколько курочек и сколько петушков было выведено в инкубаторе?

Замечание 1

Для упрощения логических выражений используют законы алгебры логики .

$((A + B) → C) \cdot (B → C \cdot D) \cdot C.$

Упростим эту формулу:

Рисунок 3.

Отсюда следует, что $A = 0$, $B = 1$, $C = 1$, $D = 1$.

Ответ: в шахматы играют ученики $B$, $C$ и $D$, а ученик $A$ не играет.

При упрощении логических выражений можно выполнять такую последовательность действий :

Заменить все “небазовые” операции (эквивалентность, импликацию, исключающее ИЛИ и др.) на их выражения через базовые операции инверсию, конъюнкцию и дизъюнкцию.
Раскрыть инверсии сложных выражений по правилам де Моргана таким образом, чтобы операции отрицания остались только у отдельных переменных.
Затем упростить выражение, используя раскрытие скобок, вынесение общих множителей за скобки и другие законы алгебры логики.

Пример 2