Najprostsze nierówności trygonometryczne i metody ich rozwiązywania. Proste i złożone nierówności trygonometryczne
rozwiązanie nierówności w trybie w Internecie rozwiązanie prawie każda dana nierówność w Internecie. Matematyczny nierówności w internecie rozwiązać matematykę. Znajdź szybko rozwiązanie nierówności w trybie w Internecie. Strona www.site pozwala znaleźć rozwiązanie prawie dowolne algebraiczny, trygonometryczny Lub Transcendentalna nierówność w Internecie. Studiując prawie każdą gałąź matematyki w różne etapy muszę zdecydować nierówności w internecie. Aby uzyskać odpowiedź natychmiast, a co najważniejsze, dokładną, potrzebujesz zasobu, który Ci to umożliwi. Dzięki stronie www.site rozwiązać nierówność online zajmie to kilka minut. Główną zaletą www.site przy rozwiązywaniu zadań matematycznych nierówności w internecie- jest to szybkość i dokładność udzielonej odpowiedzi. Strona jest w stanie rozwiązać każdy nierówności algebraiczne w Internecie, nierówności trygonometryczne w Internecie, nierówności transcendentalne w Internecie, a także nierówności z nieznanymi parametrami w trybie w Internecie. Nierówności służyć jako potężny aparat matematyczny rozwiązania problemy praktyczne. Z pomocą nierówności matematyczne możliwe jest wyrażenie faktów i relacji, które na pierwszy rzut oka mogą wydawać się zagmatwane i skomplikowane. Nieznane ilości nierówności można znaleźć, formułując problem w matematyczny język w formie nierówności I decydować otrzymane zadanie w trybie w Internecie na stronie internetowej www.site. Każdy nierówność algebraiczna, nierówność trygonometryczna Lub nierówności zawierający nadzmysłowy funkcje, które możesz łatwo decydować online i uzyskaj dokładną odpowiedź. Uczenie się nauki przyrodnicze, nieuchronnie stajesz przed taką potrzebą rozwiązań nierówności. W takim przypadku odpowiedź musi być dokładna i należy ją uzyskać natychmiast w trybie w Internecie. Dlatego dla rozwiązuj nierówności matematyczne online polecamy stronę www.site, która stanie się Twoim niezbędnym kalkulatorem rozwiązywanie nierówności algebraicznych online, nierówności trygonometryczne w Internecie, a także nierówności transcendentalne w Internecie Lub nierówności o nieznanych parametrach. Praktyczne problemy związane ze znalezieniem rozwiązań online różnych problemów nierówności matematyczne zasób www.. Rozwiązywanie nierówności w internecie sam, warto sprawdzić otrzymaną odpowiedź za pomocą rozwiązanie internetowe nierówności na stronie internetowej www.site. Musisz poprawnie zapisać nierówność i natychmiast uzyskać rozwiązanie internetowe, po czym pozostaje tylko porównać odpowiedź z rozwiązaniem nierówności. Sprawdzenie odpowiedzi zajmie nie więcej niż minutę, wystarczy rozwiązać nierówność online i porównaj odpowiedzi. Pomoże to uniknąć błędów w decyzja i popraw odpowiedź w odpowiednim czasie rozwiązywanie nierówności w Internecie niech tak będzie algebraiczny, trygonometryczny, nadzmysłowy Lub nierówność o nieznanych parametrach.
1.5 Nierówności trygonometryczne i metody ich rozwiązywania
1.5.1 Rozwiązywanie prostych nierówności trygonometrycznych
Większość autorów nowoczesne podręczniki w matematyce sugerują rozpoczęcie rozważań na ten temat od rozwiązania najprostszych nierówności trygonometrycznych. Zasada rozwiązywania najprostszych nierówności trygonometrycznych opiera się na wiedzy i umiejętnościach wyznaczania na okręgu trygonometrycznym wartości nie tylko głównych kątów trygonometrycznych, ale także innych wartości.
Tymczasem rozwiązanie nierówności postaci , , , można przeprowadzić w następujący sposób: najpierw znajdujemy jakiś przedział (), na którym ta nierówność jest spełniona, a następnie zapisujemy ostateczną odpowiedź, dodając na końcach znalezionego przedziału a liczba będąca wielokrotnością okresu sinusa lub cosinusa: ( 
). W tym przypadku wartość jest łatwa do znalezienia, ponieważ Lub . Poszukiwanie sensu opiera się na intuicji uczniów, ich umiejętności dostrzegania równości łuków lub odcinków, wykorzystywaniu symetrii poszczególne części wykres sinusa lub cosinusa. I to jest ładne duża liczba czasami uczniowie nie są w stanie tego zrobić. Aby przezwyciężyć zauważone trudności w podręcznikach w ostatnie lata do rozwiązywania najprostszych nierówności trygonometrycznych stosowano różne podejścia, ale nie przyniosło to poprawy wyników uczenia się.
Od kilku lat z powodzeniem stosujemy wzory na pierwiastki odpowiednich równań do znajdowania rozwiązań nierówności trygonometrycznych.
Badamy ten temat w następujący sposób:
1. Budujemy wykresy i y = a, zakładając, że .
Następnie zapisujemy równanie i jego rozwiązanie. Podawanie n 0; 1; 2, znajdujemy trzy pierwiastki skompilowanego równania: . Wartości to odcięta trzech kolejnych punktów przecięcia wykresów i y = a. Jest oczywiste, że nierówność zawsze zachodzi na przedziale (), a nierówność zawsze zachodzi na przedziale ().
Dodając na końcach tych przedziałów liczbę będącą wielokrotnością okresu sinusa, w pierwszym przypadku otrzymujemy rozwiązanie nierówności w postaci: ; a w drugim przypadku rozwiązanie nierówności w postaci:
Tylko w przeciwieństwie do sinusa ze wzoru, który jest rozwiązaniem równania, dla n = 0 otrzymujemy dwa pierwiastki, a trzeci pierwiastek dla n = 1 w postaci 
. I znowu są to trzy kolejne odcięte punktów przecięcia wykresów i . W przedziale () zachodzi nierówność, w przedziale () nierówność
Teraz nie jest trudno zapisać rozwiązania nierówności i . W pierwszym przypadku otrzymujemy: ;
i w drugim: .
Podsumujmy. Aby rozwiązać nierówność lub, musisz utworzyć odpowiednie równanie i je rozwiązać. Z otrzymanego wzoru znajdź pierwiastki i , a odpowiedź na nierówność zapisz w postaci: .
Rozwiązując nierówności , ze wzoru na pierwiastki odpowiedniego równania znajdujemy pierwiastki i , i zapisujemy odpowiedź na nierówność w postaci: .
Technika ta pozwala uczyć rozwiązywania nierówności trygonometrycznych wszystkich uczniów, ponieważ Technika ta opiera się całkowicie na umiejętnościach, którymi uczniowie dysponują dużą wiedzą. Są to umiejętności rozwiązywania prostych problemów i znajdowania wartości zmiennej za pomocą wzoru. Ponadto staranne rozwiązanie pod okiem nauczyciela staje się zupełnie niepotrzebne. duża ilośććwiczenia mające na celu pokazanie wszelkiego rodzaju technik rozumowania w zależności od znaku nierówności, wartości modułu liczby a i jej znaku. A sam proces rozwiązywania nierówności staje się krótki i, co bardzo ważne, jednolity.
Kolejną zaletą tej metody jest to, że pozwala ona łatwo rozwiązywać nierówności nawet wtedy, gdy prawa strona nie jest tabelaryczną wartością sinusa lub cosinusa.
Zademonstrujmy to dalej konkretny przykład. Załóżmy, że musimy rozwiązać nierówność. Utwórzmy odpowiednie równanie i rozwiążmy je:
Znajdźmy wartości i .
Gdy n = 1 
Gdy n = 2 
Zapisujemy ostateczną odpowiedź na tę nierówność:
W rozważanym przykładzie rozwiązania najprostszych nierówności trygonometrycznych może być tylko jedna wada - obecność pewnej dozy formalizmu. Jeśli jednak wszystko będzie oceniane tylko z tych stanowisk, wówczas będzie można oskarżyć podstawowe formuły o formalizm równanie kwadratowe i wszystkie wzory rozwiązań równania trygonometryczne i wiele więcej.
Chociaż proponowana metoda zajmuje godne miejsce w kształtowaniu umiejętności rozwiązywania nierówności trygonometrycznych, nie można lekceważyć znaczenia i cech innych metod rozwiązywania nierówności trygonometrycznych. Należą do nich metoda interwałowa.
Zastanówmy się nad jego istotą.
Zestaw pod redakcją A.G. Mordkovicha, choć nie należy też ignorować pozostałych podręczników. § 3. Metodyka nauczania tematu „Funkcje trygonometryczne” w toku algebry i początków analizy W szkolnej nauce funkcji trygonometrycznych można wyróżnić dwa główne etapy: ü Wstępna znajomość funkcji trygonometrycznych...
W trakcie badań rozwiązano następujące zadania: 1) Przeanalizowano aktualne podręczniki algebry i początki analizy matematycznej w celu zidentyfikowania przedstawionych w nich metod rozwiązywania równań i nierówności niewymiernych. Analiza pozwala wyciągnąć następujące wnioski: szkoła średnia niewystarczającą uwagę poświęca się metodom rozwiązywania różnych równań irracjonalnych, głównie...
Większość uczniów nie lubi nierówności trygonometrycznych. Ale na próżno. Jak mawiał jeden z bohaterów,
„Po prostu nie wiesz, jak je ugotować”
Jak więc „gotować” i jak zgłosić nierówność z sinusem, dowiemy się w tym artykule. Zdecydujemy w prosty sposób– za pomocą koła jednostkowego.
Przede wszystkim potrzebujemy następującego algorytmu.
Algorytm rozwiązywania nierówności z sinusem:
- na osi sinusa wykreślamy liczbę $a$ i rysujemy linię prostą równoległą do osi cosinusa aż do przecięcia się z okręgiem;
- punkty przecięcia tej linii z okręgiem zostaną zacienione, jeśli nierówność nie jest ścisła, i nie zacienione, jeśli nierówność jest ścisła;
- obszar rozwiązania nierówności będzie znajdował się nad linią i do okręgu, jeśli nierówność zawiera znak „$>$”, oraz pod linią i do okręgu, jeśli nierówność zawiera znak „$<$”;
- aby znaleźć punkty przecięcia, rozwiązujemy równanie trygonometryczne $\sin(x)=a$, otrzymujemy $x=(-1)^(n)\arcsin(a) + \pi n$;
- ustawiając $n=0$, znajdujemy pierwszy punkt przecięcia (znajduje się on w pierwszej lub czwartej ćwiartce);
- aby znaleźć drugi punkt, patrzymy, w którym kierunku przechodzimy przez obszar do drugiego punktu przecięcia: jeśli w kierunku dodatnim, to powinniśmy przyjąć $n=1$, a jeśli w kierunku ujemnym, to $n=- 1 $;
- w odpowiedzi zapisuje się odstęp od mniejszego punktu przecięcia $+ 2\pi n$ do większego $+ 2\pi n$.
Ograniczenie algorytmu
Ważne: D dany algorytm nie działa dla nierówności postaci $\sin(x) > 1; \ \sin(x) \geq 1, \ \sin(x)< -1, \ \sin{x} \leq -1$. В строгом случае эти неравенства не имеют решений, а в нестрогом – решение сводится к решению уравнения $\sin{x} = 1$ или $\sin{x} = -1$.
Szczególne przypadki rozwiązywania nierówności z sinusem
Warto również zwrócić uwagę na następujące przypadki, które znacznie wygodniej jest rozwiązać logicznie bez użycia powyższego algorytmu.
Przypadek specjalny 1. Rozwiąż nierówność:
$\sin(x)\równ. 1.$
Ze względu na zakres wartości funkcja trygonometryczna$y=\sin(x)$ nie jest większe niż modulo $1$, to lewa strona nierówności w ogóle$x$ z dziedziny definicji (a dziedzina definicji sinusa to wszystko liczby rzeczywiste) nie więcej niż 1 $. I dlatego w odpowiedzi piszemy: $x \in R$.
Konsekwencja:
$\sin(x)\geq -1.$
Przypadek specjalny 2. Rozwiąż nierówność:
$\grzech(x)< 1.$
Stosując rozumowanie podobne do przypadku specjalnego 1, stwierdzamy, że lewa strona nierówności jest mniejsza niż 1 $ dla wszystkich $x \in R$, z wyjątkiem punktów, które są rozwiązaniami równania $\sin(x) = 1$. Rozwiązując to równanie będziemy mieli:
$x = (-1)^(n)\arcsin(1)+ \pi n = (-1)^(n)\frac(\pi)(2) + \pi n.$
I dlatego w odpowiedzi piszemy: $x \in R \backslash \left\((-1)^(n)\frac(\pi)(2) + \pi n\right\)$.
Konsekwencja: nierówność rozwiązuje się w podobny sposób
$\sin(x) > -1.$
Przykłady rozwiązywania nierówności za pomocą algorytmu.
Przykład 1: Rozwiąż nierówność:
$\sin(x) \geq \frac(1)(2).$
- Zaznaczmy współrzędną $\frac(1)(2)$ na osi sinusa.
- Narysujmy prostą równoległą do osi cosinus i przechodzącą przez ten punkt.
- Zaznaczmy punkty przecięcia. Zostaną zacienione, ponieważ nierówność nie jest ścisła.
- Znak nierówności to $\geq$, co oznacza, że malujemy pole nad linią, czyli np. mniejsze półkole.
- Znajdujemy pierwszy punkt przecięcia. Aby to zrobić, zamieniamy nierówność na równość i rozwiązujemy ją: $\sin(x)=\frac(1)(2) \\Rightarrow \ x=(-1)^(n)\arcsin(\frac(1 )(2) )+\pi n =(-1)^(n)\frac(\pi)(6) + \pi n$. Następnie ustalamy $n=0$ i znajdujemy pierwszy punkt przecięcia: $x_(1)=\frac(\pi)(6)$.
- Znajdujemy drugi punkt. Nasz obszar idzie w kierunku dodatnim od pierwszego punktu, co oznacza, że ustawiamy $n$ równe $1$: $x_(2)=(-1)^(1)\frac(\pi)(6) + \pi \cdot 1 = \ pi – \frac(\pi)(6) = \frac(5\pi)(6)$.
Zatem rozwiązanie będzie miało postać:
$x \in \left[\frac(\pi)(6) + 2\pi n; \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n\right], \n \in Z.$
Przykład 2: Rozwiąż nierówność:
$\grzech(x)< -\frac{1}{2}$
Zaznaczmy współrzędną $-\frac(1)(2)$ na osi sinusoidy i narysujmy prostą równoległą do osi cosinus i przechodzącą przez ten punkt. Zaznaczmy punkty przecięcia. Nie będą zacienione, ponieważ nierówność jest ścisła. Znak nierówności $<$, а, значит, закрашиваем область ниже прямой, т.е. меньший полукруг. Неравенство превращаем в равенство и решаем его:
$\sin(x)=-\frac(1)(2)$
$x=(-1)^(n)\arcsin(\left(-\frac(1)(2)\right))+ \pi n =(-1)^(n+1)\frac(\pi )(6) + \pi n$.
Zakładając dalej, że $n=0$, znajdujemy pierwszy punkt przecięcia: $x_(1)=-\frac(\pi)(6)$. Nasz obszar idzie w kierunku ujemnym od pierwszego punktu, co oznacza, że ustawiamy $n$ równe $-1$: $x_(2)=(-1)^(-1+1)\frac(\pi)( 6) + \pi \cdot (-1) = -\pi + \frac(\pi)(6) = -\frac(5\pi)(6)$.
Zatem rozwiązaniem tej nierówności będzie przedział:
$x \in \left(-\frac(5\pi)(6) + 2\pi n; -\frac(\pi)(6) + 2 \pi n\right), \n \in Z.$
Przykład 3: Rozwiąż nierówność:
$1 – 2\sin(\left(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)\right)) \leq 0.$
Tego przykładu nie można rozwiązać natychmiast za pomocą algorytmu. Najpierw musisz go przekształcić. Robimy dokładnie to samo, co zrobilibyśmy z równaniem, ale nie zapominamy o znaku. Dzielenie lub mnożenie przez liczbę ujemną odwraca tę sytuację!
Przesuńmy więc wszystko, co nie zawiera funkcji trygonometrycznej, na prawą stronę. Otrzymujemy:
$- 2\sin(\left(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)\right)) \leq -1.$
Podzielmy lewą i prawą stronę przez $-2$ (nie zapomnij o znaku!). Będziemy mieć:
$\sin(\left(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)\right)) \geq \frac(1)(2).$
Znów mamy nierówność, której nie możemy rozwiązać za pomocą algorytmu. Ale tutaj wystarczy zmienić zmienną:
$t=\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6).$
Otrzymujemy nierówność trygonometryczną, którą można rozwiązać za pomocą algorytmu:
$\sin(t) \geq \frac(1)(2).$
Nierówność ta została rozwiązana w przykładzie 1, więc zapożyczmy stamtąd odpowiedź:
$t \in \left[\frac(\pi)(6) + 2\pi n; \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n\right].$
Jednak decyzja jeszcze się nie zakończyła. Musimy wrócić do oryginalnej zmiennej.
$(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)) \in \left[\frac(\pi)(6) + 2\pi n; \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n\right].$
Wyobraźmy sobie przedział jako system:
$\left\(\begin(array)(c) \frac(x)(4)+\frac(\pi)(6) \geq \frac(\pi)(6) + 2\pi n, \\ \frac(x)(4)+\frac(\pi)(6) \leq \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n. \end(array) \right.$
Po lewej stronie układu znajduje się wyrażenie ($\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)$), które należy do przedziału. Za pierwszą nierówność odpowiada lewa granica przedziału, a prawa granica za drugą. Ponadto ważną rolę odgrywają nawiasy: jeśli nawias jest kwadratowy, to nierówność zostanie złagodzona, a jeśli jest okrągły, to będzie ścisła. naszym zadaniem jest zdobycie $x$ z lewej strony w obu nierównościach.
Przesuńmy $\frac(\pi)(6)$ z lewej strony na prawą, otrzymamy:
$\left\(\begin(array)(c) \frac(x)(4) \geq \frac(\pi)(6) + 2\pi n -\frac(\pi)(6), \\ \frac(x)(4) \leq \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n – \frac(\pi)(6) \end(array) \right.$.
Upraszczając, będziemy mieli:
$\left\(\begin(array)(c) \frac(x)(4) \geq 2\pi n, \\ \frac(x)(4) \leq \frac(2\pi)(3) + 2 \pi n. \end(tablica) \right.$
Mnożąc lewą i prawą stronę przez 4 $, otrzymujemy:
$\left\(\begin(array)(c) x \geq 8\pi n, \\ x \leq \frac(8\pi)(3) + 8 \pi n. \end(array) \right. $
Składając układ w interwał otrzymujemy odpowiedź:
$x \in \left[ 8\pi n; \frac(8\pi)(3) + 8 \pi n\right], \n \in Z.$
Projekt algebraiczny „Rozwiązywanie nierówności trygonometrycznych” Ukończony przez uczennicę klasy 10 „B” Kazachkovą Julię Opiekun: nauczyciel matematyki Kochakova N.N.
Cel Utrwalić materiał na temat „Rozwiązywanie nierówności trygonometrycznych” i stworzyć przypomnienie dla uczniów o przygotowaniu się do nadchodzącego egzaminu.
Cele: Podsumowanie materiału na ten temat. Usystematyzuj otrzymane informacje. Rozważ ten temat w ramach egzaminu Unified State Exam.
Trafność Znaczenie wybranego przeze mnie tematu polega na tym, że zadania na temat „Rozwiązywanie nierówności trygonometrycznych” są zawarte w zadaniach Unified State Exam.
Nierówności trygonometryczne Nierówność to relacja łącząca dwie liczby lub wyrażenia poprzez jeden ze znaków: (większy niż); ≥ (większy lub równy). Nierówność trygonometryczna to nierówność obejmująca funkcje trygonometryczne.
Nierówności trygonometryczne Rozwiązanie nierówności zawierających funkcje trygonometryczne sprowadza się z reguły do rozwiązania najprostszych nierówności postaci: sin x>a, sin x a, cos x a, tg x a,ctg x
Algorytm rozwiązywania nierówności trygonometrycznych Na osi odpowiadającej danej funkcji trygonometrycznej zaznacz podaną wartość liczbową tej funkcji. Narysuj linię przechodzącą przez zaznaczony punkt przecinający okrąg jednostkowy. Wybierz punkty przecięcia prostej i okręgu, biorąc pod uwagę znak nierówności ścisłej lub nieścisłej. Wybierz łuk okręgu, na którym znajdują się rozwiązania nierówności. Określ wartości kątów w punktach początkowym i końcowym łuku kołowego. Zapisz rozwiązanie nierówności uwzględniając okresowość danej funkcji trygonometrycznej.
Wzory na rozwiązanie nierówności trygonometrycznych sinx >a; x (arcsin a + 2πn; π- arcsin a + 2πn). grzech A; x (- arccos a + 2πn; arccos a + 2πn). cosxA; x (arctg a + πn ; + πn). tgx A; x (πn ; arctan + πn). ctgx
Graficzne rozwiązanie podstawowych nierówności trygonometrycznych sinx >a
Graficzne rozwiązanie podstawowych nierówności trygonometrycznych sinx Graficzne rozwiązanie podstawowych nierówności trygonometrycznych cosx >a Graficzne rozwiązanie podstawowych nierówności trygonometrycznych cosx Graficzne rozwiązanie podstawowych nierówności trygonometrycznych tgx >a Graficzne rozwiązanie podstawowych nierówności trygonometrycznych tgx Graficzne rozwiązanie podstawowych nierówności trygonometrycznych ctgx >a
Podczas lekcji praktycznej powtórzymy główne typy zadań z tematu „Trygonometria”, dodatkowo przeanalizujemy problemy o zwiększonej złożoności i rozważymy przykłady rozwiązywania różnych nierówności trygonometrycznych i ich układów.
Ta lekcja pomoże Ci przygotować się do jednego z typów zadań B5, B7, C1 i C3.
Zacznijmy od przejrzenia głównych typów zadań, które omówiliśmy w temacie „Trygonometria” i rozwiążmy kilka niestandardowych problemów.
Zadanie nr 1. Konwersja kątów na radiany i stopnie: a) ; B) .
a) Skorzystajmy ze wzoru na przeliczenie stopni na radiany
Podstawmy do niego określoną wartość.
b) Zastosuj wzór na przeliczenie radianów na stopnie
Dokonajmy podstawienia 
.
Odpowiedź. A) ; B) .
Zadanie nr 2. Oblicz: a) ; B) .
a) Ponieważ kąt wykracza daleko poza tabelę, zmniejszymy go, odejmując okres sinusoidalny. Ponieważ Kąt jest podawany w radianach, wówczas okres będziemy rozpatrywać jako .
b) W tym przypadku sytuacja jest podobna. Ponieważ kąt jest podawany w stopniach, okres stycznej będziemy rozważać jako .
Wynikowy kąt jednak krótszy okres, ale większy, co oznacza, że nie odnosi się już do głównej, ale do rozszerzonej części stołu. Aby po raz kolejny nie ćwiczyć pamięci zapamiętywaniem rozszerzonej tabeli wartości funkcji trygonom, odejmiemy jeszcze raz okres styczny:
Wykorzystaliśmy dziwność funkcji stycznej.
Odpowiedź. a) 1; B) .
Zadanie nr 3. Obliczać 
, Jeśli .
Sprowadźmy całe wyrażenie do tangensów, dzieląc licznik i mianownik ułamka przez . Jednocześnie nie możemy się tego bać, bo w tym przypadku wartość tangensa nie istniałaby.
Zadanie nr 4. Uprość wyrażenie.
Określone wyrażenia są konwertowane przy użyciu formuł redukcyjnych. Są po prostu niezwykle napisane przy użyciu stopni. Pierwsze wyrażenie zazwyczaj reprezentuje liczbę. Uprośćmy kolejno wszystkie funkcje trygonometryczne:
Ponieważ , wówczas funkcja zmienia się na kofunkcję, tj. do cotangensu, a kąt przypada na drugą ćwiartkę, w której pierwotna styczna ma znak ujemny.
Z tych samych powodów, co w poprzednim wyrażeniu, funkcja zmienia się na kofunkcję, tj. do cotangensu, a kąt przypada na pierwszą ćwiartkę, w której pierwotna styczna ma znak dodatni.
Zastąpmy wszystko uproszczonym wyrażeniem:
Problem nr 5. Uprość wyrażenie.
Zapiszmy tangens kąta podwójnego, korzystając z odpowiedniego wzoru i uprośćmy wyrażenie:
Ostatnia tożsamość jest jednym z uniwersalnych wzorów zastępczych dla cosinusa.
Problem nr 6. Obliczać.
Najważniejsze, aby nie popełnić standardowego błędu i nie dać odpowiedzi, że wyrażenie jest równe . Nie możesz użyć podstawowej właściwości arcus tangens, jeśli obok niego znajduje się czynnik w postaci dwójki. Aby się tego pozbyć napiszemy wyrażenie według wzoru na tangens kąta podwójnego, traktując , jako zwykły argument.
Teraz możemy zastosować podstawową właściwość arcustangens; pamiętajmy, że nie ma żadnych ograniczeń co do jego wyniku numerycznego.
Problem nr 7. Rozwiąż równanie.
Decydując równanie ułamkowe, który jest równy zero, zawsze wskazuje się, że licznik jest równy zero, ale mianownik nie jest, ponieważ Nie można dzielić przez zero.
Pierwsze równanie jest szczególnym przypadkiem najprostszego równania, które można rozwiązać za pomocą koła trygonometrycznego. Zapamiętaj sobie to rozwiązanie. Drugą nierówność rozwiązuje się jako proste równanie, korzystając z ogólnego wzoru na pierwiastki stycznej, ale tylko ze znakiem nierównym.
Jak widzimy, jedna rodzina pierwiastków wyklucza inną rodzinę dokładnie tego samego typu pierwiastków, która nie spełnia równania. Te. nie ma korzeni.
Odpowiedź. Nie ma korzeni.
Problem nr 8. Rozwiąż równanie.
Od razu zauważmy, że możemy wyjąć wspólny czynnik i zróbmy to:
Równanie zostało zredukowane do jednego z standardowe formularze, gdy iloczyn kilku czynników jest równy zero. Wiemy już, że w tym przypadku albo jedna z nich jest równa zeru, albo druga, albo trzecia. Zapiszmy to w postaci układu równań:
Pierwsze dwa równania są szczególnymi przypadkami najprostszych; z podobnymi równaniami spotykaliśmy się już wielokrotnie, dlatego od razu wskażemy ich rozwiązania. Trzecie równanie redukujemy do jednej funkcji, korzystając ze wzoru na sinus podwójnego kąta.
Rozwiążmy ostatnie równanie osobno:
To równanie nie ma pierwiastków, ponieważ wartość sinusoidalna nie może przekroczyć 
.
Zatem rozwiązaniem są tylko dwie pierwsze rodziny pierwiastków; można je połączyć w jedną, co łatwo pokazać na okręgu trygonometrycznym:
 |
Jest to rodzina wszystkich połówek, tj.
Przejdźmy do rozwiązywania nierówności trygonometrycznych. Najpierw przyjrzyjmy się podejściu do rozwiązania przykładu bez użycia formuł rozwiązania ogólne, ale używając koła trygonometrycznego.
Problem nr 9. Rozwiąż nierówność.
Narysujmy na okręgu trygonometrycznym linię pomocniczą odpowiadającą wartości sinusoidalnej równej , i pokażmy zakres kątów spełniających nierówność.
 |
Bardzo ważne jest, aby dokładnie zrozumieć, jak wskazać wynikowy odstęp kątów, tj. jaki jest jego początek i jaki jest jego koniec. Początkiem interwału będzie kąt odpowiadający punktowi, w który wejdziemy na samym początku interwału, jeśli będziemy poruszać się w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. W naszym przypadku jest to punkt po lewej stronie, ponieważ poruszając się w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara i mijając właściwy punkt, wręcz przeciwnie, pozostawiamy wymagany zakres kątów. Właściwy punkt będzie zatem odpowiadał końcowi luki.
Teraz musimy zrozumieć kąty początku i końca naszego przedziału rozwiązań nierówności. Częsty błąd- ma to na celu od razu wskazać, że prawy punkt odpowiada kątowi, lewy i podać odpowiedź. To nie jest prawda! Proszę zwrócić uwagę, że właśnie wskazaliśmy przedział odpowiadający górnej części okręgu, chociaż interesuje nas dolna część, innymi słowy, pomyliliśmy początek i koniec potrzebnego nam przedziału rozwiązania.
Aby odstęp zaczynał się od narożnika prawego punktu i kończył się narożnikiem lewego punktu, konieczne jest, aby pierwszy określony kąt był mniejszy od drugiego. Aby to zrobić, będziemy musieli zmierzyć kąt prawego punktu w ujemnym kierunku odniesienia, tj. zgodnie z ruchem wskazówek zegara i będzie równa . Następnie zaczynając od niego poruszać się w kierunku dodatnim zgodnie z ruchem wskazówek zegara, dotrzemy do prawego punktu po lewym punkcie i otrzymamy dla niego wartość kąta. Teraz początek przedziału kątów jest mniejszy niż koniec i możemy zapisać przedział rozwiązań bez uwzględnienia okresu:
Biorąc pod uwagę, że takie przedziały będą powtarzane nieskończoną liczbę razy po dowolnej całkowitej liczbie obrotów, otrzymujemy rozwiązanie ogólne uwzględniające okres sinusoidalny:
Umieszczamy nawiasy, ponieważ nierówność jest ścisła i wybieramy punkty na okręgu, które odpowiadają końcom przedziału.
Porównaj otrzymaną odpowiedź ze wzorem na rozwiązanie ogólne, który podaliśmy na wykładzie.
Odpowiedź. 
.
Metoda ta jest dobra do zrozumienia, skąd pochodzą wzory na ogólne rozwiązania najprostszych nierówności trygonalnych. Ponadto jest to przydatne dla tych, którzy są zbyt leniwi, aby nauczyć się tych wszystkich uciążliwych formuł. Jednak sama metoda również nie jest łatwa; wybierz, które podejście do rozwiązania jest dla Ciebie najwygodniejsze.
Do rozwiązywania nierówności trygonometrycznych można także wykorzystać wykresy funkcji, na których zbudowana jest linia pomocnicza, podobnie jak w przypadku metody pokazanej przy użyciu okręgu jednostkowego. Jeśli jesteś zainteresowany, spróbuj sam znaleźć takie podejście do rozwiązania. W dalszej części będziemy używać ogólnych wzorów do rozwiązywania prostych nierówności trygonometrycznych.
Problem nr 10. Rozwiąż nierówność.
Skorzystajmy ze wzoru na rozwiązanie ogólne, biorąc pod uwagę fakt, że nierówność nie jest ścisła:
W naszym przypadku otrzymujemy:
Odpowiedź. 
Zadanie nr 11. Rozwiąż nierówność.
Skorzystajmy ze wzoru ogólnego na rozwiązanie odpowiadającej mu ściśle nierówności:
Odpowiedź. 
.
Zadanie nr 12. Rozwiązuj nierówności: a) ; B) .
W tych nierównościach nie ma potrzeby spieszyć się z użyciem wzorów na rozwiązania ogólne lub okrąg trygonometryczny, wystarczy po prostu zapamiętać zakres wartości sinusa i cosinusa.
a) Od 
, to nierówność nie ma sensu. Dlatego nie ma rozwiązań.
b) Ponieważ podobnie sinus dowolnego argumentu zawsze spełnia nierówność określoną w warunku. Dlatego wszystkie rzeczywiste wartości argumentu spełniają nierówność.
Odpowiedź. a) nie ma rozwiązań; B) .
Problem 13. Rozwiąż nierówność 
.